id	sid	tid	token	lemma	pos
iajs-3021	1	1	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	1	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	2	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	2	2	354	354	NUM
iajs-3021	2	3	this	this	DET
iajs-3021	2	4	work	work	NOUN
iajs-3021	2	5	is	be	AUX
iajs-3021	2	6	licensed	license	VERB
iajs-3021	2	7	under	under	ADP
iajs-3021	2	8	a	a	DET
iajs-3021	2	9	creative	creative	ADJ
iajs-3021	2	10	commons	common	NOUN
iajs-3021	2	11	attribution	attribution	NOUN
iajs-3021	2	12	4.0	4.0	NUM
iajs-3021	2	13	international	international	ADJ
iajs-3021	2	14	license	license	NOUN
iajs-3021	2	15	.	.	PUNCT
iajs-3021	3	1	abstract	abstract	ADV
iajs-3021	3	2	let	let	VERB
iajs-3021	3	3	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	3	4	be	be	AUX
iajs-3021	3	5	a	a	DET
iajs-3021	3	6	module	module	NOUN
iajs-3021	3	7	over	over	ADP
iajs-3021	3	8	a	a	DET
iajs-3021	3	9	commutative	commutative	ADJ
iajs-3021	3	10	ring	ring	NOUN
iajs-3021	3	11	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	3	12	with	with	ADP
iajs-3021	3	13	identity	identity	NOUN
iajs-3021	3	14	.	.	PUNCT
iajs-3021	4	1	in	in	ADP
iajs-3021	4	2	this	this	DET
iajs-3021	4	3	paper	paper	NOUN
iajs-3021	4	4	we	we	PRON
iajs-3021	4	5	intoduce	intoduce	VERB
iajs-3021	4	6	the	the	DET
iajs-3021	4	7	concept	concept	NOUN
iajs-3021	4	8	of	of	ADP
iajs-3021	4	9	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	4	10	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	4	11	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	4	12	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	4	13	-	-	PUNCT
iajs-3021	4	14	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	4	15	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	4	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	4	17	where	where	SCONJ
iajs-3021	4	18	a	a	DET
iajs-3021	4	19	proper	proper	ADJ
iajs-3021	4	20	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	4	21	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	4	22	of	of	ADP
iajs-3021	4	23	an	an	DET
iajs-3021	4	24	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	4	25	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	4	26	is	be	AUX
iajs-3021	4	27	said	say	VERB
iajs-3021	4	28	to	to	PART
iajs-3021	4	29	be	be	AUX
iajs-3021	4	30	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	4	31	pseudo	pseudo	ADJ
iajs-3021	4	32	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	4	33	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	4	34	-	-	PUNCT
iajs-3021	4	35	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	4	36	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	4	37	of	of	ADP
iajs-3021	4	38	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	4	39	if	if	SCONJ
iajs-3021	4	40	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	4	41	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	4	42	∈	∈	PROPN
iajs-3021	4	43	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	4	44	,	,	PUNCT
iajs-3021	4	45	for	for	ADP
iajs-3021	4	46	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	4	47	∈	∈	PROPN
iajs-3021	4	48	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	4	49	,	,	PUNCT
iajs-3021	4	50	𝜘	𝜘	X
iajs-3021	4	51	∈	∈	PROPN
iajs-3021	4	52	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	4	53	implies	imply	VERB
iajs-3021	4	54	that	that	SCONJ
iajs-3021	4	55	either	either	CCONJ
iajs-3021	4	56	𝑢𝜘	𝑢𝜘	NUM
iajs-3021	4	57	∈	∈	PROPN
iajs-3021	4	58	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	4	59	+	+	CCONJ
iajs-3021	4	60	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	4	61	)	)	PUNCT
iajs-3021	4	62	∩	∩	NOUN
iajs-3021	4	63	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	4	64	)	)	PUNCT
iajs-3021	4	65	or	or	CCONJ
iajs-3021	4	66	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	4	67	∈	∈	PROPN
iajs-3021	5	1	[	[	X
iajs-3021	5	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	5	3	+	+	NUM
iajs-3021	5	4	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	5	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	5	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	5	7	𝑠𝑜𝑐(ℋ):𝑅	𝑠𝑜𝑐(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	5	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	5	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	6	1	,	,	PUNCT
iajs-3021	6	2	this	this	DET
iajs-3021	6	3	concept	concept	NOUN
iajs-3021	6	4	is	be	AUX
iajs-3021	6	5	a	a	DET
iajs-3021	6	6	generalization	generalization	NOUN
iajs-3021	6	7	of	of	ADP
iajs-3021	6	8	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	6	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	6	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	6	11	semi	semi	ADV
iajs-3021	6	12	2absorbing	2absorbe	VERB
iajs-3021	6	13	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	6	14	,	,	PUNCT
iajs-3021	6	15	and	and	CCONJ
iajs-3021	6	16	strong	strong	ADJ
iajs-3021	6	17	form	form	NOUN
iajs-3021	6	18	of	of	ADP
iajs-3021	6	19	(	(	PUNCT
iajs-3021	6	20	nearly–2	nearly–2	ADJ
iajs-3021	6	21	–	–	PUNCT
iajs-3021	6	22	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	6	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	6	24	pseudo_2_absorbing	pseudo_2_absorbing	NOUN
iajs-3021	6	25	,	,	PUNCT
iajs-3021	6	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	6	27	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	6	28	semi–2	semi–2	ADJ
iajs-3021	6	29	–	–	PUNCT
iajs-3021	6	30	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	6	31	)	)	PUNCT
iajs-3021	6	32	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	6	33	.	.	PUNCT
iajs-3021	7	1	several	several	ADJ
iajs-3021	7	2	properties	property	NOUN
iajs-3021	7	3	characterizations	characterization	NOUN
iajs-3021	7	4	,	,	PUNCT
iajs-3021	7	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	7	6	examples	example	NOUN
iajs-3021	7	7	concerning	concern	VERB
iajs-3021	7	8	this	this	DET
iajs-3021	7	9	new	new	ADJ
iajs-3021	7	10	notion	notion	NOUN
iajs-3021	7	11	are	be	AUX
iajs-3021	7	12	given	give	VERB
iajs-3021	7	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	8	1	we	we	PRON
iajs-3021	8	2	study	study	VERB
iajs-3021	8	3	the	the	DET
iajs-3021	8	4	relation	relation	NOUN
iajs-3021	8	5	between	between	ADP
iajs-3021	8	6	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	8	7	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	8	8	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	8	9	semei-2	semei-2	NOUN
iajs-3021	8	10	-	-	PUNCT
iajs-3021	8	11	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	8	12	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	8	13	and	and	CCONJ
iajs-3021	8	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	8	15	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	8	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	8	17	nearly_2_absorbing	nearly_2_absorbing	NOUN
iajs-3021	8	18	,	,	PUNCT
iajs-3021	8	19	pseudo_2_absorbing	pseudo_2_absorbing	NOUN
iajs-3021	8	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	8	21	and	and	CCONJ
iajs-3021	8	22	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	8	23	semi–2	semi–2	ADJ
iajs-3021	8	24	–	–	PUNCT
iajs-3021	8	25	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	8	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	8	27	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	8	28	and	and	CCONJ
iajs-3021	8	29	the	the	DET
iajs-3021	8	30	converse	converse	NOUN
iajs-3021	8	31	of	of	ADP
iajs-3021	8	32	this	this	DET
iajs-3021	8	33	relation	relation	NOUN
iajs-3021	8	34	is	be	AUX
iajs-3021	8	35	true	true	ADJ
iajs-3021	8	36	under	under	ADP
iajs-3021	8	37	certain	certain	ADJ
iajs-3021	8	38	condition	condition	NOUN
iajs-3021	8	39	.	.	PUNCT
iajs-3021	9	1	also	also	ADV
iajs-3021	9	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	9	3	we	we	PRON
iajs-3021	9	4	introduced	introduce	VERB
iajs-3021	9	5	many	many	ADJ
iajs-3021	9	6	characterizations	characterization	NOUN
iajs-3021	9	7	of	of	ADP
iajs-3021	9	8	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	9	9	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	9	10	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	9	11	semei-2absorbing	semei-2absorbe	VERB
iajs-3021	9	12	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	9	13	in	in	ADP
iajs-3021	9	14	some	some	DET
iajs-3021	9	15	types	type	NOUN
iajs-3021	9	16	of	of	ADP
iajs-3021	9	17	modules	module	NOUN
iajs-3021	9	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	10	1	keywords:2_absorbing.submodules,.pseudo_2_absorbing.submodules,.nearly_2_absorbingsu	keywords:2_absorbing.submodules,.pseudo_2_absorbing.submodules,.nearly_2_absorbingsu	PROPN
iajs-3021	10	2	bmodules	bmodule	NOUN
iajs-3021	10	3	,	,	PUNCT
iajs-3021	10	4	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	10	5	semei-2	semei-2	NUM
iajs-3021	10	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	10	7	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	10	8	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	10	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	10	10	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	10	11	-	-	ADJ
iajs-3021	10	12	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	10	13	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	10	14	.	.	PUNCT
iajs-3021	11	1	1	1	X
iajs-3021	11	2	.	.	X
iajs-3021	11	3	introduction	introduction	NOUN
iajs-3021	11	4	throughout	throughout	ADP
iajs-3021	11	5	this	this	DET
iajs-3021	11	6	paper	paper	NOUN
iajs-3021	11	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	11	8	all	all	DET
iajs-3021	11	9	rings	ring	NOUN
iajs-3021	11	10	are	be	AUX
iajs-3021	11	11	assumed	assume	VERB
iajs-3021	11	12	commutative	commutative	ADJ
iajs-3021	11	13	with	with	ADP
iajs-3021	11	14	identity	identity	NOUN
iajs-3021	11	15	and	and	CCONJ
iajs-3021	11	16	all	all	DET
iajs-3021	11	17	r	r	NOUN
iajs-3021	11	18	-	-	PUNCT
iajs-3021	11	19	modules	module	NOUN
iajs-3021	11	20	are	be	AUX
iajs-3021	11	21	left	leave	VERB
iajs-3021	11	22	unitary	unitary	ADJ
iajs-3021	11	23	.	.	PUNCT
iajs-3021	12	1	according	accord	VERB
iajs-3021	12	2	darani	darani	PROPN
iajs-3021	12	3	and	and	CCONJ
iajs-3021	12	4	soheiline	soheiline	NOUN
iajs-3021	12	5	in	in	ADP
iajs-3021	12	6	2011	2011	NUM
iajs-3021	12	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	12	8	we	we	PRON
iajs-3021	12	9	introduce	introduce	VERB
iajs-3021	12	10	a	a	DET
iajs-3021	12	11	concept	concept	NOUN
iajs-3021	12	12	2	2	NUM
iajs-3021	12	13	-	-	PUNCT
iajs-3021	12	14	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	12	15	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	12	16	.	.	PUNCT
iajs-3021	13	1	many	many	ADJ
iajs-3021	13	2	researchers	researcher	NOUN
iajs-3021	13	3	have	have	AUX
iajs-3021	13	4	generalized	generalize	VERB
iajs-3021	13	5	the	the	DET
iajs-3021	13	6	concept	concept	NOUN
iajs-3021	13	7	of	of	ADP
iajs-3021	13	8	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	13	9	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	13	10	in	in	ADP
iajs-3021	13	11	different	different	ADJ
iajs-3021	13	12	way	way	NOUN
iajs-3021	13	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	14	1	recently	recently	ADV
iajs-3021	14	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	14	3	in	in	ADP
iajs-3021	14	4	2018	2018	NUM
iajs-3021	14	5	reem	reem	NOUN
iajs-3021	14	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	14	7	shwkea	shwkea	PROPN
iajs-3021	14	8	introduced	introduce	VERB
iajs-3021	14	9	the	the	DET
iajs-3021	14	10	concept	concept	NOUN
iajs-3021	14	11	of	of	ADP
iajs-3021	14	12	nearly–2	nearly–2	PROPN
iajs-3021	14	13	–	–	PUNCT
iajs-3021	14	14	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	14	15	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	14	16	as	as	ADP
iajs-3021	14	17	new	new	ADJ
iajs-3021	14	18	generalization	generalization	NOUN
iajs-3021	14	19	of	of	ADP
iajs-3021	14	20	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	14	21	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	14	22	.	.	PUNCT
iajs-3021	15	1	also	also	ADV
iajs-3021	15	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	15	3	in	in	ADP
iajs-3021	15	4	2019	2019	NUM
iajs-3021	15	5	haibat	haibat	NOUN
iajs-3021	15	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	15	7	omer	omer	PROPN
iajs-3021	15	8	introduced	introduce	VERB
iajs-3021	15	9	the	the	DET
iajs-3021	15	10	concept	concept	NOUN
iajs-3021	15	11	pseudo_2_absorbing	pseudo_2_absorbing	NOUN
iajs-3021	15	12	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	15	13	as	as	ADP
iajs-3021	15	14	new	new	ADJ
iajs-3021	15	15	generalization	generalization	NOUN
iajs-3021	15	16	of	of	ADP
iajs-3021	15	17	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	15	18	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	15	19	.	.	PUNCT
iajs-3021	16	1	in	in	ADP
iajs-3021	16	2	1967	1967	NUM
iajs-3021	16	3	goodearl	goodearl	NOUN
iajs-3021	16	4	made	make	VERB
iajs-3021	16	5	a	a	DET
iajs-3021	16	6	generalization	generalization	NOUN
iajs-3021	16	7	of	of	ADP
iajs-3021	16	8	the	the	DET
iajs-3021	16	9	concept	concept	NOUN
iajs-3021	16	10	of	of	ADP
iajs-3021	16	11	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	16	12	which	which	PRON
iajs-3021	16	13	is	be	AUX
iajs-3021	16	14	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	16	15	-	-	PUNCT
iajs-3021	16	16	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	16	17	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	16	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	17	1	also	also	ADV
iajs-3021	17	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	17	3	in	in	ADP
iajs-3021	17	4	2019	2019	NUM
iajs-3021	17	5	akram	akram	NOUN
iajs-3021	17	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	17	7	haibat	haibat	NOUN
iajs-3021	17	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	17	9	haibat	haibat	NOUN
iajs-3021	17	10	and	and	CCONJ
iajs-3021	17	11	omer	omer	PROPN
iajs-3021	17	12	made	make	VERB
iajs-3021	17	13	a	a	DET
iajs-3021	17	14	generalization	generalization	NOUN
iajs-3021	17	15	of	of	ADP
iajs-3021	17	16	the	the	DET
iajs-3021	17	17	concept	concept	NOUN
iajs-3021	17	18	of	of	ADP
iajs-3021	17	19	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	17	20	an	an	DET
iajs-3021	17	21	illusion	illusion	NOUN
iajs-3021	17	22	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	17	23	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	17	24	-	-	ADJ
iajs-3021	17	25	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	17	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	17	27	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	17	28	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	17	29	-	-	ADJ
iajs-3021	17	30	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	17	31	.	.	PUNCT
iajs-3021	18	1	our	our	PRON
iajs-3021	18	2	goal	goal	NOUN
iajs-3021	18	3	in	in	ADP
iajs-3021	18	4	this	this	DET
iajs-3021	18	5	paper	paper	NOUN
iajs-3021	18	6	was	be	AUX
iajs-3021	18	7	studied	study	VERB
iajs-3021	18	8	the	the	DET
iajs-3021	18	9	concept	concept	NOUN
iajs-3021	18	10	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	18	11	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	18	12	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	18	13	semei2	semei2	NOUN
iajs-3021	18	14	-	-	ADJ
iajs-3021	18	15	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	18	16	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	18	17	as	as	ADP
iajs-3021	18	18	new	new	ADJ
iajs-3021	18	19	generalization	generalization	NOUN
iajs-3021	18	20	of	of	ADP
iajs-3021	18	21	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	18	22	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	18	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	18	24	strong	strong	ADJ
iajs-3021	18	25	form	form	NOUN
iajs-3021	18	26	of	of	ADP
iajs-3021	18	27	both	both	DET
iajs-3021	18	28	nearly–2	nearly–2	NOUN
iajs-3021	18	29	–	–	PUNCT
iajs-3021	18	30	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	18	31	,	,	PUNCT
iajs-3021	18	32	pseudo_2_absorbing	pseudo_2_absorbing	NOUN
iajs-3021	18	33	,	,	PUNCT
iajs-3021	18	34	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	18	35	semi–2	semi–2	NOUN
iajs-3021	18	36	–	–	PUNCT
iajs-3021	18	37	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	18	38	and	and	CCONJ
iajs-3021	18	39	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	18	40	semi-2absorbing	semi-2absorbe	VERB
iajs-3021	18	41	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	18	42	are	be	AUX
iajs-3021	18	43	given	give	VERB
iajs-3021	18	44	several	several	ADJ
iajs-3021	18	45	properties	property	NOUN
iajs-3021	18	46	and	and	CCONJ
iajs-3021	18	47	characterizations	characterization	NOUN
iajs-3021	18	48	of	of	ADP
iajs-3021	18	49	this	this	DET
iajs-3021	18	50	concepts	concept	NOUN
iajs-3021	18	51	in	in	ADP
iajs-3021	18	52	some	some	DET
iajs-3021	18	53	doi.org/10.30526/36.2.3021	doi.org/10.30526/36.2.3021	NOUN
iajs-3021	18	54	article	article	NOUN
iajs-3021	18	55	history	history	NOUN
iajs-3021	18	56	:	:	PUNCT
iajs-3021	18	57	received	receive	VERB
iajs-3021	18	58	17	17	NUM
iajs-3021	18	59	september	september	PROPN
iajs-3021	18	60	2022	2022	NUM
iajs-3021	18	61	,	,	PUNCT
iajs-3021	18	62	accepted	accept	VERB
iajs-3021	18	63	6	6	NUM
iajs-3021	18	64	november	november	PROPN
iajs-3021	18	65	2022	2022	NUM
iajs-3021	18	66	,	,	PUNCT
iajs-3021	18	67	published	publish	VERB
iajs-3021	18	68	in	in	ADP
iajs-3021	18	69	april	april	PROPN
iajs-3021	18	70	2023	2023	NUM
iajs-3021	18	71	.	.	PUNCT
iajs-3021	19	1	ibn	ibn	PROPN
iajs-3021	19	2	al	al	PROPN
iajs-3021	19	3	-	-	PUNCT
iajs-3021	19	4	haitham	haitham	PROPN
iajs-3021	19	5	journal	journal	PROPN
iajs-3021	19	6	for	for	ADP
iajs-3021	19	7	pure	pure	ADJ
iajs-3021	19	8	and	and	CCONJ
iajs-3021	19	9	applied	applied	ADJ
iajs-3021	19	10	sciences	sciences	PROPN
iajs-3021	19	11	journal	journal	PROPN
iajs-3021	19	12	homepage	homepage	NOUN
iajs-3021	19	13	:	:	PUNCT
iajs-3021	19	14	jih.uobaghdad.edu.iq	jih.uobaghdad.edu.iq	VERB
iajs-3021	19	15	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	19	16	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	19	17	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	19	18	semei-2	semei-2	NOUN
iajs-3021	19	19	-	-	PUNCT
iajs-3021	19	20	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	19	21	submodule(𝐈	submodule(𝐈	NOUN
iajs-3021	19	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	19	23	mohmad	mohmad	PROPN
iajs-3021	19	24	e.	e.	PROPN
iajs-3021	19	25	dahash	dahash	PROPN
iajs-3021	19	26	department	department	PROPN
iajs-3021	19	27	of	of	ADP
iajs-3021	19	28	mathematics	mathematics	PROPN
iajs-3021	19	29	college	college	PROPN
iajs-3021	19	30	of	of	ADP
iajs-3021	19	31	computer	computer	NOUN
iajs-3021	19	32	science	science	NOUN
iajs-3021	19	33	and	and	CCONJ
iajs-3021	19	34	mathematics	mathematics	PROPN
iajs-3021	19	35	tikrit	tikrit	PROPN
iajs-3021	19	36	university	university	PROPN
iajs-3021	19	37	/	/	SYM
iajs-3021	19	38	iraq	iraq	PROPN
iajs-3021	19	39	.	.	PUNCT
iajs-3021	20	1	mohmad.e.dahash35391@st.tu.edu.iq	mohmad.e.dahash35391@st.tu.edu.iq	ADJ
iajs-3021	20	2	haibat	haibat	NOUN
iajs-3021	20	3	k.	k.	PROPN
iajs-3021	20	4	mohammadali	mohammadali	PROPN
iajs-3021	20	5	department	department	PROPN
iajs-3021	20	6	of	of	ADP
iajs-3021	20	7	mathematics	mathematics	PROPN
iajs-3021	20	8	college	college	PROPN
iajs-3021	20	9	of	of	ADP
iajs-3021	20	10	computer	computer	NOUN
iajs-3021	20	11	science	science	NOUN
iajs-3021	20	12	and	and	CCONJ
iajs-3021	20	13	mathematics	mathematics	PROPN
iajs-3021	20	14	tikrit	tikrit	PROPN
iajs-3021	20	15	university	university	PROPN
iajs-3021	20	16	/	/	SYM
iajs-3021	20	17	iraq	iraq	PROPN
iajs-3021	20	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	21	1	h.mohammadali@tu.edu.iq	h.mohammadali@tu.edu.iq	PROPN
iajs-3021	21	2	https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/	https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/	PROPN
iajs-3021	21	3	mailto:mohmad.e.dahash35391@st.tu.edu.iq	mailto:mohmad.e.dahash35391@st.tu.edu.iq	ADJ
iajs-3021	21	4	mailto:h.mohammadali@tu.edu.iq	mailto:h.mohammadali@tu.edu.iq	NOUN
iajs-3021	21	5	mailto:h.mohammadali@tu.edu.iq	mailto:h.mohammadali@tu.edu.iq	PROPN
iajs-3021	21	6	ihjpas	ihjpa	NOUN
iajs-3021	21	7	.	.	PUNCT
iajs-3021	22	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	22	2	355	355	NUM
iajs-3021	22	3	types	type	NOUN
iajs-3021	22	4	of	of	ADP
iajs-3021	22	5	modules	module	NOUN
iajs-3021	22	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	23	1	2	2	X
iajs-3021	23	2	.	.	X
iajs-3021	23	3	basic	basic	ADJ
iajs-3021	23	4	properties	property	NOUN
iajs-3021	23	5	in	in	ADP
iajs-3021	23	6	this	this	DET
iajs-3021	23	7	section	section	NOUN
iajs-3021	23	8	we	we	PRON
iajs-3021	23	9	introduce	introduce	VERB
iajs-3021	23	10	the	the	DET
iajs-3021	23	11	basic	basic	ADJ
iajs-3021	23	12	properties	property	NOUN
iajs-3021	23	13	of	of	ADP
iajs-3021	23	14	the	the	DET
iajs-3021	23	15	concept	concept	NOUN
iajs-3021	23	16	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	23	17	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	23	18	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	23	19	semei2	semei2	NOUN
iajs-3021	23	20	-	-	ADJ
iajs-3021	23	21	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	23	22	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	23	23	.	.	PUNCT
iajs-3021	24	1	definition	definition	NOUN
iajs-3021	24	2	2.1	2.1	NUM
iajs-3021	24	3	[	[	X
iajs-3021	24	4	1	1	NUM
iajs-3021	24	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	24	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	25	1	let	let	VERB
iajs-3021	25	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	25	3	be	be	AUX
iajs-3021	25	4	an	an	DET
iajs-3021	25	5	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	25	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	25	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	25	8	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	25	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	25	10	is	be	AUX
iajs-3021	25	11	called	call	VERB
iajs-3021	25	12	2	2	NUM
iajs-3021	25	13	-	-	PUNCT
iajs-3021	25	14	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	25	15	if	if	SCONJ
iajs-3021	25	16	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	25	17	𝑢𝑣ℎ	𝑢𝑣ℎ	PROPN
iajs-3021	25	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	25	19	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	25	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	25	21	for	for	ADP
iajs-3021	25	22	u	u	NOUN
iajs-3021	25	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	25	24	𝑣	𝑣	PROPN
iajs-3021	25	25	∈	∈	PROPN
iajs-3021	25	26	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	25	27	,	,	PUNCT
iajs-3021	25	28	ℎ	ℎ	PROPN
iajs-3021	25	29	∈	∈	PROPN
iajs-3021	25	30	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	25	31	,	,	PUNCT
iajs-3021	25	32	then	then	ADV
iajs-3021	25	33	either	either	CCONJ
iajs-3021	25	34	𝑢ℎ	𝑢ℎ	ADP
iajs-3021	25	35	∈	∈	PROPN
iajs-3021	25	36	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	25	37	or	or	CCONJ
iajs-3021	25	38	𝑣ℎ	𝑣ℎ	ADP
iajs-3021	25	39	∈	∈	PROPN
iajs-3021	25	40	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	25	41	or	or	CCONJ
iajs-3021	25	42	𝑢𝑣	𝑢𝑣	NOUN
iajs-3021	25	43	∈	∈	PROPN
iajs-3021	25	44	[	[	X
iajs-3021	25	45	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	25	46	ℋ𝑅	ℋ𝑅	PROPN
iajs-3021	25	47	:	:	PUNCT
iajs-3021	25	48	]	]	PUNCT
iajs-3021	25	49	.	.	PUNCT
iajs-3021	26	1	definition	definition	NOUN
iajs-3021	26	2	2.2	2.2	NUM
iajs-3021	27	1	[	[	X
iajs-3021	27	2	2	2	NUM
iajs-3021	27	3	]	]	PUNCT
iajs-3021	27	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	28	1	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	28	2	)	)	PUNCT
iajs-3021	28	3	is	be	AUX
iajs-3021	28	4	the	the	DET
iajs-3021	28	5	intersection	intersection	NOUN
iajs-3021	28	6	of	of	ADP
iajs-3021	28	7	all	all	DET
iajs-3021	28	8	essential	essential	ADJ
iajs-3021	28	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	28	10	of	of	ADP
iajs-3021	28	11	ℋand	ℋand	PROPN
iajs-3021	28	12	a	a	DET
iajs-3021	28	13	nonzero	nonzero	PROPN
iajs-3021	28	14	submodule	submodule	PROPN
iajs-3021	28	15	ℚ	ℚ	PROPN
iajs-3021	28	16	of	of	ADP
iajs-3021	28	17	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	28	18	is	be	AUX
iajs-3021	28	19	a	a	DET
iajs-3021	28	20	essential	essential	ADJ
iajs-3021	28	21	in	in	ADP
iajs-3021	28	22	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	28	23	if	if	SCONJ
iajs-3021	28	24	ℚ	ℚ	PROPN
iajs-3021	28	25	∩	∩	NOUN
iajs-3021	28	26	ℂ	ℂ	PROPN
iajs-3021	28	27	≠	≠	PROPN
iajs-3021	28	28	(	(	PUNCT
iajs-3021	28	29	0	0	NUM
iajs-3021	28	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	28	31	for	for	ADP
iajs-3021	28	32	any	any	DET
iajs-3021	28	33	nonzero	nonzero	NOUN
iajs-3021	28	34	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	28	35	ℂ	ℂ	PROPN
iajs-3021	28	36	of	of	ADP
iajs-3021	28	37	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	28	38	definition	definition	NOUN
iajs-3021	28	39	2.3	2.3	NUM
iajs-3021	29	1	[	[	X
iajs-3021	29	2	3	3	NUM
iajs-3021	29	3	]	]	PUNCT
iajs-3021	29	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	29	5	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	29	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	29	7	is	be	AUX
iajs-3021	29	8	the	the	DET
iajs-3021	29	9	intersection	intersection	NOUN
iajs-3021	29	10	of	of	ADP
iajs-3021	29	11	all	all	DET
iajs-3021	29	12	maximal	maximal	ADJ
iajs-3021	29	13	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	29	14	of	of	ADP
iajs-3021	29	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	29	16	and	and	CCONJ
iajs-3021	29	17	a	a	DET
iajs-3021	29	18	proper	proper	ADJ
iajs-3021	29	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	29	20	ℬ	ℬ	NOUN
iajs-3021	29	21	of	of	ADP
iajs-3021	29	22	an	an	DET
iajs-3021	29	23	r._module	r._module	PROPN
iajs-3021	29	24	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	29	25	is	be	AUX
iajs-3021	29	26	called	call	VERB
iajs-3021	29	27	maximal	maximal	ADJ
iajs-3021	29	28	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	29	29	if	if	SCONJ
iajs-3021	29	30	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	29	31	ℬ	ℬ	PROPN
iajs-3021	29	32	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	29	33	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	29	34	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	29	35	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	29	36	for	for	ADP
iajs-3021	29	37	some	some	DET
iajs-3021	29	38	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	29	39	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	29	40	of	of	ADP
iajs-3021	29	41	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	29	42	then	then	ADV
iajs-3021	29	43	either	either	CCONJ
iajs-3021	29	44	ℬ	ℬ	NOUN
iajs-3021	29	45	=	=	SYM
iajs-3021	29	46	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	29	47	or	or	CCONJ
iajs-3021	29	48	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	29	49	=	=	SYM
iajs-3021	29	50	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	29	51	definition	definition	NOUN
iajs-3021	29	52	2.4	2.4	NUM
iajs-3021	30	1	[	[	SYM
iajs-3021	30	2	4	4	NUM
iajs-3021	30	3	]	]	PUNCT
iajs-3021	30	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	31	1	let	let	VERB
iajs-3021	31	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	31	3	be	be	AUX
iajs-3021	31	4	an	an	DET
iajs-3021	31	5	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	31	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	31	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	31	8	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	31	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	31	10	is	be	AUX
iajs-3021	31	11	called	call	VERB
iajs-3021	31	12	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	31	13	-	-	PUNCT
iajs-3021	31	14	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	31	15	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	31	16	if	if	SCONJ
iajs-3021	31	17	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	31	18	𝑢𝑣𝑚	𝑢𝑣𝑚	PROPN
iajs-3021	31	19	∈	∈	PROPN
iajs-3021	31	20	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	31	21	,	,	PUNCT
iajs-3021	31	22	for	for	ADP
iajs-3021	31	23	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	31	24	,	,	PUNCT
iajs-3021	31	25	𝑣	𝑣	PRON
iajs-3021	31	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	31	27	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	31	28	,	,	PUNCT
iajs-3021	31	29	ℎ	ℎ	PROPN
iajs-3021	31	30	∈	∈	PROPN
iajs-3021	31	31	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	31	32	,	,	PUNCT
iajs-3021	31	33	implies	imply	VERB
iajs-3021	31	34	that	that	SCONJ
iajs-3021	31	35	either	either	CCONJ
iajs-3021	31	36	𝑢ℎ	𝑢ℎ	ADP
iajs-3021	31	37	∈	∈	PROPN
iajs-3021	31	38	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	31	39	+	+	CCONJ
iajs-3021	31	40	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	31	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	31	42	or	or	CCONJ
iajs-3021	31	43	𝑣ℎ	𝑣ℎ	ADP
iajs-3021	31	44	∈	∈	PROPN
iajs-3021	31	45	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	31	46	+	+	CCONJ
iajs-3021	31	47	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	31	48	)	)	PUNCT
iajs-3021	31	49	or	or	CCONJ
iajs-3021	31	50	𝑢𝑣	𝑢𝑣	NOUN
iajs-3021	31	51	∈	∈	PROPN
iajs-3021	32	1	[	[	X
iajs-3021	32	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	32	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	32	4	𝐽(ℋ)𝑅	𝐽(ℋ)𝑅	NUM
iajs-3021	32	5	:	:	PUNCT
iajs-3021	32	6	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	32	7	]	]	PUNCT
iajs-3021	32	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	33	1	definition	definition	NOUN
iajs-3021	33	2	2.5	2.5	NUM
iajs-3021	34	1	[	[	X
iajs-3021	34	2	5	5	NUM
iajs-3021	34	3	]	]	PUNCT
iajs-3021	34	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	35	1	let	let	VERB
iajs-3021	35	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	35	3	be	be	AUX
iajs-3021	35	4	an	an	DET
iajs-3021	35	5	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	35	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	35	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	35	8	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	35	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	35	10	is	be	AUX
iajs-3021	35	11	called	call	VERB
iajs-3021	35	12	pseudo-2	pseudo-2	NUM
iajs-3021	35	13	-	-	PUNCT
iajs-3021	35	14	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	35	15	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	35	16	if	if	SCONJ
iajs-3021	35	17	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	35	18	𝑢𝑣𝑚	𝑢𝑣𝑚	PROPN
iajs-3021	35	19	∈	∈	PROPN
iajs-3021	35	20	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	35	21	,	,	PUNCT
iajs-3021	35	22	for	for	ADP
iajs-3021	35	23	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	35	24	,	,	PUNCT
iajs-3021	35	25	𝑣	𝑣	PRON
iajs-3021	35	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	35	27	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	35	28	,	,	PUNCT
iajs-3021	35	29	ℎ	ℎ	PROPN
iajs-3021	35	30	∈	∈	PROPN
iajs-3021	35	31	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	35	32	,	,	PUNCT
iajs-3021	35	33	implies	imply	VERB
iajs-3021	35	34	that	that	SCONJ
iajs-3021	35	35	either	either	CCONJ
iajs-3021	35	36	𝑢ℎ	𝑢ℎ	ADP
iajs-3021	35	37	∈	∈	PROPN
iajs-3021	35	38	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	35	39	+	+	CCONJ
iajs-3021	35	40	𝑆𝑜𝑐(ℋ	𝑆𝑜𝑐(ℋ	NOUN
iajs-3021	35	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	35	42	or	or	CCONJ
iajs-3021	35	43	𝑣ℎ	𝑣ℎ	ADP
iajs-3021	35	44	∈	∈	PROPN
iajs-3021	35	45	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	35	46	+	+	CCONJ
iajs-3021	35	47	𝑆𝑜𝑐(ℋ	𝑆𝑜𝑐(ℋ	NOUN
iajs-3021	35	48	)	)	PUNCT
iajs-3021	35	49	or	or	CCONJ
iajs-3021	35	50	𝑢𝑣	𝑢𝑣	NOUN
iajs-3021	35	51	∈	∈	PROPN
iajs-3021	36	1	[	[	X
iajs-3021	36	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	36	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	36	4	𝑆𝑜𝑐(ℋ)𝑅	𝑆𝑜𝑐(ℋ)𝑅	PROPN
iajs-3021	36	5	:	:	PUNCT
iajs-3021	36	6	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	36	7	]	]	PUNCT
iajs-3021	36	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	37	1	definition	definition	NOUN
iajs-3021	37	2	2.6	2.6	NUM
iajs-3021	38	1	[	[	X
iajs-3021	38	2	2	2	NUM
iajs-3021	38	3	]	]	PUNCT
iajs-3021	38	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	39	1	let	let	VERB
iajs-3021	39	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	39	3	be	be	AUX
iajs-3021	39	4	an	an	DET
iajs-3021	39	5	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	39	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	39	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	39	8	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	39	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	39	10	is	be	AUX
iajs-3021	39	11	called	call	VERB
iajs-3021	39	12	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	39	13	-	-	PUNCT
iajs-3021	39	14	absorbing	absorbing	NOUN
iajs-3021	39	15	if	if	SCONJ
iajs-3021	39	16	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	39	17	𝑢2𝑦	𝑢2𝑦	PROPN
iajs-3021	39	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	39	19	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	39	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	39	21	for𝑢	for𝑢	PROPN
iajs-3021	39	22	∈	∈	PROPN
iajs-3021	39	23	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	39	24	,	,	PUNCT
iajs-3021	39	25	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	39	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	39	27	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	39	28	implies	imply	VERB
iajs-3021	39	29	that	that	SCONJ
iajs-3021	39	30	𝑢𝑦	𝑢𝑦	PROPN
iajs-3021	39	31	∈	∈	PROPN
iajs-3021	39	32	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	39	33	or	or	CCONJ
iajs-3021	39	34	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	39	35	∈	∈	PROPN
iajs-3021	39	36	[	[	X
iajs-3021	39	37	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	39	38	:	:	PUNCT
iajs-3021	39	39	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	39	40	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	39	41	]	]	PUNCT
iajs-3021	39	42	.	.	PUNCT
iajs-3021	40	1	definition	definition	NOUN
iajs-3021	40	2	2.7	2.7	NUM
iajs-3021	40	3	[	[	X
iajs-3021	40	4	6	6	NUM
iajs-3021	40	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	40	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	41	1	let	let	VERB
iajs-3021	41	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	41	3	be	be	AUX
iajs-3021	41	4	an	an	DET
iajs-3021	41	5	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	41	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	41	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	41	8	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	41	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	41	10	is	be	AUX
iajs-3021	41	11	called	call	VERB
iajs-3021	41	12	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	41	13	semi-2	semi-2	VERB
iajs-3021	41	14	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	41	15	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	41	16	if	if	SCONJ
iajs-3021	41	17	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	41	18	a2y	a2y	PROPN
iajs-3021	41	19	∈	∈	PROPN
iajs-3021	41	20	n	n	CCONJ
iajs-3021	41	21	,	,	PUNCT
iajs-3021	41	22	for	for	ADP
iajs-3021	41	23	a	a	DET
iajs-3021	41	24	∈	∈	PROPN
iajs-3021	41	25	r	r	NOUN
iajs-3021	41	26	,	,	PUNCT
iajs-3021	41	27	y	y	PROPN
iajs-3021	41	28	∈	∈	PROPN
iajs-3021	41	29	m	m	VERB
iajs-3021	41	30	implies	imply	VERB
iajs-3021	41	31	that	that	SCONJ
iajs-3021	41	32	ay	ay	PROPN
iajs-3021	41	33	∈	∈	PROPN
iajs-3021	41	34	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	41	35	+	+	NUM
iajs-3021	41	36	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	41	37	)	)	PUNCT
iajs-3021	41	38	or	or	CCONJ
iajs-3021	41	39	a2	a2	PROPN
iajs-3021	41	40	∈	∈	PROPN
iajs-3021	42	1	[	[	X
iajs-3021	42	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	42	3	+	+	NUM
iajs-3021	42	4	j(ℋ	j(ℋ	X
iajs-3021	42	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	43	1	ℋr	ℋr	NOUN
iajs-3021	43	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	43	3	]	]	PUNCT
iajs-3021	43	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	44	1	definition	definition	NOUN
iajs-3021	44	2	2.8	2.8	NUM
iajs-3021	44	3	[	[	X
iajs-3021	44	4	5	5	NUM
iajs-3021	44	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	44	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	45	1	a	a	DET
iajs-3021	45	2	proper	proper	ADJ
iajs-3021	45	3	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	45	4	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	45	5	of	of	ADP
iajs-3021	45	6	an	an	DET
iajs-3021	45	7	r	r	NOUN
iajs-3021	45	8	-	-	PUNCT
iajs-3021	45	9	module	module	NOUN
iajs-3021	45	10	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	45	11	is	be	AUX
iajs-3021	45	12	called	call	VERB
iajs-3021	45	13	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	45	14	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	45	15	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	45	16	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	45	17	if	if	SCONJ
iajs-3021	45	18	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	45	19	a2y	a2y	PROPN
iajs-3021	45	20	∈	∈	PROPN
iajs-3021	45	21	n	n	CCONJ
iajs-3021	45	22	,	,	PUNCT
iajs-3021	45	23	for	for	ADP
iajs-3021	45	24	a	a	DET
iajs-3021	45	25	∈	∈	PROPN
iajs-3021	45	26	r	r	NOUN
iajs-3021	45	27	,	,	PUNCT
iajs-3021	45	28	y	y	PROPN
iajs-3021	45	29	∈	∈	PROPN
iajs-3021	45	30	m	m	VERB
iajs-3021	45	31	implies	imply	VERB
iajs-3021	45	32	that	that	SCONJ
iajs-3021	45	33	ay	ay	PROPN
iajs-3021	45	34	∈	∈	PROPN
iajs-3021	45	35	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	45	36	+	+	CCONJ
iajs-3021	45	37	soc(ℋ	soc(ℋ	PROPN
iajs-3021	45	38	)	)	PUNCT
iajs-3021	45	39	or	or	CCONJ
iajs-3021	45	40	a2	a2	PROPN
iajs-3021	45	41	∈	∈	PROPN
iajs-3021	46	1	[	[	X
iajs-3021	46	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	46	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	46	4	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	46	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	46	6	ℋr	ℋr	NOUN
iajs-3021	46	7	:	:	PUNCT
iajs-3021	46	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	46	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	47	1	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	47	2	2.9	2.9	NUM
iajs-3021	47	3	[	[	PUNCT
iajs-3021	47	4	7	7	NUM
iajs-3021	47	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	47	6	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	47	7	.	.	PUNCT
iajs-3021	48	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	48	2	2.3.15	2.3.15	NUM
iajs-3021	48	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	48	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	48	5	.	.	PUNCT
iajs-3021	49	1	let	let	VERB
iajs-3021	49	2	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	49	3	,	,	PUNCT
iajs-3021	49	4	ℚ	ℚ	PROPN
iajs-3021	49	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	49	6	ℬ	ℬ	PROPN
iajs-3021	49	7	be	be	VERB
iajs-3021	49	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	49	9	of	of	ADP
iajs-3021	49	10	an	an	DET
iajs-3021	49	11	𝑅_module	𝑅_module	PROPN
iajs-3021	49	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	49	13	with	with	ADP
iajs-3021	49	14	ℚ	ℚ	PROPN
iajs-3021	49	15			PROPN
iajs-3021	49	16	ℬ	ℬ	PROPN
iajs-3021	49	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	50	1	then	then	ADV
iajs-3021	50	2	(	(	PUNCT
iajs-3021	50	3	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	50	4	+	+	CCONJ
iajs-3021	50	5	ℚ	ℚ	PROPN
iajs-3021	50	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	50	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	50	8	ℬ	ℬ	NOUN
iajs-3021	50	9	=	=	SYM
iajs-3021	50	10	(	(	PUNCT
iajs-3021	50	11	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	50	12	∩	∩	ADJ
iajs-3021	50	13	ℬ	ℬ	NOUN
iajs-3021	50	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	50	15	+	+	CCONJ
iajs-3021	50	16	ℚ	ℚ	PROPN
iajs-3021	50	17	=	=	SYM
iajs-3021	50	18	(	(	PUNCT
iajs-3021	50	19	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	50	20	∩	∩	ADJ
iajs-3021	50	21	ℬ	ℬ	NOUN
iajs-3021	50	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	50	23	+	+	CCONJ
iajs-3021	50	24	(	(	PUNCT
iajs-3021	50	25	ℚ	ℚ	PROPN
iajs-3021	50	26	∩	∩	ADJ
iajs-3021	50	27	ℬ	ℬ	NOUN
iajs-3021	50	28	)	)	PUNCT
iajs-3021	50	29	.	.	PUNCT
iajs-3021	51	1	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	51	2	2.10	2.10	NUM
iajs-3021	51	3	[	[	PUNCT
iajs-3021	51	4	7	7	NUM
iajs-3021	51	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	51	6	example	example	NOUN
iajs-3021	51	7	.(12	.(12	PUNCT
iajs-3021	51	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	51	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	51	10	c	c	NOUN
iajs-3021	51	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	51	12	]	]	PUNCT
iajs-3021	51	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	52	1	it	it	PRON
iajs-3021	52	2	well	well	ADV
iajs-3021	52	3	–	–	PUNCT
iajs-3021	52	4	known	know	VERB
iajs-3021	52	5	that	that	SCONJ
iajs-3021	52	6	an	an	DET
iajs-3021	52	7	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	52	8	_	_	PROPN
iajs-3021	52	9	module	module	NOUN
iajs-3021	52	10	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	52	11	is	be	AUX
iajs-3021	52	12	a	a	DET
iajs-3021	52	13	semi	semi	ADJ
iajs-3021	52	14	simple	simple	ADJ
iajs-3021	52	15	if	if	SCONJ
iajs-3021	52	16	and	and	CCONJ
iajs-3021	52	17	only	only	ADV
iajs-3021	52	18	if	if	SCONJ
iajs-3021	52	19	for	for	ADP
iajs-3021	52	20	each	each	DET
iajs-3021	52	21	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	52	22	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	52	23	of	of	ADP
iajs-3021	52	24	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	52	25	,	,	PUNCT
iajs-3021	52	26	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	52	27	(	(	PUNCT
iajs-3021	52	28	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	52	29	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	52	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	52	31	=	=	PUNCT
iajs-3021	52	32	𝑠𝑜𝑐(ℋ)+ℱ	𝑠𝑜𝑐(ℋ)+ℱ	PROPN
iajs-3021	52	33	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	52	34	.	.	PUNCT
iajs-3021	53	1	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	53	2	2.11	2.11	NUM
iajs-3021	53	3	[	[	PUNCT
iajs-3021	53	4	7	7	NUM
iajs-3021	53	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	53	6	example(12	example(12	NOUN
iajs-3021	53	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	53	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	53	9	p.	p.	NOUN
iajs-3021	53	10	239	239	NUM
iajs-3021	53	11	]	]	PUNCT
iajs-3021	53	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	54	1	let	let	VERB
iajs-3021	54	2	ℱ	ℱ	PRON
iajs-3021	54	3	be	be	AUX
iajs-3021	54	4	a	a	DET
iajs-3021	54	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	54	6	of	of	ADP
iajs-3021	54	7	a	a	DET
iajs-3021	54	8	semi	semi	ADJ
iajs-3021	54	9	simple	simple	ADJ
iajs-3021	54	10	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	54	11	_	_	PROPN
iajs-3021	54	12	module	module	NOUN
iajs-3021	54	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	54	14	then	then	ADV
iajs-3021	54	15	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	54	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	54	17	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	54	18	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	54	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	55	1	=	=	SYM
iajs-3021	55	2	𝐽(ℋ)+ℱ	𝐽(ℋ)+ℱ	PROPN
iajs-3021	55	3	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	55	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	56	1	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	56	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	57	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	57	2	356	356	NUM
iajs-3021	57	3	definition	definition	NOUN
iajs-3021	57	4	2.12	2.12	NUM
iajs-3021	57	5	[	[	X
iajs-3021	57	6	8	8	NUM
iajs-3021	57	7	]	]	PUNCT
iajs-3021	57	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	58	1	an	an	DET
iajs-3021	58	2	element	element	NOUN
iajs-3021	58	3	𝑎	𝑎	PROPN
iajs-3021	58	4	∈	∈	PROPN
iajs-3021	58	5	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	58	6	is	be	AUX
iajs-3021	58	7	an	an	DET
iajs-3021	58	8	idempotent	idempotent	ADJ
iajs-3021	58	9	element	element	NOUN
iajs-3021	58	10	if	if	SCONJ
iajs-3021	58	11	𝑎2	𝑎2	NOUN
iajs-3021	58	12	=	=	PUNCT
iajs-3021	58	13	𝑎.	𝑎.	NOUN
iajs-3021	58	14	𝑎	𝑎	X
iajs-3021	58	15	=	=	X
iajs-3021	58	16	𝑎.	𝑎.	NOUN
iajs-3021	59	1	and	and	CCONJ
iajs-3021	59	2	if	if	SCONJ
iajs-3021	59	3	every	every	DET
iajs-3021	59	4	element	element	NOUN
iajs-3021	59	5	𝑎	𝑎	NOUN
iajs-3021	59	6	of	of	ADP
iajs-3021	59	7	a	a	DET
iajs-3021	59	8	ring	ring	NOUN
iajs-3021	59	9	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	59	10	is	be	AUX
iajs-3021	59	11	an	an	DET
iajs-3021	59	12	idempotent	idempotent	NOUN
iajs-3021	59	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	59	14	then	then	ADV
iajs-3021	59	15	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	59	16	is	be	AUX
iajs-3021	59	17	a	a	DET
iajs-3021	59	18	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	59	19	ring	ring	NOUN
iajs-3021	59	20	.	.	PUNCT
iajs-3021	60	1	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	60	2	2.13	2.13	NUM
iajs-3021	60	3	[	[	PUNCT
iajs-3021	60	4	9	9	NUM
iajs-3021	60	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	60	6	theorem(2.2	theorem(2.2	NOUN
iajs-3021	60	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	60	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	61	1	if	if	SCONJ
iajs-3021	61	2	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	61	3	is	be	AUX
iajs-3021	61	4	a	a	DET
iajs-3021	61	5	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	61	6	ring	ring	NOUN
iajs-3021	61	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	61	8	then	then	ADV
iajs-3021	61	9	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	61	10	is	be	AUX
iajs-3021	61	11	a	a	DET
iajs-3021	61	12	regular	regular	ADJ
iajs-3021	61	13	ring	ring	NOUN
iajs-3021	61	14	.	.	PUNCT
iajs-3021	62	1	definition	definition	NOUN
iajs-3021	62	2	2.14	2.14	NUM
iajs-3021	62	3	[	[	X
iajs-3021	62	4	10	10	NUM
iajs-3021	62	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	62	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	63	1	an	an	DET
iajs-3021	63	2	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	63	3	h	h	NOUN
iajs-3021	63	4	is	be	AUX
iajs-3021	63	5	called	call	VERB
iajs-3021	63	6	regular	regular	ADJ
iajs-3021	63	7	module	module	NOUN
iajs-3021	63	8	if	if	SCONJ
iajs-3021	63	9	every	every	DET
iajs-3021	63	10	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	63	11	of	of	ADP
iajs-3021	63	12	h	h	NOUN
iajs-3021	63	13	is	be	AUX
iajs-3021	63	14	a	a	DET
iajs-3021	63	15	pure	pure	NOUN
iajs-3021	63	16	.	.	PUNCT
iajs-3021	64	1	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	64	2	2.15	2.15	NUM
iajs-3021	65	1	[	[	X
iajs-3021	65	2	10	10	NUM
iajs-3021	65	3	]	]	PUNCT
iajs-3021	65	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	66	1	if	if	SCONJ
