id sid tid token lemma pos iajs-2556 1 1 ibn ibn PROPN iajs-2556 1 2 al al PROPN iajs-2556 1 3 - - PUNCT iajs-2556 1 4 haitham haitham PROPN iajs-2556 1 5 jour jour X iajs-2556 1 6 . . PROPN iajs-2556 1 7 for for ADP iajs-2556 1 8 pure pure ADJ iajs-2556 1 9 & & CCONJ iajs-2556 1 10 appl appl PROPN iajs-2556 1 11 . . PUNCT iajs-2556 2 1 sci sci PROPN iajs-2556 2 2 . . PROPN iajs-2556 3 1 34 34 NUM iajs-2556 3 2 ( ( PUNCT iajs-2556 3 3 1 1 NUM iajs-2556 3 4 ) ) PUNCT iajs-2556 3 5 2021 2021 NUM iajs-2556 3 6 38 38 NUM iajs-2556 3 7 weakly weakly ADV iajs-2556 4 1 nearly nearly ADV iajs-2556 4 2 prime prime ADJ iajs-2556 4 3 submodules submodule NOUN iajs-2556 4 4 ali ali PROPN iajs-2556 4 5 sabah sabah PROPN iajs-2556 4 6 sadiaq sadiaq PROPN iajs-2556 4 7 haibat haibat PROPN iajs-2556 4 8 k. k. PROPN iajs-2556 4 9 mohammadali mohammadali PROPN iajs-2556 4 10 department department PROPN iajs-2556 4 11 of of ADP iajs-2556 4 12 mathematics mathematics PROPN iajs-2556 4 13 , , PUNCT iajs-2556 4 14 college college NOUN iajs-2556 4 15 of of ADP iajs-2556 4 16 computer computer NOUN iajs-2556 4 17 science science NOUN iajs-2556 4 18 and and CCONJ iajs-2556 4 19 math math NOUN iajs-2556 4 20 . . PUNCT iajs-2556 5 1 , , PUNCT iajs-2556 5 2 university university NOUN iajs-2556 5 3 of of ADP iajs-2556 5 4 tikrit tikrit NOUN iajs-2556 5 5 , , PUNCT iajs-2556 5 6 tikrit tikrit NOUN iajs-2556 5 7 , , PUNCT iajs-2556 5 8 iraq iraq PROPN iajs-2556 5 9 . . PUNCT iajs-2556 6 1 h.mohammadali@tu.edu.iq h.mohammadali@tu.edu.iq NOUN iajs-2556 6 2 alisabahsadickali@gmail.com alisabahsadickali@gmail.com X iajs-2556 7 1 abstract abstract ADJ iajs-2556 7 2 in in ADP iajs-2556 7 3 this this DET iajs-2556 7 4 article article NOUN iajs-2556 7 5 , , PUNCT iajs-2556 7 6 unless unless SCONJ iajs-2556 7 7 otherwise otherwise ADV iajs-2556 7 8 established establish VERB iajs-2556 7 9 , , PUNCT iajs-2556 7 10 all all DET iajs-2556 7 11 rings ring NOUN iajs-2556 7 12 are be AUX iajs-2556 7 13 commutative commutative ADJ iajs-2556 7 14 with with ADP iajs-2556 7 15 identity identity NOUN iajs-2556 7 16 and and CCONJ iajs-2556 7 17 all all DET iajs-2556 7 18 modules module NOUN iajs-2556 7 19 are be AUX iajs-2556 7 20 unitary unitary ADJ iajs-2556 7 21 left left ADJ iajs-2556 7 22 r r NOUN iajs-2556 7 23 - - PUNCT iajs-2556 7 24 module module NOUN iajs-2556 7 25 . . PUNCT iajs-2556 8 1 we we PRON iajs-2556 8 2 offer offer VERB iajs-2556 8 3 this this DET iajs-2556 8 4 concept concept NOUN iajs-2556 8 5 of of ADP iajs-2556 8 6 wn wn NOUN iajs-2556 8 7 - - PUNCT iajs-2556 8 8 prime prime NOUN iajs-2556 8 9 as as ADP iajs-2556 8 10 new new ADJ iajs-2556 8 11 generalization generalization NOUN iajs-2556 8 12 of of ADP iajs-2556 8 13 weakly weakly ADJ iajs-2556 8 14 prime prime ADJ iajs-2556 8 15 submodules submodule NOUN iajs-2556 8 16 . . PUNCT iajs-2556 9 1 some some DET iajs-2556 9 2 basic basic ADJ iajs-2556 9 3 properties property NOUN iajs-2556 9 4 of of ADP iajs-2556 9 5 weakly weakly ADJ iajs-2556 9 6 nearly nearly ADV iajs-2556 9 7 prime prime ADJ iajs-2556 9 8 submodules submodule NOUN iajs-2556 9 9 are be AUX iajs-2556 9 10 given give VERB iajs-2556 9 11 . . PUNCT iajs-2556 10 1 many many ADJ iajs-2556 10 2 characterizations characterization NOUN iajs-2556 10 3 , , PUNCT iajs-2556 10 4 examples example NOUN iajs-2556 10 5 of of ADP iajs-2556 10 6 this this DET iajs-2556 10 7 concept concept NOUN iajs-2556 10 8 are be AUX iajs-2556 10 9 stablished stablishe VERB iajs-2556 10 10 . . PUNCT iajs-2556 11 1 keywords keyword NOUN iajs-2556 11 2 : : PUNCT iajs-2556 11 3 weakly weakly ADJ iajs-2556 11 4 prime prime ADJ iajs-2556 11 5 submodules submodule NOUN iajs-2556 11 6 , , PUNCT iajs-2556 11 7 weakly weakly ADV iajs-2556 11 8 nearly nearly ADV iajs-2556 11 9 prime prime ADJ iajs-2556 11 10 submodules submodule NOUN iajs-2556 11 11 , , PUNCT iajs-2556 11 12 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 11 13 modules module NOUN iajs-2556 11 14 , , PUNCT iajs-2556 11 15 finitely finitely ADV iajs-2556 11 16 generated generate VERB iajs-2556 11 17 modules module NOUN iajs-2556 11 18 , , PUNCT iajs-2556 11 19 jacobson jacobson PROPN iajs-2556 11 20 of of ADP iajs-2556 11 21 a a DET iajs-2556 11 22 modules module NOUN iajs-2556 11 23 . . PUNCT iajs-2556 12 1 1.introduction 1.introduction NUM iajs-2556 12 2 the the DET iajs-2556 12 3 concept concept NOUN iajs-2556 12 4 of of ADP iajs-2556 12 5 weakly weakly ADJ iajs-2556 12 6 prime prime ADJ iajs-2556 12 7 submodule submodule NOUN iajs-2556 12 8 was be AUX iajs-2556 12 9 first first ADV iajs-2556 12 10 introduced introduce VERB iajs-2556 12 11 and and CCONJ iajs-2556 12 12 studied study VERB iajs-2556 12 13 by by ADP iajs-2556 12 14 behoodi behoodi NOUN iajs-2556 12 15 and and CCONJ iajs-2556 12 16 koohi koohi NOUN iajs-2556 12 17 in in ADP iajs-2556 12 18 [ [ X iajs-2556 12 19 1 1 NUM iajs-2556 12 20 ] ] PUNCT iajs-2556 12 21 as as ADP iajs-2556 12 22 a a DET iajs-2556 12 23 generalization generalization NOUN iajs-2556 12 24 of of ADP iajs-2556 12 25 weakly weakly ADJ iajs-2556 12 26 prime prime ADJ iajs-2556 12 27 submodule submodule NOUN iajs-2556 12 28 , , PUNCT iajs-2556 12 29 where where SCONJ iajs-2556 12 30 a a DET iajs-2556 12 31 proper proper ADJ iajs-2556 12 32 submodule submodule NOUN iajs-2556 12 33 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 12 34 of of ADP iajs-2556 12 35 an an DET iajs-2556 12 36 r r NOUN iajs-2556 12 37 - - PUNCT iajs-2556 12 38 module module NOUN iajs-2556 12 39 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 12 40 is be AUX iajs-2556 12 41 weakly weakly ADJ iajs-2556 12 42 prime prime ADJ iajs-2556 12 43 submodule submodule NOUN iajs-2556 12 44 , , PUNCT iajs-2556 12 45 if if SCONJ iajs-2556 12 46 whenever whenever SCONJ iajs-2556 12 47 0 0 NUM iajs-2556 12 48 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 12 49 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 12 50 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 12 51 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 12 52 , , PUNCT iajs-2556 12 53 for for ADP iajs-2556 12 54 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 12 55 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 12 56 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 12 57 , , PUNCT iajs-2556 12 58 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 12 59 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 12 60 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 12 61 , , PUNCT iajs-2556 12 62 implies imply VERB iajs-2556 12 63 that that SCONJ iajs-2556 12 64 either either CCONJ iajs-2556 12 65 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 12 66 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 12 67 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 12 68 or or CCONJ iajs-2556 12 69 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 12 70 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 12 71 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 12 72 𝐻. 𝐻. PROPN iajs-2556 12 73 recently recently ADV iajs-2556 12 74 , , PUNCT iajs-2556 12 75 weakly weakly ADJ iajs-2556 12 76 prime prime ADJ iajs-2556 12 77 submodules submodule NOUN iajs-2556 12 78 have have AUX iajs-2556 12 79 been be AUX iajs-2556 12 80 studied study VERB iajs-2556 12 81 by by ADP iajs-2556 12 82 many many ADJ iajs-2556 12 83 authors author NOUN iajs-2556 12 84 such such ADJ iajs-2556 12 85 as as ADP iajs-2556 12 86 [ [ X iajs-2556 12 87 2 2 NUM iajs-2556 12 88 - - SYM iajs-2556 12 89 5 5 NUM iajs-2556 12 90 ] ] PUNCT iajs-2556 12 91 . . PUNCT iajs-2556 13 1 many many ADJ iajs-2556 13 2 generalizations generalization NOUN iajs-2556 13 3 of of ADP iajs-2556 13 4 weakly weakly ADJ iajs-2556 13 5 prime prime ADJ iajs-2556 13 6 submodule submodule NOUN iajs-2556 13 7 are be AUX iajs-2556 13 8 introduced introduce VERB iajs-2556 13 9 such such ADJ iajs-2556 13 10 as as ADP iajs-2556 13 11 weakly weakly ADJ iajs-2556 13 12 primary primary ADJ iajs-2556 13 13 submodules submodule NOUN iajs-2556 13 14 , , PUNCT iajs-2556 13 15 weakly weakly ADJ iajs-2556 13 16 quasiprime quasiprime ADJ iajs-2556 13 17 submodules submodule NOUN iajs-2556 13 18 and and CCONJ iajs-2556 13 19 weakly weakly ADJ iajs-2556 13 20 semiprime semiprime NOUN iajs-2556 13 21 submodules submodule NOUN iajs-2556 13 22 see see VERB iajs-2556 13 23 [ [ X iajs-2556 13 24 68 68 NUM iajs-2556 13 25 ] ] PUNCT iajs-2556 13 26 . . PUNCT iajs-2556 14 1 in in ADP iajs-2556 14 2 2018 2018 NUM iajs-2556 14 3 the the DET iajs-2556 14 4 concepts concept NOUN iajs-2556 14 5 we we PRON iajs-2556 14 6 - - PUNCT iajs-2556 14 7 prime prime NOUN iajs-2556 14 8 submodules submodule NOUN iajs-2556 14 9 and and CCONJ iajs-2556 14 10 we we PRON iajs-2556 14 11 - - PUNCT iajs-2556 14 12 semiprime semiprime NOUN iajs-2556 14 13 submodules submodule NOUN iajs-2556 14 14 as as ADP iajs-2556 14 15 a a DET iajs-2556 14 16 strange strange NOUN iajs-2556 14 17 from from ADP iajs-2556 14 18 of of ADP iajs-2556 14 19 weakly weakly ADJ iajs-2556 14 20 prime prime ADJ iajs-2556 14 21 submodules submodule NOUN iajs-2556 14 22 are be AUX iajs-2556 14 23 given give VERB iajs-2556 14 24 ; ; PUNCT iajs-2556 14 25 see see VERB iajs-2556 14 26 [ [ X iajs-2556 14 27 9 9 NUM iajs-2556 14 28 ] ] PUNCT iajs-2556 14 29 . . PUNCT iajs-2556 15 1 in in ADP iajs-2556 15 2 this this DET iajs-2556 15 3 article article NOUN iajs-2556 15 4 , , PUNCT iajs-2556 15 5 we we PRON iajs-2556 15 6 introduce introduce VERB iajs-2556 15 7 a a DET iajs-2556 15 8 new new ADJ iajs-2556 15 9 generalization generalization NOUN iajs-2556 15 10 of of ADP iajs-2556 15 11 weakly weakly ADJ iajs-2556 15 12 prime prime ADJ iajs-2556 15 13 submodule submodule NOUN iajs-2556 15 14 called call VERB iajs-2556 15 15 wn wn PROPN iajs-2556 15 16 - - PUNCT iajs-2556 15 17 prime prime NOUN iajs-2556 15 18 submodule submodule NOUN iajs-2556 15 19 , , PUNCT iajs-2556 15 20 where where SCONJ iajs-2556 15 21 a a DET iajs-2556 15 22 proper proper ADJ iajs-2556 15 23 submodule submodule NOUN iajs-2556 15 24 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 15 25 of of ADP iajs-2556 15 26 an an DET iajs-2556 15 27 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2556 15 28 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 29 is be AUX iajs-2556 15 30 called call VERB iajs-2556 15 31 wn wn NOUN iajs-2556 15 32 - - PUNCT iajs-2556 15 33 prime prime NOUN iajs-2556 15 34 of of ADP iajs-2556 15 35 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 36 if if SCONJ iajs-2556 15 37 whenever whenever SCONJ iajs-2556 15 38 0 0 NUM iajs-2556 15 39 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 15 40 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 15 41 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 15 42 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 15 43 , , PUNCT iajs-2556 15 44 for for ADP iajs-2556 15 45 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 15 46 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 15 47 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 15 48 , , PUNCT iajs-2556 15 49 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 15 50 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 15 51 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 52 , , PUNCT iajs-2556 15 53 implies imply VERB iajs-2556 15 54 that that SCONJ iajs-2556 15 55 either either CCONJ iajs-2556 15 56 𝑒 𝑒 ADP iajs-2556 15 57 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 15 58 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 15 59 + + PROPN iajs-2556 15 60 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 15 61 ( ( PUNCT iajs-2556 15 62 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 63 ) ) PUNCT iajs-2556 15 64 or or CCONJ iajs-2556 15 65 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 15 66 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 67 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 15 68 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 15 69 + + PROPN iajs-2556 15 70 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 15 71 ( ( PUNCT iajs-2556 15 72 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 73 ) ) PUNCT iajs-2556 15 74 , , PUNCT iajs-2556 15 75 where where SCONJ iajs-2556 15 76 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 15 77 ( ( PUNCT iajs-2556 15 78 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 79 ) ) PUNCT iajs-2556 15 80 is be AUX iajs-2556 15 81 the the DET iajs-2556 15 82 jacobson jacobson PROPN iajs-2556 15 83 radical radical PROPN iajs-2556 15 84 of of ADP iajs-2556 15 85 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 15 86 an an DET iajs-2556 15 87 r r NOUN iajs-2556 15 88 - - PUNCT iajs-2556 15 89 module module NOUN iajs-2556 15 90 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 91 is be AUX iajs-2556 15 92 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 15 93 if if SCONJ iajs-2556 15 94 each each DET iajs-2556 15 95 submodule submodule NOUN iajs-2556 15 96 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 15 97 of of ADP iajs-2556 15 98 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 99 from from ADP iajs-2556 15 100 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 15 101 = = PUNCT iajs-2556 15 102 𝐼 𝐼 ADP iajs-2556 15 103 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 15 104 for for ADP iajs-2556 15 105 some some DET iajs-2556 15 106 ideal ideal ADJ iajs-2556 15 107 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2556 15 108 of of ADP iajs-2556 15 109 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 15 110 , , PUNCT iajs-2556 15 111 that that PRON iajs-2556 15 112 is be AUX iajs-2556 16 1 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 16 2 = = PUNCT iajs-2556 17 1 [ [ X iajs-2556 17 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 17 3 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 17 4 ] ] X iajs-2556 17 5 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 18 1 [ [ X iajs-2556 18 2 10 10 NUM iajs-2556 18 3 ] ] PUNCT iajs-2556 18 4 . . PUNCT iajs-2556 19 1 several several ADJ iajs-2556 19 2 characterizations characterization NOUN iajs-2556 19 3 , , PUNCT iajs-2556 19 4 examples example NOUN iajs-2556 19 5 and and CCONJ iajs-2556 19 6 basic basic ADJ iajs-2556 19 7 properties property NOUN iajs-2556 19 8 of of ADP iajs-2556 19 9 wn wn NOUN iajs-2556 19 10 - - PUNCT iajs-2556 19 11 prime prime ADJ iajs-2556 19 12 submodules submodule NOUN iajs-2556 19 13 were be AUX iajs-2556 19 14 given give VERB iajs-2556 19 15 in in ADP iajs-2556 19 16 this this DET iajs-2556 19 17 research research NOUN iajs-2556 19 18 . . PUNCT iajs-2556 20 1 ibn ibn PROPN iajs-2556 20 2 al al PROPN iajs-2556 20 3 haitham haitham PROPN iajs-2556 20 4 journal journal PROPN iajs-2556 20 5 for for ADP iajs-2556 20 6 pure pure ADJ iajs-2556 20 7 and and CCONJ iajs-2556 20 8 applied apply VERB iajs-2556 20 9 science science NOUN iajs-2556 20 10 journal journal PROPN iajs-2556 20 11 homepage homepage NOUN iajs-2556 20 12 : : PUNCT iajs-2556 20 13 http://jih.uobaghdad.edu.iq/index.php/j/index http://jih.uobaghdad.edu.iq/index.php/j/index NOUN iajs-2556 20 14 doi doi NOUN iajs-2556 20 15 : : PUNCT iajs-2556 20 16 10.30526/34.1.2556 10.30526/34.1.2556 PROPN iajs-2556 20 17 article article NOUN iajs-2556 20 18 history history NOUN iajs-2556 20 19 : : PUNCT iajs-2556 20 20 received receive VERB iajs-2556 20 21 16,january,2020 16,january,2020 NUM iajs-2556 20 22 , , PUNCT iajs-2556 20 23 accepted12,february,2020 accepted12,february,2020 PROPN iajs-2556 20 24 , , PUNCT iajs-2556 20 25 published publish VERB iajs-2556 20 26 in in ADP iajs-2556 20 27 january january PROPN iajs-2556 20 28 2021 2021 NUM iajs-2556 20 29 mailto:h.mohammadali@tu.edu.iq mailto:h.mohammadali@tu.edu.iq NOUN iajs-2556 20 30 mailto:h.mohammadali@tu.edu.iq mailto:h.mohammadali@tu.edu.iq NOUN iajs-2556 20 31 mailto:alisabahsadickali@gmail.com mailto:alisabahsadickali@gmail.com NOUN iajs-2556 20 32 39 39 NUM iajs-2556 20 33 ibn ibn PROPN iajs-2556 20 34 al al PROPN iajs-2556 20 35 - - PUNCT iajs-2556 20 36 haitham haitham PROPN iajs-2556 20 37 jour jour X iajs-2556 20 38 . . 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PUNCT iajs-2556 24 1 definition definition NOUN iajs-2556 24 2 ( ( PUNCT iajs-2556 24 3 2.1 2.1 NUM iajs-2556 24 4 ) ) PUNCT iajs-2556 24 5 a a DET iajs-2556 24 6 proper proper ADJ iajs-2556 24 7 submodule submodule NOUN iajs-2556 24 8 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 24 9 of of ADP iajs-2556 24 10 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2556 24 11 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 24 12 is be AUX iajs-2556 24 13 said say VERB iajs-2556 24 14 to to PART iajs-2556 24 15 be be AUX iajs-2556 24 16 weakly weakly ADV iajs-2556 24 17 nearly nearly ADV iajs-2556 24 18 prime prime ADJ iajs-2556 24 19 submodule submodule NOUN iajs-2556 24 20 of of ADP iajs-2556 24 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 24 22 ( ( PUNCT iajs-2556 24 23 for for ADP iajs-2556 24 24 short short ADJ iajs-2556 24 25 wn wn PROPN iajs-2556 24 26 - - PUNCT iajs-2556 24 27 prime prime NOUN iajs-2556 24 28 submodule submodule NOUN iajs-2556 24 29 ) ) PUNCT iajs-2556 24 30 , , PUNCT iajs-2556 24 31 if if SCONJ iajs-2556 24 32 whenever whenever SCONJ iajs-2556 24 33 0 0 NUM iajs-2556 24 34 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 24 35 π‘Žπ‘’ π‘Žπ‘’ PRON iajs-2556 24 36 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 24 37 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 24 38 , , PUNCT iajs-2556 24 39 where where SCONJ iajs-2556 24 40 π‘Ž π‘Ž PROPN iajs-2556 24 41 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 24 42 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 24 43 , , PUNCT iajs-2556 24 44 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 24 45 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 24 46 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 24 47 , , PUNCT iajs-2556 24 48 implies imply VERB iajs-2556 24 49 that that SCONJ iajs-2556 24 50 either either CCONJ iajs-2556 24 51 𝑒 𝑒 ADP iajs-2556 24 52 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 24 53 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 24 54 + + PROPN iajs-2556 24 55 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 24 56 ( ( PUNCT iajs-2556 24 57 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 24 58 ) ) PUNCT iajs-2556 24 59 or or CCONJ iajs-2556 24 60 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 25 1 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 25 2 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 25 3 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 25 4 + + PROPN iajs-2556 25 5 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 25 6 ( ( PUNCT iajs-2556 25 7 π‘ˆ).an π‘ˆ).an PUNCT iajs-2556 25 8 ideal ideal ADJ iajs-2556 25 9 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 25 10 of of ADP iajs-2556 25 11 ring ring PROPN iajs-2556 25 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 25 13 is be AUX iajs-2556 25 14 wn wn NOUN iajs-2556 25 15 - - PUNCT iajs-2556 25 16 prime prime ADJ iajs-2556 25 17 ideal ideal NOUN iajs-2556 25 18 of of ADP iajs-2556 25 19 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 25 20 if if SCONJ iajs-2556 25 21 and and CCONJ iajs-2556 25 22 only only ADV iajs-2556 25 23 if if SCONJ iajs-2556 25 24 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 25 25 is be AUX iajs-2556 25 26 a a DET iajs-2556 25 27 wn wn NOUN iajs-2556 25 28 - - PUNCT iajs-2556 25 29 prime prime NOUN iajs-2556 25 30 submodule submodule NOUN iajs-2556 25 31 of of ADP iajs-2556 25 32 an an DET iajs-2556 25 33 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2556 25 34 𝚁. 𝚁. PROPN iajs-2556 25 35 for for ADP iajs-2556 25 36 example example NOUN iajs-2556 25 37 : : PUNCT iajs-2556 25 38 consider consider VERB iajs-2556 25 39 the the DET iajs-2556 25 40 z z NOUN iajs-2556 25 41 - - PUNCT iajs-2556 25 42 module module NOUN iajs-2556 25 43 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 25 44 and and CCONJ iajs-2556 25 45 the the DET iajs-2556 25 46 submodule submodule NOUN iajs-2556 25 47 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 25 48 = = PUNCT iajs-2556 25 49 〈 〈 PROPN iajs-2556 25 50 8Μ… 8Μ… NUM iajs-2556 25 51 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 25 52 of of ADP iajs-2556 25 53 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 25 54 which which PRON iajs-2556 25 55 is be AUX iajs-2556 25 56 a a DET iajs-2556 25 57 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 25 58 submodule submodule NOUN iajs-2556 25 59 of of ADP iajs-2556 25 60 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 25 61 since since SCONJ iajs-2556 25 62 𝙹(𝑍24 𝙹(𝑍24 NOUN iajs-2556 25 63 ) ) PUNCT iajs-2556 26 1 = = PUNCT iajs-2556 26 2 〈 〈 PROPN iajs-2556 26 3 2Μ… 2Μ… NUM iajs-2556 26 4 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 26 5 ∩ ∩ NOUN iajs-2556 26 6 〈 〈 NOUN iajs-2556 26 7 3Μ… 3Μ… ADJ iajs-2556 26 8 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 26 9 = = SYM iajs-2556 26 10 〈 〈 PROPN iajs-2556 26 11 6Μ… 6Μ… NOUN iajs-2556 26 12 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 26 13 . . PUNCT iajs-2556 27 1 thus thus ADV iajs-2556 27 2 if if SCONJ iajs-2556 27 3 0 0 NUM iajs-2556 27 4 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 27 5 π‘Ÿπ‘š π‘Ÿπ‘š ADP iajs-2556 27 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 27 7 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 27 8 with with ADP iajs-2556 27 9 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 27 10 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 27 11 𝑍 𝑍 NOUN iajs-2556 27 12 , , PUNCT iajs-2556 27 13 π‘š π‘š PROPN iajs-2556 27 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 27 15 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 27 16 , , PUNCT iajs-2556 27 17 implies imply VERB iajs-2556 27 18 that that SCONJ iajs-2556 27 19 either either CCONJ iajs-2556 27 20 π‘š π‘š PROPN iajs-2556 27 21 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 27 22 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 27 23 + + PROPN iajs-2556 27 24 𝙹(𝑍24 𝙹(𝑍24 NOUN iajs-2556 27 25 ) ) PUNCT iajs-2556 27 26 = = PUNCT iajs-2556 28 1 〈 〈 NOUN iajs-2556 28 2 8Μ… 8Μ… NUM iajs-2556 28 3 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 28 4 + + X iajs-2556 28 5 〈 〈 NOUN iajs-2556 28 6 6Μ… 6Μ… ADJ iajs-2556 28 7 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 28 8 = = PUNCT iajs-2556 28 9 〈 〈 PROPN iajs-2556 28 10 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2556 28 11 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 28 12 or or CCONJ iajs-2556 28 13 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 28 14 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 29 1 [ [ X iajs-2556 29 2 𝐻 𝐻 NOUN iajs-2556 29 3 + + X iajs-2556 29 4 𝙹(𝑍24 𝙹(𝑍24 NOUN iajs-2556 29 5 ): ): PUNCT iajs-2556 29 6 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 29 7 ] ] PUNCT iajs-2556 30 1 = = PUNCT iajs-2556 31 1 [ [ X iajs-2556 31 2 〈 〈 X iajs-2556 31 3 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2556 31 4 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 31 5 : : PUNCT iajs-2556 31 6 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 31 7 ] ] PUNCT iajs-2556 31 8 = = SYM iajs-2556 31 9 2𝑍 2𝑍 PROPN iajs-2556 31 10 . . PUNCT iajs-2556 32 1 remark remark NOUN iajs-2556 32 2 ( ( PUNCT iajs-2556 32 3 2.2 2.2 NUM iajs-2556 32 4 ) ) PUNCT iajs-2556 32 5 1 1 NUM iajs-2556 32 6 . . PUNCT iajs-2556 33 1 it it PRON iajs-2556 33 2 is be AUX iajs-2556 33 3 clear clear ADJ iajs-2556 33 4 that that SCONJ iajs-2556 33 5 every every DET iajs-2556 33 6 weakly weakly ADJ iajs-2556 33 7 prime prime ADJ iajs-2556 33 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 33 9 of of ADP iajs-2556 33 10 an an DET iajs-2556 33 11 r r NOUN iajs-2556 33 12 - - PUNCT iajs-2556 33 13 module module NOUN iajs-2556 33 14 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 33 15 is be AUX iajs-2556 33 16 wn wn NOUN iajs-2556 33 17 - - PUNCT iajs-2556 33 18 prime prime NOUN iajs-2556 33 19 , , PUNCT iajs-2556 33 20 but but CCONJ iajs-2556 33 21 not not PART iajs-2556 33 22 conversely conversely ADV iajs-2556 33 23 . . PUNCT iajs-2556 34 1 for for ADP iajs-2556 34 2 example example NOUN iajs-2556 34 3 the the DET iajs-2556 34 4 submodule submodule NOUN iajs-2556 34 5 𝑁 𝑁 PROPN iajs-2556 34 6 = = SYM iajs-2556 34 7 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2556 34 8 of of ADP iajs-2556 34 9 the the DET iajs-2556 34 10 z z NOUN iajs-2556 34 11 - - PUNCT iajs-2556 34 12 module module NOUN iajs-2556 34 13 𝑄 𝑄 PRON iajs-2556 34 14 is be AUX iajs-2556 34 15 not not PART iajs-2556 34 16 weakly weakly ADV iajs-2556 34 17 prime prime ADJ iajs-2556 34 18 , , PUNCT iajs-2556 34 19 but but CCONJ iajs-2556 34 20 𝑁 𝑁 PROPN iajs-2556 34 21 is be AUX iajs-2556 34 22 wn wn NOUN iajs-2556 34 23 - - PUNCT iajs-2556 34 24 prime prime NOUN iajs-2556 34 25 since since SCONJ iajs-2556 34 26 𝙹(𝑄 𝙹(𝑄 NOUN iajs-2556 34 27 ) ) PUNCT iajs-2556 35 1 = = SYM iajs-2556 35 2 𝑄 𝑄 PROPN iajs-2556 35 3 and and CCONJ iajs-2556 35 4 for for ADP iajs-2556 35 5 each each DET iajs-2556 35 6 π‘Ž π‘Ž PRON iajs-2556 35 7 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 35 8 𝑍 𝑍 NOUN iajs-2556 35 9 , , PUNCT iajs-2556 35 10 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 35 11 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 35 12 𝑄 𝑄 PRON iajs-2556 35 13 with with ADP iajs-2556 35 14 0 0 NUM iajs-2556 35 15 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 35 16 π‘Žπ‘’ π‘Žπ‘’ DET iajs-2556 35 17 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 35 18 𝑁 𝑁 PROPN iajs-2556 35 19 , , PUNCT iajs-2556 35 20 implies imply VERB iajs-2556 35 21 that that SCONJ iajs-2556 35 22 either either CCONJ iajs-2556 35 23 𝑒 𝑒 PRON iajs-2556 35 24 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 35 25 𝑁 𝑁 PROPN iajs-2556 35 26 + + NUM iajs-2556 35 27 𝙹(𝑄 𝙹(𝑄 NOUN iajs-2556 35 28 ) ) PUNCT iajs-2556 35 29 or or CCONJ iajs-2556 35 30 π‘Žπ‘„ π‘Žπ‘„ NUM iajs-2556 35 31 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 35 32 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2556 35 33 + + NUM iajs-2556 35 34 𝙹(𝑄 𝙹(𝑄 NOUN iajs-2556 35 35 ) ) PUNCT iajs-2556 35 36 = = SYM iajs-2556 35 37 𝑄 𝑄 PROPN iajs-2556 35 38 . . PUNCT iajs-2556 36 1 2 2 X iajs-2556 36 2 . . X iajs-2556 36 3 it it PRON iajs-2556 36 4 is be AUX iajs-2556 36 5 clear clear ADJ iajs-2556 36 6 that that SCONJ iajs-2556 36 7 every every DET iajs-2556 36 8 prime prime ADJ iajs-2556 36 9 submodule submodule NOUN iajs-2556 36 10 of of ADP iajs-2556 36 11 an an DET iajs-2556 36 12 r r NOUN iajs-2556 36 13 - - PUNCT iajs-2556 36 14 module module NOUN iajs-2556 36 15 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 36 16 is be AUX iajs-2556 36 17 wn wn NOUN iajs-2556 36 18 - - PUNCT iajs-2556 36 19 prime prime NOUN iajs-2556 36 20 , , PUNCT iajs-2556 36 21 but but CCONJ iajs-2556 36 22 not not PART iajs-2556 36 23 conversely conversely ADV iajs-2556 36 24 . . PUNCT iajs-2556 37 1 for for ADP iajs-2556 37 2 example example NOUN iajs-2556 37 3 : : PUNCT iajs-2556 37 4 consider consider VERB iajs-2556 37 5 that that SCONJ iajs-2556 37 6 the the DET iajs-2556 37 7 z z NOUN iajs-2556 37 8 - - PUNCT iajs-2556 37 9 module module NOUN iajs-2556 37 10 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 37 11 , , PUNCT iajs-2556 37 12 and and CCONJ iajs-2556 37 13 the the DET iajs-2556 37 14 submodule submodule NOUN iajs-2556 37 15 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 37 16 = = PUNCT iajs-2556 37 17 〈 〈 ADJ iajs-2556 37 18 4Μ… 4Μ… ADJ iajs-2556 37 19 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 37 20 of of ADP iajs-2556 37 21 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 37 22 is be AUX iajs-2556 37 23 not not PART iajs-2556 37 24 prime prime ADJ iajs-2556 37 25 , , PUNCT iajs-2556 37 26 but but CCONJ iajs-2556 37 27 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 37 28 = = PUNCT iajs-2556 37 29 〈 〈 ADJ iajs-2556 37 30 4Μ… 4Μ… ADJ iajs-2556 37 31 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 37 32 is be AUX iajs-2556 37 33 wn wn NOUN iajs-2556 37 34 - - PUNCT iajs-2556 37 35 prime prime ADJ iajs-2556 37 36 submodule submodule NOUN iajs-2556 37 37 of of ADP iajs-2556 37 38 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 37 39 since since SCONJ iajs-2556 37 40 𝙹(𝑍12 𝙹(𝑍12 PROPN iajs-2556 37 41 ) ) PUNCT iajs-2556 37 42 = = PUNCT iajs-2556 38 1 〈 〈 PROPN iajs-2556 38 2 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2556 38 3 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 38 4 ∩ ∩ NOUN iajs-2556 38 5 〈 〈 NOUN iajs-2556 38 6 3Μ… 3Μ… ADJ iajs-2556 38 7 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 38 8 = = SYM iajs-2556 38 9 〈 〈 PROPN iajs-2556 38 10 6Μ… 6Μ… NOUN iajs-2556 38 11 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 38 12 . . PUNCT iajs-2556 39 1 thus thus ADV iajs-2556 39 2 if if SCONJ iajs-2556 39 3 0 0 NUM iajs-2556 39 4 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 39 5 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 39 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 39 7 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 39 8 with with ADP iajs-2556 39 9 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 39 10 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 39 11 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2556 39 12 , , PUNCT iajs-2556 39 13 𝑒 𝑒 PRON iajs-2556 39 14 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 39 15 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 39 16 , , PUNCT iajs-2556 39 17 implies imply VERB iajs-2556 39 18 that that SCONJ iajs-2556 39 19 either either CCONJ iajs-2556 39 20 𝑒 𝑒 ADP iajs-2556 39 21 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 39 22 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 39 23 + + PROPN iajs-2556 39 24 𝙹(𝑍12 𝙹(𝑍12 PROPN iajs-2556 39 25 ) ) PUNCT iajs-2556 39 26 = = PUNCT iajs-2556 40 1 〈 〈 DET iajs-2556 40 2 4Μ… 4Μ… ADJ iajs-2556 40 3 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 40 4 + + CCONJ iajs-2556 40 5 〈 〈 NOUN iajs-2556 40 6 6Μ… 6Μ… ADJ iajs-2556 40 7 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 40 8 = = PUNCT iajs-2556 40 9 〈 〈 PROPN iajs-2556 40 10 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2556 40 11 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 40 12 or or CCONJ iajs-2556 40 13 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 40 14 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 40 15 [ [ X iajs-2556 40 16 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 40 17 + + PROPN iajs-2556 40 18 𝙹(𝑍12 𝙹(𝑍12 PROPN iajs-2556 40 19 ): ): PUNCT iajs-2556 40 20 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 40 21 ] ] X iajs-2556 40 22 = = PUNCT iajs-2556 41 1 [ [ X iajs-2556 41 2 〈 〈 X iajs-2556 41 3 2Μ… 2Μ… NOUN iajs-2556 41 4 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 41 5 : : PUNCT iajs-2556 41 6 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 41 7 ] ] X iajs-2556 41 8 = = SYM iajs-2556 41 9 2𝑍 2𝑍 NOUN iajs-2556 41 10 . . PUNCT iajs-2556 42 1 3 3 X iajs-2556 42 2 . . X iajs-2556 42 3 if if SCONJ iajs-2556 42 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 42 5 is be AUX iajs-2556 42 6 proper proper ADJ iajs-2556 42 7 submodule submodule NOUN iajs-2556 42 8 of of ADP iajs-2556 42 9 an an DET iajs-2556 42 10 r r NOUN iajs-2556 42 11 - - PUNCT iajs-2556 42 12 module module NOUN iajs-2556 42 13 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 42 14 with with ADP iajs-2556 42 15 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 42 16 ( ( PUNCT iajs-2556 42 17 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 42 18 ) ) PUNCT iajs-2556 42 19 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 42 20 𝐻. 