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PUNCT iajs-3065 22 1 definition definition NOUN iajs-3065 22 2 2.3 2.3 NUM iajs-3065 23 1 [ [ X iajs-3065 23 2 3 3 NUM iajs-3065 23 3 ] ] PUNCT iajs-3065 23 4 . . PUNCT iajs-3065 24 1 anr anr PROPN iajs-3065 24 2 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 24 3 module module NOUN iajs-3065 24 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 24 5 is be AUX iajs-3065 24 6 called call VERB iajs-3065 24 7 to to ADP iajs-3065 24 8 befaithful befaithful ADJ iajs-3065 24 9 if if SCONJ iajs-3065 24 10 ๐ด๐‘›๐‘›๐‘… ๐ด๐‘›๐‘›๐‘… PROPN iajs-3065 24 11 ( ( PUNCT iajs-3065 24 12 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 24 13 ) ) PUNCT iajs-3065 24 14 = = SYM iajs-3065 24 15 ( ( PUNCT iajs-3065 24 16 0 0 NUM iajs-3065 24 17 ) ) PUNCT iajs-3065 24 18 . . PUNCT iajs-3065 25 1 ๐‘Šโ„Ž๐‘’๐‘Ÿ๐‘’ ๐‘Šโ„Ž๐‘’๐‘Ÿ๐‘’ PROPN iajs-3065 25 2 ๐ด๐‘›๐‘› ๐ด๐‘›๐‘› PROPN iajs-3065 25 3 ( ( PUNCT iajs-3065 25 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 25 5 ) ) PUNCT iajs-3065 25 6 = = NOUN iajs-3065 25 7 { { PUNCT iajs-3065 25 8 ๐‘Ÿ ๐‘Ÿ PRON iajs-3065 25 9 ๏ƒŽ ๏ƒŽ PROPN iajs-3065 25 10 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 25 11 โˆถ โˆถ NOUN iajs-3065 25 12 ๐‘Ÿ ๐‘Ÿ X iajs-3065 25 13 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 25 14 = = SYM iajs-3065 25 15 ( ( PUNCT iajs-3065 25 16 0 0 NUM iajs-3065 25 17 ) ) PUNCT iajs-3065 25 18 } } PUNCT iajs-3065 25 19 . . PUNCT iajs-3065 26 1 definition definition NOUN iajs-3065 26 2 2.4 2.4 NUM iajs-3065 26 3 [ [ SYM iajs-3065 26 4 4 4 NUM iajs-3065 26 5 ] ] PUNCT iajs-3065 26 6 . . 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PUNCT iajs-3065 28 1 equivalent equivalent ADJ iajs-3065 28 2 to to ADP iajs-3065 28 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 28 4 = = PUNCT iajs-3065 29 1 [ [ X iajs-3065 29 2 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 29 3 โ„‹๐‘… โ„‹๐‘… PROPN iajs-3065 29 4 : : PUNCT iajs-3065 29 5 ] ] X iajs-3065 29 6 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 29 7 lemma lemma PROPN iajs-3065 29 8 2.5 2.5 NUM iajs-3065 29 9 [ [ SYM iajs-3065 29 10 5 5 NUM iajs-3065 29 11 , , PUNCT iajs-3065 29 12 coro coro X iajs-3065 29 13 . . PUNCT iajs-3065 30 1 ( ( PUNCT iajs-3065 30 2 2 2 NUM iajs-3065 30 3 .1 .1 NUM iajs-3065 30 4 . . PROPN iajs-3065 31 1 14 14 NUM iajs-3065 31 2 ) ) PUNCT iajs-3065 32 1 ( ( PUNCT iajs-3065 32 2 i i NOUN iajs-3065 32 3 ) ) PUNCT iajs-3065 32 4 ] ] PUNCT iajs-3065 32 5 . . PUNCT iajs-3065 33 1 let let VERB iajs-3065 33 2 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 33 3 be be AUX iajs-3065 33 4 a a DET iajs-3065 33 5 faithfulmultiplication faithfulmultiplication NOUN iajs-3065 33 6 r r NOUN iajs-3065 33 7 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 33 8 module module NOUN iajs-3065 33 9 , , PUNCT iajs-3065 33 10 then then ADV iajs-3065 33 11 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 33 12 ( ( PUNCT iajs-3065 33 13 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 33 14 ) ) PUNCT iajs-3065 33 15 = = SYM iajs-3065 33 16 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 33 17 ( ( PUNCT iajs-3065 33 18 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 33 19 ) ) PUNCT iajs-3065 33 20 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 33 21 lemma lemma PROPN iajs-3065 33 22 2.6 2.6 NUM iajs-3065 34 1 [ [ X iajs-3065 34 2 6 6 NUM iajs-3065 34 3 ] ] PUNCT iajs-3065 34 4 . . PUNCT iajs-3065 35 1 let let VERB iajs-3065 35 2 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 35 3 be be AUX iajs-3065 35 4 a a DET iajs-3065 35 5 faithfulmultiplication faithfulmultiplication NOUN iajs-3065 35 6 r r NOUN iajs-3065 35 7 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 35 8 module module NOUN iajs-3065 35 9 , , PUNCT iajs-3065 35 10 then then ADV iajs-3065 35 11 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 35 12 ( ( PUNCT iajs-3065 35 13 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 35 14 ) ) PUNCT iajs-3065 35 15 = = SYM iajs-3065 35 16 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 35 17 ( ( PUNCT iajs-3065 35 18 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 35 19 ) ) PUNCT iajs-3065 35 20 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 35 21 lemma lemma PROPN iajs-3065 36 1 2.7 2.7 NUM iajs-3065 36 2 [ [ X iajs-3065 36 3 2 2 NUM iajs-3065 36 4 , , PUNCT iajs-3065 36 5 coro.(3.4 coro.(3.4 NOUN iajs-3065 36 6 ) ) PUNCT iajs-3065 36 7 ] ] PUNCT iajs-3065 36 8 . . PUNCT iajs-3065 37 1 let let AUX iajs-3065 37 2 โ„‹ โ„‹ VERB iajs-3065 37 3 an an DET iajs-3065 37 4 ๐‘…-module ๐‘…-module PROPN iajs-3065 37 5 and and CCONJ iajs-3065 37 6 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 37 7 โŠ‚ โŠ‚ PROPN iajs-3065 37 8 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 37 9 then then ADV iajs-3065 37 10 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 37 11 is be AUX iajs-3065 37 12 stpns-2 stpns-2 NOUN iajs-3065 37 13 - - PROPN iajs-3065 37 14 a a DET iajs-3065 37 15 submodule submodule NOUN iajs-3065 37 16 of of ADP iajs-3065 37 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 37 18 ifandonlyif ifandonlyif NOUN iajs-3065 37 19 u2โ„’ u2โ„’ NOUN iajs-3065 37 20 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 37 21 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 37 22 for for ADP iajs-3065 37 23 ๐‘ข ๐‘ข PRON iajs-3065 37 24 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 37 25 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 37 26 and and CCONJ iajs-3065 37 27 โ„’ โ„’ PROPN iajs-3065 37 28 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 37 29 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 37 30 it it PRON iajs-3065 37 31 means mean VERB iajs-3065 37 32 that that SCONJ iajs-3065 37 33 either either CCONJ iajs-3065 37 34 ๐‘ขโ„’ ๐‘ขโ„’ NOUN iajs-3065 37 35 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 37 36 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 37 37 + + NUM iajs-3065 37 38 j(โ„‹ j(โ„‹ PROPN iajs-3065 37 39 ) ) PUNCT iajs-3065 37 40 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 37 41 soc(โ„‹ soc(โ„‹ NUM iajs-3065 37 42 ) ) PUNCT iajs-3065 37 43 or or CCONJ iajs-3065 37 44 u2 u2 PROPN iajs-3065 37 45 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 37 46 [ [ X iajs-3065 37 47 โ„ฑ โ„ฑ X iajs-3065 37 48 + + NUM iajs-3065 37 49 j(โ„‹ j(โ„‹ PROPN iajs-3065 37 50 ) ) PUNCT iajs-3065 37 51 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 37 52 soc(โ„‹):โ„› soc(โ„‹):โ„› PROPN iajs-3065 37 53 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 37 54 ] ] PUNCT iajs-3065 37 55 . . PUNCT iajs-3065 38 1 definition definition NOUN iajs-3065 38 2 2.8 2.8 NUM iajs-3065 38 3 [ [ X iajs-3065 38 4 3 3 NUM iajs-3065 38 5 ] ] PUNCT iajs-3065 38 6 . . PUNCT iajs-3065 39 1 an an DET iajs-3065 39 2 r r NOUN iajs-3065 39 3 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 39 4 module module NOUN iajs-3065 39 5 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 39 6 isaprojective isaprojective ADJ iajs-3065 39 7 if if SCONJ iajs-3065 39 8 for for ADP iajs-3065 39 9 any any DET iajs-3065 39 10 r r NOUN iajs-3065 39 11 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 39 12 epimorphism epimorphism NOUN iajs-3065 39 13 ๐‘“ ๐‘“ DET iajs-3065 39 14 โˆถ โˆถ NOUN iajs-3065 39 15 ๐œ‡ ๐œ‡ ADP iajs-3065 39 16 ๏‚ฎ ๏‚ฎ NOUN iajs-3065 39 17 ๐œ‡๏‚ข ๐œ‡๏‚ข VERB iajs-3065 39 18 and and CCONJ iajs-3065 39 19 every every DET iajs-3065 39 20 r r NOUN iajs-3065 39 21 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 39 22 homomorphism homomorphism NOUN iajs-3065 39 23 ๐‘” ๐‘” PROPN iajs-3065 39 24 โˆถ โˆถ PROPN iajs-3065 39 25 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 39 26 ๏‚ฎ ๏‚ฎ NOUN iajs-3065 39 27 ๐œ‡๏‚ข ๐œ‡๏‚ข VERB iajs-3065 39 28 , , PUNCT iajs-3065 39 29 there there PRON iajs-3065 39 30 exists exist VERB iajs-3065 39 31 an an DET iajs-3065 39 32 r r NOUN iajs-3065 39 33 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 39 34 homomorphism homomorphism NOUN iajs-3065 39 35 โ„Ž โ„Ž ADP iajs-3065 39 36 โˆถ โˆถ NOUN iajs-3065 39 37 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 39 38 ๏‚ฎ ๏‚ฎ NOUN iajs-3065 39 39 ๐œ‡ ๐œ‡ ADP iajs-3065 39 40 such such ADJ iajs-3065 39 41 that that SCONJ iajs-3065 39 42 the the DET iajs-3065 39 43 followingdiagram followingdiagram NOUN iajs-3065 39 44 is be AUX iajs-3065 39 45 commutethat commutethat NOUN iajs-3065 39 46 is be AUX iajs-3065 39 47 ๐‘“๐‘œโ„Ž ๐‘“๐‘œโ„Ž NOUN iajs-3065 39 48 = = PUNCT iajs-3065 40 1 ๐‘”. ๐‘”. PROPN iajs-3065 40 2 lemma lemma PROPN iajs-3065 40 3 2.9 2.9 NUM iajs-3065 41 1 [ [ SYM iajs-3065 41 2 6 6 NUM iajs-3065 41 3 , , PUNCT iajs-3065 41 4 prop prop NOUN iajs-3065 41 5 . . PUNCT iajs-3065 42 1 ( ( PUNCT iajs-3065 42 2 3 3 X iajs-3065 42 3 . . SYM iajs-3065 42 4 24 24 NUM iajs-3065 42 5 ) ) PUNCT iajs-3065 42 6 ] ] PUNCT iajs-3065 42 7 let let VERB iajs-3065 42 8 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 42 9 beaprojective beaprojective ADJ iajs-3065 42 10 r r NOUN iajs-3065 42 11 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 42 12 module module NOUN iajs-3065 42 13 , , PUNCT iajs-3065 42 14 then then ADV iajs-3065 42 15 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 42 16 ( ( PUNCT iajs-3065 42 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 42 18 ) ) PUNCT iajs-3065 42 19 = = SYM iajs-3065 42 20 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 42 21 ( ( PUNCT iajs-3065 42 22 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 42 23 ) ) PUNCT iajs-3065 42 24 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 42 25 lemma lemma PROPN iajs-3065 42 26 2.10 2.10 NUM iajs-3065 42 27 [ [ SYM iajs-3065 42 28 3 3 NUM iajs-3065 42 29 , , PUNCT iajs-3065 42 30 theo theo PROPN iajs-3065 42 31 . . PUNCT iajs-3065 43 1 ( ( PUNCT iajs-3065 43 2 9 9 NUM iajs-3065 43 3 . . NOUN iajs-3065 43 4 2.1 2.1 NUM iajs-3065 43 5 ) ) PUNCT iajs-3065 43 6 ( ( PUNCT iajs-3065 43 7 a a NOUN iajs-3065 43 8 ) ) PUNCT iajs-3065 43 9 ] ] PUNCT iajs-3065 43 10 for for ADP iajs-3065 43 11 anyprojective anyprojective ADJ iajs-3065 43 12 r r NOUN iajs-3065 43 13 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 43 14 module module NOUN iajs-3065 43 15 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 43 16 , , PUNCT iajs-3065 43 17 we we PRON iajs-3065 43 18 have have VERB iajs-3065 43 19 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 43 20 ( ( PUNCT iajs-3065 43 21 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 43 22 ) ) PUNCT iajs-3065 43 23 = = SYM iajs-3065 43 24 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 43 25 ( ( PUNCT iajs-3065 43 26 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 43 27 ) ) PUNCT iajs-3065 43 28 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 43 29 definition definition NOUN iajs-3065 43 30 2.11 2.11 NUM iajs-3065 44 1 [ [ X iajs-3065 44 2 7 7 NUM iajs-3065 44 3 ] ] PUNCT iajs-3065 44 4 an an DET iajs-3065 44 5 r r NOUN iajs-3065 44 6 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 44 7 module module NOUN iajs-3065 44 8 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 44 9 is be AUX iajs-3065 44 10 calledz calledz NOUN iajs-3065 44 11 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 44 12 regular regular ADJ iajs-3065 44 13 if if SCONJ iajs-3065 44 14 for for ADP iajs-3065 44 15 any any DET iajs-3065 44 16 ๐‘ฅ ๐‘ฅ PROPN iajs-3065 44 17 ๏ƒŽ ๏ƒŽ NOUN iajs-3065 44 18 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 44 19 โˆƒ โˆƒ PROPN iajs-3065 44 20 ๐‘” ๐‘” PROPN iajs-3065 44 21 ๏ƒŽ ๏ƒŽ PROPN iajs-3065 44 22 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 44 23 = = SYM iajs-3065 44 24 homr(โ„‹ homr(โ„‹ PROPN iajs-3065 44 25 , , PUNCT iajs-3065 44 26 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 44 27 ) ) PUNCT iajs-3065 44 28 such such ADJ iajs-3065 44 29 that that SCONJ iajs-3065 44 30 ๐‘ฅ ๐‘ฅ PROPN iajs-3065 44 31 = = PUNCT iajs-3065 44 32 ๐‘” ๐‘” PROPN iajs-3065 44 33 ( ( PUNCT iajs-3065 44 34 ๐‘ฅ ๐‘ฅ NOUN iajs-3065 44 35 ) ) PUNCT iajs-3065 44 36 ๐‘ฅ. ๐‘ฅ. NOUN iajs-3065 45 1 lemma lemma PROPN iajs-3065 45 2 2.12 2.12 NUM iajs-3065 45 3 [ [ SYM iajs-3065 45 4 6 6 NUM iajs-3065 45 5 , , PUNCT iajs-3065 45 6 proposition proposition NOUN iajs-3065 45 7 ( ( PUNCT iajs-3065 45 8 3 3 NUM iajs-3065 45 9 . . PUNCT iajs-3065 45 10 25 25 NUM iajs-3065 45 11 ) ) PUNCT iajs-3065 45 12 ] ] PUNCT iajs-3065 45 13 let let VERB iajs-3065 45 14 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 45 15 be be AUX iajs-3065 45 16 a a DET iajs-3065 45 17 z z NOUN iajs-3065 45 18 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 45 19 regularr regularr NOUN iajs-3065 45 20 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 45 21 module module NOUN iajs-3065 45 22 then then ADV iajs-3065 45 23 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 45 24 ( ( PUNCT iajs-3065 45 25 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 45 26 ) ) PUNCT iajs-3065 45 27 = = SYM iajs-3065 45 28 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 45 29 ( ( PUNCT iajs-3065 45 30 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 45 31 ) ) PUNCT iajs-3065 45 32 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 45 33 definition definition NOUN iajs-3065 45 34 2.13 2.13 NUM iajs-3065 45 35 [ [ X iajs-3065 45 36 8 8 NUM iajs-3065 45 37 ] ] PUNCT iajs-3065 45 38 . . PUNCT iajs-3065 46 1 an an DET iajs-3065 46 2 r r NOUN iajs-3065 46 3 - - PUNCT iajs-3065 46 4 module module NOUN iajs-3065 46 5 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 46 6 is be AUX iajs-3065 46 7 said say VERB iajs-3065 46 8 to to PART iajs-3065 46 9 be be AUX iajs-3065 46 10 content content NOUN iajs-3065 46 11 module module NOUN iajs-3065 46 12 if if SCONJ iajs-3065 46 13 ( ( PUNCT iajs-3065 46 14 โˆฉ๐‘–โˆˆ๐ผ โˆฉ๐‘–โˆˆ๐ผ ADJ iajs-3065 46 15 ๐ด๐‘–)โ„‹ ๐ด๐‘–)โ„‹ NOUN iajs-3065 46 16 = = NOUN iajs-3065 46 17 โˆฉ๐‘–โˆˆ๐ผ โˆฉ๐‘–โˆˆ๐ผ ADJ iajs-3065 46 18 ๐ด๐‘–โ„‹ ๐ด๐‘–โ„‹ PROPN iajs-3065 46 19 for for ADP iajs-3065 46 20 each each DET iajs-3065 46 21 family family NOUN iajs-3065 46 22 of of ADP iajs-3065 46 23 ideals ideal NOUN iajs-3065 46 24 ๐ด๐‘– ๐ด๐‘– INTJ iajs-3065 46 25 in in ADP iajs-3065 46 26 ๐‘…. ๐‘…. NOUN iajs-3065 46 27 ihjpas ihjpa NOUN iajs-3065 46 28 . . PUNCT iajs-3065 47 1 36 36 NUM iajs-3065 47 2 ( ( PUNCT iajs-3065 47 3 3 3 NUM iajs-3065 47 4 ) ) PUNCT iajs-3065 47 5 2023 2023 NUM iajs-3065 47 6 308 308 NUM iajs-3065 47 7 lemma lemma PROPN iajs-3065 47 8 2.14 2.14 NUM iajs-3065 47 9 [ [ SYM iajs-3065 47 10 6 6 NUM iajs-3065 47 11 , , PUNCT iajs-3065 47 12 proposition proposition NOUN iajs-3065 47 13 ( ( PUNCT iajs-3065 47 14 1 1 NUM iajs-3065 47 15 . . PUNCT iajs-3065 47 16 11 11 NUM iajs-3065 47 17 ) ) PUNCT iajs-3065 47 18 ] ] PUNCT iajs-3065 47 19 . . PUNCT iajs-3065 48 1 if if SCONJ iajs-3065 48 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 48 3 is be AUX iajs-3065 48 4 content content NOUN iajs-3065 48 5 module module NOUN iajs-3065 48 6 , , PUNCT iajs-3065 48 7 then then ADV iajs-3065 48 8 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 48 9 ( ( PUNCT iajs-3065 48 10 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 48 11 ) ) PUNCT iajs-3065 48 12 = = SYM iajs-3065 48 13 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 48 14 ( ( PUNCT iajs-3065 48 15 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 48 16 ) ) PUNCT iajs-3065 48 17 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 48 18 definition definition NOUN iajs-3065 48 19 2.15 2.15 NUM iajs-3065 48 20 [ [ X iajs-3065 48 21 9 9 NUM iajs-3065 48 22 ] ] PUNCT iajs-3065 48 23 . . PUNCT iajs-3065 49 1 ๐‘(โ„‹ ๐‘(โ„‹ ADV iajs-3065 49 2 ) ) PUNCT iajs-3065 50 1 = = PRON iajs-3065 50 2 { { PUNCT iajs-3065 50 3 ๐‘ฅ ๐‘ฅ PUNCT iajs-3065 50 4 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 50 5 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 50 6 : : PUNCT iajs-3065 50 7 ๐‘Ž๐‘›๐‘›(๐‘ฅ)๐‘’๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘–๐‘Ž๐‘™ ๐‘Ž๐‘›๐‘›(๐‘ฅ)๐‘’๐‘ ๐‘ ๐‘’๐‘›๐‘ก๐‘–๐‘Ž๐‘™ AUX iajs-3065 50 8 ๐‘–๐‘‘๐‘’๐‘Ž๐‘™ ๐‘–๐‘‘๐‘’๐‘Ž๐‘™ ADJ iajs-3065 50 9 ๐‘–๐‘› ๐‘–๐‘› NOUN iajs-3065 50 10 ๐‘… ๐‘… NOUN iajs-3065 50 11 } } PUNCT iajs-3065 50 12 is be AUX iajs-3065 50 13 called call VERB iajs-3065 50 14 singular singular ADJ iajs-3065 50 15 submodule submodule NOUN iajs-3065 50 16 of of ADP iajs-3065 50 17 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 50 18 if if SCONJ iajs-3065 50 19 ๐‘(โ„‹ ๐‘(โ„‹ PRON iajs-3065 50 20 ) ) PUNCT iajs-3065 50 21 = = SYM iajs-3065 50 22 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 50 23 , , PUNCT iajs-3065 50 24 then then ADV iajs-3065 50 25 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 50 26 is be AUX iajs-3065 50 27 called call VERB iajs-3065 50 28 the the DET iajs-3065 50 29 singular singular ADJ iajs-3065 50 30 module module NOUN iajs-3065 50 31 . . PUNCT iajs-3065 51 1 if if SCONJ iajs-3065 51 2 ๐‘(โ„‹ ๐‘(โ„‹ PRON iajs-3065 51 3 ) ) PUNCT iajs-3065 51 4 = = SYM iajs-3065 51 5 0 0 NUM iajs-3065 51 6 , , PUNCT iajs-3065 51 7 then then ADV iajs-3065 51 8 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 51 9 is be AUX iajs-3065 51 10 called call VERB iajs-3065 51 11 the the DET iajs-3065 51 12 non non ADJ iajs-3065 51 13 - - ADJ iajs-3065 51 14 singular singular ADJ iajs-3065 51 15 module module NOUN iajs-3065 51 16 . . PUNCT iajs-3065 52 1 lemma lemma PROPN iajs-3065 52 2 2.16 2.16 NUM iajs-3065 53 1 [ [ X iajs-3065 53 2 9 9 NUM iajs-3065 53 3 , , PUNCT iajs-3065 53 4 coro coro NOUN iajs-3065 53 5 . . PUNCT iajs-3065 54 1 ( ( PUNCT iajs-3065 54 2 1 1 NUM iajs-3065 54 3 . . SYM iajs-3065 54 4 26 26 NUM iajs-3065 54 5 ) ) PUNCT iajs-3065 54 6 ] ] PUNCT iajs-3065 54 7 . . PUNCT iajs-3065 55 1 let let VERB iajs-3065 55 2 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 55 3 be be AUX iajs-3065 55 4 a a DET iajs-3065 55 5 non non ADJ iajs-3065 55 6 - - ADJ iajs-3065 55 7 singularr singularr ADJ iajs-3065 55 8 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 55 9 module module NOUN iajs-3065 55 10 , , PUNCT iajs-3065 55 11 then then ADV iajs-3065 55 12 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 55 13 ( ( PUNCT iajs-3065 55 14 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 55 15 ) ) PUNCT iajs-3065 55 16 = = SYM iajs-3065 55 17 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 55 18 ( ( PUNCT iajs-3065 55 19 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 55 20 ) ) PUNCT iajs-3065 55 21 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 55 22 definition definition NOUN iajs-3065 55 23 2.17 2.17 NUM iajs-3065 55 24 [ [ X iajs-3065 55 25 3 3 NUM iajs-3065 55 26 ] ] PUNCT iajs-3065 55 27 . . PUNCT iajs-3065 56 1 an an DET iajs-3065 56 2 r r NOUN iajs-3065 56 3 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 56 4 module module NOUN iajs-3065 56 5 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 56 6 is be AUX iajs-3065 56 7 finitely finitely ADV iajs-3065 56 8 generated generate VERB iajs-3065 56 9 if if SCONJ iajs-3065 56 10 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 56 11 = = PUNCT iajs-3065 56 12 โŒฉ โŒฉ NOUN iajs-3065 56 13 ๐‘ง1 ๐‘ง1 NOUN iajs-3065 56 14 , , PUNCT iajs-3065 56 15 ๐‘ง2 ๐‘ง2 NOUN iajs-3065 56 16 , , PUNCT iajs-3065 56 17 ๐‘ง3 ๐‘ง3 PROPN iajs-3065 56 18 , , PUNCT iajs-3065 56 19 . . PUNCT iajs-3065 56 20 . . PUNCT iajs-3065 56 21 . . 