iajs-3021	66	2	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	66	3	is	be	AUX
iajs-3021	66	4	a	a	DET
iajs-3021	66	5	regular	regular	ADJ
iajs-3021	66	6	r	r	NOUN
iajs-3021	66	7	-	-	PUNCT
iajs-3021	66	8	module	module	NOUN
iajs-3021	66	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	66	10	then	then	ADV
iajs-3021	66	11	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	66	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	66	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	66	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	66	15	=	=	SYM
iajs-3021	67	1	0	0	X
iajs-3021	67	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	68	1	definition	definition	NOUN
iajs-3021	68	2	2.16	2.16	NUM
iajs-3021	69	1	[	[	X
iajs-3021	69	2	2	2	X
iajs-3021	69	3	]	]	PUNCT
iajs-3021	69	4	an	an	DET
iajs-3021	69	5	r_module	r_module	NOUN
iajs-3021	69	6	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	69	7	is	be	AUX
iajs-3021	69	8	said	say	VERB
iajs-3021	69	9	to	to	PART
iajs-3021	69	10	be	be	AUX
iajs-3021	69	11	a	a	DET
iajs-3021	69	12	semi	semi	ADJ
iajs-3021	69	13	simple	simple	ADJ
iajs-3021	69	14	,	,	PUNCT
iajs-3021	69	15	if	if	SCONJ
iajs-3021	69	16	every	every	DET
iajs-3021	69	17	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	69	18	of	of	ADP
iajs-3021	69	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	69	20	is	be	AUX
iajs-3021	69	21	a	a	DET
iajs-3021	69	22	direct	direct	ADJ
iajs-3021	69	23	summand	summand	NOUN
iajs-3021	69	24	of	of	ADP
iajs-3021	69	25	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	69	26	,	,	PUNCT
iajs-3021	69	27	that	that	PRON
iajs-3021	69	28	is	be	AUX
iajs-3021	69	29	if	if	SCONJ
iajs-3021	69	30	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	69	31	is	be	AUX
iajs-3021	69	32	a	a	DET
iajs-3021	69	33	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	69	34	of	of	ADP
iajs-3021	69	35	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	69	36	,	,	PUNCT
iajs-3021	69	37	then	then	ADV
iajs-3021	69	38	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	69	39	=	=	SYM
iajs-3021	69	40	ℱ⨁𝐾	ℱ⨁𝐾	PROPN
iajs-3021	69	41	for	for	ADP
iajs-3021	69	42	some	some	DET
iajs-3021	69	43	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	69	44	𝐾	𝐾	PROPN
iajs-3021	69	45	of	of	ADP
iajs-3021	69	46	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	69	47	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	69	48	2.17	2.17	NUM
iajs-3021	69	49	[	[	PUNCT
iajs-3021	69	50	7	7	NUM
iajs-3021	69	51	,	,	PUNCT
iajs-3021	69	52	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	69	53	.	.	PUNCT
iajs-3021	70	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	70	2	9.14	9.14	NUM
iajs-3021	70	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	70	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	70	5	c	c	NOUN
iajs-3021	70	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	70	7	]	]	PUNCT
iajs-3021	70	8	if	if	SCONJ
iajs-3021	70	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	70	10	is	be	AUX
iajs-3021	70	11	a	a	DET
iajs-3021	70	12	semi	semi	ADJ
iajs-3021	70	13	-	-	ADJ
iajs-3021	70	14	simple	simple	ADJ
iajs-3021	70	15	r	r	NOUN
iajs-3021	70	16	-	-	PUNCT
iajs-3021	70	17	module	module	NOUN
iajs-3021	70	18	,	,	PUNCT
iajs-3021	70	19	then	then	ADV
iajs-3021	70	20	j	j	PROPN
iajs-3021	70	21	(	(	PUNCT
iajs-3021	70	22	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	70	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	70	24	=	=	SYM
iajs-3021	70	25	0	0	X
iajs-3021	70	26	.	.	PUNCT
iajs-3021	71	1	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	71	2	2.18	2.18	NUM
iajs-3021	71	3	[	[	PUNCT
iajs-3021	71	4	5	5	NUM
iajs-3021	71	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	71	6	remark	remark	NOUN
iajs-3021	71	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	71	8	1.2	1.2	NUM
iajs-3021	71	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	71	10	]	]	PUNCT
iajs-3021	71	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	72	1	it	it	PRON
iajs-3021	72	2	is	be	AUX
iajs-3021	72	3	clear	clear	ADJ
iajs-3021	72	4	that	that	SCONJ
iajs-3021	72	5	every	every	DET
iajs-3021	72	6	2	2	NUM
iajs-3021	72	7	-	-	PUNCT
iajs-3021	72	8	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	72	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	72	10	of	of	ADP
iajs-3021	72	11	an	an	DET
iajs-3021	72	12	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	72	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	72	14	is	be	AUX
iajs-3021	72	15	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	72	16	2	2	NUM
iajs-3021	72	17	-	-	PUNCT
iajs-3021	72	18	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	72	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	72	20	.	.	PUNCT
iajs-3021	73	1	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	73	2	2.19	2.19	NUM
iajs-3021	73	3	[	[	PUNCT
iajs-3021	73	4	4	4	NUM
iajs-3021	73	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	73	6	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	73	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	73	8	2.8	2.8	NUM
iajs-3021	73	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	73	10	]	]	PUNCT
iajs-3021	73	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	74	1	let	let	VERB
iajs-3021	74	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	74	3	be	be	AUX
iajs-3021	74	4	a	a	DET
iajs-3021	74	5	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	74	6	2	2	NUM
iajs-3021	74	7	-	-	PUNCT
iajs-3021	74	8	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	74	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	74	10	of	of	ADP
iajs-3021	74	11	an	an	DET
iajs-3021	74	12	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	74	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	74	14	with	with	ADP
iajs-3021	74	15	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	74	16	)	)	PUNCT
iajs-3021	74	17	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	74	18	𝐴.	𝐴.	NOUN
iajs-3021	74	19	then	then	ADV
iajs-3021	74	20	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	74	21	is	be	AUX
iajs-3021	74	22	2absorbing	2absorbing	NUM
iajs-3021	74	23	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	74	24	.	.	PUNCT
iajs-3021	75	1	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	75	2	2.20	2.20	NUM
iajs-3021	75	3	[	[	PUNCT
iajs-3021	75	4	6	6	NUM
iajs-3021	75	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	75	6	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	75	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	75	8	2.11	2.11	NUM
iajs-3021	75	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	75	10	]	]	PUNCT
iajs-3021	75	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	76	1	let	let	VERB
iajs-3021	76	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	76	3	be	be	AUX
iajs-3021	76	4	an	an	DET
iajs-3021	76	5	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	76	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	76	7	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	76	8	is	be	AUX
iajs-3021	76	9	a	a	DET
iajs-3021	76	10	proper	proper	ADJ
iajs-3021	76	11	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	76	12	of	of	ADP
iajs-3021	76	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	76	14	with	with	ADP
iajs-3021	76	15	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	76	16	)	)	PUNCT
iajs-3021	76	17	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	76	18	𝐴.	𝐴.	NOUN
iajs-3021	76	19	then	then	ADV
iajs-3021	76	20	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	76	21	is	be	AUX
iajs-3021	76	22	semi	semi	ADV
iajs-3021	76	23	2absorbing	2absorbing	NOUN
iajs-3021	76	24	of	of	ADP
iajs-3021	76	25	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	76	26	if	if	SCONJ
iajs-3021	77	1	and	and	CCONJ
iajs-3021	77	2	only	only	ADV
iajs-3021	77	3	if	if	SCONJ
iajs-3021	77	4	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	77	5	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	77	6	semi	semi	ADJ
iajs-3021	77	7	2	2	NUM
iajs-3021	77	8	-	-	ADJ
iajs-3021	77	9	absorbing	absorbing	NOUN
iajs-3021	77	10	of	of	ADP
iajs-3021	77	11	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	77	12	3	3	NUM
iajs-3021	77	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	78	1	the	the	DET
iajs-3021	78	2	results	result	NOUN
iajs-3021	78	3	in	in	ADP
iajs-3021	78	4	this	this	DET
iajs-3021	78	5	section	section	NOUN
iajs-3021	78	6	we	we	PRON
iajs-3021	78	7	introduce	introduce	VERB
iajs-3021	78	8	the	the	DET
iajs-3021	78	9	definition	definition	NOUN
iajs-3021	78	10	of	of	ADP
iajs-3021	78	11	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	78	12	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	78	13	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	78	14	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	78	15	-	-	PUNCT
iajs-3021	78	16	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	78	17	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	78	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	79	1	example	example	NOUN
iajs-3021	79	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	79	3	characterizations	characterization	NOUN
iajs-3021	79	4	,	,	PUNCT
iajs-3021	79	5	some	some	DET
iajs-3021	79	6	basic	basic	ADJ
iajs-3021	79	7	properties	property	NOUN
iajs-3021	79	8	of	of	ADP
iajs-3021	79	9	this	this	DET
iajs-3021	79	10	concept	concept	NOUN
iajs-3021	79	11	are	be	AUX
iajs-3021	79	12	given	give	VERB
iajs-3021	79	13	:	:	PUNCT
iajs-3021	79	14	definition	definition	NOUN
iajs-3021	79	15	3.1	3.1	NUM
iajs-3021	79	16	a	a	DET
iajs-3021	79	17	proper	proper	ADJ
iajs-3021	79	18	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	79	19	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	79	20	of	of	ADP
iajs-3021	79	21	an	an	DET
iajs-3021	79	22	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	79	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	79	24	is	be	AUX
iajs-3021	79	25	said	say	VERB
iajs-3021	79	26	to	to	PART
iajs-3021	79	27	be	be	AUX
iajs-3021	79	28	strongly	strongly	ADV
iajs-3021	79	29	pseudo	pseudo	ADJ
iajs-3021	79	30	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	79	31	semi-2absorbing	semi-2absorbe	VERB
iajs-3021	79	32	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	79	33	of	of	ADP
iajs-3021	79	34	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	79	35	(	(	PUNCT
iajs-3021	79	36	for	for	ADP
iajs-3021	79	37	short	short	ADJ
iajs-3021	79	38	stpns	stpns	NOUN
iajs-3021	79	39	)	)	PUNCT
iajs-3021	79	40	if	if	SCONJ
iajs-3021	79	41	whenever	whenever	SCONJ
iajs-3021	79	42	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	79	43	∈	∈	PROPN
iajs-3021	79	44	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	79	45	,	,	PUNCT
iajs-3021	79	46	for	for	ADP
iajs-3021	79	47	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	79	48	∈	∈	PROPN
iajs-3021	79	49	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	79	50	,	,	PUNCT
iajs-3021	79	51	𝜘	𝜘	X
iajs-3021	79	52	∈	∈	PROPN
iajs-3021	79	53	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	79	54	implies	imply	VERB
iajs-3021	79	55	that	that	SCONJ
iajs-3021	79	56	either	either	CCONJ
iajs-3021	79	57	𝑢𝜘	𝑢𝜘	NUM
iajs-3021	79	58	∈	∈	PROPN
iajs-3021	79	59	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	79	60	+	+	CCONJ
iajs-3021	79	61	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	79	62	)	)	PUNCT
iajs-3021	79	63	∩	∩	NOUN
iajs-3021	79	64	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	79	65	)	)	PUNCT
iajs-3021	79	66	or	or	CCONJ
iajs-3021	79	67	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	79	68	∈	∈	PROPN
iajs-3021	80	1	[	[	X
iajs-3021	80	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	80	3	+	+	NUM
iajs-3021	80	4	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	80	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	80	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	80	7	𝑠𝑜𝑐(ℋ):𝑅	𝑠𝑜𝑐(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	80	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	80	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	80	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	81	1	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	81	2	and	and	CCONJ
iajs-3021	81	3	examples	example	NOUN
iajs-3021	81	4	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	81	5	1	1	NUM
iajs-3021	81	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	82	1	let	let	VERB
iajs-3021	82	2	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	82	3	=	=	SYM
iajs-3021	82	4	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	82	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	82	6	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	82	7	=	=	PUNCT
iajs-3021	82	8	𝑍	𝑍	PROPN
iajs-3021	82	9	and	and	CCONJ
iajs-3021	82	10	the	the	DET
iajs-3021	82	11	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	82	12	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	82	13	=	=	PUNCT
iajs-3021	82	14	〈	〈	ADJ
iajs-3021	82	15	4̅	4̅	ADJ
iajs-3021	82	16	〉	〉	NOUN
iajs-3021	82	17	is	be	AUX
iajs-3021	82	18	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	82	19	-	-	ADJ
iajs-3021	82	20	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	82	21	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	82	22	of	of	ADP
iajs-3021	82	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	82	24	since	since	SCONJ
iajs-3021	82	25	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	82	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	82	27	=	=	PUNCT
iajs-3021	83	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	83	2	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	83	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	83	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	83	5	〈	〈	NOUN
iajs-3021	83	6	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	83	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	83	8	∩	∩	NOUN
iajs-3021	83	9	〈	〈	PROPN
iajs-3021	83	10	6̅	6̅	ADJ
iajs-3021	83	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	83	12	∩	∩	NOUN
iajs-3021	83	13	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	83	14	=	=	SYM
iajs-3021	83	15	〈	〈	NOUN
iajs-3021	83	16	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	83	17	〉	〉	NOUN
iajs-3021	83	18	and	and	CCONJ
iajs-3021	83	19	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	83	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	83	21	=	=	PUNCT
iajs-3021	84	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	84	2	2̅	2̅	NOUN
iajs-3021	84	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	84	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	84	5	〈	〈	NOUN
iajs-3021	84	6	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	84	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	84	8	=	=	SYM
iajs-3021	84	9	〈	〈	PROPN
iajs-3021	84	10	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	84	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	84	12	that	that	PRON
iajs-3021	84	13	is	be	AUX
iajs-3021	84	14	for	for	ADP
iajs-3021	84	15	all	all	PRON
iajs-3021	84	16	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	84	17	∈	∈	NOUN
iajs-3021	84	18	𝑍	𝑍	NOUN
iajs-3021	84	19	and	and	CCONJ
iajs-3021	84	20	ϰ	ϰ	NOUN
iajs-3021	84	21	∈	∈	PROPN
iajs-3021	84	22	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	84	23	such	such	ADJ
iajs-3021	84	24	that	that	DET
iajs-3021	84	25	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	84	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	84	27	〈	〈	PROPN
iajs-3021	84	28	4̅	4̅	PROPN
iajs-3021	84	29	〉	〉	NOUN
iajs-3021	84	30	,	,	PUNCT
iajs-3021	84	31	implies	imply	VERB
iajs-3021	84	32	that	that	SCONJ
iajs-3021	84	33	either	either	CCONJ
iajs-3021	84	34	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	84	35	∈	∈	PROPN
iajs-3021	84	36	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	84	37	+	+	CCONJ
iajs-3021	84	38	(	(	PUNCT
iajs-3021	84	39	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	84	40	)	)	PUNCT
iajs-3021	84	41	∩	∩	NOUN
iajs-3021	84	42	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	84	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	84	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	85	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	85	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	85	3	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	85	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	85	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	85	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	85	7	〈	〈	PROPN
iajs-3021	85	8	6̅	6̅	ADJ
iajs-3021	85	9	〉	〉	NOUN
iajs-3021	85	10	∩	∩	X
iajs-3021	85	11	〈	〈	PROPN
iajs-3021	85	12	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	85	13	〉	〉	NOUN
iajs-3021	85	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	85	15	=	=	PUNCT
iajs-3021	86	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	86	2	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	86	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	86	4	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	86	5	∈	∈	PROPN
iajs-3021	87	1	[	[	X
iajs-3021	87	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	87	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	87	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	87	5	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	87	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	87	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	87	8	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	87	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	87	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	88	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	88	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	88	3	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	88	4	]	]	X
iajs-3021	88	5	=	=	PUNCT
iajs-3021	88	6	2𝑍.	2𝑍.	NUM
iajs-3021	88	7	that	that	PRON
iajs-3021	88	8	is	be	AUX
iajs-3021	88	9	22	22	NUM
iajs-3021	88	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	89	1	4̅	4̅	PROPN
iajs-3021	89	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	89	3	〈	〈	NOUN
iajs-3021	89	4	2̅	2̅	NOUN
iajs-3021	89	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	89	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	89	7	implies	imply	VERB
iajs-3021	89	8	that	that	SCONJ
iajs-3021	89	9	2	2	X
iajs-3021	89	10	.	.	X
iajs-3021	89	11	4̅	4̅	ADJ
iajs-3021	89	12	=	=	SYM
iajs-3021	89	13	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	89	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	89	15	〈	〈	NOUN
iajs-3021	89	16	2̅	2̅	NOUN
iajs-3021	89	17	〉	〉	NOUN
iajs-3021	89	18	or	or	CCONJ
iajs-3021	89	19	22	22	NUM
iajs-3021	89	20	=	=	SYM
iajs-3021	89	21	4	4	NUM
iajs-3021	89	22	∈	∈	NOUN
iajs-3021	89	23	[	[	X
iajs-3021	89	24	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	89	25	+	+	CCONJ
iajs-3021	89	26	(	(	PUNCT
iajs-3021	89	27	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	89	28	)	)	PUNCT
iajs-3021	89	29	∩	∩	NOUN
iajs-3021	89	30	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	89	31	)	)	PUNCT
iajs-3021	89	32	)	)	PUNCT
iajs-3021	90	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	90	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	90	3	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	90	4	]	]	X
iajs-3021	90	5	=	=	SYM
iajs-3021	90	6	2𝑍.	2𝑍.	NUM
iajs-3021	90	7	2	2	NUM
iajs-3021	90	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	91	1	every	every	DET
iajs-3021	91	2	2	2	NUM
iajs-3021	91	3	-	-	PUNCT
iajs-3021	91	4	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	91	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	91	6	is	be	AUX
iajs-3021	91	7	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	91	8	-	-	ADJ
iajs-3021	91	9	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	91	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	91	11	but	but	CCONJ
iajs-3021	91	12	the	the	DET
iajs-3021	91	13	converse	converse	NOUN
iajs-3021	91	14	is	be	AUX
iajs-3021	91	15	not	not	PART
iajs-3021	91	16	true	true	ADJ
iajs-3021	91	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	92	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	92	2	assume	assume	VERB
iajs-3021	92	3	that	that	SCONJ
iajs-3021	92	4	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	92	5	is	be	AUX
iajs-3021	92	6	2	2	NUM
iajs-3021	92	7	-	-	PUNCT
iajs-3021	92	8	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	92	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	92	10	of	of	ADP
iajs-3021	92	11	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	92	12	and	and	CCONJ
iajs-3021	92	13	𝑢2𝑚	𝑢2𝑚	PROPN
iajs-3021	92	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	92	15	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	92	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	92	17	for	for	ADP
iajs-3021	92	18	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	92	19	∈	∈	PROPN
iajs-3021	92	20	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	92	21	,	,	PUNCT
iajs-3021	92	22	𝑚	𝑚	PROPN
iajs-3021	92	23	∈	∈	PROPN
iajs-3021	92	24	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	92	25	,	,	PUNCT
iajs-3021	92	26	that	that	PRON
iajs-3021	92	27	is	be	AUX
iajs-3021	92	28	𝑢	𝑢	NOUN
iajs-3021	92	29	.	.	PUNCT
iajs-3021	93	1	𝑢.	𝑢.	NOUN
iajs-3021	93	2	𝑚	𝑚	PROPN
iajs-3021	93	3	∈	∈	PROPN
iajs-3021	93	4	ℱ.	ℱ.	PROPN
iajs-3021	93	5	since	since	SCONJ
iajs-3021	93	6	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	93	7	is	be	AUX
iajs-3021	93	8	2	2	NUM
iajs-3021	93	9	-	-	PUNCT
iajs-3021	93	10	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	93	11	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	93	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	93	13	then	then	ADV
iajs-3021	93	14	either	either	CCONJ
iajs-3021	93	15	𝑢𝑚	𝑢𝑚	ADP
iajs-3021	93	16	∈	∈	PROPN
iajs-3021	93	17	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	93	18	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	93	19	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	93	20	+	+	CCONJ
iajs-3021	93	21	(	(	PUNCT
iajs-3021	93	22	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	93	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	93	24	∩	∩	NOUN
iajs-3021	93	25	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	93	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	93	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	93	28	or	or	CCONJ
iajs-3021	93	29	𝑢.	𝑢.	ADJ
iajs-3021	93	30	𝑢ℋ	𝑢ℋ	PROPN
iajs-3021	94	1	=	=	PRON
iajs-3021	94	2	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	94	3	.	.	PUNCT
iajs-3021	95	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	95	2	357	357	NUM
iajs-3021	95	3	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	95	4	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	95	5	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	95	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	95	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	95	8	+	+	CCONJ
iajs-3021	95	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	95	10	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	95	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	95	12	∩	∩	NOUN
iajs-3021	95	13	𝑠𝑜𝑐(ℋ))implies	𝑠𝑜𝑐(ℋ))implie	VERB
iajs-3021	95	14	that	that	SCONJ
iajs-3021	95	15	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	95	16	∈	∈	PROPN
iajs-3021	95	17	[	[	X
iajs-3021	95	18	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	95	19	+	+	CCONJ
iajs-3021	95	20	(	(	PUNCT
iajs-3021	95	21	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	95	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	95	23	∩	∩	NOUN
iajs-3021	95	24	𝑠𝑜𝑐(ℋ))𝑅	𝑠𝑜𝑐(ℋ))𝑅	NUM
iajs-3021	95	25	:	:	PUNCT
iajs-3021	95	26	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	95	27	]	]	PUNCT
iajs-3021	95	28	.	.	PUNCT
iajs-3021	96	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	96	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	96	3	is	be	AUX
iajs-3021	96	4	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	96	5	-	-	ADJ
iajs-3021	96	6	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	96	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	96	8	of	of	ADP
iajs-3021	96	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	96	10	for	for	ADP
iajs-3021	96	11	the	the	DET
iajs-3021	96	12	converse	converse	NOUN
iajs-3021	96	13	consider	consider	VERB
iajs-3021	96	14	the	the	DET
iajs-3021	96	15	following	follow	VERB
iajs-3021	96	16	example	example	NOUN
iajs-3021	96	17	:	:	PUNCT
iajs-3021	96	18	let	let	VERB
iajs-3021	96	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	96	20	=	=	SYM
iajs-3021	96	21	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	96	22	,	,	PUNCT
iajs-3021	96	23	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	96	24	=	=	PUNCT
iajs-3021	96	25	𝑍	𝑍	PROPN
iajs-3021	96	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	96	27	the	the	DET
iajs-3021	96	28	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	96	29	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	96	30	=	=	SYM
iajs-3021	96	31	〈	〈	PROPN
iajs-3021	96	32	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	96	33	〉	〉	NOUN
iajs-3021	96	34	is	be	AUX
iajs-3021	96	35	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	96	36	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	96	37	of	of	ADP
iajs-3021	96	38	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	96	39	since	since	SCONJ
iajs-3021	96	40	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	96	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	96	42	=	=	PUNCT
iajs-3021	97	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	97	2	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	97	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	97	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	97	5	〈	〈	NOUN
iajs-3021	97	6	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	97	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	97	8	∩	∩	NOUN
iajs-3021	97	9	〈	〈	PROPN
iajs-3021	97	10	6̅	6̅	ADJ
iajs-3021	97	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	97	12	∩	∩	NOUN
iajs-3021	97	13	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	97	14	=	=	SYM
iajs-3021	97	15	〈	〈	NOUN
iajs-3021	97	16	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	97	17	〉	〉	NOUN
iajs-3021	97	18	and	and	CCONJ
iajs-3021	97	19	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	97	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	97	21	=	=	PUNCT
iajs-3021	98	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	98	2	2̅	2̅	NOUN
iajs-3021	98	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	98	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	98	5	〈	〈	NOUN
iajs-3021	98	6	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	98	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	98	8	=	=	SYM
iajs-3021	98	9	〈	〈	PROPN
iajs-3021	98	10	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	98	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	98	12	that	that	PRON
iajs-3021	98	13	is	be	AUX
iajs-3021	98	14	for	for	ADP
iajs-3021	98	15	all	all	PRON
iajs-3021	98	16	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	98	17	∈	∈	NOUN
iajs-3021	98	18	𝑍	𝑍	NOUN
iajs-3021	98	19	and	and	CCONJ
iajs-3021	98	20	ϰ	ϰ	NOUN
iajs-3021	98	21	∈	∈	PROPN
iajs-3021	98	22	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	98	23	such	such	ADJ
iajs-3021	98	24	that	that	DET
iajs-3021	98	25	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	98	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	98	27	〈	〈	PROPN
iajs-3021	98	28	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	98	29	〉	〉	NOUN
iajs-3021	98	30	,	,	PUNCT
iajs-3021	98	31	implies	imply	VERB
iajs-3021	98	32	that	that	SCONJ
iajs-3021	98	33	either	either	CCONJ
iajs-3021	98	34	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	98	35	∈	∈	PROPN
iajs-3021	98	36	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	98	37	+	+	CCONJ
iajs-3021	98	38	(	(	PUNCT
iajs-3021	98	39	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	98	40	)	)	PUNCT
iajs-3021	98	41	∩	∩	NOUN
iajs-3021	98	42	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	98	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	98	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	99	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	99	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	99	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	NOUN
iajs-3021	99	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	99	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	99	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	99	7	〈	〈	PROPN
iajs-3021	99	8	6̅	6̅	ADJ
iajs-3021	99	9	〉	〉	NOUN
iajs-3021	99	10	∩	∩	X
iajs-3021	99	11	〈	〈	PROPN
iajs-3021	99	12	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	99	13	〉	〉	NOUN
iajs-3021	99	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	99	15	=	=	PUNCT
iajs-3021	100	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	100	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	100	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	100	4	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	100	5	∈	∈	PROPN
iajs-3021	101	1	[	[	X
iajs-3021	101	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	101	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	101	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	101	5	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	101	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	101	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	101	8	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	101	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	101	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	102	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	102	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	102	3	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	102	4	]	]	X
iajs-3021	103	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	103	2	6𝑍.	6𝑍.	NOUN
iajs-3021	103	3	that	that	PRON
iajs-3021	103	4	is	be	AUX
iajs-3021	103	5	22	22	NUM
iajs-3021	103	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	104	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	104	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	104	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	104	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	104	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	104	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	104	7	implies	imply	VERB
iajs-3021	104	8	that	that	SCONJ
iajs-3021	104	9	2	2	X
iajs-3021	104	10	.	.	X
iajs-3021	104	11	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	104	12	=	=	SYM
iajs-3021	104	13	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	104	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	104	15	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	104	16	+	+	CCONJ
iajs-3021	104	17	(	(	PUNCT
iajs-3021	104	18	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	104	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	104	20	∩	∩	NOUN
iajs-3021	104	21	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	104	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	104	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	105	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	106	1	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	106	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	106	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	106	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	106	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	106	6	+	+	CCONJ
iajs-3021	106	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	106	8	〈	〈	PROPN
iajs-3021	106	9	6̅	6̅	ADJ
iajs-3021	106	10	〉	〉	NOUN
iajs-3021	106	11	∩	∩	X
iajs-3021	106	12	〈	〈	PROPN
iajs-3021	106	13	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	106	14	〉	〉	NOUN
iajs-3021	106	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	106	16	=	=	PUNCT
iajs-3021	107	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	107	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	107	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	107	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	108	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	108	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	108	3	=	=	SYM
iajs-3021	108	4	〈	〈	PROPN
iajs-3021	108	5	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	108	6	〉	〉	NOUN
iajs-3021	108	7	is	be	AUX
iajs-3021	108	8	not	not	PART
iajs-3021	108	9	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	108	10	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	108	11	of	of	ADP
iajs-3021	108	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	108	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	108	14	since	since	SCONJ
iajs-3021	108	15	2.3	2.3	NUM
iajs-3021	108	16	.	.	PUNCT
iajs-3021	109	1	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	109	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	109	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	109	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	109	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	109	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	109	7	but	but	CCONJ
iajs-3021	110	1	2	2	X
iajs-3021	110	2	.	.	X
iajs-3021	110	3	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	110	4	∉	∉	PROPN
iajs-3021	111	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	111	2	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	111	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	111	4	and	and	CCONJ
iajs-3021	111	5	3	3	NUM
iajs-3021	111	6	.	.	X
iajs-3021	111	7	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	111	8	∉	∉	PROPN
iajs-3021	111	9	〈	〈	PROPN
iajs-3021	111	10	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	111	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	111	12	and	and	CCONJ
iajs-3021	111	13	2.3	2.3	NUM
iajs-3021	111	14	∉	∉	X
iajs-3021	112	1	[	[	X
iajs-3021	112	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	112	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	ADJ
iajs-3021	112	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	112	5	𝑍36𝑅	𝑍36𝑅	PROPN
iajs-3021	112	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	112	7	]	]	PUNCT
iajs-3021	112	8	=	=	PUNCT
iajs-3021	112	9	12𝑍.	12𝑍.	NUM
iajs-3021	112	10	3	3	NUM
iajs-3021	112	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	113	1	every	every	DET
iajs-3021	113	2	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	113	3	-	-	ADJ
iajs-3021	113	4	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	113	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	113	6	is	be	AUX
iajs-3021	113	7	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	113	8	-	-	PUNCT
iajs-3021	113	9	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	113	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	113	11	but	but	CCONJ
iajs-3021	113	12	the	the	DET
iajs-3021	113	13	converse	converse	NOUN
iajs-3021	113	14	is	be	AUX
iajs-3021	113	15	not	not	PART
iajs-3021	113	16	true	true	ADJ
iajs-3021	113	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	114	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	114	2	suppose	suppose	VERB
iajs-3021	114	3	that	that	SCONJ
iajs-3021	114	4	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	114	5	is	be	AUX
iajs-3021	114	6	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	114	7	-	-	ADJ
iajs-3021	114	8	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	114	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	114	10	of	of	ADP
iajs-3021	114	11	ℋand	ℋand	PROPN
iajs-3021	114	12	𝑢2𝑚	𝑢2𝑚	PROPN
iajs-3021	114	13	∈	∈	PROPN
iajs-3021	114	14	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	114	15	,	,	PUNCT
iajs-3021	114	16	for	for	ADP
iajs-3021	114	17	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	114	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	114	19	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	114	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	114	21	𝑚	𝑚	PROPN
iajs-3021	114	22	∈	∈	PROPN
iajs-3021	114	23	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	114	24	since	since	SCONJ
iajs-3021	114	25	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	114	26	is	be	AUX
iajs-3021	114	27	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	114	28	-	-	ADJ
iajs-3021	114	29	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	114	30	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	114	31	,	,	PUNCT
iajs-3021	114	32	then	then	ADV
iajs-3021	114	33	𝑢𝑚	𝑢𝑚	ADP
iajs-3021	114	34	∈	∈	PROPN
iajs-3021	114	35	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	114	36	+	+	CCONJ
iajs-3021	114	37	(	(	PUNCT
iajs-3021	114	38	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	114	39	)	)	PUNCT
iajs-3021	114	40	∩	∩	NOUN
iajs-3021	114	41	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	114	42	)	)	PUNCT
iajs-3021	114	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	114	44	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	114	45	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	114	46	+	+	NUM
iajs-3021	114	47	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	114	48	)	)	PUNCT
iajs-3021	114	49	.	.	PUNCT
iajs-3021	115	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	115	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	115	3	is	be	AUX
iajs-3021	115	4	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	115	5	-	-	PUNCT
iajs-3021	115	6	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	115	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	115	8	of	of	ADP
iajs-3021	115	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	115	10	for	for	ADP
iajs-3021	115	11	the	the	DET
iajs-3021	115	12	converse	converse	NOUN
iajs-3021	115	13	consider	consider	VERB
iajs-3021	115	14	the	the	DET
iajs-3021	115	15	following	follow	VERB
iajs-3021	115	16	example	example	NOUN
iajs-3021	115	17	:	:	PUNCT
iajs-3021	115	18	let	let	VERB
iajs-3021	115	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	115	20	=	=	SYM
iajs-3021	115	21	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	115	22	,	,	PUNCT
iajs-3021	115	23	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	115	24	=	=	PUNCT
iajs-3021	115	25	𝑍	𝑍	PROPN
iajs-3021	115	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	115	27	the	the	DET
iajs-3021	115	28	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	115	29	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	115	30	=	=	SYM
iajs-3021	115	31	〈	〈	PROPN
iajs-3021	115	32	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	115	33	〉	〉	NOUN
iajs-3021	115	34	is	be	AUX
iajs-3021	115	35	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	115	36	-	-	PUNCT
iajs-3021	115	37	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	115	38	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	115	39	of	of	ADP
iajs-3021	115	40	𝑀	𝑀	PROPN
iajs-3021	115	41	since	since	SCONJ
iajs-3021	115	42	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	ADJ
iajs-3021	115	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	115	44	=	=	PUNCT
iajs-3021	116	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	116	2	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	116	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	116	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	116	5	〈	〈	ADJ
iajs-3021	116	6	4̅	4̅	ADJ
iajs-3021	116	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	116	8	∩	∩	ADJ
iajs-3021	116	9	〈	〈	NOUN
iajs-3021	116	10	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	116	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	116	12	=	=	PUNCT
iajs-3021	116	13	〈	〈	NOUN
iajs-3021	116	14	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	116	15	〉	〉	NOUN
iajs-3021	116	16	and	and	CCONJ
iajs-3021	116	17	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	PROPN
iajs-3021	116	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	116	19	=	=	PUNCT
iajs-3021	116	20	〈	〈	PROPN
iajs-3021	116	21	2̅	2̅	NOUN
iajs-3021	116	22	〉	〉	NOUN
iajs-3021	116	23	∩	∩	NOUN
iajs-3021	116	24	〈	〈	NOUN
iajs-3021	116	25	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	116	26	〉	〉	NOUN
iajs-3021	116	27	=	=	SYM
iajs-3021	116	28	〈	〈	PROPN
iajs-3021	116	29	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	116	30	〉	〉	NOUN
iajs-3021	116	31	that	that	PRON
iajs-3021	116	32	is	be	AUX
iajs-3021	116	33	for	for	ADP
iajs-3021	116	34	all	all	DET
iajs-3021	116	35	𝑢	𝑢	NOUN
iajs-3021	116	36	,	,	PUNCT
iajs-3021	116	37	𝑣	𝑣	PRON
iajs-3021	116	38	∈	∈	PROPN
iajs-3021	116	39	𝑍	𝑍	NOUN
iajs-3021	116	40	and	and	CCONJ
iajs-3021	116	41	𝑚	𝑚	ADP
iajs-3021	116	42	∈	∈	NOUN
iajs-3021	116	43	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	116	44	such	such	ADJ
iajs-3021	116	45	that	that	DET
iajs-3021	116	46	𝑢𝑣𝑚	𝑢𝑣𝑚	PROPN
iajs-3021	116	47	∈	∈	PROPN
iajs-3021	116	48	〈	〈	PROPN
iajs-3021	116	49	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	116	50	〉	〉	NOUN
iajs-3021	116	51	,	,	PUNCT
iajs-3021	116	52	implies	imply	VERB
iajs-3021	116	53	that	that	SCONJ
iajs-3021	116	54	either	either	CCONJ
iajs-3021	116	55	𝑢𝑚	𝑢𝑚	ADP
iajs-3021	116	56	∈	∈	PROPN
iajs-3021	116	57	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	116	58	+	+	CCONJ
iajs-3021	116	59	(	(	PUNCT
iajs-3021	116	60	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	116	61	)	)	PUNCT
iajs-3021	116	62	)	)	PUNCT
iajs-3021	116	63	=	=	PUNCT
iajs-3021	117	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	117	2	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	117	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	117	4	+	+	CCONJ
iajs-3021	117	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	117	6	〈	〈	PROPN
iajs-3021	117	7	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	117	8	〉	〉	NOUN
iajs-3021	117	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	117	10	=	=	PUNCT
iajs-3021	118	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	118	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	118	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	118	4	or	or	CCONJ
iajs-3021	118	5	𝑣𝑚	𝑣𝑚	ADJ
iajs-3021	118	6	∈	∈	PROPN
iajs-3021	118	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	118	8	+	+	CCONJ
iajs-3021	118	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	118	10	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	118	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	118	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	119	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	119	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	119	3	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	119	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	119	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	119	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	119	7	〈	〈	PROPN
iajs-3021	119	8	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	119	9	〉	〉	NOUN
iajs-3021	119	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	119	11	=	=	PUNCT
iajs-3021	120	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	120	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	120	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	120	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	121	1	that	that	PRON
iajs-3021	121	2	is	be	AUX
iajs-3021	121	3	2.4	2.4	NUM
iajs-3021	121	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	122	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	122	2	∈	∈	NOUN
iajs-3021	122	3	〈	〈	NOUN
iajs-3021	122	4	24	24	NUM
iajs-3021	122	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	122	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	122	7	implies	imply	VERB
iajs-3021	122	8	that	that	SCONJ
iajs-3021	122	9	2	2	X
iajs-3021	122	10	.	.	X
iajs-3021	123	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	123	2	=	=	SYM
iajs-3021	123	3	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	123	4	∈	∈	PROPN
iajs-3021	123	5	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	123	6	+	+	CCONJ
iajs-3021	123	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	123	8	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	123	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	123	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	124	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	124	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	124	3	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	124	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	124	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	124	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	124	7	〈	〈	PROPN
iajs-3021	124	8	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	124	9	〉	〉	NOUN
iajs-3021	124	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	124	11	=	=	PUNCT
iajs-3021	125	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	125	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	125	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	125	4	and	and	CCONJ
iajs-3021	125	5	4	4	NUM
iajs-3021	125	6	.	.	X
iajs-3021	126	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	126	2	=	=	SYM
iajs-3021	126	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	126	4	∈	∈	PROPN
iajs-3021	126	5	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	126	6	+	+	CCONJ
iajs-3021	126	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	126	8	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	126	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	126	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	127	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	127	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	127	3	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	127	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	127	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	127	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	127	7	〈	〈	PROPN
iajs-3021	127	8	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	127	9	〉	〉	NOUN
iajs-3021	127	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	127	11	=	=	PUNCT
iajs-3021	128	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	128	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	128	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	128	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	129	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	129	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	129	3	=	=	SYM
iajs-3021	129	4	〈	〈	PROPN
iajs-3021	129	5	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	129	6	〉	〉	NOUN
iajs-3021	129	7	is	be	AUX
iajs-3021	129	8	not	not	PART
iajs-3021	129	9	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	129	10	-	-	ADJ
iajs-3021	129	11	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	129	12	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	129	13	of	of	ADP
iajs-3021	129	14	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	129	15	,	,	PUNCT
iajs-3021	129	16	since	since	SCONJ
iajs-3021	129	17	22	22	NUM