𝐻. PROPN iajs-2556 42 21 then then ADV iajs-2556 42 22 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 42 23 is be AUX iajs-2556 42 24 a a DET iajs-2556 42 25 wn wn NOUN iajs-2556 42 26 - - PUNCT iajs-2556 42 27 prime prime NOUN iajs-2556 42 28 if if SCONJ iajs-2556 43 1 and and CCONJ iajs-2556 43 2 only only ADV iajs-2556 43 3 if if SCONJ iajs-2556 43 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 43 5 is be AUX iajs-2556 43 6 weakly weakly ADJ iajs-2556 43 7 prime prime ADJ iajs-2556 43 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 43 9 . . PUNCT iajs-2556 44 1 4.if 4.if NUM iajs-2556 45 1 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 45 2 is be AUX iajs-2556 45 3 a a DET iajs-2556 45 4 semi semi ADJ iajs-2556 45 5 - - ADJ iajs-2556 45 6 simple simple ADJ iajs-2556 45 7 r r NOUN iajs-2556 45 8 - - PUNCT iajs-2556 45 9 module module NOUN iajs-2556 45 10 and and CCONJ iajs-2556 45 11 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 45 12 is be AUX iajs-2556 45 13 a a DET iajs-2556 45 14 proper proper ADJ iajs-2556 45 15 submodule submodule NOUN iajs-2556 45 16 of of ADP iajs-2556 45 17 π‘ˆ,then π‘ˆ,then X iajs-2556 45 18 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 45 19 is be AUX iajs-2556 45 20 a a DET iajs-2556 45 21 weakly weakly ADJ iajs-2556 45 22 prime prime NOUN iajs-2556 45 23 if if SCONJ iajs-2556 45 24 and and CCONJ iajs-2556 45 25 only only ADV iajs-2556 45 26 if if SCONJ iajs-2556 45 27 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 45 28 is be AUX iajs-2556 45 29 wn wn NOUN iajs-2556 45 30 - - PUNCT iajs-2556 45 31 prime prime ADJ iajs-2556 45 32 submodule submodule NOUN iajs-2556 45 33 of of ADP iajs-2556 45 34 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 45 35 proof proof NOUN iajs-2556 45 36 it it PRON iajs-2556 45 37 is be AUX iajs-2556 45 38 well well ADV iajs-2556 45 39 - - PUNCT iajs-2556 45 40 known know VERB iajs-2556 45 41 if if SCONJ iajs-2556 45 42 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 45 43 is be AUX iajs-2556 45 44 a a DET iajs-2556 45 45 semi semi ADJ iajs-2556 45 46 - - ADJ iajs-2556 45 47 simple simple ADJ iajs-2556 45 48 , , PUNCT iajs-2556 45 49 then then ADV iajs-2556 45 50 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 45 51 ( ( PUNCT iajs-2556 45 52 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 45 53 ) ) PUNCT iajs-2556 45 54 = = SYM iajs-2556 45 55 ( ( PUNCT iajs-2556 45 56 0 0 NUM iajs-2556 45 57 ) ) PUNCT iajs-2556 45 58 . . PUNCT iajs-2556 46 1 [ [ X iajs-2556 46 2 14 14 NUM iajs-2556 46 3 , , PUNCT iajs-2556 46 4 theo theo PROPN iajs-2556 46 5 . . PUNCT iajs-2556 47 1 ( ( PUNCT iajs-2556 47 2 9.2.1 9.2.1 NUM iajs-2556 47 3 ) ) PUNCT iajs-2556 47 4 ( ( PUNCT iajs-2556 47 5 a a NOUN iajs-2556 47 6 ) ) PUNCT iajs-2556 47 7 ] ] PUNCT iajs-2556 47 8 . . PUNCT iajs-2556 48 1 so so ADV iajs-2556 48 2 the the DET iajs-2556 48 3 proof proof NOUN iajs-2556 48 4 follows follow VERB iajs-2556 48 5 direct direct ADJ iajs-2556 48 6 . . PUNCT iajs-2556 49 1 the the DET iajs-2556 49 2 following follow VERB iajs-2556 49 3 propositions proposition NOUN iajs-2556 49 4 give give VERB iajs-2556 49 5 characterizations characterization NOUN iajs-2556 49 6 of of ADP iajs-2556 49 7 wn wn NOUN iajs-2556 49 8 - - PUNCT iajs-2556 49 9 prime prime ADJ iajs-2556 49 10 submodules submodule NOUN iajs-2556 49 11 . . PUNCT iajs-2556 50 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 50 2 ( ( PUNCT iajs-2556 50 3 2.3 2.3 NUM iajs-2556 50 4 ) ) PUNCT iajs-2556 50 5 let let VERB iajs-2556 50 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 50 7 be be AUX iajs-2556 50 8 an an DET iajs-2556 50 9 𝑅-module 𝑅-module NOUN iajs-2556 50 10 , , PUNCT iajs-2556 50 11 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 50 12 be be VERB iajs-2556 50 13 a a DET iajs-2556 50 14 submodule submodule NOUN iajs-2556 50 15 of of ADP iajs-2556 50 16 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 50 17 , , PUNCT iajs-2556 50 18 then then ADV iajs-2556 50 19 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 50 20 is be AUX iajs-2556 50 21 a a DET iajs-2556 50 22 wn wn NOUN iajs-2556 50 23 - - PUNCT iajs-2556 50 24 prime prime NOUN iajs-2556 50 25 submodule submodule NOUN iajs-2556 50 26 of of ADP iajs-2556 50 27 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 51 1 if if SCONJ iajs-2556 52 1 and and CCONJ iajs-2556 52 2 only only ADV iajs-2556 52 3 if if SCONJ iajs-2556 52 4 for for ADP iajs-2556 52 5 every every DET iajs-2556 52 6 submodule submodule NOUN iajs-2556 52 7 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 52 8 of of ADP iajs-2556 52 9 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 52 10 and and CCONJ iajs-2556 52 11 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 52 12 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 52 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 52 14 with with ADP iajs-2556 52 15 0 0 NUM iajs-2556 52 16 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 52 17 〈 〈 PROPN iajs-2556 52 18 π‘ŸβŒͺ𝐿 π‘ŸβŒͺ𝐿 PROPN iajs-2556 52 19 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 52 20 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 52 21 , , PUNCT iajs-2556 52 22 implies imply VERB iajs-2556 52 23 that that SCONJ iajs-2556 52 24 either either CCONJ iajs-2556 52 25 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 52 26 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 52 27 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 52 28 + + PROPN iajs-2556 52 29 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 52 30 ( ( PUNCT iajs-2556 52 31 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 52 32 ) ) PUNCT iajs-2556 52 33 or or CCONJ iajs-2556 52 34 〈 〈 NOUN iajs-2556 52 35 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 52 36 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 52 37 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 52 38 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 52 39 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 52 40 + + PROPN iajs-2556 52 41 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 52 42 ( ( PUNCT iajs-2556 52 43 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 52 44 ) ) PUNCT iajs-2556 52 45 . . PUNCT iajs-2556 53 1 40 40 NUM iajs-2556 53 2 ibn ibn PROPN iajs-2556 53 3 al al PROPN iajs-2556 53 4 - - PUNCT iajs-2556 53 5 haitham haitham PROPN iajs-2556 53 6 jour jour X iajs-2556 53 7 . . PROPN iajs-2556 53 8 for for ADP iajs-2556 53 9 pure pure ADJ iajs-2556 53 10 & & CCONJ iajs-2556 53 11 appl appl PROPN iajs-2556 53 12 . . PUNCT iajs-2556 54 1 sci sci PROPN iajs-2556 54 2 . . PROPN iajs-2556 55 1 34 34 NUM iajs-2556 55 2 ( ( PUNCT iajs-2556 55 3 1 1 NUM iajs-2556 55 4 ) ) PUNCT iajs-2556 55 5 2021 2021 NUM iajs-2556 55 6 proof proof NOUN iajs-2556 55 7 ( ( PUNCT iajs-2556 55 8 β‡’ β‡’ PROPN iajs-2556 55 9 ) ) PUNCT iajs-2556 55 10 suppose suppose VERB iajs-2556 55 11 that that SCONJ iajs-2556 55 12 0 0 NUM iajs-2556 55 13 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 55 14 〈 〈 PROPN iajs-2556 55 15 π‘ŸβŒͺ𝐿 π‘ŸβŒͺ𝐿 PROPN iajs-2556 55 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 55 17 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 55 18 , , PUNCT iajs-2556 55 19 for for ADP iajs-2556 55 20 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 55 21 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 55 22 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 55 23 , , PUNCT iajs-2556 55 24 and and CCONJ iajs-2556 55 25 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 55 26 is be AUX iajs-2556 55 27 a a DET iajs-2556 55 28 submodule submodule NOUN iajs-2556 55 29 of of ADP iajs-2556 55 30 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 31 , , PUNCT iajs-2556 55 32 with with ADP iajs-2556 55 33 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 55 34 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2556 55 35 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 55 36 + + PROPN iajs-2556 55 37 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 55 38 ( ( PUNCT iajs-2556 55 39 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 40 ) ) PUNCT iajs-2556 55 41 , , PUNCT iajs-2556 55 42 then then ADV iajs-2556 55 43 𝑙 𝑙 PROPN iajs-2556 55 44 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 55 45 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 55 46 + + PROPN iajs-2556 55 47 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 55 48 ( ( PUNCT iajs-2556 55 49 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 50 ) ) PUNCT iajs-2556 55 51 for for ADP iajs-2556 55 52 some some DET iajs-2556 55 53 non non ADJ iajs-2556 55 54 - - ADJ iajs-2556 55 55 zero zero NUM iajs-2556 55 56 element element NOUN iajs-2556 55 57 𝑙 𝑙 X iajs-2556 55 58 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 55 59 𝐿. 𝐿. VERB iajs-2556 55 60 now now ADV iajs-2556 55 61 0 0 NUM iajs-2556 55 62 β‰  β‰  NOUN iajs-2556 55 63 π‘Ÿπ‘™ π‘Ÿπ‘™ PRON iajs-2556 55 64 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 55 65 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 55 66 , , PUNCT iajs-2556 55 67 then then ADV iajs-2556 55 68 since since SCONJ iajs-2556 55 69 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 55 70 is be AUX iajs-2556 55 71 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 55 72 submodule submodule NOUN iajs-2556 55 73 of of ADP iajs-2556 55 74 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 75 , , PUNCT iajs-2556 55 76 and and CCONJ iajs-2556 55 77 𝑙 𝑙 NUM iajs-2556 55 78 βˆ‰ βˆ‰ ADJ iajs-2556 55 79 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 55 80 + + PROPN iajs-2556 55 81 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 55 82 ( ( PUNCT iajs-2556 55 83 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 84 ) ) PUNCT iajs-2556 55 85 , , PUNCT iajs-2556 55 86 then then ADV iajs-2556 55 87 we we PRON iajs-2556 55 88 have have VERB iajs-2556 55 89 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 55 90 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 55 91 [ [ X iajs-2556 55 92 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 55 93 + + PROPN iajs-2556 55 94 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 55 95 ( ( PUNCT iajs-2556 55 96 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 97 ): ): PUNCT iajs-2556 55 98 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 99 ] ] PUNCT iajs-2556 55 100 , , PUNCT iajs-2556 55 101 it it PRON iajs-2556 55 102 follows follow VERB iajs-2556 55 103 that that SCONJ iajs-2556 55 104 〈 〈 PROPN iajs-2556 55 105 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 55 106 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 55 107 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 55 108 [ [ X iajs-2556 55 109 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 55 110 + + PROPN iajs-2556 55 111 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 55 112 ( ( PUNCT iajs-2556 55 113 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 114 ): ): PUNCT iajs-2556 55 115 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 55 116 ] ] PUNCT iajs-2556 55 117 . . PUNCT iajs-2556 56 1 that that PRON iajs-2556 56 2 is be AUX iajs-2556 56 3 〈 〈 NOUN iajs-2556 56 4 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 56 5 βŒͺ βŒͺ ADJ iajs-2556 56 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 56 7 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 56 8 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 56 9 + + PROPN iajs-2556 56 10 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 56 11 ( ( PUNCT iajs-2556 56 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 56 13 ) ) PUNCT iajs-2556 56 14 ( ( PUNCT iajs-2556 56 15 ⇐ ⇐ PROPN iajs-2556 56 16 ) ) PUNCT iajs-2556 56 17 let let VERB iajs-2556 56 18 0 0 NUM iajs-2556 56 19 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 56 20 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ PRON iajs-2556 56 21 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 56 22 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 56 23 , , PUNCT iajs-2556 56 24 for for ADP iajs-2556 56 25 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 56 26 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 56 27 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 56 28 , , PUNCT iajs-2556 56 29 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 56 30 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 56 31 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 56 32 , , PUNCT iajs-2556 56 33 it it PRON iajs-2556 56 34 follows follow VERB iajs-2556 56 35 that that SCONJ iajs-2556 57 1 0 0 NUM iajs-2556 57 2 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 57 3 〈 〈 PROPN iajs-2556 57 4 π‘ŸβŒͺβŒ©π‘’ π‘ŸβŒͺβŒ©π‘’ ADJ iajs-2556 57 5 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 57 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 57 7 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 57 8 , , PUNCT iajs-2556 57 9 so so ADV iajs-2556 57 10 by by ADP iajs-2556 57 11 hypothesis hypothesis NOUN iajs-2556 57 12 either either CCONJ iajs-2556 57 13 〈 〈 NOUN iajs-2556 57 14 𝑒 𝑒 X iajs-2556 57 15 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 57 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 57 17 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 57 18 + + PROPN iajs-2556 57 19 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 57 20 ( ( PUNCT iajs-2556 57 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 57 22 ) ) PUNCT iajs-2556 57 23 or or CCONJ iajs-2556 57 24 〈 〈 NOUN iajs-2556 57 25 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 57 26 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 57 27 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 57 28 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 57 29 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 57 30 + + PROPN iajs-2556 57 31 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 57 32 ( ( PUNCT iajs-2556 57 33 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 57 34 ) ) PUNCT iajs-2556 57 35 . . PUNCT iajs-2556 58 1 that that PRON iajs-2556 58 2 is be AUX iajs-2556 58 3 either either CCONJ iajs-2556 58 4 𝑒 𝑒 PRON iajs-2556 58 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 58 6 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 58 7 + + PROPN iajs-2556 58 8 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 58 9 ( ( PUNCT iajs-2556 58 10 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 58 11 ) ) PUNCT iajs-2556 58 12 or or CCONJ iajs-2556 58 13 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 58 14 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 58 15 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 58 16 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 58 17 + + PROPN iajs-2556 58 18 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 58 19 ( ( PUNCT iajs-2556 58 20 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 58 21 ) ) PUNCT iajs-2556 58 22 . . PUNCT iajs-2556 59 1 hence hence ADV iajs-2556 59 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 59 3 is be AUX iajs-2556 59 4 a a DET iajs-2556 59 5 wn wn NOUN iajs-2556 59 6 - - PUNCT iajs-2556 59 7 prime prime NOUN iajs-2556 59 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 59 9 of of ADP iajs-2556 59 10 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 59 11 as as ADP iajs-2556 59 12 direct direct ADJ iajs-2556 59 13 result result NOUN iajs-2556 59 14 of of ADP iajs-2556 59 15 proposition proposition NOUN iajs-2556 59 16 ( ( PUNCT iajs-2556 59 17 2.3 2.3 NUM iajs-2556 59 18 ) ) PUNCT iajs-2556 59 19 we we PRON iajs-2556 59 20 get get VERB iajs-2556 59 21 the the DET iajs-2556 59 22 following follow VERB iajs-2556 59 23 corollary corollary NOUN iajs-2556 59 24 . . PUNCT iajs-2556 60 1 corollary corollary ADJ iajs-2556 60 2 ( ( PUNCT iajs-2556 60 3 2.4 2.4 NUM iajs-2556 60 4 ) ) PUNCT iajs-2556 60 5 a a DET iajs-2556 60 6 proper proper ADJ iajs-2556 60 7 submodule submodule NOUN iajs-2556 60 8 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 60 9 of of ADP iajs-2556 60 10 an an DET iajs-2556 60 11 r r NOUN iajs-2556 60 12 - - PUNCT iajs-2556 60 13 module module NOUN iajs-2556 60 14 Ε³ Ε³ NOUN iajs-2556 60 15 is be AUX iajs-2556 60 16 wn wn NOUN iajs-2556 60 17 - - PUNCT iajs-2556 60 18 prime prime NOUN iajs-2556 60 19 if if SCONJ iajs-2556 61 1 and and CCONJ iajs-2556 61 2 only only ADV iajs-2556 61 3 if if SCONJ iajs-2556 61 4 for for ADP iajs-2556 61 5 every every DET iajs-2556 61 6 submodule submodule NOUN iajs-2556 61 7 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 61 8 of of ADP iajs-2556 61 9 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 61 10 and and CCONJ iajs-2556 61 11 every every DET iajs-2556 61 12 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 61 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 61 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 61 15 such such ADJ iajs-2556 61 16 that that DET iajs-2556 61 17 0 0 NUM iajs-2556 62 1 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 62 2 π‘ŸπΎ π‘ŸπΎ ADJ iajs-2556 62 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 62 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 62 5 , , PUNCT iajs-2556 62 6 implies imply VERB iajs-2556 62 7 that that SCONJ iajs-2556 62 8 either either CCONJ iajs-2556 62 9 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 62 10 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 62 11 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 62 12 + + PROPN iajs-2556 62 13 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 62 14 ( ( PUNCT iajs-2556 62 15 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 62 16 ) ) PUNCT iajs-2556 62 17 or or CCONJ iajs-2556 62 18 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 62 19 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 62 20 [ [ X iajs-2556 62 21 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 62 22 + + PROPN iajs-2556 62 23 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 62 24 ( ( PUNCT iajs-2556 62 25 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 62 26 ) ) PUNCT iajs-2556 62 27 ∢ ∢ PROPN iajs-2556 62 28 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 62 29 ] ] PUNCT iajs-2556 62 30 . . PUNCT iajs-2556 63 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 63 2 ( ( PUNCT iajs-2556 63 3 2.5 2.5 NUM iajs-2556 63 4 ) ) PUNCT iajs-2556 63 5 let let VERB iajs-2556 63 6 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 63 7 be be AUX iajs-2556 63 8 proper proper ADJ iajs-2556 63 9 submodule submodule NOUN iajs-2556 63 10 of of ADP iajs-2556 63 11 r r NOUN iajs-2556 63 12 - - PUNCT iajs-2556 63 13 module module NOUN iajs-2556 63 14 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 63 15 , , PUNCT iajs-2556 63 16 then then ADV iajs-2556 63 17 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 63 18 is be AUX iajs-2556 63 19 wn wn NOUN iajs-2556 63 20 - - PUNCT iajs-2556 63 21 prime prime ADJ iajs-2556 63 22 submodule submodule NOUN iajs-2556 63 23 of of ADP iajs-2556 63 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 63 25 if if SCONJ iajs-2556 63 26 and and CCONJ iajs-2556 63 27 , , PUNCT iajs-2556 63 28 only only ADV iajs-2556 63 29 if if SCONJ iajs-2556 63 30 [ [ X iajs-2556 63 31 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 NOUN iajs-2556 63 32 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 63 33 ] ] X iajs-2556 63 34 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 63 35 [ [ X iajs-2556 63 36 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 63 37 + + PROPN iajs-2556 63 38 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 63 39 ( ( PUNCT iajs-2556 63 40 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 63 41 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 63 42 ] ] PUNCT iajs-2556 63 43 βˆͺ βˆͺ NOUN iajs-2556 63 44 [ [ X iajs-2556 63 45 0:𝑅 0:𝑅 NOUN iajs-2556 63 46 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 63 47 ] ] X iajs-2556 63 48 for for ADP iajs-2556 63 49 all all PRON iajs-2556 63 50 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2556 63 51 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 63 52 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 63 53 and and CCONJ iajs-2556 63 54 π‘₯ π‘₯ PROPN iajs-2556 63 55 βˆ‰ βˆ‰ ADJ iajs-2556 63 56 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 63 57 + + PROPN iajs-2556 63 58 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 63 59 ( ( PUNCT iajs-2556 63 60 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 63 61 ) ) PUNCT iajs-2556 63 62 . . PUNCT iajs-2556 64 1 proof proof NOUN iajs-2556 64 2 ( ( PUNCT iajs-2556 64 3 β‡’ β‡’ PROPN iajs-2556 64 4 ) ) PUNCT iajs-2556 64 5 let let VERB iajs-2556 64 6 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 64 7 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 65 1 [ [ X iajs-2556 65 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 NOUN iajs-2556 65 3 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 65 4 ] ] X iajs-2556 65 5 and and CCONJ iajs-2556 65 6 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 65 7 βˆ‰ βˆ‰ ADJ iajs-2556 65 8 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 65 9 + + PROPN iajs-2556 65 10 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 65 11 ( ( PUNCT iajs-2556 65 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 65 13 ) ) PUNCT iajs-2556 65 14 , , PUNCT iajs-2556 65 15 then then ADV iajs-2556 65 16 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ ADP iajs-2556 65 17 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 65 18 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 65 19 .if .if PUNCT iajs-2556 65 20 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ ADP iajs-2556 65 21 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 65 22 0 0 NUM iajs-2556 65 23 , , PUNCT iajs-2556 65 24 and and CCONJ iajs-2556 65 25 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 65 26 is be AUX iajs-2556 65 27 a a DET iajs-2556 65 28 wn wn NOUN iajs-2556 65 29 - - PUNCT iajs-2556 65 30 prime prime NOUN iajs-2556 65 31 submodule submodule NOUN iajs-2556 65 32 of of ADP iajs-2556 65 33 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 65 34 and and CCONJ iajs-2556 65 35 π‘₯ π‘₯ PROPN iajs-2556 65 36 βˆ‰ βˆ‰ ADJ iajs-2556 65 37 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 65 38 + + PROPN iajs-2556 65 39 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 65 40 ( ( PUNCT iajs-2556 65 41 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 65 42 ) ) PUNCT iajs-2556 65 43 , , PUNCT iajs-2556 65 44 hence hence ADV iajs-2556 65 45 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 65 46 ∈ ∈ PRON iajs-2556 66 1 [ [ X iajs-2556 66 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 66 3 + + PROPN iajs-2556 66 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 66 5 ( ( PUNCT iajs-2556 66 6 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 66 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 66 8 ] ] PUNCT iajs-2556 66 9 . . PUNCT iajs-2556 67 1 if if SCONJ iajs-2556 67 2 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2556 67 3 = = SYM iajs-2556 67 4 0 0 NUM iajs-2556 67 5 , , PUNCT iajs-2556 67 6 then then ADV iajs-2556 67 7 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 67 8 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 68 1 [ [ X iajs-2556 68 2 0:𝑅 0:𝑅 NOUN iajs-2556 68 3 π‘₯].thus π‘₯].thus ADV iajs-2556 68 4 π‘Ÿ π‘Ÿ SYM iajs-2556 68 5 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 68 6 [ [ X iajs-2556 68 7 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 68 8 + + PROPN iajs-2556 68 9 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 68 10 ( ( PUNCT iajs-2556 68 11 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 68 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 68 13 ] ] PUNCT iajs-2556 68 14 βˆͺ βˆͺ NOUN iajs-2556 68 15 [ [ X iajs-2556 68 16 0:𝑅 0:𝑅 NOUN iajs-2556 68 17 π‘₯].hence π‘₯].hence NOUN iajs-2556 69 1 [ [ X iajs-2556 69 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 69 3 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 69 4 ] ] X iajs-2556 69 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 69 6 [ [ X iajs-2556 69 7 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 69 8 + + PROPN iajs-2556 69 9 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 69 10 ( ( PUNCT iajs-2556 69 11 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 69 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 69 13 ] ] PUNCT iajs-2556 69 14 βˆͺ βˆͺ NOUN iajs-2556 69 15 [ [ X iajs-2556 69 16 0:𝑅 0:𝑅 NOUN iajs-2556 69 17 π‘₯ π‘₯ NOUN iajs-2556 69 18 ] ] X iajs-2556 69 19 . . PUNCT iajs-2556 70 1 ( ( PUNCT iajs-2556 70 2 ⇐ ⇐ PROPN iajs-2556 70 3 ) ) PUNCT iajs-2556 70 4 let let VERB iajs-2556 70 5 0 0 NUM iajs-2556 70 6 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 70 7 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2556 70 8 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 70 9 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 70 10 for for ADP iajs-2556 70 11 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 70 12 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 70 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 70 14 , , PUNCT iajs-2556 70 15 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 70 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 70 17 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 70 18 , , PUNCT iajs-2556 70 19 with with ADP iajs-2556 70 20 π‘₯ π‘₯ PROPN iajs-2556 70 21 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 70 22 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 70 23 + + PROPN iajs-2556 70 24 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 70 25 ( ( PUNCT iajs-2556 70 26 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 70 27 ) ) PUNCT iajs-2556 70 28 , , PUNCT iajs-2556 70 29 then then ADV iajs-2556 70 30 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 70 31 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 71 1 [ [ X iajs-2556 71 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 71 3 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 71 4 ] ] X iajs-2556 71 5 , , PUNCT iajs-2556 71 6 by by ADP iajs-2556 71 7 hypothesis hypothesis NOUN iajs-2556 71 8 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 71 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 71 10 [ [ X iajs-2556 71 11 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 71 12 + + PROPN iajs-2556 71 13 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 71 14 ( ( PUNCT iajs-2556 71 15 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 71 16 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 71 17 ] ] PUNCT iajs-2556 71 18 βˆͺ βˆͺ NOUN iajs-2556 71 19 [ [ X iajs-2556 71 20 0:𝑅 0:𝑅 NOUN iajs-2556 71 21 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 71 22 ] ] X iajs-2556 71 23 , , PUNCT iajs-2556 71 24 but but CCONJ iajs-2556 71 25 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ ADP iajs-2556 71 26 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 71 27 0 0 NUM iajs-2556 71 28 . . PUNCT iajs-2556 72 1 thus thus ADV iajs-2556 72 2 , , PUNCT iajs-2556 72 3 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 72 4 ∈ ∈ X iajs-2556 73 1 [ [ X iajs-2556 73 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 73 3 + + PROPN iajs-2556 73 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 73 5 ( ( PUNCT iajs-2556 73 6 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 73 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 73 8 ] ] PUNCT iajs-2556 73 9 and and CCONJ iajs-2556 73 10 hence hence ADV iajs-2556 73 11 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 73 12 is be AUX iajs-2556 73 13 a a DET iajs-2556 73 14 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 73 15 submodule submodule NOUN iajs-2556 73 16 of of ADP iajs-2556 73 17 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 73 18 . . PUNCT iajs-2556 74 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 74 2 ( ( PUNCT iajs-2556 74 3 2.6 2.6 NUM iajs-2556 74 4 ) ) PUNCT iajs-2556 74 5 let let VERB iajs-2556 74 6 h h NOUN iajs-2556 74 7 be be AUX iajs-2556 74 8 a a DET iajs-2556 74 9 proper proper ADJ iajs-2556 74 10 submodule submodule NOUN iajs-2556 74 11 of of ADP iajs-2556 74 12 an an DET iajs-2556 74 13 r r NOUN iajs-2556 74 14 - - PUNCT iajs-2556 74 15 module module NOUN iajs-2556 74 16 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 74 17 with with ADP iajs-2556 74 18 [ [ PUNCT iajs-2556 74 19 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 74 20 + + PROPN iajs-2556 74 21 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 74 22 ( ( PUNCT iajs-2556 74 23 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 PROPN iajs-2556 74 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 74 25 ] ] PUNCT iajs-2556 74 26 is be AUX iajs-2556 74 27 a a DET iajs-2556 74 28 maximal maximal ADJ iajs-2556 74 29 ideal ideal NOUN iajs-2556 74 30 of of ADP iajs-2556 74 31 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 74 32 , , PUNCT iajs-2556 74 33 then then ADV iajs-2556 74 34 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 74 35 is be AUX iajs-2556 74 36 a a DET iajs-2556 74 37 wn wn NOUN iajs-2556 74 38 - - PUNCT iajs-2556 74 39 prime prime NOUN iajs-2556 74 40 submodule submodule NOUN iajs-2556 74 41 of of ADP iajs-2556 74 42 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 74 43 proof proof NOUN iajs-2556 74 44 suppose suppose VERB iajs-2556 74 45 that that SCONJ iajs-2556 74 46 0 0 NUM iajs-2556 74 47 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 74 48 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 74 49 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 74 50 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 74 51 , , PUNCT iajs-2556 74 52 with with ADP iajs-2556 74 53 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 74 54 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 74 55 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 74 56 , , PUNCT iajs-2556 74 57 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 74 58 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 74 59 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 74 60 and and CCONJ iajs-2556 74 61 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 74 62 π‘ˆ π‘ˆ NOUN iajs-2556 74 63 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2556 74 64 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 74 65 + + PROPN iajs-2556 74 66 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 74 67 ( ( PUNCT iajs-2556 74 68 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 74 69 ) ) PUNCT iajs-2556 74 70 . . PUNCT iajs-2556 75 1 that that PRON iajs-2556 75 2 is be AUX iajs-2556 75 3 , , PUNCT iajs-2556 75 4 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 75 5 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 76 1 [ [ X iajs-2556 76 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 76 3 + + PROPN iajs-2556 76 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 76 5 ( ( PUNCT iajs-2556 76 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 76 7 ): ): PUNCT iajs-2556 76 8 π‘ˆ],but π‘ˆ],but PROPN iajs-2556 76 9 [ [ X iajs-2556 76 10 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 76 11 + + PROPN iajs-2556 76 12 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 76 13 ( ( PUNCT iajs-2556 76 14 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 76 15 ): ): PUNCT iajs-2556 76 16 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 76 17 ] ] PUNCT iajs-2556 76 18 is be AUX iajs-2556 76 19 maximal maximal ADJ iajs-2556 76 20 , , PUNCT iajs-2556 76 21 then then ADV iajs-2556 76 22 by by ADP iajs-2556 76 23 [ [ X iajs-2556 76 24 11,th 11,th NUM iajs-2556 76 25 . . NOUN iajs-2556 76 26 5.1 5.1 NUM iajs-2556 76 27 ] ] PUNCT iajs-2556 76 28 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 76 29 = = PUNCT iajs-2556 76 30 〈 〈 PROPN iajs-2556 76 31 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 76 32 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 77 1 + + X iajs-2556 78 1 [ [ X iajs-2556 78 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 78 3 + + PROPN iajs-2556 78 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 78 5 ( ( PUNCT iajs-2556 78 6 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 78 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 78 8 ] ] PUNCT iajs-2556 78 9 . . PUNCT iajs-2556 79 1 it it PRON iajs-2556 79 2 follows follow VERB iajs-2556 79 3 that that SCONJ iajs-2556 79 4 1 1 NUM iajs-2556 79 5 = = SYM iajs-2556 79 6 π‘Žπ‘Ÿ π‘Žπ‘Ÿ NOUN iajs-2556 79 7 + + CCONJ iajs-2556 79 8 𝑏 𝑏 NOUN iajs-2556 79 9 , , PUNCT iajs-2556 79 10 for for ADP iajs-2556 79 11 some some DET iajs-2556 79 12 π‘Ž π‘Ž PRON iajs-2556 79 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 79 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 79 15 , , PUNCT iajs-2556 79 16 𝑏 𝑏 PROPN iajs-2556 79 17 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 79 18 [ [ X iajs-2556 79 19 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 79 20 + + PROPN iajs-2556 79 21 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 79 22 ( ( PUNCT iajs-2556 79 23 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 79 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 79 25 ] ] PUNCT iajs-2556 79 26 . . PUNCT iajs-2556 80 1 hence hence ADV iajs-2556 80 2 , , PUNCT iajs-2556 80 3 𝑒 𝑒 X iajs-2556 80 4 = = X iajs-2556 80 5 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘Žπ‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 81 1 + + CCONJ iajs-2556 81 2 𝑏𝑒 𝑏𝑒 ADP iajs-2556 81 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 81 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 81 5 + + PROPN iajs-2556 81 6 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 81 7 ( ( PUNCT iajs-2556 81 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 81 9 ) ) PUNCT iajs-2556 81 10 . . PUNCT iajs-2556 82 1 hence hence ADV iajs-2556 82 2 , , PUNCT iajs-2556 82 3 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 82 4 is be AUX iajs-2556 82 5 a a DET iajs-2556 82 6 wn wn NOUN iajs-2556 82 7 - - PUNCT iajs-2556 82 8 prime prime NOUN iajs-2556 82 9 submodule submodule NOUN iajs-2556 82 10 of of ADP iajs-2556 82 11 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 82 12 proposition proposition NOUN iajs-2556 82 13 ( ( PUNCT iajs-2556 82 14 2.7 2.7 NUM iajs-2556 82 15 ) ) PUNCT iajs-2556 82 16 let let VERB iajs-2556 82 17 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 82 18 be be AUX iajs-2556 82 19 a a DET iajs-2556 82 20 proper proper ADJ iajs-2556 82 21 submodule submodule NOUN iajs-2556 82 22 of of ADP iajs-2556 82 23 an an DET iajs-2556 82 24 r r NOUN iajs-2556 82 25 - - PUNCT iajs-2556 82 26 module module NOUN iajs-2556 82 27 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 82 28 with with ADP iajs-2556 82 29 [ [ X iajs-2556 82 30 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PROPN iajs-2556 82 31 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 82 32 ] ] PUNCT iajs-2556 82 33 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2556 83 1 [ [ X iajs-2556 83 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 83 3 + + CCONJ iajs-2556 83 4 𝙹(𝘜):𝑅 𝙹(𝘜):𝑅 PROPN iajs-2556 83 5 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 83 6 ] ] PUNCT iajs-2556 83 7 and and CCONJ iajs-2556 83 8 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 83 9 + + CCONJ iajs-2556 83 10 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NOUN iajs-2556 83 11 ) ) PUNCT iajs-2556 83 12 is be AUX iajs-2556 83 13 a a DET iajs-2556 83 14 proper proper ADJ iajs-2556 83 15 submodule submodule NOUN iajs-2556 83 16 of of ADP iajs-2556 83 17 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 83 18 for for ADP iajs-2556 83 19 each each DET iajs-2556 83 20 submodule submodule NOUN iajs-2556 83 21 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 83 22 of of ADP iajs-2556 83 23 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 83 24 .if .if PUNCT iajs-2556 84 1 [ [ X iajs-2556 84 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 84 3 + + CCONJ iajs-2556 84 4 𝙹(𝘜):𝑅 𝙹(𝘜):𝑅 PROPN iajs-2556 84 5 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 84 6 ] ] PUNCT iajs-2556 84 7 is be AUX iajs-2556 84 8 a a DET iajs-2556 84 9 prime prime ADJ iajs-2556 84 10 ideal ideal NOUN iajs-2556 84 11 of of ADP iajs-2556 84 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 84 13 , , PUNCT iajs-2556 84 14 then then ADV iajs-2556 84 15 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 84 16 is be AUX iajs-2556 84 17 a a DET iajs-2556 84 18 wn wn NOUN iajs-2556 84 19 - - PUNCT iajs-2556 84 20 prime prime NOUN iajs-2556 84 21 submodule submodule NOUN iajs-2556 84 22 of of ADP iajs-2556 84 23 𝘜. 𝘜. PROPN iajs-2556 84 24 41 41 NUM iajs-2556 84 25 ibn ibn PROPN iajs-2556 84 26 al al PROPN iajs-2556 84 27 - - PUNCT iajs-2556 84 28 haitham haitham PROPN iajs-2556 84 29 jour jour X iajs-2556 84 30 . . PROPN iajs-2556 84 31 for for ADP iajs-2556 84 32 pure pure ADJ iajs-2556 84 33 & & CCONJ iajs-2556 84 34 appl appl PROPN iajs-2556 84 35 . . PUNCT iajs-2556 85 1 sci sci PROPN iajs-2556 85 2 . . PROPN iajs-2556 86 1 34 34 NUM iajs-2556 86 2 ( ( PUNCT iajs-2556 86 3 1 1 NUM iajs-2556 86 4 ) ) PUNCT iajs-2556 86 5 2021 2021 NUM iajs-2556 86 6 proof proof NOUN iajs-2556 86 7 assume assume VERB iajs-2556 86 8 that that SCONJ iajs-2556 86 9 0 0 NUM iajs-2556 86 10 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 86 11 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 86 12 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 86 13 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 86 14 , , PUNCT iajs-2556 86 15 for for ADP iajs-2556 86 16 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 86 17 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 86 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 86 19 , , PUNCT iajs-2556 86 20 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 86 21 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 86 22 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 86 23 and and CCONJ iajs-2556 86 24 𝑒 𝑒 X iajs-2556 87 1 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 87 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 87 3 + + X iajs-2556 87 4 𝙹(𝘜).we 𝙹(𝘜).we VERB iajs-2556 87 5 have have VERB iajs-2556 87 6 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 87 7 + + X iajs-2556 87 8 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 ADJ iajs-2556 87 9 ) ) PUNCT iajs-2556 87 10 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2556 88 1 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 88 2 + + CCONJ iajs-2556 88 3 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 ADJ iajs-2556 88 4 ) ) PUNCT iajs-2556 88 5 + + NUM iajs-2556 88 6 〈 〈 NOUN iajs-2556 88 7 𝑒 𝑒 X iajs-2556 88 8 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 88 9 , , PUNCT iajs-2556 88 10 put put VERB iajs-2556 88 11 𝐿 𝐿 NOUN iajs-2556 88 12 = = SYM iajs-2556 88 13 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 88 14 + + CCONJ iajs-2556 88 15 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 ADJ iajs-2556 88 16 ) ) PUNCT iajs-2556 89 1 + + NUM iajs-2556 89 2 〈 〈 NOUN iajs-2556 89 3 𝑒 𝑒 X iajs-2556 89 4 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 89 5 = = SYM iajs-2556 89 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 89 7 , , PUNCT iajs-2556 89 8 then then ADV iajs-2556 89 9 [ [ X iajs-2556 89 10 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PROPN iajs-2556 89 11 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 89 12 ] ] PUNCT iajs-2556 89 13 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2556 90 1 [ [ X iajs-2556 90 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 90 3 + + CCONJ iajs-2556 90 4 𝙹(𝘜):𝑅 𝙹(𝘜):𝑅 PROPN iajs-2556 90 5 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 90 6 ] ] PUNCT iajs-2556 90 7 . . PUNCT iajs-2556 91 1 that that PRON iajs-2556 91 2 is be AUX iajs-2556 91 3 there there ADV iajs-2556 91 4 exist exist VERB iajs-2556 92 1 π‘Ž π‘Ž PRON iajs-2556 92 2 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 92 3 [ [ X iajs-2556 92 4 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PROPN iajs-2556 92 5 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 92 6 ] ] PUNCT iajs-2556 92 7 and and CCONJ iajs-2556 92 8 π‘Ž π‘Ž DET iajs-2556 92 9 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 92 10 [ [ X iajs-2556 92 11 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 92 12 + + CCONJ iajs-2556 92 13 𝙹(𝘜):𝑅 𝙹(𝘜):𝑅 PROPN iajs-2556 92 14 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 92 15 ] ] PUNCT iajs-2556 92 16 . . PUNCT iajs-2556 93 1 it it PRON iajs-2556 93 2 follows follow VERB iajs-2556 93 3 that that SCONJ iajs-2556 93 4 π‘Žπ˜œ π‘Žπ˜œ PROPN iajs-2556 93 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 93 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 93 7 but but CCONJ iajs-2556 93 8 π‘Žπ˜œ π‘Žπ˜œ NOUN iajs-2556 93 9 ⊈ ⊈ PUNCT iajs-2556 94 1 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 94 2 + + X iajs-2556 94 3 π™Ήπ˜œ. π™Ήπ˜œ. ADP iajs-2556 94 4 π‘Žπ˜œ π‘Žπ˜œ PROPN iajs-2556 94 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 94 6 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 94 7 , , PUNCT iajs-2556 94 8 implies imply VERB iajs-2556 94 9 that that SCONJ iajs-2556 94 10 π‘Ÿπ‘Žπ˜œ π‘Ÿπ‘Žπ˜œ PROPN iajs-2556 94 11 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 94 12 π‘ŸπΏ π‘ŸπΏ NOUN iajs-2556 94 13 = = SYM iajs-2556 94 14 π‘Ÿ(𝐻 π‘Ÿ(𝐻 X iajs-2556 94 15 + + CCONJ iajs-2556 94 16 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 94 17 ) ) PUNCT iajs-2556 94 18 + + NUM iajs-2556 94 19 〈 〈 ADV iajs-2556 94 20 𝑒 𝑒 X iajs-2556 94 21 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 94 22 ) ) PUNCT iajs-2556 94 23 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 94 24 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 94 25 + + CCONJ iajs-2556 94 26 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 94 27 ) ) PUNCT iajs-2556 94 28 , , PUNCT iajs-2556 94 29 that that PRON iajs-2556 94 30 is be AUX iajs-2556 94 31 π‘Ÿπ‘Ž π‘Ÿπ‘Ž PRON iajs-2556 94 32 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 94 33 [ [ X iajs-2556 94 34 𝐻 𝐻 NOUN iajs-2556 94 35 + + CCONJ iajs-2556 94 36 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 ADJ iajs-2556 94 37 ): ): PUNCT iajs-2556 94 38 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 94 39 ] ] PUNCT iajs-2556 94 40 . . PUNCT iajs-2556 95 1 but but CCONJ iajs-2556 95 2 [ [ X iajs-2556 95 3 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 95 4 + + CCONJ iajs-2556 95 5 𝙹(𝘜):𝑅 𝙹(𝘜):𝑅 PROPN iajs-2556 95 6 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 95 7 ] ] PUNCT iajs-2556 95 8 is be AUX iajs-2556 95 9 a a DET iajs-2556 95 10 prime prime ADJ iajs-2556 95 11 ideal ideal NOUN iajs-2556 95 12 of of ADP iajs-2556 95 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 95 14 and and CCONJ iajs-2556 95 15 π‘Ž π‘Ž NOUN iajs-2556 95 16 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 96 1 [ [ X iajs-2556 96 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 96 3 + + CCONJ iajs-2556 96 4 𝙹(𝘜):𝑅 𝙹(𝘜):𝑅 PROPN iajs-2556 96 5 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 96 6 ] ] PUNCT iajs-2556 96 7 then then ADV iajs-2556 96 8 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 96 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 96 10 [ [ X iajs-2556 96 11 𝐻 𝐻 NOUN iajs-2556 96 12 + + CCONJ iajs-2556 96 13 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 X iajs-2556 96 14 ) ) PUNCT iajs-2556 96 15 ∢ ∢ NOUN iajs-2556 96 16 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 96 17 ] ] PUNCT iajs-2556 96 18 . . PUNCT iajs-2556 97 1 thus thus ADV iajs-2556 97 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 97 3 is be AUX iajs-2556 97 4 a a DET iajs-2556 97 5 wn wn NOUN iajs-2556 97 6 - - PUNCT iajs-2556 97 7 prime prime NOUN iajs-2556 97 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 97 9 of of ADP iajs-2556 97 10 𝘜. 𝘜. PROPN iajs-2556 97 11 it it PRON iajs-2556 97 12 is be AUX iajs-2556 97 13 well well ADV iajs-2556 97 14 - - PUNCT iajs-2556 97 15 known know VERB iajs-2556 97 16 that that SCONJ iajs-2556 97 17 if if SCONJ iajs-2556 97 18 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 97 19 is be AUX iajs-2556 97 20 a a DET iajs-2556 97 21 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 97 22 r r NOUN iajs-2556 97 23 - - PUNCT iajs-2556 97 24 module module NOUN iajs-2556 97 25 and and CCONJ iajs-2556 97 26 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 97 27 is be AUX iajs-2556 97 28 a a DET iajs-2556 97 29 proper proper ADJ iajs-2556 97 30 submodule submodule NOUN iajs-2556 97 31 of of ADP iajs-2556 97 32 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 97 33 , , PUNCT iajs-2556 97 34 then then ADV iajs-2556 97 35 [ [ X iajs-2556 97 36 𝐿:𝑅 𝐿:𝑅 PROPN iajs-2556 97 37 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 97 38 ] ] PUNCT iajs-2556 97 39 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2556 98 1 [ [ X iajs-2556 98 2 𝐻 𝐻 NOUN iajs-2556 98 3 : : PUNCT iajs-2556 98 4 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 98 5 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 98 6 ] ] PUNCT iajs-2556 98 7 for for ADP iajs-2556 98 8 each each DET iajs-2556 98 9 submodule submodule NOUN iajs-2556 98 10 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 98 11 of of ADP iajs-2556 98 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 98 13 with with ADP iajs-2556 98 14 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 98 15 ⊈ ⊈ PROPN iajs-2556 98 16 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 98 17 [ [ X iajs-2556 98 18 12 12 NUM iajs-2556 98 19 , , PUNCT iajs-2556 98 20 rem rem X iajs-2556 98 21 . . X iajs-2556 98 22 ( ( PUNCT iajs-2556 98 23 2.15 2.15 NUM iajs-2556 98 24 ) ) PUNCT iajs-2556 98 25 ] ] PUNCT iajs-2556 98 26 . . PUNCT iajs-2556 99 1 corollary corollary ADJ iajs-2556 99 2 ( ( PUNCT iajs-2556 99 3 2.8 2.8 NUM iajs-2556 99 4 ) ) PUNCT iajs-2556 99 5 let let VERB iajs-2556 99 6 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 99 7 be be AUX iajs-2556 99 8 a a DET iajs-2556 99 9 proper proper ADJ iajs-2556 99 10 submodule submodule NOUN iajs-2556 99 11 of of ADP iajs-2556 99 12 a a DET iajs-2556 99 13 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 99 14 r r NOUN iajs-2556 99 15 - - PUNCT iajs-2556 99 16 module module NOUN iajs-2556 99 17 π‘ˆ,then π‘ˆ,then X iajs-2556 99 18 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 99 19 is be AUX iajs-2556 99 20 a a DET iajs-2556 99 21 wn wn NOUN iajs-2556 99 22 - - PUNCT iajs-2556 99 23 prime prime NOUN iajs-2556 99 24 submodule submodule NOUN iajs-2556 99 25 of of ADP iajs-2556 99 26 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 99 27 , , PUNCT iajs-2556 99 28 if if SCONJ iajs-2556 99 29 [ [ X iajs-2556 99 30 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 99 31 + + PROPN iajs-2556 99 32 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 99 33 ( ( PUNCT iajs-2556 99 34 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 PROPN iajs-2556 99 35 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 99 36 ] ] PUNCT iajs-2556 99 37 is be AUX iajs-2556 99 38 a a DET iajs-2556 99 39 prime prime ADJ iajs-2556 99 40 ideal ideal NOUN iajs-2556 99 41 of of ADP iajs-2556 99 42 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 99 43 and and CCONJ iajs-2556 99 44 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 99 45 + + PROPN iajs-2556 99 46 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 99 47 ( ( PUNCT iajs-2556 99 48 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 99 49 ) ) PUNCT iajs-2556 99 50 is be AUX iajs-2556 99 51 a a DET iajs-2556 99 52 proper proper ADJ iajs-2556 99 53 submodule submodule NOUN iajs-2556 99 54 of of ADP iajs-2556 99 55 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 99 56 for for ADP iajs-2556 99 57 each each DET iajs-2556 99 58 submodule submodule NOUN iajs-2556 99 59 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 99 60 of of ADP iajs-2556 99 61 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 99 62 if if SCONJ iajs-2556 99 63 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 99 64 is be AUX iajs-2556 99 65 a a DET iajs-2556 99 66 submodule submodule NOUN iajs-2556 99 67 of of ADP iajs-2556 99 68 an an DET iajs-2556 99 69 𝑅-module 𝑅-module PROPN iajs-2556 99 70 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 99 71 , , PUNCT iajs-2556 99 72 then then ADV iajs-2556 99 73 𝐻(𝑆 𝐻(𝑆 NOUN iajs-2556 99 74 ) ) PUNCT iajs-2556 100 1 = = PRON iajs-2556 100 2 { { PUNCT iajs-2556 100 3 𝑒 𝑒 PART iajs-2556 100 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 100 5 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 100 6 : : PUNCT iajs-2556 100 7 βˆƒπ‘‘ βˆƒπ‘‘ PROPN iajs-2556 100 8 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 100 9 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 100 10 such such ADJ iajs-2556 100 11 that that SCONJ iajs-2556 100 12 𝑑𝑒 𝑑𝑒 PROPN iajs-2556 100 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 100 14 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 100 15 } } PUNCT iajs-2556 100 16 [ [ X iajs-2556 100 17 13 13 NUM iajs-2556 100 18 ] ] PUNCT iajs-2556 100 19 . . PUNCT iajs-2556 101 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 101 2 ( ( PUNCT iajs-2556 101 3 2.9 2.9 NUM iajs-2556 101 4 ) ) PUNCT iajs-2556 101 5 let let VERB iajs-2556 101 6 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 101 7 be be AUX iajs-2556 101 8 a a DET iajs-2556 101 9 proper proper ADJ iajs-2556 101 10 submodule submodule NOUN iajs-2556 101 11 of of ADP iajs-2556 101 12 an an DET iajs-2556 101 13 r r NOUN iajs-2556 101 14 - - PUNCT iajs-2556 101 15 module module NOUN iajs-2556 101 16 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 101 17 , , PUNCT iajs-2556 101 18 with with ADP iajs-2556 101 19 [ [ PUNCT iajs-2556 101 20 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 101 21 + + PROPN iajs-2556 101 22 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 101 23 ( ( PUNCT iajs-2556 101 24 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 101 25 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 101 26 ] ] PUNCT iajs-2556 101 27 is be AUX iajs-2556 101 28 a a DET iajs-2556 101 29 prime prime ADJ iajs-2556 101 30 ideal ideal NOUN iajs-2556 101 31 of of ADP iajs-2556 101 32 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 101 33 , , PUNCT iajs-2556 101 34 then then ADV iajs-2556 101 35 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 101 36 is be AUX iajs-2556 101 37 wn wn NOUN iajs-2556 101 38 - - PUNCT iajs-2556 101 39 prime prime NOUN iajs-2556 101 40 if if SCONJ iajs-2556 101 41 and and CCONJ iajs-2556 101 42 only only ADV iajs-2556 101 43 if if SCONJ iajs-2556 101 44 𝐻(𝑆 𝐻(𝑆 NOUN iajs-2556 101 45 ) ) PUNCT iajs-2556 101 46 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 101 47 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 101 48 + + PROPN iajs-2556 101 49 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 101 50 ( ( PUNCT iajs-2556 101 51 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 101 52 ) ) PUNCT iajs-2556 101 53 for for ADP iajs-2556 101 54 each each DET iajs-2556 101 55 multiplicatively multiplicatively ADV iajs-2556 101 56 closed close VERB iajs-2556 101 57 subset subset VERB iajs-2556 101 58 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 101 59 of of ADP iajs-2556 101 60 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 101 61 with with ADP iajs-2556 101 62 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 101 63 ∩ ∩ NOUN iajs-2556 101 64 [ [ X iajs-2556 101 65 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 101 66 + + PROPN iajs-2556 101 67 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 101 68 ( ( PUNCT iajs-2556 101 69 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 101 70 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 101 71 ] ] PUNCT iajs-2556 101 72 = = PUNCT iajs-2556 101 73 πœ‘. πœ‘. VERB iajs-2556 101 74 proof proof NOUN iajs-2556 101 75 ( ( PUNCT iajs-2556 101 76 β‡’ β‡’ PROPN iajs-2556 101 77 ) ) PUNCT iajs-2556 101 78 suppose suppose VERB iajs-2556 101 79 that that SCONJ iajs-2556 101 80 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 101 81 is be AUX iajs-2556 101 82 a a DET iajs-2556 101 83 wn wn NOUN iajs-2556 101 84 - - PUNCT iajs-2556 101 85 prime prime NOUN iajs-2556 101 86 submodule submodule NOUN iajs-2556 101 87 of of ADP iajs-2556 101 88 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 101 89 with with ADP iajs-2556 101 90 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 101 91 ∩ ∩ NOUN iajs-2556 101 92 [ [ X iajs-2556 101 93 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 101 94 + + PROPN iajs-2556 101 95 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 101 96 ( ( PUNCT iajs-2556 101 97 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 101 98 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 101 99 ] ] PUNCT iajs-2556 101 100 = = PUNCT iajs-2556 102 1 πœ‘. πœ‘. VERB iajs-2556 102 2 let let VERB iajs-2556 102 3 𝑒 𝑒 PRON iajs-2556 102 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 102 5 𝐻(𝑆 𝐻(𝑆 NOUN iajs-2556 102 6 ) ) PUNCT iajs-2556 102 7 , , PUNCT iajs-2556 102 8 then then ADV iajs-2556 102 9 βˆƒπ‘Ÿ βˆƒπ‘Ÿ PROPN iajs-2556 102 10 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 102 11 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 102 12 such such ADJ iajs-2556 102 13 that that SCONJ iajs-2556 102 14 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ PROPN iajs-2556 102 15 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 102 16 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 102 17 , , PUNCT iajs-2556 102 18 implies imply VERB iajs-2556 102 19 that that SCONJ iajs-2556 102 20 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 102 21 ∈ ∈ PRON iajs-2556 103 1 [ [ X iajs-2556 103 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 NOUN iajs-2556 103 3 𝑒 𝑒 X iajs-2556 103 4 ] ] PUNCT iajs-2556 103 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 103 6 [ [ X iajs-2556 103 7 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 103 8 + + PROPN iajs-2556 103 9 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 103 10 ( ( PUNCT iajs-2556 103 11 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 103 12 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 103 13 ] ] PUNCT iajs-2556 103 14 βˆͺ βˆͺ ADP iajs-2556 103 15 [ [ X iajs-2556 103 16 0:𝑅 0:𝑅 NOUN iajs-2556 103 17 𝑒 𝑒 X iajs-2556 103 18 ] ] PUNCT