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X iajs-3065 74 1 the the DET iajs-3065 74 2 results result NOUN iajs-3065 74 3 inthis inthis NOUN iajs-3065 74 4 section section NOUN iajs-3065 74 5 we we PRON iajs-3065 74 6 introduce introduce VERB iajs-3065 74 7 the the DET iajs-3065 74 8 definition definition NOUN iajs-3065 74 9 of of ADP iajs-3065 74 10 strongly strongly ADV iajs-3065 74 11 pseudo pseudo NOUN iajs-3065 74 12 nearly nearly ADV iajs-3065 74 13 semi-2 semi-2 NOUN iajs-3065 74 14 - - PUNCT iajs-3065 74 15 absorbingsubmodule absorbingsubmodule PROPN iajs-3065 74 16 and and CCONJ iajs-3065 74 17 we we PRON iajs-3065 74 18 introduce introduce VERB iajs-3065 74 19 several several ADJ iajs-3065 74 20 characterzations characterzation NOUN iajs-3065 74 21 of of ADP iajs-3065 74 22 stpns stpns ADJ iajs-3065 74 23 - - PUNCT iajs-3065 74 24 asubmodules asubmodule NOUN iajs-3065 74 25 in in ADP iajs-3065 74 26 classes class NOUN iajs-3065 74 27 of of ADP iajs-3065 74 28 multiplicationmodules multiplicationmodule NOUN iajs-3065 74 29 and and CCONJ iajs-3065 74 30 other other ADJ iajs-3065 74 31 types type NOUN iajs-3065 74 32 of of ADP iajs-3065 74 33 modules module NOUN iajs-3065 74 34 : : PUNCT iajs-3065 74 35 definition definition NOUN iajs-3065 74 36 3.1[2 3.1[2 NOUN iajs-3065 74 37 ] ] X iajs-3065 74 38 a a DET iajs-3065 74 39 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 74 40 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 74 41 of of ADP iajs-3065 74 42 an an DET iajs-3065 74 43 ๐‘…-module ๐‘…-module PROPN iajs-3065 74 44 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 74 45 is be AUX iajs-3065 74 46 called call VERB iajs-3065 74 47 to to PART iajs-3065 74 48 be be AUX iajs-3065 74 49 strongly strongly ADV iajs-3065 74 50 pseudo pseudo ADJ iajs-3065 74 51 nearly nearly ADV iajs-3065 74 52 semi-2absorbing semi-2absorbe VERB iajs-3065 74 53 submodule submodule NOUN iajs-3065 74 54 of of ADP iajs-3065 74 55 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 74 56 ( ( PUNCT iajs-3065 74 57 for for ADP iajs-3065 74 58 short short ADJ iajs-3065 74 59 stpns stpns NOUN iajs-3065 74 60 ) ) PUNCT iajs-3065 74 61 if if SCONJ iajs-3065 74 62 whenever whenever SCONJ iajs-3065 74 63 ๐‘ข2ฯฐ ๐‘ข2ฯฐ PROPN iajs-3065 74 64 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 74 65 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 74 66 , , PUNCT iajs-3065 74 67 for for ADP iajs-3065 74 68 ๐‘ข ๐‘ข PRON iajs-3065 74 69 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 74 70 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 74 71 , , PUNCT iajs-3065 74 72 ๐œ˜ ๐œ˜ X iajs-3065 74 73 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 74 74 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 74 75 implies imply VERB iajs-3065 74 76 that that SCONJ iajs-3065 74 77 either either CCONJ iajs-3065 74 78 ๐‘ข๐œ˜ ๐‘ข๐œ˜ NUM iajs-3065 74 79 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 74 80 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 74 81 + + CCONJ iajs-3065 74 82 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ NOUN iajs-3065 74 83 ) ) PUNCT iajs-3065 74 84 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 74 85 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 74 86 ) ) PUNCT iajs-3065 74 87 or or CCONJ iajs-3065 74 88 ๐‘ข2 ๐‘ข2 PROPN iajs-3065 74 89 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 75 1 [ [ X iajs-3065 75 2 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 75 3 + + NUM iajs-3065 75 4 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ NOUN iajs-3065 75 5 ) ) PUNCT iajs-3065 75 6 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 75 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹):๐‘… PROPN iajs-3065 75 8 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 75 9 ] ] PUNCT iajs-3065 75 10 . . PUNCT iajs-3065 76 1 the the DET iajs-3065 76 2 following follow VERB iajs-3065 76 3 proposition proposition NOUN iajs-3065 76 4 gives give VERB iajs-3065 76 5 characterization characterization NOUN iajs-3065 76 6 of of ADP iajs-3065 76 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 76 8 - - PUNCT iajs-3065 76 9 asubmodules asubmodule NOUN iajs-3065 76 10 in in ADP iajs-3065 76 11 classes class NOUN iajs-3065 76 12 of of ADP iajs-3065 76 13 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 76 14 modules module NOUN iajs-3065 76 15 . . PUNCT iajs-3065 77 1 proposition proposition NOUN iajs-3065 77 2 3.2 3.2 NUM iajs-3065 77 3 a a DET iajs-3065 77 4 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 77 5 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 77 6 of of ADP iajs-3065 77 7 a a DET iajs-3065 77 8 multiplication๐‘…-module multiplication๐‘…-module NOUN iajs-3065 77 9 h h NOUN iajs-3065 77 10 is be AUX iajs-3065 77 11 stpns stpns ADJ iajs-3065 77 12 - - PUNCT iajs-3065 77 13 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 77 14 of of ADP iajs-3065 77 15 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 77 16 if if SCONJ iajs-3065 78 1 and and CCONJ iajs-3065 78 2 only only ADV iajs-3065 78 3 if if SCONJ iajs-3065 78 4 ๐ด2๐พ ๐ด2๐พ PROPN iajs-3065 78 5 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 78 6 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 78 7 for for ADP iajs-3065 78 8 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 78 9 , , PUNCT iajs-3065 78 10 ๐พ ๐พ PROPN iajs-3065 78 11 are be AUX iajs-3065 78 12 submodules submodule NOUN iajs-3065 78 13 of of ADP iajs-3065 78 14 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 78 15 , , PUNCT iajs-3065 78 16 implies imply VERB iajs-3065 78 17 that that SCONJ iajs-3065 78 18 either either CCONJ iajs-3065 78 19 ๐ด๐พ ๐ด๐พ PROPN iajs-3065 78 20 โŠ† โŠ† PROPN iajs-3065 78 21 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 78 22 + + CCONJ iajs-3065 78 23 ( ( PUNCT iajs-3065 78 24 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 78 25 ) ) PUNCT iajs-3065 78 26 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 78 27 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 78 28 ) ) PUNCT iajs-3065 78 29 ) ) PUNCT iajs-3065 78 30 or or CCONJ iajs-3065 78 31 ๐ด2 ๐ด2 PROPN iajs-3065 78 32 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 78 33 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 78 34 + + CCONJ iajs-3065 78 35 ( ( PUNCT iajs-3065 78 36 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 78 37 ) ) PUNCT iajs-3065 78 38 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 78 39 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 78 40 ) ) PUNCT iajs-3065 78 41 ) ) PUNCT iajs-3065 78 42 . . PUNCT iajs-3065 78 43 . . PUNCT iajs-3065 79 1 proof proof NOUN iajs-3065 79 2 ( ( PUNCT iajs-3065 79 3 โŸน โŸน X iajs-3065 79 4 ) ) PUNCT iajs-3065 79 5 let let VERB iajs-3065 79 6 ๐‘Ÿ2๐พ ๐‘Ÿ2๐พ NOUN iajs-3065 79 7 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 79 8 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 79 9 for for ADP iajs-3065 79 10 ๐‘Ÿ ๐‘Ÿ DET iajs-3065 79 11 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 79 12 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 79 13 , , PUNCT iajs-3065 79 14 ๐พ ๐พ PROPN iajs-3065 79 15 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 79 16 ๐ป. ๐ป. PROPN iajs-3065 79 17 but but CCONJ iajs-3065 79 18 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 79 19 is be AUX iajs-3065 79 20 a a DET iajs-3065 79 21 multiplicationmodule multiplicationmodule NOUN iajs-3065 79 22 , , PUNCT iajs-3065 79 23 then then ADV iajs-3065 79 24 ๐พ= ๐พ= PROPN iajs-3065 79 25 ๐ผ๐ป ๐ผ๐ป PROPN iajs-3065 79 26 forsome forsome NOUN iajs-3065 79 27 ideal ideal NOUN iajs-3065 80 1 i i PRON iajs-3065 80 2 of of ADP iajs-3065 80 3 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 80 4 , , PUNCT iajs-3065 80 5 it it PRON iajs-3065 80 6 follows follow VERB iajs-3065 80 7 that that SCONJ iajs-3065 80 8 ๐‘Ÿ2๐ผ๐ป ๐‘Ÿ2๐ผ๐ป PROPN iajs-3065 80 9 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 80 10 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 80 11 , , PUNCT iajs-3065 80 12 it it PRON iajs-3065 80 13 follows follow VERB iajs-3065 80 14 by by ADP iajs-3065 80 15 hypothesis hypothesis NOUN iajs-3065 80 16 either either CCONJ iajs-3065 80 17 ๐‘Ÿ๐ผ๐ป ๐‘Ÿ๐ผ๐ป NOUN iajs-3065 81 1 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 81 2 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 81 3 + + CCONJ iajs-3065 81 4 ( ( PUNCT iajs-3065 81 5 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 81 6 ) ) PUNCT iajs-3065 81 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 81 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป))or ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป))or NUM iajs-3065 81 9 ๐‘Ÿ2 ๐‘Ÿ2 NOUN iajs-3065 81 10 โˆˆ โˆˆ NOUN iajs-3065 82 1 [ [ X iajs-3065 82 2 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 82 3 + + CCONJ iajs-3065 82 4 ( ( PUNCT iajs-3065 82 5 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 82 6 ) ) PUNCT iajs-3065 82 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 82 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 82 9 ) ) PUNCT iajs-3065 82 10 ) ) PUNCT iajs-3065 82 11 : : PUNCT iajs-3065 82 12 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 82 13 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 82 14 ] ] PUNCT iajs-3065 82 15 . . PUNCT iajs-3065 83 1 that that PRON iajs-3065 83 2 is be AUX iajs-3065 83 3 either either CCONJ iajs-3065 83 4 ๐‘Ÿ๐พ ๐‘Ÿ๐พ PROPN iajs-3065 83 5 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 83 6 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 83 7 + + CCONJ iajs-3065 83 8 ( ( PUNCT iajs-3065 83 9 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 83 10 ) ) PUNCT iajs-3065 83 11 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 83 12 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 83 13 ) ) PUNCT iajs-3065 83 14 ) ) PUNCT iajs-3065 83 15 or or CCONJ iajs-3065 83 16 ๐‘Ÿ2 ๐‘Ÿ2 NOUN iajs-3065 83 17 โˆˆ โˆˆ NOUN iajs-3065 83 18 [ [ X iajs-3065 83 19 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 83 20 + + CCONJ iajs-3065 83 21 ( ( PUNCT iajs-3065 83 22 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 83 23 ) ) PUNCT iajs-3065 83 24 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 83 25 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 83 26 ) ) PUNCT iajs-3065 83 27 ) ) PUNCT iajs-3065 83 28 : : PUNCT iajs-3065 83 29 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 83 30 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 83 31 ] ] PUNCT iajs-3065 83 32 . . PUNCT iajs-3065 84 1 hence hence ADV iajs-3065 84 2 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 84 3 is be AUX iajs-3065 84 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 84 5 - - PUNCT iajs-3065 84 6 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 84 7 of of ADP iajs-3065 84 8 ๐ป. ๐ป. PROPN iajs-3065 84 9 ( ( PUNCT iajs-3065 84 10 โŸธ)let โŸธ)let PROPN iajs-3065 84 11 ๐ด2๐พ ๐ด2๐พ NOUN iajs-3065 84 12 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 84 13 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 84 14 for for ADP iajs-3065 84 15 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 84 16 , , PUNCT iajs-3065 84 17 ๐พ ๐พ PROPN iajs-3065 84 18 are be AUX iajs-3065 84 19 submodules submodule NOUN iajs-3065 84 20 of of ADP iajs-3065 84 21 a a DET iajs-3065 84 22 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 84 23 module module NOUN iajs-3065 84 24 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 84 25 , , PUNCT iajs-3065 84 26 it it PRON iajs-3065 84 27 follows follow VERB iajs-3065 84 28 that that SCONJ iajs-3065 84 29 ( ( PUNCT iajs-3065 84 30 ๐ผ๐ป)2(๐ฝ๐ป ๐ผ๐ป)2(๐ฝ๐ป X iajs-3065 84 31 ) ) PUNCT iajs-3065 84 32 = = SYM iajs-3065 85 1 ๐ผ2๐ฝ๐ป ๐ผ2๐ฝ๐ป PROPN iajs-3065 85 2 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 85 3 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 85 4 for for ADP iajs-3065 85 5 some some DET iajs-3065 85 6 ideals ideal NOUN iajs-3065 85 7 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 85 8 , , PUNCT iajs-3065 85 9 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 85 10 of of ADP iajs-3065 85 11 ๐‘…. ๐‘…. ADV iajs-3065 85 12 since since SCONJ iajs-3065 85 13 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 85 14 is be AUX iajs-3065 85 15 stpns stpns ADJ iajs-3065 85 16 - - PUNCT iajs-3065 85 17 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 85 18 of of ADP iajs-3065 85 19 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 85 20 , , PUNCT iajs-3065 85 21 then then ADV iajs-3065 85 22 by by ADP iajs-3065 85 23 ihjpas ihjpas PROPN iajs-3065 85 24 . . PUNCT iajs-3065 86 1 36 36 NUM iajs-3065 86 2 ( ( PUNCT iajs-3065 86 3 3 3 NUM iajs-3065 86 4 ) ) PUNCT iajs-3065 86 5 2023 2023 NUM iajs-3065 86 6 309 309 NUM iajs-3065 86 7 lemma lemma PROPN iajs-3065 86 8 2.2 2.2 NUM iajs-3065 86 9 we we PRON iajs-3065 86 10 have have VERB iajs-3065 86 11 either either CCONJ iajs-3065 86 12 ๐ผ๐ฝ๐ป ๐ผ๐ฝ๐ป PROPN iajs-3065 86 13 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 86 14 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 86 15 + + NUM iajs-3065 86 16 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 86 17 ) ) PUNCT iajs-3065 86 18 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 86 19 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 86 20 ) ) PUNCT iajs-3065 86 21 or or CCONJ iajs-3065 86 22 ๐ผ2 ๐ผ2 VERB iajs-3065 86 23 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 86 24 [ [ X iajs-3065 86 25 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 86 26 + + NUM iajs-3065 86 27 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 86 28 ) ) PUNCT iajs-3065 86 29 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 86 30 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 86 31 ) ) PUNCT iajs-3065 86 32 : : PUNCT iajs-3065 86 33 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 86 34 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 86 35 ] ] PUNCT iajs-3065 86 36 , , PUNCT iajs-3065 86 37 that that PRON iajs-3065 86 38 is be AUX iajs-3065 86 39 either either CCONJ iajs-3065 86 40 ๐ด๐พ ๐ด๐พ PROPN iajs-3065 86 41 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 86 42 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 86 43 + + CCONJ iajs-3065 86 44 ( ( PUNCT iajs-3065 86 45 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 86 46 ) ) PUNCT iajs-3065 86 47 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 86 48 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 86 49 ) ) PUNCT iajs-3065 86 50 ) ) PUNCT iajs-3065 86 51 or or CCONJ iajs-3065 86 52 ๐ด2 ๐ด2 PROPN iajs-3065 86 53 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 86 54 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 86 55 + + CCONJ iajs-3065 86 56 ( ( PUNCT iajs-3065 86 57 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 86 58 ) ) PUNCT iajs-3065 86 59 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 86 60 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 86 61 ) ) PUNCT iajs-3065 86 62 ) ) PUNCT iajs-3065 86 63 . . PUNCT iajs-3065 87 1 as as ADP iajs-3065 87 2 a a DET iajs-3065 87 3 directresult directresult NOUN iajs-3065 87 4 of of ADP iajs-3065 87 5 proposition proposition NOUN iajs-3065 87 6 3.2 3.2 NUM iajs-3065 87 7 we we PRON iajs-3065 87 8 have have VERB iajs-3065 87 9 the the DET iajs-3065 87 10 followingcorollaries followingcorollarie NOUN iajs-3065 87 11 . . PUNCT iajs-3065 88 1 corollary corollary ADJ iajs-3065 88 2 3.3 3.3 NUM iajs-3065 88 3 a a DET iajs-3065 88 4 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 88 5 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 88 6 of of ADP iajs-3065 88 7 a a DET iajs-3065 88 8 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 88 9 ๐‘…-module ๐‘…-module PROPN iajs-3065 88 10 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 88 11 is be AUX iajs-3065 88 12 stpns stpns ADJ iajs-3065 88 13 - - PUNCT iajs-3065 88 14 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 88 15 of of ADP iajs-3065 88 16 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 88 17 if if SCONJ iajs-3065 89 1 and and CCONJ iajs-3065 89 2 only only ADV iajs-3065 89 3 if if SCONJ iajs-3065 89 4 ๐ด2โ„Ž ๐ด2โ„Ž PROPN iajs-3065 89 5 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 89 6 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 89 7 for for ADP iajs-3065 89 8 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 89 9 is be AUX iajs-3065 89 10 a a DET iajs-3065 89 11 submodules submodule NOUN iajs-3065 89 12 of of ADP iajs-3065 89 13 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 89 14 and and CCONJ iajs-3065 89 15 โ„Ž โ„Ž ADP iajs-3065 89 16 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 89 17 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 89 18 , , PUNCT iajs-3065 89 19 it it PRON iajs-3065 89 20 means mean VERB iajs-3065 89 21 that that SCONJ iajs-3065 89 22 either either CCONJ iajs-3065 89 23 ๐ดโ„Ž ๐ดโ„Ž PROPN iajs-3065 89 24 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 89 25 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 89 26 + + CCONJ iajs-3065 89 27 ( ( PUNCT iajs-3065 89 28 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 89 29 ) ) PUNCT iajs-3065 89 30 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 89 31 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 89 32 ) ) PUNCT iajs-3065 89 33 ) ) PUNCT iajs-3065 89 34 or or CCONJ iajs-3065 89 35 ๐ด2 ๐ด2 PROPN iajs-3065 89 36 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 89 37 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 89 38 + + CCONJ iajs-3065 89 39 ( ( PUNCT iajs-3065 89 40 ๐ฝ(๐ป ๐ฝ(๐ป