iajs-3021	129	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	130	1	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	130	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	130	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	130	4	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	130	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	130	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	130	7	but	but	CCONJ
iajs-3021	130	8	2	2	X
iajs-3021	130	9	.	.	X
iajs-3021	131	1	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	131	2	∉	∉	PROPN
iajs-3021	131	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	131	4	24	24	NUM
iajs-3021	131	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	131	6	+	+	CCONJ
iajs-3021	131	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	131	8	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	131	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	131	10	∩	∩	NOUN
iajs-3021	131	11	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	131	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	131	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	131	14	=	=	PUNCT
iajs-3021	132	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	132	2	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	132	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	132	4	and	and	CCONJ
iajs-3021	132	5	22	22	NUM
iajs-3021	132	6	∉	∉	PROPN
iajs-3021	133	1	[	[	X
iajs-3021	133	2	〈	〈	ADJ
iajs-3021	133	3	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	133	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	133	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	133	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	133	7	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	133	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	133	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	133	10	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	133	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	133	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	134	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	134	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	134	3	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	134	4	]	]	X
iajs-3021	134	5	=	=	PUNCT
iajs-3021	134	6	24𝑍.	24𝑍.	NUM
iajs-3021	134	7	4	4	NUM
iajs-3021	134	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	135	1	every	every	DET
iajs-3021	135	2	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	135	3	-	-	ADJ
iajs-3021	135	4	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	135	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	135	6	is	be	AUX
iajs-3021	135	7	pseudo-2	pseudo-2	VERB
iajs-3021	135	8	-	-	ADJ
iajs-3021	135	9	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	135	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	135	11	but	but	CCONJ
iajs-3021	135	12	the	the	DET
iajs-3021	135	13	converse	converse	NOUN
iajs-3021	135	14	is	be	AUX
iajs-3021	135	15	not	not	PART
iajs-3021	135	16	true	true	ADJ
iajs-3021	135	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	136	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	136	2	suppose	suppose	VERB
iajs-3021	136	3	that	that	SCONJ
iajs-3021	136	4	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	136	5	is	be	AUX
iajs-3021	136	6	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	136	7	-	-	ADJ
iajs-3021	136	8	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	136	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	136	10	of	of	ADP
iajs-3021	136	11	ℋand	ℋand	PROPN
iajs-3021	136	12	𝑢2𝑚	𝑢2𝑚	PROPN
iajs-3021	136	13	∈	∈	PROPN
iajs-3021	136	14	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	136	15	,	,	PUNCT
iajs-3021	136	16	for	for	ADP
iajs-3021	136	17	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	136	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	136	19	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	136	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	136	21	𝑚	𝑚	PROPN
iajs-3021	136	22	∈	∈	PROPN
iajs-3021	136	23	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	136	24	since	since	SCONJ
iajs-3021	136	25	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	136	26	is	be	AUX
iajs-3021	136	27	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	136	28	-	-	ADJ
iajs-3021	136	29	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	136	30	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	136	31	,	,	PUNCT
iajs-3021	136	32	then	then	ADV
iajs-3021	136	33	𝑢𝑚	𝑢𝑚	ADP
iajs-3021	136	34	∈	∈	PROPN
iajs-3021	136	35	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	136	36	+	+	CCONJ
iajs-3021	136	37	(	(	PUNCT
iajs-3021	136	38	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	136	39	)	)	PUNCT
iajs-3021	136	40	∩	∩	NOUN
iajs-3021	136	41	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	136	42	)	)	PUNCT
iajs-3021	136	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	136	44	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	136	45	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	136	46	+	+	CCONJ
iajs-3021	136	47	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	136	48	)	)	PUNCT
iajs-3021	136	49	.	.	PUNCT
iajs-3021	137	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	137	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	137	3	is	be	AUX
iajs-3021	137	4	pseudo-2	pseudo-2	VERB
iajs-3021	137	5	-	-	PUNCT
iajs-3021	137	6	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	137	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	137	8	of	of	ADP
iajs-3021	137	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	137	10	for	for	ADP
iajs-3021	137	11	the	the	DET
iajs-3021	137	12	converse	converse	NOUN
iajs-3021	137	13	consider	consider	VERB
iajs-3021	137	14	the	the	DET
iajs-3021	137	15	following	follow	VERB
iajs-3021	137	16	example	example	NOUN
iajs-3021	137	17	:	:	PUNCT
iajs-3021	137	18	let	let	VERB
iajs-3021	137	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	137	20	=	=	SYM
iajs-3021	137	21	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	137	22	,	,	PUNCT
iajs-3021	137	23	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	137	24	=	=	PUNCT
iajs-3021	137	25	𝑍	𝑍	PROPN
iajs-3021	137	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	137	27	the	the	DET
iajs-3021	137	28	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	137	29	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	137	30	=	=	SYM
iajs-3021	137	31	〈	〈	PROPN
iajs-3021	137	32	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	137	33	〉	〉	NOUN
iajs-3021	137	34	is	be	AUX
iajs-3021	137	35	pseudo-2	pseudo-2	VERB
iajs-3021	137	36	-	-	PUNCT
iajs-3021	137	37	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	137	38	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	137	39	of	of	ADP
iajs-3021	137	40	𝑀	𝑀	PROPN
iajs-3021	137	41	since	since	SCONJ
iajs-3021	137	42	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	ADJ
iajs-3021	137	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	137	44	=	=	PUNCT
iajs-3021	138	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	138	2	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	138	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	138	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	138	5	〈	〈	ADJ
iajs-3021	138	6	4̅	4̅	ADJ
iajs-3021	138	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	138	8	∩	∩	ADJ
iajs-3021	138	9	〈	〈	NOUN
iajs-3021	138	10	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	138	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	138	12	=	=	PUNCT
iajs-3021	138	13	〈	〈	NOUN
iajs-3021	138	14	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	138	15	〉	〉	NOUN
iajs-3021	138	16	and	and	CCONJ
iajs-3021	138	17	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	PROPN
iajs-3021	138	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	138	19	=	=	PUNCT
iajs-3021	138	20	〈	〈	PROPN
iajs-3021	138	21	2̅	2̅	NOUN
iajs-3021	138	22	〉	〉	NOUN
iajs-3021	138	23	∩	∩	NOUN
iajs-3021	138	24	〈	〈	NOUN
iajs-3021	138	25	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	138	26	〉	〉	NOUN
iajs-3021	138	27	=	=	SYM
iajs-3021	138	28	〈	〈	PROPN
iajs-3021	138	29	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	138	30	〉	〉	NOUN
iajs-3021	138	31	that	that	PRON
iajs-3021	138	32	is	be	AUX
iajs-3021	138	33	for	for	ADP
iajs-3021	138	34	all	all	DET
iajs-3021	138	35	𝑢	𝑢	NOUN
iajs-3021	138	36	,	,	PUNCT
iajs-3021	138	37	𝑣	𝑣	PRON
iajs-3021	138	38	∈	∈	PROPN
iajs-3021	138	39	𝑍	𝑍	NOUN
iajs-3021	138	40	and	and	CCONJ
iajs-3021	138	41	𝑚	𝑚	ADP
iajs-3021	138	42	∈	∈	NOUN
iajs-3021	138	43	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	138	44	such	such	ADJ
iajs-3021	138	45	that	that	DET
iajs-3021	138	46	𝑢𝑣𝑚	𝑢𝑣𝑚	PROPN
iajs-3021	138	47	∈	∈	PROPN
iajs-3021	138	48	〈	〈	PROPN
iajs-3021	138	49	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	138	50	〉	〉	NOUN
iajs-3021	138	51	,	,	PUNCT
iajs-3021	138	52	implies	imply	VERB
iajs-3021	138	53	that	that	SCONJ
iajs-3021	138	54	either	either	CCONJ
iajs-3021	138	55	𝑢𝑚	𝑢𝑚	ADP
iajs-3021	138	56	∈	∈	PROPN
iajs-3021	138	57	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	138	58	+	+	CCONJ
iajs-3021	138	59	(	(	PUNCT
iajs-3021	138	60	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	138	61	)	)	PUNCT
iajs-3021	138	62	)	)	PUNCT
iajs-3021	138	63	=	=	PUNCT
iajs-3021	139	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	139	2	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	NOUN
iajs-3021	139	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	139	4	+	+	CCONJ
iajs-3021	139	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	139	6	〈	〈	NOUN
iajs-3021	139	7	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	139	8	〉	〉	NOUN
iajs-3021	139	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	139	10	=	=	PUNCT
iajs-3021	140	1	〈	〈	PRON
iajs-3021	140	2	4̅	4̅	ADJ
iajs-3021	140	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	140	4	or	or	CCONJ
iajs-3021	140	5	𝑣𝑚	𝑣𝑚	ADJ
iajs-3021	140	6	∈	∈	PROPN
iajs-3021	140	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	140	8	+	+	CCONJ
iajs-3021	140	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	140	10	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	140	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	140	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	141	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	141	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	141	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	NOUN
iajs-3021	141	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	141	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	141	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	141	7	〈	〈	NOUN
iajs-3021	141	8	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	141	9	〉	〉	NOUN
iajs-3021	141	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	141	11	=	=	PUNCT
iajs-3021	142	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	142	2	4̅〉or	4̅〉or	NUM
iajs-3021	142	3	𝑢𝑣	𝑢𝑣	NOUN
iajs-3021	142	4	∈	∈	PROPN
iajs-3021	142	5	[	[	X
iajs-3021	142	6	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	142	7	+	+	CCONJ
iajs-3021	142	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	142	9	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	142	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	142	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	143	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	143	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	143	3	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	143	4	]	]	X
iajs-3021	143	5	=	=	SYM
iajs-3021	143	6	4𝑍.	4𝑍.	NUM
iajs-3021	143	7	that	that	PRON
iajs-3021	143	8	is	be	AUX
iajs-3021	143	9	2.2	2.2	NUM
iajs-3021	143	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	144	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	144	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	144	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	144	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	144	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	144	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	144	7	implies	imply	VERB
iajs-3021	144	8	that	that	SCONJ
iajs-3021	144	9	2.2	2.2	NUM
iajs-3021	144	10	∈	∈	NOUN
iajs-3021	144	11	[	[	X
iajs-3021	144	12	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	144	13	+	+	CCONJ
iajs-3021	144	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	144	15	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	144	16	)	)	PUNCT
iajs-3021	144	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	145	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	145	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	145	3	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	145	4	]	]	X
iajs-3021	145	5	=	=	SYM
iajs-3021	145	6	4𝑍	4𝑍	PROPN
iajs-3021	145	7	.	.	PUNCT
iajs-3021	146	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	146	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	146	3	=	=	SYM
iajs-3021	146	4	〈	〈	PROPN
iajs-3021	146	5	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	146	6	〉	〉	NOUN
iajs-3021	146	7	is	be	AUX
iajs-3021	146	8	not	not	PART
iajs-3021	146	9	stpns-2absorbing	stpns-2absorbe	VERB
iajs-3021	146	10	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	146	11	of	of	ADP
iajs-3021	146	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	146	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	146	14	since	since	SCONJ
iajs-3021	146	15	22	22	NUM
iajs-3021	146	16	.	.	PUNCT
iajs-3021	147	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	147	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	147	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	147	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	147	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	147	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	147	7	but	but	CCONJ
iajs-3021	147	8	2	2	NUM
iajs-3021	147	9	.	.	X
iajs-3021	147	10	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	147	11	∉	∉	PROPN
iajs-3021	148	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	148	2	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	148	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	148	4	+	+	CCONJ
iajs-3021	148	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	148	6	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	148	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	148	8	∩	∩	NOUN
iajs-3021	148	9	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	148	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	148	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	149	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	149	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	149	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	149	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	149	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	149	6	22	22	NUM
iajs-3021	149	7	∉	∉	PROPN
iajs-3021	150	1	[	[	X
iajs-3021	150	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	150	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	ADJ
iajs-3021	150	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	150	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	150	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	150	7	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	150	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	150	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	150	10	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	150	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	150	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	151	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	151	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	151	3	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	151	4	]	]	X
iajs-3021	151	5	=	=	PUNCT
iajs-3021	151	6	12𝑍.	12𝑍.	NUM
iajs-3021	151	7	5	5	NUM
iajs-3021	151	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	152	1	every	every	DET
iajs-3021	152	2	semi-2	semi-2	PROPN
iajs-3021	152	3	-	-	PUNCT
iajs-3021	152	4	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	152	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	152	6	is	be	AUX
iajs-3021	152	7	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	152	8	-	-	ADJ
iajs-3021	152	9	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	152	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	152	11	but	but	CCONJ
iajs-3021	152	12	the	the	DET
iajs-3021	152	13	converse	converse	NOUN
iajs-3021	152	14	is	be	AUX
iajs-3021	152	15	not	not	PART
iajs-3021	152	16	true	true	ADJ
iajs-3021	152	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	153	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	153	2	let	let	VERB
iajs-3021	153	3	ℱ	ℱ	PRON
iajs-3021	153	4	be	be	AUX
iajs-3021	153	5	a	a	DET
iajs-3021	153	6	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	153	7	-	-	PUNCT
iajs-3021	153	8	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	153	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	153	10	of	of	ADP
iajs-3021	153	11	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	153	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	153	13	and	and	CCONJ
iajs-3021	154	1	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	ADP
iajs-3021	154	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	154	3	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	154	4	for	for	ADP
iajs-3021	154	5	𝑢	𝑢	PROPN
iajs-3021	154	6	∈	∈	PROPN
iajs-3021	154	7	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	154	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	154	9	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	154	10	∈	∈	PROPN
iajs-3021	154	11	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	154	12	since	since	SCONJ
iajs-3021	154	13	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	154	14	is	be	AUX
iajs-3021	154	15	a	a	DET
iajs-3021	154	16	semi2	semi2	NOUN
iajs-3021	154	17	-	-	PUNCT
iajs-3021	154	18	absorbing	absorbing	NOUN
iajs-3021	154	19	,	,	PUNCT
iajs-3021	154	20	then	then	ADV
iajs-3021	154	21	either	either	CCONJ
iajs-3021	154	22	𝑢ϰ	𝑢ϰ	ADP
iajs-3021	154	23	∈	∈	PROPN
iajs-3021	154	24	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	154	25	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	154	26	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	154	27	+	+	CCONJ
iajs-3021	154	28	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	154	29	)	)	PUNCT
iajs-3021	154	30	∩	∩	NOUN
iajs-3021	154	31	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	154	32	)	)	PUNCT
iajs-3021	154	33	or	or	CCONJ
iajs-3021	154	34	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	154	35	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	154	36	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	154	37	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	154	38	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	154	39	+	+	CCONJ
iajs-3021	154	40	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	154	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	154	42	∩	∩	NOUN
iajs-3021	154	43	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	154	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	154	45	.	.	PUNCT
iajs-3021	155	1	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	155	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	156	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	156	2	358	358	NUM
iajs-3021	156	3	that	that	PRON
iajs-3021	156	4	is	be	AUX
iajs-3021	156	5	either	either	CCONJ
iajs-3021	156	6	𝑢ϰ	𝑢ϰ	ADP
iajs-3021	156	7	∈	∈	PROPN
iajs-3021	156	8	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	156	9	+	+	CCONJ
iajs-3021	156	10	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	156	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	156	12	∩	∩	NOUN
iajs-3021	156	13	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	156	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	156	15	or	or	CCONJ
iajs-3021	156	16	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	156	17	∈	∈	PROPN
iajs-3021	156	18	[	[	X
iajs-3021	156	19	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	156	20	+	+	NUM
iajs-3021	156	21	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	156	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	156	23	∩	∩	NOUN
iajs-3021	156	24	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	156	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	156	26	:	:	PUNCT
iajs-3021	156	27	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	156	28	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	156	29	]	]	PUNCT
iajs-3021	156	30	.	.	PUNCT
iajs-3021	157	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	157	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	157	3	is	be	AUX
iajs-3021	157	4	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	157	5	-	-	ADJ
iajs-3021	157	6	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	157	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	157	8	of	of	ADP
iajs-3021	157	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	157	10	for	for	ADP
iajs-3021	157	11	the	the	DET
iajs-3021	157	12	converse	converse	NOUN
iajs-3021	157	13	consider	consider	VERB
iajs-3021	157	14	the	the	DET
iajs-3021	157	15	following	follow	VERB
iajs-3021	157	16	example	example	NOUN
iajs-3021	157	17	:	:	PUNCT
iajs-3021	157	18	let	let	VERB
iajs-3021	157	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	157	20	=	=	SYM
iajs-3021	157	21	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	157	22	,	,	PUNCT
iajs-3021	157	23	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	157	24	=	=	PUNCT
iajs-3021	157	25	𝑍	𝑍	PROPN
iajs-3021	157	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	157	27	the	the	DET
iajs-3021	157	28	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	157	29	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	157	30	=	=	SYM
iajs-3021	157	31	〈	〈	PROPN
iajs-3021	157	32	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	157	33	〉	〉	NOUN
iajs-3021	157	34	is	be	AUX
iajs-3021	157	35	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	157	36	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	157	37	of	of	ADP
iajs-3021	157	38	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	157	39	since	since	SCONJ
iajs-3021	157	40	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	157	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	157	42	=	=	PUNCT
iajs-3021	158	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	158	2	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	158	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	158	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	158	5	〈	〈	NOUN
iajs-3021	158	6	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	158	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	158	8	∩	∩	NOUN
iajs-3021	158	9	〈	〈	PROPN
iajs-3021	158	10	6̅	6̅	ADJ
iajs-3021	158	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	158	12	∩	∩	NOUN
iajs-3021	158	13	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	158	14	=	=	SYM
iajs-3021	158	15	〈	〈	NOUN
iajs-3021	158	16	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	158	17	〉	〉	NOUN
iajs-3021	158	18	and	and	CCONJ
iajs-3021	158	19	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	158	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	158	21	=	=	PUNCT
iajs-3021	159	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	159	2	2̅	2̅	NOUN
iajs-3021	159	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	159	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	159	5	〈	〈	NOUN
iajs-3021	159	6	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	159	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	159	8	=	=	SYM
iajs-3021	159	9	〈	〈	PROPN
iajs-3021	159	10	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	159	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	159	12	that	that	PRON
iajs-3021	159	13	is	be	AUX
iajs-3021	159	14	for	for	ADP
iajs-3021	159	15	all	all	PRON
iajs-3021	159	16	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	159	17	∈	∈	NOUN
iajs-3021	159	18	𝑍	𝑍	NOUN
iajs-3021	159	19	and	and	CCONJ
iajs-3021	159	20	ϰ	ϰ	NOUN
iajs-3021	159	21	∈	∈	PROPN
iajs-3021	159	22	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	159	23	such	such	ADJ
iajs-3021	159	24	that	that	DET
iajs-3021	159	25	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	159	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	159	27	〈	〈	PROPN
iajs-3021	159	28	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	159	29	〉	〉	NOUN
iajs-3021	159	30	,	,	PUNCT
iajs-3021	159	31	implies	imply	VERB
iajs-3021	159	32	that	that	SCONJ
iajs-3021	159	33	either	either	CCONJ
iajs-3021	159	34	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	159	35	∈	∈	PROPN
iajs-3021	159	36	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	159	37	+	+	CCONJ
iajs-3021	159	38	(	(	PUNCT
iajs-3021	159	39	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	159	40	)	)	PUNCT
iajs-3021	159	41	∩	∩	NOUN
iajs-3021	159	42	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	159	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	159	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	160	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	160	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	160	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	NOUN
iajs-3021	160	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	160	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	160	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	160	7	〈	〈	PROPN
iajs-3021	160	8	6̅	6̅	ADJ
iajs-3021	160	9	〉	〉	NOUN
iajs-3021	160	10	∩	∩	X
iajs-3021	160	11	〈	〈	PROPN
iajs-3021	160	12	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	160	13	〉	〉	NOUN
iajs-3021	160	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	160	15	=	=	PUNCT
iajs-3021	161	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	161	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	161	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	161	4	or	or	CCONJ
iajs-3021	161	5	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	161	6	∈	∈	PROPN
iajs-3021	162	1	[	[	X
iajs-3021	162	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	162	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	162	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	162	5	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	162	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	162	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	162	8	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	162	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	162	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	163	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	163	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	163	3	𝑍36	𝑍36	PROPN
iajs-3021	163	4	]	]	X
iajs-3021	164	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	164	2	6𝑍.	6𝑍.	NOUN
iajs-3021	164	3	that	that	PRON
iajs-3021	164	4	is	be	AUX
iajs-3021	164	5	22	22	NUM
iajs-3021	164	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	165	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	165	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	165	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	165	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	165	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	165	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	165	7	implies	imply	VERB
iajs-3021	165	8	that	that	SCONJ
iajs-3021	165	9	2	2	X
iajs-3021	165	10	.	.	X
iajs-3021	165	11	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	165	12	=	=	SYM
iajs-3021	165	13	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	165	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	165	15	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	165	16	+	+	CCONJ
iajs-3021	165	17	(	(	PUNCT
iajs-3021	165	18	𝐽(𝑍36	𝐽(𝑍36	PROPN
iajs-3021	165	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	165	20	∩	∩	NOUN
iajs-3021	165	21	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	𝑠𝑜𝑐(𝑍36	NUM
iajs-3021	165	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	165	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	166	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	167	1	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	167	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	167	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	167	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	167	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	167	6	+	+	CCONJ
iajs-3021	167	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	167	8	〈	〈	PROPN
iajs-3021	167	9	6̅	6̅	ADJ
iajs-3021	167	10	〉	〉	NOUN
iajs-3021	167	11	∩	∩	X
iajs-3021	167	12	〈	〈	PROPN
iajs-3021	167	13	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	167	14	〉	〉	NOUN
iajs-3021	167	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	167	16	=	=	PUNCT
iajs-3021	168	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	168	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	168	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	168	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	169	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	169	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	169	3	=	=	SYM
iajs-3021	169	4	〈	〈	PROPN
iajs-3021	169	5	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	169	6	〉	〉	NOUN
iajs-3021	169	7	is	be	AUX
iajs-3021	169	8	not	not	PART
iajs-3021	169	9	semi-2_absorbing	semi-2_absorbe	VERB
iajs-3021	169	10	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	169	11	of	of	ADP
iajs-3021	169	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	169	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	169	14	since	since	SCONJ
iajs-3021	169	15	22	22	NUM
iajs-3021	169	16	.	.	PUNCT
iajs-3021	170	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	170	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	170	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	170	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	170	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	170	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	170	7	but	but	CCONJ
iajs-3021	170	8	2	2	NUM
iajs-3021	170	9	.	.	X
iajs-3021	170	10	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	170	11	∉	∉	PROPN
iajs-3021	171	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	171	2	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	171	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	171	4	and	and	CCONJ
iajs-3021	171	5	22	22	NUM
iajs-3021	171	6	∉	∉	PROPN
iajs-3021	172	1	[	[	X
iajs-3021	172	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	172	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	ADJ
iajs-3021	172	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	172	5	𝑍36𝑅	𝑍36𝑅	PROPN
iajs-3021	172	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	172	7	]	]	PUNCT
iajs-3021	172	8	=	=	PUNCT
iajs-3021	172	9	12𝑍.	12𝑍.	NUM
iajs-3021	172	10	6	6	NUM
iajs-3021	172	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	173	1	every	every	DET
iajs-3021	173	2	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	173	3	-	-	ADJ
iajs-3021	173	4	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	173	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	173	6	is	be	AUX
iajs-3021	173	7	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	173	8	semi-2	semi-2	ADJ
iajs-3021	173	9	-	-	ADJ
iajs-3021	173	10	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	173	11	but	but	CCONJ
iajs-3021	173	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	173	13	the	the	DET
iajs-3021	173	14	converse	converse	NOUN
iajs-3021	173	15	is	be	AUX
iajs-3021	173	16	not	not	PART
iajs-3021	173	17	true	true	ADJ
iajs-3021	173	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	174	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	174	2	clear	clear	ADJ
iajs-3021	174	3	.	.	PUNCT
iajs-3021	175	1	for	for	ADP
iajs-3021	175	2	the	the	DET
iajs-3021	175	3	converse	converse	NOUN
iajs-3021	175	4	consider	consider	VERB
iajs-3021	175	5	the	the	DET
iajs-3021	175	6	following	follow	VERB
iajs-3021	175	7	example	example	NOUN
iajs-3021	175	8	:	:	PUNCT
iajs-3021	175	9	let	let	VERB
iajs-3021	175	10	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	175	11	=	=	SYM
iajs-3021	175	12	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	175	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	175	14	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	175	15	=	=	PUNCT
iajs-3021	175	16	𝑍	𝑍	PROPN
iajs-3021	175	17	and	and	CCONJ
iajs-3021	175	18	the	the	DET
iajs-3021	175	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	175	20	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	175	21	=	=	SYM
iajs-3021	175	22	〈	〈	PROPN
iajs-3021	175	23	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	175	24	〉	〉	NOUN
iajs-3021	175	25	is	be	AUX
iajs-3021	175	26	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	175	27	semi-2	semi-2	ADJ
iajs-3021	175	28	-	-	PUNCT
iajs-3021	175	29	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	175	30	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	175	31	of	of	ADP
iajs-3021	175	32	𝑀	𝑀	PROPN
iajs-3021	175	33	since	since	SCONJ
iajs-3021	175	34	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	ADJ
iajs-3021	175	35	)	)	PUNCT
iajs-3021	175	36	=	=	PUNCT
iajs-3021	176	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	176	2	2̅	2̅	NUM
iajs-3021	176	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	176	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	176	5	〈	〈	ADJ
iajs-3021	176	6	4̅	4̅	ADJ
iajs-3021	176	7	〉	〉	NOUN
iajs-3021	176	8	∩	∩	ADJ
iajs-3021	176	9	〈	〈	NOUN
iajs-3021	176	10	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	176	11	〉	〉	NOUN
iajs-3021	176	12	=	=	PUNCT
iajs-3021	176	13	〈	〈	NOUN
iajs-3021	176	14	8̅	8̅	NUM
iajs-3021	176	15	〉	〉	NOUN
iajs-3021	176	16	and	and	CCONJ
iajs-3021	176	17	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	PROPN
iajs-3021	176	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	176	19	=	=	PUNCT
iajs-3021	176	20	〈	〈	PROPN
iajs-3021	176	21	2̅	2̅	NOUN
iajs-3021	176	22	〉	〉	NOUN
iajs-3021	176	23	∩	∩	NOUN
iajs-3021	176	24	〈	〈	NOUN
iajs-3021	176	25	3̅	3̅	ADJ
iajs-3021	176	26	〉	〉	NOUN
iajs-3021	176	27	=	=	SYM
iajs-3021	176	28	〈	〈	PROPN
iajs-3021	176	29	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	176	30	〉	〉	NOUN
iajs-3021	176	31	that	that	PRON
iajs-3021	176	32	is	be	AUX
iajs-3021	176	33	for	for	ADP
iajs-3021	176	34	all	all	DET
iajs-3021	176	35	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	176	36	∈	∈	NOUN
iajs-3021	176	37	𝑍	𝑍	NOUN
iajs-3021	176	38	and	and	CCONJ
iajs-3021	176	39	𝑚	𝑚	ADP
iajs-3021	176	40	∈	∈	NOUN
iajs-3021	176	41	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	176	42	such	such	ADJ
iajs-3021	176	43	that	that	SCONJ
iajs-3021	176	44	𝑢2𝑚	𝑢2𝑚	PROPN
iajs-3021	176	45	∈	∈	PROPN
iajs-3021	176	46	〈	〈	PROPN
iajs-3021	176	47	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	176	48	〉	〉	NOUN
iajs-3021	176	49	,	,	PUNCT
iajs-3021	176	50	implies	imply	VERB
iajs-3021	176	51	that	that	SCONJ
iajs-3021	176	52	either	either	CCONJ
iajs-3021	176	53	𝑢𝑚	𝑢𝑚	ADP
iajs-3021	176	54	∈	∈	PROPN
iajs-3021	176	55	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	176	56	+	+	CCONJ
iajs-3021	176	57	(	(	PUNCT
iajs-3021	176	58	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	176	59	)	)	PUNCT
iajs-3021	176	60	)	)	PUNCT
iajs-3021	176	61	=	=	PUNCT
iajs-3021	177	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	177	2	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	177	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	177	4	+	+	CCONJ
iajs-3021	177	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	177	6	〈	〈	PROPN
iajs-3021	177	7	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	177	8	〉	〉	NOUN
iajs-3021	177	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	177	10	=	=	PUNCT
iajs-3021	178	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	178	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	178	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	178	4	or	or	CCONJ
iajs-3021	178	5	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	178	6	∈	∈	PROPN
iajs-3021	179	1	[	[	X
iajs-3021	179	2	〈	〈	NOUN
iajs-3021	179	3	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	179	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	179	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	179	6	𝐽(𝑍48)𝑅	𝐽(𝑍48)𝑅	NOUN
iajs-3021	179	7	:	:	PUNCT
iajs-3021	179	8	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	179	9	]	]	X
iajs-3021	179	10	=	=	SYM
iajs-3021	179	11	4𝑍.	4𝑍.	NUM
iajs-3021	179	12	that	that	PRON
iajs-3021	179	13	is	be	AUX
iajs-3021	179	14	22	22	NUM
iajs-3021	179	15	.	.	PUNCT
iajs-3021	180	1	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	180	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	180	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	180	4	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	180	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	180	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	180	7	implies	imply	VERB
iajs-3021	180	8	that	that	SCONJ
iajs-3021	180	9	2	2	X
iajs-3021	180	10	.	.	X
iajs-3021	181	1	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	181	2	=	=	SYM
iajs-3021	181	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	181	4	∈	∈	PROPN
iajs-3021	181	5	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	181	6	+	+	CCONJ
iajs-3021	181	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	181	8	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	181	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	181	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	182	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	182	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	182	3	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	182	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	182	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	182	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	182	7	〈	〈	PROPN
iajs-3021	182	8	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	182	9	〉	〉	NOUN
iajs-3021	182	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	182	11	=	=	PUNCT
iajs-3021	183	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	183	2	6̅	6̅	NOUN
iajs-3021	183	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	183	4	and	and	CCONJ
iajs-3021	183	5	22	22	NUM
iajs-3021	183	6	∈	∈	PROPN
iajs-3021	184	1	[	[	X
iajs-3021	184	2	〈	〈	NOUN
iajs-3021	184	3	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	184	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	184	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	184	6	𝐽(𝑍48)𝑅	𝐽(𝑍48)𝑅	NOUN
iajs-3021	184	7	:	:	PUNCT
iajs-3021	184	8	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	184	9	]	]	X
iajs-3021	184	10	=	=	SYM
iajs-3021	184	11	4𝑍.	4𝑍.	NUM
iajs-3021	184	12	but	but	CCONJ
iajs-3021	184	13	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	184	14	=	=	SYM
iajs-3021	184	15	〈	〈	PROPN
iajs-3021	184	16	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	184	17	〉	〉	NOUN
iajs-3021	184	18	is	be	AUX
iajs-3021	184	19	not	not	PART
iajs-3021	184	20	stpns-2absorbing	stpns-2absorbe	VERB
iajs-3021	184	21	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	184	22	of	of	ADP
iajs-3021	184	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	184	24	,	,	PUNCT
iajs-3021	184	25	since	since	SCONJ
iajs-3021	184	26	22	22	NUM
iajs-3021	184	27	.	.	PUNCT
iajs-3021	185	1	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	185	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	185	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	185	4	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	185	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	185	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	185	7	but	but	CCONJ
iajs-3021	185	8	2	2	X
iajs-3021	185	9	.	.	X
iajs-3021	186	1	6̅	6̅	NUM
iajs-3021	186	2	∉	∉	PROPN
iajs-3021	186	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	186	4	24	24	NUM
iajs-3021	186	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	186	6	+	+	CCONJ
iajs-3021	186	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	186	8	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	186	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	186	10	∩	∩	NOUN
iajs-3021	186	11	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	186	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	186	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	186	14	=	=	PUNCT
iajs-3021	187	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	187	2	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	187	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	187	4	and	and	CCONJ
iajs-3021	187	5	22	22	NUM
iajs-3021	187	6	∉	∉	PROPN
iajs-3021	188	1	[	[	X
iajs-3021	188	2	〈	〈	ADJ
iajs-3021	188	3	24̅̅̅̅	24̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	188	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	188	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	188	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	188	7	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	188	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	188	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	188	10	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	188	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	188	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	189	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	189	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	189	3	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	189	4	]	]	X
iajs-3021	189	5	=	=	SYM
iajs-3021	189	6	24𝑍.	24𝑍.	NUM
iajs-3021	189	7	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	189	8	3.3	3.3	NUM
iajs-3021	189	9	let	let	VERB
iajs-3021	189	10	ℱ	ℱ	PRON
iajs-3021	189	11	be	be	AUX
iajs-3021	189	12	a	a	DET
iajs-3021	189	13	proper	proper	ADJ
iajs-3021	189	14	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	189	15	of	of	ADP
iajs-3021	189	16	an	an	DET
iajs-3021	189	17	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	189	18	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	189	19	then	then	ADV
iajs-3021	189	20	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	189	21	is	be	AUX
iajs-3021	189	22	a	a	DET
iajs-3021	189	23	stpns-2	stpns-2	PROPN
iajs-3021	189	24	-	-	ADJ
iajs-3021	189	25	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	189	26	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	189	27	of	of	ADP
iajs-3021	189	28	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	189	29	if	if	SCONJ
iajs-3021	189	30	and	and	CCONJ
iajs-3021	189	31	only	only	ADV
iajs-3021	189	32	if	if	SCONJ
iajs-3021	189	33	ι2ℒ	ι2ℒ	NUM
iajs-3021	189	34	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	189	35	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	189	36	for	for	ADP
iajs-3021	189	37	ι	ι	PROPN
iajs-3021	189	38	is	be	AUX
iajs-3021	189	39	an	an	DET
iajs-3021	189	40	ideal	ideal	NOUN
iajs-3021	189	41	of	of	ADP
iajs-3021	189	42	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	189	43	and	and	CCONJ
iajs-3021	189	44	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	189	45	is	be	AUX
iajs-3021	189	46	a	a	DET
iajs-3021	189	47	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	189	48	of	of	ADP
iajs-3021	189	49	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	189	50	implies	imply	VERB
iajs-3021	189	51	that	that	SCONJ
iajs-3021	189	52	either	either	CCONJ
iajs-3021	189	53	ιℒ	ιℒ	PROPN
iajs-3021	189	54	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	189	55	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	189	56	+	+	CCONJ
iajs-3021	189	57	(	(	PUNCT
iajs-3021	189	58	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	189	59	)	)	PUNCT
iajs-3021	189	60	∩	∩	NOUN
iajs-3021	189	61	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	189	62	)	)	PUNCT
iajs-3021	189	63	)	)	PUNCT
iajs-3021	189	64	or	or	CCONJ
iajs-3021	189	65	ι2	ι2	VERB
iajs-3021	189	66	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	189	67	[	[	X
iajs-3021	189	68	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	189	69	+	+	CCONJ
iajs-3021	189	70	(	(	PUNCT
iajs-3021	189	71	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	189	72	)	)	PUNCT
iajs-3021	189	73	∩	∩	NOUN
iajs-3021	189	74	soc(ℋ)):𝑅	soc(ℋ)):𝑅	VERB
iajs-3021	189	75	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	189	76	]	]	PUNCT
iajs-3021	189	77	.	.	PUNCT
iajs-3021	190	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	190	2	(	(	PUNCT
iajs-3021	190	3	⟹	⟹	X
iajs-3021	190	4	)	)	PUNCT
iajs-3021	190	5	suppose	suppose	VERB
iajs-3021	190	6	that	that	SCONJ
iajs-3021	190	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	190	8	is	be	AUX
iajs-3021	190	9	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	190	10	-	-	ADJ
iajs-3021	190	11	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	190	12	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	190	13	of	of	ADP
iajs-3021	190	14	an	an	DET
iajs-3021	190	15	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	190	16	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	190	17	,	,	PUNCT
iajs-3021	190	18	and	and	CCONJ
iajs-3021	190	19	ι2ℒ	ι2ℒ	VERB
iajs-3021	190	20	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	190	21	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	190	22	,	,	PUNCT
iajs-3021	190	23	for	for	SCONJ
iajs-3021	190	24	𝛪	𝛪	PROPN
iajs-3021	190	25	is	be	AUX
iajs-3021	190	26	an	an	DET
iajs-3021	190	27	ideal	ideal	NOUN
iajs-3021	190	28	of	of	ADP
iajs-3021	190	29	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	190	30	and	and	CCONJ
iajs-3021	190	31	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	190	32	is	be	AUX
iajs-3021	190	33	a	a	DET
iajs-3021	190	34	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	190	35	of	of	ADP
iajs-3021	190	36	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	190	37	and	and	CCONJ
iajs-3021	190	38	𝐼2	𝐼2	VERB
iajs-3021	190	39	⊈	⊈	PROPN
iajs-3021	191	1	[	[	X
iajs-3021	191	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	191	3	+	+	NUM
iajs-3021	191	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	191	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	191	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	191	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	191	8	ℋ].to	ℋ].to	NOUN
iajs-3021	191	9	prove	prove	VERB
iajs-3021	191	10	that	that	SCONJ
iajs-3021	191	11	ιℒ	ιℒ	PROPN
iajs-3021	191	12	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	191	13	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	191	14	+	+	NUM
iajs-3021	191	15	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	191	16	)	)	PUNCT
iajs-3021	191	17	∩	∩	NOUN
iajs-3021	191	18	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	191	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	191	20	.	.	PUNCT
iajs-3021	192	1	let	let	VERB
iajs-3021	192	2	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	192	3	∈	∈	PROPN