iajs-2556 103 19 by by ADP iajs-2556 103 20 proposition proposition NOUN iajs-2556 103 21 ( ( PUNCT iajs-2556 103 22 2.5 2.5 NUM iajs-2556 103 23 ) ) PUNCT iajs-2556 103 24 .it .it PUNCT iajs-2556 103 25 follows follow VERB iajs-2556 103 26 that that SCONJ iajs-2556 103 27 0 0 NUM iajs-2556 103 28 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 103 29 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 103 30 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 103 31 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 103 32 ( ( PUNCT iajs-2556 103 33 since since SCONJ iajs-2556 103 34 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 103 35 is be AUX iajs-2556 103 36 a a DET iajs-2556 103 37 wn wn NOUN iajs-2556 103 38 - - PUNCT iajs-2556 103 39 prime prime NOUN iajs-2556 103 40 ) ) PUNCT iajs-2556 103 41 , , PUNCT iajs-2556 103 42 implies imply VERB iajs-2556 103 43 that that SCONJ iajs-2556 103 44 either either CCONJ iajs-2556 103 45 𝑒 𝑒 ADP iajs-2556 103 46 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 103 47 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 103 48 + + PROPN iajs-2556 103 49 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 103 50 ( ( PUNCT iajs-2556 103 51 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 103 52 ) ) PUNCT iajs-2556 103 53 or or CCONJ iajs-2556 103 54 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 103 55 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 103 56 [ [ X iajs-2556 103 57 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 103 58 + + PROPN iajs-2556 103 59 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 103 60 ( ( PUNCT iajs-2556 103 61 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 103 62 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 103 63 ] ] PUNCT iajs-2556 103 64 . . PUNCT iajs-2556 104 1 if if SCONJ iajs-2556 104 2 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 104 3 ∈ ∈ PRON iajs-2556 104 4 [ [ X iajs-2556 104 5 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 104 6 + + PROPN iajs-2556 104 7 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 104 8 ( ( PUNCT iajs-2556 104 9 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 104 10 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 104 11 ] ] PUNCT iajs-2556 104 12 , , PUNCT iajs-2556 104 13 implies imply VERB iajs-2556 104 14 that that SCONJ iajs-2556 104 15 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 104 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 104 17 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 104 18 ∩ ∩ NOUN iajs-2556 104 19 [ [ X iajs-2556 104 20 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 104 21 + + PROPN iajs-2556 104 22 𝐽 𝐽 PROPN iajs-2556 104 23 ( ( PUNCT iajs-2556 104 24 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 104 25 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 104 26 ] ] PUNCT iajs-2556 104 27 = = SYM iajs-2556 104 28 πœ‘ πœ‘ NOUN iajs-2556 104 29 which which PRON iajs-2556 104 30 is be AUX iajs-2556 104 31 a a DET iajs-2556 104 32 contradiction contradiction NOUN iajs-2556 104 33 . . PUNCT iajs-2556 105 1 thus thus ADV iajs-2556 105 2 𝑒 𝑒 ADP iajs-2556 105 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 105 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 105 5 + + PROPN iajs-2556 105 6 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 105 7 ( ( PUNCT iajs-2556 105 8 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 105 9 ) ) PUNCT iajs-2556 105 10 and and CCONJ iajs-2556 105 11 hence hence ADV iajs-2556 105 12 𝐻(𝑆 𝐻(𝑆 NOUN iajs-2556 105 13 ) ) PUNCT iajs-2556 106 1 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 106 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 106 3 + + PROPN iajs-2556 106 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 106 5 ( ( PUNCT iajs-2556 106 6 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 106 7 ) ) PUNCT iajs-2556 106 8 . . PUNCT iajs-2556 107 1 ( ( PUNCT iajs-2556 107 2 ⇐ ⇐ PROPN iajs-2556 107 3 ) ) PUNCT iajs-2556 107 4 suppose suppose VERB iajs-2556 107 5 that that SCONJ iajs-2556 107 6 0 0 NUM iajs-2556 107 7 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 107 8 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 107 9 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 107 10 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 107 11 where where SCONJ iajs-2556 107 12 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 107 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 107 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 107 15 , , PUNCT iajs-2556 107 16 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 107 17 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 107 18 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 107 19 such such ADJ iajs-2556 107 20 that that SCONJ iajs-2556 107 21 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 107 22 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 107 23 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 107 24 + + PROPN iajs-2556 107 25 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 107 26 ( ( PUNCT iajs-2556 107 27 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 107 28 ) ) PUNCT iajs-2556 107 29 and and CCONJ iajs-2556 107 30 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 107 31 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 108 1 [ [ X iajs-2556 108 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 108 3 + + PROPN iajs-2556 108 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 108 5 ( ( PUNCT iajs-2556 108 6 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 108 7 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 108 8 ] ] PUNCT iajs-2556 108 9 . . PUNCT iajs-2556 109 1 since since SCONJ iajs-2556 109 2 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 109 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 109 4 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 109 5 , , PUNCT iajs-2556 109 6 then then ADV iajs-2556 109 7 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 109 8 = = SYM iajs-2556 109 9 { { PUNCT iajs-2556 109 10 1 1 NUM iajs-2556 109 11 , , PUNCT iajs-2556 109 12 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 109 13 , , PUNCT iajs-2556 109 14 π‘Ÿ2 π‘Ÿ2 NOUN iajs-2556 109 15 , , PUNCT iajs-2556 109 16 π‘Ÿ3 π‘Ÿ3 NOUN iajs-2556 109 17 , , PUNCT iajs-2556 109 18 … … PUNCT iajs-2556 109 19 } } PUNCT iajs-2556 109 20 is be AUX iajs-2556 109 21 multiplicatively multiplicatively ADV iajs-2556 109 22 closed close VERB iajs-2556 109 23 subset subset NOUN iajs-2556 109 24 of of ADP iajs-2556 109 25 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 109 26 and and CCONJ iajs-2556 109 27 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 109 28 ∩ ∩ NOUN iajs-2556 109 29 [ [ X iajs-2556 109 30 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 109 31 + + PROPN iajs-2556 109 32 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 109 33 ( ( PUNCT iajs-2556 109 34 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 109 35 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 109 36 ] ] PUNCT iajs-2556 109 37 = = SYM iajs-2556 109 38 πœ‘ πœ‘ X iajs-2556 109 39 ( ( PUNCT iajs-2556 109 40 since[𝐻 since[𝐻 SYM iajs-2556 109 41 + + NUM iajs-2556 109 42 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 109 43 ( ( PUNCT iajs-2556 109 44 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 109 45 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 109 46 ] ] PUNCT iajs-2556 109 47 is be AUX iajs-2556 109 48 prime prime ADJ iajs-2556 109 49 ideal ideal NOUN iajs-2556 109 50 of of ADP iajs-2556 109 51 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 109 52 ) ) PUNCT iajs-2556 109 53 . . PUNCT iajs-2556 110 1 but but CCONJ iajs-2556 110 2 𝑒 𝑒 X iajs-2556 110 3 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 110 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 110 5 + + PROPN iajs-2556 110 6 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 110 7 ( ( PUNCT iajs-2556 110 8 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 110 9 ) ) PUNCT iajs-2556 110 10 implies imply VERB iajs-2556 110 11 that that SCONJ iajs-2556 110 12 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 110 13 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 110 14 𝐻(𝑆 𝐻(𝑆 NOUN iajs-2556 110 15 ) ) PUNCT iajs-2556 110 16 and and CCONJ iajs-2556 110 17 then then ADV iajs-2556 110 18 0 0 NUM iajs-2556 110 19 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 110 20 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 110 21 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 110 22 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 110 23 which which PRON iajs-2556 110 24 is be AUX iajs-2556 110 25 a a DET iajs-2556 110 26 contradiction contradiction NOUN iajs-2556 110 27 . . PUNCT iajs-2556 111 1 thus thus ADV iajs-2556 111 2 𝑒 𝑒 ADP iajs-2556 111 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 111 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 111 5 + + PROPN iajs-2556 111 6 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 111 7 ( ( PUNCT iajs-2556 111 8 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 111 9 ) ) PUNCT iajs-2556 111 10 or or CCONJ iajs-2556 111 11 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 111 12 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 112 1 [ [ X iajs-2556 112 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 112 3 + + PROPN iajs-2556 112 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 112 5 ( ( PUNCT iajs-2556 112 6 𝘜):𝑅 𝘜):𝑅 ADJ iajs-2556 112 7 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 112 8 ] ] PUNCT iajs-2556 112 9 . . PUNCT iajs-2556 113 1 that that PRON iajs-2556 113 2 is be AUX iajs-2556 113 3 , , PUNCT iajs-2556 113 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 113 5 is be AUX iajs-2556 113 6 a a DET iajs-2556 113 7 wn wn NOUN iajs-2556 113 8 - - PUNCT iajs-2556 113 9 prime prime NOUN iajs-2556 113 10 submodule submodule NOUN iajs-2556 113 11 of of ADP iajs-2556 113 12 𝘜. 𝘜. PROPN iajs-2556 113 13 the the DET iajs-2556 113 14 following follow VERB iajs-2556 113 15 corollary corollary NOUN iajs-2556 113 16 a a DET iajs-2556 113 17 direct direct ADJ iajs-2556 113 18 consequence consequence NOUN iajs-2556 113 19 of of ADP iajs-2556 113 20 proposition proposition NOUN iajs-2556 113 21 ( ( PUNCT iajs-2556 113 22 2.9 2.9 NUM iajs-2556 113 23 ) ) PUNCT iajs-2556 113 24 . . PUNCT iajs-2556 114 1 corollary corollary ADJ iajs-2556 114 2 ( ( PUNCT iajs-2556 114 3 2.10 2.10 NUM iajs-2556 114 4 ) ) PUNCT iajs-2556 114 5 let let VERB iajs-2556 114 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 114 7 be be AUX iajs-2556 114 8 an an DET iajs-2556 114 9 𝑅-module 𝑅-module NOUN iajs-2556 114 10 , , PUNCT iajs-2556 114 11 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 114 12 be be VERB iajs-2556 114 13 a a DET iajs-2556 114 14 proper proper ADJ iajs-2556 114 15 submodule submodule NOUN iajs-2556 114 16 of of ADP iajs-2556 114 17 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 114 18 , , PUNCT iajs-2556 114 19 with with ADP iajs-2556 114 20 [ [ PUNCT iajs-2556 114 21 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 114 22 + + PROPN iajs-2556 114 23 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 114 24 ( ( PUNCT iajs-2556 114 25 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 PROPN iajs-2556 114 26 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 114 27 ] ] PUNCT iajs-2556 114 28 is be AUX iajs-2556 114 29 prime prime ADJ iajs-2556 114 30 ideal ideal NOUN iajs-2556 114 31 in in ADP iajs-2556 114 32 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 114 33 , , PUNCT iajs-2556 114 34 then then ADV iajs-2556 114 35 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 114 36 is be AUX iajs-2556 114 37 wn wn NOUN iajs-2556 114 38 - - PUNCT iajs-2556 114 39 prime prime NOUN iajs-2556 114 40 if if SCONJ iajs-2556 115 1 and and CCONJ iajs-2556 115 2 only only ADV iajs-2556 115 3 if if SCONJ iajs-2556 115 4 𝐻(𝑅 𝐻(𝑅 PROPN iajs-2556 115 5 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2556 116 1 ( ( PUNCT iajs-2556 116 2 [ [ X iajs-2556 116 3 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 116 4 + + PROPN iajs-2556 116 5 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 116 6 ( ( PUNCT iajs-2556 116 7 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 116 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 116 9 ] ] PUNCT iajs-2556 116 10 ) ) PUNCT iajs-2556 116 11 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 116 12 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 116 13 + + PROPN iajs-2556 116 14 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 116 15 ( ( PUNCT iajs-2556 116 16 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 116 17 ) ) PUNCT iajs-2556 116 18 . . PUNCT iajs-2556 117 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 117 2 ( ( PUNCT iajs-2556 117 3 2.11 2.11 NUM iajs-2556 117 4 ) ) PUNCT iajs-2556 117 5 let let VERB iajs-2556 117 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 117 7 be be AUX iajs-2556 117 8 an an DET iajs-2556 117 9 𝑅-module 𝑅-module NOUN iajs-2556 117 10 , , PUNCT iajs-2556 117 11 and and CCONJ iajs-2556 117 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 117 13 be be VERB iajs-2556 117 14 a a DET iajs-2556 117 15 maximal maximal ADJ iajs-2556 117 16 ideal ideal NOUN iajs-2556 117 17 of of ADP iajs-2556 117 18 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 117 19 , , PUNCT iajs-2556 117 20 with with ADP iajs-2556 117 21 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 117 22 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 117 23 + + CCONJ iajs-2556 117 24 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 117 25 ( ( PUNCT iajs-2556 117 26 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 117 27 ) ) PUNCT iajs-2556 117 28 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 117 29 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 117 30 then then ADV iajs-2556 117 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 117 32 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 117 33 is be AUX iajs-2556 117 34 a a DET iajs-2556 117 35 wn wn NOUN iajs-2556 117 36 - - PUNCT iajs-2556 117 37 prime prime NOUN iajs-2556 117 38 submodule submodule NOUN iajs-2556 117 39 of of ADP iajs-2556 117 40 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 117 41 proof proof NOUN iajs-2556 117 42 : : PUNCT iajs-2556 117 43 42 42 NUM iajs-2556 117 44 ibn ibn PROPN iajs-2556 117 45 al al PROPN iajs-2556 117 46 - - PUNCT iajs-2556 117 47 haitham haitham PROPN iajs-2556 117 48 jour jour X iajs-2556 117 49 . . PROPN iajs-2556 118 1 for for ADP iajs-2556 118 2 pure pure ADJ iajs-2556 118 3 & & CCONJ iajs-2556 118 4 appl appl PROPN iajs-2556 118 5 . . PUNCT iajs-2556 119 1 sci sci PROPN iajs-2556 119 2 . . PROPN iajs-2556 120 1 34 34 NUM iajs-2556 120 2 ( ( PUNCT iajs-2556 120 3 1 1 NUM iajs-2556 120 4 ) ) PUNCT iajs-2556 120 5 2021 2021 NUM iajs-2556 120 6 since since SCONJ iajs-2556 120 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 120 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 120 9 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 120 10 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 120 11 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 120 12 + + CCONJ iajs-2556 120 13 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 120 14 ( ( PUNCT iajs-2556 120 15 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 120 16 ) ) PUNCT iajs-2556 120 17 , , PUNCT iajs-2556 120 18 then then ADV iajs-2556 120 19 𝐴 𝐴 VERB iajs-2556 120 20 βŠ†[a βŠ†[a PRON iajs-2556 120 21 u+j u+j PROPN iajs-2556 120 22 ( ( PUNCT iajs-2556 120 23 u u NOUN iajs-2556 120 24 ) ) PUNCT iajs-2556 120 25 : : PUNCT iajs-2556 120 26 𝑅u 𝑅u PROPN iajs-2556 120 27 ] ] X iajs-2556 120 28 .that .that PRON iajs-2556 120 29 is be AUX iajs-2556 120 30 , , PUNCT iajs-2556 120 31 there there PRON iajs-2556 120 32 exists exist VERB iajs-2556 120 33 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 120 34 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 120 35 [ [ X iajs-2556 120 36 𝐴 𝐴 NOUN iajs-2556 120 37 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 120 38 + + CCONJ iajs-2556 120 39 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 120 40 ( ( PUNCT iajs-2556 120 41 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 120 42 ): ): PUNCT iajs-2556 120 43 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 120 44 ] ] PUNCT iajs-2556 120 45 and and CCONJ iajs-2556 120 46 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 121 1 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 121 2 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-2556 121 3 but but CCONJ iajs-2556 121 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 121 5 is be AUX iajs-2556 121 6 a a DET iajs-2556 121 7 maximal maximal ADJ iajs-2556 121 8 ideal ideal NOUN iajs-2556 121 9 of of ADP iajs-2556 121 10 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 121 11 , , PUNCT iajs-2556 121 12 then then ADV iajs-2556 121 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 121 14 = = PROPN iajs-2556 121 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 121 16 + + CCONJ iajs-2556 121 17 〈 〈 PROPN iajs-2556 121 18 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 121 19 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 121 20 , , PUNCT iajs-2556 121 21 then then ADV iajs-2556 121 22 1 1 NUM iajs-2556 121 23 = = SYM iajs-2556 121 24 π‘Ž π‘Ž X iajs-2556 121 25 + + NUM iajs-2556 121 26 π‘ π‘Ÿ π‘ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 121 27 for for ADP iajs-2556 121 28 some some DET iajs-2556 121 29 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2556 121 30 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 121 31 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 121 32 , , PUNCT iajs-2556 121 33 it it PRON iajs-2556 121 34 follows follow VERB iajs-2556 121 35 that that SCONJ iajs-2556 121 36 𝑒 𝑒 VERB iajs-2556 121 37 = = X iajs-2556 121 38 π‘Žπ‘’ π‘Žπ‘’ PROPN iajs-2556 121 39 + + NUM iajs-2556 121 40 π‘ π‘Ÿπ‘’ π‘ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 121 41 for for ADP iajs-2556 121 42 each each DET iajs-2556 121 43 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 121 44 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 121 45 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 121 46 thus thus ADV iajs-2556 121 47 𝑒 𝑒 ADP iajs-2556 121 48 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 121 49 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 121 50 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 121 51 + + CCONJ iajs-2556 121 52 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 121 53 ( ( PUNCT iajs-2556 121 54 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 121 55 ) ) PUNCT iajs-2556 121 56 for for ADP iajs-2556 121 57 each each DET iajs-2556 121 58 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 121 59 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 121 60 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 121 61 , , PUNCT iajs-2556 121 62 so so SCONJ iajs-2556 121 63 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 121 64 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 121 65 + + CCONJ iajs-2556 121 66 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 121 67 ( ( PUNCT iajs-2556 121 68 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 121 69 ) ) PUNCT iajs-2556 121 70 = = SYM iajs-2556 121 71 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 121 72 which which PRON iajs-2556 121 73 is be AUX iajs-2556 121 74 a a DET iajs-2556 121 75 contradiction contradiction NOUN iajs-2556 121 76 . . PUNCT iajs-2556 122 1 hence hence ADV iajs-2556 122 2 , , PUNCT iajs-2556 122 3 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 122 4 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 122 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 122 6 and and CCONJ iajs-2556 122 7 it it PRON iajs-2556 122 8 follows follow VERB iajs-2556 122 9 that that SCONJ iajs-2556 122 10 [ [ X iajs-2556 122 11 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 122 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 122 13 + + CCONJ iajs-2556 122 14 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 122 15 ( ( PUNCT iajs-2556 122 16 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 122 17 ): ): PUNCT iajs-2556 122 18 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 122 19 ] ] PUNCT iajs-2556 122 20 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 122 21 𝐴.thus 𝐴.thus X iajs-2556 123 1 [ [ X iajs-2556 123 2 𝐴 𝐴 NOUN iajs-2556 123 3 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 4 + + CCONJ iajs-2556 123 5 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 123 6 ( ( PUNCT iajs-2556 123 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 8 ): ): PUNCT iajs-2556 123 9 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 10 ] ] X iajs-2556 123 11 = = PUNCT iajs-2556 123 12 𝐴. 𝐴. NOUN iajs-2556 123 13 that that PRON iajs-2556 123 14 is be AUX iajs-2556 123 15 , , PUNCT iajs-2556 123 16 [ [ X iajs-2556 123 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 123 18 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 19 + + CCONJ iajs-2556 123 20 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 123 21 ( ( PUNCT iajs-2556 123 22 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 23 ): ): PUNCT iajs-2556 123 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 25 ] ] PUNCT iajs-2556 123 26 is be AUX iajs-2556 123 27 a a DET iajs-2556 123 28 maximal maximal ADJ iajs-2556 123 29 ideal ideal NOUN iajs-2556 123 30 of of ADP iajs-2556 123 31 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2556 123 32 , , PUNCT iajs-2556 123 33 hence hence ADV iajs-2556 123 34 by by ADP iajs-2556 123 35 proposition proposition NOUN iajs-2556 123 36 ( ( PUNCT iajs-2556 123 37 2.6 2.6 NUM iajs-2556 123 38 ) ) PUNCT iajs-2556 123 39 , , PUNCT iajs-2556 123 40 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 123 41 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 42 is be AUX iajs-2556 123 43 a a DET iajs-2556 123 44 wn wn NOUN iajs-2556 123 45 - - PUNCT iajs-2556 123 46 prime prime NOUN iajs-2556 123 47 submodule submodule NOUN iajs-2556 123 48 of of ADP iajs-2556 123 49 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 123 50 proposition proposition NOUN iajs-2556 123 51 ( ( PUNCT iajs-2556 123 52 2.12 2.12 NUM iajs-2556 123 53 ) ) PUNCT iajs-2556 123 54 let let VERB iajs-2556 123 55 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 123 56 be be AUX iajs-2556 123 57 a a DET iajs-2556 123 58 proper proper ADJ iajs-2556 123 59 submodule submodule NOUN iajs-2556 123 60 of of ADP iajs-2556 123 61 an an DET iajs-2556 123 62 r r NOUN iajs-2556 123 63 - - PUNCT iajs-2556 123 64 module module NOUN iajs-2556 123 65 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 66 with with ADP iajs-2556 123 67 [ [ PUNCT iajs-2556 123 68 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 123 69 + + PROPN iajs-2556 123 70 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 123 71 ( ( PUNCT iajs-2556 123 72 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 123 73 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 123 74 ] ] PUNCT iajs-2556 123 75 = = PUNCT iajs-2556 124 1 [ [ X iajs-2556 124 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 124 3 + + PROPN iajs-2556 124 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 124 5 ( ( PUNCT iajs-2556 124 6 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 124 7 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 124 8 ] ] PUNCT iajs-2556 124 9 for for ADP iajs-2556 124 10 each each DET iajs-2556 124 11 submodule submodule NOUN iajs-2556 124 12 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 124 13 of of ADP iajs-2556 124 14 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 124 15 such such ADJ iajs-2556 124 16 that that SCONJ iajs-2556 124 17 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 124 18 + + PROPN iajs-2556 124 19 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 124 20 ( ( PUNCT iajs-2556 124 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 124 22 ) ) PUNCT iajs-2556 124 23 is be AUX iajs-2556 124 24 a a DET iajs-2556 124 25 proper proper ADJ iajs-2556 124 26 submodule submodule NOUN iajs-2556 124 27 of of ADP iajs-2556 124 28 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 124 29 , , PUNCT iajs-2556 124 30 then then ADV iajs-2556 124 31 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 124 32 is be AUX iajs-2556 124 33 a a DET iajs-2556 124 34 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 124 35 submodule submodule NOUN iajs-2556 124 36 of of ADP iajs-2556 124 37 π‘ˆ. π‘ˆ. ADJ iajs-2556 124 38 proof proof NOUN iajs-2556 124 39 suppose suppose VERB iajs-2556 124 40 that that SCONJ iajs-2556 124 41 0 0 NUM iajs-2556 124 42 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 124 43 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 124 44 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 124 45 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 124 46 for for ADP iajs-2556 124 47 each each DET iajs-2556 124 48 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 124 49 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 124 50 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 124 51 , , PUNCT iajs-2556 124 52 u u PROPN iajs-2556 124 53 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 124 54 u u NOUN iajs-2556 124 55 with with ADP iajs-2556 124 56 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 124 57 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 124 58 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 124 59 + + PROPN iajs-2556 124 60 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 124 61 ( ( PUNCT iajs-2556 124 62 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 124 63 ) ) PUNCT iajs-2556 124 64 . . PUNCT iajs-2556 125 1 assume assume VERB iajs-2556 125 2 that that SCONJ iajs-2556 125 3 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 125 4 = = SYM iajs-2556 125 5 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 125 6 + + PROPN iajs-2556 125 7 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 125 8 ( ( PUNCT iajs-2556 125 9 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 125 10 ) ) PUNCT iajs-2556 125 11 + + CCONJ iajs-2556 125 12 〈 〈 NOUN iajs-2556 125 13 𝑒 𝑒 X iajs-2556 125 14 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 125 15 , , PUNCT iajs-2556 125 16 it it PRON iajs-2556 125 17 is be AUX iajs-2556 125 18 clear clear ADJ iajs-2556 125 19 that that SCONJ iajs-2556 125 20 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 125 21 + + PROPN iajs-2556 125 22 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 125 23 ( ( PUNCT iajs-2556 125 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 125 25 ) ) PUNCT iajs-2556 125 26 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2556 125 27 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 125 28 , , PUNCT iajs-2556 125 29 then then ADV iajs-2556 125 30 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 125 31 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 125 32 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 125 33 and and CCONJ iajs-2556 126 1 so so ADV iajs-2556 126 2 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 126 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 127 1 [ [ X iajs-2556 127 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 127 3 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 127 4 ] ] PUNCT iajs-2556 127 5 . . PUNCT iajs-2556 128 1 since since SCONJ iajs-2556 128 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 128 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 128 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 128 5 + + PROPN iajs-2556 128 6 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 128 7 ( ( PUNCT iajs-2556 128 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 128 9 ) ) PUNCT iajs-2556 128 10 , , PUNCT iajs-2556 128 11 then then ADV iajs-2556 128 12 [ [ X iajs-2556 128 13 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 128 14 𝐾 𝐾 NOUN iajs-2556 128 15 ] ] PUNCT iajs-2556 128 16 = = PUNCT iajs-2556 129 1 [ [ X iajs-2556 129 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 129 3 + + PROPN iajs-2556 129 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 129 5 ( ( PUNCT iajs-2556 129 6 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 129 7 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 129 8 ] ] PUNCT iajs-2556 129 9 = = PUNCT iajs-2556 130 1 [ [ X iajs-2556 130 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 130 3 + + PROPN iajs-2556 130 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 130 5 ( ( PUNCT iajs-2556 130 6 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 130 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 130 8 ] ] PUNCT iajs-2556 130 9 by by ADP iajs-2556 130 10 hypothesis hypothesis NOUN iajs-2556 130 11 . . PUNCT iajs-2556 131 1 thus thus ADV iajs-2556 131 2 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 131 3 ∈ ∈ PRON iajs-2556 131 4 [ [ X iajs-2556 131 5 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 131 6 + + PROPN iajs-2556 131 7 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 131 8 ( ( PUNCT iajs-2556 131 9 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 131 10 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 131 11 ] ] PUNCT iajs-2556 131 12 , , PUNCT iajs-2556 131 13 it it PRON iajs-2556 131 14 follow follow VERB iajs-2556 131 15 that that SCONJ iajs-2556 131 16 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 131 17 is be AUX iajs-2556 131 18 a a DET iajs-2556 131 19 wn wn NOUN iajs-2556 131 20 - - PUNCT iajs-2556 131 21 prime prime NOUN iajs-2556 131 22 submodule submodule NOUN iajs-2556 131 23 of of ADP iajs-2556 131 24 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 131 25 recall recall NOUN iajs-2556 131 26 that that PRON iajs-2556 131 27 submodule submodule NOUN iajs-2556 131 28 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 131 29 of of ADP iajs-2556 131 30 an an DET iajs-2556 131 31 r r NOUN iajs-2556 131 32 - - PUNCT iajs-2556 131 33 module module NOUN iajs-2556 131 34 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 131 35 is be AUX iajs-2556 131 36 to to PART iajs-2556 131 37 said say VERB iajs-2556 131 38 to to PART iajs-2556 131 39 be be AUX iajs-2556 131 40 small small ADJ iajs-2556 131 41 , , PUNCT iajs-2556 131 42 if if SCONJ iajs-2556 131 43 for for ADP iajs-2556 131 44 any any DET iajs-2556 131 45 submodule submodule NOUN iajs-2556 131 46 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 131 47 of of ADP iajs-2556 131 48 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 131 49 with with ADP iajs-2556 131 50 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 131 51 = = SYM iajs-2556 131 52 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 131 53 + + NOUN iajs-2556 131 54 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 131 55 then then ADV iajs-2556 131 56 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 131 57 = = SYM iajs-2556 131 58 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 132 1 [ [ X iajs-2556 132 2 14 14 NUM iajs-2556 132 3 ] ] PUNCT iajs-2556 132 4 . . PUNCT iajs-2556 133 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 133 2 ( ( PUNCT iajs-2556 133 3 2.13 2.13 NUM iajs-2556 133 4 ) ) PUNCT iajs-2556 133 5 let let VERB iajs-2556 133 6 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 133 7 be be AUX iajs-2556 133 8 a a DET iajs-2556 133 9 small small ADJ iajs-2556 133 10 proper proper ADJ iajs-2556 133 11 submodule submodule NOUN iajs-2556 133 12 of of ADP iajs-2556 133 13 an an DET iajs-2556 133 14 r r NOUN iajs-2556 133 15 - - PUNCT iajs-2556 133 16 module module NOUN iajs-2556 133 17 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 133 18 and and CCONJ iajs-2556 133 19 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NOUN iajs-2556 133 20 ) ) PUNCT iajs-2556 133 21 is be AUX iajs-2556 133 22 a a DET iajs-2556 133 23 weakly weakly ADJ iajs-2556 133 24 prime prime ADJ iajs-2556 133 25 submodule submodule NOUN iajs-2556 133 26 of of ADP iajs-2556 133 27 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 133 28 , , PUNCT iajs-2556 133 29 then then ADV iajs-2556 133 30 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 133 31 is be AUX iajs-2556 133 32 a a DET iajs-2556 133 33 wn wn NOUN iajs-2556 133 34 - - PUNCT iajs-2556 133 35 prime prime NOUN iajs-2556 133 36 submodule submodule NOUN iajs-2556 133 37 of of ADP iajs-2556 133 38 𝘜. 