PROPN iajs-3065 89 41 ) ) PUNCT iajs-3065 89 42 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 89 43 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐ป NUM iajs-3065 89 44 ) ) PUNCT iajs-3065 89 45 ) ) PUNCT iajs-3065 89 46 . . PUNCT iajs-3065 90 1 corollary corollary NOUN iajs-3065 90 2 3.4 3.4 NUM iajs-3065 90 3 a a DET iajs-3065 90 4 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 90 5 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 90 6 of of ADP iajs-3065 90 7 a a DET iajs-3065 90 8 multiplication๐‘…-module multiplication๐‘…-module NOUN iajs-3065 90 9 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 90 10 is be AUX iajs-3065 90 11 stpns stpns ADJ iajs-3065 90 12 - - PUNCT iajs-3065 90 13 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 90 14 of of ADP iajs-3065 90 15 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 90 16 if if SCONJ iajs-3065 91 1 and and CCONJ iajs-3065 91 2 only only ADV iajs-3065 91 3 if if SCONJ iajs-3065 91 4 โ„Ž2๐พ โ„Ž2๐พ NOUN iajs-3065 91 5 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 91 6 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 91 7 for for ADP iajs-3065 91 8 โ„Ž โ„Ž PROPN iajs-3065 91 9 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 91 10 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 91 11 and and CCONJ iajs-3065 91 12 ๐พ ๐พ PROPN iajs-3065 91 13 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 91 14 ๐ป ๐ป PROPN iajs-3065 91 15 , , PUNCT iajs-3065 91 16 it it PRON iajs-3065 91 17 means mean VERB iajs-3065 91 18 that that SCONJ iajs-3065 91 19 either either CCONJ iajs-3065 91 20 โ„Ž๐พ โ„Ž๐พ ADJ iajs-3065 91 21 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 91 22 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 91 23 + + CCONJ iajs-3065 91 24 ( ( PUNCT iajs-3065 91 25 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 91 26 ) ) PUNCT iajs-3065 91 27 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 91 28 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 91 29 ) ) PUNCT iajs-3065 91 30 ) ) PUNCT iajs-3065 91 31 or or CCONJ iajs-3065 91 32 โ„Ž2 โ„Ž2 VERB iajs-3065 91 33 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 91 34 ๐น ๐น PROPN iajs-3065 91 35 + + CCONJ iajs-3065 91 36 ( ( PUNCT iajs-3065 91 37 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 91 38 ) ) PUNCT iajs-3065 91 39 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 91 40 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 91 41 ) ) PUNCT iajs-3065 91 42 ) ) PUNCT iajs-3065 91 43 . . PUNCT iajs-3065 92 1 remaek remaek NOUN iajs-3065 92 2 3.5 3.5 NUM iajs-3065 92 3 if if SCONJ iajs-3065 92 4 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 92 5 is be AUX iajs-3065 92 6 an an DET iajs-3065 92 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 92 8 - - PUNCT iajs-3065 92 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 92 10 of of ADP iajs-3065 92 11 an an DET iajs-3065 92 12 r_module r_module NOUN iajs-3065 92 13 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 92 14 , , PUNCT iajs-3065 92 15 then then ADV iajs-3065 92 16 [ [ X iajs-3065 92 17 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 92 18 โ„‹๐‘… โ„‹๐‘… PROPN iajs-3065 92 19 : : PUNCT iajs-3065 92 20 ] ] PUNCT iajs-3065 92 21 it it PRON iajs-3065 92 22 does do AUX iajs-3065 92 23 nโ€™t not PART iajs-3065 92 24 have have VERB iajs-3065 92 25 to to PART iajs-3065 92 26 be be AUX iajs-3065 92 27 an an DET iajs-3065 92 28 stpnsaideal stpnsaideal NOUN iajs-3065 92 29 of of ADP iajs-3065 92 30 r r NOUN iajs-3065 92 31 , , PUNCT iajs-3065 92 32 the the DET iajs-3065 92 33 followingexample followingexample ADJ iajs-3065 92 34 explainthat explainthat NOUN iajs-3065 92 35 : : PUNCT iajs-3065 92 36 considerthe considerthe PROPN iajs-3065 92 37 z z NOUN iajs-3065 92 38 - - PUNCT iajs-3065 92 39 module module NOUN iajs-3065 92 40 ๐‘36 ๐‘36 PROPN iajs-3065 92 41 , , PUNCT iajs-3065 92 42 the the DET iajs-3065 92 43 submodule submodule NOUN iajs-3065 92 44 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 92 45 = = SYM iajs-3065 93 1 โŒฉ โŒฉ PROPN iajs-3065 93 2 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… PROPN iajs-3065 93 3 โŒช โŒช NOUN iajs-3065 93 4 is be AUX iajs-3065 93 5 an an DET iajs-3065 93 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 93 7 - - PUNCT iajs-3065 93 8 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 93 9 of of ADP iajs-3065 93 10 the the DET iajs-3065 93 11 z_module z_module PROPN iajs-3065 93 12 ๐‘36 ๐‘36 PROPN iajs-3065 93 13 , , PUNCT iajs-3065 93 14 since since SCONJ iajs-3065 93 15 22 22 NUM iajs-3065 93 16 . . PUNCT iajs-3065 94 1 3ฬ… 3ฬ… NUM iajs-3065 94 2 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 94 3 โŒฉ โŒฉ PROPN iajs-3065 94 4 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… PROPN iajs-3065 94 5 โŒช โŒช NOUN iajs-3065 94 6 , , PUNCT iajs-3065 94 7 implies imply VERB iajs-3065 94 8 that that SCONJ iajs-3065 94 9 2 2 X iajs-3065 94 10 . . X iajs-3065 94 11 3ฬ… 3ฬ… NUM iajs-3065 94 12 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 94 13 โŒฉ โŒฉ PROPN iajs-3065 94 14 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… ADJ iajs-3065 94 15 โŒช โŒช NOUN iajs-3065 94 16 + + CCONJ iajs-3065 94 17 ( ( PUNCT iajs-3065 94 18 ๐ฝ(๐‘36 ๐ฝ(๐‘36 PROPN iajs-3065 94 19 ) ) PUNCT iajs-3065 94 20 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 94 21 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘36 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘36 NUM iajs-3065 94 22 ) ) PUNCT iajs-3065 94 23 ) ) PUNCT iajs-3065 94 24 = = PUNCT iajs-3065 95 1 โŒฉ โŒฉ PROPN iajs-3065 95 2 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… NOUN iajs-3065 95 3 โŒช โŒช NOUN iajs-3065 95 4 + + CCONJ iajs-3065 95 5 ( ( PUNCT iajs-3065 95 6 โŒฉ โŒฉ PROPN iajs-3065 95 7 6ฬ… 6ฬ… ADJ iajs-3065 95 8 โŒช โŒช NOUN iajs-3065 95 9 โˆฉ โˆฉ X iajs-3065 95 10 โŒฉ โŒฉ PROPN iajs-3065 95 11 6ฬ… 6ฬ… NOUN iajs-3065 95 12 โŒช โŒช NOUN iajs-3065 95 13 ) ) PUNCT iajs-3065 95 14 = = PUNCT iajs-3065 96 1 โŒฉ โŒฉ PROPN iajs-3065 96 2 6ฬ… 6ฬ… NOUN iajs-3065 96 3 โŒช โŒช NOUN iajs-3065 96 4 , , PUNCT iajs-3065 96 5 but but CCONJ iajs-3065 96 6 [ [ X iajs-3065 96 7 โŒฉ โŒฉ ADJ iajs-3065 96 8 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… 12ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… ADJ iajs-3065 96 9 โŒช โŒช NOUN iajs-3065 97 1 ๐‘36๐‘… ๐‘36๐‘… PROPN iajs-3065 97 2 : : PUNCT iajs-3065 97 3 ] ] PUNCT iajs-3065 97 4 = = SYM iajs-3065 97 5 12๐‘ 12๐‘ NUM iajs-3065 97 6 is be AUX iajs-3065 97 7 not not PART iajs-3065 97 8 to to PART iajs-3065 97 9 be be AUX iajs-3065 97 10 an an DET iajs-3065 97 11 stpns stpns ADJ iajs-3065 97 12 - - PUNCT iajs-3065 97 13 aideal aideal NOUN iajs-3065 97 14 of of ADP iajs-3065 97 15 z z PROPN iajs-3065 97 16 , , PUNCT iajs-3065 97 17 because because SCONJ iajs-3065 97 18 22 22 NUM iajs-3065 97 19 . . SYM iajs-3065 97 20 3 3 NUM iajs-3065 97 21 โˆˆ โˆˆ NOUN iajs-3065 97 22 12๐‘,but 12๐‘,but NUM iajs-3065 97 23 2.3 2.3 NUM iajs-3065 97 24 โˆ‰ โˆ‰ X iajs-3065 97 25 12๐‘ 12๐‘ NUM iajs-3065 97 26 + + CCONJ iajs-3065 97 27 ( ( PUNCT iajs-3065 97 28 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘ NUM iajs-3065 97 29 ) ) PUNCT iajs-3065 97 30 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 97 31 ๐ฝ(๐‘ ๐ฝ(๐‘ NOUN iajs-3065 97 32 ) ) PUNCT iajs-3065 97 33 ) ) PUNCT iajs-3065 98 1 = = SYM iajs-3065 98 2 12๐‘ 12๐‘ NUM iajs-3065 98 3 and22 and22 NOUN iajs-3065 98 4 โˆ‰ โˆ‰ PROPN iajs-3065 99 1 [ [ X iajs-3065 99 2 12๐‘ 12๐‘ NUM iajs-3065 99 3 + + CCONJ iajs-3065 99 4 ( ( PUNCT iajs-3065 99 5 ๐ฝ(๐‘ ๐ฝ(๐‘ NOUN iajs-3065 99 6 ) ) PUNCT iajs-3065 99 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 99 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘ NUM iajs-3065 99 9 ) ) PUNCT iajs-3065 99 10 ) ) PUNCT iajs-3065 100 1 ๐‘… ๐‘… NOUN iajs-3065 100 2 : : PUNCT iajs-3065 100 3 ๐‘ ๐‘ PROPN iajs-3065 100 4 ] ] PUNCT iajs-3065 100 5 = = PUNCT iajs-3065 100 6 12๐‘. 12๐‘. NUM iajs-3065 100 7 the the DET iajs-3065 100 8 above above ADJ iajs-3065 100 9 remark remark NOUN iajs-3065 100 10 satsfay satsfay NOUN iajs-3065 100 11 under under ADP iajs-3065 100 12 certain certain ADJ iajs-3065 100 13 conditions condition NOUN iajs-3065 100 14 . . PUNCT iajs-3065 101 1 proposition proposition NOUN iajs-3065 101 2 3.6 3.6 NUM iajs-3065 101 3 let let VERB iajs-3065 101 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 101 5 a a DET iajs-3065 101 6 faithful faithful ADJ iajs-3065 101 7 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 101 8 ๐‘…-module ๐‘…-module PROPN iajs-3065 101 9 and and CCONJ iajs-3065 101 10 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 101 11 โŠ‚ โŠ‚ PROPN iajs-3065 101 12 โ„‹.then โ„‹.then ADP iajs-3065 101 13 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 101 14 is be AUX iajs-3065 101 15 stpns stpns ADJ iajs-3065 101 16 - - PUNCT iajs-3065 101 17 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 101 18 of of ADP iajs-3065 101 19 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 102 1 if if SCONJ iajs-3065 103 1 and and CCONJ iajs-3065 103 2 only only ADV iajs-3065 103 3 if if SCONJ iajs-3065 103 4 [ [ X iajs-3065 103 5 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 103 6 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 103 7 ] ] PUNCT iajs-3065 103 8 is be AUX iajs-3065 103 9 stpns stpns ADJ iajs-3065 103 10 - - PUNCT iajs-3065 103 11 aideal aideal NOUN iajs-3065 103 12 of of ADP iajs-3065 103 13 ๐‘…. ๐‘…. ADJ iajs-3065 103 14 proof proof NOUN iajs-3065 103 15 ( ( PUNCT iajs-3065 103 16 โŸน โŸน X iajs-3065 103 17 ) ) PUNCT iajs-3065 103 18 let let VERB iajs-3065 103 19 i2j i2j ADV iajs-3065 103 20 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 103 21 [ [ PUNCT iajs-3065 103 22 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 103 23 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 103 24 ] ] PUNCT iajs-3065 103 25 forsome forsome NOUN iajs-3065 103 26 ideals ideal NOUN iajs-3065 104 1 i i PRON iajs-3065 104 2 , , PUNCT iajs-3065 104 3 j j PROPN iajs-3065 104 4 of of ADP iajs-3065 104 5 r r PROPN iajs-3065 104 6 , , PUNCT iajs-3065 104 7 hence hence ADV iajs-3065 104 8 i2(jโ„‹ i2(jโ„‹ NOUN iajs-3065 104 9 ) ) PUNCT iajs-3065 104 10 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 104 11 โ„ฑ. โ„ฑ. NOUN iajs-3065 104 12 but but CCONJ iajs-3065 104 13 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 104 14 is be AUX iajs-3065 104 15 stpnsasubmodule stpnsasubmodule NOUN iajs-3065 104 16 of of ADP iajs-3065 104 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 104 18 , , PUNCT iajs-3065 104 19 then then ADV iajs-3065 104 20 by by ADP iajs-3065 104 21 lemma lemma PROPN iajs-3065 104 22 2.2 2.2 NUM iajs-3065 104 23 either either CCONJ iajs-3065 104 24 i(jโ„‹ i(jโ„‹ PROPN iajs-3065 104 25 ) ) PUNCT iajs-3065 104 26 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 104 27 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 104 28 + + CCONJ iajs-3065 104 29 ( ( PUNCT iajs-3065 104 30 j(โ„‹ j(โ„‹ PROPN iajs-3065 104 31 ) ) PUNCT iajs-3065 104 32 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 104 33 soc(โ„‹))or soc(โ„‹))or PROPN iajs-3065 104 34 i2 i2 PROPN iajs-3065 104 35 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 104 36 [ [ X iajs-3065 104 37 โ„ฑ โ„ฑ X iajs-3065 104 38 + + CCONJ iajs-3065 104 39 ( ( PUNCT iajs-3065 104 40 j(โ„‹ j(โ„‹ PROPN iajs-3065 104 41 ) ) PUNCT iajs-3065 104 42 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 104 43 soc(โ„‹)):r soc(โ„‹)):r NUM iajs-3065 104 44 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 104 45 ] ] PUNCT iajs-3065 104 46 . . PUNCT iajs-3065 105 1 since since SCONJ iajs-3065 105 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 105 3 is be AUX iajs-3065 105 4 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 105 5 , , PUNCT iajs-3065 105 6 then then ADV iajs-3065 105 7 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 105 8 = = PUNCT iajs-3065 106 1 [ [ PUNCT iajs-3065 106 2 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 106 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 106 4 and and CCONJ iajs-3065 106 5 since since SCONJ iajs-3065 106 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 106 7 is be AUX iajs-3065 106 8 faithful faithful ADJ iajs-3065 106 9 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 106 10 , , PUNCT iajs-3065 106 11 then then ADV iajs-3065 106 12 by by ADP iajs-3065 106 13 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 106 14 2.5 2.5 NUM iajs-3065 106 15 , , PUNCT iajs-3065 106 16 2.6 2.6 NUM iajs-3065 106 17 soc(โ„‹ soc(โ„‹ NUM iajs-3065 106 18 ) ) PUNCT iajs-3065 106 19 = = VERB iajs-3065 106 20 soc(r)โ„‹ soc(r)โ„‹ NOUN iajs-3065 106 21 and and CCONJ iajs-3065 106 22 j(โ„‹ j(โ„‹ PROPN iajs-3065 106 23 ) ) PUNCT iajs-3065 107 1 = = PUNCT iajs-3065 108 1 j(r)โ„‹. j(r)โ„‹. NOUN iajs-3065 108 2 thus thus ADV iajs-3065 108 3 either either CCONJ iajs-3065 108 4 i(jโ„‹ i(jโ„‹ PROPN iajs-3065 108 5 ) ) PUNCT iajs-3065 108 6 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 109 1 [ [ X iajs-3065 109 2 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 109 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 109 4 + + CCONJ iajs-3065 109 5 j(r)โ„‹ j(r)โ„‹ VERB iajs-3065 109 6 โˆฉ โˆฉ ADJ iajs-3065 109 7 soc(r)โ„‹ soc(r)โ„‹ NOUN iajs-3065 109 8 or or CCONJ iajs-3065 109 9 i2โ„‹ i2โ„‹ NOUN iajs-3065 109 10 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 109 11 [ [ PUNCT iajs-3065 109 12 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 109 13 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 109 14 + + CCONJ iajs-3065 109 15 ( ( PUNCT iajs-3065 109 16 j(r)โ„‹ j(r)โ„‹ PRON iajs-3065 109 17 โˆฉ โˆฉ ADJ iajs-3065 109 18 soc(r)โ„‹ soc(r)โ„‹ PROPN iajs-3065 109 19 ) ) PUNCT iajs-3065 109 20 , , PUNCT iajs-3065 109 21 thus thus ADV iajs-3065 109 22 either either CCONJ iajs-3065 109 23 ij ij INTJ iajs-3065 109 24 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 109 25 [ [ PUNCT iajs-3065 109 26 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 109 27 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 109 28 ] ] X iajs-3065 109 29 + + CCONJ iajs-3065 109 30 ( ( PUNCT iajs-3065 109 31 j(r j(r PROPN iajs-3065 109 32 ) ) PUNCT iajs-3065 109 33 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 109 34 soc(r soc(r PROPN iajs-3065 109 35 ) ) PUNCT iajs-3065 109 36 ) ) PUNCT iajs-3065 109 37 or or CCONJ iajs-3065 109 38 i2 i2 PROPN iajs-3065 109 39 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 109 40 [ [ X iajs-3065 109 41 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 109 42 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 109 43 ] ] X iajs-3065 109 44 + + CCONJ iajs-3065 109 45 ( ( PUNCT iajs-3065 109 46 j(r j(r PROPN iajs-3065 109 47 ) ) PUNCT iajs-3065 109 48 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 109 49 soc(r soc(r PROPN iajs-3065 109 50 ) ) PUNCT iajs-3065 109 51 ) ) PUNCT iajs-3065 110 1 = = PUNCT iajs-3065 111 1 [ [ X iajs-3065 111 2 [ [ X iajs-3065 111 3 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 111 4 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 111 5 ] ] X iajs-3065 111 6 + + CCONJ iajs-3065 111 7 ( ( PUNCT iajs-3065 111 8 j(r j(r PROPN iajs-3065 111 9 ) ) PUNCT iajs-3065 111 10 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 111 11 soc(r)):r soc(r)):r PUNCT iajs-3065 111 12 r r NOUN iajs-3065 111 13 ] ] PUNCT iajs-3065 111 14 . . PUNCT iajs-3065 112 1 hence hence ADV iajs-3065 112 2 [ [ X iajs-3065 112 3 โ„ฑ:r โ„ฑ:r PRON iajs-3065 112 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 112 5 ] ] PUNCT iajs-3065 112 6 is be AUX iajs-3065 112 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 112 8 - - PUNCT iajs-3065 112 9 aideal aideal NOUN iajs-3065 112 10 of of ADP iajs-3065 112 11 r. r. PROPN iajs-3065 112 12 ( ( PUNCT iajs-3065 112 13 โŸธ โŸธ ADV iajs-3065 112 14 ) ) PUNCT iajs-3065 112 15 let let VERB iajs-3065 112 16 a2l a2l PROPN iajs-3065 112 17 โŠ† โŠ† PRON iajs-3065 112 18 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 112 19 for for ADP iajs-3065 112 20 a a DET iajs-3065 112 21 , , PUNCT iajs-3065 112 22 l l NOUN iajs-3065 112 23 aresubmodules aresubmodule NOUN iajs-3065 112 24 of of ADP iajs-3065 112 25 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 112 26 since since SCONJ iajs-3065 112 27 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 112 28 isamultiplication isamultiplication NOUN iajs-3065 112 29 , , PUNCT iajs-3065 112 30 then then ADV iajs-3065 112 31 a a DET iajs-3065 112 32 = = X iajs-3065 112 33 iโ„‹and iโ„‹and PROPN iajs-3065 112 34 l l NOUN iajs-3065 112 35 = = PUNCT iajs-3065 113 1 jโ„‹ jโ„‹ ADJ iajs-3065 113 2 forsome forsome NOUN iajs-3065 113 3 ideals ideal NOUN iajs-3065 113 4 i i PRON iajs-3065 113 5 , , PUNCT iajs-3065 113 6 j j PROPN iajs-3065 113 7 of of ADP iajs-3065 113 8 r r PROPN iajs-3065 113 9 , , PUNCT iajs-3065 113 10 that that ADV iajs-3065 113 11 is is ADV iajs-3065 113 12 ( ( PUNCT iajs-3065 113 13 iโ„‹)2jโ„‹ iโ„‹)2jโ„‹ PROPN iajs-3065 113 14 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 113 15 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 113 16 , , PUNCT iajs-3065 113 17 implies imply VERB iajs-3065 113 18 that that SCONJ iajs-3065 113 19 i2j i2j ADV iajs-3065 113 20 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 113 21 [ [ PUNCT iajs-3065 113 22 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 113 23 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 113 24 ] ] PUNCT iajs-3065 113 25 , , PUNCT iajs-3065 113 26 but but CCONJ iajs-3065 113 27 [ [ X iajs-3065 113 28 โ„ฑ:r โ„ฑ:r PRON iajs-3065 113 29 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 113 30 ] ] PUNCT iajs-3065 113 31 is be AUX iajs-3065 113 32 stpns stpns ADJ iajs-3065 113 33 - - PUNCT iajs-3065 113 34 aideal aideal NOUN iajs-3065 113 35 of of ADP iajs-3065 113 36 r r NOUN iajs-3065 113 37 , , PUNCT iajs-3065 113 38 theneither theneither ADJ iajs-3065 113 39 ij ij NOUN iajs-3065 113 40 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 113 41 [ [ PUNCT iajs-3065 113 42 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 113 43 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 113 44 ] ] X iajs-3065 113 45 + + CCONJ iajs-3065 113 46 ( ( PUNCT iajs-3065 113 47 j(r j(r PROPN iajs-3065 113 48 ) ) PUNCT iajs-3065 113 49 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 113 50 soc(r soc(r PROPN iajs-3065 113 51 ) ) PUNCT iajs-3065 113 52 ) ) PUNCT iajs-3065 113 53 