iajs-3021	192	4	𝛪ℒ	𝛪ℒ	PROPN
iajs-3021	192	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	192	6	implies	imply	VERB
iajs-3021	192	7	that	that	SCONJ
iajs-3021	192	8	ϰ	ϰ	NOUN
iajs-3021	192	9	=	=	PUNCT
iajs-3021	192	10	𝑢1ϰ1	𝑢1ϰ1	X
iajs-3021	193	1	+	+	CCONJ
iajs-3021	193	2	𝑢2ϰ2	𝑢2ϰ2	ADJ
iajs-3021	193	3	+	+	PROPN
iajs-3021	193	4	⋯	⋯	VERB
iajs-3021	193	5	+	+	NOUN
iajs-3021	193	6	𝑢𝑛ϰ𝑛	𝑢𝑛ϰ𝑛	NOUN
iajs-3021	193	7	for	for	ADP
iajs-3021	193	8	𝑢𝑖	𝑢𝑖	DET
iajs-3021	193	9	∈	∈	PROPN
iajs-3021	193	10	𝛪	𝛪	PROPN
iajs-3021	193	11	,	,	PUNCT
iajs-3021	193	12	ϰ𝑖	ϰ𝑖	ADP
iajs-3021	193	13	∈	∈	PROPN
iajs-3021	193	14	𝐿	𝐿	PROPN
iajs-3021	193	15	for	for	ADP
iajs-3021	193	16	all	all	PRON
iajs-3021	193	17	𝑖	𝑖	NOUN
iajs-3021	194	1	=	=	NOUN
iajs-3021	194	2	1,2,3	1,2,3	NUM
iajs-3021	194	3	,	,	PUNCT
iajs-3021	194	4	…	…	PUNCT
iajs-3021	194	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	194	6	𝑛	𝑛	ADJ
iajs-3021	194	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	194	8	thus	thus	ADV
iajs-3021	194	9	𝑢𝑖	𝑢𝑖	ADP
iajs-3021	194	10	2ϰ𝑖	2ϰ𝑖	ADJ
iajs-3021	194	11	∈	∈	PROPN
iajs-3021	194	12	ι2ℒ	ι2ℒ	PUNCT
iajs-3021	194	13	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	194	14	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	194	15	,	,	PUNCT
iajs-3021	194	16	for	for	ADP
iajs-3021	194	17	𝑢𝑖	𝑢𝑖	PRON
iajs-3021	194	18	2	2	NUM
iajs-3021	194	19	∉	∉	PROPN
iajs-3021	194	20	[	[	X
iajs-3021	194	21	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	194	22	+	+	NUM
iajs-3021	194	23	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	194	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	194	25	∩	∩	NOUN
iajs-3021	194	26	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	194	27	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	194	28	]	]	PUNCT
iajs-3021	194	29	,	,	PUNCT
iajs-3021	194	30	but	but	CCONJ
iajs-3021	194	31	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	194	32	is	be	AUX
iajs-3021	194	33	stpn-2	stpn-2	NOUN
iajs-3021	194	34	-	-	PUNCT
iajs-3021	194	35	absorbing	absorbing	NOUN
iajs-3021	194	36	of	of	ADP
iajs-3021	194	37	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	194	38	and	and	CCONJ
iajs-3021	194	39	𝑢𝑖	𝑢𝑖	PRON
iajs-3021	194	40	2	2	NUM
iajs-3021	194	41	∉	∉	PROPN
iajs-3021	194	42	[	[	X
iajs-3021	194	43	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	194	44	+	+	NUM
iajs-3021	194	45	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	194	46	)	)	PUNCT
iajs-3021	194	47	∩	∩	NOUN
iajs-3021	194	48	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	194	49	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	194	50	]	]	PUNCT
iajs-3021	194	51	,	,	PUNCT
iajs-3021	194	52	implies	imply	VERB
iajs-3021	194	53	that	that	SCONJ
iajs-3021	194	54	𝑢𝑖ϰ𝑖	𝑢𝑖ϰ𝑖	PROPN
iajs-3021	194	55	∈	∈	PROPN
iajs-3021	194	56	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	194	57	+	+	NUM
iajs-3021	194	58	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	194	59	)	)	PUNCT
iajs-3021	194	60	∩	∩	NOUN
iajs-3021	194	61	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	194	62	)	)	PUNCT
iajs-3021	194	63	for	for	ADP
iajs-3021	194	64	𝑖	𝑖	NOUN
iajs-3021	194	65	=	=	NOUN
iajs-3021	194	66	1,2,3	1,2,3	NUM
iajs-3021	194	67	,	,	PUNCT
iajs-3021	194	68	…	…	PUNCT
iajs-3021	194	69	,	,	PUNCT
iajs-3021	194	70	𝑛.	𝑛.	NOUN
iajs-3021	194	71	hence	hence	ADV
iajs-3021	194	72	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	194	73	∈	∈	PROPN
iajs-3021	194	74	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	194	75	+	+	NUM
iajs-3021	194	76	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	194	77	)	)	PUNCT
iajs-3021	194	78	∩	∩	NOUN
iajs-3021	194	79	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	194	80	)	)	PUNCT
iajs-3021	194	81	it	it	PRON
iajs-3021	194	82	follows	follow	VERB
iajs-3021	194	83	that	that	SCONJ
iajs-3021	194	84	𝛪ℒ	𝛪ℒ	PROPN
iajs-3021	194	85	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	194	86	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	194	87	+	+	NUM
iajs-3021	194	88	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	194	89	)	)	PUNCT
iajs-3021	194	90	∩	∩	NOUN
iajs-3021	194	91	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	194	92	)	)	PUNCT
iajs-3021	194	93	.	.	PUNCT
iajs-3021	195	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	195	2	⟸	⟸	ADV
iajs-3021	195	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	195	4	suppose	suppose	VERB
iajs-3021	195	5	that	that	SCONJ
iajs-3021	195	6	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	AUX
iajs-3021	195	7	∈	∈	PROPN
iajs-3021	195	8	ℱfor	ℱfor	ADP
iajs-3021	195	9	𝑢	𝑢	PROPN
iajs-3021	195	10	∈	∈	PROPN
iajs-3021	195	11	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	195	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	195	13	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	195	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	195	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	195	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	195	17	implies	imply	VERB
iajs-3021	195	18	that	that	SCONJ
iajs-3021	195	19	(	(	PUNCT
iajs-3021	195	20	𝑢2)(ϰ	𝑢2)(ϰ	NOUN
iajs-3021	195	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	195	22	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	195	23	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	195	24	,	,	PUNCT
iajs-3021	195	25	by	by	ADP
iajs-3021	195	26	hypothesis	hypothesis	NOUN
iajs-3021	195	27	we	we	PRON
iajs-3021	195	28	have	have	VERB
iajs-3021	195	29	either	either	CCONJ
iajs-3021	195	30	(	(	PUNCT
iajs-3021	195	31	𝑢)(ϰ	𝑢)(ϰ	PROPN
iajs-3021	195	32	)	)	PUNCT
iajs-3021	195	33	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	195	34	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	195	35	+	+	NUM
iajs-3021	195	36	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	195	37	)	)	PUNCT
iajs-3021	195	38	∩	∩	NOUN
iajs-3021	195	39	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	195	40	)	)	PUNCT
iajs-3021	195	41	or	or	CCONJ
iajs-3021	195	42	(	(	PUNCT
iajs-3021	195	43	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	195	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	196	1	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	196	2	[	[	X
iajs-3021	196	3	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	196	4	+	+	NUM
iajs-3021	196	5	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	196	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	196	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	196	8	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	196	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	196	10	]	]	PUNCT
iajs-3021	196	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	197	1	that	that	PRON
iajs-3021	197	2	is	be	AUX
iajs-3021	197	3	𝑢ϰ	𝑢ϰ	ADP
iajs-3021	197	4	∈	∈	PROPN
iajs-3021	197	5	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	197	6	+	+	NUM
iajs-3021	197	7	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	197	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	197	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	197	10	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	197	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	197	12	or	or	CCONJ
iajs-3021	197	13	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	197	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	198	1	[	[	X
iajs-3021	198	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	198	3	+	+	NUM
iajs-3021	198	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	198	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	198	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	198	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	198	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	198	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	198	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	199	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	199	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	199	3	is	be	AUX
iajs-3021	199	4	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	199	5	-	-	ADJ
iajs-3021	199	6	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	199	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	199	8	of	of	ADP
iajs-3021	199	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	199	10	as	as	ADP
iajs-3021	199	11	a	a	DET
iajs-3021	199	12	direct	direct	ADJ
iajs-3021	199	13	consequence	consequence	NOUN
iajs-3021	199	14	of	of	ADP
iajs-3021	199	15	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	199	16	3.3	3.3	NUM
iajs-3021	199	17	we	we	PRON
iajs-3021	199	18	have	have	VERB
iajs-3021	199	19	the	the	DET
iajs-3021	199	20	following	follow	VERB
iajs-3021	199	21	corollaries	corollary	NOUN
iajs-3021	199	22	.	.	PUNCT
iajs-3021	200	1	corollary	corollary	ADJ
iajs-3021	200	2	3.4	3.4	NUM
iajs-3021	200	3	let	let	VERB
iajs-3021	200	4	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	200	5	be	be	AUX
iajs-3021	200	6	a	a	DET
iajs-3021	200	7	proper	proper	ADJ
iajs-3021	200	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	200	9	of	of	ADP
iajs-3021	200	10	an	an	DET
iajs-3021	200	11	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	200	12	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	200	13	then	then	ADV
iajs-3021	200	14	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	200	15	is	be	AUX
iajs-3021	200	16	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	200	17	-	-	ADJ
iajs-3021	200	18	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	200	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	200	20	of	of	ADP
iajs-3021	200	21	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	200	22	if	if	SCONJ
iajs-3021	201	1	and	and	CCONJ
iajs-3021	201	2	only	only	ADV
iajs-3021	201	3	if	if	SCONJ
iajs-3021	201	4	u2ℒ	u2ℒ	PROPN
iajs-3021	201	5	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	201	6	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	201	7	for	for	ADP
iajs-3021	201	8	𝑢	𝑢	PRON
iajs-3021	201	9	∈	∈	PROPN
iajs-3021	201	10	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	201	11	and	and	CCONJ
iajs-3021	201	12	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	201	13	is	be	AUX
iajs-3021	201	14	a	a	DET
iajs-3021	201	15	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	201	16	of	of	ADP
iajs-3021	201	17	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	201	18	implies	imply	VERB
iajs-3021	201	19	that	that	SCONJ
iajs-3021	201	20	either	either	CCONJ
iajs-3021	201	21	𝑢ℒ	𝑢ℒ	NOUN
iajs-3021	201	22	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	201	23	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	201	24	+	+	NUM
iajs-3021	201	25	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	201	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	201	27	∩	∩	NOUN
iajs-3021	201	28	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	201	29	)	)	PUNCT
iajs-3021	201	30	or	or	CCONJ
iajs-3021	201	31	u2	u2	PROPN
iajs-3021	201	32	∈	∈	PROPN
iajs-3021	201	33	[	[	X
iajs-3021	201	34	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	201	35	+	+	NUM
iajs-3021	201	36	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	201	37	)	)	PUNCT
iajs-3021	201	38	∩	∩	NOUN
iajs-3021	201	39	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	201	40	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	201	41	]	]	PUNCT
iajs-3021	201	42	.	.	PUNCT
iajs-3021	202	1	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	202	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	203	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	203	2	359	359	NUM
iajs-3021	203	3	corollary	corollary	ADJ
iajs-3021	203	4	3.5	3.5	NUM
iajs-3021	203	5	let	let	VERB
iajs-3021	203	6	ℱ	ℱ	PRON
iajs-3021	203	7	be	be	AUX
iajs-3021	203	8	a	a	DET
iajs-3021	203	9	proper	proper	ADJ
iajs-3021	203	10	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	203	11	of	of	ADP
iajs-3021	203	12	an	an	DET
iajs-3021	203	13	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	203	14	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	203	15	then	then	ADV
iajs-3021	203	16	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	203	17	is	be	AUX
iajs-3021	203	18	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	203	19	-	-	ADJ
iajs-3021	203	20	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	203	21	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	203	22	of	of	ADP
iajs-3021	203	23	ℋif	ℋif	PROPN
iajs-3021	203	24	and	and	CCONJ
iajs-3021	203	25	only	only	ADV
iajs-3021	203	26	if	if	SCONJ
iajs-3021	203	27	ι2ℋ	ι2ℋ	VERB
iajs-3021	203	28	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	203	29	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	203	30	for	for	ADP
iajs-3021	203	31	i	i	PRON
iajs-3021	203	32	is	be	AUX
iajs-3021	203	33	an	an	DET
iajs-3021	203	34	ideal	ideal	NOUN
iajs-3021	203	35	of	of	ADP
iajs-3021	203	36	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	203	37	,	,	PUNCT
iajs-3021	203	38	implies	imply	VERB
iajs-3021	203	39	that	that	SCONJ
iajs-3021	203	40	either	either	CCONJ
iajs-3021	203	41	iℋ	iℋ	VERB
iajs-3021	203	42	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	203	43	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	203	44	+	+	NUM
iajs-3021	203	45	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	203	46	)	)	PUNCT
iajs-3021	203	47	∩	∩	NOUN
iajs-3021	203	48	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	203	49	)	)	PUNCT
iajs-3021	203	50	or	or	CCONJ
iajs-3021	203	51	𝐼2	𝐼2	VERB
iajs-3021	203	52	∈	∈	PROPN
iajs-3021	203	53	[	[	X
iajs-3021	203	54	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	203	55	+	+	NUM
iajs-3021	203	56	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	203	57	)	)	PUNCT
iajs-3021	203	58	∩	∩	NOUN
iajs-3021	203	59	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	203	60	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	203	61	]	]	PUNCT
iajs-3021	203	62	.	.	PUNCT
iajs-3021	204	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	204	2	3.6	3.6	NUM
iajs-3021	204	3	let	let	VERB
iajs-3021	204	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	204	5	be	be	AUX
iajs-3021	204	6	an	an	DET
iajs-3021	204	7	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	204	8	and	and	CCONJ
iajs-3021	204	9	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	204	10	be	be	VERB
iajs-3021	204	11	a	a	DET
iajs-3021	204	12	proper	proper	ADJ
iajs-3021	204	13	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	204	14	of	of	ADP
iajs-3021	204	15	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	204	16	then	then	ADV
iajs-3021	204	17	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	204	18	+	+	NUM
iajs-3021	204	19	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	204	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	204	21	∩	∩	NOUN
iajs-3021	204	22	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	204	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	204	24	is	be	AUX
iajs-3021	204	25	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	204	26	-	-	ADJ
iajs-3021	204	27	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	204	28	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	204	29	of	of	ADP
iajs-3021	204	30	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	205	1	if	if	SCONJ
iajs-3021	205	2	and	and	CCONJ
iajs-3021	205	3	only	only	ADV
iajs-3021	205	4	if	if	SCONJ
iajs-3021	205	5	[	[	X
iajs-3021	205	6	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	205	7	+	+	NUM
iajs-3021	205	8	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	205	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	205	10	∩	∩	NOUN
iajs-3021	205	11	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	205	12	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	205	13	]	]	X
iajs-3021	205	14	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	205	15	[	[	X
iajs-3021	205	16	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	205	17	+	+	NUM
iajs-3021	205	18	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	205	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	205	20	∩	∩	PROPN
iajs-3021	205	21	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	205	22	𝑟ϰ	𝑟ϰ	NOUN
iajs-3021	205	23	]	]	PUNCT
iajs-3021	205	24	for	for	ADP
iajs-3021	205	25	each	each	DET
iajs-3021	205	26	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	205	27	∈	∈	PROPN
iajs-3021	205	28	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	205	29	or	or	CCONJ
iajs-3021	205	30	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	205	31	∈	∈	PROPN
iajs-3021	205	32	[	[	X
iajs-3021	205	33	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	205	34	+	+	NUM
iajs-3021	205	35	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	205	36	)	)	PUNCT
iajs-3021	205	37	∩	∩	NOUN
iajs-3021	205	38	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	205	39	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	205	40	]	]	PUNCT
iajs-3021	205	41	.	.	PUNCT
iajs-3021	206	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	206	2	(	(	PUNCT
iajs-3021	206	3	⟹	⟹	X
iajs-3021	206	4	)	)	PUNCT
iajs-3021	206	5	let	let	VERB
iajs-3021	206	6	𝜔	𝜔	AUX
iajs-3021	206	7	∈	∈	NOUN
iajs-3021	206	8	[	[	X
iajs-3021	206	9	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	206	10	+	+	NUM
iajs-3021	206	11	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	206	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	206	13	∩	∩	NOUN
iajs-3021	206	14	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	206	15	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	206	16	]	]	PUNCT
iajs-3021	206	17	and	and	CCONJ
iajs-3021	206	18	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	206	19	∉	∉	PROPN
iajs-3021	207	1	[	[	X
iajs-3021	207	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	207	3	+	+	NUM
iajs-3021	207	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	207	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	207	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	207	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	207	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	207	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	207	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	207	11	since	since	SCONJ
iajs-3021	207	12	𝜔	𝜔	X
iajs-3021	207	13	∈	∈	NOUN
iajs-3021	207	14	[	[	X
iajs-3021	207	15	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	207	16	+	+	NUM
iajs-3021	207	17	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	207	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	207	19	∩	∩	NOUN
iajs-3021	207	20	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	NOUN
iajs-3021	207	21	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	207	22	]	]	PUNCT
iajs-3021	207	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	207	24	then	then	ADV
iajs-3021	207	25	𝑢2𝜔ϰ	𝑢2𝜔ϰ	PUNCT
iajs-3021	207	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	207	27	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	207	28	+	+	NUM
iajs-3021	207	29	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	207	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	207	31	∩	∩	NOUN
iajs-3021	207	32	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	207	33	)	)	PUNCT
iajs-3021	207	34	.	.	PUNCT
iajs-3021	208	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	208	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	208	3	+	+	NUM
iajs-3021	208	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	208	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	208	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	208	7	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	208	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	208	9	is	be	AUX
iajs-3021	208	10	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	208	11	-	-	ADJ
iajs-3021	208	12	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	208	13	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	208	14	of	of	ADP
iajs-3021	208	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	208	16	and	and	CCONJ
iajs-3021	208	17	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	208	18	∉	∉	PROPN
iajs-3021	209	1	[	[	X
iajs-3021	209	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	209	3	+	+	NUM
iajs-3021	209	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	209	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	209	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	209	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	209	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	209	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	209	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	209	11	then	then	ADV
iajs-3021	209	12	𝑢𝜔ϰ	𝑢𝜔ϰ	PROPN
iajs-3021	209	13	∈	∈	PROPN
iajs-3021	209	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	209	15	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	209	16	+	+	NUM
iajs-3021	209	17	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	209	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	209	19	∩	∩	NOUN
iajs-3021	209	20	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	209	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	209	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	210	1	+	+	CCONJ
iajs-3021	210	2	j(ℋ	j(ℋ	NOUN
iajs-3021	210	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	210	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	210	5	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	210	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	210	7	=	=	SYM
iajs-3021	210	8	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	210	9	+	+	NUM
iajs-3021	210	10	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	210	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	210	12	∩	∩	NOUN
iajs-3021	210	13	soc(ℋ).that	soc(ℋ).that	PRON
iajs-3021	210	14	is	be	AUX
iajs-3021	210	15	𝜔	𝜔	PRON
iajs-3021	210	16	∈	∈	NOUN
iajs-3021	210	17	[	[	X
iajs-3021	210	18	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	210	19	+	+	NUM
iajs-3021	210	20	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	210	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	210	22	∩	∩	PROPN
iajs-3021	210	23	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	210	24	𝑢ϰ	𝑢ϰ	NOUN
iajs-3021	210	25	]	]	PUNCT
iajs-3021	210	26	.thus	.thus	NOUN
iajs-3021	211	1	[	[	X
iajs-3021	211	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	211	3	+	+	NUM
iajs-3021	211	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	211	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	211	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	211	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	211	8	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	211	9	]	]	X
iajs-3021	211	10	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	211	11	[	[	X
iajs-3021	211	12	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	211	13	+	+	NUM
iajs-3021	211	14	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	211	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	211	16	∩	∩	PROPN
iajs-3021	211	17	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	211	18	𝑢ϰ	𝑢ϰ	NOUN
iajs-3021	211	19	]	]	PUNCT
iajs-3021	211	20	.	.	PUNCT
iajs-3021	212	1	it	it	PRON
iajs-3021	212	2	is	be	AUX
iajs-3021	212	3	clear	clear	ADJ
iajs-3021	212	4	that	that	SCONJ
iajs-3021	212	5	[	[	X
iajs-3021	212	6	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	212	7	+	+	NUM
iajs-3021	212	8	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	212	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	212	10	∩	∩	PROPN
iajs-3021	212	11	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	212	12	𝑢ϰ	𝑢ϰ	NOUN
iajs-3021	212	13	]	]	PUNCT
iajs-3021	212	14	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	212	15	[	[	X
iajs-3021	212	16	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	212	17	+	+	NUM
iajs-3021	212	18	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	212	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	212	20	∩	∩	NOUN
iajs-3021	212	21	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	212	22	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	212	23	]	]	PUNCT
iajs-3021	212	24	.	.	PUNCT
iajs-3021	213	1	hence[ℱ	hence[ℱ	X
iajs-3021	213	2	+	+	NUM
iajs-3021	213	3	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	213	4	)	)	PUNCT
iajs-3021	213	5	∩	∩	NOUN
iajs-3021	213	6	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	213	7	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	213	8	]	]	X
iajs-3021	213	9	=	=	X
iajs-3021	214	1	[	[	PUNCT
iajs-3021	214	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	214	3	+	+	NUM
iajs-3021	214	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	214	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	214	6	∩	∩	PROPN
iajs-3021	214	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	214	8	𝑢ϰ	𝑢ϰ	NOUN
iajs-3021	214	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	214	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	215	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	215	2	⟸	⟸	ADV
iajs-3021	215	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	215	4	let	let	VERB
iajs-3021	215	5	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	INTJ
iajs-3021	215	6	∈	∈	PROPN
iajs-3021	215	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	215	8	+	+	NUM
iajs-3021	215	9	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	215	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	215	11	∩	∩	NOUN
iajs-3021	215	12	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	215	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	215	14	,	,	PUNCT
iajs-3021	215	15	for	for	ADP
iajs-3021	215	16	𝑢	𝑢	DET
iajs-3021	215	17	∈	∈	PROPN
iajs-3021	215	18	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	215	19	,	,	PUNCT
iajs-3021	215	20	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	215	21	∈	∈	PROPN
iajs-3021	215	22	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	215	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	215	24	then	then	ADV
iajs-3021	215	25	by	by	ADP
iajs-3021	215	26	hypothesis	hypothesis	NOUN
iajs-3021	215	27	[	[	X
iajs-3021	215	28	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	215	29	+	+	NUM
iajs-3021	215	30	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	215	31	)	)	PUNCT
iajs-3021	215	32	∩	∩	NOUN
iajs-3021	215	33	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	215	34	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	215	35	]	]	X
iajs-3021	215	36	=	=	X
iajs-3021	216	1	[	[	PUNCT
iajs-3021	216	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	216	3	+	+	NUM
iajs-3021	216	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	216	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	216	6	∩	∩	PROPN
iajs-3021	216	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	216	8	𝑢ϰ	𝑢ϰ	NOUN
iajs-3021	216	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	216	10	or	or	CCONJ
iajs-3021	216	11	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	216	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	216	13	[	[	X
iajs-3021	216	14	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	216	15	+	+	NUM
iajs-3021	216	16	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	216	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	216	18	∩	∩	NOUN
iajs-3021	216	19	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	216	20	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	216	21	]	]	PUNCT
iajs-3021	216	22	.	.	PUNCT
iajs-3021	217	1	if	if	SCONJ
iajs-3021	217	2	[	[	X
iajs-3021	217	3	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	217	4	+	+	NUM
iajs-3021	217	5	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	217	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	217	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	217	8	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	217	9	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	217	10	]	]	X
iajs-3021	217	11	=	=	X
iajs-3021	218	1	[	[	PUNCT
iajs-3021	218	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	218	3	+	+	NUM
iajs-3021	218	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	218	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	218	6	∩	∩	PROPN
iajs-3021	218	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	218	8	𝑢ϰ	𝑢ϰ	NOUN
iajs-3021	218	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	218	10	and	and	CCONJ
iajs-3021	218	11	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	ADP
iajs-3021	218	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	218	13	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	218	14	+	+	NUM
iajs-3021	218	15	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	218	16	)	)	PUNCT
iajs-3021	218	17	∩	∩	NOUN
iajs-3021	218	18	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	218	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	218	20	then	then	ADV
iajs-3021	218	21	[	[	X
iajs-3021	218	22	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	218	23	+	+	NUM
iajs-3021	218	24	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	218	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	218	26	∩	∩	NOUN
iajs-3021	218	27	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	218	28	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	218	29	]	]	X
iajs-3021	218	30	=	=	SYM
iajs-3021	218	31	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	218	32	,	,	PUNCT
iajs-3021	218	33	it	it	PRON
iajs-3021	218	34	follows	follow	VERB
iajs-3021	218	35	that	that	SCONJ
iajs-3021	219	1	[	[	X
iajs-3021	219	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	219	3	+	+	NUM
iajs-3021	219	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	219	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	6	∩	∩	PROPN
iajs-3021	219	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	X
iajs-3021	219	8	𝑢ϰ	𝑢ϰ	NOUN
iajs-3021	219	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	219	10	=	=	SYM
iajs-3021	219	11	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	219	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	219	13	hence	hence	ADV
iajs-3021	219	14	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	219	15	∈	∈	PROPN
iajs-3021	219	16	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	219	17	+	+	NUM
iajs-3021	219	18	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	219	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	20	∩	∩	NOUN
iajs-3021	219	21	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	219	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	23	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	219	24	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	219	25	+	+	NUM
iajs-3021	219	26	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	219	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	28	∩	∩	NOUN
iajs-3021	219	29	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	219	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	31	+	+	NUM
iajs-3021	219	32	j(ℋ	j(ℋ	NOUN
iajs-3021	219	33	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	34	∩	∩	NOUN
iajs-3021	219	35	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	219	36	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	37	,	,	PUNCT
iajs-3021	219	38	so	so	SCONJ
iajs-3021	219	39	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	219	40	∈	∈	PROPN
iajs-3021	219	41	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	219	42	+	+	NUM
iajs-3021	219	43	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	219	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	45	∩	∩	NOUN
iajs-3021	219	46	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	219	47	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	48	+	+	NUM
iajs-3021	219	49	j(ℋ	j(ℋ	NOUN
iajs-3021	219	50	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	51	∩	∩	NOUN
iajs-3021	219	52	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	219	53	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	54	or	or	CCONJ
iajs-3021	219	55	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	219	56	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	219	57	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	219	58	+	+	NUM
iajs-3021	219	59	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	219	60	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	61	∩	∩	NOUN
iajs-3021	219	62	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	219	63	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	64	+	+	NUM
iajs-3021	219	65	j(ℋ	j(ℋ	NOUN
iajs-3021	219	66	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	67	∩	∩	NOUN
iajs-3021	219	68	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	219	69	)	)	PUNCT
iajs-3021	219	70	.	.	PUNCT
iajs-3021	220	1	that	that	PRON
iajs-3021	220	2	is	be	AUX
iajs-3021	220	3	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	220	4	+	+	NUM
iajs-3021	220	5	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	220	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	220	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	220	8	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	220	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	220	10	is	be	AUX
iajs-3021	220	11	stpn-2	stpn-2	NUM
iajs-3021	220	12	-	-	PUNCT
iajs-3021	220	13	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	220	14	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	220	15	of	of	ADP
iajs-3021	220	16	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	220	17	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	220	18	3.7	3.7	NUM
iajs-3021	220	19	let	let	VERB
iajs-3021	220	20	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	220	21	be	be	AUX
iajs-3021	220	22	an	an	DET
iajs-3021	220	23	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	220	24	and	and	CCONJ
iajs-3021	220	25	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	220	26	be	be	VERB
iajs-3021	220	27	a	a	DET
iajs-3021	220	28	proper	proper	ADJ
iajs-3021	220	29	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	220	30	of	of	ADP
iajs-3021	220	31	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	220	32	with	with	ADP
iajs-3021	220	33	j(ℋ	j(ℋ	NOUN
iajs-3021	220	34	)	)	PUNCT
iajs-3021	220	35	∩	∩	NOUN
iajs-3021	220	36	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	220	37	)	)	PUNCT
iajs-3021	220	38	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	220	39	ℱ.	ℱ.	PROPN
iajs-3021	220	40	then	then	ADV
iajs-3021	220	41	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	220	42	is	be	AUX
iajs-3021	220	43	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	220	44	-	-	ADJ
iajs-3021	220	45	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	220	46	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	220	47	of	of	ADP
iajs-3021	220	48	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	220	49	if	if	SCONJ
iajs-3021	220	50	and	and	CCONJ
iajs-3021	220	51	only	only	ADV
iajs-3021	220	52	if	if	SCONJ
iajs-3021	220	53	[	[	X
iajs-3021	220	54	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	NOUN
iajs-3021	220	55	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	220	56	]	]	PUNCT
iajs-3021	220	57	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	221	1	[	[	X
iajs-3021	221	2	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	ADP
iajs-3021	221	3	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	221	4	]	]	X
iajs-3021	221	5	or	or	CCONJ
iajs-3021	221	6	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	221	7	∈	∈	PROPN
iajs-3021	221	8	[	[	X
iajs-3021	221	9	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	221	10	+	+	NUM
iajs-3021	221	11	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	221	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	221	13	∩	∩	NOUN
iajs-3021	221	14	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	221	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	221	16	]	]	PUNCT
iajs-3021	221	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	222	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	222	2	(	(	PUNCT
iajs-3021	222	3	⟹	⟹	X
iajs-3021	222	4	)	)	PUNCT
iajs-3021	222	5	suppose	suppose	VERB
iajs-3021	222	6	that	that	SCONJ
iajs-3021	222	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	222	8	is	be	AUX
iajs-3021	222	9	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	222	10	-	-	ADJ
iajs-3021	222	11	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	222	12	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	222	13	of	of	ADP
iajs-3021	222	14	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	222	15	,	,	PUNCT
iajs-3021	222	16	let	let	VERB
iajs-3021	222	17	ϰ	ϰ	NOUN
iajs-3021	222	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	222	19	[	[	X
iajs-3021	222	20	ℱ:𝑅	ℱ:𝑅	PROPN
iajs-3021	222	21	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	222	22	]	]	PUNCT
iajs-3021	222	23	and	and	CCONJ
iajs-3021	222	24	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	222	25	∉	∉	PROPN
iajs-3021	223	1	[	[	X
iajs-3021	223	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	223	3	+	+	NUM
iajs-3021	223	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	223	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	223	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	223	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	223	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	223	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	223	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	224	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	224	2	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	224	3	∈	∈	PROPN
iajs-3021	224	4	[	[	X
iajs-3021	224	5	ℱ:𝑅	ℱ:𝑅	PROPN
iajs-3021	224	6	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	224	7	]	]	PUNCT
iajs-3021	224	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	224	9	implies	imply	VERB
iajs-3021	224	10	that	that	SCONJ
iajs-3021	224	11	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	224	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	224	13	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	224	14	,	,	PUNCT
iajs-3021	224	15	but	but	CCONJ
iajs-3021	224	16	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	224	17	is	be	AUX
iajs-3021	224	18	stpns-2absorbing	stpns-2absorbe	VERB
iajs-3021	224	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	224	20	of	of	ADP
iajs-3021	224	21	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	224	22	and	and	CCONJ
iajs-3021	224	23	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	224	24	∉	∉	PROPN
iajs-3021	225	1	[	[	X
iajs-3021	225	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	225	3	+	+	NUM
iajs-3021	225	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	225	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	225	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	225	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	225	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	225	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	225	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	225	11	implies	imply	VERB
iajs-3021	225	12	that	that	SCONJ
iajs-3021	225	13	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	225	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	225	15	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	225	16	+	+	NUM
iajs-3021	225	17	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	225	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	225	19	∩	∩	NOUN
iajs-3021	225	20	soc(ℋ	soc(ℋ	NUM
iajs-3021	225	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	225	22	.	.	PUNCT
iajs-3021	226	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	226	2	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	226	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	226	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	226	5	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	226	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	226	7	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	226	8	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	226	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	226	10	then	then	ADV
iajs-3021	226	11	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	226	12	+	+	NUM
iajs-3021	226	13	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	226	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	226	15	∩	∩	NOUN
iajs-3021	226	16	soc(ℋ	soc(ℋ	X
iajs-3021	226	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	226	18	=	=	SYM
iajs-3021	226	19	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	226	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	226	21	implies	imply	VERB
iajs-3021	226	22	that	that	SCONJ
iajs-3021	226	23	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	226	24	∈	∈	PROPN
iajs-3021	226	25	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	226	26	,	,	PUNCT
iajs-3021	226	27	hence	hence	ADV
iajs-3021	226	28	ϰ	ϰ	NOUN
iajs-3021	226	29	∈	∈	PROPN
iajs-3021	227	1	[	[	X
iajs-3021	227	2	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	X
iajs-3021	227	3	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	227	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	227	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	227	6	thus	thus	ADV
iajs-3021	227	7	[	[	X
iajs-3021	227	8	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	PROPN
iajs-3021	227	9	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	227	10	]	]	PUNCT
iajs-3021	228	1	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	228	2	[	[	X
iajs-3021	228	3	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	X
iajs-3021	228	4	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	228	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	228	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	229	1	clear	clear	ADJ
iajs-3021	230	1	[	[	X
iajs-3021	230	2	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	NOUN
iajs-3021	230	3	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	230	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	230	5	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	230	6	[	[	X
iajs-3021	230	7	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	PROPN
iajs-3021	230	8	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	230	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	230	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	230	11	hence	hence	ADV
iajs-3021	230	12	[	[	X
iajs-3021	230	13	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	NOUN
iajs-3021	230	14	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	230	15	]	]	PUNCT
iajs-3021	230	16	=	=	PUNCT
iajs-3021	231	1	[	[	X
iajs-3021	231	2	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	X
iajs-3021	231	3	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	231	4	]	]	X
iajs-3021	231	5	.	.	PUNCT
iajs-3021	232	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	232	2	⟸	⟸	ADV
iajs-3021	232	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	232	4	let	let	VERB
iajs-3021	232	5	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	X
iajs-3021	232	6	∈	∈	VERB
iajs-3021	232	7	ℱfor	ℱfor	ADP
iajs-3021	232	8	𝑢	𝑢	PROPN
iajs-3021	232	9	∈	∈	PROPN
iajs-3021	232	10	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	232	11	,	,	PUNCT
iajs-3021	232	12	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	232	13	∈	∈	PROPN
iajs-3021	232	14	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	232	15	,	,	PUNCT
iajs-3021	232	16	then	then	ADV
iajs-3021	233	1	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	233	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	233	3	[	[	X
iajs-3021	233	4	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	NOUN
iajs-3021	233	5	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	233	6	]	]	PUNCT
iajs-3021	233	7	=	=	PUNCT
iajs-3021	234	1	[	[	X
iajs-3021	234	2	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	X
iajs-3021	234	3	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	234	4	]	]	X
iajs-3021	234	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	234	6	by	by	ADP
iajs-3021	234	7	hypothesis	hypothesis	NOUN
iajs-3021	234	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	234	9	implies	imply	VERB
iajs-3021	234	10	that	that	SCONJ
iajs-3021	234	11	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	234	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	235	1	[	[	X
iajs-3021	235	2	ℱ:ℋ	ℱ:ℋ	X
iajs-3021	235	3	𝑢	𝑢	X
iajs-3021	235	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	235	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	235	6	then	then	ADV
iajs-3021	235	7	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	235	8	∈	∈	PROPN
iajs-3021	235	9	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	235	10	or	or	CCONJ
iajs-3021	235	11	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	235	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	236	1	[	[	X
iajs-3021	236	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	236	3	+	+	NUM
iajs-3021	236	4	j(ℋ	j(ℋ	PROPN
iajs-3021	236	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	236	6	∩	∩	NOUN
iajs-3021	236	7	soc(ℋ):𝑅	soc(ℋ):𝑅	PROPN
iajs-3021	236	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	236	9	]	]	PUNCT
iajs-3021	236	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	237	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	237	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	237	3	is	be	AUX
iajs-3021	237	4	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	237	5	-	-	ADJ
iajs-3021	237	6	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	237	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	237	8	of	of	ADP
iajs-3021	237	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	237	10	remark	remark	NOUN
iajs-3021	237	11	3.8	3.8	NUM
iajs-3021	237	12	the	the	DET
iajs-3021	237	13	intersection	intersection	NOUN
iajs-3021	237	14	of	of	ADP
iajs-3021	237	15	two	two	NUM
iajs-3021	237	16	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	237	17	-	-	ADJ
iajs-3021	237	18	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	237	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	237	20	of	of	ADP
iajs-3021	237	21	an	an	DET
iajs-3021	237	22	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	237	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	237	24	need	need	VERB
iajs-3021	237	25	not	not	PART
iajs-3021	237	26	to	to	PART
iajs-3021	237	27	be	be	AUX
iajs-3021	237	28	stpns2	stpns2	NOUN
iajs-3021	237	29	-	-	PUNCT
iajs-3021	237	30	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	237	31	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	237	32	of	of	ADP
iajs-3021	237	33	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	237	34	the	the	DET
iajs-3021	237	35	following	follow	VERB
iajs-3021	237	36	example	example	NOUN
iajs-3021	237	37	explains	explain	VERB
iajs-3021	237	38	that	that	SCONJ
iajs-3021	237	39	:	:	PUNCT
iajs-3021	237	40	consider	consider	VERB
iajs-3021	237	41	the	the	DET
iajs-3021	237	42	z_module	z_module	NOUN
iajs-3021	237	43	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	237	44	and	and	CCONJ
iajs-3021	237	45	the	the	DET
iajs-3021	237	46	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	237	47	ℒ=〈3̅	ℒ=〈3̅	PROPN
iajs-3021	237	48	〉	〉	NOUN
iajs-3021	237	49	and	and	CCONJ