𝘜. PROPN iajs-2556 133 39 proof proof NOUN iajs-2556 133 40 suppose suppose VERB iajs-2556 133 41 that that SCONJ iajs-2556 133 42 0 0 NUM iajs-2556 133 43 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 133 44 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 133 45 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 133 46 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 133 47 , , PUNCT iajs-2556 133 48 where where SCONJ iajs-2556 133 49 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 133 50 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 133 51 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 133 52 , , PUNCT iajs-2556 133 53 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 133 54 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 133 55 𝘜. 𝘜. NOUN iajs-2556 133 56 since since SCONJ iajs-2556 133 57 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 133 58 is be AUX iajs-2556 133 59 a a DET iajs-2556 133 60 small small ADJ iajs-2556 133 61 submodule submodule NOUN iajs-2556 133 62 of of ADP iajs-2556 133 63 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 133 64 , , PUNCT iajs-2556 133 65 then then ADV iajs-2556 133 66 0 0 NUM iajs-2556 133 67 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 133 68 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ NOUN iajs-2556 133 69 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 133 70 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 133 71 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 133 72 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 133 73 ) ) PUNCT iajs-2556 133 74 . . PUNCT iajs-2556 134 1 it it PRON iajs-2556 134 2 follows follow VERB iajs-2556 134 3 that that SCONJ iajs-2556 134 4 0 0 NUM iajs-2556 134 5 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 134 6 π‘Ÿπ‘’ π‘Ÿπ‘’ PROPN iajs-2556 134 7 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 134 8 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NOUN iajs-2556 134 9 ) ) PUNCT iajs-2556 134 10 , , PUNCT iajs-2556 134 11 but but CCONJ iajs-2556 134 12 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NOUN iajs-2556 134 13 ) ) PUNCT iajs-2556 134 14 is be AUX iajs-2556 134 15 a a DET iajs-2556 134 16 weakly weakly ADJ iajs-2556 134 17 prime prime ADJ iajs-2556 134 18 submodule submodule NOUN iajs-2556 134 19 of of ADP iajs-2556 134 20 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 134 21 , , PUNCT iajs-2556 134 22 implies imply VERB iajs-2556 134 23 that that SCONJ iajs-2556 134 24 either either CCONJ iajs-2556 134 25 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 134 26 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 134 27 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NOUN iajs-2556 134 28 ) ) PUNCT iajs-2556 134 29 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 134 30 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 134 31 + + CCONJ iajs-2556 134 32 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 ADJ iajs-2556 134 33 ) ) PUNCT iajs-2556 134 34 or or CCONJ iajs-2556 134 35 π‘Ÿπ˜œ π‘Ÿπ˜œ VERB iajs-2556 134 36 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 134 37 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NOUN iajs-2556 134 38 ) ) PUNCT iajs-2556 134 39 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 134 40 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 134 41 + + CCONJ iajs-2556 134 42 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 134 43 ) ) PUNCT iajs-2556 134 44 . . PUNCT iajs-2556 135 1 hence hence ADV iajs-2556 135 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 135 3 is be AUX iajs-2556 135 4 a a DET iajs-2556 135 5 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 135 6 submodule submodule NOUN iajs-2556 135 7 of of ADP iajs-2556 135 8 𝘜. 𝘜. PROPN iajs-2556 135 9 remark remark NOUN iajs-2556 135 10 ( ( PUNCT iajs-2556 135 11 2.14 2.14 NUM iajs-2556 135 12 ) ) PUNCT iajs-2556 135 13 if if SCONJ iajs-2556 135 14 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 135 15 and and CCONJ iajs-2556 135 16 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 135 17 are be AUX iajs-2556 135 18 two two NUM iajs-2556 135 19 submodules submodule NOUN iajs-2556 135 20 of of ADP iajs-2556 135 21 r r NOUN iajs-2556 135 22 - - PUNCT iajs-2556 135 23 module module NOUN iajs-2556 135 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 135 25 with with ADP iajs-2556 135 26 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 135 27 is be AUX iajs-2556 135 28 contained contain VERB iajs-2556 135 29 in in ADP iajs-2556 135 30 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 135 31 , , PUNCT iajs-2556 135 32 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 135 33 is be AUX iajs-2556 135 34 a a DET iajs-2556 135 35 wn wn NOUN iajs-2556 135 36 - - PUNCT iajs-2556 135 37 prime prime NOUN iajs-2556 135 38 submodule submodule NOUN iajs-2556 135 39 of of ADP iajs-2556 135 40 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 135 41 then then ADV iajs-2556 135 42 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 135 43 not not PART iajs-2556 135 44 necessary necessary ADJ iajs-2556 135 45 to to PART iajs-2556 135 46 be be AUX iajs-2556 135 47 wn wn NOUN iajs-2556 135 48 - - PUNCT iajs-2556 135 49 prime prime ADJ iajs-2556 135 50 submodule submodule NOUN iajs-2556 135 51 of of ADP iajs-2556 135 52 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 135 53 the the DET iajs-2556 135 54 following follow VERB iajs-2556 135 55 example example NOUN iajs-2556 135 56 explains explain VERB iajs-2556 135 57 that that SCONJ iajs-2556 135 58 . . PUNCT iajs-2556 136 1 consider consider VERB iajs-2556 136 2 the the DET iajs-2556 136 3 z z NOUN iajs-2556 136 4 - - PUNCT iajs-2556 136 5 module module NOUN iajs-2556 136 6 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 136 7 and and CCONJ iajs-2556 136 8 the the DET iajs-2556 136 9 submodule submodule NOUN iajs-2556 136 10 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 136 11 = = SYM iajs-2556 136 12 { { PUNCT iajs-2556 136 13 0Μ… 0Μ… NOUN iajs-2556 136 14 , , PUNCT iajs-2556 136 15 12Μ…Μ…Μ…Μ… 12Μ…Μ…Μ…Μ… PROPN iajs-2556 136 16 } } PUNCT iajs-2556 136 17 , , PUNCT iajs-2556 136 18 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 136 19 = = SYM iajs-2556 136 20 { { PUNCT iajs-2556 136 21 0Μ… 0Μ… PROPN iajs-2556 136 22 , , PUNCT iajs-2556 136 23 2Μ… 2Μ… PRON iajs-2556 136 24 , , PUNCT iajs-2556 136 25 4Μ… 4Μ… PROPN iajs-2556 136 26 , , PUNCT iajs-2556 136 27 6Μ… 6Μ… PROPN iajs-2556 136 28 , , PUNCT iajs-2556 136 29 8Μ… 8Μ… NUM iajs-2556 136 30 , , PUNCT iajs-2556 136 31 10Μ…Μ…Μ…Μ… 10Μ…Μ…Μ…Μ… NUM iajs-2556 136 32 , , PUNCT iajs-2556 136 33 12Μ…Μ…Μ…Μ… 12Μ…Μ…Μ…Μ… PROPN iajs-2556 136 34 , , PUNCT iajs-2556 136 35 14Μ…Μ…Μ…Μ… 14Μ…Μ…Μ…Μ… PROPN iajs-2556 136 36 , , PUNCT iajs-2556 136 37 16Μ…Μ…Μ…Μ… 16Μ…Μ…Μ…Μ… NUM iajs-2556 136 38 , , PUNCT iajs-2556 136 39 18Μ…Μ…Μ…Μ… 18Μ…Μ…Μ…Μ… NUM iajs-2556 136 40 , , PUNCT iajs-2556 136 41 20Μ…Μ…Μ…Μ… 20Μ…Μ…Μ…Μ… PROPN iajs-2556 136 42 , , PUNCT iajs-2556 136 43 22Μ…Μ…Μ…Μ… 22Μ…Μ…Μ…Μ… PROPN iajs-2556 136 44 } } PUNCT iajs-2556 136 45 we we PRON iajs-2556 136 46 have have VERB iajs-2556 136 47 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 136 48 is be AUX iajs-2556 136 49 a a DET iajs-2556 136 50 wn wn NOUN iajs-2556 136 51 - - PUNCT iajs-2556 136 52 prime prime NOUN iajs-2556 136 53 ( ( PUNCT iajs-2556 136 54 since since SCONJ iajs-2556 136 55 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 136 56 is be AUX iajs-2556 136 57 a a DET iajs-2556 136 58 weakly weakly ADJ iajs-2556 136 59 prime prime NOUN iajs-2556 136 60 ) ) PUNCT iajs-2556 136 61 submodule submodule NOUN iajs-2556 136 62 of of ADP iajs-2556 136 63 the the DET iajs-2556 136 64 z z NOUN iajs-2556 136 65 - - PUNCT iajs-2556 136 66 module module NOUN iajs-2556 136 67 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 136 68 , , PUNCT iajs-2556 136 69 but but CCONJ iajs-2556 136 70 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 136 71 is be AUX iajs-2556 136 72 not not PART iajs-2556 136 73 wn wn NOUN iajs-2556 136 74 - - PUNCT iajs-2556 136 75 prime prime NOUN iajs-2556 136 76 because because SCONJ iajs-2556 136 77 if if SCONJ iajs-2556 136 78 3 3 NUM iajs-2556 136 79 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 136 80 𝑍 𝑍 NOUN iajs-2556 136 81 , , PUNCT iajs-2556 136 82 4Μ… 4Μ… PROPN iajs-2556 136 83 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 136 84 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 136 85 such such ADJ iajs-2556 136 86 that that SCONJ iajs-2556 136 87 0Μ… 0Μ… NOUN iajs-2556 136 88 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 136 89 3 3 NUM iajs-2556 136 90 4Μ… 4Μ… PROPN iajs-2556 136 91 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 136 92 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 136 93 , , PUNCT iajs-2556 136 94 but but CCONJ iajs-2556 137 1 4Μ… 4Μ… ADJ iajs-2556 137 2 βˆ‰ βˆ‰ ADJ iajs-2556 137 3 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 137 4 + + PROPN iajs-2556 137 5 𝙹(𝑍24 𝙹(𝑍24 NOUN iajs-2556 137 6 ) ) PUNCT iajs-2556 137 7 = = SYM iajs-2556 137 8 { { PUNCT iajs-2556 137 9 0Μ… 0Μ… PROPN iajs-2556 137 10 , , PUNCT iajs-2556 137 11 6Μ… 6Μ… PROPN iajs-2556 137 12 , , PUNCT iajs-2556 137 13 12Μ…Μ…Μ…Μ… 12Μ…Μ…Μ…Μ… PROPN iajs-2556 137 14 , , PUNCT iajs-2556 137 15 18Μ…Μ…Μ…Μ… 18Μ…Μ…Μ…Μ… PROPN iajs-2556 137 16 } } PUNCT iajs-2556 137 17 and and CCONJ iajs-2556 137 18 3 3 NUM iajs-2556 137 19 βˆ‰ βˆ‰ X iajs-2556 137 20 [ [ PUNCT iajs-2556 137 21 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 137 22 + + PROPN iajs-2556 137 23 𝙹(𝑍24 𝙹(𝑍24 PROPN iajs-2556 137 24 ) ) PUNCT iajs-2556 137 25 ∢ ∢ NOUN iajs-2556 137 26 𝑍24 𝑍24 PROPN iajs-2556 137 27 ] ] PUNCT iajs-2556 138 1 = = SYM iajs-2556 138 2 6𝑍. 6𝑍. NUM iajs-2556 138 3 proposition proposition NOUN iajs-2556 138 4 ( ( PUNCT iajs-2556 138 5 2.15 2.15 NUM iajs-2556 138 6 ) ) PUNCT iajs-2556 138 7 let let VERB iajs-2556 138 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 138 9 be be AUX iajs-2556 138 10 an an DET iajs-2556 138 11 r r NOUN iajs-2556 138 12 - - PUNCT iajs-2556 138 13 module module NOUN iajs-2556 138 14 , , PUNCT iajs-2556 138 15 and and CCONJ iajs-2556 138 16 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 138 17 , , PUNCT iajs-2556 138 18 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 138 19 are be AUX iajs-2556 138 20 submodules submodule NOUN iajs-2556 138 21 of of ADP iajs-2556 138 22 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 138 23 with with ADP iajs-2556 138 24 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 138 25 contained contain VERB iajs-2556 138 26 in in ADP iajs-2556 138 27 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 138 28 , , PUNCT iajs-2556 138 29 and and CCONJ iajs-2556 138 30 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 138 31 ( ( PUNCT iajs-2556 138 32 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 138 33 ) ) PUNCT iajs-2556 138 34 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 138 35 𝙹(𝐿 𝙹(𝐿 NOUN iajs-2556 138 36 ) ) PUNCT iajs-2556 138 37 . . PUNCT iajs-2556 139 1 if if SCONJ iajs-2556 139 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 139 3 is be AUX iajs-2556 139 4 wn wn NOUN iajs-2556 139 5 - - PUNCT iajs-2556 139 6 prime prime ADJ iajs-2556 139 7 submodule submodule NOUN iajs-2556 139 8 of of ADP iajs-2556 139 9 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 139 10 , , PUNCT iajs-2556 139 11 then then ADV iajs-2556 139 12 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 139 13 is be AUX iajs-2556 139 14 wn wn NOUN iajs-2556 139 15 - - PUNCT iajs-2556 139 16 prime prime ADJ iajs-2556 139 17 submodule submodule NOUN iajs-2556 139 18 of of ADP iajs-2556 139 19 𝐿. 𝐿. ADJ iajs-2556 139 20 proof proof NOUN iajs-2556 139 21 assume assume VERB iajs-2556 140 1 that that SCONJ iajs-2556 140 2 0 0 NUM iajs-2556 140 3 β‰  β‰  NOUN iajs-2556 140 4 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2556 140 5 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 140 6 𝐻 𝐻 NOUN iajs-2556 140 7 with with ADP iajs-2556 140 8 π‘Ÿ π‘Ÿ DET iajs-2556 140 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 140 10 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 140 11 , , PUNCT iajs-2556 140 12 π‘₯ π‘₯ PROPN iajs-2556 140 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 140 14 𝐿. 𝐿. VERB iajs-2556 140 15 since since SCONJ iajs-2556 140 16 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 140 17 is be AUX iajs-2556 140 18 a a DET iajs-2556 140 19 wn wn NOUN iajs-2556 140 20 - - PUNCT iajs-2556 140 21 prime prime NOUN iajs-2556 140 22 submodule submodule NOUN iajs-2556 140 23 of of ADP iajs-2556 140 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 140 25 , , PUNCT iajs-2556 140 26 then then ADV iajs-2556 140 27 π‘₯ π‘₯ ADP iajs-2556 140 28 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 140 29 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 140 30 + + PROPN iajs-2556 140 31 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 140 32 ( ( PUNCT iajs-2556 140 33 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 140 34 ) ) PUNCT iajs-2556 140 35 or or CCONJ iajs-2556 140 36 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 140 37 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 140 38 [ [ X iajs-2556 140 39 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 140 40 + + PROPN iajs-2556 140 41 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 140 42 ( ( PUNCT iajs-2556 140 43 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 140 44 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 140 45 ] ] PUNCT iajs-2556 140 46 . . PUNCT iajs-2556 141 1 but but CCONJ iajs-2556 141 2 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 141 3 ( ( PUNCT iajs-2556 141 4 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 141 5 ) ) PUNCT iajs-2556 141 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 141 7 𝙹(𝐿 𝙹(𝐿 NOUN iajs-2556 141 8 ) ) PUNCT iajs-2556 142 1 so so ADV iajs-2556 142 2 π‘₯ π‘₯ ADP iajs-2556 142 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 142 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 142 5 + + NUM iajs-2556 142 6 𝙹(𝐿 𝙹(𝐿 NOUN iajs-2556 142 7 ) ) PUNCT iajs-2556 142 8 or or CCONJ iajs-2556 142 9 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 142 10 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 143 1 [ [ X iajs-2556 143 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 143 3 + + CCONJ iajs-2556 143 4 𝙹(𝐿):𝑅 𝙹(𝐿):𝑅 PROPN iajs-2556 143 5 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 143 6 ] ] PUNCT iajs-2556 143 7 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 143 8 [ [ X iajs-2556 143 9 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 143 10 + + CCONJ iajs-2556 143 11 𝙹(𝐿):𝑅 𝙹(𝐿):𝑅 PROPN iajs-2556 143 12 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 143 13 ] ] PUNCT iajs-2556 143 14 . . PUNCT iajs-2556 144 1 hence hence ADV iajs-2556 144 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 144 3 is be AUX iajs-2556 144 4 a a DET iajs-2556 144 5 wn wn NOUN iajs-2556 144 6 - - PUNCT iajs-2556 144 7 prime prime NOUN iajs-2556 144 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 144 9 of of ADP iajs-2556 144 10 𝐿. 𝐿. PROPN iajs-2556 144 11 43 43 NUM iajs-2556 144 12 ibn ibn PROPN iajs-2556 144 13 al al PROPN iajs-2556 144 14 - - PUNCT iajs-2556 144 15 haitham haitham PROPN iajs-2556 144 16 jour jour X iajs-2556 144 17 . . PROPN iajs-2556 144 18 for for ADP iajs-2556 144 19 pure pure ADJ iajs-2556 144 20 & & CCONJ iajs-2556 144 21 appl appl PROPN iajs-2556 144 22 . . PUNCT iajs-2556 145 1 sci sci PROPN iajs-2556 145 2 . . PROPN iajs-2556 146 1 34 34 NUM iajs-2556 146 2 ( ( PUNCT iajs-2556 146 3 1 1 NUM iajs-2556 146 4 ) ) PUNCT iajs-2556 146 5 2021 2021 NUM iajs-2556 146 6 remark remark NOUN iajs-2556 146 7 ( ( PUNCT iajs-2556 146 8 2.16 2.16 NUM iajs-2556 146 9 ) ) PUNCT iajs-2556 146 10 the the DET iajs-2556 146 11 resudule resudule NOUN iajs-2556 146 12 of of ADP iajs-2556 146 13 wn wn PROPN iajs-2556 146 14 - - PUNCT iajs-2556 146 15 prime prime NOUN iajs-2556 146 16 submodule submodule NOUN iajs-2556 146 17 of of ADP iajs-2556 146 18 an an DET iajs-2556 146 19 r r NOUN iajs-2556 146 20 - - PUNCT iajs-2556 146 21 module module NOUN iajs-2556 146 22 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 146 23 need need VERB iajs-2556 146 24 not not PART iajs-2556 146 25 to to PART iajs-2556 146 26 be be AUX iajs-2556 146 27 wn wn NOUN iajs-2556 146 28 - - PUNCT iajs-2556 146 29 prime prime ADJ iajs-2556 146 30 ideal ideal NOUN iajs-2556 146 31 of of ADP iajs-2556 146 32 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2556 146 33 the the DET iajs-2556 146 34 following follow VERB iajs-2556 146 35 example example NOUN iajs-2556 146 36 shows show VERB iajs-2556 146 37 that that SCONJ iajs-2556 146 38 : : PUNCT iajs-2556 146 39 let let VERB iajs-2556 146 40 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 146 41 = = SYM iajs-2556 146 42 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 146 43 , , PUNCT iajs-2556 146 44 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2556 146 45 = = PUNCT iajs-2556 146 46 𝑍 𝑍 PROPN iajs-2556 146 47 and and CCONJ iajs-2556 146 48 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 146 49 = = SYM iajs-2556 146 50 { { PUNCT iajs-2556 146 51 0Μ… 0Μ… PROPN iajs-2556 146 52 , , PUNCT iajs-2556 146 53 4Μ… 4Μ… PROPN iajs-2556 146 54 , , PUNCT iajs-2556 146 55 8Μ… 8Μ… NUM iajs-2556 146 56 } } PUNCT iajs-2556 146 57 , , PUNCT iajs-2556 146 58 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 146 59 is be AUX iajs-2556 146 60 a a DET iajs-2556 146 61 wn wn NOUN iajs-2556 146 62 - - PUNCT iajs-2556 146 63 prime prime NOUN iajs-2556 146 64 submodule submodule NOUN iajs-2556 146 65 of of ADP iajs-2556 146 66 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 146 67 by by ADP iajs-2556 146 68 remark(2.2)(2 remark(2.2)(2 NOUN iajs-2556 146 69 ) ) PUNCT iajs-2556 146 70 . . PUNCT iajs-2556 147 1 but but CCONJ iajs-2556 147 2 [ [ X iajs-2556 147 3 𝐻:𝑍 𝐻:𝑍 PROPN iajs-2556 147 4 𝑍12 𝑍12 PROPN iajs-2556 147 5 ] ] X iajs-2556 147 6 = = SYM iajs-2556 147 7 4𝑍 4𝑍 PROPN iajs-2556 147 8 is be AUX iajs-2556 147 9 not not PART iajs-2556 147 10 wn wn NOUN iajs-2556 147 11 - - PUNCT iajs-2556 147 12 prime prime ADJ iajs-2556 147 13 ideal ideal NOUN iajs-2556 147 14 of of ADP iajs-2556 147 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 147 16 because because SCONJ iajs-2556 147 17 0 0 NUM iajs-2556 147 18 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 147 19 2 2 NUM iajs-2556 147 20 2 2 NUM iajs-2556 147 21 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 147 22 4𝑍 4𝑍 NOUN iajs-2556 147 23 , , PUNCT iajs-2556 147 24 2 2 NUM iajs-2556 147 25 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 147 26 𝑍 𝑍 NOUN iajs-2556 147 27 but but CCONJ iajs-2556 147 28 2 2 NUM iajs-2556 147 29 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 147 30 4𝑍 4𝑍 PROPN iajs-2556 147 31 + + CCONJ iajs-2556 147 32 𝙹(𝑍 𝙹(𝑍 NOUN iajs-2556 147 33 ) ) PUNCT iajs-2556 148 1 = = SYM iajs-2556 148 2 4𝑍 4𝑍 NOUN iajs-2556 148 3 and and CCONJ iajs-2556 148 4 2 2 NUM iajs-2556 148 5 βˆ‰ βˆ‰ X iajs-2556 149 1 [ [ X iajs-2556 149 2 4𝑍 4𝑍 NOUN iajs-2556 149 3 + + CCONJ iajs-2556 149 4 𝙹(𝑍):𝑍 𝙹(𝑍):𝑍 PUNCT iajs-2556 149 5 𝑍 𝑍 NOUN iajs-2556 149 6 ] ] PUNCT iajs-2556 149 7 = = SYM iajs-2556 149 8 4𝑍. 4𝑍. NUM iajs-2556 149 9 the the DET iajs-2556 149 10 following follow VERB iajs-2556 149 11 propositions proposition NOUN iajs-2556 149 12 show show VERB iajs-2556 149 13 that that SCONJ iajs-2556 149 14 the the DET iajs-2556 149 15 resudule resudule NOUN iajs-2556 149 16 of of ADP iajs-2556 149 17 a a DET iajs-2556 149 18 wn wn NOUN iajs-2556 149 19 - - PUNCT iajs-2556 149 20 prime prime NOUN iajs-2556 149 21 submodule submodule NOUN iajs-2556 149 22 is be AUX iajs-2556 149 23 a a DET iajs-2556 149 24 wn wn NOUN iajs-2556 149 25 - - PUNCT iajs-2556 149 26 prime prime ADJ iajs-2556 149 27 ideal ideal NOUN iajs-2556 149 28 in in ADP iajs-2556 149 29 the the DET iajs-2556 149 30 class class NOUN iajs-2556 149 31 of of ADP iajs-2556 149 32 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 149 33 r r NOUN iajs-2556 149 34 - - PUNCT iajs-2556 149 35 module module NOUN iajs-2556 149 36 over over ADP iajs-2556 149 37 a a DET iajs-2556 149 38 good good ADJ iajs-2556 149 39 ring ring NOUN iajs-2556 149 40 , , PUNCT iajs-2556 149 41 artinian artinian ADJ iajs-2556 149 42 ring ring NOUN iajs-2556 149 43 respectively respectively ADV iajs-2556 149 44 . . PUNCT iajs-2556 150 1 remember remember VERB iajs-2556 150 2 that that SCONJ iajs-2556 150 3 a a DET iajs-2556 150 4 ring ring NOUN iajs-2556 150 5 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 150 6 is be AUX iajs-2556 150 7 called call VERB iajs-2556 150 8 good good ADJ iajs-2556 150 9 if if SCONJ iajs-2556 150 10 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 VERB iajs-2556 150 11 ) ) PUNCT iajs-2556 150 12 = = SYM iajs-2556 150 13 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 150 14 ) ) PUNCT iajs-2556 150 15 . . PUNCT iajs-2556 151 1 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 151 2 where where SCONJ iajs-2556 151 3 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 151 4 is be AUX iajs-2556 151 5 an an DET iajs-2556 151 6 r r NOUN iajs-2556 151 7 - - PUNCT iajs-2556 151 8 module module NOUN iajs-2556 151 9 [ [ X iajs-2556 151 10 14 14 NUM iajs-2556 151 11 ] ] PUNCT iajs-2556 151 12 . . PUNCT iajs-2556 152 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 152 2 ( ( PUNCT iajs-2556 152 3 2.17 2.17 NUM iajs-2556 152 4 ) ) PUNCT iajs-2556 152 5 let let VERB iajs-2556 152 6 𝘜 𝘜 PRON iajs-2556 152 7 be be AUX iajs-2556 152 8 a a DET iajs-2556 152 9 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 152 10 module module NOUN iajs-2556 152 11 over over ADP iajs-2556 152 12 a a DET iajs-2556 152 13 good good ADJ iajs-2556 152 14 ring ring NOUN iajs-2556 152 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 152 16 , , PUNCT iajs-2556 152 17 and and CCONJ iajs-2556 152 18 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 152 19 is be AUX iajs-2556 152 20 a a DET iajs-2556 152 21 wn wn NOUN iajs-2556 152 22 - - PUNCT iajs-2556 152 23 prime prime NOUN iajs-2556 152 24 submodule submodule NOUN iajs-2556 152 25 of of ADP iajs-2556 152 26 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 153 1 then then ADV iajs-2556 153 2 [ [ X iajs-2556 153 3 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 153 4 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 153 5 ] ] PUNCT iajs-2556 153 6 is be AUX iajs-2556 153 7 a a DET iajs-2556 153 8 wn wn NOUN iajs-2556 153 9 - - PUNCT iajs-2556 153 10 prime prime ADJ iajs-2556 153 11 ideal ideal NOUN iajs-2556 153 12 of of ADP iajs-2556 153 13 𝑅. 𝑅. ADJ iajs-2556 153 14 proof proof NOUN iajs-2556 153 15 suppose suppose VERB iajs-2556 153 16 that that SCONJ iajs-2556 153 17 0 0 NUM iajs-2556 153 18 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 153 19 π‘Ÿπ‘  π‘Ÿπ‘  PROPN iajs-2556 153 20 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 154 1 [ [ X iajs-2556 154 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 154 3 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 154 4 ] ] PUNCT iajs-2556 154 5 where where SCONJ iajs-2556 154 6 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 154 7 , , PUNCT iajs-2556 154 8 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2556 154 9 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 154 10 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 154 11 , , PUNCT iajs-2556 154 12 implies imply VERB iajs-2556 154 13 that that SCONJ iajs-2556 154 14 0 0 NUM iajs-2556 154 15 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 154 16 π‘Ÿ(π‘ π˜œ π‘Ÿ(π‘ π˜œ PROPN iajs-2556 154 17 ) ) PUNCT iajs-2556 154 18 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 154 19 𝐻. 