or or CCONJ iajs-3065 113 54 i2 i2 PROPN iajs-3065 113 55 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 113 56 [ [ X iajs-3065 113 57 [ [ X iajs-3065 113 58 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 113 59 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 113 60 ] ] X iajs-3065 113 61 + + CCONJ iajs-3065 113 62 ( ( PUNCT iajs-3065 113 63 j(r j(r PROPN iajs-3065 113 64 ) ) PUNCT iajs-3065 113 65 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 113 66 soc(r soc(r PROPN iajs-3065 113 67 ) ) PUNCT iajs-3065 113 68 ) ) PUNCT iajs-3065 114 1 : : PUNCT iajs-3065 114 2 r r NOUN iajs-3065 114 3 r r NOUN iajs-3065 114 4 ] ] PUNCT iajs-3065 114 5 = = PUNCT iajs-3065 115 1 [ [ PUNCT iajs-3065 115 2 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 115 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 115 4 ] ] X iajs-3065 115 5 + + CCONJ iajs-3065 115 6 ( ( PUNCT iajs-3065 115 7 j(r j(r NOUN iajs-3065 115 8 ) ) PUNCT iajs-3065 115 9 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 116 1 soc(r)),thus soc(r)),thus NOUN iajs-3065 116 2 either either CCONJ iajs-3065 116 3 ijโ„‹ ijโ„‹ PROPN iajs-3065 116 4 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 116 5 [ [ X iajs-3065 116 6 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 116 7 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 116 8 + + CCONJ iajs-3065 116 9 ( ( PUNCT iajs-3065 116 10 j(r)โ„‹ j(r)โ„‹ PRON iajs-3065 116 11 โˆฉ โˆฉ ADJ iajs-3065 116 12 soc(r)โ„‹ soc(r)โ„‹ PROPN iajs-3065 116 13 ) ) PUNCT iajs-3065 116 14 or or CCONJ iajs-3065 116 15 i2โ„‹ i2โ„‹ NOUN iajs-3065 116 16 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 116 17 [ [ PUNCT iajs-3065 116 18 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 116 19 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 116 20 + + CCONJ iajs-3065 116 21 ( ( PUNCT iajs-3065 116 22 j(r)โ„‹ j(r)โ„‹ PRON iajs-3065 116 23 โˆฉ โˆฉ ADJ iajs-3065 116 24 soc(r)โ„‹ soc(r)โ„‹ PROPN iajs-3065 116 25 ) ) PUNCT iajs-3065 116 26 . . PUNCT iajs-3065 117 1 hence hence ADV iajs-3065 117 2 by by ADP iajs-3065 117 3 lemmaies lemmaie NOUN iajs-3065 117 4 2.5 2.5 NUM iajs-3065 117 5 , , PUNCT iajs-3065 117 6 2.6 2.6 NUM iajs-3065 117 7 either either CCONJ iajs-3065 117 8 al al PROPN iajs-3065 117 9 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 117 10 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 117 11 + + CCONJ iajs-3065 117 12 ( ( PUNCT iajs-3065 117 13 j(โ„‹ j(โ„‹ PROPN iajs-3065 117 14 ) ) PUNCT iajs-3065 117 15 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 117 16 soc(โ„‹ soc(โ„‹ X iajs-3065 117 17 ) ) PUNCT iajs-3065 117 18 ) ) PUNCT iajs-3065 117 19 or or CCONJ iajs-3065 117 20 a2 a2 PROPN iajs-3065 117 21 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 117 22 [ [ X iajs-3065 117 23 โ„ฑ โ„ฑ X iajs-3065 117 24 + + CCONJ iajs-3065 117 25 ( ( PUNCT iajs-3065 117 26 j(โ„‹ j(โ„‹ PROPN iajs-3065 117 27 ) ) PUNCT iajs-3065 117 28 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 117 29 soc(โ„‹)):r soc(โ„‹)):r NUM iajs-3065 117 30 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 117 31 ] ] PUNCT iajs-3065 117 32 . . PUNCT iajs-3065 118 1 thus thus ADV iajs-3065 118 2 by by ADP iajs-3065 118 3 proposition proposition NOUN iajs-3065 118 4 3.2 3.2 NUM iajs-3065 118 5 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 118 6 is be AUX iajs-3065 118 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 118 8 - - PUNCT iajs-3065 118 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 118 10 of of ADP iajs-3065 118 11 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 118 12 proposition proposition NOUN iajs-3065 118 13 3.7 3.7 NUM iajs-3065 118 14 let let VERB iajs-3065 118 15 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 118 16 be be AUX iajs-3065 118 17 a a DET iajs-3065 118 18 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 118 19 projectiver projectiver NOUN iajs-3065 118 20 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 118 21 module module NOUN iajs-3065 118 22 and and CCONJ iajs-3065 118 23 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 118 24 โŠ‚ โŠ‚ PROPN iajs-3065 118 25 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 118 26 . . PUNCT iajs-3065 119 1 then then ADV iajs-3065 119 2 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 119 3 is be AUX iajs-3065 119 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 119 5 - - PUNCT iajs-3065 119 6 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 119 7 of of ADP iajs-3065 119 8 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 119 9 if if SCONJ iajs-3065 120 1 and and CCONJ iajs-3065 120 2 only only ADV iajs-3065 120 3 if if SCONJ iajs-3065 120 4 [ [ X iajs-3065 120 5 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 120 6 โ„‹]is โ„‹]is PROPN iajs-3065 120 7 stpns stpns NOUN iajs-3065 120 8 - - PUNCT iajs-3065 120 9 aideal aideal NOUN iajs-3065 120 10 of of ADP iajs-3065 120 11 r. r. PROPN iajs-3065 120 12 proof proof NOUN iajs-3065 120 13 ( ( PUNCT iajs-3065 120 14 โŸน โŸน X iajs-3065 120 15 ) ) PUNCT iajs-3065 120 16 let let VERB iajs-3065 120 17 ๐‘ข2๐ฝ ๐‘ข2๐ฝ NOUN iajs-3065 120 18 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 120 19 [ [ X iajs-3065 120 20 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 120 21 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 120 22 ] ] PUNCT iajs-3065 120 23 for for ADP iajs-3065 120 24 some some DET iajs-3065 120 25 ๐‘ข ๐‘ข PRON iajs-3065 120 26 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 120 27 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 120 28 and and CCONJ iajs-3065 120 29 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 120 30 is be AUX iajs-3065 120 31 an an DET iajs-3065 120 32 ideals ideal NOUN iajs-3065 120 33 of of ADP iajs-3065 120 34 ๐‘… ๐‘… NOUN iajs-3065 120 35 , , PUNCT iajs-3065 120 36 hence hence ADV iajs-3065 120 37 ๐‘ข2(๐ฝโ„‹ ๐‘ข2(๐ฝโ„‹ NOUN iajs-3065 120 38 ) ) PUNCT iajs-3065 121 1 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 121 2 โ„ฑ. โ„ฑ. PROPN iajs-3065 121 3 but but CCONJ iajs-3065 121 4 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 121 5 is be AUX iajs-3065 121 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 121 7 -2 -2 ADV iajs-3065 121 8 - - PUNCT iajs-3065 121 9 absorbing absorb VERB iajs-3065 121 10 submodule submodule NOUN iajs-3065 121 11 of of ADP iajs-3065 121 12 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 121 13 , , PUNCT iajs-3065 121 14 then then ADV iajs-3065 121 15 by by ADP iajs-3065 121 16 lemma lemma PROPN iajs-3065 121 17 2.7 2.7 NUM iajs-3065 121 18 either either CCONJ iajs-3065 121 19 ๐‘ข(๐ฝโ„‹ ๐‘ข(๐ฝโ„‹ NOUN iajs-3065 121 20 ) ) PUNCT iajs-3065 121 21 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 121 22 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 121 23 + + CCONJ iajs-3065 121 24 ( ( PUNCT iajs-3065 121 25 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 121 26 ) ) PUNCT iajs-3065 121 27 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 121 28 ihjpas ihjpa VERB iajs-3065 121 29 . . PUNCT iajs-3065 122 1 36 36 NUM iajs-3065 122 2 ( ( PUNCT iajs-3065 122 3 3 3 NUM iajs-3065 122 4 ) ) PUNCT iajs-3065 122 5 2023 2023 NUM iajs-3065 122 6 310 310 NUM iajs-3065 122 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹))or ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹))or PROPN iajs-3065 122 8 ๐‘ข2 ๐‘ข2 PROPN iajs-3065 122 9 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 122 10 [ [ X iajs-3065 122 11 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 122 12 + + CCONJ iajs-3065 122 13 ( ( PUNCT iajs-3065 122 14 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 122 15 ) ) PUNCT iajs-3065 122 16 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 122 17 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… VERB iajs-3065 122 18 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 122 19 ] ] PUNCT iajs-3065 122 20 . . PUNCT iajs-3065 123 1 since since SCONJ iajs-3065 123 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 123 3 is be AUX iajs-3065 123 4 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 123 5 , , PUNCT iajs-3065 123 6 then then ADV iajs-3065 123 7 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 123 8 = = PUNCT iajs-3065 124 1 [ [ X iajs-3065 124 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 124 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 124 4 and and CCONJ iajs-3065 124 5 since since SCONJ iajs-3065 124 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 124 7 is be AUX iajs-3065 124 8 projective projective ADJ iajs-3065 124 9 , , PUNCT iajs-3065 124 10 then then ADV iajs-3065 124 11 by by ADP iajs-3065 124 12 lemmaies lemmaie NOUN iajs-3065 124 13 2.9 2.9 NUM iajs-3065 124 14 , , PUNCT iajs-3065 124 15 2.10 2.10 NUM iajs-3065 124 16 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 124 17 ) ) PUNCT iajs-3065 124 18 = = SYM iajs-3065 124 19 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 124 20 and and CCONJ iajs-3065 124 21 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ NUM iajs-3065 124 22 ) ) PUNCT iajs-3065 125 1 = = VERB iajs-3065 125 2 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹. ๐ฝ(๐‘…)โ„‹. VERB iajs-3065 125 3 thus thus ADV iajs-3065 125 4 either either CCONJ iajs-3065 125 5 ๐‘ข(๐ฝโ„‹ ๐‘ข(๐ฝโ„‹ NOUN iajs-3065 125 6 ) ) PUNCT iajs-3065 125 7 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 126 1 [ [ X iajs-3065 126 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 126 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 126 4 + + CCONJ iajs-3065 126 5 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 126 6 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 126 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ PUNCT iajs-3065 126 8 or or CCONJ iajs-3065 126 9 ๐‘ข2โ„‹ ๐‘ข2โ„‹ ADV iajs-3065 126 10 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 126 11 [ [ X iajs-3065 126 12 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 126 13 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 126 14 + + CCONJ iajs-3065 126 15 ( ( PUNCT iajs-3065 126 16 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 126 17 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 126 18 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 126 19 ) ) PUNCT iajs-3065 126 20 , , PUNCT iajs-3065 126 21 thus thus ADV iajs-3065 126 22 either either CCONJ iajs-3065 126 23 ๐‘ข๐ฝ ๐‘ข๐ฝ NOUN iajs-3065 126 24 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 126 25 [ [ X iajs-3065 126 26 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 126 27 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 126 28 ] ] X iajs-3065 126 29 + + CCONJ iajs-3065 126 30 ( ( PUNCT iajs-3065 126 31 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 126 32 ) ) PUNCT iajs-3065 126 33 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 126 34 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 126 35 ) ) PUNCT iajs-3065 126 36 ) ) PUNCT iajs-3065 126 37 or or CCONJ iajs-3065 126 38 ๐‘ข2 ๐‘ข2 PROPN iajs-3065 126 39 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 127 1 [ [ X iajs-3065 127 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 127 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 127 4 ] ] X iajs-3065 127 5 + + CCONJ iajs-3065 127 6 ( ( PUNCT iajs-3065 127 7 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 127 8 ) ) PUNCT iajs-3065 127 9 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 127 10 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 127 11 ) ) PUNCT iajs-3065 127 12 ) ) PUNCT iajs-3065 128 1 = = PUNCT iajs-3065 129 1 [ [ X iajs-3065 129 2 [ [ X iajs-3065 129 3 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 129 4 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 129 5 ] ] X iajs-3065 129 6 + + CCONJ iajs-3065 129 7 ( ( PUNCT iajs-3065 129 8 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 129 9 ) ) PUNCT iajs-3065 129 10 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 129 11 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 129 12 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 129 13 ] ] PUNCT iajs-3065 129 14 . . PUNCT iajs-3065 130 1 hence hence ADV iajs-3065 130 2 [ [ X iajs-3065 130 3 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 130 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 130 5 ] ] PUNCT iajs-3065 130 6 is be AUX iajs-3065 130 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 130 8 - - PUNCT iajs-3065 130 9 aideal aideal NOUN iajs-3065 130 10 of of ADP iajs-3065 130 11 ๐‘…. ๐‘…. NOUN iajs-3065 130 12 ( ( PUNCT iajs-3065 130 13 โŸธ โŸธ ADV iajs-3065 130 14 ) ) PUNCT iajs-3065 130 15 let let VERB iajs-3065 130 16 ๐ด2โ„Ž ๐ด2โ„Ž PROPN iajs-3065 130 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 130 18 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 130 19 for for ADP iajs-3065 130 20 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 130 21 is be AUX iajs-3065 130 22 a a DET iajs-3065 130 23 submodules submodule NOUN iajs-3065 130 24 of of ADP iajs-3065 130 25 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 130 26 and and CCONJ iajs-3065 130 27 โ„Ž โ„Ž ADP iajs-3065 130 28 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 130 29 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 130 30 but but CCONJ iajs-3065 130 31 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 130 32 is be AUX iajs-3065 130 33 a a DET iajs-3065 130 34 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 130 35 , , PUNCT iajs-3065 130 36 then then ADV iajs-3065 130 37 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 130 38 = = SYM iajs-3065 130 39 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ PROPN iajs-3065 130 40 and and CCONJ iajs-3065 130 41 โ„Ž โ„Ž X iajs-3065 131 1 = = SYM iajs-3065 131 2 ๐ฝโ„‹ ๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 131 3 for for ADP iajs-3065 131 4 some some DET iajs-3065 131 5 ideals ideal NOUN iajs-3065 131 6 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 131 7 , , PUNCT iajs-3065 131 8 j j PROPN iajs-3065 131 9 of of ADP iajs-3065 131 10 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 131 11 , , PUNCT iajs-3065 131 12 that that ADV iajs-3065 131 13 is is ADV iajs-3065 131 14 ( ( PUNCT iajs-3065 131 15 ๐ผโ„‹)2๐ฝโ„‹ ๐ผโ„‹)2๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 131 16 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 131 17 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 131 18 , , PUNCT iajs-3065 131 19 implies imply VERB iajs-3065 131 20 that that SCONJ iajs-3065 131 21 ๐ผ2๐ฝ ๐ผ2๐ฝ PROPN iajs-3065 131 22 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 131 23 [ [ X iajs-3065 131 24 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 131 25 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 131 26 ] ] PUNCT iajs-3065 131 27 , , PUNCT iajs-3065 131 28 but but CCONJ iajs-3065 131 29 [ [ X iajs-3065 131 30 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 131 31 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 131 32 ] ] PUNCT iajs-3065 131 33 is be AUX iajs-3065 131 34 stpns stpns ADJ iajs-3065 131 35 - - PUNCT iajs-3065 131 36 aideal aideal NOUN iajs-3065 131 37 of of ADP iajs-3065 131 38 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 131 39 , , PUNCT iajs-3065 131 40 then then ADV iajs-3065 131 41 either either CCONJ iajs-3065 131 42 ๐ผ๐ฝ ๐ผ๐ฝ PROPN iajs-3065 131 43 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 131 44 [ [ X iajs-3065 131 45 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 131 46 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 131 47 ] ] X iajs-3065 131 48 + + CCONJ iajs-3065 131 49 ( ( PUNCT iajs-3065 131 50 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 131 51 ) ) PUNCT iajs-3065 131 52 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 131 53 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 131 54 ) ) PUNCT iajs-3065 131 55 ) ) PUNCT iajs-3065 131 56 or or CCONJ iajs-3065 131 57 ๐ผ2 ๐ผ2 VERB iajs-3065 131 58 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 131 59 [ [ X iajs-3065 131 60 [ [ X iajs-3065 131 61 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 131 62 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 131 63 ] ] X iajs-3065 131 64 + + CCONJ iajs-3065 131 65 ( ( PUNCT iajs-3065 131 66 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 131 67 ) ) PUNCT iajs-3065 131 68 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 131 69 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 131 70 ) ) PUNCT iajs-3065 131 71 ) ) PUNCT iajs-3065 131 72 : : PUNCT iajs-3065 131 73 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 131 74 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 131 75 ] ] PUNCT iajs-3065 131 76 = = SYM iajs-3065 132 1 [ [ X iajs-3065 132 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 132 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 132 4 ] ] X iajs-3065 132 5 + + CCONJ iajs-3065 132 6 ( ( PUNCT iajs-3065 132 7 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 132 8 ) ) PUNCT iajs-3065 132 9 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 132 10 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 132 11 ) ) PUNCT iajs-3065 132 12 ) ) PUNCT iajs-3065 132 13 , , PUNCT iajs-3065 132 14 thus thus ADV iajs-3065 132 15 either either CCONJ iajs-3065 132 16 ๐ผ๐ฝโ„‹ ๐ผ๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 132 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 133 1 [ [ X iajs-3065 133 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 133 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 133 4 + + CCONJ iajs-3065 133 5 ( ( PUNCT iajs-3065 133 6 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 133 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 133 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 133 9 ) ) PUNCT iajs-3065 133 10 or or CCONJ iajs-3065 133 11 ๐ผ2โ„‹ ๐ผ2โ„‹ NUM iajs-3065 133 12 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 134 1 [ [ X iajs-3065 134 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 134 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 134 4 + + CCONJ iajs-3065 134 5 ( ( PUNCT iajs-3065 134 6 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 134 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 134 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 134 9 ) ) PUNCT iajs-3065 134 10 . . PUNCT iajs-3065 135 1 hence hence ADV iajs-3065 135 2 by by ADP iajs-3065 135 3 lemmaies lemmaie NOUN iajs-3065 135 4 2.9 2.9 NUM iajs-3065 