iajs-3021	237	50	ℚ=〈4̅	ℚ=〈4̅	NOUN
iajs-3021	237	51	〉	〉	NOUN
iajs-3021	237	52	are	be	AUX
iajs-3021	237	53	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	237	54	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	237	55	of	of	ADP
iajs-3021	237	56	the	the	DET
iajs-3021	237	57	z_module	z_module	NOUN
iajs-3021	237	58	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	237	59	(	(	PUNCT
iajs-3021	237	60	because	because	SCONJ
iajs-3021	237	61	〈	〈	PROPN
iajs-3021	237	62	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	237	63	〉	〉	NOUN
iajs-3021	237	64	and	and	CCONJ
iajs-3021	237	65	〈	〈	NOUN
iajs-3021	237	66	4̅	4̅	ADJ
iajs-3021	237	67	〉	〉	NOUN
iajs-3021	237	68	are	be	AUX
iajs-3021	237	69	2	2	NUM
iajs-3021	237	70	-	-	PUNCT
iajs-3021	237	71	absorbing	absorbing	NOUN
iajs-3021	237	72	of	of	ADP
iajs-3021	237	73	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	237	74	)	)	PUNCT
iajs-3021	237	75	,	,	PUNCT
iajs-3021	237	76	but	but	CCONJ
iajs-3021	237	77	ℒ	ℒ	ADJ
iajs-3021	237	78	∩	∩	ADJ
iajs-3021	237	79	ℚ	ℚ	PROPN
iajs-3021	237	80	=	=	SYM
iajs-3021	237	81	〈	〈	PROPN
iajs-3021	237	82	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	237	83	〉	〉	NOUN
iajs-3021	237	84	is	be	AUX
iajs-3021	237	85	not	not	PART
iajs-3021	237	86	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	237	87	,	,	PUNCT
iajs-3021	237	88	since	since	SCONJ
iajs-3021	237	89	22	22	NUM
iajs-3021	237	90	.	.	PUNCT
iajs-3021	238	1	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	238	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	238	3	〈	〈	PROPN
iajs-3021	238	4	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	238	5	〉	〉	NOUN
iajs-3021	238	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	238	7	but	but	CCONJ
iajs-3021	238	8	2	2	NUM
iajs-3021	238	9	.	.	X
iajs-3021	238	10	3̅	3̅	NUM
iajs-3021	238	11	∉	∉	PROPN
iajs-3021	239	1	〈	〈	PROPN
iajs-3021	239	2	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	239	3	〉	〉	NOUN
iajs-3021	239	4	+	+	CCONJ
iajs-3021	239	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	239	6	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	239	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	239	8	∩	∩	NOUN
iajs-3021	239	9	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	239	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	239	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	240	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	240	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	240	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	PROPN
iajs-3021	240	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	240	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	240	6	22	22	NUM
iajs-3021	240	7	∉	∉	PROPN
iajs-3021	241	1	[	[	X
iajs-3021	241	2	〈	〈	PROPN
iajs-3021	241	3	12̅̅̅̅	12̅̅̅̅	ADJ
iajs-3021	241	4	〉	〉	NOUN
iajs-3021	241	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	241	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	241	7	𝐽(𝑍48	𝐽(𝑍48	ADJ
iajs-3021	241	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	241	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	241	10	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	𝑠𝑜𝑐(𝑍48	NUM
iajs-3021	241	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	241	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	242	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	242	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	242	3	𝑍48	𝑍48	PROPN
iajs-3021	242	4	]	]	X
iajs-3021	242	5	=	=	PUNCT
iajs-3021	242	6	12𝑍.	12𝑍.	NUM
iajs-3021	242	7	ihjpas	ihjpa	NOUN
iajs-3021	242	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	243	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	243	2	360	360	NUM
iajs-3021	243	3	the	the	DET
iajs-3021	243	4	inverse	inverse	NOUN
iajs-3021	243	5	of	of	ADP
iajs-3021	243	6	above	above	ADJ
iajs-3021	243	7	remark	remark	NOUN
iajs-3021	243	8	satisfy	satisfy	VERB
iajs-3021	243	9	under	under	ADP
iajs-3021	243	10	certain	certain	ADJ
iajs-3021	243	11	condition	condition	NOUN
iajs-3021	243	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	244	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	244	2	3.9	3.9	NUM
iajs-3021	244	3	let	let	VERB
iajs-3021	244	4	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	244	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	244	6	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	244	7	be	be	VERB
iajs-3021	244	8	a	a	DET
iajs-3021	244	9	proper	proper	ADJ
iajs-3021	244	10	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	244	11	of	of	ADP
iajs-3021	244	12	an	an	DET
iajs-3021	244	13	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	244	14	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	244	15	,	,	PUNCT
iajs-3021	244	16	with	with	ADP
iajs-3021	244	17	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	244	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	244	19	∩	∩	NOUN
iajs-3021	244	20	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	X
iajs-3021	244	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	244	22	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	244	23	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	244	24	or	or	CCONJ
iajs-3021	244	25	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NUM
iajs-3021	244	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	244	27	∩	∩	NOUN
iajs-3021	244	28	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	X
iajs-3021	244	29	)	)	PUNCT
iajs-3021	244	30	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	244	31	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	244	32	.	.	PUNCT
iajs-3021	245	1	if	if	SCONJ
iajs-3021	245	2	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	245	3	and	and	CCONJ
iajs-3021	245	4	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	245	5	are	be	AUX
iajs-3021	245	6	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	245	7	-	-	ADJ
iajs-3021	245	8	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	245	9	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	245	10	of	of	ADP
iajs-3021	245	11	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	245	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	245	13	then	then	ADV
iajs-3021	245	14	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	245	15	∩	∩	NOUN
iajs-3021	245	16	ℱ	ℱ	PRON
iajs-3021	245	17	is	be	AUX
iajs-3021	245	18	stpns-2absorbing	stpns-2absorbe	VERB
iajs-3021	245	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	245	20	of	of	ADP
iajs-3021	245	21	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	245	22	proof	proof	NOUN
iajs-3021	245	23	assume	assume	VERB
iajs-3021	245	24	that	that	SCONJ
iajs-3021	245	25	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	245	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	245	27	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	245	28	∩	∩	X
iajs-3021	245	29	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	245	30	for	for	ADP
iajs-3021	245	31	𝑢	𝑢	PROPN
iajs-3021	245	32	∈	∈	PROPN
iajs-3021	245	33	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	245	34	,	,	PUNCT
iajs-3021	245	35	ϰ	ϰ	PROPN
iajs-3021	245	36	∈	∈	PROPN
iajs-3021	245	37	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	245	38	,	,	PUNCT
iajs-3021	245	39	implies	imply	VERB
iajs-3021	245	40	that	that	SCONJ
iajs-3021	245	41	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	PROPN
iajs-3021	245	42	∈	∈	PROPN
iajs-3021	245	43	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	245	44	and	and	CCONJ
iajs-3021	245	45	𝑢2ϰ	𝑢2ϰ	ADP
iajs-3021	245	46	∈	∈	PROPN
iajs-3021	245	47	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	245	48	.	.	PUNCT
iajs-3021	246	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	246	2	both	both	CCONJ
iajs-3021	246	3	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	246	4	and	and	CCONJ
iajs-3021	246	5	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	246	6	are	be	AUX
iajs-3021	246	7	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	246	8	-	-	ADJ
iajs-3021	246	9	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	246	10	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	246	11	of	of	ADP
iajs-3021	246	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	246	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	246	14	then	then	ADV
iajs-3021	246	15	either	either	CCONJ
iajs-3021	246	16	𝑢ϰ	𝑢ϰ	VERB
iajs-3021	246	17	∈	∈	PROPN
iajs-3021	246	18	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	246	19	+	+	CCONJ
iajs-3021	246	20	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	246	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	246	22	∩	∩	NOUN
iajs-3021	246	23	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	246	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	246	25	or	or	CCONJ
iajs-3021	246	26	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	246	27	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	246	28	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	246	29	+	+	NUM
iajs-3021	246	30	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	246	31	)	)	PUNCT
iajs-3021	246	32	∩	∩	NOUN
iajs-3021	246	33	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	246	34	)	)	PUNCT
iajs-3021	246	35	and	and	CCONJ
iajs-3021	246	36	ϰ	ϰ	NOUN
iajs-3021	246	37	∈	∈	PROPN
iajs-3021	246	38	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	246	39	+	+	CCONJ
iajs-3021	246	40	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	246	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	246	42	∩	∩	NOUN
iajs-3021	246	43	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	246	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	246	45	or	or	CCONJ
iajs-3021	246	46	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	246	47	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	246	48	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	246	49	+	+	CCONJ
iajs-3021	246	50	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	246	51	)	)	PUNCT
iajs-3021	246	52	∩	∩	NOUN
iajs-3021	247	1	𝑠𝑜𝑐(ℋ)thus	𝑠𝑜𝑐(ℋ)thus	PROPN
iajs-3021	248	1	either	either	CCONJ
iajs-3021	248	2	𝑢ϰ	𝑢ϰ	ADP
iajs-3021	248	3	∈	∈	PROPN
iajs-3021	248	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	248	5	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	248	6	+	+	NUM
iajs-3021	248	7	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	248	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	248	10	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	248	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	13	∩	∩	NOUN
iajs-3021	248	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	248	15	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	248	16	+	+	NUM
iajs-3021	248	17	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	248	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	19	∩	∩	NOUN
iajs-3021	248	20	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	248	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	23	or	or	CCONJ
iajs-3021	248	24	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	248	25	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	248	26	(	(	PUNCT
iajs-3021	248	27	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	248	28	+	+	NUM
iajs-3021	248	29	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	248	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	31	∩	∩	NOUN
iajs-3021	248	32	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	248	33	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	34	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	35	∩	∩	NOUN
iajs-3021	248	36	(	(	PUNCT
iajs-3021	248	37	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	248	38	+	+	NUM
iajs-3021	248	39	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	248	40	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	41	∩	∩	NOUN
iajs-3021	248	42	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	248	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	248	45	.	.	PUNCT
iajs-3021	249	1	if	if	SCONJ
iajs-3021	249	2	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	249	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	249	5	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	249	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	7	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	249	8	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	249	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	249	10	then	then	ADV
iajs-3021	249	11	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	249	12	+	+	CCONJ
iajs-3021	249	13	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	249	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	15	∩	∩	NOUN
iajs-3021	249	16	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	X
iajs-3021	249	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	18	=	=	SYM
iajs-3021	249	19	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	249	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	249	21	hence	hence	ADV
iajs-3021	249	22	either	either	PRON
iajs-3021	249	23	𝑢ϰ	𝑢ϰ	ADP
iajs-3021	249	24	∈	∈	PROPN
iajs-3021	249	25	(	(	PUNCT
iajs-3021	249	26	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	249	27	+	+	NUM
iajs-3021	249	28	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	249	29	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	30	∩	∩	NOUN
iajs-3021	249	31	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	249	32	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	33	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	34	∩	∩	NOUN
iajs-3021	249	35	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	249	36	or	or	CCONJ
iajs-3021	249	37	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	249	38	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	249	39	(	(	PUNCT
iajs-3021	249	40	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	249	41	+	+	NUM
iajs-3021	249	42	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	249	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	44	∩	∩	NOUN
iajs-3021	249	45	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	249	46	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	47	)	)	PUNCT
iajs-3021	249	48	∩	∩	NOUN
iajs-3021	249	49	ℱ.	ℱ.	PROPN
iajs-3021	249	50	thus	thus	ADV
iajs-3021	249	51	by	by	ADP
iajs-3021	249	52	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	249	53	2.9we	2.9we	PROPN
iajs-3021	249	54	have	have	VERB
iajs-3021	249	55	either	either	CCONJ
iajs-3021	249	56	𝑢ϰ	𝑢ϰ	ADP
iajs-3021	249	57	∈	∈	PROPN
iajs-3021	249	58	(	(	PUNCT
iajs-3021	249	59	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	249	60	∩	∩	X
iajs-3021	249	61	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	249	62	)	)	PUNCT
iajs-3021	250	1	+	+	NUM
iajs-3021	250	2	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	250	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	250	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	250	5	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	250	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	250	7	or	or	CCONJ
iajs-3021	250	8	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	250	9	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	250	10	(	(	PUNCT
iajs-3021	250	11	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	250	12	∩	∩	X
iajs-3021	250	13	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	250	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	250	15	+	+	NUM
iajs-3021	250	16	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	250	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	250	18	∩	∩	NOUN
iajs-3021	250	19	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	250	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	250	21	.	.	PUNCT
iajs-3021	251	1	therefore	therefore	ADV
iajs-3021	251	2	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	251	3	∩	∩	ADJ
iajs-3021	251	4	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	251	5	is	be	AUX
iajs-3021	251	6	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	251	7	-	-	ADJ
iajs-3021	251	8	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	251	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	251	10	of	of	ADP
iajs-3021	251	11	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	251	12	in	in	ADP
iajs-3021	251	13	similar	similar	ADJ
iajs-3021	251	14	way	way	NOUN
iajs-3021	251	15	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	251	16	∩	∩	ADJ
iajs-3021	251	17	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	251	18	is	be	AUX
iajs-3021	251	19	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	251	20	-	-	ADJ
iajs-3021	251	21	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	251	22	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	251	23	of	of	ADP
iajs-3021	251	24	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	251	25	if	if	SCONJ
iajs-3021	251	26	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	251	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	251	28	∩	∩	NOUN
iajs-3021	251	29	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	251	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	251	31	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	251	32	ℒ.	ℒ.	NOUN
iajs-3021	251	33	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	251	34	3.10	3.10	NUM
iajs-3021	251	35	let	let	VERB
iajs-3021	251	36	ℱ	ℱ	PRON
iajs-3021	251	37	be	be	AUX
iajs-3021	251	38	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	251	39	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	251	40	of	of	ADP
iajs-3021	251	41	an	an	DET
iajs-3021	251	42	r	r	NOUN
iajs-3021	251	43	_	_	NOUN
iajs-3021	251	44	module	module	NOUN
iajs-3021	251	45	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	251	46	and	and	CCONJ
iajs-3021	251	47	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	251	48	is	be	AUX
iajs-3021	251	49	a	a	DET
iajs-3021	251	50	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	251	51	of	of	ADP
iajs-3021	251	52	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	251	53	with	with	ADP
iajs-3021	251	54	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	251	55	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	251	56	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	251	57	,	,	PUNCT
iajs-3021	251	58	then	then	ADV
iajs-3021	251	59	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	251	60	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	251	61	is	be	AUX
iajs-3021	251	62	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	251	63	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	251	64	of	of	ADP
iajs-3021	251	65	an	an	DET
iajs-3021	251	66	r	r	NOUN
iajs-3021	251	67	_	_	NOUN
iajs-3021	251	68	module	module	NOUN
iajs-3021	251	69	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	251	70	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	251	71	.	.	PUNCT
iajs-3021	252	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	252	2	let	let	VERB
iajs-3021	252	3	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	252	4	be	be	AUX
iajs-3021	252	5	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	252	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	252	7	of	of	ADP
iajs-3021	252	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	252	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	252	10	and	and	CCONJ
iajs-3021	252	11	𝑢2(𝑒	𝑢2(𝑒	PROPN
iajs-3021	252	12	+	+	CCONJ
iajs-3021	252	13	ℒ	ℒ	ADJ
iajs-3021	252	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	252	15	=	=	SYM
iajs-3021	253	1	𝑢2𝑒	𝑢2𝑒	PROPN
iajs-3021	253	2	+	+	CCONJ
iajs-3021	253	3	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	253	4	∈	∈	NOUN
iajs-3021	253	5	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	253	6	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	253	7	for	for	ADP
iajs-3021	253	8	𝑢	𝑢	PROPN
iajs-3021	253	9	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	253	10	and	and	CCONJ
iajs-3021	253	11	𝑒	𝑒	PROPN
iajs-3021	253	12	+	+	CCONJ
iajs-3021	253	13	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	253	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	253	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	253	16	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	253	17	,	,	PUNCT
iajs-3021	253	18	𝑒	𝑒	PROPN
iajs-3021	253	19			PROPN
iajs-3021	253	20	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	253	21	,	,	PUNCT
iajs-3021	253	22	implies	imply	VERB
iajs-3021	253	23	that	that	SCONJ
iajs-3021	253	24	𝑢2𝑒	𝑢2𝑒	PROPN
iajs-3021	253	25	∈	∈	PROPN
iajs-3021	253	26	ℱ.	ℱ.	PROPN
iajs-3021	253	27	since	since	SCONJ
iajs-3021	253	28	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	253	29	is	be	AUX
iajs-3021	253	30	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	253	31	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	253	32	of	of	ADP
iajs-3021	253	33	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	253	34	,	,	PUNCT
iajs-3021	253	35	then	then	ADV
iajs-3021	253	36	either	either	CCONJ
iajs-3021	253	37	𝑢𝑒	𝑢𝑒	ADP
iajs-3021	253	38	∈	∈	PROPN
iajs-3021	253	39	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	253	40	+	+	CCONJ
iajs-3021	253	41	(	(	PUNCT
iajs-3021	253	42	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	253	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	253	44	∩	∩	NOUN
iajs-3021	253	45	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	253	46	)	)	PUNCT
iajs-3021	253	47	)	)	PUNCT
iajs-3021	253	48	or	or	CCONJ
iajs-3021	253	49	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	253	50	∈	∈	PROPN
iajs-3021	254	1	[	[	X
iajs-3021	254	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	254	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	254	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	254	5	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	254	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	254	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	254	8	𝑠𝑜𝑐(ℋ))𝑅	𝑠𝑜𝑐(ℋ))𝑅	NUM
iajs-3021	254	9	:	:	PUNCT
iajs-3021	254	10	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	254	11	]	]	PUNCT
iajs-3021	254	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	255	1	that	that	PRON
iajs-3021	255	2	is	be	AUX
iajs-3021	255	3	either	either	CCONJ
iajs-3021	255	4	𝑢𝑒	𝑢𝑒	ADP
iajs-3021	255	5	∈	∈	PROPN
iajs-3021	255	6	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	255	7	+	+	CCONJ
iajs-3021	255	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	255	9	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	255	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	255	11	∩	∩	NOUN
iajs-3021	255	12	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	255	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	255	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	255	15	or	or	CCONJ
iajs-3021	255	16	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	255	17	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	255	18	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	255	19	+	+	CCONJ
iajs-3021	255	20	(	(	PUNCT
iajs-3021	255	21	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	255	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	255	23	∩	∩	NOUN
iajs-3021	255	24	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	255	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	255	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	255	27	.	.	PUNCT
iajs-3021	256	1	it	it	PRON
iajs-3021	256	2	follows	follow	VERB
iajs-3021	256	3	that	that	SCONJ
iajs-3021	256	4	either	either	CCONJ
iajs-3021	256	5	𝑢(𝑒	𝑢(𝑒	PROPN
iajs-3021	256	6	+	+	CCONJ
iajs-3021	256	7	ℒ	ℒ	ADJ
iajs-3021	256	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	256	9	∈	∈	PROPN
iajs-3021	256	10	ℱ+(𝐽(ℋ)∩𝑠𝑜𝑐(ℋ	ℱ+(𝐽(ℋ)∩𝑠𝑜𝑐(ℋ	PROPN
iajs-3021	256	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	256	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	256	13	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	256	14	or	or	CCONJ
iajs-3021	256	15	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	256	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	256	17	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	256	18	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	256	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	256	20	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	256	21	ℱ+(𝐽(ℋ)∩𝑠𝑜𝑐(ℋ	ℱ+(𝐽(ℋ)∩𝑠𝑜𝑐(ℋ	NOUN
iajs-3021	256	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	256	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	256	24	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	256	25	.	.	PUNCT
iajs-3021	257	1	that	that	PRON
iajs-3021	257	2	is	be	AUX
iajs-3021	257	3	either	either	CCONJ
iajs-3021	257	4	𝑢(𝑒	𝑢(𝑒	PROPN
iajs-3021	257	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	257	6	ℒ	ℒ	ADJ
iajs-3021	257	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	257	8	∈	∈	PROPN
iajs-3021	257	9	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	257	10	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	257	11	+	+	CCONJ
iajs-3021	257	12	ℱ+(𝐽(ℋ)∩𝑠𝑜𝑐(ℋ	ℱ+(𝐽(ℋ)∩𝑠𝑜𝑐(ℋ	NOUN
iajs-3021	257	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	257	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	258	1	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	258	2	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	258	3	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	258	4	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	258	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	258	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	258	7	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	258	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	258	9	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	258	10	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	258	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	258	12	∩	∩	NOUN
iajs-3021	258	13	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	258	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	258	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	258	16	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	258	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	258	18	or	or	CCONJ
iajs-3021	258	19	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	258	20	(	(	PUNCT
iajs-3021	258	21	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	258	22	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	258	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	258	24	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	258	25	ℱ+(𝐽(ℋ)∩𝑠𝑜𝑐(ℋ	ℱ+(𝐽(ℋ)∩𝑠𝑜𝑐(ℋ	NOUN
iajs-3021	258	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	258	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	258	28	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	258	29	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	258	30	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	258	31	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	258	32	+	+	CCONJ
iajs-3021	258	33	(	(	PUNCT
iajs-3021	258	34	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	258	35	(	(	PUNCT
iajs-3021	258	36	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	258	37	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	258	38	)	)	PUNCT
iajs-3021	258	39	∩	∩	NOUN
iajs-3021	258	40	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	258	41	(	(	PUNCT
iajs-3021	258	42	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	258	43	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	258	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	258	45	.	.	PUNCT
iajs-3021	259	1	that	that	PRON
iajs-3021	259	2	is	be	AUX
iajs-3021	259	3	either	either	CCONJ
iajs-3021	259	4	𝑢(𝑒	𝑢(𝑒	PROPN
iajs-3021	259	5	+	+	CCONJ
iajs-3021	259	6	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	259	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	259	8	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	259	9	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	259	10	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	259	11	+	+	CCONJ
iajs-3021	259	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	259	13	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	259	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	259	15	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	259	16	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	259	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	259	18	∩	∩	NOUN
iajs-3021	259	19	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	259	20	(	(	PUNCT
iajs-3021	259	21	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	259	22	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	259	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	259	24	or	or	CCONJ
iajs-3021	259	25	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	259	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	259	27	[	[	PUNCT
iajs-3021	259	28	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	259	29	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	259	30	+	+	CCONJ
iajs-3021	259	31	(	(	PUNCT
iajs-3021	259	32	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	259	33	(	(	PUNCT
iajs-3021	259	34	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	259	35	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	259	36	)	)	PUNCT
iajs-3021	259	37	∩	∩	NOUN
iajs-3021	259	38	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	259	39	(	(	PUNCT
iajs-3021	259	40	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	259	41	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	259	42	)	)	PUNCT
iajs-3021	259	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	260	1	𝑅	𝑅	NOUN
iajs-3021	260	2	:	:	PUNCT
iajs-3021	260	3	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	260	4	ℒ	ℒ	NOUN
iajs-3021	260	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	260	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	261	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	261	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	261	3	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	261	4	is	be	AUX
iajs-3021	261	5	stpns	stpn	VERB
iajs-3021	261	6	_	_	PRON
iajs-3021	261	7	2	2	NUM
iajs-3021	261	8	_	_	NOUN
iajs-3021	261	9	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	261	10	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	261	11	of	of	ADP
iajs-3021	261	12	an	an	DET
iajs-3021	261	13	r	r	NOUN
iajs-3021	261	14	_	_	NOUN
iajs-3021	261	15	module	module	NOUN
iajs-3021	261	16	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	261	17	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	261	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	262	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	262	2	3.11	3.11	NUM
iajs-3021	262	3	let	let	VERB
iajs-3021	262	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	262	5	be	be	AUX
iajs-3021	262	6	an	an	DET
iajs-3021	262	7	𝑅_module	𝑅_module	NOUN
iajs-3021	262	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	262	9	and	and	CCONJ
iajs-3021	262	10	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	262	11	is	be	AUX
iajs-3021	262	12	a	a	DET
iajs-3021	262	13	proper	proper	ADJ
iajs-3021	262	14	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	262	15	of	of	ADP
iajs-3021	262	16	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	262	17	with	with	ADP
iajs-3021	262	18	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	262	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	262	20	∩	∩	NOUN
iajs-3021	262	21	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	X
iajs-3021	262	22	)	)	PUNCT
iajs-3021	262	23	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	262	24	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	262	25	.	.	PUNCT
iajs-3021	263	1	then	then	ADV
iajs-3021	263	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	263	3	is	be	AUX
iajs-3021	263	4	stpns	stpn	VERB
iajs-3021	263	5	_	_	PRON
iajs-3021	264	1	2	2	NUM
iajs-3021	264	2	_	_	NOUN
iajs-3021	264	3	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	264	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	264	5	of	of	ADP
iajs-3021	264	6	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	264	7	if	if	SCONJ
iajs-3021	264	8	and	and	CCONJ
iajs-3021	264	9	only	only	ADV
iajs-3021	264	10	if	if	SCONJ
iajs-3021	264	11	[	[	X
iajs-3021	264	12	ℱℋ	ℱℋ	NOUN
iajs-3021	264	13	:	:	PUNCT
iajs-3021	264	14	i	i	PROPN
iajs-3021	264	15	]	]	PUNCT
iajs-3021	264	16	is	be	AUX
iajs-3021	264	17	stpns	stpn	VERB
iajs-3021	264	18	_	_	PRON
iajs-3021	264	19	2	2	NUM
iajs-3021	264	20	_	_	NOUN
iajs-3021	264	21	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	264	22	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	264	23	of	of	ADP
iajs-3021	264	24	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	264	25	for	for	ADP
iajs-3021	264	26	each	each	DET
iajs-3021	264	27	ideal	ideal	NOUN
iajs-3021	264	28	i	i	PRON
iajs-3021	264	29	of	of	ADP
iajs-3021	264	30	r	r	NOUN
iajs-3021	264	31	.	.	PUNCT
iajs-3021	265	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	265	2	(	(	PUNCT
iajs-3021	265	3			NOUN
iajs-3021	265	4	)	)	PUNCT
iajs-3021	265	5	let	let	VERB
iajs-3021	265	6	𝑢2ℒ	𝑢2ℒ	PRON
iajs-3021	265	7	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	265	8	[	[	X
iajs-3021	265	9	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	265	10	:	:	PUNCT
iajs-3021	265	11	i	i	X
iajs-3021	265	12	]	]	PUNCT
iajs-3021	265	13	for	for	ADP
iajs-3021	265	14	u	u	PROPN
iajs-3021	265	15			PROPN
iajs-3021	265	16	r	r	NOUN
iajs-3021	265	17	,	,	PUNCT
iajs-3021	265	18	ℒ	ℒ	PROPN
iajs-3021	265	19	is	be	AUX
iajs-3021	265	20	a	a	DET
iajs-3021	265	21	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	265	22	of	of	ADP
iajs-3021	265	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	265	24	,	,	PUNCT
iajs-3021	265	25	then	then	ADV
iajs-3021	265	26	𝑢2(iℒ	𝑢2(iℒ	NOUN
iajs-3021	265	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	265	28	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	265	29	ℱ.	ℱ.	NOUN
iajs-3021	265	30	since	since	SCONJ
iajs-3021	265	31	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	265	32	is	be	AUX
iajs-3021	265	33	stpns	stpn	VERB
iajs-3021	265	34	_	_	PRON
iajs-3021	265	35	2	2	NUM
iajs-3021	265	36	_	_	NOUN
iajs-3021	265	37	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	265	38	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	265	39	of	of	ADP
iajs-3021	265	40	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	265	41	then	then	ADV
iajs-3021	265	42	by	by	ADP
iajs-3021	265	43	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	265	44	(	(	PUNCT
iajs-3021	265	45	3.3	3.3	NUM
iajs-3021	265	46	)	)	PUNCT
iajs-3021	265	47	either	either	CCONJ
iajs-3021	265	48	𝑢(iℒ	𝑢(iℒ	PROPN
iajs-3021	265	49	)	)	PUNCT
iajs-3021	265	50	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	265	51	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	265	52	+	+	CCONJ
iajs-3021	265	53	(	(	PUNCT
iajs-3021	265	54	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	265	55	)	)	PUNCT
iajs-3021	265	56	∩	∩	NOUN
iajs-3021	265	57	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	265	58	)	)	PUNCT
iajs-3021	265	59	)	)	PUNCT
iajs-3021	265	60	or	or	CCONJ
iajs-3021	265	61	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	265	62	∈	∈	PROPN
iajs-3021	266	1	[	[	X
iajs-3021	266	2	ℱ	ℱ	X
iajs-3021	266	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	266	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	266	5	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	266	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	266	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	266	8	𝑠𝑜𝑐(ℋ))𝑅	𝑠𝑜𝑐(ℋ))𝑅	NUM
iajs-3021	266	9	:	:	PUNCT
iajs-3021	266	10	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	266	11	]	]	PUNCT
iajs-3021	266	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	267	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	267	2	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	267	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	267	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	267	5	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	267	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	267	7	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	267	8	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	267	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	267	10	implies	imply	VERB
iajs-3021	267	11	that	that	SCONJ
iajs-3021	267	12	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	267	13	+	+	CCONJ
iajs-3021	267	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	267	15	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	267	16	)	)	PUNCT
iajs-3021	267	17	∩	∩	NOUN
iajs-3021	267	18	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	267	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	267	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	268	1	=	=	SYM
iajs-3021	268	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	268	3	.thus	.thus	NUM
iajs-3021	268	4	either	either	CCONJ
iajs-3021	268	5	𝑢(iℒ	𝑢(iℒ	PROPN
iajs-3021	268	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	268	7	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	268	8	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	268	9	or	or	CCONJ
iajs-3021	268	10	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	268	11	∈	∈	PROPN
iajs-3021	269	1	[	[	X
iajs-3021	269	2	ℱ𝑅	ℱ𝑅	NOUN
iajs-3021	269	3	:	:	PUNCT
iajs-3021	269	4	ℋ].that	ℋ].that	PROPN
iajs-3021	269	5	is	be	AUX
iajs-3021	269	6	either	either	CCONJ
iajs-3021	269	7	𝑢ℒ	𝑢ℒ	PROPN
iajs-3021	269	8	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	269	9	[	[	X
iajs-3021	269	10	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	269	11	:	:	PUNCT
iajs-3021	269	12	i	i	X
iajs-3021	269	13	]	]	PUNCT
iajs-3021	269	14	or	or	CCONJ
iajs-3021	269	15	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	269	16	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	269	17	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	269	18	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	270	1	[	[	X
iajs-3021	270	2	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	270	3	:	:	PUNCT
iajs-3021	270	4	i	i	NOUN
iajs-3021	270	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	270	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	271	1	it	it	PRON
iajs-3021	271	2	follows	follow	VERB
iajs-3021	271	3	that	that	SCONJ
iajs-3021	271	4	either	either	CCONJ
iajs-3021	271	5	𝑢ℒ	𝑢ℒ	NOUN
iajs-3021	271	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	272	1	[	[	X
iajs-3021	272	2	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	272	3	:	:	PUNCT
iajs-3021	272	4	i	i	X
iajs-3021	272	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	272	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	273	1	[	[	X
iajs-3021	273	2	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	273	3	:	:	PUNCT
iajs-3021	273	4	i	i	X
iajs-3021	273	5	]	]	X
iajs-3021	273	6	+	+	NUM
iajs-3021	273	7	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	273	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	273	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	273	10	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	273	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	273	12	or	or	CCONJ
iajs-3021	273	13	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	273	14	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	273	15	[	[	X
iajs-3021	273	16	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	273	17	:	:	PUNCT
iajs-3021	273	18	i	i	X
iajs-3021	273	19	]	]	PUNCT
iajs-3021	273	20	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	274	1	[	[	X
iajs-3021	274	2	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	274	3	:	:	PUNCT
iajs-3021	274	4	i	i	X
iajs-3021	274	5	]	]	X
iajs-3021	274	6	+	+	NUM
iajs-3021	274	7	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	274	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	274	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	274	10	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	274	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	274	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	275	1	that	that	PRON
iajs-3021	275	2	is	be	AUX
iajs-3021	275	3	either	either	CCONJ
iajs-3021	275	4	𝑢ℒ	𝑢ℒ	PROPN
iajs-3021	275	5	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	276	1	[	[	X
iajs-3021	276	2	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	276	3	:	:	PUNCT
iajs-3021	276	4	i	i	X
iajs-3021	276	5	]	]	X
iajs-3021	276	6	+	+	NUM
iajs-3021	276	7	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	276	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	276	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	276	10	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	276	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	276	12	or	or	CCONJ
iajs-3021	276	13	𝑢2	𝑢2	PROPN
iajs-3021	276	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	277	1	[	[	X
iajs-3021	277	2	[	[	X
iajs-3021	277	3	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	277	4	:	:	PUNCT
iajs-3021	277	5	i	i	X
iajs-3021	277	6	]	]	X
iajs-3021	277	7	+	+	NUM
iajs-3021	277	8	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	277	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	277	10	∩	∩	NOUN
iajs-3021	277	11	𝑠𝑜𝑐(ℋ)𝑅	𝑠𝑜𝑐(ℋ)𝑅	PROPN
iajs-3021	277	12	:	:	PUNCT
iajs-3021	277	13	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	277	14	]	]	PUNCT
iajs-3021	277	15	.	.	PUNCT
iajs-3021	278	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	278	2	[	[	X
iajs-3021	278	3	ℱℋ	ℱℋ	PROPN
iajs-3021	278	4	:	:	PUNCT
iajs-3021	278	5	i	i	PROPN
iajs-3021	278	6	]	]	PUNCT
iajs-3021	278	7	is	be	AUX
iajs-3021	278	8	stpns	stpn	VERB
iajs-3021	278	9	_	_	PRON
iajs-3021	278	10	2	2	NUM
iajs-3021	278	11	_	_	NOUN
iajs-3021	278	12	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	278	13	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	278	14	of	of	ADP
iajs-3021	278	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	278	16	.	.	PUNCT
iajs-3021	279	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	279	2			PROPN
iajs-3021	279	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	279	4	suppose	suppose	VERB
iajs-3021	279	5	that	that	SCONJ
iajs-3021	279	6	[	[	X
iajs-3021	279	7	ℱℋ	ℱℋ	NOUN
iajs-3021	279	8	:	:	PUNCT
iajs-3021	279	9	i	i	PROPN
iajs-3021	279	10	]	]	PUNCT
iajs-3021	279	11	is	be	AUX
iajs-3021	279	12	stpns	stpn	VERB
iajs-3021	279	13	_	_	PRON
iajs-3021	279	14	2	2	NUM
iajs-3021	279	15	_	_	NOUN
iajs-3021	279	16	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	279	17	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	279	18	of	of	ADP
iajs-3021	279	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	279	20	for	for	ADP
iajs-3021	279	21	every	every	DET
iajs-3021	279	22	non_zero	non_zero	NOUN
iajs-3021	279	23	ideal	ideal	NOUN
iajs-3021	279	24	i	i	PRON
iajs-3021	279	25	of	of	ADP
iajs-3021	279	26	r	r	NOUN
iajs-3021	279	27	.	.	PUNCT
iajs-3021	280	1	put	put	VERB
iajs-3021	280	2	i	i	NOUN
iajs-3021	281	1	=	=	NOUN
iajs-3021	281	2	r	r	NOUN
iajs-3021	281	3	we	we	PRON
iajs-3021	281	4	get	get	VERB
iajs-3021	282	1	[	[	X
iajs-3021	282	2	ℱℋ	ℱℋ	NOUN
iajs-3021	282	3	:	:	PUNCT
iajs-3021	282	4	r	r	X
iajs-3021	282	5	]	]	X
iajs-3021	282	6	=	=	SYM
iajs-3021	282	7	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	282	8	is	be	AUX
iajs-3021	282	9	stpns	stpn	VERB
iajs-3021	282	10	_	_	PRON
iajs-3021	282	11	2	2	NUM
iajs-3021	282	12	_	_	NOUN
iajs-3021	282	13	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	282	14	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	282	15	of	of	ADP
iajs-3021	282	16	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	282	17	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	282	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	283	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	283	2	361	361	NUM
iajs-3021	283	3	4	4	NUM
iajs-3021	283	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	284	1	the	the	DET
iajs-3021	284	2	relations	relation	NOUN
iajs-3021	284	3	of	of	ADP
iajs-3021	284	4	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	284	5	-	-	ADJ
iajs-3021	284	6	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	284	7	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	284	8	with	with	ADP
iajs-3021	284	9	2	2	NUM
iajs-3021	284	10	-	-	PUNCT
iajs-3021	284	11	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	284	12	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	284	13	and	and	CCONJ
iajs-3021	284	14	other	other	ADJ
iajs-3021	284	15	form	form	NOUN
iajs-3021	284	16	of	of	ADP
iajs-3021	284	17	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	284	18	in	in	ADP
iajs-3021	284	19	this	this	DET
iajs-3021	284	20	section	section	NOUN
iajs-3021	284	21	we	we	PRON
iajs-3021	284	22	introduce	introduce	VERB
iajs-3021	284	23	the	the	DET
iajs-3021	284	24	relations	relation	NOUN
iajs-3021	284	25	of	of	ADP
iajs-3021	284	26	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	284	27	-	-	ADJ
iajs-3021	284	28	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	284	29	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	284	30	with	with	ADP
iajs-3021	284	31	2	2	NUM
iajs-3021	284	32	-	-	PUNCT
iajs-3021	284	33	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	284	34	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	284	35	and	and	CCONJ
iajs-3021	284	36	other	other	ADJ
iajs-3021	284	37	form	form	NOUN
iajs-3021	284	38	of	of	ADP
iajs-3021	284	39	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	284	40	.	.	PUNCT
iajs-3021	285	1	the	the	DET
iajs-3021	285	2	converse	converse	NOUN
iajs-3021	285	3	of	of	ADP
iajs-3021	285	4	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	285	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	285	6	examples	example	NOUN
iajs-3021	285	7	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	285	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	285	9	2	2	NUM
iajs-3021	285	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	285	11	is	be	AUX
iajs-3021	285	12	true	true	ADJ
iajs-3021	285	13	under	under	ADP
iajs-3021	285	14	certain	certain	ADJ
iajs-3021	285	15	conditions	condition	NOUN
iajs-3021	285	16	where	where	SCONJ
iajs-3021	285	17	given	give	VERB
iajs-3021	285	18	the	the	DET
iajs-3021	285	19	following	follow	VERB
iajs-3021	285	20	propositions	proposition	NOUN
iajs-3021	285	21	.	.	PUNCT
iajs-3021	286	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	286	2	4.1	4.1	NUM
iajs-3021	286	3	let	let	VERB
iajs-3021	286	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	286	5	be	be	AUX
iajs-3021	286	6	an	an	DET
iajs-3021	286	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	286	8	over	over	ADP
iajs-3021	286	9	a	a	DET
iajs-3021	286	10	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	286	11	ring	ring	NOUN
iajs-3021	286	12	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	286	13	with	with	ADP
iajs-3021	286	14	either	either	DET
iajs-3021	286	15	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	286	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	286	17	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	286	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	286	19	=	=	SYM