𝐻. PROPN iajs-2556 154 20 but but CCONJ iajs-2556 154 21 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 154 22 is be AUX iajs-2556 154 23 a a DET iajs-2556 154 24 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 154 25 submodule submodule NOUN iajs-2556 154 26 of of ADP iajs-2556 154 27 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 154 28 , , PUNCT iajs-2556 154 29 then then ADV iajs-2556 154 30 by by ADP iajs-2556 154 31 corollary corollary ADJ iajs-2556 154 32 ( ( PUNCT iajs-2556 154 33 2.4 2.4 NUM iajs-2556 154 34 ) ) PUNCT iajs-2556 154 35 either either CCONJ iajs-2556 154 36 π‘ π˜œ π‘ π˜œ ADJ iajs-2556 154 37 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 154 38 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 154 39 + + CCONJ iajs-2556 154 40 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 ADJ iajs-2556 154 41 ) ) PUNCT iajs-2556 154 42 or or CCONJ iajs-2556 154 43 π‘Ÿπ˜œ π‘Ÿπ˜œ VERB iajs-2556 154 44 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 154 45 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 154 46 + + CCONJ iajs-2556 154 47 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 154 48 ) ) PUNCT iajs-2556 154 49 . . PUNCT iajs-2556 155 1 for for ADP iajs-2556 155 2 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 155 3 a a DET iajs-2556 155 4 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 155 5 module module NOUN iajs-2556 155 6 over over ADP iajs-2556 155 7 good good ADJ iajs-2556 155 8 ring ring NOUN iajs-2556 155 9 , , PUNCT iajs-2556 155 10 then then ADV iajs-2556 155 11 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 X iajs-2556 155 12 ) ) PUNCT iajs-2556 155 13 = = SYM iajs-2556 155 14 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 155 15 ) ) PUNCT iajs-2556 155 16 . . PUNCT iajs-2556 156 1 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 156 2 and and CCONJ iajs-2556 156 3 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 156 4 = = PUNCT iajs-2556 157 1 [ [ X iajs-2556 157 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 157 3 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 157 4 ] ] PUNCT iajs-2556 157 5 . . PUNCT iajs-2556 158 1 𝘜. 𝘜. NOUN iajs-2556 158 2 thus thus ADV iajs-2556 158 3 either either CCONJ iajs-2556 158 4 π‘ π˜œ π‘ π˜œ PROPN iajs-2556 158 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 158 6 [ [ X iajs-2556 158 7 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 158 8 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 158 9 ] ] PUNCT iajs-2556 158 10 . . PUNCT iajs-2556 159 1 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 159 2 + + NUM iajs-2556 159 3 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 159 4 ) ) PUNCT iajs-2556 159 5 . . PUNCT iajs-2556 160 1 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 160 2 or or CCONJ iajs-2556 160 3 π‘Ÿπ˜œ π‘Ÿπ˜œ VERB iajs-2556 160 4 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 160 5 [ [ X iajs-2556 160 6 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 160 7 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 160 8 ] ] X iajs-2556 160 9 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 160 10 + + PROPN iajs-2556 160 11 𝙹(𝑅)𝘜. 𝙹(𝑅)𝘜. NOUN iajs-2556 160 12 hence hence ADV iajs-2556 160 13 either either CCONJ iajs-2556 160 14 𝑠 𝑠 PROPN iajs-2556 160 15 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 161 1 [ [ X iajs-2556 161 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 161 3 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 161 4 ] ] PUNCT iajs-2556 162 1 + + NUM iajs-2556 162 2 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 162 3 ) ) PUNCT iajs-2556 162 4 or or CCONJ iajs-2556 162 5 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 162 6 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 163 1 [ [ X iajs-2556 163 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 163 3 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 163 4 ] ] PUNCT iajs-2556 163 5 + + NUM iajs-2556 163 6 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 X iajs-2556 163 7 ) ) PUNCT iajs-2556 164 1 = = PUNCT iajs-2556 165 1 [ [ X iajs-2556 165 2 [ [ X iajs-2556 165 3 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 165 4 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 165 5 ] ] PUNCT iajs-2556 165 6 + + CCONJ iajs-2556 165 7 𝙹(𝑅):𝑅 𝙹(𝑅):𝑅 VERB iajs-2556 165 8 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 165 9 ] ] PUNCT iajs-2556 165 10 . . PUNCT iajs-2556 166 1 therefore therefore ADV iajs-2556 166 2 [ [ X iajs-2556 166 3 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 166 4 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 166 5 ] ] PUNCT iajs-2556 166 6 is be AUX iajs-2556 166 7 a a DET iajs-2556 166 8 wn wn NOUN iajs-2556 166 9 - - PUNCT iajs-2556 166 10 prime prime ADJ iajs-2556 166 11 ideal ideal NOUN iajs-2556 166 12 of of ADP iajs-2556 166 13 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2556 167 1 it it PRON iajs-2556 167 2 is be AUX iajs-2556 167 3 well well ADV iajs-2556 167 4 known know VERB iajs-2556 167 5 if if SCONJ iajs-2556 167 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 167 7 is be AUX iajs-2556 167 8 a a DET iajs-2556 167 9 module module NOUN iajs-2556 167 10 over over ADP iajs-2556 167 11 artinian artinian ADJ iajs-2556 167 12 ring ring NOUN iajs-2556 167 13 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 167 14 then then ADV iajs-2556 167 15 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 167 16 ) ) PUNCT iajs-2556 167 17 = = PUNCT iajs-2556 168 1 𝙹(𝑅)𝘜. 𝙹(𝑅)𝘜. NOUN iajs-2556 169 1 [ [ X iajs-2556 169 2 14 14 NUM iajs-2556 169 3 , , PUNCT iajs-2556 169 4 co. co. NOUN iajs-2556 169 5 9.3.10(c 9.3.10(c NOUN iajs-2556 169 6 ) ) PUNCT iajs-2556 169 7 ] ] PUNCT iajs-2556 169 8 . . PUNCT iajs-2556 170 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 170 2 ( ( PUNCT iajs-2556 170 3 2.18 2.18 NUM iajs-2556 170 4 ) ) PUNCT iajs-2556 170 5 let let VERB iajs-2556 170 6 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 170 7 is be AUX iajs-2556 170 8 a a DET iajs-2556 170 9 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 170 10 module module NOUN iajs-2556 170 11 over over ADP iajs-2556 170 12 artinian artinian ADJ iajs-2556 170 13 ring ring PROPN iajs-2556 170 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 170 15 , , PUNCT iajs-2556 170 16 and and CCONJ iajs-2556 170 17 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 170 18 is be AUX iajs-2556 170 19 a a DET iajs-2556 170 20 wn wn NOUN iajs-2556 170 21 - - PUNCT iajs-2556 170 22 prime prime NOUN iajs-2556 170 23 submodule submodule NOUN iajs-2556 170 24 of of ADP iajs-2556 170 25 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 170 26 then then ADV iajs-2556 170 27 [ [ X iajs-2556 170 28 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 170 29 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 170 30 ] ] PUNCT iajs-2556 170 31 is be AUX iajs-2556 170 32 a a DET iajs-2556 170 33 wn wn NOUN iajs-2556 170 34 - - PUNCT iajs-2556 170 35 prime prime ADJ iajs-2556 170 36 ideal ideal NOUN iajs-2556 170 37 of of ADP iajs-2556 170 38 𝑅. 𝑅. ADJ iajs-2556 170 39 proof proof NOUN iajs-2556 170 40 let let VERB iajs-2556 171 1 0 0 NUM iajs-2556 171 2 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 171 3 π‘ŸπΌ π‘ŸπΌ NUM iajs-2556 171 4 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 172 1 [ [ X iajs-2556 172 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 172 3 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 172 4 ] ] PUNCT iajs-2556 172 5 where where SCONJ iajs-2556 172 6 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 172 7 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 172 8 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 172 9 and and CCONJ iajs-2556 172 10 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2556 172 11 is be AUX iajs-2556 172 12 an an DET iajs-2556 172 13 ideal ideal NOUN iajs-2556 172 14 of of ADP iajs-2556 172 15 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 172 16 , , PUNCT iajs-2556 172 17 then then ADV iajs-2556 172 18 0 0 NUM iajs-2556 172 19 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 172 20 π‘ŸπΌ π‘ŸπΌ NUM iajs-2556 172 21 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 172 22 𝐻. 𝐻. PROPN iajs-2556 172 23 since since SCONJ iajs-2556 172 24 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 172 25 is be AUX iajs-2556 172 26 a a DET iajs-2556 172 27 wn wn NOUN iajs-2556 172 28 - - PUNCT iajs-2556 172 29 prime prime NOUN iajs-2556 172 30 submodule submodule NOUN iajs-2556 172 31 of of ADP iajs-2556 172 32 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 172 33 , , PUNCT iajs-2556 172 34 then then ADV iajs-2556 172 35 by by ADP iajs-2556 172 36 corollary corollary ADJ iajs-2556 172 37 ( ( PUNCT iajs-2556 172 38 2.4 2.4 NUM iajs-2556 172 39 ) ) PUNCT iajs-2556 172 40 either either CCONJ iajs-2556 172 41 𝐼𝘜 𝐼𝘜 PROPN iajs-2556 172 42 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 172 43 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 172 44 + + CCONJ iajs-2556 172 45 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 ADJ iajs-2556 172 46 ) ) PUNCT iajs-2556 172 47 or or CCONJ iajs-2556 172 48 π‘Ÿπ˜œ π‘Ÿπ˜œ VERB iajs-2556 172 49 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 172 50 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 172 51 + + CCONJ iajs-2556 172 52 𝙹(𝘜).but 𝙹(𝘜).but NOUN iajs-2556 173 1 π‘ˆ π‘ˆ NOUN iajs-2556 173 2 is be AUX iajs-2556 173 3 a a DET iajs-2556 173 4 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 173 5 module module NOUN iajs-2556 173 6 over over ADP iajs-2556 173 7 good good ADJ iajs-2556 173 8 ring ring PROPN iajs-2556 173 9 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 173 10 , , PUNCT iajs-2556 173 11 then then ADV iajs-2556 173 12 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 173 13 ) ) PUNCT iajs-2556 173 14 = = SYM iajs-2556 173 15 𝙹(𝑅)𝘜 𝙹(𝑅)𝘜 PROPN iajs-2556 173 16 and and CCONJ iajs-2556 173 17 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 173 18 = = PUNCT iajs-2556 174 1 [ [ X iajs-2556 174 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 174 3 𝘜]𝘜. 𝘜]𝘜. PROPN iajs-2556 174 4 it it PRON iajs-2556 174 5 follows follow VERB iajs-2556 174 6 that that SCONJ iajs-2556 174 7 either either CCONJ iajs-2556 174 8 𝐼𝘜 𝐼𝘜 PROPN iajs-2556 174 9 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 174 10 [ [ X iajs-2556 174 11 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 174 12 𝘜]𝘜 𝘜]𝘜 PROPN iajs-2556 174 13 + + CCONJ iajs-2556 174 14 𝙹(𝑅)𝘜 𝙹(𝑅)𝘜 PROPN iajs-2556 174 15 or or CCONJ iajs-2556 174 16 π‘Ÿπ˜œ π‘Ÿπ˜œ VERB iajs-2556 174 17 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 174 18 [ [ X iajs-2556 174 19 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 174 20 𝘜]𝘜 𝘜]𝘜 PROPN iajs-2556 174 21 + + NUM iajs-2556 174 22 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NUM iajs-2556 174 23 ) ) PUNCT iajs-2556 174 24 . . PUNCT iajs-2556 175 1 𝘜. 𝘜. NOUN iajs-2556 175 2 hence hence ADV iajs-2556 175 3 either either CCONJ iajs-2556 175 4 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2556 175 5 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2556 175 6 [ [ X iajs-2556 175 7 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 175 8 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 175 9 ] ] PUNCT iajs-2556 175 10 + + NUM iajs-2556 175 11 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 175 12 ) ) PUNCT iajs-2556 175 13 or or CCONJ iajs-2556 175 14 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 175 15 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 176 1 [ [ X iajs-2556 176 2 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 176 3 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 176 4 ] ] PUNCT iajs-2556 176 5 + + NUM iajs-2556 176 6 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 X iajs-2556 176 7 ) ) PUNCT iajs-2556 177 1 = = PUNCT iajs-2556 178 1 [ [ X iajs-2556 178 2 [ [ X iajs-2556 178 3 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 178 4 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 178 5 ] ] PUNCT iajs-2556 179 1 + + CCONJ iajs-2556 179 2 𝙹(𝑅):𝑅 𝙹(𝑅):𝑅 VERB iajs-2556 179 3 𝘜].therefore 𝘜].therefore X iajs-2556 179 4 [ [ X iajs-2556 179 5 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 179 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 179 7 ] ] PUNCT iajs-2556 179 8 is be AUX iajs-2556 179 9 a a DET iajs-2556 179 10 wn wn NOUN iajs-2556 179 11 - - PUNCT iajs-2556 179 12 prime prime ADJ iajs-2556 179 13 ideal ideal NOUN iajs-2556 179 14 of of ADP iajs-2556 179 15 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2556 180 1 it it PRON iajs-2556 180 2 is be AUX iajs-2556 180 3 well well ADV iajs-2556 180 4 known know VERB iajs-2556 180 5 that that SCONJ iajs-2556 180 6 if if SCONJ iajs-2556 180 7 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 180 8 is be AUX iajs-2556 180 9 a a DET iajs-2556 180 10 projective projective ADJ iajs-2556 180 11 r r NOUN iajs-2556 180 12 - - PUNCT iajs-2556 180 13 module module NOUN iajs-2556 180 14 then then ADV iajs-2556 180 15 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 180 16 ) ) PUNCT iajs-2556 180 17 = = SYM iajs-2556 180 18 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 180 19 ) ) PUNCT iajs-2556 180 20 . . PUNCT iajs-2556 181 1 𝘜 𝘜 PRON iajs-2556 182 1 [ [ X iajs-2556 182 2 14 14 NUM iajs-2556 182 3 , , PUNCT iajs-2556 182 4 th th X iajs-2556 182 5 . . NOUN iajs-2556 182 6 9.2.1(g 9.2.1(g NUM iajs-2556 182 7 ) ) PUNCT iajs-2556 182 8 ] ] PUNCT iajs-2556 182 9 . . PUNCT iajs-2556 183 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 183 2 ( ( PUNCT iajs-2556 183 3 2.19 2.19 NUM iajs-2556 183 4 ) ) PUNCT iajs-2556 183 5 let let VERB iajs-2556 183 6 𝘜 𝘜 PRON iajs-2556 183 7 be be AUX iajs-2556 183 8 a a DET iajs-2556 183 9 projective projective ADJ iajs-2556 183 10 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 183 11 r r NOUN iajs-2556 183 12 - - NOUN iajs-2556 183 13 module module NOUN iajs-2556 183 14 , , PUNCT iajs-2556 183 15 and and CCONJ iajs-2556 183 16 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 183 17 is be AUX iajs-2556 183 18 a a DET iajs-2556 183 19 wn wn NOUN iajs-2556 183 20 - - PUNCT iajs-2556 183 21 prime prime NOUN iajs-2556 183 22 submodule submodule NOUN iajs-2556 183 23 of of ADP iajs-2556 183 24 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 184 1 then then ADV iajs-2556 184 2 [ [ X iajs-2556 184 3 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 184 4 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 184 5 ] ] PUNCT iajs-2556 184 6 is be AUX iajs-2556 184 7 a a DET iajs-2556 184 8 wn wn NOUN iajs-2556 184 9 - - PUNCT iajs-2556 184 10 prime prime ADJ iajs-2556 184 11 ideal ideal NOUN iajs-2556 184 12 of of ADP iajs-2556 184 13 𝑅. 𝑅. ADJ iajs-2556 184 14 proof proof NOUN iajs-2556 184 15 44 44 NUM iajs-2556 184 16 ibn ibn PROPN iajs-2556 184 17 al al PROPN iajs-2556 184 18 - - PUNCT iajs-2556 184 19 haitham haitham PROPN iajs-2556 184 20 jour jour X iajs-2556 184 21 . . PROPN iajs-2556 185 1 for for ADP iajs-2556 185 2 pure pure ADJ iajs-2556 185 3 & & CCONJ iajs-2556 185 4 appl appl PROPN iajs-2556 185 5 . . PUNCT iajs-2556 186 1 sci sci PROPN iajs-2556 186 2 . . PROPN iajs-2556 187 1 34 34 NUM iajs-2556 187 2 ( ( PUNCT iajs-2556 187 3 1 1 NUM iajs-2556 187 4 ) ) PUNCT iajs-2556 187 5 2021 2021 NUM iajs-2556 187 6 follows follow VERB iajs-2556 187 7 in in ADP iajs-2556 187 8 the the DET iajs-2556 187 9 same same ADJ iajs-2556 187 10 way way NOUN iajs-2556 187 11 of of ADP iajs-2556 187 12 proposition proposition NOUN iajs-2556 187 13 ( ( PUNCT iajs-2556 187 14 2.17 2.17 NUM iajs-2556 187 15 ) ) PUNCT iajs-2556 187 16 and and CCONJ iajs-2556 187 17 proposition proposition NOUN iajs-2556 187 18 ( ( PUNCT iajs-2556 187 19 2.18 2.18 NUM iajs-2556 187 20 ) ) PUNCT iajs-2556 187 21 . . PUNCT iajs-2556 188 1 it it PRON iajs-2556 188 2 is be AUX iajs-2556 188 3 well well ADV iajs-2556 188 4 known know VERB iajs-2556 188 5 if if SCONJ iajs-2556 188 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 188 7 is be AUX iajs-2556 188 8 a a DET iajs-2556 188 9 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 188 10 finitely finitely ADV iajs-2556 188 11 generated generate VERB iajs-2556 188 12 r r NOUN iajs-2556 188 13 - - PUNCT iajs-2556 188 14 module module NOUN iajs-2556 188 15 , , PUNCT iajs-2556 188 16 and and CCONJ iajs-2556 188 17 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 188 18 , , PUNCT iajs-2556 188 19 𝐡 𝐡 PROPN iajs-2556 188 20 are be AUX iajs-2556 188 21 ideals ideal NOUN iajs-2556 188 22 of of ADP iajs-2556 188 23 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2556 188 24 , , PUNCT iajs-2556 188 25 then then ADV iajs-2556 188 26 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 188 27 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 188 28 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 188 29 𝐡 𝐡 PROPN iajs-2556 188 30 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 189 1 if if SCONJ iajs-2556 190 1 and and CCONJ iajs-2556 190 2 only only ADV iajs-2556 190 3 if if SCONJ iajs-2556 190 4 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 190 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 190 6 𝐡 𝐡 NOUN iajs-2556 190 7 + + CCONJ iajs-2556 190 8 π‘Žπ‘›π‘› π‘Žπ‘›π‘› PROPN iajs-2556 190 9 ( ( PUNCT iajs-2556 190 10 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 190 11 ) ) PUNCT iajs-2556 191 1 [ [ X iajs-2556 191 2 15 15 NUM iajs-2556 191 3 , , PUNCT iajs-2556 191 4 cor cor PROPN iajs-2556 191 5 . . PROPN iajs-2556 191 6 of of ADP iajs-2556 191 7 th th NUM iajs-2556 191 8 . . PUNCT iajs-2556 191 9 9 9 NUM iajs-2556 191 10 ] ] PUNCT iajs-2556 191 11 . . PUNCT iajs-2556 192 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 192 2 ( ( PUNCT iajs-2556 192 3 20 20 NUM iajs-2556 192 4 ) ) PUNCT iajs-2556 192 5 let let VERB iajs-2556 192 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 192 7 be be AUX iajs-2556 192 8 a a DET iajs-2556 192 9 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 192 10 finitely finitely ADV iajs-2556 192 11 generated generate VERB iajs-2556 192 12 faithful faithful ADJ iajs-2556 192 13 module module NOUN iajs-2556 192 14 over over ADP iajs-2556 192 15 good good ADJ iajs-2556 192 16 ring ring PROPN iajs-2556 192 17 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 192 18 , , PUNCT iajs-2556 192 19 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 192 20 is be AUX iajs-2556 192 21 a a DET iajs-2556 192 22 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 192 23 ideal ideal NOUN iajs-2556 192 24 of of ADP iajs-2556 192 25 𝑅.then 𝑅.then X iajs-2556 192 26 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 192 27 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 192 28 is be AUX iajs-2556 192 29 a a DET iajs-2556 192 30 wn wn NOUN iajs-2556 192 31 - - PUNCT iajs-2556 192 32 prime prime NOUN iajs-2556 192 33 submodule submodule NOUN iajs-2556 192 34 of of ADP iajs-2556 192 35 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 192 36 proof proof NOUN iajs-2556 192 37 suppose suppose VERB iajs-2556 192 38 that that SCONJ iajs-2556 192 39 0 0 NUM iajs-2556 192 40 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 192 41 π‘Žπ» π‘Žπ» NOUN iajs-2556 192 42 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 192 43 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 192 44 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 192 45 where where SCONJ iajs-2556 192 46 π‘Ž π‘Ž DET iajs-2556 192 47 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 192 48 𝑅,𝐻 𝑅,𝐻 NOUN iajs-2556 192 49 is be AUX iajs-2556 192 50 a a DET iajs-2556 192 51 submodule submodule NOUN iajs-2556 192 52 of of ADP iajs-2556 192 53 π‘ˆ,implies π‘ˆ,implie NOUN iajs-2556 193 1 that that SCONJ iajs-2556 193 2 0 0 NUM iajs-2556 193 3 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 193 4 π‘ŽπΌ π‘ŽπΌ VERB iajs-2556 193 5 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 193 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 193 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 193 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 193 9 for for ADP iajs-2556 193 10 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 193 11 is be AUX iajs-2556 193 12 a a DET iajs-2556 193 13 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 193 14 , , PUNCT iajs-2556 193 15 it it PRON iajs-2556 193 16 follows follow VERB iajs-2556 193 17 that that SCONJ iajs-2556 193 18 0 0 NUM iajs-2556 193 19 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 193 20 π‘ŽπΌ π‘ŽπΌ VERB iajs-2556 193 21 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 193 22 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 193 23 + + NOUN iajs-2556 193 24 π‘Žπ‘›π‘› π‘Žπ‘›π‘› ADV iajs-2556 193 25 ( ( PUNCT iajs-2556 193 26 π‘ˆ).but π‘ˆ).but CCONJ iajs-2556 193 27 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 193 28 is be AUX iajs-2556 193 29 faithful faithful ADJ iajs-2556 193 30 , , PUNCT iajs-2556 193 31 then then ADV iajs-2556 193 32 π‘Žπ‘›π‘› π‘Žπ‘›π‘› ADV iajs-2556 193 33 ( ( PUNCT iajs-2556 193 34 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 193 35 ) ) PUNCT iajs-2556 193 36 = = SYM iajs-2556 193 37 ( ( PUNCT iajs-2556 193 38 0 0 NUM iajs-2556 193 39 ) ) PUNCT iajs-2556 193 40 . . PUNCT iajs-2556 194 1 thus thus ADV iajs-2556 194 2 0 0 X iajs-2556 194 3 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 194 4 π‘ŽπΌ π‘ŽπΌ VERB iajs-2556 194 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 194 6 𝘈. 𝘈. PROPN iajs-2556 194 7 but but CCONJ iajs-2556 194 8 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 194 9 is be AUX iajs-2556 194 10 a a DET iajs-2556 194 11 wn wn NOUN iajs-2556 194 12 - - PUNCT iajs-2556 194 13 prime prime ADJ iajs-2556 194 14 ideal ideal NOUN iajs-2556 194 15 of of ADP iajs-2556 194 16 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 194 17 , , PUNCT iajs-2556 194 18 then then ADV iajs-2556 194 19 either either CCONJ iajs-2556 194 20 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2556 194 21 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 194 22 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 194 23 + + NUM iajs-2556 194 24 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 194 25 ) ) PUNCT iajs-2556 194 26 or or CCONJ iajs-2556 194 27 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 194 28 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 195 1 [ [ X iajs-2556 195 2 𝘈 𝘈 NOUN iajs-2556 195 3 + + NUM iajs-2556 195 4 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 X iajs-2556 195 5 ): ): PUNCT iajs-2556 195 6 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2556 195 7 ] ] PUNCT iajs-2556 195 8 = = PUNCT iajs-2556 195 9 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 195 10 + + NUM iajs-2556 195 11 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 195 12 ) ) PUNCT iajs-2556 195 13 . . PUNCT iajs-2556 196 1 hence hence ADV iajs-2556 196 2 𝐼 𝐼 ADP iajs-2556 196 3 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 4 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 196 5 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 196 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 7 + + CCONJ iajs-2556 196 8 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 196 9 ) ) PUNCT iajs-2556 196 10 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 11 or or CCONJ iajs-2556 196 12 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 196 13 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 14 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 196 15 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 196 16 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 17 + + CCONJ iajs-2556 196 18 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 196 19 ) ) PUNCT iajs-2556 196 20 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 196 21 that that PRON iajs-2556 196 22 is be AUX iajs-2556 196 23 either either CCONJ iajs-2556 196 24 𝐼 𝐼 PROPN iajs-2556 196 25 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 26 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 196 27 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 196 28 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 29 + + CCONJ iajs-2556 196 30 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 196 31 ( ( PUNCT iajs-2556 196 32 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 33 ) ) PUNCT iajs-2556 196 34 or or CCONJ iajs-2556 196 35 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 196 36 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 37 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 196 38 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 196 39 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 40 + + CCONJ iajs-2556 196 41 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 196 42 ( ( PUNCT iajs-2556 196 43 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 196 44 ) ) PUNCT iajs-2556 196 45 . . PUNCT iajs-2556 197 1 thus thus ADV iajs-2556 197 2 either either CCONJ iajs-2556 197 3 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 197 4 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 197 5 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 197 6 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 197 7 + + CCONJ iajs-2556 197 8 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 197 9 ( ( PUNCT iajs-2556 197 10 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 197 11 ) ) PUNCT iajs-2556 197 12 or or CCONJ iajs-2556 197 13 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 197 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 198 1 [ [ X iajs-2556 198 2 𝘈 𝘈 X iajs-2556 198 3 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 198 4 + + CCONJ iajs-2556 198 5 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 198 6 ( ( PUNCT iajs-2556 198 7 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 198 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 198 9 ] ] PUNCT iajs-2556 198 10 . . PUNCT iajs-2556 199 1 therefore therefore ADV iajs-2556 199 2 𝘈 𝘈 PROPN iajs-2556 199 3 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 199 4 is be AUX iajs-2556 199 5 a a DET iajs-2556 199 6 wn wn NOUN iajs-2556 199 7 - - PUNCT iajs-2556 199 8 prime prime NOUN iajs-2556 199 9 submodule submodule NOUN iajs-2556 199 10 of of ADP iajs-2556 199 11 π‘ˆ. π‘ˆ. ADJ iajs-2556 199 12 proposition proposition NOUN iajs-2556 199 13 ( ( PUNCT iajs-2556 199 14 2.21 2.21 NUM iajs-2556 199 15 ) ) PUNCT iajs-2556 199 16 let let VERB iajs-2556 199 17 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 199 18 be be AUX iajs-2556 199 19 a a DET iajs-2556 199 20 finitely finitely ADV iajs-2556 199 21 generated generate VERB iajs-2556 199 22 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 199 23 faithful faithful ADJ iajs-2556 199 24 module module NOUN iajs-2556 199 25 over over ADP iajs-2556 199 26 artinian artinian ADJ iajs-2556 199 27 ring ring PROPN iajs-2556 199 28 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 199 29 , , PUNCT iajs-2556 199 30 and and CCONJ iajs-2556 199 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 199 32 be be VERB iajs-2556 199 33 a a DET iajs-2556 199 34 wn wn NOUN iajs-2556 199 35 - - PUNCT iajs-2556 199 36 prime prime ADJ iajs-2556 199 37 ideal ideal NOUN iajs-2556 199 38 of of ADP iajs-2556 199 39 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 199 40 , , PUNCT iajs-2556 199 41 then then ADV iajs-2556 199 42 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 199 43 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 199 44 is be AUX iajs-2556 199 45 a a DET iajs-2556 199 46 wn wn NOUN iajs-2556 199 47 - - PUNCT iajs-2556 199 48 prime prime NOUN iajs-2556 199 49 submodule submodule NOUN iajs-2556 199 50 of of ADP iajs-2556 199 51 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 199 52 proof proof NOUN iajs-2556 199 53 similar similar ADJ iajs-2556 199 54 as as ADP iajs-2556 199 55 in in ADP iajs-2556 199 56 proposition proposition NOUN iajs-2556 199 57 ( ( PUNCT iajs-2556 199 58 2.20 2.20 NUM iajs-2556 199 59 ) ) PUNCT iajs-2556 199 60 . . PUNCT iajs-2556 200 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 200 2 ( ( PUNCT iajs-2556 200 3 2.22 2.22 NUM iajs-2556 200 4 ) ) PUNCT iajs-2556 200 5 let let VERB iajs-2556 200 6 𝘜 𝘜 PRON iajs-2556 200 7 be be AUX iajs-2556 200 8 a a DET iajs-2556 200 9 finitely finitely ADV iajs-2556 200 10 generated generate VERB iajs-2556 200 11 projective projective ADJ iajs-2556 200 12 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 200 13 r r NOUN iajs-2556 200 14 - - NOUN iajs-2556 200 15 module module NOUN iajs-2556 200 16 , , PUNCT iajs-2556 200 17 and and CCONJ iajs-2556 200 18 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 200 19 is be AUX iajs-2556 200 20 a a DET iajs-2556 200 21 wn wn NOUN iajs-2556 200 22 - - PUNCT iajs-2556 200 23 prime prime ADJ iajs-2556 200 24 ideal ideal NOUN iajs-2556 200 25 of of ADP iajs-2556 200 26 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 200 27 with with ADP iajs-2556 200 28 π‘Žπ‘›π‘›(𝘜)βŠ† π‘Žπ‘›π‘›(𝘜)βŠ† PROPN iajs-2556 200 29 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 200 30 then then ADV iajs-2556 200 31 𝐴𝘜 𝐴𝘜 PROPN iajs-2556 200 32 is be AUX iajs-2556 200 33 a a DET iajs-2556 200 34 wn wn NOUN iajs-2556 200 35 - - PUNCT iajs-2556 200 36 prime prime NOUN iajs-2556 200 37 submodule submodule NOUN iajs-2556 200 38 of of ADP iajs-2556 200 39 𝘜. 