135 5 , , PUNCT iajs-3065 135 6 2.10 2.10 NUM iajs-3065 135 7 either either CCONJ iajs-3065 135 8 ๐ดโ„Ž ๐ดโ„Ž PROPN iajs-3065 135 9 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 135 10 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 135 11 + + CCONJ iajs-3065 135 12 ( ( PUNCT iajs-3065 135 13 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 135 14 ) ) PUNCT iajs-3065 135 15 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 135 16 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 135 17 ) ) PUNCT iajs-3065 135 18 ) ) PUNCT iajs-3065 135 19 or or CCONJ iajs-3065 135 20 ๐ด2 ๐ด2 PROPN iajs-3065 135 21 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 135 22 [ [ X iajs-3065 135 23 โ„ฑ โ„ฑ X iajs-3065 135 24 + + CCONJ iajs-3065 135 25 ( ( PUNCT iajs-3065 135 26 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 135 27 ) ) PUNCT iajs-3065 135 28 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 135 29 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… VERB iajs-3065 135 30 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 135 31 ] ] PUNCT iajs-3065 135 32 . . PUNCT iajs-3065 136 1 thus thus ADV iajs-3065 136 2 by by ADP iajs-3065 136 3 corollary corollary ADJ iajs-3065 136 4 3.3 3.3 NUM iajs-3065 136 5 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 136 6 is be AUX iajs-3065 136 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 136 8 - - PUNCT iajs-3065 136 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 136 10 of of ADP iajs-3065 136 11 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 136 12 proposition proposition NOUN iajs-3065 136 13 3.8 3.8 NUM iajs-3065 136 14 let let VERB iajs-3065 136 15 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 136 16 be be AUX iajs-3065 136 17 a a DET iajs-3065 136 18 multiplicationz multiplicationz NOUN iajs-3065 136 19 - - PUNCT iajs-3065 136 20 regular regular ADJ iajs-3065 136 21 content content NOUN iajs-3065 136 22 r r NOUN iajs-3065 136 23 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 136 24 module module NOUN iajs-3065 136 25 and and CCONJ iajs-3065 136 26 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 136 27 be be VERB iajs-3065 136 28 a a DET iajs-3065 136 29 propersubmdule propersubmdule NOUN iajs-3065 136 30 of of ADP iajs-3065 136 31 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 136 32 . . PUNCT iajs-3065 137 1 then then ADV iajs-3065 137 2 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 137 3 is be AUX iajs-3065 137 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 137 5 - - PUNCT iajs-3065 137 6 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 137 7 of of ADP iajs-3065 137 8 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 137 9 if if SCONJ iajs-3065 138 1 and and CCONJ iajs-3065 138 2 only only ADV iajs-3065 138 3 if if SCONJ iajs-3065 138 4 [ [ X iajs-3065 138 5 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 138 6 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 138 7 ] ] PUNCT iajs-3065 138 8 is be AUX iajs-3065 138 9 stpns stpns ADJ iajs-3065 138 10 - - PUNCT iajs-3065 138 11 aideal aideal NOUN iajs-3065 138 12 of of ADP iajs-3065 138 13 r r NOUN iajs-3065 138 14 . . PUNCT iajs-3065 139 1 proof proof NOUN iajs-3065 139 2 ( ( PUNCT iajs-3065 139 3 โŸน โŸน X iajs-3065 139 4 ) ) PUNCT iajs-3065 139 5 let let VERB iajs-3065 139 6 ๐‘Ž2๐‘ ๐‘Ž2๐‘ PRON iajs-3065 139 7 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 140 1 [ [ X iajs-3065 140 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 140 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 140 4 ] ] PUNCT iajs-3065 140 5 for for ADP iajs-3065 140 6 some some DET iajs-3065 140 7 ๐‘Ž ๐‘Ž NOUN iajs-3065 140 8 , , PUNCT iajs-3065 140 9 ๐‘ ๐‘ PROPN iajs-3065 140 10 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 140 11 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 140 12 , , PUNCT iajs-3065 140 13 hence hence ADV iajs-3065 140 14 ๐‘Ž2(๐‘โ„‹ ๐‘Ž2(๐‘โ„‹ VERB iajs-3065 140 15 ) ) PUNCT iajs-3065 140 16 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 140 17 โ„ฑ. โ„ฑ. NOUN iajs-3065 140 18 but but CCONJ iajs-3065 140 19 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 140 20 is be AUX iajs-3065 140 21 stpns stpns ADJ iajs-3065 140 22 -2 -2 ADV iajs-3065 140 23 - - PUNCT iajs-3065 140 24 absorbing absorb VERB iajs-3065 140 25 submodule submodule NOUN iajs-3065 140 26 of of ADP iajs-3065 140 27 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 140 28 , , PUNCT iajs-3065 140 29 then then ADV iajs-3065 140 30 by by ADP iajs-3065 140 31 lemma lemma PROPN iajs-3065 140 32 2.7 2.7 NUM iajs-3065 140 33 either either CCONJ iajs-3065 140 34 ๐‘Ž(๐‘โ„‹ ๐‘Ž(๐‘โ„‹ PROPN iajs-3065 140 35 ) ) PUNCT iajs-3065 140 36 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 140 37 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 140 38 + + CCONJ iajs-3065 140 39 ( ( PUNCT iajs-3065 140 40 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 140 41 ) ) PUNCT iajs-3065 140 42 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 140 43 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 140 44 ) ) PUNCT iajs-3065 140 45 ) ) PUNCT iajs-3065 140 46 or or CCONJ iajs-3065 140 47 ๐‘Ž2 ๐‘Ž2 NOUN iajs-3065 140 48 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 141 1 [ [ X iajs-3065 141 2 โ„ฑ โ„ฑ X iajs-3065 141 3 + + CCONJ iajs-3065 141 4 ( ( PUNCT iajs-3065 141 5 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 141 6 ) ) PUNCT iajs-3065 141 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 141 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… VERB iajs-3065 141 9 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 141 10 ] ] PUNCT iajs-3065 141 11 . . PUNCT iajs-3065 142 1 since since SCONJ iajs-3065 142 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 142 3 is be AUX iajs-3065 142 4 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 142 5 , , PUNCT iajs-3065 142 6 then then ADV iajs-3065 142 7 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 142 8 = = PUNCT iajs-3065 143 1 [ [ X iajs-3065 143 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 143 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 143 4 and and CCONJ iajs-3065 143 5 since since SCONJ iajs-3065 143 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 143 7 is be AUX iajs-3065 143 8 zregular zregular ADJ iajs-3065 143 9 content content NOUN iajs-3065 143 10 r r NOUN iajs-3065 143 11 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 143 12 module module NOUN iajs-3065 143 13 , , PUNCT iajs-3065 143 14 then then ADV iajs-3065 143 15 by by ADP iajs-3065 143 16 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 143 17 2.12 2.12 NUM iajs-3065 143 18 , , PUNCT iajs-3065 143 19 2.14 2.14 NUM iajs-3065 143 20 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 143 21 ) ) PUNCT iajs-3065 143 22 = = SYM iajs-3065 143 23 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 143 24 and and CCONJ iajs-3065 143 25 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ NUM iajs-3065 143 26 ) ) PUNCT iajs-3065 144 1 = = VERB iajs-3065 144 2 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹. ๐ฝ(๐‘…)โ„‹. VERB iajs-3065 144 3 thus thus ADV iajs-3065 144 4 either either CCONJ iajs-3065 144 5 ๐‘Ž(๐‘โ„‹ ๐‘Ž(๐‘โ„‹ SYM iajs-3065 144 6 ) ) PUNCT iajs-3065 145 1 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 146 1 [ [ X iajs-3065 146 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 146 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 146 4 + + CCONJ iajs-3065 146 5 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 146 6 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 146 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ADJ iajs-3065 146 8 or or CCONJ iajs-3065 146 9 ๐‘Ž2โ„‹ ๐‘Ž2โ„‹ DET iajs-3065 146 10 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 146 11 [ [ X iajs-3065 146 12 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 146 13 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 146 14 + + CCONJ iajs-3065 146 15 ( ( PUNCT iajs-3065 146 16 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 146 17 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 146 18 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 146 19 ) ) PUNCT iajs-3065 146 20 , , PUNCT iajs-3065 146 21 thus thus ADV iajs-3065 146 22 either either CCONJ iajs-3065 146 23 ๐‘Ž๐‘ ๐‘Ž๐‘ PROPN iajs-3065 146 24 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 147 1 [ [ X iajs-3065 147 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 147 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 147 4 ] ] X iajs-3065 147 5 + + CCONJ iajs-3065 147 6 ( ( PUNCT iajs-3065 147 7 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 147 8 ) ) PUNCT iajs-3065 147 9 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 147 10 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 147 11 ) ) PUNCT iajs-3065 147 12 ) ) PUNCT iajs-3065 147 13 or or CCONJ iajs-3065 147 14 ๐‘Ž2 ๐‘Ž2 NOUN iajs-3065 147 15 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 148 1 [ [ X iajs-3065 148 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 148 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 148 4 ] ] X iajs-3065 148 5 + + CCONJ iajs-3065 148 6 ( ( PUNCT iajs-3065 148 7 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 148 8 ) ) PUNCT iajs-3065 148 9 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 148 10 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 148 11 ) ) PUNCT iajs-3065 148 12 ) ) PUNCT iajs-3065 149 1 = = PUNCT iajs-3065 150 1 [ [ X iajs-3065 150 2 [ [ X iajs-3065 150 3 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 150 4 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 150 5 ] ] X iajs-3065 150 6 + + CCONJ iajs-3065 150 7 ( ( PUNCT iajs-3065 150 8 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 150 9 ) ) PUNCT iajs-3065 150 10 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 150 11 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 150 12 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 150 13 ] ] PUNCT iajs-3065 150 14 . . PUNCT iajs-3065 151 1 hence hence ADV iajs-3065 151 2 [ [ X iajs-3065 151 3 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 151 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 151 5 ] ] PUNCT iajs-3065 151 6 is be AUX iajs-3065 151 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 151 8 - - PUNCT iajs-3065 151 9 aideal aideal NOUN iajs-3065 151 10 of of ADP iajs-3065 151 11 ๐‘…. ๐‘…. NOUN iajs-3065 151 12 ( ( PUNCT iajs-3065 151 13 โŸธ โŸธ ADV iajs-3065 151 14 ) ) PUNCT iajs-3065 151 15 let let VERB iajs-3065 151 16 โ„Ž2๐ด โ„Ž2๐ด NOUN iajs-3065 151 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 151 18 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 151 19 for for ADP iajs-3065 151 20 โ„Ž โ„Ž PROPN iajs-3065 151 21 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 151 22 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 151 23 and and CCONJ iajs-3065 151 24 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 151 25 is be AUX iajs-3065 151 26 a a DET iajs-3065 151 27 submodules submodule NOUN iajs-3065 151 28 of of ADP iajs-3065 151 29 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 151 30 but but CCONJ iajs-3065 151 31 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 151 32 is be AUX iajs-3065 151 33 a a DET iajs-3065 151 34 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 151 35 , , PUNCT iajs-3065 151 36 then then ADV iajs-3065 151 37 โ„Ž โ„Ž PROPN iajs-3065 151 38 = = SYM iajs-3065 151 39 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ PROPN iajs-3065 151 40 and and CCONJ iajs-3065 151 41 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 151 42 = = SYM iajs-3065 152 1 ๐ฝโ„‹ ๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 152 2 forsome forsome NOUN iajs-3065 152 3 ideals ideal VERB iajs-3065 152 4 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 152 5 , , PUNCT iajs-3065 152 6 j j PROPN iajs-3065 152 7 of of ADP iajs-3065 152 8 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 152 9 , , PUNCT iajs-3065 152 10 that that ADV iajs-3065 152 11 is is ADV iajs-3065 152 12 ( ( PUNCT iajs-3065 152 13 ๐ผโ„‹)2๐ฝโ„‹ ๐ผโ„‹)2๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 152 14 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 152 15 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 152 16 , , PUNCT iajs-3065 152 17 implies imply VERB iajs-3065 152 18 that that SCONJ iajs-3065 152 19 ๐ผ2๐ฝ ๐ผ2๐ฝ PROPN iajs-3065 152 20 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 152 21 [ [ X iajs-3065 152 22 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 152 23 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 152 24 ] ] PUNCT iajs-3065 152 25 , , PUNCT iajs-3065 152 26 but but CCONJ iajs-3065 152 27 [ [ X iajs-3065 152 28 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 152 29 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 152 30 ] ] PUNCT iajs-3065 152 31 is be AUX iajs-3065 152 32 stpns stpns ADJ iajs-3065 152 33 - - PUNCT iajs-3065 152 34 aideal aideal NOUN iajs-3065 152 35 of of ADP iajs-3065 152 36 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 152 37 , , PUNCT iajs-3065 152 38 then then ADV iajs-3065 152 39 either either CCONJ iajs-3065 152 40 ๐ผ๐ฝ ๐ผ๐ฝ PROPN iajs-3065 152 41 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 152 42 [ [ X iajs-3065 152 43 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 152 44 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 152 45 ] ] X iajs-3065 152 46 + + CCONJ iajs-3065 152 47 ( ( PUNCT iajs-3065 152 48 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 152 49 ) ) PUNCT iajs-3065 152 50 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 152 51 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 152 52 ) ) PUNCT iajs-3065 152 53 ) ) PUNCT iajs-3065 152 54 or or CCONJ iajs-3065 152 55 ๐ผ2 ๐ผ2 VERB iajs-3065 152 56 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 152 57 [ [ X iajs-3065 152 58 [ [ X iajs-3065 152 59 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 152 60 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 152 61 ] ] X iajs-3065 152 62 + + CCONJ iajs-3065 152 63 ( ( PUNCT iajs-3065 152 64 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 152 65 ) ) PUNCT iajs-3065 152 66 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 152 67 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 152 68 ) ) PUNCT iajs-3065 152 69 ) ) PUNCT iajs-3065 152 70 : : PUNCT iajs-3065 152 71 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 152 72 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 152 73 ] ] PUNCT iajs-3065 152 74 = = SYM iajs-3065 153 1 [ [ X iajs-3065 153 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 153 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 153 4 ] ] X iajs-3065 153 5 + + CCONJ iajs-3065 153 6 ( ( PUNCT iajs-3065 153 7 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 153 8 ) ) PUNCT iajs-3065 153 9 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 153 10 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 153 11 ) ) PUNCT iajs-3065 153 12 ) ) PUNCT iajs-3065 153 13 , , PUNCT iajs-3065 153 14 thus thus ADV iajs-3065 153 15 either either CCONJ iajs-3065 153 16 ๐ผ๐ฝโ„‹ ๐ผ๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 153 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 154 1 [ [ X iajs-3065 154 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 154 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 154 4 + + CCONJ iajs-3065 154 5 ( ( PUNCT iajs-3065 154 6 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 154 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 154 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 154 9 ) ) PUNCT iajs-3065 154 10 or or CCONJ iajs-3065 154 11 ๐ผ2โ„‹ ๐ผ2โ„‹ NUM iajs-3065 154 12 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 155 1 [ [ X iajs-3065 155 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 155 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 155 4 + + CCONJ iajs-3065 155 5 ( ( PUNCT iajs-3065 155 6 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 155 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 155 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 155 9 ) ) PUNCT iajs-3065 155 10 . . PUNCT iajs-3065 156 1 hence hence ADV iajs-3065 156 2 lemmas lemma VERB iajs-3065 156 3 2.12 2.12 NUM iajs-3065 156 4 , , PUNCT iajs-3065 156 5 2.14 2.14 NUM iajs-3065 156 6 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 156 7 ) ) PUNCT iajs-3065 156 8 = = SYM iajs-3065 156 9 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 156 10 and and CCONJ iajs-3065 156 11 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ NUM iajs-3065 156 12 ) ) PUNCT iajs-3065 156 13 = = VERB iajs-3065 156 14 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 156 15 either either CCONJ iajs-3065 156 16 โ„Ž๐ด โ„Ž๐ด ADJ iajs-3065 156 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 156 18 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 156 19 + + CCONJ iajs-3065 156 20 ( ( PUNCT iajs-3065 156 21 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 156 22 ) ) PUNCT iajs-3065 156 23 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 156 24 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 156 25 ) ) PUNCT iajs-3065 156 26 ) ) PUNCT iajs-3065 156 27 or or CCONJ iajs-3065 156 28 โ„Ž2 โ„Ž2 VERB iajs-3065 156 29 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 156 30 [ [ X iajs-3065 156 31 โ„ฑ โ„ฑ X iajs-3065 156 32 + + CCONJ iajs-3065 156 33 ( ( PUNCT iajs-3065 156 34 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 156 35 ) ) PUNCT iajs-3065 156 36 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 156 37 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… VERB iajs-3065 156 38 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 156 39 ] ] PUNCT iajs-3065 156 40 . . PUNCT iajs-3065 157 1 thus thus ADV iajs-3065 157 2 by by ADP iajs-3065 157 3 corollary corollary ADJ iajs-3065 157 4 3.4 3.4 NUM iajs-3065 157 5 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 157 6 is be AUX iajs-3065 157 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 157 8 - - PUNCT iajs-3065 157 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 157 10 of of ADP iajs-3065 157 11 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 157 12 proposition proposition NOUN iajs-3065 157 13 3.9 3.9 NUM iajs-3065 157 14 let let VERB iajs-3065 157 15 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 