iajs-3021	286	20	0	0	NUM
iajs-3021	286	21	or	or	CCONJ
iajs-3021	286	22	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	286	23	(	(	PUNCT
iajs-3021	286	24	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	286	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	286	26	=	=	SYM
iajs-3021	286	27	0	0	NUM
iajs-3021	286	28	,	,	PUNCT
iajs-3021	286	29	and	and	CCONJ
iajs-3021	286	30	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	286	31	is	be	AUX
iajs-3021	286	32	a	a	DET
iajs-3021	286	33	proper	proper	ADJ
iajs-3021	286	34	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	286	35	of	of	ADP
iajs-3021	286	36	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	286	37	then	then	ADV
iajs-3021	286	38	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	286	39	is	be	AUX
iajs-3021	286	40	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	286	41	of	of	ADP
iajs-3021	286	42	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	286	43	if	if	SCONJ
iajs-3021	287	1	and	and	CCONJ
iajs-3021	287	2	only	only	ADV
iajs-3021	287	3	if	if	SCONJ
iajs-3021	287	4	𝛢	𝛢	PRON
iajs-3021	287	5	is	be	AUX
iajs-3021	287	6	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	287	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	287	8	of	of	ADP
iajs-3021	287	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	287	10	proof	proof	NOUN
iajs-3021	287	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	287	12	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	287	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	287	14	let	let	VERB
iajs-3021	287	15	ɑ𝑏𝑦	ɑ𝑏𝑦	NOUN
iajs-3021	287	16	∈	∈	PROPN
iajs-3021	287	17	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	287	18	for	for	ADP
iajs-3021	287	19	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	287	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	287	21	𝑏	𝑏	PROPN
iajs-3021	287	22	∈	∈	PROPN
iajs-3021	287	23	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	287	24	,	,	PUNCT
iajs-3021	287	25	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	287	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	287	27	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	287	28	since	since	SCONJ
iajs-3021	287	29	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	287	30	is	be	AUX
iajs-3021	287	31	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	287	32	ring	ring	NOUN
iajs-3021	287	33	,	,	PUNCT
iajs-3021	287	34	then	then	ADV
iajs-3021	287	35	(	(	PUNCT
iajs-3021	287	36	ɑ𝑏)2𝑦	ɑ𝑏)2𝑦	CCONJ
iajs-3021	287	37	∈	∈	PROPN
iajs-3021	287	38	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	287	39	with	with	ADP
iajs-3021	287	40	(	(	PUNCT
iajs-3021	287	41	ɑ𝑏)2	ɑ𝑏)2	PROPN
iajs-3021	287	42	=	=	SYM
iajs-3021	287	43	(	(	PUNCT
iajs-3021	287	44	𝑎𝑏	𝑎𝑏	NOUN
iajs-3021	287	45	)	)	PUNCT
iajs-3021	287	46	∉	∉	PROPN
iajs-3021	288	1	[	[	X
iajs-3021	288	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	288	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	288	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	5	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	288	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	288	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	288	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	288	10	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	288	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	12	ℋ)):ɍ	ℋ)):ɍ	PROPN
iajs-3021	288	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	288	14	]	]	PUNCT
iajs-3021	288	15	and	and	CCONJ
iajs-3021	288	16	𝑏𝑦	𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	288	17	∉	∉	PROPN
iajs-3021	288	18	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	288	19	+	+	CCONJ
iajs-3021	288	20	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	21	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	288	22	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	288	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	288	25	∩	∩	NOUN
iajs-3021	288	26	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	288	27	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	28	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	288	29	)	)	PUNCT
iajs-3021	288	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	288	31	or	or	CCONJ
iajs-3021	288	32	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	288	33	∈	∈	PROPN
iajs-3021	288	34	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	288	35	+	+	CCONJ
iajs-3021	288	36	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	37	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	288	38	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	39	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	288	40	)	)	PUNCT
iajs-3021	288	41	∩	∩	NOUN
iajs-3021	288	42	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	288	43	(	(	PUNCT
iajs-3021	288	44	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	288	45	)	)	PUNCT
iajs-3021	288	46	)	)	PUNCT
iajs-3021	288	47	.	.	PUNCT
iajs-3021	289	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	289	2	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	289	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	289	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	289	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	289	6	=	=	SYM
iajs-3021	289	7	0	0	NUM
iajs-3021	289	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	289	9	then	then	ADV
iajs-3021	289	10	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	289	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	289	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	289	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	289	14	∩	∩	NOUN
iajs-3021	289	15	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	289	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	289	17	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	289	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	289	19	=	=	SYM
iajs-3021	289	20	0	0	PUNCT
iajs-3021	289	21	so	so	ADV
iajs-3021	289	22	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	289	23	+	+	CCONJ
iajs-3021	289	24	(	(	PUNCT
iajs-3021	289	25	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	289	26	(	(	PUNCT
iajs-3021	289	27	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	289	28	)	)	PUNCT
iajs-3021	289	29	∩	∩	NOUN
iajs-3021	289	30	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	289	31	(	(	PUNCT
iajs-3021	289	32	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	289	33	)	)	PUNCT
iajs-3021	289	34	)	)	PUNCT
iajs-3021	290	1	=	=	SYM
iajs-3021	290	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	290	3	if	if	SCONJ
iajs-3021	290	4	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	PROPN
iajs-3021	290	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	290	6	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	290	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	290	8	=	=	SYM
iajs-3021	290	9	0	0	NUM
iajs-3021	290	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	290	11	then	then	ADV
iajs-3021	290	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	290	13	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	290	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	290	15	∩	∩	NOUN
iajs-3021	290	16	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	290	17	(	(	PUNCT
iajs-3021	290	18	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	290	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	290	20	=	=	SYM
iajs-3021	290	21	0	0	PUNCT
iajs-3021	291	1	so	so	ADV
iajs-3021	291	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	291	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	291	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	291	5	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	291	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	291	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	291	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	291	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	291	10	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	291	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	291	12	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	291	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	291	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	292	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	292	2	𝐴.	𝐴.	NOUN
iajs-3021	292	3	in	in	ADP
iajs-3021	292	4	both	both	DET
iajs-3021	292	5	case	case	NOUN
iajs-3021	292	6	we	we	PRON
iajs-3021	292	7	get	get	VERB
iajs-3021	292	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	292	9	ɑ𝑏)2	ɑ𝑏)2	PROPN
iajs-3021	292	10	=	=	SYM
iajs-3021	292	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	292	12	𝑎𝑏	𝑎𝑏	NOUN
iajs-3021	292	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	292	14	∉	∉	PROPN
iajs-3021	293	1	[	[	X
iajs-3021	293	2	𝐴:ɍ	𝐴:ɍ	PROPN
iajs-3021	293	3	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	293	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	293	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	293	6	𝑏𝑦	𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	293	7	∉	∉	PROPN
iajs-3021	293	8	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	293	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	293	10	to	to	PART
iajs-3021	293	11	prove	prove	VERB
iajs-3021	293	12	that	that	SCONJ
iajs-3021	293	13	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	293	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	293	15	𝐴.	𝐴.	PROPN
iajs-3021	293	16	since	since	SCONJ
iajs-3021	293	17	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	293	18	is	be	AUX
iajs-3021	293	19	a	a	DET
iajs-3021	293	20	stpns	stpns	NOUN
iajs-3021	293	21	_	_	NOUN
iajs-3021	293	22	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	293	23	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	293	24	of	of	ADP
iajs-3021	293	25	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	293	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	293	27	(	(	PUNCT
iajs-3021	293	28	ɑ𝑏)2	ɑ𝑏)2	PROPN
iajs-3021	293	29	∉	∉	PROPN
iajs-3021	294	1	[	[	X
iajs-3021	294	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	294	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	294	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	5	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	294	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	294	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	294	9	∩	∩	NOUN
iajs-3021	294	10	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	294	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	12	ℋ)):ɍ	ℋ)):ɍ	PROPN
iajs-3021	294	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	294	14	]	]	PUNCT
iajs-3021	294	15	,	,	PUNCT
iajs-3021	294	16	implies	imply	VERB
iajs-3021	294	17	that	that	SCONJ
iajs-3021	294	18	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	19	ɑ𝑏)𝑦	ɑ𝑏)𝑦	PROPN
iajs-3021	294	20	∈	∈	PROPN
iajs-3021	294	21	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	294	22	+	+	CCONJ
iajs-3021	294	23	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	24	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	294	25	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	26	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	294	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	294	28	∩	∩	NOUN
iajs-3021	294	29	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	294	30	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	31	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	294	32	)	)	PUNCT
iajs-3021	294	33	)	)	PUNCT
iajs-3021	294	34	that	that	PRON
iajs-3021	294	35	is	be	AUX
iajs-3021	294	36	ɑ(𝑏𝑦	ɑ(𝑏𝑦	NOUN
iajs-3021	294	37	)	)	PUNCT
iajs-3021	294	38	∈	∈	PROPN
iajs-3021	294	39	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	294	40	+	+	CCONJ
iajs-3021	294	41	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	42	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	294	43	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	44	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	294	45	)	)	PUNCT
iajs-3021	294	46	∩	∩	NOUN
iajs-3021	294	47	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	294	48	(	(	PUNCT
iajs-3021	294	49	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	294	50	)	)	PUNCT
iajs-3021	294	51	)	)	PUNCT
iajs-3021	294	52	.	.	PUNCT
iajs-3021	295	1	so	so	ADV
iajs-3021	295	2	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	295	3	is	be	AUX
iajs-3021	295	4	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	295	5	ring	ring	NOUN
iajs-3021	295	6	then	then	ADV
iajs-3021	295	7	ɑ(𝑏𝑦	ɑ(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	295	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	295	9	=	=	SYM
iajs-3021	295	10	ɑ2(𝑏𝑦	ɑ2(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	295	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	295	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	295	13	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	295	14	+	+	CCONJ
iajs-3021	295	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	295	16	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	295	17	(	(	PUNCT
iajs-3021	295	18	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	295	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	295	20	∩	∩	NOUN
iajs-3021	295	21	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	295	22	(	(	PUNCT
iajs-3021	295	23	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	295	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	295	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	295	26	.	.	PUNCT
iajs-3021	296	1	now	now	ADV
iajs-3021	296	2	by	by	ADP
iajs-3021	296	3	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	296	4	2.13	2.13	NUM
iajs-3021	296	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	296	6	we	we	PRON
iajs-3021	296	7	have	have	VERB
iajs-3021	296	8	𝑎	𝑎	PRON
iajs-3021	296	9	=	=	SYM
iajs-3021	296	10	ɑ2𝑏.	ɑ2𝑏.	PROPN
iajs-3021	296	11	thus	thus	ADV
iajs-3021	296	12	ɑ2(𝑏𝑦	ɑ2(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	296	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	296	14	=	=	SYM
iajs-3021	296	15	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	296	16	∈	∈	PROPN
iajs-3021	296	17	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	296	18	+	+	CCONJ
iajs-3021	296	19	(	(	PUNCT
iajs-3021	296	20	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	296	21	(	(	PUNCT
iajs-3021	296	22	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	296	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	296	24	∩	∩	NOUN
iajs-3021	296	25	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	296	26	(	(	PUNCT
iajs-3021	296	27	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	296	28	)	)	PUNCT
iajs-3021	296	29	)	)	PUNCT
iajs-3021	296	30	,	,	PUNCT
iajs-3021	296	31	so	so	ADV
iajs-3021	296	32	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	296	33	+	+	CCONJ
iajs-3021	296	34	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	296	35	(	(	PUNCT
iajs-3021	296	36	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	296	37	)	)	PUNCT
iajs-3021	296	38	∩	∩	NOUN
iajs-3021	296	39	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	296	40	(	(	PUNCT
iajs-3021	296	41	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	296	42	)	)	PUNCT
iajs-3021	296	43	=	=	SYM
iajs-3021	296	44	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	296	45	it	it	PRON
iajs-3021	296	46	follows	follow	VERB
iajs-3021	296	47	that	that	SCONJ
iajs-3021	296	48	𝑎𝑦	𝑎𝑦	VERB
iajs-3021	296	49	∈	∈	PROPN
iajs-3021	296	50	𝐴.	𝐴.	PROPN
iajs-3021	296	51	hence	hence	ADV
iajs-3021	296	52	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	296	53	is	be	AUX
iajs-3021	296	54	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	296	55	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	296	56	of	of	ADP
iajs-3021	296	57	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	296	58	(	(	PUNCT
iajs-3021	296	59	⇐	⇐	ADJ
iajs-3021	296	60	)	)	PUNCT
iajs-3021	296	61	direct	direct	ADJ
iajs-3021	296	62	.	.	PUNCT
iajs-3021	297	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	297	2	4.2	4.2	NUM
iajs-3021	297	3	let	let	VERB
iajs-3021	297	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	297	5	be	be	AUX
iajs-3021	297	6	an	an	DET
iajs-3021	297	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	297	8	over	over	ADP
iajs-3021	297	9	a	a	DET
iajs-3021	297	10	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	297	11	ring	ring	PROPN
iajs-3021	297	12	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	297	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	297	14	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	297	15	is	be	AUX
iajs-3021	297	16	a	a	DET
iajs-3021	297	17	proper	proper	ADJ
iajs-3021	297	18	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	297	19	of	of	ADP
iajs-3021	297	20	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	297	21	then	then	ADV
iajs-3021	297	22	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	297	23	is	be	AUX
iajs-3021	297	24	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	297	25	of	of	ADP
iajs-3021	297	26	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	297	27	if	if	SCONJ
iajs-3021	298	1	and	and	CCONJ
iajs-3021	298	2	only	only	ADV
iajs-3021	298	3	if	if	SCONJ
iajs-3021	298	4	𝛢	𝛢	PRON
iajs-3021	298	5	is	be	AUX
iajs-3021	298	6	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	298	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	298	8	of	of	ADP
iajs-3021	298	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	298	10	proof	proof	NOUN
iajs-3021	298	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	298	12	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	298	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	298	14	since	since	SCONJ
iajs-3021	298	15	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	298	16	is	be	AUX
iajs-3021	298	17	a	a	DET
iajs-3021	298	18	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	298	19	ring	ring	NOUN
iajs-3021	298	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	298	21	then	then	ADV
iajs-3021	298	22	by	by	ADP
iajs-3021	298	23	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	298	24	2.13	2.13	NUM
iajs-3021	298	25	and	and	CCONJ
iajs-3021	298	26	2.15	2.15	NUM
iajs-3021	298	27	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	298	28	(	(	PUNCT
iajs-3021	298	29	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	298	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	298	31	=	=	SYM
iajs-3021	298	32	0	0	NUM
iajs-3021	298	33	,	,	PUNCT
iajs-3021	298	34	so	so	CCONJ
iajs-3021	298	35	(	(	PUNCT
iajs-3021	298	36	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	298	37	(	(	PUNCT
iajs-3021	298	38	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	298	39	)	)	PUNCT
iajs-3021	298	40	∩	∩	NOUN
iajs-3021	298	41	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	298	42	(	(	PUNCT
iajs-3021	298	43	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	298	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	298	45	)	)	PUNCT
iajs-3021	298	46	=	=	PUNCT
iajs-3021	299	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	299	2	0	0	NUM
iajs-3021	299	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	299	4	∩	∩	NOUN
iajs-3021	299	5	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	299	6	(	(	PUNCT
iajs-3021	299	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	299	8	)	)	PUNCT
iajs-3021	299	9	=	=	SYM
iajs-3021	299	10	(	(	PUNCT
iajs-3021	299	11	0	0	NUM
iajs-3021	299	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	299	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	300	1	thus	thus	ADV
iajs-3021	300	2	the	the	DET
iajs-3021	300	3	proof	proof	NOUN
iajs-3021	300	4	follows	follow	VERB
iajs-3021	300	5	as	as	ADP
iajs-3021	300	6	in	in	ADP
iajs-3021	300	7	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	300	8	4.1	4.1	NUM
iajs-3021	300	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	301	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	301	2	⇐	⇐	ADJ
iajs-3021	301	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	301	4	direct	direct	ADJ
iajs-3021	301	5	.	.	PUNCT
iajs-3021	302	1	the	the	DET
iajs-3021	302	2	converse	converse	NOUN
iajs-3021	302	3	of	of	ADP
iajs-3021	302	4	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	302	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	302	6	examples	example	NOUN
iajs-3021	302	7	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	302	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	302	9	3	3	NUM
iajs-3021	302	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	302	11	is	be	AUX
iajs-3021	302	12	true	true	ADJ
iajs-3021	302	13	under	under	ADP
iajs-3021	302	14	certain	certain	ADJ
iajs-3021	302	15	conditions	condition	NOUN
iajs-3021	302	16	where	where	SCONJ
iajs-3021	302	17	given	give	VERB
iajs-3021	302	18	the	the	DET
iajs-3021	302	19	following	follow	VERB
iajs-3021	302	20	propositions	proposition	NOUN
iajs-3021	302	21	.	.	PUNCT
iajs-3021	303	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	303	2	4.3	4.3	NUM
iajs-3021	303	3	let	let	VERB
iajs-3021	303	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	303	5	be	be	AUX
iajs-3021	303	6	an	an	DET
iajs-3021	303	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	303	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	303	9	and	and	CCONJ
iajs-3021	303	10	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	303	11	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	303	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	303	13	with	with	ADP
iajs-3021	303	14	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	NOUN
iajs-3021	303	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	303	16	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	303	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	303	18	=	=	SYM
iajs-3021	303	19	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	303	20	then	then	ADV
iajs-3021	303	21	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	303	22	is	be	AUX
iajs-3021	303	23	nearly_2_absorbing	nearly_2_absorbe	VERB
iajs-3021	303	24	if	if	SCONJ
iajs-3021	303	25	and	and	CCONJ
iajs-3021	303	26	only	only	ADV
iajs-3021	303	27	if	if	SCONJ
iajs-3021	303	28	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	303	29	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	303	30	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	303	31	of	of	ADP
iajs-3021	303	32	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	303	33	proof	proof	NOUN
iajs-3021	303	34	(	(	PUNCT
iajs-3021	303	35	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	303	36	)	)	PUNCT
iajs-3021	303	37	let	let	VERB
iajs-3021	303	38	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	303	39	∈	∈	PROPN
iajs-3021	303	40	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	303	41	for	for	ADP
iajs-3021	303	42	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	303	43	∈	∈	PROPN
iajs-3021	303	44	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	303	45	,	,	PUNCT
iajs-3021	303	46	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	303	47	∈	∈	PROPN
iajs-3021	303	48	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	303	49	,	,	PUNCT
iajs-3021	303	50	that	that	PRON
iajs-3021	303	51	is	be	AUX
iajs-3021	304	1	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	304	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	304	3	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	304	4	𝑦	𝑦	PROPN
iajs-3021	304	5	∈	∈	PROPN
iajs-3021	304	6	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	304	7	with	with	ADP
iajs-3021	304	8	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	304	9	𝑎	𝑎	PROPN
iajs-3021	304	10	∉	∉	PROPN
iajs-3021	305	1	[	[	X
iajs-3021	305	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	305	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	305	4	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	305	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	305	6	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	305	7	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	305	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	305	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	306	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	306	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	306	3	is	be	AUX
iajs-3021	306	4	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	306	5	-	-	PUNCT
iajs-3021	306	6	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	306	7	and	and	CCONJ
iajs-3021	306	8	𝑎.	𝑎.	X
iajs-3021	306	9	𝑎	𝑎	ADJ
iajs-3021	306	10	∉	∉	PROPN
iajs-3021	306	11	[	[	X
iajs-3021	306	12	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	306	13	+	+	CCONJ
iajs-3021	306	14	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	306	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	306	16	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	306	17	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	306	18	]	]	PUNCT
iajs-3021	306	19	,	,	PUNCT
iajs-3021	306	20	then	then	ADV
iajs-3021	306	21	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	306	22	∈	∈	PROPN
iajs-3021	306	23	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	306	24	+	+	CCONJ
iajs-3021	306	25	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	306	26	(	(	PUNCT
iajs-3021	306	27	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	306	28	)	)	PUNCT
iajs-3021	306	29	.	.	PUNCT
iajs-3021	307	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	307	2	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	307	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	307	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	307	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	307	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	307	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	307	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	307	9	so	so	ADV
iajs-3021	307	10	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	307	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	307	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	307	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	307	14	∩	∩	NOUN
iajs-3021	307	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	307	16	=	=	SYM
iajs-3021	307	17	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	307	18	(	(	PUNCT
iajs-3021	307	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	307	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	307	21	,	,	PUNCT
iajs-3021	307	22	that	that	PRON
iajs-3021	307	23	is	be	AUX
iajs-3021	307	24	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	307	25	∈	∈	PROPN
iajs-3021	307	26	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	307	27	+	+	CCONJ
iajs-3021	307	28	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	307	29	(	(	PUNCT
iajs-3021	307	30	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	307	31	)	)	PUNCT
iajs-3021	307	32	∩	∩	NOUN
iajs-3021	307	33	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	307	34	since	since	SCONJ
iajs-3021	307	35	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	PROPN
iajs-3021	307	36	(	(	PUNCT
iajs-3021	307	37	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	307	38	)	)	PUNCT
iajs-3021	308	1	=	=	SYM
iajs-3021	308	2	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	308	3	it	it	PRON
iajs-3021	308	4	follows	follow	VERB
iajs-3021	308	5	that	that	SCONJ
iajs-3021	308	6	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	308	7	∈	∈	PROPN
iajs-3021	308	8	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	308	9	+	+	CCONJ
iajs-3021	308	10	(	(	PUNCT
iajs-3021	308	11	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	308	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	308	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	308	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	308	15	∩	∩	NOUN
iajs-3021	308	16	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	308	17	(	(	PUNCT
iajs-3021	308	18	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	308	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	308	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	308	21	.	.	PUNCT
iajs-3021	309	1	thus	thus	ADV
iajs-3021	309	2	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	309	3	is	be	AUX
iajs-3021	309	4	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	309	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	309	6	of	of	ADP
iajs-3021	309	7	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	309	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	309	9	⇐	⇐	ADJ
iajs-3021	309	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	309	11	direct	direct	ADJ
iajs-3021	309	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	310	1	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	310	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	311	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	311	2	362	362	NUM
iajs-3021	311	3	the	the	DET
iajs-3021	311	4	following	follow	VERB
iajs-3021	311	5	corollary	corollary	NOUN
iajs-3021	311	6	is	be	AUX
iajs-3021	311	7	a	a	DET
iajs-3021	311	8	direct	direct	ADJ
iajs-3021	311	9	result	result	NOUN
iajs-3021	311	10	of	of	ADP
iajs-3021	311	11	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	311	12	4.3	4.3	NUM
iajs-3021	311	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	311	14	corollary	corollary	NOUN
iajs-3021	311	15	4.4	4.4	NUM
iajs-3021	311	16	let	let	VERB
iajs-3021	311	17	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	311	18	be	be	AUX
iajs-3021	311	19	a	a	DET
iajs-3021	311	20	semi	semi	ADJ
iajs-3021	311	21	-	-	ADJ
iajs-3021	311	22	simple	simple	ADJ
iajs-3021	311	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	311	24	and	and	CCONJ
iajs-3021	311	25	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	311	26	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	311	27	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	311	28	.	.	PUNCT
iajs-3021	312	1	then	then	ADV
iajs-3021	312	2	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	312	3	is	be	AUX
iajs-3021	312	4	nearly_2_absorbing	nearly_2_absorbe	VERB
iajs-3021	312	5	if	if	SCONJ
iajs-3021	312	6	and	and	CCONJ
iajs-3021	312	7	only	only	ADV
iajs-3021	312	8	if	if	SCONJ
iajs-3021	312	9	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	312	10	is	be	AUX
iajs-3021	312	11	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	312	12	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	312	13	of	of	ADP
iajs-3021	312	14	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	312	15	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	312	16	4.5	4.5	NUM
iajs-3021	312	17	let	let	VERB
iajs-3021	312	18	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	312	19	be	be	AUX
iajs-3021	312	20	an	an	DET
iajs-3021	312	21	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	312	22	over	over	ADP
iajs-3021	312	23	a	a	DET
iajs-3021	312	24	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	312	25	ring	ring	NOUN
iajs-3021	312	26	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	312	27	,	,	PUNCT
iajs-3021	312	28	and	and	CCONJ
iajs-3021	312	29	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	312	30	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	312	31	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	312	32	.	.	PUNCT
iajs-3021	313	1	then	then	ADV
iajs-3021	313	2	the	the	DET
iajs-3021	313	3	following	follow	VERB
iajs-3021	313	4	are	be	AUX
iajs-3021	313	5	valente	valente	NOUN
iajs-3021	313	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	314	1	1	1	X
iajs-3021	314	2	.	.	X
iajs-3021	314	3	𝛢	𝛢	PRON
iajs-3021	314	4	is	be	AUX
iajs-3021	314	5	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	314	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	314	7	of	of	ADP
iajs-3021	314	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	314	9	2	2	NUM
iajs-3021	314	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	315	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	315	2	is	be	AUX
iajs-3021	315	3	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	315	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	315	5	of	of	ADP
iajs-3021	315	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	315	7	3	3	NUM
iajs-3021	315	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	316	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	316	2	is	be	AUX
iajs-3021	316	3	nearly_2_absorbing	nearly_2_absorbe	VERB
iajs-3021	316	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	316	5	of	of	ADP
iajs-3021	316	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	316	7	proof	proof	NOUN
iajs-3021	316	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	316	9	1	1	X
iajs-3021	316	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	316	11	⇔	⇔	X
iajs-3021	316	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	316	13	2	2	NUM
iajs-3021	316	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	316	15	see	see	VERB
iajs-3021	316	16	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	316	17	4.2	4.2	NUM
iajs-3021	316	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	317	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	317	2	2	2	X
iajs-3021	317	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	317	4	⇔	⇔	X
iajs-3021	317	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	317	6	3	3	NUM
iajs-3021	317	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	317	8	see	see	VERB
iajs-3021	317	9	corollary	corollary	NOUN
iajs-3021	317	10	4.4	4.4	NUM
iajs-3021	317	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	318	1	the	the	DET
iajs-3021	318	2	converse	converse	NOUN
iajs-3021	318	3	of	of	ADP
iajs-3021	318	4	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	318	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	318	6	examples	example	NOUN
iajs-3021	318	7	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	318	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	318	9	4	4	NUM
iajs-3021	318	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	318	11	is	be	AUX
iajs-3021	318	12	true	true	ADJ
iajs-3021	318	13	under	under	ADP
iajs-3021	318	14	certain	certain	ADJ
iajs-3021	318	15	conditions	condition	NOUN
iajs-3021	318	16	where	where	SCONJ
iajs-3021	318	17	given	give	VERB
iajs-3021	318	18	the	the	DET
iajs-3021	318	19	following	follow	VERB
iajs-3021	318	20	propositions	proposition	NOUN
iajs-3021	318	21	.	.	PUNCT
iajs-3021	319	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	319	2	4.6	4.6	NUM
iajs-3021	319	3	let	let	VERB
iajs-3021	319	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	319	5	be	be	AUX
iajs-3021	319	6	an	an	DET
iajs-3021	319	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	319	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	319	9	and	and	CCONJ
iajs-3021	319	10	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	319	11	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	319	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	319	13	with	with	ADP
iajs-3021	319	14	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	319	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	319	16	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	319	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	319	18	=	=	SYM
iajs-3021	319	19	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	319	20	then	then	ADV
iajs-3021	319	21	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	319	22	is	be	AUX
iajs-3021	319	23	pseudo_2_absorbing	pseudo_2_absorbe	VERB
iajs-3021	319	24	if	if	SCONJ
iajs-3021	319	25	and	and	CCONJ
iajs-3021	319	26	only	only	ADV
iajs-3021	319	27	if	if	SCONJ
iajs-3021	319	28	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	319	29	is	be	AUX
iajs-3021	319	30	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	319	31	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	319	32	of	of	ADP
iajs-3021	319	33	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	319	34	proof	proof	NOUN
iajs-3021	319	35	(	(	PUNCT
iajs-3021	319	36	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	319	37	)	)	PUNCT
iajs-3021	319	38	let	let	VERB
iajs-3021	319	39	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	319	40	∈	∈	PROPN
iajs-3021	319	41	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	319	42	for	for	ADP
iajs-3021	319	43	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	319	44	∈	∈	PROPN
iajs-3021	319	45	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	319	46	,	,	PUNCT
iajs-3021	319	47	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	319	48	∈	∈	PROPN
iajs-3021	319	49	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	319	50	,	,	PUNCT
iajs-3021	319	51	that	that	PRON
iajs-3021	319	52	is	be	AUX
iajs-3021	320	1	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	320	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	320	3	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	320	4	𝑦	𝑦	PROPN
iajs-3021	320	5	∈	∈	PROPN
iajs-3021	320	6	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	320	7	with	with	ADP
iajs-3021	320	8	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	320	9	𝑎	𝑎	PROPN
iajs-3021	320	10	∉	∉	PROPN
iajs-3021	321	1	[	[	X
iajs-3021	321	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	321	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	321	4	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	321	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	321	6	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	321	7	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	321	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	321	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	322	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	322	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	322	3	is	be	AUX
iajs-3021	322	4	pseudo-2	pseudo-2	VERB
iajs-3021	322	5	-	-	PUNCT
iajs-3021	322	6	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	322	7	and	and	CCONJ
iajs-3021	322	8	𝑎.	𝑎.	X
iajs-3021	322	9	𝑎	𝑎	ADJ
iajs-3021	322	10	∉	∉	PROPN
iajs-3021	323	1	[	[	X
iajs-3021	323	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	323	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	323	4	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	323	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	323	6	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	323	7	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	323	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	323	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	323	10	then	then	ADV
iajs-3021	323	11	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	323	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	323	13	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	323	14	+	+	CCONJ
iajs-3021	323	15	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	323	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	323	17	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	323	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	323	19	.	.	PUNCT
iajs-3021	324	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	324	2	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	324	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	324	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	324	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	324	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	324	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	324	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	324	9	so	so	SCONJ
iajs-3021	324	10	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	324	11	∩	∩	ADJ
iajs-3021	324	12	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	324	13	(	(	PUNCT
iajs-3021	324	14	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	324	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	324	16	=	=	SYM
iajs-3021	324	17	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	324	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	324	19	,	,	PUNCT
iajs-3021	324	20	that	that	PRON
iajs-3021	324	21	is	be	AUX
iajs-3021	324	22	either	either	CCONJ
iajs-3021	324	23	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	324	24	∈	∈	PROPN
iajs-3021	324	25	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	324	26	+	+	CCONJ
iajs-3021	324	27	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	324	28	∩	∩	ADJ
iajs-3021	324	29	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	324	30	(	(	PUNCT
iajs-3021	324	31	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	324	32	)	)	PUNCT
iajs-3021	324	33	.	.	PUNCT
iajs-3021	325	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	325	2	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	325	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	325	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	325	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	325	6	=	=	SYM
iajs-3021	325	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	325	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	325	9	it	it	PRON
iajs-3021	325	10	follows	follow	VERB
iajs-3021	325	11	that	that	SCONJ
iajs-3021	325	12	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	325	13	∈	∈	PROPN
iajs-3021	325	14	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	325	15	+	+	CCONJ
iajs-3021	325	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	325	17	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	325	18	(	(	PUNCT
iajs-3021	325	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	325	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	325	21	∩	∩	NOUN
iajs-3021	325	22	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	325	23	(	(	PUNCT
iajs-3021	325	24	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	325	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	325	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	325	27	.	.	PUNCT
iajs-3021	326	1	thus	thus	ADV
iajs-3021	326	2	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	326	3	is	be	AUX
iajs-3021	326	4	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	326	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	326	6	of	of	ADP
iajs-3021	326	7	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	326	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	326	9	⇐	⇐	ADJ
iajs-3021	326	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	326	11	direct	direct	ADJ
iajs-3021	326	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	327	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	327	2	4.7	4.7	NUM
iajs-3021	327	3	let	let	VERB
iajs-3021	327	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	327	5	be	be	AUX
iajs-3021	327	6	an	an	DET
iajs-3021	327	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	327	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	327	9	and	and	CCONJ
iajs-3021	327	10	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	327	11	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	327	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	327	13	with	with	ADP
iajs-3021	327	14	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	NOUN
iajs-3021	327	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	327	16	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	327	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	327	18	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	327	19	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	327	20	and	and	CCONJ
iajs-3021	327	21	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	327	22	(	(	PUNCT
iajs-3021	327	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	327	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	327	25	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	327	26	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	327	27	.	.	PUNCT
iajs-3021	328	1	then	then	ADV
iajs-3021	328	2	the	the	DET
iajs-3021	328	3	following	follow	VERB
iajs-3021	328	4	are	be	AUX
iajs-3021	328	5	valente	valente	NOUN
iajs-3021	328	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	328	7	1	1	NUM
iajs-3021	328	8	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	328	9	is	be	AUX
iajs-3021	328	10	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	328	11	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	328	12	of	of	ADP
iajs-3021	328	13	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	328	14	2	2	NUM
iajs-3021	328	15	.	.	PUNCT
iajs-3021	329	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	329	2	is	be	AUX
iajs-3021	329	3	pseudo_2_absorbing	pseudo_2_absorbe	VERB
iajs-3021	329	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	329	5	of	of	ADP
iajs-3021	329	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	329	7	3	3	NUM
iajs-3021	329	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	330	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	330	2	is	be	AUX
iajs-3021	330	3	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	330	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	330	5	of	of	ADP
iajs-3021	330	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	330	7	4	4	NUM
iajs-3021	330	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	331	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	331	2	is	be	AUX
iajs-3021	331	3	nearly_2_absorbing	nearly_2_absorbe	VERB
iajs-3021	331	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	331	5	of	of	ADP
iajs-3021	331	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	331	7	proof	proof	NOUN
iajs-3021	331	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	331	9	1	1	X
iajs-3021	331	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	331	11	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	331	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	331	13	2	2	X
iajs-3021	331	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	331	15	direct	direct	ADJ
iajs-3021	331	16	by	by	ADP
iajs-3021	331	17	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	331	18	2.19	2.19	NUM
iajs-3021	331	19	.	.	PUNCT
iajs-3021	332	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	332	2	2	2	X
iajs-3021	332	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	332	4	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	332	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	332	6	3	3	X
iajs-3021	332	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	332	8	let	let	VERB
iajs-3021	332	9	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	332	10	∈	∈	PROPN
iajs-3021	332	11	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	332	12	for	for	ADP
iajs-3021	332	13	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	332	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	332	15	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	332	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	332	17	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	332	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	332	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	332	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	332	21	that	that	PRON
iajs-3021	332	22	is	be	AUX