𝘜. PROPN iajs-2556 200 40 proof proof NOUN iajs-2556 200 41 suppose suppose VERB iajs-2556 200 42 that that SCONJ iajs-2556 200 43 0 0 NUM iajs-2556 200 44 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 200 45 π‘Žπ‘’ π‘Žπ‘’ DET iajs-2556 200 46 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 200 47 𝐴𝘜 𝐴𝘜 NOUN iajs-2556 200 48 for for ADP iajs-2556 200 49 π‘Ž π‘Ž PROPN iajs-2556 200 50 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 200 51 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 200 52 , , PUNCT iajs-2556 200 53 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 200 54 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 200 55 𝘜 𝘜 NOUN iajs-2556 200 56 so so ADV iajs-2556 200 57 , , PUNCT iajs-2556 200 58 0 0 NUM iajs-2556 200 59 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 200 60 π‘Ž(𝑒 π‘Ž(𝑒 PROPN iajs-2556 200 61 ) ) PUNCT iajs-2556 200 62 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 200 63 𝐴𝘜. 𝐴𝘜. NOUN iajs-2556 200 64 since since SCONJ iajs-2556 200 65 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 200 66 is be AUX iajs-2556 200 67 a a DET iajs-2556 200 68 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 200 69 , , PUNCT iajs-2556 200 70 then then ADV iajs-2556 200 71 ( ( PUNCT iajs-2556 201 1 𝑒 𝑒 X iajs-2556 201 2 ) ) PUNCT iajs-2556 201 3 = = SYM iajs-2556 201 4 π™Ήπ˜œ π™Ήπ˜œ PROPN iajs-2556 201 5 for for ADP iajs-2556 201 6 some some DET iajs-2556 201 7 ideal ideal ADJ iajs-2556 201 8 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 201 9 of of ADP iajs-2556 201 10 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 201 11 , , PUNCT iajs-2556 201 12 hence hence ADV iajs-2556 201 13 0 0 NUM iajs-2556 201 14 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 201 15 π‘Žπ™Ήπ˜œ π‘Žπ™Ήπ˜œ NOUN iajs-2556 201 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 201 17 𝐴𝘜 𝐴𝘜 PROPN iajs-2556 201 18 , , PUNCT iajs-2556 201 19 since since SCONJ iajs-2556 201 20 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 201 21 is be AUX iajs-2556 201 22 finitely finitely ADV iajs-2556 201 23 generated generate VERB iajs-2556 201 24 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 201 25 , , PUNCT iajs-2556 201 26 then then ADV iajs-2556 201 27 0 0 NUM iajs-2556 201 28 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 201 29 π‘Žπ™Ή π‘Žπ™Ή ADJ iajs-2556 201 30 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 201 31 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 201 32 + + CCONJ iajs-2556 201 33 π‘Žπ‘›π‘›(𝘜 π‘Žπ‘›π‘›(𝘜 PROPN iajs-2556 201 34 ) ) PUNCT iajs-2556 201 35 . . PUNCT iajs-2556 202 1 but but CCONJ iajs-2556 202 2 π‘Žπ‘›π‘›(𝘜 π‘Žπ‘›π‘›(𝘜 PROPN iajs-2556 202 3 ) ) PUNCT iajs-2556 202 4 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 202 5 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 202 6 , , PUNCT iajs-2556 202 7 then then ADV iajs-2556 202 8 0 0 NUM iajs-2556 202 9 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 202 10 π‘Žπ™Ή π‘Žπ™Ή NOUN iajs-2556 202 11 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 202 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 202 13 , , PUNCT iajs-2556 202 14 since since SCONJ iajs-2556 202 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 202 16 is be AUX iajs-2556 202 17 a a DET iajs-2556 202 18 wn wn NOUN iajs-2556 202 19 - - PUNCT iajs-2556 202 20 prime prime ADJ iajs-2556 202 21 ideal ideal NOUN iajs-2556 202 22 of of ADP iajs-2556 202 23 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 202 24 then then ADV iajs-2556 202 25 by by ADP iajs-2556 202 26 corollary corollary ADJ iajs-2556 202 27 ( ( PUNCT iajs-2556 202 28 2.4 2.4 NUM iajs-2556 202 29 ) ) PUNCT iajs-2556 202 30 either either CCONJ iajs-2556 202 31 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 202 32 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 202 33 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 202 34 + + CCONJ iajs-2556 202 35 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NOUN iajs-2556 202 36 ) ) PUNCT iajs-2556 202 37 or or CCONJ iajs-2556 202 38 π‘Ž π‘Ž PRON iajs-2556 202 39 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 202 40 [ [ X iajs-2556 202 41 𝐴 𝐴 NOUN iajs-2556 202 42 + + CCONJ iajs-2556 202 43 𝙹(𝑅):𝑅 𝙹(𝑅):𝑅 PROPN iajs-2556 202 44 𝑅 𝑅 NOUN iajs-2556 202 45 ] ] PUNCT iajs-2556 202 46 = = SYM iajs-2556 202 47 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 202 48 + + CCONJ iajs-2556 202 49 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 NUM iajs-2556 202 50 ) ) PUNCT iajs-2556 202 51 . . PUNCT iajs-2556 203 1 that that PRON iajs-2556 203 2 is be AUX iajs-2556 203 3 either either CCONJ iajs-2556 203 4 π™Ήπ˜œ π™Ήπ˜œ PROPN iajs-2556 203 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 203 6 𝐴𝘜 𝐴𝘜 PROPN iajs-2556 203 7 + + CCONJ iajs-2556 203 8 𝙹(𝑅)𝘜 𝙹(𝑅)𝘜 PROPN iajs-2556 203 9 or or CCONJ iajs-2556 203 10 π‘Žπ˜œ π‘Žπ˜œ PROPN iajs-2556 203 11 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 203 12 𝐴𝘜 𝐴𝘜 PROPN iajs-2556 203 13 + + CCONJ iajs-2556 203 14 𝙹(𝑅)𝘜. 𝙹(𝑅)𝘜. NOUN iajs-2556 203 15 but but CCONJ iajs-2556 203 16 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 203 17 is be AUX iajs-2556 203 18 a a DET iajs-2556 203 19 projective projective NOUN iajs-2556 203 20 , , PUNCT iajs-2556 203 21 then then ADV iajs-2556 203 22 𝙹(𝑅 𝙹(𝑅 X iajs-2556 203 23 ) ) PUNCT iajs-2556 203 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 203 25 = = SYM iajs-2556 203 26 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 203 27 ( ( PUNCT iajs-2556 203 28 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 203 29 ) ) PUNCT iajs-2556 203 30 . . PUNCT iajs-2556 204 1 thus thus ADV iajs-2556 204 2 either either CCONJ iajs-2556 204 3 ( ( PUNCT iajs-2556 204 4 𝑒 𝑒 X iajs-2556 204 5 ) ) PUNCT iajs-2556 204 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 204 7 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 204 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 204 9 + + CCONJ iajs-2556 204 10 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 204 11 ( ( PUNCT iajs-2556 204 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 204 13 ) ) PUNCT iajs-2556 204 14 or or CCONJ iajs-2556 204 15 π‘Ž π‘Ž PRON iajs-2556 204 16 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 204 17 [ [ X iajs-2556 204 18 𝐴 𝐴 NOUN iajs-2556 204 19 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 204 20 + + CCONJ iajs-2556 204 21 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 204 22 ( ( PUNCT iajs-2556 204 23 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 204 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 204 25 ] ] PUNCT iajs-2556 204 26 . . PUNCT iajs-2556 205 1 that that PRON iajs-2556 205 2 is be AUX iajs-2556 205 3 either either CCONJ iajs-2556 205 4 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 205 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 205 6 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 205 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 205 8 + + CCONJ iajs-2556 205 9 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NOUN iajs-2556 205 10 ) ) PUNCT iajs-2556 205 11 or or CCONJ iajs-2556 205 12 π‘Ž π‘Ž PRON iajs-2556 205 13 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 205 14 [ [ X iajs-2556 205 15 𝐴𝘜 𝐴𝘜 PROPN iajs-2556 205 16 + + CCONJ iajs-2556 205 17 𝙹(𝘜):𝑅 𝙹(𝘜):𝑅 PROPN iajs-2556 205 18 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 205 19 ] ] PUNCT iajs-2556 205 20 . . PUNCT iajs-2556 206 1 thus thus ADV iajs-2556 206 2 𝐴𝘜 𝐴𝘜 PROPN iajs-2556 206 3 is be AUX iajs-2556 206 4 a a DET iajs-2556 206 5 wn wn NOUN iajs-2556 206 6 - - PUNCT iajs-2556 206 7 prime prime NOUN iajs-2556 206 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 206 9 of of ADP iajs-2556 206 10 𝘜. 𝘜. PROPN iajs-2556 206 11 proposition proposition NOUN iajs-2556 206 12 ( ( PUNCT iajs-2556 206 13 2.23 2.23 NUM iajs-2556 206 14 ) ) PUNCT iajs-2556 206 15 let let VERB iajs-2556 206 16 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 206 17 be be AUX iajs-2556 206 18 a a DET iajs-2556 206 19 wn wn NOUN iajs-2556 206 20 - - PUNCT iajs-2556 206 21 prime prime NOUN iajs-2556 206 22 submodule submodule NOUN iajs-2556 206 23 of of ADP iajs-2556 206 24 an an DET iajs-2556 206 25 r r NOUN iajs-2556 206 26 - - PUNCT iajs-2556 206 27 module module NOUN iajs-2556 206 28 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 206 29 , , PUNCT iajs-2556 206 30 then then ADV iajs-2556 206 31 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 206 32 is be AUX iajs-2556 206 33 a a DET iajs-2556 206 34 wn wn NOUN iajs-2556 206 35 - - PUNCT iajs-2556 206 36 prime prime NOUN iajs-2556 206 37 submodule submodule NOUN iajs-2556 206 38 of of ADP iajs-2556 206 39 π‘†βˆ’1𝑅-module π‘†βˆ’1𝑅-module NOUN iajs-2556 206 40 π‘†βˆ’1 π‘†βˆ’1 VERB iajs-2556 206 41 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 206 42 , , PUNCT iajs-2556 206 43 where where SCONJ iajs-2556 206 44 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 206 45 is be AUX iajs-2556 206 46 a a DET iajs-2556 206 47 multiplicatively multiplicatively ADV iajs-2556 206 48 closed close VERB iajs-2556 206 49 subset subset NOUN iajs-2556 206 50 of of ADP iajs-2556 206 51 𝑅. 𝑅. ADJ iajs-2556 206 52 proof proof NOUN iajs-2556 206 53 suppose suppose VERB iajs-2556 206 54 that that SCONJ iajs-2556 206 55 ( ( PUNCT iajs-2556 206 56 0 0 NUM iajs-2556 206 57 ) ) PUNCT iajs-2556 206 58 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 206 59 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2556 206 60 𝑠1 𝑠1 PROPN iajs-2556 206 61 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 206 62 𝑠2 𝑠2 PROPN iajs-2556 206 63 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 206 64 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 206 65 for for ADP iajs-2556 206 66 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2556 206 67 𝑠1 𝑠1 PROPN iajs-2556 206 68 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 1 π‘†βˆ’1𝑅 π‘†βˆ’1𝑅 PROPN iajs-2556 207 2 and and CCONJ iajs-2556 207 3 𝑒 𝑒 PROPN iajs-2556 207 4 𝑠2 𝑠2 PROPN iajs-2556 207 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 6 π‘†βˆ’1 π‘†βˆ’1 VERB iajs-2556 207 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 207 8 and and CCONJ iajs-2556 207 9 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 PROPN iajs-2556 207 10 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 11 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 207 12 , , PUNCT iajs-2556 207 13 𝑠1,𝑠2 𝑠1,𝑠2 PROPN iajs-2556 207 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 15 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 207 16 , , PUNCT iajs-2556 207 17 𝑒 𝑒 PRON iajs-2556 207 18 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 19 π‘ˆ. π‘ˆ. NOUN iajs-2556 207 20 then then ADV iajs-2556 207 21 π‘Ÿ1𝑒 π‘Ÿ1𝑒 SYM iajs-2556 207 22 𝑑 𝑑 PROPN iajs-2556 207 23 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 24 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 207 25 , , PUNCT iajs-2556 207 26 where where SCONJ iajs-2556 207 27 𝑑 𝑑 PROPN iajs-2556 207 28 = = SYM iajs-2556 207 29 𝑠1𝑠2 𝑠1𝑠2 PROPN iajs-2556 207 30 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 31 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 207 32 , , PUNCT iajs-2556 207 33 that that PRON iajs-2556 207 34 is be AUX iajs-2556 207 35 there there PRON iajs-2556 207 36 exists exist VERB iajs-2556 207 37 non non ADJ iajs-2556 207 38 - - ADJ iajs-2556 207 39 zero zero NUM iajs-2556 207 40 element element NOUN iajs-2556 207 41 𝑑1 𝑑1 NOUN iajs-2556 207 42 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 43 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 207 44 such such ADJ iajs-2556 207 45 that that DET iajs-2556 207 46 0 0 NUM iajs-2556 207 47 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 207 48 𝑑1π‘Ÿ1𝑒 𝑑1π‘Ÿ1𝑒 NUM iajs-2556 207 49 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 207 50 𝐻. 𝐻. PROPN iajs-2556 208 1 but but CCONJ iajs-2556 208 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 208 3 is be AUX iajs-2556 208 4 a a DET iajs-2556 208 5 wn wn NOUN iajs-2556 208 6 - - PUNCT iajs-2556 208 7 prime prime NOUN iajs-2556 208 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 208 9 of of ADP iajs-2556 208 10 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 208 11 , , PUNCT iajs-2556 208 12 then then ADV iajs-2556 208 13 either either CCONJ iajs-2556 208 14 𝑑1𝑒 𝑑1𝑒 PUNCT iajs-2556 208 15 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 208 16 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 208 17 + + PROPN iajs-2556 208 18 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 208 19 ( ( PUNCT iajs-2556 208 20 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 208 21 ) ) PUNCT iajs-2556 208 22 or or CCONJ iajs-2556 208 23 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2556 208 24 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 209 1 [ [ X iajs-2556 209 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 209 3 + + PROPN iajs-2556 209 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 209 5 ( ( PUNCT iajs-2556 209 6 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 209 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 209 8 ] ] PUNCT iajs-2556 209 9 , , PUNCT iajs-2556 209 10 it it PRON iajs-2556 209 11 follows follow VERB iajs-2556 209 12 that that SCONJ iajs-2556 209 13 either either CCONJ iajs-2556 209 14 𝑑1𝑒 𝑑1𝑒 NUM iajs-2556 209 15 𝑑1𝑠2 𝑑1𝑠2 NOUN iajs-2556 209 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 209 17 π‘†βˆ’1(𝐻 π‘†βˆ’1(𝐻 NOUN iajs-2556 209 18 + + CCONJ iajs-2556 209 19 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 209 20 ( ( PUNCT iajs-2556 209 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 209 22 ) ) PUNCT iajs-2556 209 23 ) ) PUNCT iajs-2556 209 24 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 209 25 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 209 26 + + CCONJ iajs-2556 209 27 𝙹(π‘†βˆ’1 𝙹(π‘†βˆ’1 NUM iajs-2556 209 28 π‘ˆ)or π‘ˆ)or NOUN iajs-2556 209 29 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2556 209 30 𝑠1 𝑠1 PROPN iajs-2556 209 31 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 209 32 45 45 NUM iajs-2556 209 33 ibn ibn PROPN iajs-2556 209 34 al al PROPN iajs-2556 209 35 - - PUNCT iajs-2556 209 36 haitham haitham PROPN iajs-2556 209 37 jour jour X iajs-2556 209 38 . . PROPN iajs-2556 210 1 for for ADP iajs-2556 210 2 pure pure ADJ iajs-2556 210 3 & & CCONJ iajs-2556 210 4 appl appl PROPN iajs-2556 210 5 . . PUNCT iajs-2556 211 1 sci sci PROPN iajs-2556 211 2 . . PROPN iajs-2556 212 1 34 34 NUM iajs-2556 212 2 ( ( PUNCT iajs-2556 212 3 1 1 NUM iajs-2556 212 4 ) ) PUNCT iajs-2556 212 5 2021 2021 NUM iajs-2556 212 6 π‘†βˆ’1[𝐻 π‘†βˆ’1[𝐻 VERB iajs-2556 212 7 + + CCONJ iajs-2556 212 8 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 212 9 ( ( PUNCT iajs-2556 212 10 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 212 11 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 212 12 ] ] PUNCT iajs-2556 212 13 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 212 14 [ [ X iajs-2556 212 15 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 212 16 + + CCONJ iajs-2556 212 17 𝙹(π‘†βˆ’1 𝙹(π‘†βˆ’1 ADJ iajs-2556 212 18 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 212 19 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 212 20 βˆ’1 βˆ’1 NOUN iajs-2556 212 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 212 22 ] ] PUNCT iajs-2556 212 23 . . PUNCT iajs-2556 213 1 hence hence ADV iajs-2556 213 2 either either CCONJ iajs-2556 213 3 𝑒 𝑒 ADP iajs-2556 213 4 𝑠2 𝑠2 PROPN iajs-2556 213 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 213 6 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 213 7 + + CCONJ iajs-2556 213 8 𝙹(π‘†βˆ’1 𝙹(π‘†βˆ’1 PROPN iajs-2556 213 9 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 213 10 ) ) PUNCT iajs-2556 213 11 or or CCONJ iajs-2556 213 12 π‘Ÿ1 π‘Ÿ1 NOUN iajs-2556 213 13 𝑠1 𝑠1 PROPN iajs-2556 213 14 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 214 1 [ [ X iajs-2556 214 2 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 214 3 + + CCONJ iajs-2556 214 4 𝙹(π‘†βˆ’1 𝙹(π‘†βˆ’1 ADJ iajs-2556 214 5 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 214 6 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 214 7 βˆ’1 βˆ’1 NOUN iajs-2556 214 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 214 9 ] ] PUNCT iajs-2556 214 10 . . PUNCT iajs-2556 215 1 thus thus ADV iajs-2556 215 2 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 215 3 is be AUX iajs-2556 215 4 a a DET iajs-2556 215 5 wn wn NOUN iajs-2556 215 6 - - PUNCT iajs-2556 215 7 prime prime NOUN iajs-2556 215 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 215 9 of of ADP iajs-2556 215 10 π‘†βˆ’1𝑅-module π‘†βˆ’1𝑅-module NOUN iajs-2556 215 11 π‘†βˆ’1 π‘†βˆ’1 VERB iajs-2556 215 12 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 215 13 it it PRON iajs-2556 215 14 is be AUX iajs-2556 215 15 well well ADV iajs-2556 215 16 known know VERB iajs-2556 215 17 that that SCONJ iajs-2556 215 18 if if SCONJ iajs-2556 215 19 πœ‘ πœ‘ PROPN iajs-2556 215 20 ∢ ∢ NOUN iajs-2556 215 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 215 22 ⟢ ⟢ NOUN iajs-2556 215 23 π‘Œ π‘Œ PROPN iajs-2556 215 24 is be AUX iajs-2556 215 25 an an DET iajs-2556 215 26 r r NOUN iajs-2556 215 27 - - PUNCT iajs-2556 215 28 epimorphism epimorphism NOUN iajs-2556 215 29 and and CCONJ iajs-2556 215 30 πΎπ‘’π‘Ÿπœ‘ πΎπ‘’π‘Ÿπœ‘ PROPN iajs-2556 215 31 small small ADJ iajs-2556 215 32 submodule submodule NOUN iajs-2556 215 33 of of ADP iajs-2556 215 34 rmodule rmodule PROPN iajs-2556 215 35 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 215 36 , , PUNCT iajs-2556 215 37 then then ADV iajs-2556 215 38 πœ‘ πœ‘ PROPN iajs-2556 215 39 ( ( PUNCT iajs-2556 215 40 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 215 41 ( ( PUNCT iajs-2556 215 42 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 215 43 ) ) PUNCT iajs-2556 215 44 ) ) PUNCT iajs-2556 216 1 = = PUNCT iajs-2556 216 2 𝙹(π‘Œ 𝙹(π‘Œ X iajs-2556 216 3 ) ) PUNCT iajs-2556 216 4 , , PUNCT iajs-2556 216 5 πœ‘βˆ’1 πœ‘βˆ’1 PROPN iajs-2556 216 6 ( ( PUNCT iajs-2556 216 7 𝙹(π‘Œ 𝙹(π‘Œ NOUN iajs-2556 216 8 ) ) PUNCT iajs-2556 216 9 ) ) PUNCT iajs-2556 217 1 = = PUNCT iajs-2556 217 2 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 217 3 ( ( PUNCT iajs-2556 217 4 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 217 5 ) ) PUNCT iajs-2556 217 6 [ [ X iajs-2556 217 7 14 14 NUM iajs-2556 217 8 , , PUNCT iajs-2556 217 9 cor cor NOUN iajs-2556 217 10 . . PROPN iajs-2556 217 11 9.1.5(a 9.1.5(a NUM iajs-2556 217 12 ) ) PUNCT iajs-2556 217 13 ] ] PUNCT iajs-2556 217 14 . . PUNCT iajs-2556 218 1 proposition proposition NOUN iajs-2556 218 2 ( ( PUNCT iajs-2556 218 3 2.24 2.24 NUM iajs-2556 218 4 ) ) PUNCT iajs-2556 218 5 let let VERB iajs-2556 218 6 πœ‘ πœ‘ PRON iajs-2556 218 7 ∢ ∢ VERB iajs-2556 218 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 218 9 ⟢ ⟢ NOUN iajs-2556 218 10 π‘ˆβ€² π‘ˆβ€² ADJ iajs-2556 218 11 be be AUX iajs-2556 218 12 an an DET iajs-2556 218 13 𝑅-epimorphism 𝑅-epimorphism PROPN iajs-2556 218 14 with with ADP iajs-2556 218 15 πΎπ‘’π‘Ÿπœ‘ πΎπ‘’π‘Ÿπœ‘ PROPN iajs-2556 218 16 is be AUX iajs-2556 218 17 small small ADJ iajs-2556 218 18 submodule submodule NOUN iajs-2556 218 19 of of ADP iajs-2556 218 20 πš„ πš„ PROPN iajs-2556 218 21 , , PUNCT iajs-2556 218 22 and and CCONJ iajs-2556 218 23 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 218 24 be be VERB iajs-2556 218 25 a a DET iajs-2556 218 26 wn wn NOUN iajs-2556 218 27 - - PUNCT iajs-2556 218 28 prime prime NOUN iajs-2556 218 29 submodule submodule NOUN iajs-2556 218 30 of of ADP iajs-2556 218 31 π‘ˆβ€² π‘ˆβ€² ADJ iajs-2556 218 32 , , PUNCT iajs-2556 218 33 then then ADV iajs-2556 218 34 πœ‘βˆ’1(𝐾 πœ‘βˆ’1(𝐾 NUM iajs-2556 218 35 ) ) PUNCT iajs-2556 218 36 is be AUX iajs-2556 218 37 a a DET iajs-2556 218 38 wn wn NOUN iajs-2556 218 39 - - PUNCT iajs-2556 218 40 prime prime NOUN iajs-2556 218 41 submodule submodule NOUN iajs-2556 218 42 of of ADP iajs-2556 218 43 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 218 44 proof proof NOUN iajs-2556 218 45 let let VERB iajs-2556 218 46 0 0 NUM iajs-2556 218 47 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 218 48 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2556 218 49 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 218 50 πœ‘βˆ’1(𝐾 πœ‘βˆ’1(𝐾 NUM iajs-2556 218 51 ) ) PUNCT iajs-2556 218 52 where where SCONJ iajs-2556 218 53 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 218 54 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 218 55 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 218 56 , , PUNCT iajs-2556 218 57 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2556 218 58 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 218 59 π‘ˆ π‘ˆ NOUN iajs-2556 218 60 with with ADP iajs-2556 218 61 π‘₯ π‘₯ PROPN iajs-2556 218 62 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 218 63 πœ‘βˆ’1(𝐾 πœ‘βˆ’1(𝐾 NUM iajs-2556 218 64 ) ) PUNCT iajs-2556 219 1 + + CCONJ iajs-2556 219 2 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 219 3 ( ( PUNCT iajs-2556 219 4 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 219 5 ) ) PUNCT iajs-2556 219 6 , , PUNCT iajs-2556 219 7 it it PRON iajs-2556 219 8 follows follow VERB iajs-2556 219 9 that that SCONJ iajs-2556 219 10 πœ‘(π‘₯ πœ‘(π‘₯ NOUN iajs-2556 219 11 ) ) PUNCT iajs-2556 219 12 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 220 1 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 220 2 + + CCONJ iajs-2556 220 3 πœ‘ πœ‘ PROPN iajs-2556 220 4 ( ( PUNCT iajs-2556 220 5 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 220 6 ( ( PUNCT iajs-2556 220 7 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 220 8 ) ) PUNCT iajs-2556 220 9 ) ) PUNCT iajs-2556 221 1 = = PUNCT iajs-2556 221 2 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 221 3 + + CCONJ iajs-2556 221 4 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 221 5 ( ( PUNCT iajs-2556 221 6 π‘ˆβ€² π‘ˆβ€² ADJ iajs-2556 221 7 ) ) PUNCT iajs-2556 221 8 . . PUNCT iajs-2556 222 1 since since SCONJ iajs-2556 222 2 0 0 NUM iajs-2556 222 3 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 222 4 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2556 222 5 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 222 6 πœ‘βˆ’1(𝐾 πœ‘βˆ’1(𝐾 NUM iajs-2556 222 7 ) ) PUNCT iajs-2556 222 8 , , PUNCT iajs-2556 222 9 implies imply VERB iajs-2556 222 10 that that SCONJ iajs-2556 222 11 0 0 NUM iajs-2556 222 12 β‰  β‰  NOUN iajs-2556 222 13 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 222 14 πœ‘(π‘₯ πœ‘(π‘₯ NOUN iajs-2556 222 15 ) ) PUNCT iajs-2556 222 16 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 222 17 𝐾. 𝐾. PROPN iajs-2556 222 18 but but CCONJ iajs-2556 222 19 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 222 20 be be VERB iajs-2556 222 21 a a DET iajs-2556 222 22 wn wn NOUN iajs-2556 222 23 - - PUNCT iajs-2556 222 24 prime prime NOUN iajs-2556 222 25 submodule submodule NOUN iajs-2556 222 26 of of ADP iajs-2556 222 27 π‘ˆβ€²and π‘ˆβ€²and PROPN iajs-2556 222 28 πœ‘(π‘₯ πœ‘(π‘₯ NOUN iajs-2556 222 29 ) ) PUNCT iajs-2556 222 30 βˆ‰ βˆ‰ PROPN iajs-2556 222 31 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 222 32 + + CCONJ iajs-2556 222 33 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 222 34 ( ( PUNCT iajs-2556 222 35 π‘ˆβ€² π‘ˆβ€² PROPN iajs-2556 222 36 ) ) PUNCT iajs-2556 222 37 , , PUNCT iajs-2556 222 38 it it PRON iajs-2556 222 39 follows follow VERB iajs-2556 222 40 that that SCONJ iajs-2556 222 41 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 223 1 ∈ ∈ PRON iajs-2556 223 2 [ [ X iajs-2556 223 3 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 223 4 + + CCONJ iajs-2556 223 5 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 223 6 ( ( PUNCT iajs-2556 223 7 π‘ˆβ€²):𝑅 π‘ˆβ€²):𝑅 PROPN iajs-2556 223 8 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 223 9 β€² β€² NOUN iajs-2556 223 10 ] ] X iajs-2556 223 11 , , PUNCT iajs-2556 223 12 that that PRON iajs-2556 223 13 is be AUX iajs-2556 223 14 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 223 15 π‘ˆβ€² π‘ˆβ€² ADJ iajs-2556 223 16 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 223 17 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 223 18 + + CCONJ iajs-2556 223 19 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 223 20 ( ( PUNCT iajs-2556 223 21 π‘ˆβ€² π‘ˆβ€² ADJ iajs-2556 223 22 ) ) PUNCT iajs-2556 223 23 , , PUNCT iajs-2556 223 24 hence hence ADV iajs-2556 223 25 π‘Ÿ π‘Ÿ PRON iajs-2556 223 26 πœ‘ πœ‘ PROPN iajs-2556 223 27 ( ( PUNCT iajs-2556 223 28 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 223 29 ) ) PUNCT iajs-2556 223 30 = = PUNCT iajs-2556 223 31 πœ‘(π‘Ÿ πœ‘(π‘Ÿ PROPN iajs-2556 223 32 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 223 33 ) ) PUNCT iajs-2556 223 34 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2556 223 35 𝐾 𝐾 PROPN iajs-2556 223 36 + + CCONJ iajs-2556 223 37 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 223 38 ( ( PUNCT iajs-2556 223 39 π‘ˆβ€² π‘ˆβ€² ADJ iajs-2556 223 40 ) ) PUNCT iajs-2556 223 41 . . PUNCT iajs-2556 224 1 implies imply VERB iajs-2556 224 2 that that SCONJ iajs-2556 224 3 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 224 4 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 224 5 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 224 6 πœ‘βˆ’1(𝐾 πœ‘βˆ’1(𝐾 NUM iajs-2556 224 7 ) ) PUNCT iajs-2556 225 1 + + CCONJ iajs-2556 225 2 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 225 3 ( ( PUNCT iajs-2556 225 4 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 225 5 ) ) PUNCT iajs-2556 225 6 . . PUNCT iajs-2556 226 1 therefore therefore ADV iajs-2556 226 2 πœ‘βˆ’1(𝐾 πœ‘βˆ’1(𝐾 NUM iajs-2556 226 3 ) ) PUNCT iajs-2556 226 4 is be AUX iajs-2556 226 5 a a DET iajs-2556 226 6 wn wn NOUN iajs-2556 226 7 - - PUNCT iajs-2556 226 8 prime prime NOUN iajs-2556 226 9 submodule submodule NOUN iajs-2556 226 10 of of ADP iajs-2556 226 11 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 226 12 proposition proposition NOUN iajs-2556 226 13 ( ( PUNCT iajs-2556 226 14 2.25 2.25 NUM iajs-2556 226 15 ) ) PUNCT iajs-2556 226 16 let let VERB iajs-2556 226 17 𝑓 𝑓 DET iajs-2556 226 18 ∢ ∢ NOUN iajs-2556 226 19 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 226 20 ⟢ ⟢ NOUN iajs-2556 226 21 π˜œβ€² π˜œβ€² PRON iajs-2556 226 22 be be AUX iajs-2556 226 23 an an DET iajs-2556 226 24 𝑅-epimorphism 𝑅-epimorphism PROPN iajs-2556 226 25 with with ADP iajs-2556 226 26 πΎπ‘’π‘Ÿπ‘“ πΎπ‘’π‘Ÿπ‘“ PROPN iajs-2556 226 27 is be AUX iajs-2556 226 28 small small ADJ iajs-2556 226 29 submodule submodule NOUN iajs-2556 226 30 of of ADP iajs-2556 226 31 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 226 32 , , PUNCT iajs-2556 226 33 and and CCONJ iajs-2556 226 34 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 226 35 be be VERB iajs-2556 226 36 a a DET iajs-2556 226 37 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 226 38 submodule submodule NOUN iajs-2556 226 39 of of ADP iajs-2556 226 40 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 226 41 with with ADP iajs-2556 226 42 πΎπ‘’π‘Ÿπ‘“ πΎπ‘’π‘Ÿπ‘“ PROPN iajs-2556 226 43 βŠ† βŠ† PROPN iajs-2556 226 44 𝐻. 