157 16 be be AUX iajs-3065 157 17 a a DET iajs-3065 157 18 multiplicationnon multiplicationnon ADJ iajs-3065 157 19 - - ADJ iajs-3065 157 20 singular singular ADJ iajs-3065 157 21 contentr contentr NOUN iajs-3065 157 22 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 157 23 module module NOUN iajs-3065 157 24 and and CCONJ iajs-3065 157 25 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 157 26 be be VERB iajs-3065 157 27 a a DET iajs-3065 157 28 propersubmdule propersubmdule NOUN iajs-3065 157 29 of of ADP iajs-3065 157 30 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 157 31 . . PUNCT iajs-3065 158 1 then then ADV iajs-3065 158 2 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 158 3 is be AUX iajs-3065 158 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 158 5 - - PUNCT iajs-3065 158 6 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 158 7 of of ADP iajs-3065 158 8 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 158 9 ifandonlyif ifandonlyif NOUN iajs-3065 159 1 [ [ X iajs-3065 159 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 159 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 159 4 ] ] PUNCT iajs-3065 159 5 is be AUX iajs-3065 159 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 159 7 - - PUNCT iajs-3065 159 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 159 9 of of ADP iajs-3065 159 10 r. r. PROPN iajs-3065 159 11 proof proof NOUN iajs-3065 159 12 ( ( PUNCT iajs-3065 159 13 โŸน โŸน X iajs-3065 159 14 ) ) PUNCT iajs-3065 159 15 let let VERB iajs-3065 159 16 ๐ผ2๐ฝ ๐ผ2๐ฝ PROPN iajs-3065 159 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 159 18 [ [ X iajs-3065 159 19 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 159 20 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 159 21 ] ] PUNCT iajs-3065 159 22 for for ADP iajs-3065 159 23 some some DET iajs-3065 159 24 ideals ideal NOUN iajs-3065 159 25 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 159 26 , , PUNCT iajs-3065 159 27 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 159 28 of of ADP iajs-3065 159 29 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 159 30 , , PUNCT iajs-3065 159 31 hence hence ADV iajs-3065 159 32 ๐ผ2(๐ฝโ„‹ ๐ผ2(๐ฝโ„‹ NOUN iajs-3065 159 33 ) ) PUNCT iajs-3065 160 1 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 160 2 โ„ฑ. โ„ฑ. PROPN iajs-3065 160 3 but but CCONJ iajs-3065 160 4 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 160 5 is be AUX iajs-3065 160 6 stpns stpn VERB iajs-3065 160 7 -2absorbing -2absorbe VERB iajs-3065 160 8 submodule submodule NOUN iajs-3065 160 9 of of ADP iajs-3065 160 10 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 160 11 , , PUNCT iajs-3065 160 12 then then ADV iajs-3065 160 13 by by ADP iajs-3065 160 14 lemma lemma PROPN iajs-3065 160 15 2.2 2.2 NUM iajs-3065 160 16 either either CCONJ iajs-3065 160 17 ๐ผ(๐ฝโ„‹ ๐ผ(๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 160 18 ) ) PUNCT iajs-3065 160 19 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 160 20 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 160 21 + + CCONJ iajs-3065 160 22 ( ( PUNCT iajs-3065 160 23 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 160 24 ) ) PUNCT iajs-3065 160 25 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 160 26 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹))or ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹))or PROPN iajs-3065 160 27 ๐ผ2 ๐ผ2 VERB iajs-3065 160 28 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 160 29 [ [ X iajs-3065 160 30 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 160 31 + + CCONJ iajs-3065 160 32 ( ( PUNCT iajs-3065 160 33 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 160 34 ) ) PUNCT iajs-3065 160 35 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 160 36 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… VERB iajs-3065 160 37 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 160 38 ] ] PUNCT iajs-3065 160 39 . . PUNCT iajs-3065 161 1 since since SCONJ iajs-3065 161 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 161 3 is be AUX iajs-3065 161 4 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 161 5 , , PUNCT iajs-3065 161 6 then then ADV iajs-3065 161 7 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 161 8 = = PUNCT iajs-3065 162 1 [ [ X iajs-3065 162 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 162 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 162 4 and and CCONJ iajs-3065 162 5 since since SCONJ iajs-3065 162 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 162 7 nonsingular nonsingular ADJ iajs-3065 162 8 content content NOUN iajs-3065 162 9 r r NOUN iajs-3065 162 10 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 162 11 module module NOUN iajs-3065 162 12 , , PUNCT iajs-3065 162 13 then then ADV iajs-3065 162 14 by by ADP iajs-3065 162 15 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 162 16 2.16 2.16 NUM iajs-3065 162 17 , , PUNCT iajs-3065 162 18 2.14 2.14 NUM iajs-3065 162 19 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 162 20 ) ) PUNCT iajs-3065 162 21 = = SYM iajs-3065 162 22 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 162 23 and and CCONJ iajs-3065 162 24 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ NUM iajs-3065 162 25 ) ) PUNCT iajs-3065 162 26 = = VERB iajs-3065 162 27 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹. ๐ฝ(๐‘…)โ„‹. VERB iajs-3065 162 28 thus thus ADV iajs-3065 162 29 either either CCONJ iajs-3065 162 30 ๐ผ(๐ฝโ„‹ ๐ผ(๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 162 31 ) ) PUNCT iajs-3065 162 32 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 163 1 [ [ X iajs-3065 163 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 163 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 163 4 + + CCONJ iajs-3065 163 5 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 163 6 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 163 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ADJ iajs-3065 163 8 or or CCONJ iajs-3065 163 9 ๐ผ2โ„‹ ๐ผ2โ„‹ NUM iajs-3065 163 10 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 163 11 [ [ X iajs-3065 163 12 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 163 13 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 163 14 + + CCONJ iajs-3065 163 15 ( ( PUNCT iajs-3065 163 16 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 163 17 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 163 18 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 163 19 ) ) PUNCT iajs-3065 163 20 , , PUNCT iajs-3065 163 21 thus thus ADV iajs-3065 163 22 either either CCONJ iajs-3065 163 23 ๐ผ๐ฝ ๐ผ๐ฝ PROPN iajs-3065 163 24 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 163 25 [ [ X iajs-3065 163 26 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 163 27 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 163 28 ] ] X iajs-3065 163 29 + + CCONJ iajs-3065 163 30 ( ( PUNCT iajs-3065 163 31 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 163 32 ) ) PUNCT iajs-3065 163 33 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 163 34 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 163 35 ) ) PUNCT iajs-3065 163 36 ) ) PUNCT iajs-3065 163 37 or or CCONJ iajs-3065 163 38 ๐ผ2 ๐ผ2 VERB iajs-3065 163 39 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 163 40 [ [ X iajs-3065 163 41 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 163 42 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 163 43 ] ] X iajs-3065 163 44 + + CCONJ iajs-3065 163 45 ( ( PUNCT iajs-3065 163 46 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 163 47 ) ) PUNCT iajs-3065 163 48 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 163 49 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 163 50 ) ) PUNCT iajs-3065 163 51 ) ) PUNCT iajs-3065 164 1 = = PUNCT iajs-3065 165 1 [ [ X iajs-3065 165 2 [ [ X iajs-3065 165 3 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 165 4 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 165 5 ] ] X iajs-3065 165 6 + + CCONJ iajs-3065 165 7 ( ( PUNCT iajs-3065 165 8 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 165 9 ) ) PUNCT iajs-3065 165 10 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 165 11 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 165 12 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 165 13 ] ] PUNCT iajs-3065 165 14 . . PUNCT iajs-3065 166 1 hence hence ADV iajs-3065 166 2 [ [ X iajs-3065 166 3 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 166 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 166 5 ] ] PUNCT iajs-3065 166 6 is be AUX iajs-3065 166 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 166 8 - - PUNCT iajs-3065 166 9 aideal aideal NOUN iajs-3065 166 10 of of ADP iajs-3065 166 11 ๐‘…. ๐‘…. NOUN iajs-3065 166 12 ( ( PUNCT iajs-3065 166 13 โŸธ โŸธ ADV iajs-3065 166 14 ) ) PUNCT iajs-3065 166 15 let let VERB iajs-3065 166 16 ๐ด2๐ฟ ๐ด2๐ฟ PROPN iajs-3065 166 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 166 18 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 166 19 for for ADP iajs-3065 166 20 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 166 21 , , PUNCT iajs-3065 166 22 ๐ฟ ๐ฟ PROPN iajs-3065 166 23 are be AUX iajs-3065 166 24 submodules submodule NOUN iajs-3065 166 25 of of ADP iajs-3065 166 26 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 166 27 since since SCONJ iajs-3065 166 28 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 166 29 is be AUX iajs-3065 166 30 a a DET iajs-3065 166 31 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 166 32 , , PUNCT iajs-3065 166 33 then then ADV iajs-3065 166 34 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 166 35 = = SYM iajs-3065 166 36 ๐ผโ„‹and ๐ผโ„‹and PROPN iajs-3065 166 37 ๐ฟ ๐ฟ PROPN iajs-3065 166 38 = = SYM iajs-3065 166 39 ๐ฝโ„‹ ๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 166 40 for for ADP iajs-3065 166 41 some some DET iajs-3065 166 42 ideals ideal NOUN iajs-3065 166 43 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 166 44 , , PUNCT iajs-3065 166 45 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 166 46 of of ADP iajs-3065 166 47 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 166 48 , , PUNCT iajs-3065 166 49 that that ADV iajs-3065 166 50 is is ADV iajs-3065 166 51 ( ( PUNCT iajs-3065 166 52 ๐ผโ„‹)2๐ฝโ„‹ ๐ผโ„‹)2๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 166 53 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 166 54 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 166 55 , , PUNCT iajs-3065 166 56 implies imply VERB iajs-3065 166 57 that that SCONJ iajs-3065 166 58 ๐ผ2๐ฝ ๐ผ2๐ฝ PROPN iajs-3065 166 59 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 166 60 [ [ X iajs-3065 166 61 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 166 62 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 166 63 ] ] PUNCT iajs-3065 166 64 , , PUNCT iajs-3065 166 65 but but CCONJ iajs-3065 166 66 [ [ X iajs-3065 166 67 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 166 68 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 166 69 ] ] PUNCT iajs-3065 166 70 ihjpas ihjpa NOUN iajs-3065 166 71 . . PUNCT iajs-3065 167 1 36 36 NUM iajs-3065 167 2 ( ( PUNCT iajs-3065 167 3 3 3 NUM iajs-3065 167 4 ) ) PUNCT iajs-3065 167 5 2023 2023 NUM iajs-3065 167 6 311 311 NUM iajs-3065 167 7 is be AUX iajs-3065 167 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 167 9 - - PUNCT iajs-3065 167 10 aideal aideal NOUN iajs-3065 167 11 of of ADP iajs-3065 167 12 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 167 13 , , PUNCT iajs-3065 167 14 then then ADV iajs-3065 167 15 either either CCONJ iajs-3065 167 16 ๐ผ๐ฝ ๐ผ๐ฝ PROPN iajs-3065 167 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 167 18 [ [ X iajs-3065 167 19 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 167 20 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 167 21 ] ] X iajs-3065 167 22 + + CCONJ iajs-3065 167 23 ( ( PUNCT iajs-3065 167 24 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 167 25 ) ) PUNCT iajs-3065 167 26 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 167 27 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 167 28 ) ) PUNCT iajs-3065 167 29 ) ) PUNCT iajs-3065 167 30 or or CCONJ iajs-3065 167 31 ๐ผ2 ๐ผ2 VERB iajs-3065 167 32 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 167 33 [ [ X iajs-3065 167 34 [ [ X iajs-3065 167 35 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 167 36 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 167 37 ] ] X iajs-3065 167 38 + + CCONJ iajs-3065 167 39 ( ( PUNCT iajs-3065 167 40 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 167 41 ) ) PUNCT iajs-3065 167 42 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 167 43 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 167 44 ) ) PUNCT iajs-3065 167 45 ) ) PUNCT iajs-3065 168 1 : : PUNCT iajs-3065 168 2 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 168 3 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 168 4 ] ] PUNCT iajs-3065 168 5 = = SYM iajs-3065 169 1 [ [ X iajs-3065 169 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 169 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 169 4 ] ] X iajs-3065 169 5 + + CCONJ iajs-3065 169 6 ( ( PUNCT iajs-3065 169 7 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 169 8 ) ) PUNCT iajs-3065 169 9 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 169 10 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 169 11 ) ) PUNCT iajs-3065 169 12 ) ) PUNCT iajs-3065 169 13 , , PUNCT iajs-3065 169 14 thus thus ADV iajs-3065 169 15 either either CCONJ iajs-3065 169 16 ๐ผ๐ฝโ„‹ ๐ผ๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 169 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 170 1 [ [ X iajs-3065 170 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 170 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 170 4 + + CCONJ iajs-3065 170 5 ( ( PUNCT iajs-3065 170 6 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 170 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 170 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 170 9 ) ) PUNCT iajs-3065 170 10 or or CCONJ iajs-3065 170 11 ๐ผ2โ„‹ ๐ผ2โ„‹ NUM iajs-3065 170 12 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 171 1 [ [ X iajs-3065 171 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 171 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 171 4 + + CCONJ iajs-3065 171 5 ( ( PUNCT iajs-3065 171 6 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ PROPN iajs-3065 171 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 171 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 171 9 ) ) PUNCT iajs-3065 171 10 . . PUNCT iajs-3065 172 1 hence hence ADV iajs-3065 172 2 by by ADP iajs-3065 172 3 lemmas2.16 lemmas2.16 PROPN iajs-3065 172 4 , , PUNCT iajs-3065 172 5 2.14 2.14 NUM iajs-3065 172 6 either either CCONJ iajs-3065 172 7 ๐ด๐ฟ ๐ด๐ฟ PROPN iajs-3065 172 8 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 172 9 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 172 10 + + CCONJ iajs-3065 172 11 ( ( PUNCT iajs-3065 172 12 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 172 13 ) ) PUNCT iajs-3065 172 14 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 172 15 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 172 16 ) ) PUNCT iajs-3065 172 17 ) ) PUNCT iajs-3065 172 18 or or CCONJ iajs-3065 172 19 ๐ด2 ๐ด2 PROPN iajs-3065 172 20 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 172 21 [ [ X iajs-3065 172 22 โ„ฑ โ„ฑ X iajs-3065 172 23 + + CCONJ iajs-3065 172 24 ( ( PUNCT iajs-3065 172 25 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 172 26 ) ) PUNCT iajs-3065 172 27 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 172 28 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹)):๐‘… VERB iajs-3065 172 29 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 172 30 ] ] PUNCT iajs-3065 172 31 . . PUNCT iajs-3065 173 1 thus thus ADV iajs-3065 173 2 by by ADP iajs-3065 173 3 proposition proposition NOUN iajs-3065 173 4 3.2 3.2 NUM iajs-3065 173 5 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 173 6 is be AUX iajs-3065 173 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 173 8 - - PUNCT iajs-3065 173 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 173 10 of of ADP iajs-3065 173 11 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 173 12 4 4 NUM iajs-3065 173 13 . . PUNCT iajs-3065 173 14 characterization characterization NOUN iajs-3065 173 15 of of ADP iajs-3065 173 16 stpns stpns ADJ iajs-3065 173 17 - - PUNCT iajs-3065 173 18 aideals aideal NOUN iajs-3065 173 19 by by ADP iajs-3065 173 20 special special ADJ iajs-3065 173 21 kind kind NOUN iajs-3065 173 22 of of ADP iajs-3065 173 23 submodules submodule NOUN iajs-3065 173 24 in in ADP iajs-3065 173 25 this this DET iajs-3065 173 26 section section NOUN iajs-3065 173 27 we we PRON iajs-3065 173 28 introduce introduce VERB iajs-3065 173 29 the the DET iajs-3065 173 30 characterization characterization NOUN iajs-3065 173 31 of of ADP iajs-3065 173 32 the the DET iajs-3065 173 33 notion notion NOUN iajs-3065 173 34 of of ADP iajs-3065 173 35 stpns stpns ADJ iajs-3065 173 36 - - PUNCT iajs-3065 173 37 aideals aideal NOUN iajs-3065 173 38 by by ADP iajs-3065 173 39 special special ADJ iajs-3065 173 40 kind kind NOUN iajs-3065 173 41 of of ADP iajs-3065 173 42 submodules submodule NOUN iajs-3065 173 43 . . PUNCT iajs-3065 174 1 the the DET iajs-3065 174 2 following follow VERB iajs-3065 174 3 proposition proposition NOUN iajs-3065 174 4 gives give VERB iajs-3065 174 5 characterization characterization NOUN iajs-3065 174 6 of of ADP iajs-3065 174 7 the the DET iajs-3065 174 8 notion notion NOUN iajs-3065 174 9 of of ADP iajs-3065 174 10 stpns stpns ADJ iajs-3065 174 11 - - PUNCT iajs-3065 174 12 aideals aideal NOUN iajs-3065 174 13 . . PUNCT iajs-3065 175 1 proposition proposition NOUN iajs-3065 175 2 4.1 4.1 NUM iajs-3065 175 3 let let VERB iajs-3065 175 4 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 175 5 be be AUX iajs-3065 175 6 a a DET iajs-3065 175 7 finitelygenerated finitelygenerated ADJ iajs-3065 175 8 z z PROPN iajs-3065 175 9 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 175 10 regularmultiplication regularmultiplication NOUN iajs-3065 175 11 content content NOUN iajs-3065 175 12 - - PUNCT iajs-3065 175 13 r r NOUN iajs-3065 175 14 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 175 15 module module NOUN iajs-3065 