iajs-3021	333	1	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	333	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	333	3	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	333	4	𝑦	𝑦	PROPN
iajs-3021	333	5	∈	∈	PROPN
iajs-3021	333	6	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	333	7	with	with	ADP
iajs-3021	333	8	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	333	9	𝑎	𝑎	PROPN
iajs-3021	333	10	∉	∉	PROPN
iajs-3021	334	1	[	[	X
iajs-3021	334	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	334	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	334	4	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	334	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	334	6	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	334	7	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	334	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	334	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	335	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	335	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	335	3	is	be	AUX
iajs-3021	335	4	pseudo-2	pseudo-2	VERB
iajs-3021	335	5	-	-	PUNCT
iajs-3021	335	6	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	335	7	and	and	CCONJ
iajs-3021	335	8	𝑎.	𝑎.	X
iajs-3021	335	9	𝑎	𝑎	ADJ
iajs-3021	335	10	∉	∉	PROPN
iajs-3021	336	1	[	[	X
iajs-3021	336	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	336	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	336	4	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	336	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	336	6	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	336	7	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	336	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	336	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	336	10	then	then	ADV
iajs-3021	336	11	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	336	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	336	13	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	336	14	+	+	CCONJ
iajs-3021	336	15	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	336	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	336	17	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	336	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	336	19	.	.	PUNCT
iajs-3021	337	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	337	2	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	337	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	337	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	337	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	337	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	337	7	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	337	8	then	then	ADV
iajs-3021	337	9	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	337	10	+	+	CCONJ
iajs-3021	337	11	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	337	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	337	13	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	337	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	337	15	=	=	SYM
iajs-3021	337	16	𝛢.	𝛢.	PROPN
iajs-3021	337	17	thus	thus	ADV
iajs-3021	337	18	either	either	CCONJ
iajs-3021	337	19	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	337	20	∈	∈	PROPN
iajs-3021	337	21	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	337	22	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	337	23	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	337	24	+	+	CCONJ
iajs-3021	337	25	(	(	PUNCT
iajs-3021	337	26	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	337	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	337	28	∩	∩	NOUN
iajs-3021	337	29	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	337	30	(	(	PUNCT
iajs-3021	337	31	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	337	32	)	)	PUNCT
iajs-3021	337	33	)	)	PUNCT
iajs-3021	337	34	.	.	PUNCT
iajs-3021	338	1	that	that	PRON
iajs-3021	338	2	is	be	AUX
iajs-3021	338	3	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	338	4	is	be	AUX
iajs-3021	338	5	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	338	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	338	7	of	of	ADP
iajs-3021	338	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	338	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	338	10	3	3	NUM
iajs-3021	338	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	338	12	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	338	13	(	(	PUNCT
iajs-3021	338	14	4	4	X
iajs-3021	338	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	338	16	direct	direct	ADJ
iajs-3021	338	17	by	by	ADP
iajs-3021	338	18	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	338	19	and	and	CCONJ
iajs-3021	338	20	examples	example	NOUN
iajs-3021	338	21	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	338	22	(	(	PUNCT
iajs-3021	338	23	3	3	NUM
iajs-3021	338	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	338	25	.	.	PUNCT
iajs-3021	339	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	339	2	4	4	X
iajs-3021	339	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	339	4	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	339	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	339	6	1	1	X
iajs-3021	339	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	339	8	direct	direct	ADJ
iajs-3021	339	9	by	by	ADP
iajs-3021	339	10	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	339	11	2.19	2.19	NUM
iajs-3021	339	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	339	13	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	339	14	.	.	PUNCT
iajs-3021	340	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	340	2	363	363	NUM
iajs-3021	340	3	the	the	DET
iajs-3021	340	4	converse	converse	NOUN
iajs-3021	340	5	of	of	ADP
iajs-3021	340	6	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	340	7	and	and	CCONJ
iajs-3021	340	8	examples	example	NOUN
iajs-3021	340	9	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	340	10	(	(	PUNCT
iajs-3021	340	11	5	5	NUM
iajs-3021	340	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	340	13	is	be	AUX
iajs-3021	340	14	true	true	ADJ
iajs-3021	340	15	under	under	ADP
iajs-3021	340	16	certain	certain	ADJ
iajs-3021	340	17	conditions	condition	NOUN
iajs-3021	340	18	where	where	SCONJ
iajs-3021	340	19	given	give	VERB
iajs-3021	340	20	the	the	DET
iajs-3021	340	21	following	follow	VERB
iajs-3021	340	22	propositions	proposition	NOUN
iajs-3021	340	23	.	.	PUNCT
iajs-3021	341	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	341	2	4.8	4.8	NUM
iajs-3021	341	3	let	let	VERB
iajs-3021	341	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	341	5	be	be	AUX
iajs-3021	341	6	a	a	DET
iajs-3021	341	7	semi	semi	ADJ
iajs-3021	341	8	-	-	ADJ
iajs-3021	341	9	simple	simple	ADJ
iajs-3021	341	10	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	341	11	,	,	PUNCT
iajs-3021	341	12	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	341	13	is	be	AUX
iajs-3021	341	14	a	a	DET
iajs-3021	341	15	proper	proper	ADJ
iajs-3021	341	16	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	341	17	of	of	ADP
iajs-3021	341	18	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	341	19	.	.	PUNCT
iajs-3021	342	1	then	then	ADV
iajs-3021	342	2	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	342	3	is	be	AUX
iajs-3021	342	4	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	342	5	of	of	ADP
iajs-3021	342	6	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	342	7	if	if	SCONJ
iajs-3021	342	8	and	and	CCONJ
iajs-3021	342	9	only	only	ADV
iajs-3021	342	10	if	if	SCONJ
iajs-3021	342	11	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	342	12	is	be	AUX
iajs-3021	342	13	semi	semi	ADJ
iajs-3021	342	14	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	342	15	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	342	16	of	of	ADP
iajs-3021	342	17	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	342	18	proof	proof	NOUN
iajs-3021	342	19	(	(	PUNCT
iajs-3021	342	20	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	342	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	342	22	let	let	VERB
iajs-3021	342	23	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	342	24	∈	∈	PROPN
iajs-3021	342	25	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	342	26	for	for	ADP
iajs-3021	342	27	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	342	28	∈	∈	PROPN
iajs-3021	342	29	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	342	30	,	,	PUNCT
iajs-3021	342	31	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	342	32	∈	∈	PROPN
iajs-3021	342	33	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	342	34	since	since	SCONJ
iajs-3021	342	35	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	342	36	is	be	AUX
iajs-3021	342	37	stpns_2	stpns_2	NOUN
iajs-3021	342	38	_	_	PRON
iajs-3021	342	39	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	342	40	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	342	41	of	of	ADP
iajs-3021	342	42	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	342	43	,	,	PUNCT
iajs-3021	342	44	then	then	ADV
iajs-3021	342	45	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	342	46	∈	∈	PROPN
iajs-3021	342	47	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	342	48	+	+	CCONJ
iajs-3021	342	49	(	(	PUNCT
iajs-3021	342	50	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	342	51	)	)	PUNCT
iajs-3021	343	1	∩	∩	NOUN
iajs-3021	343	2	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	343	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	343	4	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	343	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	343	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	343	7	or	or	CCONJ
iajs-3021	343	8	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	343	9	∈	∈	PROPN
iajs-3021	344	1	[	[	X
iajs-3021	344	2	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	344	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	344	4	(	(	PUNCT
iajs-3021	344	5	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	344	6	)	)	PUNCT
iajs-3021	344	7	∩	∩	NOUN
iajs-3021	344	8	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	344	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	344	10	ℋ)):ɍ	ℋ)):ɍ	PROPN
iajs-3021	344	11	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	344	12	]	]	PUNCT
iajs-3021	344	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	345	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	345	2	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	345	3	is	be	AUX
iajs-3021	345	4	semi	semi	ADJ
iajs-3021	345	5	-	-	ADJ
iajs-3021	345	6	simple	simple	ADJ
iajs-3021	345	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	345	8	then	then	ADV
iajs-3021	345	9	by	by	ADP
iajs-3021	345	10	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	345	11	2.17	2.17	NUM
iajs-3021	345	12	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	345	13	(	(	PUNCT
iajs-3021	345	14	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	345	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	345	16	=	=	SYM
iajs-3021	345	17	0	0	NUM
iajs-3021	345	18	,	,	PUNCT
iajs-3021	345	19	so	so	CCONJ
iajs-3021	345	20	(	(	PUNCT
iajs-3021	345	21	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	345	22	(	(	PUNCT
iajs-3021	345	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	345	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	345	25	∩	∩	NOUN
iajs-3021	345	26	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	345	27	(	(	PUNCT
iajs-3021	345	28	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	345	29	)	)	PUNCT
iajs-3021	345	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	346	1	=	=	PUNCT
iajs-3021	346	2	(	(	PUNCT
iajs-3021	346	3	0	0	NUM
iajs-3021	346	4	)	)	PUNCT
iajs-3021	346	5	∩	∩	NOUN
iajs-3021	346	6	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	346	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	346	8	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	346	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	346	10	=	=	SYM
iajs-3021	346	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	346	12	0	0	NUM
iajs-3021	346	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	346	14	.	.	PUNCT
iajs-3021	347	1	thus	thus	ADV
iajs-3021	347	2	either	either	CCONJ
iajs-3021	347	3	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	347	4	∈	∈	PROPN
iajs-3021	347	5	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	347	6	or	or	CCONJ
iajs-3021	347	7	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	347	8	∈	∈	PROPN
iajs-3021	348	1	[	[	X
iajs-3021	348	2	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	348	3	∶ɍ	∶ɍ	PROPN
iajs-3021	348	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	348	5	]	]	PUNCT
iajs-3021	348	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	349	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	349	2	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	349	3	is	be	AUX
iajs-3021	349	4	a	a	DET
iajs-3021	349	5	semi	semi	ADJ
iajs-3021	349	6	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	349	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	349	8	of	of	ADP
iajs-3021	349	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	349	10	(	(	PUNCT
iajs-3021	349	11	⇐	⇐	ADJ
iajs-3021	349	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	349	13	direct	direct	ADJ
iajs-3021	349	14	.	.	PUNCT
iajs-3021	350	1	the	the	DET
iajs-3021	350	2	converse	converse	NOUN
iajs-3021	350	3	of	of	ADP
iajs-3021	350	4	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	350	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	350	6	examples	example	NOUN
iajs-3021	350	7	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	350	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	350	9	6	6	NUM
iajs-3021	350	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	350	11	is	be	AUX
iajs-3021	350	12	true	true	ADJ
iajs-3021	350	13	under	under	ADP
iajs-3021	350	14	certain	certain	ADJ
iajs-3021	350	15	conditions	condition	NOUN
iajs-3021	350	16	where	where	SCONJ
iajs-3021	350	17	given	give	VERB
iajs-3021	350	18	the	the	DET
iajs-3021	350	19	following	follow	VERB
iajs-3021	350	20	propositions	proposition	NOUN
iajs-3021	350	21	.	.	PUNCT
iajs-3021	351	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	351	2	4.9	4.9	NUM
iajs-3021	351	3	let	let	VERB
iajs-3021	351	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	351	5	be	be	AUX
iajs-3021	351	6	an	an	DET
iajs-3021	351	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	351	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	351	9	and	and	CCONJ
iajs-3021	351	10	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	351	11	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	351	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	351	13	with	with	ADP
iajs-3021	351	14	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	NOUN
iajs-3021	351	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	351	16	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	351	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	351	18	=	=	SYM
iajs-3021	351	19	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	351	20	then	then	ADV
iajs-3021	351	21	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	351	22	is	be	AUX
iajs-3021	351	23	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	351	24	semi	semi	ADJ
iajs-3021	351	25	_	_	NOUN
iajs-3021	351	26	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	351	27	if	if	SCONJ
iajs-3021	351	28	and	and	CCONJ
iajs-3021	351	29	only	only	ADV
iajs-3021	351	30	if	if	SCONJ
iajs-3021	351	31	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	351	32	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	351	33	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	351	34	of	of	ADP
iajs-3021	351	35	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	351	36	proof	proof	NOUN
iajs-3021	351	37	(	(	PUNCT
iajs-3021	351	38	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	351	39	)	)	PUNCT
iajs-3021	351	40	let	let	VERB
iajs-3021	351	41	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	351	42	∈	∈	PROPN
iajs-3021	351	43	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	351	44	for	for	ADP
iajs-3021	351	45	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	351	46	∈	∈	PROPN
iajs-3021	351	47	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	351	48	,	,	PUNCT
iajs-3021	351	49	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	351	50	∈	∈	PROPN
iajs-3021	351	51	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	351	52	since	since	SCONJ
iajs-3021	351	53	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	351	54	is	be	AUX
iajs-3021	351	55	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	351	56	semi	semi	ADJ
iajs-3021	351	57	_	_	NOUN
iajs-3021	351	58	2	2	NUM
iajs-3021	352	1	_	_	NOUN
iajs-3021	352	2	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	352	3	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	352	4	of	of	ADP
iajs-3021	352	5	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	352	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	352	7	then	then	ADV
iajs-3021	352	8	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	352	9	∈	∈	PROPN
iajs-3021	352	10	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	352	11	+	+	CCONJ
iajs-3021	352	12	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	352	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	352	14	or	or	CCONJ
iajs-3021	352	15	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	352	16	∈	∈	PROPN
iajs-3021	352	17	[	[	X
iajs-3021	352	18	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	352	19	+	+	CCONJ
iajs-3021	352	20	𝐽(ℋ):ɍ	𝐽(ℋ):ɍ	PROPN
iajs-3021	352	21	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	352	22	]	]	PUNCT
iajs-3021	352	23	.	.	PUNCT
iajs-3021	353	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	353	2	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	353	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	353	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	353	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	353	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	353	9	so	so	ADV
iajs-3021	353	10	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	353	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	353	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	353	14	∩	∩	NOUN
iajs-3021	353	15	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	16	=	=	SYM
iajs-3021	353	17	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	353	18	(	(	PUNCT
iajs-3021	353	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	353	21	,	,	PUNCT
iajs-3021	353	22	that	that	PRON
iajs-3021	353	23	is	be	AUX
iajs-3021	353	24	either	either	CCONJ
iajs-3021	353	25	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	353	26	∈	∈	PROPN
iajs-3021	353	27	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	353	28	+	+	CCONJ
iajs-3021	353	29	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	353	30	(	(	PUNCT
iajs-3021	353	31	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	32	)	)	PUNCT
iajs-3021	353	33	∩	∩	ADJ
iajs-3021	353	34	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	353	35	or	or	CCONJ
iajs-3021	353	36	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	353	37	∈	∈	PROPN
iajs-3021	353	38	[	[	X
iajs-3021	353	39	𝐴	𝐴	X
iajs-3021	353	40	+	+	CCONJ
iajs-3021	353	41	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	353	42	(	(	PUNCT
iajs-3021	353	43	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	44	)	)	PUNCT
iajs-3021	353	45	∩	∩	NOUN
iajs-3021	353	46	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	47	∶ɍ	∶ɍ	PROPN
iajs-3021	353	48	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	353	49	]	]	PUNCT
iajs-3021	353	50	.	.	PUNCT
iajs-3021	354	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	354	2	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	PROPN
iajs-3021	354	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	354	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	354	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	354	6	=	=	SYM
iajs-3021	354	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	354	8	it	it	PRON
iajs-3021	354	9	follows	follow	VERB
iajs-3021	354	10	that	that	SCONJ
iajs-3021	354	11	either	either	CCONJ
iajs-3021	354	12	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	354	13	∈	∈	PROPN
iajs-3021	354	14	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	354	15	+	+	CCONJ
iajs-3021	354	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	354	17	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	354	18	(	(	PUNCT
iajs-3021	354	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	354	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	354	21	∩	∩	NOUN
iajs-3021	354	22	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	354	23	(	(	PUNCT
iajs-3021	354	24	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	354	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	354	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	354	27	or	or	CCONJ
iajs-3021	354	28	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	354	29	∈	∈	PROPN
iajs-3021	354	30	[	[	X
iajs-3021	354	31	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	354	32	+	+	CCONJ
iajs-3021	354	33	(	(	PUNCT
iajs-3021	354	34	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	354	35	)	)	PUNCT
iajs-3021	354	36	∩	∩	NOUN
iajs-3021	354	37	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	354	38	(	(	PUNCT
iajs-3021	354	39	ℋ)):ɍ	ℋ)):ɍ	PROPN
iajs-3021	354	40	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	354	41	]	]	PUNCT
iajs-3021	354	42	.	.	PUNCT
iajs-3021	355	1	thus	thus	ADV
iajs-3021	355	2	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	355	3	is	be	AUX
iajs-3021	355	4	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	355	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	355	6	of	of	ADP
iajs-3021	355	7	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	355	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	355	9	⇐	⇐	ADJ
iajs-3021	355	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	355	11	direct	direct	ADJ
iajs-3021	355	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	356	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	356	2	4.10	4.10	NUM
iajs-3021	356	3	let	let	VERB
iajs-3021	356	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	356	5	be	be	AUX
iajs-3021	356	6	an	an	DET
iajs-3021	356	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	356	8	over	over	ADP
iajs-3021	356	9	a	a	DET
iajs-3021	356	10	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	356	11	ring	ring	NOUN
iajs-3021	356	12	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	356	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	356	14	and	and	CCONJ
iajs-3021	356	15	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	356	16	is	be	AUX
iajs-3021	356	17	a	a	DET
iajs-3021	356	18	proper	proper	ADJ
iajs-3021	356	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	356	20	of	of	ADP
iajs-3021	356	21	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	356	22	with	with	ADP
iajs-3021	356	23	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	356	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	356	25	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	356	26	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	356	27	.	.	PUNCT
iajs-3021	357	1	then	then	ADV
iajs-3021	357	2	the	the	DET
iajs-3021	357	3	following	follow	VERB
iajs-3021	357	4	are	be	AUX
iajs-3021	357	5	statement	statement	NOUN
iajs-3021	357	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	357	7	1	1	NUM
iajs-3021	357	8	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	357	9	is	be	AUX
iajs-3021	357	10	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	357	11	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	357	12	of	of	ADP
iajs-3021	357	13	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	357	14	2	2	NUM
iajs-3021	357	15	.	.	PUNCT
iajs-3021	358	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	358	2	is	be	AUX
iajs-3021	358	3	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	358	4	semi	semi	ADJ
iajs-3021	358	5	_	_	NOUN
iajs-3021	358	6	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	358	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	358	8	of	of	ADP
iajs-3021	358	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	358	10	3	3	NUM
iajs-3021	358	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	359	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	359	2	is	be	AUX
iajs-3021	359	3	semi	semi	ADJ
iajs-3021	359	4	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	359	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	359	6	of	of	ADP
iajs-3021	359	7	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	359	8	4	4	NUM
iajs-3021	359	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	360	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	360	2	is	be	AUX
iajs-3021	360	3	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	360	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	360	5	of	of	ADP
iajs-3021	360	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	360	7	proof	proof	NOUN
iajs-3021	360	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	360	9	1	1	X
iajs-3021	360	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	360	11	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	360	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	360	13	2	2	X
iajs-3021	360	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	360	15	direct	direct	ADJ
iajs-3021	360	16	by	by	ADP
iajs-3021	360	17	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	360	18	and	and	CCONJ
iajs-3021	360	19	examples	example	NOUN
iajs-3021	360	20	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	360	21	(	(	PUNCT
iajs-3021	360	22	6	6	NUM
iajs-3021	360	23	)	)	PUNCT
iajs-3021	360	24	.	.	PUNCT
iajs-3021	361	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	361	2	2	2	X
iajs-3021	361	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	361	4	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	361	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	361	6	3	3	X
iajs-3021	361	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	361	8	direct	direct	ADJ
iajs-3021	361	9	by	by	ADP
iajs-3021	361	10	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	361	11	2.20	2.20	NUM
iajs-3021	361	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	362	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	362	2	3	3	X
iajs-3021	362	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	362	4	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	362	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	362	6	4	4	X
iajs-3021	362	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	362	8	let	let	VERB
iajs-3021	362	9	ɑ𝑏𝑦	ɑ𝑏𝑦	NOUN
iajs-3021	362	10	∈	∈	PROPN
iajs-3021	362	11	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	362	12	for	for	ADP
iajs-3021	362	13	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	362	14	,	,	PUNCT
iajs-3021	362	15	𝑏	𝑏	PROPN
iajs-3021	362	16	∈	∈	PROPN
iajs-3021	362	17	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	362	18	,	,	PUNCT
iajs-3021	362	19	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	362	20	∈	∈	PROPN
iajs-3021	362	21	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	362	22	since	since	SCONJ
iajs-3021	362	23	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	362	24	is	be	AUX
iajs-3021	362	25	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	362	26	ring	ring	NOUN
iajs-3021	362	27	,	,	PUNCT
iajs-3021	362	28	then	then	ADV
iajs-3021	362	29	(	(	PUNCT
iajs-3021	362	30	ɑ𝑏)2𝑦	ɑ𝑏)2𝑦	CCONJ
iajs-3021	362	31	∈	∈	PROPN
iajs-3021	362	32	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	362	33	with	with	ADP
iajs-3021	362	34	(	(	PUNCT
iajs-3021	362	35	ɑ𝑏)2	ɑ𝑏)2	PROPN
iajs-3021	362	36	=	=	SYM
iajs-3021	362	37	(	(	PUNCT
iajs-3021	362	38	𝑎𝑏	𝑎𝑏	NOUN
iajs-3021	362	39	)	)	PUNCT
iajs-3021	362	40	∉	∉	PROPN
iajs-3021	363	1	[	[	X
iajs-3021	363	2	𝐴:ɍ	𝐴:ɍ	PROPN
iajs-3021	363	3	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	363	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	363	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	363	6	𝑏𝑦	𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	363	7	∉	∉	PROPN
iajs-3021	363	8	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	363	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	363	10	to	to	PART
iajs-3021	363	11	prove	prove	VERB
iajs-3021	363	12	that	that	SCONJ
iajs-3021	363	13	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	363	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	363	15	𝐴.	𝐴.	PROPN
iajs-3021	363	16	since	since	SCONJ
iajs-3021	363	17	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	363	18	is	be	AUX
iajs-3021	363	19	a	a	DET
iajs-3021	363	20	semi	semi	ADJ
iajs-3021	363	21	_	_	PRON
iajs-3021	363	22	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	363	23	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	363	24	of	of	ADP
iajs-3021	363	25	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	363	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	363	27	(	(	PUNCT
iajs-3021	363	28	ɑ𝑏)2	ɑ𝑏)2	PROPN
iajs-3021	363	29	∉	∉	PROPN
iajs-3021	364	1	[	[	X
iajs-3021	364	2	𝐴:ɍ	𝐴:ɍ	PROPN
iajs-3021	364	3	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	364	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	364	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	364	6	implies	imply	VERB
iajs-3021	364	7	that	that	SCONJ
iajs-3021	364	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	364	9	ɑ𝑏)𝑦	ɑ𝑏)𝑦	PROPN
iajs-3021	364	10	∈	∈	PROPN
iajs-3021	364	11	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	364	12	that	that	PRON
iajs-3021	364	13	is	be	AUX
iajs-3021	364	14	ɑ(𝑏𝑦	ɑ(𝑏𝑦	NOUN
iajs-3021	364	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	364	16	∈	∈	NOUN
iajs-3021	364	17	𝐴.so	𝐴.so	PROPN
iajs-3021	364	18	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	364	19	is	be	AUX
iajs-3021	364	20	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	364	21	ring	ring	NOUN
iajs-3021	364	22	then	then	ADV
iajs-3021	364	23	ɑ(𝑏𝑦	ɑ(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	364	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	364	25	=	=	SYM
iajs-3021	364	26	ɑ2(𝑏𝑦	ɑ2(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	364	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	364	28	∈	∈	PROPN
iajs-3021	364	29	𝐴.	𝐴.	PROPN
iajs-3021	364	30	now	now	ADV
iajs-3021	364	31	by	by	ADP
iajs-3021	364	32	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	364	33	2.13	2.13	NUM
iajs-3021	364	34	we	we	PRON
iajs-3021	364	35	have	have	VERB
iajs-3021	364	36	𝑎	𝑎	PRON
iajs-3021	364	37	=	=	SYM
iajs-3021	364	38	ɑ2𝑏.	ɑ2𝑏.	PROPN
iajs-3021	364	39	thus	thus	ADV
iajs-3021	364	40	ɑ2(𝑏𝑦	ɑ2(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	364	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	364	42	=	=	SYM
iajs-3021	364	43	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	364	44	∈	∈	NOUN
iajs-3021	364	45	𝐴.	𝐴.	NOUN
iajs-3021	364	46	hence	hence	ADV
iajs-3021	364	47	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	364	48	is	be	AUX
iajs-3021	364	49	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	364	50	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	364	51	of	of	ADP
iajs-3021	364	52	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	364	53	(	(	PUNCT
iajs-3021	364	54	4	4	NUM
iajs-3021	364	55	)	)	PUNCT
iajs-3021	364	56	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	364	57	(	(	PUNCT
iajs-3021	364	58	1	1	X
iajs-3021	364	59	)	)	PUNCT
iajs-3021	364	60	direct	direct	ADJ
iajs-3021	364	61	by	by	ADP
iajs-3021	364	62	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	364	63	and	and	CCONJ
iajs-3021	364	64	examples	example	NOUN
iajs-3021	364	65	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	364	66	(	(	PUNCT
iajs-3021	364	67	2	2	NUM
iajs-3021	364	68	)	)	PUNCT
iajs-3021	364	69	.	.	PUNCT
iajs-3021	365	1	the	the	DET
iajs-3021	365	2	following	follow	VERB
iajs-3021	365	3	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	365	4	we	we	PRON
iajs-3021	365	5	establish	establish	VERB
iajs-3021	365	6	the	the	DET
iajs-3021	365	7	relation	relation	NOUN
iajs-3021	365	8	between	between	ADP
iajs-3021	365	9	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	365	10	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	365	11	and	and	CCONJ
iajs-3021	365	12	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	365	13	semi	semi	ADV
iajs-3021	365	14	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	365	15	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	365	16	.	.	PUNCT
iajs-3021	366	1	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	366	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	367	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	367	2	364	364	NUM
iajs-3021	367	3	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	367	4	4.11	4.11	NUM
iajs-3021	367	5	let	let	VERB
iajs-3021	367	6	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	367	7	be	be	AUX
iajs-3021	367	8	an	an	DET
iajs-3021	367	9	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	367	10	and	and	CCONJ
iajs-3021	367	11	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	367	12	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	367	13	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	367	14	if	if	SCONJ
iajs-3021	367	15	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	367	16	is	be	AUX
iajs-3021	367	17	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	367	18	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	367	19	of	of	ADP
iajs-3021	367	20	an	an	DET
iajs-3021	367	21	𝑅-module	𝑅-module	PROPN
iajs-3021	367	22	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	367	23	then	then	ADV
iajs-3021	367	24	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	367	25	is	be	AUX
iajs-3021	367	26	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	367	27	semi	semi	ADV
iajs-3021	367	28	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	367	29	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	367	30	.	.	PUNCT
iajs-3021	368	1	proof	proof	NOUN
iajs-3021	368	2	suppose	suppose	VERB
iajs-3021	368	3	that	that	SCONJ
iajs-3021	368	4	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	368	5	is	be	AUX
iajs-3021	368	6	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	368	7	-	-	ADJ
iajs-3021	368	8	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	368	9	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	368	10	of	of	ADP
iajs-3021	368	11	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	368	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	368	13	and	and	CCONJ
iajs-3021	368	14	let	let	VERB
iajs-3021	368	15	𝑢2𝑚	𝑢2𝑚	PROPN
iajs-3021	368	16	∈	∈	PROPN
iajs-3021	368	17	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	368	18	,	,	PUNCT
iajs-3021	368	19	for	for	ADP
iajs-3021	368	20	𝑢	𝑢	DET
iajs-3021	368	21	∈	∈	PROPN
iajs-3021	368	22	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	368	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	368	24	𝑚	𝑚	PROPN
iajs-3021	368	25	∈	∈	PROPN
iajs-3021	368	26	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	368	27	since	since	SCONJ
iajs-3021	368	28	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	368	29	is	be	AUX
iajs-3021	368	30	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	368	31	-	-	ADJ
iajs-3021	368	32	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	368	33	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	368	34	,	,	PUNCT
iajs-3021	368	35	then	then	ADV
iajs-3021	368	36	either	either	CCONJ
iajs-3021	368	37	𝑢𝑚	𝑢𝑚	ADP
iajs-3021	368	38	∈	∈	PROPN
iajs-3021	368	39	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	368	40	+	+	CCONJ
iajs-3021	368	41	(	(	PUNCT
iajs-3021	368	42	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	368	43	)	)	PUNCT
iajs-3021	368	44	∩	∩	NOUN
iajs-3021	368	45	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	368	46	)	)	PUNCT
iajs-3021	368	47	)	)	PUNCT
iajs-3021	368	48	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	368	49	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	368	50	+	+	CCONJ
iajs-3021	368	51	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	368	52	)	)	PUNCT
iajs-3021	368	53	or	or	CCONJ
iajs-3021	368	54	𝑢2ℋ	𝑢2ℋ	ADV
iajs-3021	368	55	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	368	56	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	368	57	+	+	CCONJ
iajs-3021	368	58	(	(	PUNCT
iajs-3021	368	59	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	368	60	)	)	PUNCT
iajs-3021	368	61	∩	∩	NOUN
iajs-3021	368	62	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	368	63	)	)	PUNCT
iajs-3021	368	64	)	)	PUNCT
iajs-3021	368	65	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	368	66	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	368	67	+	+	CCONJ
iajs-3021	368	68	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	368	69	)	)	PUNCT
iajs-3021	368	70	.	.	PUNCT
iajs-3021	369	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	369	2	ℱ	ℱ	PROPN
iajs-3021	369	3	is	be	AUX
iajs-3021	369	4	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	369	5	semi-2absorbing	semi-2absorbe	VERB
iajs-3021	369	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	369	7	of	of	ADP
iajs-3021	369	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	369	9	the	the	DET
iajs-3021	369	10	converse	converse	NOUN
iajs-3021	369	11	of	of	ADP
iajs-3021	369	12	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	369	13	4.11	4.11	NUM
iajs-3021	369	14	is	be	AUX
iajs-3021	369	15	true	true	ADJ
iajs-3021	369	16	under	under	ADP
iajs-3021	369	17	certain	certain	ADJ
iajs-3021	369	18	conditions	condition	NOUN
iajs-3021	369	19	where	where	SCONJ
iajs-3021	369	20	given	give	VERB
iajs-3021	369	21	the	the	DET
iajs-3021	369	22	following	follow	VERB
iajs-3021	369	23	propositions	proposition	NOUN
iajs-3021	369	24	.	.	PUNCT
iajs-3021	370	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	370	2	4.12	4.12	NUM
iajs-3021	370	3	let	let	VERB
iajs-3021	370	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	370	5	be	be	AUX
iajs-3021	370	6	an	an	DET
iajs-3021	370	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	370	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	370	9	and	and	CCONJ
iajs-3021	370	10	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	370	11	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	370	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	370	13	with	with	ADP
iajs-3021	370	14	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	370	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	370	16	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	370	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	370	18	=	=	SYM
iajs-3021	370	19	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	370	20	then	then	ADV
iajs-3021	370	21	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	370	22	is	be	AUX
iajs-3021	370	23	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	370	24	semi	semi	ADV
iajs-3021	370	25	_	_	NOUN
iajs-3021	370	26	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	370	27	if	if	SCONJ
iajs-3021	370	28	and	and	CCONJ
iajs-3021	370	29	only	only	ADV
iajs-3021	370	30	if	if	SCONJ
iajs-3021	370	31	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	370	32	is	be	AUX
iajs-3021	370	33	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	370	34	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	370	35	of	of	ADP
iajs-3021	370	36	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	370	37	proof	proof	NOUN
iajs-3021	370	38	(	(	PUNCT
iajs-3021	370	39	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	370	40	)	)	PUNCT
iajs-3021	370	41	let	let	VERB
iajs-3021	370	42	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	370	43	∈	∈	PROPN
iajs-3021	370	44	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	370	45	for	for	ADP
iajs-3021	370	46	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	370	47	∈	∈	PROPN
iajs-3021	370	48	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	370	49	,	,	PUNCT
iajs-3021	370	50	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	370	51	∈	∈	PROPN
iajs-3021	370	52	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	370	53	since	since	SCONJ
iajs-3021	370	54	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	370	55	is	be	AUX
iajs-3021	370	56	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	370	57	semi	semi	ADV
iajs-3021	370	58	_	_	NOUN
iajs-3021	370	59	2	2	NUM
iajs-3021	370	60	_	_	NOUN
iajs-3021	370	61	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	370	62	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	370	63	of	of	ADP
iajs-3021	370	64	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	370	65	,	,	PUNCT
iajs-3021	370	66	then	then	ADV
iajs-3021	370	67	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	370	68	∈	∈	PROPN
iajs-3021	370	69	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	370	70	+	+	CCONJ
iajs-3021	370	71	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	370	72	)	)	PUNCT
iajs-3021	370	73	or	or	CCONJ
iajs-3021	370	74	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	370	75	∈	∈	PROPN
iajs-3021	370	76	[	[	X
iajs-3021	370	77	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	370	78	+	+	CCONJ
iajs-3021	370	79	𝑠𝑜𝑐(ℋ):ɍ	𝑠𝑜𝑐(ℋ):ɍ	PROPN
iajs-3021	370	80	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	370	81	]	]	PUNCT
iajs-3021	370	82	.	.	PUNCT
iajs-3021	371	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	371	2	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	371	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	371	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	371	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	371	6	⊆	⊆	X
iajs-3021	371	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	371	8	then	then	ADV
iajs-3021	371	9	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	371	10	(	(	PUNCT
iajs-3021	371	11	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	371	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	371	13	∩	∩	NOUN
iajs-3021	371	14	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	371	15	=	=	SYM
iajs-3021	371	16	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	371	17	(	(	PUNCT
iajs-3021	371	18	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	371	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	371	20	that	that	PRON
iajs-3021	371	21	is	be	AUX
iajs-3021	371	22	either	either	CCONJ
iajs-3021	371	23	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	371	24	∈	∈	PROPN
iajs-3021	371	25	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	371	26	+	+	CCONJ
iajs-3021	371	27	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	371	28	(	(	PUNCT
iajs-3021	371	29	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	371	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	371	31	∩	∩	ADJ
iajs-3021	371	32	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	371	33	or	or	CCONJ
iajs-3021	371	34	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	371	35	∈	∈	PROPN
iajs-3021	371	36	[	[	X
iajs-3021	371	37	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	371	38	+	+	CCONJ
iajs-3021	371	39	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	371	40	(	(	PUNCT
iajs-3021	371	41	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	371	42	)	)	PUNCT
iajs-3021	371	43	∩	∩	NOUN
iajs-3021	371	44	ℋ:ɍ	ℋ:ɍ	ADV
iajs-3021	371	45	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	371	46	]	]	PUNCT
iajs-3021	371	47	.	.	PUNCT
iajs-3021	372	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	372	2	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	372	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	372	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	372	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	372	6	=	=	SYM
iajs-3021	372	7	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	372	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	372	9	it	it	PRON
iajs-3021	372	10	follows	follow	VERB
iajs-3021	372	11	that	that	SCONJ
iajs-3021	372	12	either	either	CCONJ
iajs-3021	372	13	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	372	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	372	15	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	372	16	+	+	CCONJ
iajs-3021	372	17	(	(	PUNCT
iajs-3021	372	18	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	372	19	(	(	PUNCT
iajs-3021	372	20	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	372	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	372	22	∩	∩	NOUN
iajs-3021	372	23	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	372	24	(	(	PUNCT
iajs-3021	372	25	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	372	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	372	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	372	28	or	or	CCONJ
iajs-3021	372	29	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	372	30	∈	∈	PROPN
iajs-3021	372	31	[	[	X
iajs-3021	372	32	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	372	33	+	+	CCONJ
iajs-3021	372	34	(	(	PUNCT
iajs-3021	372	35	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	372	36	(	(	PUNCT
iajs-3021	372	37	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	372	38	)	)	PUNCT
iajs-3021	372	39	∩	∩	NOUN
iajs-3021	372	40	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	372	41	(	(	PUNCT
iajs-3021	372	42	ℋ)):ɍ	ℋ)):ɍ	PROPN
iajs-3021	372	43	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	372	44	]	]	PUNCT
iajs-3021	372	45	.	.	PUNCT
iajs-3021	373	1	thus	thus	ADV
iajs-3021	373	2	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	373	3	is	be	AUX
iajs-3021	373	4	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	373	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	373	6	of	of	ADP
iajs-3021	373	7	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	373	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	373	9	⇐	⇐	ADJ
iajs-3021	373	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	373	11	direct	direct	ADJ
iajs-3021	373	12	by	by	ADP
iajs-3021	373	13	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	373	14	4.11	4.11	NUM
iajs-3021	373	15	.	.	PUNCT
iajs-3021	374	1	proposition	proposition	NOUN
iajs-3021	374	2	4.13	4.13	NUM
iajs-3021	374	3	let	let	VERB
iajs-3021	374	4	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	374	5	be	be	AUX
iajs-3021	374	6	an	an	DET
iajs-3021	374	7	ɍ_module	ɍ_module	NOUN
iajs-3021	374	8	over	over	ADP
iajs-3021	374	9	a	a	DET
iajs-3021	374	10	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	374	11	ring	ring	NOUN
iajs-3021	374	12	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	374	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	374	14	and	and	CCONJ
iajs-3021	374	15	𝛢	𝛢	VERB
iajs-3021	374	16	a	a	DET
iajs-3021	374	17	proper	proper	ADJ
iajs-3021	374	18	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	374	19	of	of	ADP