𝐻. PROPN iajs-2556 226 45 then then ADV iajs-2556 226 46 𝑓(𝐻 𝑓(𝐻 NOUN iajs-2556 226 47 ) ) PUNCT iajs-2556 226 48 is be AUX iajs-2556 226 49 a a DET iajs-2556 226 50 wn wn NOUN iajs-2556 226 51 - - PUNCT iajs-2556 226 52 prime prime NOUN iajs-2556 226 53 submodule submodule NOUN iajs-2556 226 54 of of ADP iajs-2556 226 55 π˜œβ€². π˜œβ€². ADJ iajs-2556 226 56 proof proof NOUN iajs-2556 226 57 since since SCONJ iajs-2556 226 58 πΎπ‘’π‘Ÿπ‘“ πΎπ‘’π‘Ÿπ‘“ PROPN iajs-2556 226 59 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 226 60 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 226 61 , , PUNCT iajs-2556 226 62 that that PRON iajs-2556 226 63 's be AUX iajs-2556 226 64 clearly𝑓(𝐻 clearly𝑓(𝐻 NOUN iajs-2556 226 65 ) ) PUNCT iajs-2556 226 66 is be AUX iajs-2556 226 67 a a DET iajs-2556 226 68 proper proper ADJ iajs-2556 226 69 submodule submodule NOUN iajs-2556 226 70 of of ADP iajs-2556 226 71 π˜œβ€². π˜œβ€². NUM iajs-2556 226 72 now now ADV iajs-2556 226 73 , , PUNCT iajs-2556 226 74 suppose suppose VERB iajs-2556 226 75 that that SCONJ iajs-2556 226 76 0β‰  0β‰  NUM iajs-2556 226 77 π‘Ÿπ‘₯β€² π‘Ÿπ‘₯β€² PROPN iajs-2556 226 78 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 226 79 𝑓(𝐻 𝑓(𝐻 NOUN iajs-2556 226 80 ) ) PUNCT iajs-2556 226 81 , , PUNCT iajs-2556 226 82 where where SCONJ iajs-2556 226 83 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 226 84 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 226 85 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 226 86 , , PUNCT iajs-2556 226 87 π‘₯β€² π‘₯β€² PUNCT iajs-2556 226 88 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 226 89 π˜œβ€². π˜œβ€². AUX iajs-2556 226 90 since since SCONJ iajs-2556 226 91 𝑓 𝑓 PRON iajs-2556 226 92 is be AUX iajs-2556 226 93 an an DET iajs-2556 226 94 epimorphism epimorphism NOUN iajs-2556 226 95 then then ADV iajs-2556 226 96 𝑓(π‘₯ 𝑓(π‘₯ NOUN iajs-2556 226 97 ) ) PUNCT iajs-2556 226 98 = = PUNCT iajs-2556 227 1 π‘₯β€² π‘₯β€² VERB iajs-2556 227 2 for for ADP iajs-2556 227 3 some some DET iajs-2556 227 4 π‘₯ π‘₯ PRON iajs-2556 227 5 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 227 6 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 227 7 , , PUNCT iajs-2556 227 8 thus thus ADV iajs-2556 227 9 0 0 NUM iajs-2556 227 10 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 227 11 π‘Ÿπ‘₯β€² π‘Ÿπ‘₯β€² NOUN iajs-2556 227 12 = = SYM iajs-2556 227 13 π‘Ÿπ‘“(π‘₯ π‘Ÿπ‘“(π‘₯ NOUN iajs-2556 227 14 ) ) PUNCT iajs-2556 227 15 = = SYM iajs-2556 227 16 𝑓(π‘Ÿπ‘₯ 𝑓(π‘Ÿπ‘₯ NOUN iajs-2556 227 17 ) ) PUNCT iajs-2556 227 18 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 227 19 𝑓(𝐻),it 𝑓(𝐻),it PROPN iajs-2556 227 20 follows follow VERB iajs-2556 227 21 that that SCONJ iajs-2556 227 22 there there PRON iajs-2556 227 23 exists exist VERB iajs-2556 227 24 non non ADJ iajs-2556 227 25 - - ADJ iajs-2556 227 26 zero zero NUM iajs-2556 227 27 𝑦 𝑦 NOUN iajs-2556 227 28 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 227 29 𝐻 𝐻 NOUN iajs-2556 227 30 such such ADJ iajs-2556 227 31 that that SCONJ iajs-2556 227 32 𝑓(π‘Ÿπ‘₯ 𝑓(π‘Ÿπ‘₯ NOUN iajs-2556 227 33 ) ) PUNCT iajs-2556 227 34 = = SYM iajs-2556 227 35 𝑓(𝑦 𝑓(𝑦 PROPN iajs-2556 227 36 ) ) PUNCT iajs-2556 227 37 , , PUNCT iajs-2556 227 38 implies imply VERB iajs-2556 227 39 that that SCONJ iajs-2556 227 40 𝑓(π‘Ÿπ‘₯ 𝑓(π‘Ÿπ‘₯ NOUN iajs-2556 227 41 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2556 227 42 𝑦 𝑦 NOUN iajs-2556 227 43 ) ) PUNCT iajs-2556 227 44 = = SYM iajs-2556 227 45 0 0 NUM iajs-2556 227 46 , , PUNCT iajs-2556 227 47 hence hence ADV iajs-2556 227 48 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ ADP iajs-2556 227 49 βˆ’ βˆ’ PROPN iajs-2556 227 50 𝑦 𝑦 PRON iajs-2556 227 51 ∈ ∈ NOUN iajs-2556 228 1 πΎπ‘’π‘Ÿ πΎπ‘’π‘Ÿ NOUN iajs-2556 228 2 𝑓 𝑓 PRON iajs-2556 228 3 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 228 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 228 5 β‡’ β‡’ NOUN iajs-2556 228 6 0 0 NUM iajs-2556 229 1 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 229 2 π‘Ÿπ‘₯ π‘Ÿπ‘₯ PRON iajs-2556 229 3 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 229 4 𝐻. 𝐻. PROPN iajs-2556 229 5 but but CCONJ iajs-2556 229 6 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 229 7 is be AUX iajs-2556 229 8 a a DET iajs-2556 229 9 wn wn NOUN iajs-2556 229 10 - - PUNCT iajs-2556 229 11 prime prime NOUN iajs-2556 229 12 submodule submodule NOUN iajs-2556 229 13 of of ADP iajs-2556 229 14 𝘜 𝘜 PROPN iajs-2556 229 15 , , PUNCT iajs-2556 229 16 then then ADV iajs-2556 229 17 either either CCONJ iajs-2556 229 18 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2556 229 19 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 229 20 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 229 21 + + CCONJ iajs-2556 229 22 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 ADJ iajs-2556 229 23 ) ) PUNCT iajs-2556 229 24 or or CCONJ iajs-2556 229 25 π‘Ÿπ˜œ π‘Ÿπ˜œ VERB iajs-2556 229 26 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 229 27 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 229 28 + + CCONJ iajs-2556 229 29 𝙹(𝘜 𝙹(𝘜 NUM iajs-2556 229 30 ) ) PUNCT iajs-2556 229 31 , , PUNCT iajs-2556 229 32 it it PRON iajs-2556 229 33 follows follow VERB iajs-2556 229 34 that that SCONJ iajs-2556 229 35 either either CCONJ iajs-2556 229 36 π‘₯β€² π‘₯β€² PUNCT iajs-2556 229 37 = = SYM iajs-2556 229 38 𝑓(π‘₯ 𝑓(π‘₯ NOUN iajs-2556 229 39 ) ) PUNCT iajs-2556 229 40 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 229 41 𝑓(𝐻 𝑓(𝐻 NOUN iajs-2556 229 42 ) ) PUNCT iajs-2556 230 1 + + CCONJ iajs-2556 230 2 𝙹(π˜œβ€² 𝙹(π˜œβ€² NOUN iajs-2556 230 3 ) ) PUNCT iajs-2556 230 4 or or CCONJ iajs-2556 230 5 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 230 6 π‘ˆβ€² π‘ˆβ€² ADJ iajs-2556 230 7 = = SYM iajs-2556 230 8 π‘Ÿπ‘“(𝘜 π‘Ÿπ‘“(𝘜 NOUN iajs-2556 230 9 ) ) PUNCT iajs-2556 230 10 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 230 11 𝑓(𝐻 𝑓(𝐻 NOUN iajs-2556 230 12 ) ) PUNCT iajs-2556 231 1 + + CCONJ iajs-2556 231 2 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 231 3 ( ( PUNCT iajs-2556 231 4 π˜œβ€² π˜œβ€² NUM iajs-2556 231 5 ) ) PUNCT iajs-2556 231 6 . . PUNCT iajs-2556 232 1 that that PRON iajs-2556 232 2 is be AUX iajs-2556 232 3 𝑓(𝐻 𝑓(𝐻 NOUN iajs-2556 232 4 ) ) PUNCT iajs-2556 233 1 is be AUX iajs-2556 233 2 a a DET iajs-2556 233 3 wn wn NOUN iajs-2556 233 4 - - PUNCT iajs-2556 233 5 prime prime NOUN iajs-2556 233 6 submodule submodule NOUN iajs-2556 233 7 of of ADP iajs-2556 233 8 π˜œβ€². π˜œβ€². PROPN iajs-2556 233 9 3 3 NUM iajs-2556 233 10 . . PUNCT iajs-2556 233 11 conclusion conclusion NOUN iajs-2556 233 12 in in ADP iajs-2556 233 13 this this DET iajs-2556 233 14 article article NOUN iajs-2556 233 15 the the DET iajs-2556 233 16 concept concept NOUN iajs-2556 233 17 wn wn PROPN iajs-2556 233 18 - - PUNCT iajs-2556 233 19 prime prime NOUN iajs-2556 233 20 submodule submodule NOUN iajs-2556 233 21 was be AUX iajs-2556 233 22 introduced introduce VERB iajs-2556 233 23 and and CCONJ iajs-2556 233 24 studied study VERB iajs-2556 233 25 as as ADP iajs-2556 233 26 generalization generalization NOUN iajs-2556 233 27 of of ADP iajs-2556 233 28 a a DET iajs-2556 233 29 weakly weakly ADJ iajs-2556 233 30 prime prime ADJ iajs-2556 233 31 submodule submodule NOUN iajs-2556 233 32 . . PUNCT iajs-2556 234 1 the the DET iajs-2556 234 2 results result NOUN iajs-2556 234 3 that that PRON iajs-2556 234 4 we we PRON iajs-2556 234 5 set set VERB iajs-2556 234 6 in in ADP iajs-2556 234 7 this this DET iajs-2556 234 8 research research NOUN iajs-2556 234 9 are be AUX iajs-2556 234 10 the the DET iajs-2556 234 11 following following NOUN iajs-2556 234 12 : : PUNCT iajs-2556 235 1 1 1 X iajs-2556 235 2 . . X iajs-2556 235 3 every every DET iajs-2556 235 4 weakly weakly ADJ iajs-2556 235 5 prime prime ADJ iajs-2556 235 6 submodule submodule NOUN iajs-2556 235 7 of of ADP iajs-2556 235 8 r r NOUN iajs-2556 235 9 - - PUNCT iajs-2556 235 10 module module NOUN iajs-2556 235 11 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 235 12 is be AUX iajs-2556 235 13 wn wn NOUN iajs-2556 235 14 - - PUNCT iajs-2556 235 15 prime prime NOUN iajs-2556 235 16 , , PUNCT iajs-2556 235 17 but but CCONJ iajs-2556 235 18 not not PART iajs-2556 235 19 conversely conversely ADV iajs-2556 235 20 . . PUNCT iajs-2556 236 1 2 2 X iajs-2556 236 2 . . X iajs-2556 236 3 a a DET iajs-2556 236 4 proper proper ADJ iajs-2556 236 5 submodule submodule NOUN iajs-2556 236 6 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 236 7 of of ADP iajs-2556 236 8 an an DET iajs-2556 236 9 r r NOUN iajs-2556 236 10 - - PUNCT iajs-2556 236 11 module module NOUN iajs-2556 236 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 236 13 is be AUX iajs-2556 236 14 a a DET iajs-2556 236 15 wn wn NOUN iajs-2556 236 16 - - PUNCT iajs-2556 236 17 prime prime NOUN iajs-2556 236 18 if if SCONJ iajs-2556 237 1 and and CCONJ iajs-2556 237 2 only only ADV iajs-2556 237 3 if if SCONJ iajs-2556 237 4 whenever whenever SCONJ iajs-2556 237 5 0 0 NUM iajs-2556 237 6 β‰  β‰  PROPN iajs-2556 237 7 〈 〈 PROPN iajs-2556 237 8 π‘ŸβŒͺ𝐿 π‘ŸβŒͺ𝐿 PROPN iajs-2556 237 9 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 237 10 𝐻 𝐻 NOUN iajs-2556 237 11 where where SCONJ iajs-2556 237 12 π‘Ÿ π‘Ÿ X iajs-2556 237 13 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 237 14 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 237 15 , , PUNCT iajs-2556 237 16 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 237 17 is be AUX iajs-2556 237 18 a a DET iajs-2556 237 19 submodule submodule NOUN iajs-2556 237 20 of of ADP iajs-2556 237 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 237 22 implies imply VERB iajs-2556 237 23 that that SCONJ iajs-2556 237 24 either either CCONJ iajs-2556 237 25 𝐿 𝐿 PROPN iajs-2556 237 26 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 237 27 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 237 28 + + PROPN iajs-2556 237 29 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 237 30 ( ( PUNCT iajs-2556 237 31 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 237 32 ) ) PUNCT iajs-2556 237 33 or or CCONJ iajs-2556 237 34 〈 〈 NOUN iajs-2556 237 35 π‘Ÿ π‘Ÿ NOUN iajs-2556 237 36 βŒͺ βŒͺ NOUN iajs-2556 237 37 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 237 38 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 237 39 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 237 40 + + PROPN iajs-2556 237 41 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 237 42 ( ( PUNCT iajs-2556 237 43 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 237 44 ) ) PUNCT iajs-2556 237 45 . . PUNCT iajs-2556 238 1 3 3 X iajs-2556 238 2 . . X iajs-2556 238 3 a a DET iajs-2556 238 4 proper proper ADJ iajs-2556 238 5 submodule submodule NOUN iajs-2556 238 6 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 238 7 of of ADP iajs-2556 238 8 an an DET iajs-2556 238 9 r r NOUN iajs-2556 238 10 - - PUNCT iajs-2556 238 11 module module NOUN iajs-2556 238 12 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 238 13 is be AUX iajs-2556 238 14 wn wn NOUN iajs-2556 238 15 - - PUNCT iajs-2556 238 16 prime prime NOUN iajs-2556 238 17 if if SCONJ iajs-2556 239 1 and and CCONJ iajs-2556 239 2 only only ADV iajs-2556 239 3 if if SCONJ iajs-2556 239 4 [ [ X iajs-2556 239 5 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 NOUN iajs-2556 239 6 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 239 7 ] ] X iajs-2556 239 8 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 239 9 [ [ X iajs-2556 239 10 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 239 11 + + PROPN iajs-2556 239 12 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 239 13 ( ( PUNCT iajs-2556 239 14 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 239 15 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 239 16 ] ] PUNCT iajs-2556 239 17 βˆͺ βˆͺ NOUN iajs-2556 239 18 [ [ X iajs-2556 239 19 0:𝑅 0:𝑅 NOUN iajs-2556 239 20 π‘₯ π‘₯ X iajs-2556 239 21 ] ] X iajs-2556 239 22 for for ADP iajs-2556 239 23 all all PRON iajs-2556 239 24 π‘₯ π‘₯ DET iajs-2556 239 25 ∈ ∈ PROPN iajs-2556 239 26 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 239 27 and and CCONJ iajs-2556 239 28 π‘₯ π‘₯ PROPN iajs-2556 239 29 βˆ‰ βˆ‰ ADJ iajs-2556 239 30 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 239 31 + + PROPN iajs-2556 239 32 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 239 33 ( ( PUNCT iajs-2556 239 34 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 239 35 ) ) PUNCT iajs-2556 239 36 . . PUNCT iajs-2556 240 1 4 4 X iajs-2556 240 2 . . X iajs-2556 240 3 let let VERB iajs-2556 240 4 𝐻 𝐻 PRON iajs-2556 240 5 be be AUX iajs-2556 240 6 a a DET iajs-2556 240 7 proper proper ADJ iajs-2556 240 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 240 9 of of ADP iajs-2556 240 10 an an DET iajs-2556 240 11 r r NOUN iajs-2556 240 12 - - PUNCT iajs-2556 240 13 module module NOUN iajs-2556 240 14 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 240 15 , , PUNCT iajs-2556 240 16 with with ADP iajs-2556 240 17 [ [ PUNCT iajs-2556 240 18 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 240 19 + + PROPN iajs-2556 240 20 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 240 21 ( ( PUNCT iajs-2556 240 22 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 PROPN iajs-2556 240 23 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 240 24 ] ] PUNCT iajs-2556 240 25 is be AUX iajs-2556 240 26 a a DET iajs-2556 240 27 prime prime ADJ iajs-2556 240 28 ideal ideal NOUN iajs-2556 240 29 of of ADP iajs-2556 240 30 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 240 31 , , PUNCT iajs-2556 240 32 then then ADV iajs-2556 240 33 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 240 34 is be AUX iajs-2556 240 35 a a DET iajs-2556 240 36 wn wn NOUN iajs-2556 240 37 - - PUNCT iajs-2556 240 38 prime prime NOUN iajs-2556 240 39 if if SCONJ iajs-2556 241 1 and and CCONJ iajs-2556 241 2 only only ADV iajs-2556 241 3 if if SCONJ iajs-2556 241 4 𝐻(𝑆 𝐻(𝑆 NOUN iajs-2556 241 5 ) ) PUNCT iajs-2556 241 6 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 241 7 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 241 8 + + PROPN iajs-2556 241 9 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 241 10 ( ( PUNCT iajs-2556 241 11 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 241 12 ) ) PUNCT iajs-2556 241 13 for for ADP iajs-2556 241 14 each each DET iajs-2556 241 15 multiplicatively multiplicatively ADV iajs-2556 241 16 closed close VERB iajs-2556 241 17 subset subset VERB iajs-2556 241 18 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 241 19 of of ADP iajs-2556 241 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 241 21 with with ADP iajs-2556 241 22 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 241 23 ∩ ∩ NOUN iajs-2556 241 24 [ [ X iajs-2556 241 25 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 241 26 + + PROPN iajs-2556 241 27 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 241 28 ( ( PUNCT iajs-2556 241 29 π‘ˆ):𝑅 π‘ˆ):𝑅 NOUN iajs-2556 241 30 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 241 31 ] ] PUNCT iajs-2556 241 32 = = PUNCT iajs-2556 241 33 πœ‘. πœ‘. VERB iajs-2556 241 34 5 5 NUM iajs-2556 241 35 . . PUNCT iajs-2556 242 1 if if SCONJ iajs-2556 242 2 a a DET iajs-2556 242 3 submodule submodule NOUN iajs-2556 242 4 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 242 5 of of ADP iajs-2556 242 6 an an DET iajs-2556 242 7 r r NOUN iajs-2556 242 8 - - PUNCT iajs-2556 242 9 module module NOUN iajs-2556 242 10 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 242 11 is be AUX iajs-2556 242 12 small small ADJ iajs-2556 242 13 and and CCONJ iajs-2556 242 14 𝙹 𝙹 PROPN iajs-2556 242 15 ( ( PUNCT iajs-2556 242 16 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 242 17 ) ) PUNCT iajs-2556 242 18 is be AUX iajs-2556 242 19 a a DET iajs-2556 242 20 weakly weakly ADJ iajs-2556 242 21 prime prime ADJ iajs-2556 242 22 submodule submodule NOUN iajs-2556 242 23 of of ADP iajs-2556 242 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 242 25 , , PUNCT iajs-2556 242 26 then then ADV iajs-2556 242 27 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 242 28 is be AUX iajs-2556 242 29 wn wn NOUN iajs-2556 242 30 - - PUNCT iajs-2556 242 31 prime prime ADJ iajs-2556 242 32 submodule submodule NOUN iajs-2556 242 33 of of ADP iajs-2556 242 34 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 242 35 46 46 NUM iajs-2556 242 36 ibn ibn PROPN iajs-2556 242 37 al al PROPN iajs-2556 242 38 - - PUNCT iajs-2556 242 39 haitham haitham PROPN iajs-2556 242 40 jour jour X iajs-2556 242 41 . . PROPN iajs-2556 242 42 for for ADP iajs-2556 242 43 pure pure ADJ iajs-2556 242 44 & & CCONJ iajs-2556 242 45 appl appl PROPN iajs-2556 242 46 . . PUNCT iajs-2556 243 1 sci sci PROPN iajs-2556 243 2 . . PROPN iajs-2556 244 1 34 34 NUM iajs-2556 244 2 ( ( PUNCT iajs-2556 244 3 1 1 NUM iajs-2556 244 4 ) ) PUNCT iajs-2556 244 5 2021 2021 NUM iajs-2556 244 6 6 6 NUM iajs-2556 244 7 . . PUNCT iajs-2556 245 1 let let VERB iajs-2556 245 2 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 245 3 be be AUX iajs-2556 245 4 a a DET iajs-2556 245 5 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 245 6 module module NOUN iajs-2556 245 7 over over ADP iajs-2556 245 8 artinian artinian ADJ iajs-2556 245 9 ring ring PROPN iajs-2556 245 10 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 245 11 , , PUNCT iajs-2556 245 12 and and CCONJ iajs-2556 245 13 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 245 14 is be AUX iajs-2556 245 15 a a DET iajs-2556 245 16 wn wn NOUN iajs-2556 245 17 - - PUNCT iajs-2556 245 18 prime prime NOUN iajs-2556 245 19 submodule submodule NOUN iajs-2556 245 20 of of ADP iajs-2556 245 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 245 22 then then ADV iajs-2556 245 23 [ [ X iajs-2556 245 24 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 245 25 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 245 26 ] ] PUNCT iajs-2556 245 27 is be AUX iajs-2556 245 28 a a DET iajs-2556 245 29 wn wn NOUN iajs-2556 245 30 - - PUNCT iajs-2556 245 31 prime prime ADJ iajs-2556 245 32 ideal ideal NOUN iajs-2556 245 33 of of ADP iajs-2556 245 34 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2556 245 35 7 7 NUM iajs-2556 245 36 . . PUNCT iajs-2556 246 1 if if SCONJ iajs-2556 246 2 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 246 3 is be AUX iajs-2556 246 4 a a DET iajs-2556 246 5 projective projective ADJ iajs-2556 246 6 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 246 7 r r NOUN iajs-2556 246 8 - - NOUN iajs-2556 246 9 module module NOUN iajs-2556 246 10 , , PUNCT iajs-2556 246 11 and and CCONJ iajs-2556 246 12 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 246 13 is be AUX iajs-2556 246 14 a a DET iajs-2556 246 15 wn wn NOUN iajs-2556 246 16 - - PUNCT iajs-2556 246 17 prime prime NOUN iajs-2556 246 18 submodule submodule NOUN iajs-2556 246 19 of of ADP iajs-2556 246 20 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 246 21 then then ADV iajs-2556 246 22 [ [ X iajs-2556 246 23 𝐻:𝑅 𝐻:𝑅 PROPN iajs-2556 246 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 246 25 ] ] PUNCT iajs-2556 246 26 is be AUX iajs-2556 246 27 a a DET iajs-2556 246 28 wn wn NOUN iajs-2556 246 29 - - PUNCT iajs-2556 246 30 prime prime ADJ iajs-2556 246 31 ideal ideal NOUN iajs-2556 246 32 of of ADP iajs-2556 246 33 𝑅. 𝑅. NOUN iajs-2556 246 34 8 8 NUM iajs-2556 246 35 . . PUNCT iajs-2556 247 1 if if SCONJ iajs-2556 247 2 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 247 3 is be AUX iajs-2556 247 4 finitely finitely ADV iajs-2556 247 5 generated generate VERB iajs-2556 247 6 faithful faithful ADJ iajs-2556 247 7 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 247 8 module module NOUN iajs-2556 247 9 over over ADP iajs-2556 247 10 good good ADJ iajs-2556 247 11 ring ring PROPN iajs-2556 247 12 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 247 13 , , PUNCT iajs-2556 247 14 and and CCONJ iajs-2556 247 15 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 247 16 be be VERB iajs-2556 247 17 wnprime wnprime ADJ iajs-2556 247 18 ideal ideal NOUN iajs-2556 247 19 of of ADP iajs-2556 247 20 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 247 21 , , PUNCT iajs-2556 247 22 then then ADV iajs-2556 247 23 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 247 24 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 247 25 is be AUX iajs-2556 247 26 wn wn NOUN iajs-2556 247 27 - - PUNCT iajs-2556 247 28 prime prime ADJ iajs-2556 247 29 submodule submodule NOUN iajs-2556 247 30 of of ADP iajs-2556 247 31 π‘ˆ. π‘ˆ. PROPN iajs-2556 247 32 9 9 NUM iajs-2556 247 33 . . PUNCT iajs-2556 248 1 if if SCONJ iajs-2556 248 2 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 248 3 is be AUX iajs-2556 248 4 finitely finitely ADV iajs-2556 248 5 generated generate VERB iajs-2556 248 6 projective projective ADJ iajs-2556 248 7 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 248 8 r r NOUN iajs-2556 248 9 - - PUNCT iajs-2556 248 10 module module NOUN iajs-2556 248 11 then then ADV iajs-2556 248 12 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 248 13 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 248 14 is be AUX iajs-2556 248 15 a a DET iajs-2556 248 16 wn wn NOUN iajs-2556 248 17 - - PUNCT iajs-2556 248 18 prime prime NOUN iajs-2556 248 19 submodule submodule NOUN iajs-2556 248 20 of of ADP iajs-2556 248 21 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 248 22 for for ADP iajs-2556 248 23 all all DET iajs-2556 248 24 wn wn NOUN iajs-2556 248 25 - - PUNCT iajs-2556 248 26 prime prime ADJ iajs-2556 248 27 ideal ideal PROPN iajs-2556 248 28 𝐴 𝐴 PROPN iajs-2556 248 29 of of ADP iajs-2556 248 30 𝑅 𝑅 PROPN iajs-2556 248 31 with with ADP iajs-2556 248 32 π‘Žπ‘›π‘› π‘Žπ‘›π‘› ADV iajs-2556 248 33 ( ( PUNCT iajs-2556 248 34 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 248 35 ) ) PUNCT iajs-2556 248 36 βŠ† βŠ† NUM iajs-2556 248 37 𝐴. 𝐴. PROPN iajs-2556 248 38 10 10 NUM iajs-2556 248 39 . . PUNCT iajs-2556 249 1 if if SCONJ iajs-2556 249 2 𝐻 𝐻 PROPN iajs-2556 249 3 is be AUX iajs-2556 249 4 a a DET iajs-2556 249 5 wn wn NOUN iajs-2556 249 6 - - PUNCT iajs-2556 249 7 prime prime NOUN iajs-2556 249 8 submodule submodule NOUN iajs-2556 249 9 of of ADP iajs-2556 249 10 an an DET iajs-2556 249 11 r r NOUN iajs-2556 249 12 - - PUNCT iajs-2556 249 13 module module NOUN iajs-2556 249 14 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 249 15 , , PUNCT iajs-2556 249 16 then then ADV iajs-2556 249 17 π‘†βˆ’1𝐻 π‘†βˆ’1𝐻 PROPN iajs-2556 249 18 is be AUX iajs-2556 249 19 a a DET iajs-2556 249 20 wn wn NOUN iajs-2556 249 21 - - PUNCT iajs-2556 249 22 prime prime NOUN iajs-2556 249 23 submodule submodule NOUN iajs-2556 249 24 of of ADP iajs-2556 249 25 π‘†βˆ’1𝑅-module π‘†βˆ’1𝑅-module NOUN iajs-2556 249 26 π‘†βˆ’1 π‘†βˆ’1 VERB iajs-2556 249 27 π‘ˆ π‘ˆ PROPN iajs-2556 249 28 , , PUNCT iajs-2556 249 29 where where SCONJ iajs-2556 249 30 𝑆 𝑆 PROPN iajs-2556 249 31 is be AUX iajs-2556 249 32 a a DET iajs-2556 249 33 multiplicatively multiplicatively ADV iajs-2556 249 34 closed close VERB iajs-2556 249 35 subset subset NOUN iajs-2556 249 36 of of ADP iajs-2556 249 37 𝑅. 𝑅. ADJ iajs-2556 249 38 references reference NOUN iajs-2556 249 39 1 1 NUM iajs-2556 249 40 . . PUNCT iajs-2556 250 1 behoodi behoodi PROPN iajs-2556 250 2 , , PUNCT iajs-2556 250 3 m. m. NOUN iajs-2556 250 4 ; ; PUNCT iajs-2556 250 5 koohi koohi PROPN iajs-2556 250 6 , , PUNCT iajs-2556 250 7 h. h. PROPN iajs-2556 250 8 weakly weakly ADJ iajs-2556 250 9 prime prime ADJ iajs-2556 250 10 modules module NOUN iajs-2556 250 11 . . PUNCT iajs-2556 251 1 vietnam vietnam PROPN iajs-2556 251 2 journal journal PROPN iajs-2556 251 3 of of ADP iajs-2556 251 4 math math NOUN iajs-2556 251 5 . . PUNCT iajs-2556 251 6 , , PUNCT iajs-2556 251 7 2004 2004 NUM iajs-2556 251 8 , , PUNCT iajs-2556 251 9 32,2 32,2 NOUN iajs-2556 251 10 , , PUNCT iajs-2556 251 11 185195 185195 NUM iajs-2556 251 12 . . PUNCT iajs-2556 252 1 2 2 X iajs-2556 252 2 . . X iajs-2556 252 3 azizi azizi PROPN iajs-2556 252 4 , , PUNCT iajs-2556 252 5 a. a. NOUN iajs-2556 252 6 ; ; PUNCT iajs-2556 252 7 weakly weakly ADJ iajs-2556 252 8 prime prime ADJ iajs-2556 252 9 submodules submodule NOUN iajs-2556 252 10 and and CCONJ iajs-2556 252 11 prime prime ADJ iajs-2556 252 12 submodules submodule NOUN iajs-2556 252 13 , , PUNCT iajs-2556 252 14 glasgow glasgow NOUN iajs-2556 252 15 math math NOUN iajs-2556 252 16 . . PUNCT iajs-2556 253 1 journal journal PROPN iajs-2556 253 2 , , PUNCT iajs-2556 253 3 2006 2006 NUM iajs-2556 253 4 , , PUNCT iajs-2556 253 5 48 48 NUM iajs-2556 253 6 , , PUNCT iajs-2556 253 7 343 343 NUM iajs-2556 253 8 - - SYM iajs-2556 253 9 348 348 NUM iajs-2556 253 10 . . PUNCT iajs-2556 254 1 3 3 X iajs-2556 254 2 . . X iajs-2556 254 3 ebrahimi ebrahimi PROPN iajs-2556 254 4 , , PUNCT iajs-2556 254 5 s. s. PROPN iajs-2556 254 6 ; ; PUNCT iajs-2556 254 7 farzalipour farzalipour VERB iajs-2556 254 8 , , PUNCT iajs-2556 254 9 f. f. PROPN iajs-2556 254 10 ; ; PUNCT iajs-2556 254 11 on on ADP iajs-2556 254 12 weakly weakly ADJ iajs-2556 254 13 prime prime ADJ iajs-2556 254 14 submodules submodule NOUN iajs-2556 254 15 . . PUNCT iajs-2556 255 1 tamkang tamkang PROPN iajs-2556 255 2 journal journal PROPN iajs-2556 255 3 of of ADP iajs-2556 255 4 math math NOUN iajs-2556 255 5 . . PUNCT iajs-2556 256 1 2007 2007 NUM iajs-2556 256 2 , , PUNCT iajs-2556 256 3 38,3 38,3 NUM iajs-2556 256 4 , , PUNCT iajs-2556 256 5 247 247 NUM iajs-2556 256 6 - - SYM iajs-2556 256 7 252 252 NUM iajs-2556 256 8 . . NOUN iajs-2556 257 1 4 4 NUM iajs-2556 257 2 . . X iajs-2556 257 3 azizi azizi PROPN iajs-2556 257 4 , , PUNCT iajs-2556 257 5 a. a. NOUN iajs-2556 257 6 on on ADP iajs-2556 257 7 prime prime ADJ iajs-2556 257 8 and and CCONJ iajs-2556 257 9 weakly weakly ADJ iajs-2556 257 10 prime prime ADJ iajs-2556 257 11 submodules submodule NOUN iajs-2556 257 12 , , PUNCT iajs-2556 257 13 vietnam vietnam PROPN iajs-2556 257 14 journal journal PROPN iajs-2556 257 15 of of ADP iajs-2556 257 16 math math NOUN iajs-2556 257 17 . . PUNCT iajs-2556 257 18 , , PUNCT iajs-2556 257 19 2008 2008 NUM iajs-2556 257 20 , , PUNCT iajs-2556 257 21 36,3 36,3 NUM iajs-2556 257 22 , , PUNCT iajs-2556 257 23 315 315 NUM iajs-2556 257 24 - - SYM iajs-2556 257 25 325 325 NUM iajs-2556 257 26 . . PUNCT iajs-2556 258 1 5 5 NUM iajs-2556 258 2 . . X iajs-2556 258 3 adil adil PROPN iajs-2556 258 4 , , PUNCT iajs-2556 258 5 k. k. PROPN iajs-2556 258 6 j. j. PROPN iajs-2556 259 1 a a DET iajs-2556 259 2 generalizations generalization NOUN iajs-2556 259 3 of of ADP iajs-2556 259 4 prime prime ADJ iajs-2556 259 5 and and CCONJ iajs-2556 259 6 weakly weakly ADJ iajs-2556 259 7 prime prime ADJ iajs-2556 259 8 submodules submodule NOUN iajs-2556 259 9 , , PUNCT iajs-2556 259 10 pure pure ADJ iajs-2556 259 11 math math NOUN iajs-2556 259 12 . . PUNCT iajs-2556 260 1 science science NOUN iajs-2556 260 2 , , PUNCT iajs-2556 260 3 2013 2013 NUM iajs-2556 260 4 , , PUNCT iajs-2556 260 5 2,1 2,1 NUM iajs-2556 260 6 , , PUNCT iajs-2556 260 7 1 1 NUM iajs-2556 260 8 - - SYM iajs-2556 260 9 11 11 NUM iajs-2556 260 10 . . PUNCT iajs-2556 261 1 6 6 NUM iajs-2556 261 2 . . X iajs-2556 261 3 ebrahimi ebrahimi PROPN iajs-2556 261 4 , , PUNCT iajs-2556 261 5 s. s. PROPN iajs-2556 261 6 ; ; PUNCT iajs-2556 261 7 farzalipour farzalipour VERB iajs-2556 261 8 , , PUNCT iajs-2556 261 9 f. f. 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PROPN iajs-2556 263 7 weakly weakly ADJ iajs-2556 263 8 quasiprime quasiprime ADJ iajs-2556 263 9 modules module NOUN iajs-2556 263 10 and and CCONJ iajs-2556 263 11 weakly weakly ADJ iajs-2556 263 12 quasiprime quasiprime ADJ iajs-2556 263 13 submodules submodule NOUN iajs-2556 263 14 , , PUNCT iajs-2556 263 15 m.sc m.sc PROPN iajs-2556 263 16 . . PUNCT iajs-2556 264 1 thesis thesis NOUN iajs-2556 264 2 2013 2013 NUM iajs-2556 264 3 , , PUNCT iajs-2556 264 4 university university NOUN iajs-2556 264 5 of of ADP iajs-2556 264 6 tikrit tikrit NOUN iajs-2556 264 7 . . PUNCT iajs-2556 265 1 8 8 NUM iajs-2556 265 2 . . X iajs-2556 265 3 farzalipour farzalipour PROPN iajs-2556 265 4 , , PUNCT iajs-2556 265 5 f. f. PROPN iajs-2556 265 6 on on ADP iajs-2556 265 7 almost almost ADV iajs-2556 265 8 semiprime semiprime NOUN iajs-2556 265 9 submodules submodule NOUN iajs-2556 265 10 ; ; PUNCT iajs-2556 265 11 hindawi hindawi ADJ iajs-2556 265 12 publishing publishing NOUN iajs-2556 265 13 corporation corporation NOUN iajs-2556 265 14 algebra algebra PROPN iajs-2556 265 15 , , PUNCT iajs-2556 265 16 2014 2014 NUM iajs-2556 265 17 , , PUNCT iajs-2556 265 18 31 31 NUM iajs-2556 265 19 , , PUNCT iajs-2556 265 20 231 231 NUM iajs-2556 265 21 - - SYM iajs-2556 265 22 237 237 NUM iajs-2556 265 23 . . PUNCT iajs-2556 266 1 9 9 NUM iajs-2556 266 2 . . X iajs-2556 266 3 saif saif PROPN iajs-2556 266 4 , , PUNCT iajs-2556 266 5 a a PRON iajs-2556 266 6 ; ; PUNCT iajs-2556 266 7 haibt haibt NOUN iajs-2556 266 8 , , PUNCT iajs-2556 266 9 k. k. PROPN iajs-2556 266 10 m. m. PROPN iajs-2556 266 11 weprime weprime PROPN iajs-2556 266 12 submodules submodule NOUN iajs-2556 266 13 and and CCONJ iajs-2556 266 14 we we PRON iajs-2556 266 15 - - PUNCT iajs-2556 266 16 semiprime semiprime NOUN iajs-2556 266 17 submodules submodule NOUN iajs-2556 266 18 . . PUNCT iajs-2556 267 1 ibn ibn NOUN iajs-2556 267 2 - - PUNCT iajs-2556 267 3 alhaitham alhaitham NOUN iajs-2556 267 4 jornal jornal NOUN iajs-2556 267 5 , , PUNCT iajs-2556 267 6 for for ADP iajs-2556 267 7 pure pure ADJ iajs-2556 267 8 and and CCONJ iajs-2556 267 9 apple.sci apple.sci NOUN iajs-2556 267 10 . . NOUN iajs-2556 267 11 2018 2018 NUM iajs-2556 267 12 , , PUNCT iajs-2556 267 13 31,3 31,3 NUM iajs-2556 267 14 , , PUNCT iajs-2556 267 15 109 109 NUM iajs-2556 267 16 - - SYM iajs-2556 267 17 117 117 NUM iajs-2556 267 18 . . PUNCT iajs-2556 268 1 10 10 NUM iajs-2556 268 2 . . PUNCT iajs-2556 269 1 el el NOUN iajs-2556 269 2 - - PUNCT iajs-2556 269 3 bast bast NOUN iajs-2556 269 4 , , PUNCT iajs-2556 269 5 z. z. PROPN iajs-2556 269 6 ; ; PUNCT iajs-2556 269 7 smith smith PROPN iajs-2556 269 8 , , PUNCT iajs-2556 269 9 p. p. PROPN iajs-2556 269 10 f. f. PROPN iajs-2556 269 11 ; ; PUNCT iajs-2556 269 12 multiplication multiplication NOUN iajs-2556 269 13 modules module NOUN iajs-2556 269 14 , , PUNCT iajs-2556 269 15 comm comm NOUN iajs-2556 269 16 . . PUNCT iajs-2556 270 1 algebra algebra NOUN iajs-2556 270 2 . . PUNCT iajs-2556 271 1 1988,16,4 1988,16,4 NUM iajs-2556 271 2 , , PUNCT iajs-2556 271 3 755 755 NUM iajs-2556 271 4 - - SYM iajs-2556 271 5 779 779 NUM iajs-2556 271 6 . . PROPN iajs-2556 272 1 11 11 NUM iajs-2556 272 2 . . X iajs-2556 273 1 burton burton PROPN iajs-2556 273 2 , , PUNCT iajs-2556 273 3 d. d. 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