175 16 and and CCONJ iajs-3065 175 17 i i PRON iajs-3065 175 18 is be AUX iajs-3065 175 19 a a DET iajs-3065 175 20 stpnsaideal stpnsaideal NOUN iajs-3065 175 21 of of ADP iajs-3065 175 22 r r NOUN iajs-3065 175 23 with with ADP iajs-3065 175 24 annr annr NOUN iajs-3065 175 25 ( ( PUNCT iajs-3065 175 26 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 175 27 ) ) PUNCT iajs-3065 175 28 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 176 1 i i PRON iajs-3065 176 2 if if SCONJ iajs-3065 176 3 and and CCONJ iajs-3065 176 4 only only ADV iajs-3065 176 5 if if SCONJ iajs-3065 176 6 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 176 7 is be AUX iajs-3065 176 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 176 9 - - PUNCT iajs-3065 176 10 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 176 11 of of ADP iajs-3065 176 12 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 176 13 proof proof NOUN iajs-3065 176 14 ( ( PUNCT iajs-3065 176 15 โ‡’ โ‡’ NOUN iajs-3065 176 16 ) ) PUNCT iajs-3065 176 17 let let VERB iajs-3065 176 18 ๐ต2๐ฟ ๐ต2๐ฟ PROPN iajs-3065 176 19 ๏ƒ ๏ƒ VERB iajs-3065 176 20 i i PRON iajs-3065 176 21 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 176 22 for for ADP iajs-3065 176 23 b b PROPN iajs-3065 176 24 is be AUX iajs-3065 176 25 an an DET iajs-3065 176 26 ideal ideal NOUN iajs-3065 176 27 of of ADP iajs-3065 176 28 ๐‘…and ๐‘…and PROPN iajs-3065 176 29 ๐ฟ ๐ฟ PROPN iajs-3065 176 30 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 176 31 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 176 32 . . PUNCT iajs-3065 177 1 but but CCONJ iajs-3065 177 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 177 3 is be AUX iajs-3065 177 4 a a DET iajs-3065 177 5 multiplicationr multiplicationr ADJ iajs-3065 177 6 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 177 7 module module NOUN iajs-3065 177 8 , , PUNCT iajs-3065 177 9 then then ADV iajs-3065 177 10 ๐ฟ ๐ฟ PROPN iajs-3065 177 11 = = SYM iajs-3065 177 12 jโ„‹ jโ„‹ PROPN iajs-3065 177 13 forsome forsome PROPN iajs-3065 177 14 ideal ideal ADJ iajs-3065 177 15 j j PROPN iajs-3065 177 16 of of ADP iajs-3065 177 17 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 177 18 , , PUNCT iajs-3065 177 19 that that PRON iajs-3065 177 20 is be AUX iajs-3065 178 1 ๐ต2๐ฟ ๐ต2๐ฟ PROPN iajs-3065 178 2 = = PUNCT iajs-3065 178 3 ๐ต2 ๐ต2 NOUN iajs-3065 178 4 jโ„‹๏ƒ jโ„‹๏ƒ PROPN iajs-3065 179 1 i i PRON iajs-3065 179 2 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 180 1 but but CCONJ iajs-3065 180 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 180 3 is be AUX iajs-3065 180 4 a a DET iajs-3065 180 5 finitely finitely ADJ iajs-3065 180 6 generatedmultiplication generatedmultiplication NOUN iajs-3065 180 7 , , PUNCT iajs-3065 180 8 then then ADV iajs-3065 180 9 by by ADP iajs-3065 180 10 lemma lemma PROPN iajs-3065 180 11 2.18 2.18 NUM iajs-3065 180 12 we we PRON iajs-3065 180 13 have have VERB iajs-3065 180 14 ๐ต2j๏ƒ ๐ต2j๏ƒ NOUN iajs-3065 180 15 i i NOUN iajs-3065 180 16 + + CCONJ iajs-3065 180 17 annr annr NOUN iajs-3065 180 18 ( ( PUNCT iajs-3065 180 19 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 180 20 ) ) PUNCT iajs-3065 180 21 . . PUNCT iajs-3065 181 1 since since SCONJ iajs-3065 181 2 annr annr NOUN iajs-3065 181 3 ( ( PUNCT iajs-3065 181 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 181 5 ) ) PUNCT iajs-3065 181 6 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 181 7 i i PRON iajs-3065 181 8 then then ADV iajs-3065 181 9 i i PRON iajs-3065 181 10 + + CCONJ iajs-3065 181 11 annr annr NOUN iajs-3065 181 12 ( ( PUNCT iajs-3065 181 13 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 181 14 ) ) PUNCT iajs-3065 181 15 = = PUNCT iajs-3065 182 1 i i PROPN iajs-3065 182 2 , , PUNCT iajs-3065 182 3 that that DET iajs-3065 182 4 ๐ต2j๏ƒ ๐ต2j๏ƒ NOUN iajs-3065 182 5 i. i. NOUN iajs-3065 183 1 but but CCONJ iajs-3065 183 2 i i PRON iajs-3065 183 3 is be AUX iajs-3065 183 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 183 5 - - PUNCT iajs-3065 183 6 aideal aideal NOUN iajs-3065 183 7 of of ADP iajs-3065 183 8 r r NOUN iajs-3065 183 9 then then ADV iajs-3065 183 10 either either CCONJ iajs-3065 183 11 ๐ตj ๐ตj PROPN iajs-3065 183 12 โŠ† โŠ† PROPN iajs-3065 183 13 i i NOUN iajs-3065 183 14 + + CCONJ iajs-3065 183 15 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 183 16 ) ) PUNCT iajs-3065 183 17 โˆฉ โˆฉ X iajs-3065 183 18 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 183 19 ) ) PUNCT iajs-3065 183 20 or or CCONJ iajs-3065 183 21 ๐ต2 ๐ต2 NOUN iajs-3065 183 22 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 184 1 [ [ X iajs-3065 184 2 i i X iajs-3065 184 3 + + CCONJ iajs-3065 184 4 ( ( PUNCT iajs-3065 184 5 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 184 6 ) ) PUNCT iajs-3065 184 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 184 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 184 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 184 10 ] ] X iajs-3065 184 11 = = PUNCT iajs-3065 185 1 i i PRON iajs-3065 185 2 + + CCONJ iajs-3065 185 3 ( ( PUNCT iajs-3065 185 4 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 185 5 ) ) PUNCT iajs-3065 185 6 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 185 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 185 8 ) ) PUNCT iajs-3065 185 9 ) ) PUNCT iajs-3065 185 10 . . PUNCT iajs-3065 186 1 it it PRON iajs-3065 186 2 means mean VERB iajs-3065 186 3 that that SCONJ iajs-3065 186 4 either either CCONJ iajs-3065 186 5 ๐ตjโ„‹ ๐ตjโ„‹ VERB iajs-3065 186 6 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 186 7 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 186 8 + + CCONJ iajs-3065 186 9 ( ( PUNCT iajs-3065 186 10 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 186 11 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 186 12 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 186 13 ) ) PUNCT iajs-3065 186 14 or or CCONJ iajs-3065 186 15 ๐ต2โ„‹ ๐ต2โ„‹ PROPN iajs-3065 186 16 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 186 17 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 186 18 + + CCONJ iajs-3065 186 19 ( ( PUNCT iajs-3065 186 20 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 186 21 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 186 22 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 186 23 ) ) PUNCT iajs-3065 186 24 . . PUNCT iajs-3065 187 1 since since SCONJ iajs-3065 187 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 187 3 is be AUX iajs-3065 187 4 a a DET iajs-3065 187 5 z z NOUN iajs-3065 187 6 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 187 7 regular regular ADJ iajs-3065 187 8 and and CCONJ iajs-3065 187 9 content content ADJ iajs-3065 187 10 r r NOUN iajs-3065 187 11 - - NOUN iajs-3065 187 12 module module NOUN iajs-3065 187 13 then then ADV iajs-3065 187 14 by by ADP iajs-3065 187 15 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 187 16 2.12 2.12 NUM iajs-3065 187 17 , , PUNCT iajs-3065 187 18 2.14 2.14 NUM iajs-3065 187 19 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 187 20 ( ( PUNCT iajs-3065 187 21 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 187 22 ) ) PUNCT iajs-3065 188 1 = = SYM iajs-3065 188 2 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 188 3 ( ( PUNCT iajs-3065 188 4 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 188 5 ) ) PUNCT iajs-3065 188 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 188 7 and and CCONJ iajs-3065 188 8 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 188 9 ( ( PUNCT iajs-3065 188 10 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 188 11 ) ) PUNCT iajs-3065 188 12 = = SYM iajs-3065 188 13 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 188 14 ( ( PUNCT iajs-3065 188 15 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 188 16 ) ) PUNCT iajs-3065 188 17 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 188 18 so so SCONJ iajs-3065 188 19 that that SCONJ iajs-3065 188 20 either either ADV iajs-3065 188 21 bl bl PROPN iajs-3065 188 22 ๏ƒiโ„‹ ๏ƒiโ„‹ PROPN iajs-3065 188 23 + + CCONJ iajs-3065 188 24 ( ( PUNCT iajs-3065 188 25 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 188 26 ) ) PUNCT iajs-3065 188 27 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 188 28 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 188 29 ) ) PUNCT iajs-3065 188 30 ) ) PUNCT iajs-3065 188 31 or or CCONJ iajs-3065 188 32 ๐‘ข2โ„‹ ๐‘ข2โ„‹ ADV iajs-3065 188 33 ๏ƒiโ„‹ ๏ƒiโ„‹ PROPN iajs-3065 188 34 + + CCONJ iajs-3065 188 35 ( ( PUNCT iajs-3065 188 36 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 188 37 ) ) PUNCT iajs-3065 188 38 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 188 39 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 188 40 ) ) PUNCT iajs-3065 188 41 ) ) PUNCT iajs-3065 188 42 . . PUNCT iajs-3065 189 1 therefore therefore ADV iajs-3065 189 2 by by ADP iajs-3065 189 3 lemma lemma PROPN iajs-3065 189 4 2.5 2.5 NUM iajs-3065 189 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 189 6 is be AUX iajs-3065 189 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 189 8 - - PUNCT iajs-3065 189 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 189 10 of of ADP iajs-3065 189 11 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 189 12 ( ( PUNCT iajs-3065 189 13 โ‡ โ‡ ADJ iajs-3065 189 14 ) ) PUNCT iajs-3065 189 15 let let VERB iajs-3065 189 16 ๐‘ข2j ๐‘ข2j NOUN iajs-3065 189 17 ๏ƒ ๏ƒ VERB iajs-3065 189 18 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 189 19 for for ADP iajs-3065 189 20 ๐‘ข ๐‘ข PRON iajs-3065 189 21 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 189 22 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 189 23 and and CCONJ iajs-3065 189 24 j j PROPN iajs-3065 189 25 is be AUX iajs-3065 189 26 an an DET iajs-3065 189 27 ideal ideal NOUN iajs-3065 189 28 of of ADP iajs-3065 189 29 r r NOUN iajs-3065 189 30 , , PUNCT iajs-3065 189 31 it it PRON iajs-3065 189 32 means mean VERB iajs-3065 189 33 that that SCONJ iajs-3065 189 34 ๐‘ข2j ๐‘ข2j NOUN iajs-3065 189 35 โ„‹๏ƒ โ„‹๏ƒ PRON iajs-3065 189 36 ๐ผโ„‹. ๐ผโ„‹. VERB iajs-3065 190 1 but but CCONJ iajs-3065 190 2 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 190 3 is be AUX iajs-3065 190 4 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 190 5 , , PUNCT iajs-3065 190 6 then then ADV iajs-3065 190 7 ๐‘ข2๐ฝโ„‹ ๐‘ข2๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 191 1 = = PUNCT iajs-3065 191 2 ๐‘ข2๐ฟ ๐‘ข2๐ฟ PUNCT iajs-3065 191 3 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 191 4 ๐ผโ„‹. ๐ผโ„‹. NOUN iajs-3065 192 1 but but CCONJ iajs-3065 192 2 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 192 3 is be AUX iajs-3065 192 4 a a DET iajs-3065 192 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 192 6 - - PUNCT iajs-3065 192 7 athen athen NOUN iajs-3065 192 8 by by ADP iajs-3065 192 9 lemma lemma PROPN iajs-3065 192 10 2.7 2.7 NUM iajs-3065 192 11 either either CCONJ iajs-3065 192 12 ๐‘ข๐ฟ ๐‘ข๐ฟ PROPN iajs-3065 192 13 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 192 14 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 192 15 + + CCONJ iajs-3065 192 16 ( ( PUNCT iajs-3065 192 17 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 192 18 ) ) PUNCT iajs-3065 192 19 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 192 20 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 192 21 ) ) PUNCT iajs-3065 192 22 ) ) PUNCT iajs-3065 192 23 or or CCONJ iajs-3065 192 24 ๐‘ข2โ„‹ ๐‘ข2โ„‹ ADV iajs-3065 192 25 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 192 26 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 192 27 + + CCONJ iajs-3065 192 28 ( ( PUNCT iajs-3065 192 29 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 192 30 ) ) PUNCT iajs-3065 192 31 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 192 32 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 192 33 ) ) PUNCT iajs-3065 192 34 ) ) PUNCT iajs-3065 192 35 . . PUNCT iajs-3065 193 1 but but CCONJ iajs-3065 193 2 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 193 3 is be AUX iajs-3065 193 4 z z NOUN iajs-3065 193 5 - - ADJ iajs-3065 193 6 regular regular ADJ iajs-3065 193 7 content content NOUN iajs-3065 193 8 r r NOUN iajs-3065 193 9 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 193 10 module module NOUN iajs-3065 193 11 , , PUNCT iajs-3065 193 12 then then ADV iajs-3065 193 13 by by ADP iajs-3065 193 14 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 193 15 2.12 2.12 NUM iajs-3065 193 16 , , PUNCT iajs-3065 193 17 2.14 2.14 NUM iajs-3065 193 18 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 193 19 ( ( PUNCT iajs-3065 193 20 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 193 21 ) ) PUNCT iajs-3065 193 22 = = SYM iajs-3065 193 23 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 193 24 ( ( PUNCT iajs-3065 193 25 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 193 26 ) ) PUNCT iajs-3065 193 27 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 193 28 , , PUNCT iajs-3065 193 29 and and CCONJ iajs-3065 193 30 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 193 31 ( ( PUNCT iajs-3065 193 32 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 193 33 ) ) PUNCT iajs-3065 193 34 = = PUNCT iajs-3065 193 35 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 193 36 ( ( PUNCT iajs-3065 193 37 ๐‘… ๐‘… NOUN iajs-3065 193 38 ) ) PUNCT iajs-3065 193 39 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 193 40 thus thus ADV iajs-3065 193 41 either either CCONJ iajs-3065 193 42 ๐‘ข๐ฝโ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ ๐‘ข๐ฝโ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ PROPN iajs-3065 193 43 + + CCONJ iajs-3065 193 44 ( ( PUNCT iajs-3065 193 45 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 193 46 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 193 47 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 193 48 ) ) PUNCT iajs-3065 193 49 or or CCONJ iajs-3065 193 50 ๐‘ข2โ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ ๐‘ข2โ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ X iajs-3065 194 1 + + CCONJ iajs-3065 194 2 ( ( PUNCT iajs-3065 194 3 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 194 4 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 194 5 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 194 6 ) ) PUNCT iajs-3065 194 7 . . PUNCT iajs-3065 195 1 that that PRON iajs-3065 195 2 is be AUX iajs-3065 195 3 either either CCONJ iajs-3065 195 4 ๐‘ข๐ฝ ๐‘ข๐ฝ ADJ iajs-3065 195 5 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 195 6 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 195 7 + + CCONJ iajs-3065 195 8 ( ( PUNCT iajs-3065 195 9 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 195 10 ) ) PUNCT iajs-3065 195 11 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 195 12 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 195 13 ) ) PUNCT iajs-3065 195 14 ) ) PUNCT iajs-3065 195 15 or or CCONJ iajs-3065 195 16 ๐‘ข2 ๐‘ข2 PROPN iajs-3065 195 17 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 195 18 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 195 19 + + CCONJ iajs-3065 195 20 ( ( PUNCT iajs-3065 195 21 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 195 22 ) ) PUNCT iajs-3065 195 23 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 195 24 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 195 25 ) ) PUNCT iajs-3065 195 26 ) ) PUNCT iajs-3065 196 1 = = PUNCT iajs-3065 197 1 [ [ X iajs-3065 197 2 ๐ผ ๐ผ ADP iajs-3065 197 3 + + CCONJ iajs-3065 197 4 ( ( PUNCT iajs-3065 197 5 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 197 6 ) ) PUNCT iajs-3065 197 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 197 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 197 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 197 10 ] ] PUNCT iajs-3065 197 11 . . PUNCT iajs-3065 198 1 therefore therefore ADV iajs-3065 198 2 by by ADP iajs-3065 198 3 lemma lemma PROPN iajs-3065 198 4 2.7 2.7 NUM iajs-3065 198 5 i i PRON iajs-3065 198 6 is be AUX iajs-3065 198 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 198 8 - - PUNCT iajs-3065 198 9 aideal aideal NOUN iajs-3065 198 10 of of ADP iajs-3065 198 11 r. r. PROPN iajs-3065 198 12 proposition proposition NOUN iajs-3065 198 13 4.2 4.2 NUM iajs-3065 198 14 let let VERB iajs-3065 198 15 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 198 16 be be AUX iajs-3065 198 17 a a DET iajs-3065 198 18 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 198 19 multiplicationprojective multiplicationprojective ADJ iajs-3065 198 20 r r NOUN iajs-3065 198 21 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 198 22 module module NOUN iajs-3065 198 23 and and CCONJ iajs-3065 198 24 i i PRON iajs-3065 198 25 is be AUX iajs-3065 198 26 a a DET iajs-3065 198 27 stpns stpns ADJ iajs-3065 198 28 - - PUNCT iajs-3065 198 29 aideal aideal NOUN iajs-3065 198 30 of of ADP iajs-3065 198 31 r r NOUN iajs-3065 198 32 with with ADP iajs-3065 198 33 annr annr NOUN iajs-3065 198 34 ( ( PUNCT iajs-3065 198 35 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 198 36 ) ) PUNCT iajs-3065 198 37 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 199 1 i i PRON iajs-3065 199 2 if if SCONJ iajs-3065 199 3 and and CCONJ iajs-3065 199 4 only only ADV iajs-3065 199 5 if if SCONJ iajs-3065 199 6 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 199 7 is be AUX iajs-3065 199 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 199 9 - - PUNCT iajs-3065 199 10 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 199 11 of of ADP iajs-3065 199 12 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 199 13 proof proof NOUN iajs-3065 199 14 ( ( PUNCT iajs-3065 199 15 โ‡’ โ‡’ NOUN iajs-3065 199 16 ) ) PUNCT iajs-3065 199 17 let let VERB iajs-3065 199 18 ๐ด2โ„Ž ๐ด2โ„Ž PROPN iajs-3065 199 19 ๏ƒ ๏ƒ VERB iajs-3065 199 20 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 199 21 for for ADP iajs-3065 199 22 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 199 23 is be AUX iajs-3065 199 24 a a DET iajs-3065 199 25 submodule submodule NOUN iajs-3065 199 26 of of ADP iajs-3065 199 27 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 199 28 and and CCONJ iajs-3065 199 29 h h NOUN iajs-3065 199 30 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 199 31 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 199 32 since since SCONJ iajs-3065 199 33 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 199 34 