iajs-3021	374	20	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	374	21	with	with	ADP
iajs-3021	374	22	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	NOUN
iajs-3021	374	23	(	(	PUNCT
iajs-3021	374	24	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	374	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	374	26	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	374	27	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	374	28	(	(	PUNCT
iajs-3021	374	29	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	374	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	374	31	and	and	CCONJ
iajs-3021	374	32	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	374	33	(	(	PUNCT
iajs-3021	374	34	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	374	35	)	)	PUNCT
iajs-3021	375	1	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	375	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	375	3	.	.	PUNCT
iajs-3021	376	1	then	then	ADV
iajs-3021	376	2	the	the	DET
iajs-3021	376	3	following	follow	VERB
iajs-3021	376	4	are	be	AUX
iajs-3021	376	5	statement	statement	NOUN
iajs-3021	376	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	377	1	1	1	X
iajs-3021	377	2	.	.	X
iajs-3021	377	3	𝛢	𝛢	PRON
iajs-3021	377	4	is	be	AUX
iajs-3021	377	5	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	377	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	377	7	of	of	ADP
iajs-3021	377	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	377	9	2	2	NUM
iajs-3021	377	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	378	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	378	2	is	be	AUX
iajs-3021	378	3	pseudo_2_absorbing	pseudo_2_absorbe	VERB
iajs-3021	378	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	378	5	of	of	ADP
iajs-3021	378	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	378	7	3	3	NUM
iajs-3021	378	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	379	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	379	2	is	be	AUX
iajs-3021	379	3	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	379	4	semi	semi	ADV
iajs-3021	379	5	_	_	NOUN
iajs-3021	379	6	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	379	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	379	8	of	of	ADP
iajs-3021	379	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	379	10	4	4	NUM
iajs-3021	379	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	380	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	380	2	is	be	AUX
iajs-3021	380	3	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	380	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	380	5	of	of	ADP
iajs-3021	380	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	380	7	5	5	NUM
iajs-3021	380	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	381	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	381	2	is	be	AUX
iajs-3021	381	3	nearly_2_absorbing	nearly_2_absorbe	VERB
iajs-3021	381	4	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	381	5	of	of	ADP
iajs-3021	381	6	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	381	7	6	6	NUM
iajs-3021	381	8	.	.	PUNCT
iajs-3021	382	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	382	2	is	be	AUX
iajs-3021	382	3	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	382	4	semi	semi	ADJ
iajs-3021	382	5	_	_	NOUN
iajs-3021	382	6	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	382	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	382	8	of	of	ADP
iajs-3021	382	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	382	10	7	7	NUM
iajs-3021	382	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	383	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	383	2	is	be	AUX
iajs-3021	383	3	semi	semi	ADJ
iajs-3021	383	4	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	383	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	383	6	of	of	ADP
iajs-3021	383	7	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	383	8	proof	proof	NOUN
iajs-3021	383	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	383	10	1	1	X
iajs-3021	383	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	383	12	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	383	13	(	(	PUNCT
iajs-3021	383	14	2	2	X
iajs-3021	383	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	383	16	direct	direct	ADJ
iajs-3021	383	17	by	by	ADP
iajs-3021	383	18	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	383	19	2.18	2.18	NUM
iajs-3021	383	20	.	.	PUNCT
iajs-3021	384	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	384	2	2	2	X
iajs-3021	384	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	384	4	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	384	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	384	6	3	3	X
iajs-3021	384	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	384	8	let	let	VERB
iajs-3021	384	9	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	384	10	∈	∈	PROPN
iajs-3021	384	11	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	384	12	for	for	ADP
iajs-3021	384	13	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	384	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	384	15	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	384	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	384	17	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	384	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	384	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	384	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	384	21	that	that	PRON
iajs-3021	384	22	is	be	AUX
iajs-3021	385	1	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	385	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	385	3	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	385	4	𝑦	𝑦	PROPN
iajs-3021	385	5	∈	∈	PROPN
iajs-3021	385	6	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	385	7	with	with	ADP
iajs-3021	385	8	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	385	9	𝑎	𝑎	PROPN
iajs-3021	385	10	∉	∉	PROPN
iajs-3021	386	1	[	[	X
iajs-3021	386	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	386	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	386	4	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	386	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	386	6	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	386	7	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	386	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	386	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	387	1	since	since	SCONJ
iajs-3021	387	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	387	3	is	be	AUX
iajs-3021	387	4	pseudo-2	pseudo-2	VERB
iajs-3021	387	5	-	-	PUNCT
iajs-3021	387	6	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	387	7	and	and	CCONJ
iajs-3021	387	8	𝑎.	𝑎.	X
iajs-3021	387	9	𝑎	𝑎	ADJ
iajs-3021	387	10	∉	∉	PROPN
iajs-3021	388	1	[	[	X
iajs-3021	388	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	388	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	388	4	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	388	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	388	6	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	388	7	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	388	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	388	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	388	10	then	then	ADV
iajs-3021	388	11	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	388	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	388	13	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	388	14	+	+	CCONJ
iajs-3021	388	15	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	388	16	(	(	PUNCT
iajs-3021	388	17	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	388	18	)	)	PUNCT
iajs-3021	388	19	.	.	PUNCT
iajs-3021	389	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	389	2	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	389	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	389	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	389	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	389	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	389	7	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	389	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	389	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	389	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	389	11	then	then	ADV
iajs-3021	389	12	(	(	PUNCT
iajs-3021	389	13	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	389	14	)	)	PUNCT
iajs-3021	389	15	∩	∩	NOUN
iajs-3021	389	16	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	389	17	(	(	PUNCT
iajs-3021	389	18	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	389	19	)	)	PUNCT
iajs-3021	389	20	)	)	PUNCT
iajs-3021	390	1	=	=	SYM
iajs-3021	390	2	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	390	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	390	4	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	390	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	390	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	391	1	thus	thus	ADV
iajs-3021	391	2	we	we	PRON
iajs-3021	391	3	have	have	VERB
iajs-3021	391	4	either	either	CCONJ
iajs-3021	391	5	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	391	6	∈	∈	PROPN
iajs-3021	391	7	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	391	8	+	+	CCONJ
iajs-3021	391	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	391	10	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	391	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	391	12	∩	∩	NOUN
iajs-3021	391	13	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	391	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	391	15	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	391	16	)	)	PUNCT
iajs-3021	391	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	391	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	392	1	that	that	PRON
iajs-3021	392	2	is	be	AUX
iajs-3021	392	3	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	392	4	is	be	AUX
iajs-3021	392	5	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	392	6	-	-	ADJ
iajs-3021	392	7	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	392	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	392	9	of	of	ADP
iajs-3021	392	10	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	392	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	392	12	3	3	NUM
iajs-3021	392	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	392	14	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	392	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	392	16	4	4	X
iajs-3021	392	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	392	18	let	let	VERB
iajs-3021	392	19	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	392	20	∈	∈	PROPN
iajs-3021	392	21	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	392	22	for	for	ADP
iajs-3021	392	23	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	392	24	∈	∈	PROPN
iajs-3021	392	25	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	392	26	,	,	PUNCT
iajs-3021	392	27	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	392	28	∈	∈	PROPN
iajs-3021	392	29	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	392	30	since	since	SCONJ
iajs-3021	392	31	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	392	32	is	be	AUX
iajs-3021	392	33	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	392	34	semi_2_absorbing	semi_2_absorbe	VERB
iajs-3021	392	35	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	392	36	of	of	ADP
iajs-3021	392	37	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	392	38	,	,	PUNCT
iajs-3021	392	39	then	then	ADV
iajs-3021	392	40	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	392	41	∈	∈	PROPN
iajs-3021	392	42	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	392	43	+	+	CCONJ
iajs-3021	392	44	𝑠𝑜𝑐(ℋ	𝑠𝑜𝑐(ℋ	NUM
iajs-3021	392	45	)	)	PUNCT
iajs-3021	392	46	or	or	CCONJ
iajs-3021	392	47	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	392	48	∈	∈	PROPN
iajs-3021	393	1	[	[	X
iajs-3021	393	2	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	393	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	393	4	𝑠𝑜𝑐(ℋ):ɍ	𝑠𝑜𝑐(ℋ):ɍ	PROPN
iajs-3021	393	5	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	393	6	]	]	PUNCT
iajs-3021	393	7	.	.	PUNCT
iajs-3021	394	1	but	but	CCONJ
iajs-3021	394	2	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	394	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	4	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	394	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	6	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	394	7	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	394	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	9	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	394	10	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	11	,	,	PUNCT
iajs-3021	394	12	then	then	ADV
iajs-3021	394	13	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	394	14	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	15	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	394	16	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	17	∩	∩	ADJ
iajs-3021	394	18	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	394	19	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	20	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	394	21	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	22	=	=	SYM
iajs-3021	394	23	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	394	24	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	25	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	394	26	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	27	,	,	PUNCT
iajs-3021	394	28	so	so	CCONJ
iajs-3021	394	29	either	either	CCONJ
iajs-3021	394	30	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	394	31	∈	∈	PROPN
iajs-3021	394	32	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	394	33	+	+	CCONJ
iajs-3021	394	34	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	35	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	394	36	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	37	∩	∩	NOUN
iajs-3021	394	38	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	394	39	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	40	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	394	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	42	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	43	or	or	CCONJ
iajs-3021	394	44	ɑ2	ɑ2	VERB
iajs-3021	394	45	∈	∈	PROPN
iajs-3021	394	46	[	[	X
iajs-3021	394	47	𝐴	𝐴	NOUN
iajs-3021	394	48	+	+	CCONJ
iajs-3021	394	49	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	50	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	PROPN
iajs-3021	394	51	)	)	PUNCT
iajs-3021	394	52	∩	∩	NOUN
iajs-3021	394	53	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	X
iajs-3021	394	54	(	(	PUNCT
iajs-3021	394	55	ℋ)):ɍ	ℋ)):ɍ	PROPN
iajs-3021	394	56	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	394	57	]	]	PUNCT
iajs-3021	394	58	.	.	PUNCT
iajs-3021	395	1	that	that	PRON
iajs-3021	395	2	is	be	AUX
iajs-3021	395	3	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	395	4	is	be	AUX
iajs-3021	395	5	stpns_2_absorbing	stpns_2_absorbe	VERB
iajs-3021	395	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	395	7	of	of	ADP
iajs-3021	395	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	395	9	(	(	PUNCT
iajs-3021	395	10	4	4	NUM
iajs-3021	395	11	)	)	PUNCT
iajs-3021	395	12	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	395	13	(	(	PUNCT
iajs-3021	395	14	5	5	X
iajs-3021	395	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	395	16	direct	direct	ADJ
iajs-3021	395	17	by	by	ADP
iajs-3021	395	18	remarks	remark	NOUN
iajs-3021	395	19	and	and	CCONJ
iajs-3021	395	20	examples	example	NOUN
iajs-3021	395	21	3.2	3.2	NUM
iajs-3021	395	22	(	(	PUNCT
iajs-3021	395	23	3	3	NUM
iajs-3021	395	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	395	25	.	.	PUNCT
iajs-3021	396	1	(	(	PUNCT
iajs-3021	396	2	5	5	X
iajs-3021	396	3	)	)	PUNCT
iajs-3021	396	4	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	396	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	396	6	6	6	X
iajs-3021	396	7	)	)	PUNCT
iajs-3021	396	8	let	let	VERB
iajs-3021	396	9	ɑ2𝑦	ɑ2𝑦	PROPN
iajs-3021	396	10	∈	∈	PROPN
iajs-3021	396	11	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	396	12	for	for	ADP
iajs-3021	396	13	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	396	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	396	15	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	396	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	396	17	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	396	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	396	19	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	396	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	396	21	that	that	PRON
iajs-3021	396	22	is	be	AUX
iajs-3021	397	1	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	397	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	397	3	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	397	4	𝑦	𝑦	PRON
iajs-3021	397	5	∈	∈	PROPN
iajs-3021	397	6	𝐴.	𝐴.	PROPN
iajs-3021	397	7	since	since	SCONJ
iajs-3021	397	8	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	397	9	is	be	AUX
iajs-3021	397	10	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	397	11	-	-	PUNCT
iajs-3021	397	12	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	397	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	397	14	then	then	ADV
iajs-3021	397	15	either	either	CCONJ
iajs-3021	397	16	𝑎.	𝑎.	PROPN
iajs-3021	398	1	𝑎	𝑎	X
iajs-3021	398	2	∈	∈	PROPN
iajs-3021	399	1	[	[	X
iajs-3021	399	2	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	399	3	+	+	CCONJ
iajs-3021	399	4	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	399	5	(	(	PUNCT
iajs-3021	399	6	ℋ):ɍ	ℋ):ɍ	X
iajs-3021	399	7	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	399	8	]	]	PUNCT
iajs-3021	399	9	or	or	CCONJ
iajs-3021	399	10	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	399	11	∈	∈	PROPN
iajs-3021	399	12	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	399	13	+	+	CCONJ
iajs-3021	399	14	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	399	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	399	16	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	399	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	399	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	400	1	hence	hence	ADV
iajs-3021	400	2	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	400	3	is	be	AUX
iajs-3021	400	4	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	400	5	semi-2	semi-2	VERB
iajs-3021	400	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	400	7	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	400	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	400	9	of	of	ADP
iajs-3021	400	10	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	400	11	(	(	PUNCT
iajs-3021	400	12	6	6	NUM
iajs-3021	400	13	)	)	PUNCT
iajs-3021	400	14	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	400	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	400	16	7	7	X
iajs-3021	400	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	400	18	direct	direct	ADJ
iajs-3021	400	19	by	by	ADP
iajs-3021	400	20	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	400	21	2.20	2.20	NUM
iajs-3021	400	22	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	400	23	.	.	PUNCT
iajs-3021	401	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	401	2	365	365	NUM
iajs-3021	401	3	(	(	PUNCT
iajs-3021	401	4	7	7	NUM
iajs-3021	401	5	)	)	PUNCT
iajs-3021	401	6	⇒	⇒	NOUN
iajs-3021	401	7	(	(	PUNCT
iajs-3021	401	8	1	1	X
iajs-3021	401	9	)	)	PUNCT
iajs-3021	401	10	let	let	VERB
iajs-3021	401	11	ɑ𝑏𝑦	ɑ𝑏𝑦	NOUN
iajs-3021	401	12	∈	∈	PROPN
iajs-3021	401	13	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	401	14	for	for	ADP
iajs-3021	401	15	ɑ	ɑ	PROPN
iajs-3021	401	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	401	17	𝑏	𝑏	PROPN
iajs-3021	401	18	∈	∈	PROPN
iajs-3021	401	19	ɍ	ɍ	PROPN
iajs-3021	401	20	,	,	PUNCT
iajs-3021	401	21	𝑦	𝑦	NOUN
iajs-3021	401	22	∈	∈	PROPN
iajs-3021	401	23	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	401	24	since	since	SCONJ
iajs-3021	401	25	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	401	26	is	be	AUX
iajs-3021	401	27	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	401	28	ring	ring	NOUN
iajs-3021	401	29	,	,	PUNCT
iajs-3021	401	30	then	then	ADV
iajs-3021	401	31	(	(	PUNCT
iajs-3021	401	32	ɑ𝑏)2𝑦	ɑ𝑏)2𝑦	CCONJ
iajs-3021	401	33	∈	∈	PROPN
iajs-3021	401	34	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	401	35	with	with	ADP
iajs-3021	401	36	(	(	PUNCT
iajs-3021	401	37	ɑ𝑏)2	ɑ𝑏)2	PROPN
iajs-3021	401	38	=	=	SYM
iajs-3021	401	39	(	(	PUNCT
iajs-3021	401	40	𝑎𝑏	𝑎𝑏	NOUN
iajs-3021	401	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	401	42	∉	∉	PROPN
iajs-3021	402	1	[	[	X
iajs-3021	402	2	𝐴:ɍ	𝐴:ɍ	PROPN
iajs-3021	402	3	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	402	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	402	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	402	6	𝑏𝑦	𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	402	7	∉	∉	PROPN
iajs-3021	402	8	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	402	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	402	10	to	to	PART
iajs-3021	402	11	prove	prove	VERB
iajs-3021	402	12	that	that	SCONJ
iajs-3021	402	13	ɑ𝑦	ɑ𝑦	PROPN
iajs-3021	402	14	∈	∈	PROPN
iajs-3021	402	15	𝐴.	𝐴.	PROPN
iajs-3021	402	16	since	since	SCONJ
iajs-3021	402	17	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	402	18	is	be	AUX
iajs-3021	402	19	a	a	DET
iajs-3021	402	20	semi-2	semi-2	NOUN
iajs-3021	402	21	-	-	PUNCT
iajs-3021	402	22	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	402	23	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	402	24	of	of	ADP
iajs-3021	402	25	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	402	26	and	and	CCONJ
iajs-3021	402	27	(	(	PUNCT
iajs-3021	402	28	ɑ𝑏)2	ɑ𝑏)2	PROPN
iajs-3021	402	29	∉	∉	PROPN
iajs-3021	403	1	[	[	X
iajs-3021	403	2	𝐴:ɍ	𝐴:ɍ	PROPN
iajs-3021	403	3	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	403	4	]	]	PUNCT
iajs-3021	403	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	403	6	implies	imply	VERB
iajs-3021	403	7	that	that	SCONJ
iajs-3021	403	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	403	9	ɑ𝑏)𝑦	ɑ𝑏)𝑦	PROPN
iajs-3021	403	10	∈	∈	PROPN
iajs-3021	403	11	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	403	12	that	that	PRON
iajs-3021	403	13	is	be	AUX
iajs-3021	403	14	ɑ(𝑏𝑦	ɑ(𝑏𝑦	NOUN
iajs-3021	403	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	403	16	∈	∈	NOUN
iajs-3021	403	17	𝐴.so	𝐴.so	PROPN
iajs-3021	403	18	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	403	19	is	be	AUX
iajs-3021	403	20	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	403	21	ring	ring	NOUN
iajs-3021	403	22	then	then	ADV
iajs-3021	403	23	ɑ(𝑏𝑦	ɑ(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	403	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	403	25	=	=	SYM
iajs-3021	403	26	ɑ2(𝑏𝑦	ɑ2(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	403	27	)	)	PUNCT
iajs-3021	403	28	∈	∈	PROPN
iajs-3021	403	29	𝐴.	𝐴.	PROPN
iajs-3021	403	30	now	now	ADV
iajs-3021	403	31	by	by	ADP
iajs-3021	403	32	lemma	lemma	PROPN
iajs-3021	403	33	2.13	2.13	NUM
iajs-3021	403	34	we	we	PRON
iajs-3021	403	35	have	have	VERB
iajs-3021	403	36	𝑎	𝑎	PRON
iajs-3021	403	37	=	=	SYM
iajs-3021	403	38	ɑ2𝑏.	ɑ2𝑏.	PROPN
iajs-3021	403	39	thus	thus	ADV
iajs-3021	403	40	ɑ2(𝑏𝑦	ɑ2(𝑏𝑦	PROPN
iajs-3021	403	41	)	)	PUNCT
iajs-3021	403	42	=	=	SYM
iajs-3021	403	43	𝑎𝑦	𝑎𝑦	PROPN
iajs-3021	403	44	∈	∈	NOUN
iajs-3021	403	45	𝐴.	𝐴.	NOUN
iajs-3021	403	46	hence	hence	ADV
iajs-3021	403	47	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	403	48	is	be	AUX
iajs-3021	403	49	2	2	NUM
iajs-3021	403	50	-	-	PUNCT
iajs-3021	403	51	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	403	52	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	403	53	of	of	ADP
iajs-3021	403	54	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	403	55	5	5	NUM
iajs-3021	403	56	.	.	PUNCT
iajs-3021	404	1	conclusion	conclusion	NOUN
iajs-3021	404	2	we	we	PRON
iajs-3021	404	3	will	will	AUX
iajs-3021	404	4	present	present	VERB
iajs-3021	404	5	the	the	DET
iajs-3021	404	6	most	most	ADV
iajs-3021	404	7	important	important	ADJ
iajs-3021	404	8	propositions	proposition	NOUN
iajs-3021	404	9	in	in	ADP
iajs-3021	404	10	this	this	DET
iajs-3021	404	11	research	research	NOUN
iajs-3021	404	12	:	:	PUNCT
iajs-3021	404	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	405	1	let	let	VERB
iajs-3021	405	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	405	3	be	be	AUX
iajs-3021	405	4	an	an	DET
iajs-3021	405	5	ɍ	ɍ	NOUN
iajs-3021	405	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	405	7	module	module	NOUN
iajs-3021	405	8	over	over	ADP
iajs-3021	405	9	a	a	DET
iajs-3021	405	10	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	405	11	ring	ring	NOUN
iajs-3021	405	12	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	405	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	405	14	and	and	CCONJ
iajs-3021	405	15	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	405	16	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	405	17	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	405	18	then	then	ADV
iajs-3021	405	19	the	the	DET
iajs-3021	405	20	following	follow	VERB
iajs-3021	405	21	are	be	AUX
iajs-3021	405	22	statement	statement	NOUN
iajs-3021	405	23	:	:	PUNCT
iajs-3021	406	1	1	1	X
iajs-3021	406	2	.	.	X
iajs-3021	406	3	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	406	4	is	be	AUX
iajs-3021	406	5	2	2	NUM
iajs-3021	406	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	406	7	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	406	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	406	9	of	of	ADP
iajs-3021	406	10	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	406	11	2	2	NUM
iajs-3021	406	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	407	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	407	2	is	be	AUX
iajs-3021	407	3	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	407	4	-	-	ADJ
iajs-3021	407	5	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	407	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	407	7	of	of	ADP
iajs-3021	407	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	407	9	3	3	NUM
iajs-3021	407	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	408	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	408	2	is	be	AUX
iajs-3021	408	3	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	408	4	-	-	PUNCT
iajs-3021	408	5	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	408	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	408	7	of	of	ADP
iajs-3021	408	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	408	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	409	1	let	let	VERB
iajs-3021	409	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	409	3	be	be	AUX
iajs-3021	409	4	an	an	DET
iajs-3021	409	5	ɍ	ɍ	NOUN
iajs-3021	409	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	409	7	module	module	NOUN
iajs-3021	409	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	409	9	and	and	CCONJ
iajs-3021	409	10	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	409	11	⊂	⊂	PROPN
iajs-3021	409	12	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	409	13	with	with	ADP
iajs-3021	409	14	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	NOUN
iajs-3021	409	15	(	(	PUNCT
iajs-3021	409	16	ℋ	ℋ	NOUN
iajs-3021	409	17	)	)	PUNCT
iajs-3021	409	18	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	409	19	𝛢	𝛢	PROPN
iajs-3021	409	20	and	and	CCONJ
iajs-3021	409	21	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	409	22	(	(	PUNCT
iajs-3021	409	23	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	409	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	409	25	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	409	26	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	409	27	.	.	PUNCT
iajs-3021	410	1	then	then	ADV
iajs-3021	410	2	the	the	DET
iajs-3021	410	3	following	follow	VERB
iajs-3021	410	4	are	be	AUX
iajs-3021	410	5	statement	statement	NOUN
iajs-3021	410	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	410	7	1	1	NUM
iajs-3021	410	8	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	410	9	is	be	AUX
iajs-3021	410	10	2	2	NUM
iajs-3021	410	11	-	-	PUNCT
iajs-3021	410	12	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	410	13	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	410	14	of	of	ADP
iajs-3021	410	15	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	410	16	2	2	NUM
iajs-3021	410	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	411	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	411	2	is	be	AUX
iajs-3021	411	3	pseudo-2	pseudo-2	VERB
iajs-3021	411	4	-	-	PUNCT
iajs-3021	411	5	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	411	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	411	7	of	of	ADP
iajs-3021	411	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	411	9	3	3	NUM
iajs-3021	411	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	412	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	412	2	is	be	AUX
iajs-3021	412	3	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	412	4	-	-	ADJ
iajs-3021	412	5	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	412	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	412	7	of	of	ADP
iajs-3021	412	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	412	9	4	4	NUM
iajs-3021	412	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	413	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	413	2	is	be	AUX
iajs-3021	413	3	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	413	4	-	-	PUNCT
iajs-3021	413	5	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	413	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	413	7	of	of	ADP
iajs-3021	413	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	413	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	414	1	let	let	VERB
iajs-3021	414	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	414	3	be	be	AUX
iajs-3021	414	4	an	an	DET
iajs-3021	414	5	ɍ	ɍ	NOUN
iajs-3021	414	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	414	7	module	module	NOUN
iajs-3021	414	8	over	over	ADP
iajs-3021	414	9	a	a	DET
iajs-3021	414	10	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	414	11	ring	ring	NOUN
iajs-3021	414	12	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	414	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	414	14	and	and	CCONJ
iajs-3021	414	15	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	414	16	is	be	AUX
iajs-3021	414	17	a	a	DET
iajs-3021	414	18	proper	proper	ADJ
iajs-3021	414	19	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	414	20	of	of	ADP
iajs-3021	414	21	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	414	22	with	with	ADP
iajs-3021	414	23	𝐽(ℋ	𝐽(ℋ	NOUN
iajs-3021	414	24	)	)	PUNCT
iajs-3021	414	25	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	414	26	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	414	27	.	.	PUNCT
iajs-3021	415	1	then	then	ADV
iajs-3021	415	2	the	the	DET
iajs-3021	415	3	following	follow	VERB
iajs-3021	415	4	are	be	AUX
iajs-3021	415	5	statement	statement	NOUN
iajs-3021	415	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	415	7	1	1	NUM
iajs-3021	415	8	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	415	9	is	be	AUX
iajs-3021	415	10	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	415	11	-	-	ADJ
iajs-3021	415	12	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	415	13	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	415	14	of	of	ADP
iajs-3021	415	15	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	415	16	2	2	NUM
iajs-3021	415	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	416	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	416	2	is	be	AUX
iajs-3021	416	3	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	416	4	semi	semi	ADJ
iajs-3021	416	5	-2	-2	ADV
iajs-3021	416	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	416	7	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	416	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	416	9	of	of	ADP
iajs-3021	416	10	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	416	11	3	3	NUM
iajs-3021	416	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	417	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	417	2	is	be	AUX
iajs-3021	417	3	semi	semi	ADJ
iajs-3021	417	4	2_absorbing	2_absorbing	NUM
iajs-3021	417	5	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	417	6	of	of	ADP
iajs-3021	417	7	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	417	8	4	4	NUM
iajs-3021	417	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	418	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	418	2	is	be	AUX
iajs-3021	418	3	2	2	NUM
iajs-3021	418	4	-	-	PUNCT
iajs-3021	418	5	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	418	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	418	7	of	of	ADP
iajs-3021	418	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	418	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	419	1	let	let	VERB
iajs-3021	419	2	ℋ	ℋ	PRON
iajs-3021	419	3	be	be	AUX
iajs-3021	419	4	an	an	DET
iajs-3021	419	5	ɍ	ɍ	NOUN
iajs-3021	419	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	419	7	module	module	NOUN
iajs-3021	419	8	over	over	ADP
iajs-3021	419	9	a	a	DET
iajs-3021	419	10	boolean	boolean	ADJ
iajs-3021	419	11	ring	ring	NOUN
iajs-3021	419	12	𝑅	𝑅	PROPN
iajs-3021	419	13	,	,	PUNCT
iajs-3021	419	14	and	and	CCONJ
iajs-3021	419	15	𝛢	𝛢	VERB
iajs-3021	419	16	a	a	DET
iajs-3021	419	17	proper	proper	ADJ
iajs-3021	419	18	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	419	19	of	of	ADP
iajs-3021	419	20	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	419	21	with	with	ADP
iajs-3021	419	22	𝑠𝑜𝑐	𝑠𝑜𝑐	NOUN
iajs-3021	419	23	(	(	PUNCT
iajs-3021	419	24	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	419	25	)	)	PUNCT
iajs-3021	419	26	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	419	27	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	419	28	(	(	PUNCT
iajs-3021	419	29	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	419	30	)	)	PUNCT
iajs-3021	419	31	and	and	CCONJ
iajs-3021	419	32	𝐽	𝐽	PROPN
iajs-3021	419	33	(	(	PUNCT
iajs-3021	419	34	ℋ	ℋ	PROPN
iajs-3021	419	35	)	)	PUNCT
iajs-3021	419	36	⊆	⊆	NUM
iajs-3021	419	37	𝐴	𝐴	PROPN
iajs-3021	419	38	.	.	PUNCT
iajs-3021	420	1	then	then	ADV
iajs-3021	420	2	the	the	DET
iajs-3021	420	3	following	follow	VERB
iajs-3021	420	4	are	be	AUX
iajs-3021	420	5	valente	valente	NOUN
iajs-3021	420	6	:	:	PUNCT
iajs-3021	421	1	1	1	X
iajs-3021	421	2	.	.	X
iajs-3021	421	3	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	421	4	is	be	AUX
iajs-3021	421	5	2	2	NUM
iajs-3021	421	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	421	7	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	421	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	421	9	of	of	ADP
iajs-3021	421	10	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	421	11	2	2	NUM
iajs-3021	421	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	422	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	422	2	is	be	AUX
iajs-3021	422	3	pseudo-2	pseudo-2	VERB
iajs-3021	422	4	-	-	PUNCT
iajs-3021	422	5	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	422	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	422	7	of	of	ADP
iajs-3021	422	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	422	9	3	3	NUM
iajs-3021	422	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	423	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	423	2	is	be	AUX
iajs-3021	423	3	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	423	4	semi	semi	ADJ
iajs-3021	423	5	-2	-2	ADV
iajs-3021	423	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	423	7	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	423	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	423	9	of	of	ADP
iajs-3021	423	10	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	423	11	4	4	NUM
iajs-3021	423	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	424	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	424	2	is	be	AUX
iajs-3021	424	3	stpns-2	stpns-2	NOUN
iajs-3021	424	4	-	-	ADJ
iajs-3021	424	5	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	424	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	424	7	of	of	ADP
iajs-3021	424	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	424	9	5	5	NUM
iajs-3021	424	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	425	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	425	2	is	be	AUX
iajs-3021	425	3	nearly-2	nearly-2	NOUN
iajs-3021	425	4	-	-	PUNCT
iajs-3021	425	5	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	425	6	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	425	7	of	of	ADP
iajs-3021	425	8	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	425	9	6	6	NUM
iajs-3021	425	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	426	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	426	2	is	be	AUX
iajs-3021	426	3	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	426	4	semi	semi	ADJ
iajs-3021	426	5	-2	-2	ADV
iajs-3021	426	6	-	-	PUNCT
iajs-3021	426	7	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	426	8	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	426	9	of	of	ADP
iajs-3021	426	10	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	426	11	7	7	NUM
iajs-3021	426	12	.	.	PUNCT
iajs-3021	427	1	𝛢	𝛢	NOUN
iajs-3021	427	2	is	be	AUX
iajs-3021	427	3	semi	semi	ADV
iajs-3021	427	4	2	2	NUM
iajs-3021	427	5	-	-	PUNCT
iajs-3021	427	6	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	427	7	submodule	submodule	NOUN
iajs-3021	427	8	of	of	ADP
iajs-3021	427	9	ℋ.	ℋ.	PROPN
iajs-3021	427	10	references	reference	NOUN
iajs-3021	427	11	1	1	NUM
iajs-3021	427	12	.	.	X
iajs-3021	427	13	darani	darani	PROPN
iajs-3021	427	14	,	,	PUNCT
iajs-3021	427	15	a.y	a.y	PROPN
iajs-3021	427	16	;	;	PUNCT
iajs-3021	427	17	soheilniai	soheilniai	ADJ
iajs-3021	427	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	428	1	f.	f.	PROPN
iajs-3021	428	2	2	2	NUM
iajs-3021	428	3	-	-	PUNCT
iajs-3021	428	4	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	428	5	and	and	CCONJ
iajs-3021	428	6	weakly	weakly	ADJ
iajs-3021	428	7	2	2	NUM
iajs-3021	428	8	-	-	PUNCT
iajs-3021	428	9	absorbingsubmodules	absorbingsubmodule	NOUN
iajs-3021	428	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	428	11	tahi	tahi	NOUN
iajs-3021	428	12	journal	journal	PROPN
iajs-3021	428	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	429	1	math	math	NOUN
iajs-3021	429	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	429	3	2011,(9	2011,(9	NUM
iajs-3021	429	4	)	)	PUNCT
iajs-3021	429	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	429	6	577	577	NUM
iajs-3021	429	7	-	-	SYM
iajs-3021	429	8	584	584	NUM
iajs-3021	429	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	430	1	2.goodearl	2.goodearl	NUM
iajs-3021	430	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	430	3	k.	k.	PROPN
iajs-3021	430	4	r.	r.	PROPN
iajs-3021	430	5	ring	ring	PROPN
iajs-3021	430	6	theory	theory	PROPN
iajs-3021	430	7	;	;	PUNCT
iajs-3021	430	8	marcel	marcel	PROPN
iajs-3021	430	9	dekker	dekker	PROPN
iajs-3021	430	10	,	,	PUNCT
iajs-3021	430	11	inc	inc	PROPN
iajs-3021	430	12	.	.	PROPN
iajs-3021	430	13	new	new	PROPN
iajs-3021	430	14	york	york	PROPN
iajs-3021	430	15	and	and	CCONJ
iajs-3021	430	16	basel	basel	PROPN
iajs-3021	430	17	.	.	PUNCT
iajs-3021	430	18	1976	1976	NUM
iajs-3021	430	19	,	,	PUNCT
iajs-3021	430	20	206	206	NUM
iajs-3021	430	21	.	.	PUNCT
iajs-3021	431	1	3.dauns	3.dauns	NUM
iajs-3021	431	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	431	3	j.	j.	PROPN
iajs-3021	431	4	prime	prime	PROPN
iajs-3021	431	5	modules	modules	PROPN
iajs-3021	431	6	.	.	PUNCT
iajs-3021	432	1	journal	journal	PROPN
iajs-3021	432	2	re	re	PROPN
iajs-3021	432	3	.	.	PROPN
iajs-3021	432	4	angew	angew	PROPN
iajs-3021	432	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	432	6	math	math	NOUN
iajs-3021	432	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	432	8	1978,(2),156	1978,(2),156	PROPN
iajs-3021	432	9	-	-	SYM
iajs-3021	432	10	181	181	NUM
iajs-3021	432	11	.	.	PUNCT
iajs-3021	433	1	4	4	NUM
iajs-3021	433	2	.	.	X
iajs-3021	433	3	reem	reem	PROPN
iajs-3021	433	4	,	,	PUNCT
iajs-3021	433	5	t.	t.	PROPN
iajs-3021	433	6	shwkea	shwkea	PROPN
iajs-3021	433	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	433	8	m.	m.	NOUN
iajs-3021	433	9	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	433	10	2	2	NUM
iajs-3021	433	11	-	-	PUNCT
iajs-3021	433	12	absorbing	absorb	VERB
iajs-3021	433	13	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	433	14	and	and	CCONJ
iajs-3021	433	15	related	related	ADJ
iajs-3021	433	16	concept	concept	NOUN
iajs-3021	433	17	,	,	PUNCT
iajs-3021	433	18	tikrit	tikrit	NOUN
iajs-3021	433	19	journal	journal	NOUN
iajs-3021	433	20	for	for	ADP
iajs-3021	433	21	pure	pure	ADJ
iajs-3021	433	22	sci	sci	PROPN
iajs-3021	433	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	433	24	2018	2018	NUM
iajs-3021	433	25	,	,	PUNCT
iajs-3021	433	26	(	(	PUNCT
iajs-3021	433	27	2),(3	2),(3	NOUN
iajs-3021	433	28	)	)	PUNCT
iajs-3021	433	29	,	,	PUNCT
iajs-3021	433	30	215	215	NUM
iajs-3021	433	31	-	-	SYM
iajs-3021	433	32	221	221	NUM
iajs-3021	433	33	.	.	PUNCT
iajs-3021	434	1	ihjpas	ihjpas	PROPN
iajs-3021	434	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	435	1	36(2)2023	36(2)2023	NUM
iajs-3021	435	2	366	366	NUM
iajs-3021	435	3	5	5	NUM
iajs-3021	435	4	.	.	PUNCT
iajs-3021	435	5	haibat	haibat	PROPN
iajs-3021	435	6	,	,	PUNCT
iajs-3021	435	7	k.	k.	PROPN
iajs-3021	435	8	omar	omar	PROPN
iajs-3021	435	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	435	10	a.	a.	NOUN
iajs-3021	435	11	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	435	12	2	2	NUM
iajs-3021	435	13	-	-	PUNCT
iajs-3021	435	14	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	435	15	and	and	CCONJ
iajs-3021	435	16	pseudo	pseudo	NOUN
iajs-3021	435	17	semi	semi	ADJ
iajs-3021	435	18	2	2	NUM
iajs-3021	435	19	-	-	PUNCT
iajs-3021	435	20	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	435	21	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	435	22	,	,	PUNCT
iajs-3021	435	23	aip	aip	PROPN
iajs-3021	435	24	conference	conference	NOUN
iajs-3021	435	25	proceedings	proceeding	NOUN
iajs-3021	435	26	,	,	PUNCT
iajs-3021	435	27	2019	2019	NUM
iajs-3021	435	28	,	,	PUNCT
iajs-3021	435	29	2096,020006(2019),1	2096,020006(2019),1	NUM
iajs-3021	435	30	-	-	SYM
iajs-3021	435	31	9	9	NUM
iajs-3021	435	32	.	.	NOUN
iajs-3021	435	33	6	6	NUM
iajs-3021	435	34	.	.	X
iajs-3021	436	1	haibat	haibat	PROPN
iajs-3021	436	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	436	3	k.	k.	PROPN
iajs-3021	436	4	akram	akram	PROPN
iajs-3021	436	5	,	,	PUNCT
iajs-3021	436	6	s.	s.	PROPN
iajs-3021	436	7	nearly	nearly	ADV
iajs-3021	436	8	semi-2	semi-2	DET
iajs-3021	436	9	-	-	PUNCT
iajs-3021	436	10	absorbing	absorbing	ADJ
iajs-3021	436	11	submodules	submodule	NOUN
iajs-3021	436	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	436	13	italian	italian	ADJ
iajs-3021	436	14	journal	journal	NOUN
iajs-3021	436	15	of	of	ADP
iajs-3021	436	16	pure	pure	ADJ
iajs-3021	436	17	and	and	CCONJ
iajs-3021	436	18	app	app	PROPN
iajs-3021	436	19	.	.	PROPN
iajs-3021	436	20	math	math	PROPN
iajs-3021	436	21	,	,	PUNCT
iajs-3021	436	22	2019	2019	NUM
iajs-3021	436	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	436	24	(	(	PUNCT
iajs-3021	436	25	41),620	41),620	NUM
iajs-3021	436	26	-	-	SYM
iajs-3021	436	27	627	627	NUM
iajs-3021	436	28	.	.	PUNCT
iajs-3021	437	1	7	7	X
iajs-3021	437	2	.	.	X
iajs-3021	437	3	kash	kash	PROPN
iajs-3021	437	4	,	,	PUNCT
iajs-3021	437	5	f.	f.	PROPN
iajs-3021	437	6	modules	module	NOUN
iajs-3021	437	7	and	and	CCONJ
iajs-3021	437	8	rings	ring	NOUN
iajs-3021	437	9	.	.	PUNCT
iajs-3021	438	1	london	london	PROPN
iajs-3021	438	2	math	math	PROPN
iajs-3021	438	3	.	.	PUNCT
iajs-3021	439	1	soc	soc	PROPN
iajs-3021	439	2	.	.	PUNCT
iajs-3021	440	1	monographs	monographs	PROPN
iajs-3021	440	2	new	new	PROPN
iajs-3021	440	3	york	york	PROPN
iajs-3021	440	4	,	,	PUNCT
iajs-3021	440	5	academic	academic	ADJ
iajs-3021	440	6	press	press	NOUN
iajs-3021	440	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	440	8	1982	1982	NUM
iajs-3021	440	9	,	,	PUNCT
iajs-3021	440	10	(	(	PUNCT
iajs-3021	440	11	370	370	NUM
iajs-3021	440	12	)	)	PUNCT
iajs-3021	440	13	.	.	PUNCT
iajs-3021	441	1	8	8	X
iajs-3021	441	2	.	.	X
iajs-3021	441	3	fraleigh	fraleigh	PROPN
iajs-3021	441	4	,	,	PUNCT
iajs-3021	441	5	j.	j.	PROPN
iajs-3021	441	6	b.	b.	PROPN
iajs-3021	442	1	a	a	DET
iajs-3021	442	2	first	first	ADJ
iajs-3021	442	3	course	course	NOUN
iajs-3021	442	4	in	in	ADP
iajs-3021	442	5	abstract	abstract	ADJ
iajs-3021	442	6	algebra	algebra	NOUN
iajs-3021	442	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	442	8	(	(	PUNCT
iajs-3021	442	9	new	new	PROPN
iajs-3021	442	10	york	york	PROPN
iajs-3021	442	11	:	:	PUNCT
iajs-3021	442	12	addisonwesley	addisonwesley	ADJ
iajs-3021	442	13	publishing	publishing	NOUN
iajs-3021	442	14	company	company	NOUN
iajs-3021	442	15	)	)	PUNCT
iajs-3021	442	16	,	,	PUNCT
iajs-3021	442	17	2003	2003	NUM
iajs-3021	442	18	.	.	PUNCT
iajs-3021	443	1	9	9	X
iajs-3021	443	2	.	.	X
iajs-3021	443	3	wardayani	wardayani	PROPN
iajs-3021	443	4	,	,	PUNCT
iajs-3021	443	5	a.	a.	NOUN
iajs-3021	443	6	;	;	PUNCT
iajs-3021	443	7	kharismawati	kharismawati	PROPN
iajs-3021	443	8	,	,	PUNCT
iajs-3021	443	9	i.	i.	NOUN
iajs-3021	443	10	;	;	PUNCT
iajs-3021	443	11	sihwaningrum	sihwaningrum	PROPN
iajs-3021	443	12	,	,	PUNCT
iajs-3021	443	13	i.	i.	PROPN
iajs-3021	443	14	regular	regular	ADJ
iajs-3021	443	15	rings	ring	NOUN
iajs-3021	443	16	and	and	CCONJ
iajs-3021	443	17	their	their	PRON
iajs-3021	443	18	properties	property	NOUN
iajs-3021	443	19	,	,	PUNCT
iajs-3021	443	20	iop	iop	PROPN
iajs-3021	443	21	conference	conference	PROPN
iajs-3021	443	22	series	series	PROPN
iajs-3021	443	23	,	,	PUNCT
iajs-3021	443	24	2020	2020	NUM
iajs-3021	443	25	,	,	PUNCT
iajs-3021	443	26	1494	1494	NUM
iajs-3021	443	27	,	,	PUNCT
iajs-3021	443	28	012020,1	012020,1	NOUN
iajs-3021	443	29	-	-	PUNCT
iajs-3021	443	30	4	4	NUM
iajs-3021	443	31	.	.	NOUN
iajs-3021	443	32	10	10	NUM
iajs-3021	443	33	.	.	PUNCT
iajs-3021	444	1	mahmood	mahmood	PROPN
iajs-3021	444	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	444	3	s.	s.	PROPN
iajs-3021	444	4	y.	y.	PROPN
iajs-3021	444	5	regular	regular	ADJ
iajs-3021	444	6	modules	module	NOUN
iajs-3021	444	7	,	,	PUNCT
iajs-3021	444	8	m.	m.	PROPN
iajs-3021	444	9	sc	sc	PROPN
iajs-3021	444	10	.	.	PUNCT
iajs-3021	445	1	thesis	thesis	PROPN
iajs-3021	445	2	,	,	PUNCT
iajs-3021	445	3	university	university	NOUN
iajs-3021	445	4	of	of	ADP
iajs-3021	445	5	baghdad,1993	baghdad,1993	PROPN
iajs-3021	445	6	.	.	PUNCT