isamultiplication isamultiplication NOUN iajs-3065 199 35 r r NOUN iajs-3065 199 36 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 199 37 module module NOUN iajs-3065 199 38 , , PUNCT iajs-3065 199 39 then then ADV iajs-3065 199 40 ๐ด ๐ด PROPN iajs-3065 199 41 = = SYM iajs-3065 199 42 ๐ตโ„‹ ๐ตโ„‹ PROPN iajs-3065 199 43 and and CCONJ iajs-3065 199 44 โ„Ž โ„Ž PROPN iajs-3065 200 1 = = SYM iajs-3065 200 2 ๐ฝโ„‹ ๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 200 3 forsome forsome NOUN iajs-3065 200 4 ideals ideal VERB iajs-3065 200 5 ๐ต ๐ต PROPN iajs-3065 200 6 , , PUNCT iajs-3065 200 7 j j PROPN iajs-3065 200 8 of of ADP iajs-3065 200 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 200 10 , , PUNCT iajs-3065 200 11 that that PRON iajs-3065 200 12 is be AUX iajs-3065 200 13 ๐ด2โ„Ž ๐ด2โ„Ž PROPN iajs-3065 200 14 = = SYM iajs-3065 200 15 ( ( PUNCT iajs-3065 201 1 ๐ตโ„‹)2 ๐ตโ„‹)2 X iajs-3065 201 2 jโ„‹๏ƒ jโ„‹๏ƒ X iajs-3065 201 3 i i PRON iajs-3065 201 4 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 201 5 but but CCONJ iajs-3065 201 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 201 7 is be AUX iajs-3065 201 8 a a DET iajs-3065 201 9 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 201 10 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 201 11 , , PUNCT iajs-3065 201 12 then then ADV iajs-3065 201 13 by by ADP iajs-3065 201 14 lemma lemma PROPN iajs-3065 201 15 2.18 2.18 NUM iajs-3065 201 16 we we PRON iajs-3065 201 17 have have VERB iajs-3065 201 18 ๐ต2j๏ƒ ๐ต2j๏ƒ NOUN iajs-3065 201 19 i i NOUN iajs-3065 201 20 + + CCONJ iajs-3065 201 21 annr annr NOUN iajs-3065 201 22 ( ( PUNCT iajs-3065 201 23 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 201 24 ) ) PUNCT iajs-3065 201 25 . . PUNCT iajs-3065 202 1 since since SCONJ iajs-3065 202 2 annr annr NOUN iajs-3065 202 3 ( ( PUNCT iajs-3065 202 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 202 5 ) ) PUNCT iajs-3065 202 6 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 202 7 i i PRON iajs-3065 202 8 then then ADV iajs-3065 202 9 i i PRON iajs-3065 202 10 + + CCONJ iajs-3065 202 11 annr annr NOUN iajs-3065 202 12 ( ( PUNCT iajs-3065 202 13 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 202 14 ) ) PUNCT iajs-3065 202 15 = = PUNCT iajs-3065 203 1 i i PROPN iajs-3065 203 2 , , PUNCT iajs-3065 203 3 that that DET iajs-3065 203 4 ๐ต2j๏ƒ ๐ต2j๏ƒ NOUN iajs-3065 203 5 i. i. NOUN iajs-3065 204 1 but but CCONJ iajs-3065 204 2 i i PRON iajs-3065 204 3 is be AUX iajs-3065 204 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 204 5 - - PUNCT iajs-3065 204 6 aideal aideal NOUN iajs-3065 204 7 of of ADP iajs-3065 204 8 r r NOUN iajs-3065 204 9 , , PUNCT iajs-3065 204 10 then then ADV iajs-3065 204 11 either either CCONJ iajs-3065 204 12 ๐ตj ๐ตj PROPN iajs-3065 204 13 โŠ† โŠ† PROPN iajs-3065 204 14 i i NOUN iajs-3065 204 15 + + CCONJ iajs-3065 204 16 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 204 17 ) ) PUNCT iajs-3065 204 18 โˆฉ โˆฉ X iajs-3065 204 19 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 204 20 ) ) PUNCT iajs-3065 204 21 or or CCONJ iajs-3065 204 22 ๐ต2 ๐ต2 NOUN iajs-3065 204 23 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 205 1 [ [ X iajs-3065 205 2 i i X iajs-3065 205 3 + + CCONJ iajs-3065 205 4 ( ( PUNCT iajs-3065 205 5 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 205 6 ) ) PUNCT iajs-3065 205 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 205 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 205 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 205 10 ] ] X iajs-3065 205 11 = = PUNCT iajs-3065 206 1 i i PRON iajs-3065 206 2 + + CCONJ iajs-3065 206 3 ( ( PUNCT iajs-3065 206 4 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 206 5 ) ) PUNCT iajs-3065 206 6 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 206 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 206 8 ) ) PUNCT iajs-3065 206 9 ) ) PUNCT iajs-3065 206 10 . . PUNCT iajs-3065 207 1 it it PRON iajs-3065 207 2 means mean VERB iajs-3065 207 3 that that SCONJ iajs-3065 207 4 either either CCONJ iajs-3065 207 5 ๐ตjโ„‹ ๐ตjโ„‹ VERB iajs-3065 207 6 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 207 7 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 207 8 + + CCONJ iajs-3065 207 9 ( ( PUNCT iajs-3065 207 10 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 207 11 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 207 12 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 207 13 ) ) PUNCT iajs-3065 207 14 or or CCONJ iajs-3065 207 15 ๐ต2โ„‹ ๐ต2โ„‹ PROPN iajs-3065 207 16 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 207 17 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 207 18 + + CCONJ iajs-3065 207 19 ( ( PUNCT iajs-3065 207 20 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 207 21 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 207 22 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 207 23 ) ) PUNCT iajs-3065 207 24 . . PUNCT iajs-3065 208 1 since since SCONJ iajs-3065 208 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 208 3 is be AUX iajs-3065 208 4 a a DET iajs-3065 208 5 projective projective ADJ iajs-3065 208 6 r r NOUN iajs-3065 208 7 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 208 8 module module NOUN iajs-3065 208 9 then then ADV iajs-3065 208 10 by by ADP iajs-3065 208 11 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 208 12 2.9 2.9 NUM iajs-3065 208 13 , , PUNCT iajs-3065 208 14 2.10 2.10 NUM iajs-3065 208 15 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 208 16 ( ( PUNCT iajs-3065 208 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 208 18 ) ) PUNCT iajs-3065 209 1 = = SYM iajs-3065 209 2 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 209 3 ( ( PUNCT iajs-3065 209 4 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 209 5 ) ) PUNCT iajs-3065 209 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 209 7 and and CCONJ iajs-3065 209 8 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 209 9 ( ( PUNCT iajs-3065 209 10 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 209 11 ) ) PUNCT iajs-3065 209 12 = = SYM iajs-3065 209 13 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 209 14 ( ( PUNCT iajs-3065 209 15 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 209 16 ) ) PUNCT iajs-3065 209 17 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 209 18 so so SCONJ iajs-3065 209 19 that that SCONJ iajs-3065 209 20 either either CCONJ iajs-3065 209 21 ah ah INTJ iajs-3065 209 22 ๏ƒiโ„‹ ๏ƒiโ„‹ X iajs-3065 209 23 + + CCONJ iajs-3065 209 24 ( ( PUNCT iajs-3065 209 25 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 209 26 ) ) PUNCT iajs-3065 209 27 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 209 28 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 209 29 ) ) PUNCT iajs-3065 209 30 ) ) PUNCT iajs-3065 209 31 or or CCONJ iajs-3065 209 32 โ„Ž2 โ„Ž2 VERB iajs-3065 209 33 ๏ƒiโ„‹ ๏ƒiโ„‹ PROPN iajs-3065 209 34 + + CCONJ iajs-3065 209 35 ( ( PUNCT iajs-3065 209 36 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 209 37 ) ) PUNCT iajs-3065 209 38 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 209 39 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 209 40 ) ) PUNCT iajs-3065 209 41 ) ) PUNCT iajs-3065 209 42 . . PUNCT iajs-3065 210 1 therefore therefore ADV iajs-3065 210 2 by by ADP iajs-3065 210 3 corollary corollary ADJ iajs-3065 210 4 3.3 3.3 NUM iajs-3065 210 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 210 6 is be AUX iajs-3065 210 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 210 8 - - PUNCT iajs-3065 210 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 210 10 of of ADP iajs-3065 210 11 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 210 12 ihjpas ihjpas PROPN iajs-3065 210 13 . . PUNCT iajs-3065 211 1 36 36 NUM iajs-3065 211 2 ( ( PUNCT iajs-3065 211 3 3 3 NUM iajs-3065 211 4 ) ) PUNCT iajs-3065 211 5 2023 2023 NUM iajs-3065 211 6 312 312 NUM iajs-3065 211 7 ( ( PUNCT iajs-3065 211 8 โ‡ โ‡ NOUN iajs-3065 211 9 ) ) PUNCT iajs-3065 211 10 let let VERB iajs-3065 211 11 ๐‘ข2j ๐‘ข2j NOUN iajs-3065 211 12 ๏ƒ ๏ƒ VERB iajs-3065 211 13 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 211 14 for for ADP iajs-3065 211 15 ๐‘ข ๐‘ข PRON iajs-3065 211 16 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 211 17 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 211 18 and and CCONJ iajs-3065 211 19 j j PROPN iajs-3065 211 20 is be AUX iajs-3065 211 21 an an DET iajs-3065 211 22 ideal ideal NOUN iajs-3065 211 23 of of ADP iajs-3065 211 24 r r NOUN iajs-3065 211 25 , , PUNCT iajs-3065 211 26 it it PRON iajs-3065 211 27 means mean VERB iajs-3065 211 28 that that SCONJ iajs-3065 211 29 ๐‘ข2j ๐‘ข2j NOUN iajs-3065 211 30 โ„‹๏ƒ โ„‹๏ƒ PRON iajs-3065 211 31 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 211 32 . . PUNCT iajs-3065 212 1 but but CCONJ iajs-3065 212 2 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 212 3 is be AUX iajs-3065 212 4 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 212 5 , , PUNCT iajs-3065 212 6 then then ADV iajs-3065 212 7 ๐‘ข2๐ฝโ„‹ ๐‘ข2๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 213 1 = = PUNCT iajs-3065 213 2 ๐‘ข2๐ฟ ๐‘ข2๐ฟ PUNCT iajs-3065 213 3 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 213 4 ๐ผโ„‹. ๐ผโ„‹. NOUN iajs-3065 214 1 but but CCONJ iajs-3065 214 2 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 214 3 is be AUX iajs-3065 214 4 a a DET iajs-3065 214 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 214 6 - - PUNCT iajs-3065 214 7 athen athen NOUN iajs-3065 214 8 by by ADP iajs-3065 214 9 lemma lemma PROPN iajs-3065 214 10 2.7 2.7 NUM iajs-3065 214 11 either either CCONJ iajs-3065 214 12 ๐‘ข๐ฟ ๐‘ข๐ฟ PROPN iajs-3065 214 13 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 214 14 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 214 15 + + CCONJ iajs-3065 214 16 ( ( PUNCT iajs-3065 214 17 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 214 18 ) ) PUNCT iajs-3065 214 19 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 214 20 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 214 21 ) ) PUNCT iajs-3065 214 22 ) ) PUNCT iajs-3065 214 23 or or CCONJ iajs-3065 214 24 ๐‘ข2โ„‹ ๐‘ข2โ„‹ ADV iajs-3065 214 25 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 214 26 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 214 27 + + CCONJ iajs-3065 214 28 ( ( PUNCT iajs-3065 214 29 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 214 30 ) ) PUNCT iajs-3065 214 31 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 214 32 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 214 33 ) ) PUNCT iajs-3065 214 34 ) ) PUNCT iajs-3065 214 35 .but .but PUNCT iajs-3065 215 1 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 215 2 is be AUX iajs-3065 215 3 projective projective ADJ iajs-3065 215 4 r r NOUN iajs-3065 215 5 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 215 6 module module NOUN iajs-3065 215 7 , , PUNCT iajs-3065 215 8 then then ADV iajs-3065 215 9 by by ADP iajs-3065 215 10 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 215 11 2.9 2.9 NUM iajs-3065 215 12 , , PUNCT iajs-3065 215 13 2.10 2.10 NUM iajs-3065 215 14 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 215 15 ( ( PUNCT iajs-3065 215 16 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 215 17 ) ) PUNCT iajs-3065 215 18 = = SYM iajs-3065 215 19 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 215 20 ( ( PUNCT iajs-3065 215 21 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 215 22 ) ) PUNCT iajs-3065 215 23 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 215 24 and and CCONJ iajs-3065 215 25 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 215 26 ( ( PUNCT iajs-3065 215 27 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 215 28 ) ) PUNCT iajs-3065 215 29 = = PUNCT iajs-3065 215 30 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 215 31 ( ( PUNCT iajs-3065 215 32 ๐‘… ๐‘… NOUN iajs-3065 215 33 ) ) PUNCT iajs-3065 215 34 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 215 35 thus thus ADV iajs-3065 215 36 either either CCONJ iajs-3065 215 37 ๐‘ข๐ฝโ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ ๐‘ข๐ฝโ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ PROPN iajs-3065 215 38 + + CCONJ iajs-3065 215 39 ( ( PUNCT iajs-3065 215 40 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 215 41 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 215 42 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 215 43 ) ) PUNCT iajs-3065 215 44 or or CCONJ iajs-3065 215 45 ๐‘ข2โ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ ๐‘ข2โ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ X iajs-3065 216 1 + + CCONJ iajs-3065 216 2 ( ( PUNCT iajs-3065 216 3 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 216 4 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 216 5 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 216 6 ) ) PUNCT iajs-3065 216 7 . . PUNCT iajs-3065 217 1 that that PRON iajs-3065 217 2 is be AUX iajs-3065 217 3 either either CCONJ iajs-3065 217 4 ๐‘ข๐ฝ ๐‘ข๐ฝ ADJ iajs-3065 217 5 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 217 6 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 217 7 + + CCONJ iajs-3065 217 8 ( ( PUNCT iajs-3065 217 9 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 217 10 ) ) PUNCT iajs-3065 217 11 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 217 12 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 217 13 ) ) PUNCT iajs-3065 217 14 ) ) PUNCT iajs-3065 217 15 or or CCONJ iajs-3065 217 16 ๐‘ข2 ๐‘ข2 PROPN iajs-3065 217 17 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 217 18 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 217 19 + + CCONJ iajs-3065 217 20 ( ( PUNCT iajs-3065 217 21 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 217 22 ) ) PUNCT iajs-3065 217 23 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 217 24 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 217 25 ) ) PUNCT iajs-3065 217 26 ) ) PUNCT iajs-3065 218 1 = = PUNCT iajs-3065 219 1 [ [ X iajs-3065 219 2 ๐ผ ๐ผ ADP iajs-3065 219 3 + + CCONJ iajs-3065 219 4 ( ( PUNCT iajs-3065 219 5 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 219 6 ) ) PUNCT iajs-3065 219 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 219 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 219 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 219 10 ] ] PUNCT iajs-3065 219 11 . . PUNCT iajs-3065 220 1 therefore therefore ADV iajs-3065 220 2 by by ADP iajs-3065 220 3 lemma lemma PROPN iajs-3065 220 4 2.17 2.17 NUM iajs-3065 220 5 i i PRON iajs-3065 220 6 is be AUX iajs-3065 220 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 220 8 - - PUNCT iajs-3065 220 9 aideal aideal NOUN iajs-3065 220 10 of of ADP iajs-3065 220 11 r. r. PROPN iajs-3065 220 12 proposition proposition NOUN iajs-3065 220 13 4.3 4.3 NUM iajs-3065 220 14 let let VERB iajs-3065 220 15 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 220 16 be be AUX iajs-3065 220 17 a a DET iajs-3065 220 18 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 220 19 multiplicationnon multiplicationnon NOUN iajs-3065 220 20 - - PUNCT iajs-3065 220 21 singularcontentr singularcontentr NOUN iajs-3065 220 22 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 220 23 module module NOUN iajs-3065 220 24 and and CCONJ iajs-3065 220 25 i i PRON iajs-3065 220 26 is be AUX iajs-3065 220 27 a a DET iajs-3065 220 28 stpnsaideal stpnsaideal NOUN iajs-3065 220 29 of of ADP iajs-3065 220 30 r r NOUN iajs-3065 220 31 with with ADP iajs-3065 220 32 annr annr NOUN iajs-3065 220 33 ( ( PUNCT iajs-3065 220 34 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 220 35 ) ) PUNCT iajs-3065 220 36 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 221 1 i i PRON iajs-3065 221 2 if if SCONJ iajs-3065 221 3 and and CCONJ iajs-3065 221 4 only only ADV iajs-3065 221 5 if if SCONJ iajs-3065 221 6 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 221 7 is be AUX iajs-3065 221 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 221 9 - - PUNCT iajs-3065 221 10 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 221 11 of of ADP iajs-3065 221 12 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 221 13 proof proof NOUN iajs-3065 221 14 ( ( PUNCT iajs-3065 221 15 โ‡’ โ‡’ NOUN iajs-3065 221 16 ) ) PUNCT iajs-3065 221 17 let let VERB iajs-3065 221 18 ๐ต2๐ฟ ๐ต2๐ฟ PROPN iajs-3065 221 19 ๏ƒ ๏ƒ VERB iajs-3065 221 20 i i PRON iajs-3065 221 21 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 221 22 for for ADP iajs-3065 221 23 b b PROPN iajs-3065 221 24 is be AUX iajs-3065 221 25 an an DET iajs-3065 221 26 ideal ideal NOUN iajs-3065 221 27 of of ADP iajs-3065 221 28 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 221 29 and and CCONJ iajs-3065 221 30 ๐ฟ ๐ฟ PROPN iajs-3065 221 31 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 221 32 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 221 33 . . PUNCT iajs-3065 222 1 since since SCONJ iajs-3065 222 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 222 3 is be AUX iajs-3065 222 4 a a DET iajs-3065 222 5 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 222 6 r r NOUN iajs-3065 222 7 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 222 8 module module NOUN iajs-3065 222 9 , , PUNCT iajs-3065 222 10 then then ADV iajs-3065 222 11 ๐ฟ ๐ฟ PROPN iajs-3065 222 12 = = SYM iajs-3065 222 13 jโ„‹ jโ„‹ PROPN iajs-3065 222 14 forsome forsome PROPN iajs-3065 222 15 ideal ideal ADJ iajs-3065 222 16 j j PROPN iajs-3065 222 17 of of ADP iajs-3065 222 18 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 222 19 , , PUNCT iajs-3065 222 20 that that PRON iajs-3065 222 21 is be AUX iajs-3065 223 1 ๐ต2๐ฟ ๐ต2๐ฟ PROPN iajs-3065 223 2 = = PUNCT iajs-3065 223 3 ๐ต2 ๐ต2 NOUN iajs-3065 223 4 jโ„‹๏ƒ jโ„‹๏ƒ PROPN iajs-3065 224 1 i i PRON iajs-3065 224 2 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 225 1 but but CCONJ iajs-3065 225 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 225 3 is be AUX iajs-3065 225 4 a a DET iajs-3065 225 5 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 225 6 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 225 7 , , PUNCT iajs-3065 225 8 then then ADV iajs-3065 225 9 by by ADP iajs-3065 225 10 lemma lemma PROPN iajs-3065 225 11 2.18 2.18 NUM iajs-3065 225 12 we we PRON iajs-3065 225 13 have have VERB iajs-3065 225 14 ๐ต2j๏ƒ ๐ต2j๏ƒ NOUN iajs-3065 226 1 i i NOUN iajs-3065 226 2 + + CCONJ iajs-3065 226 3 annr annr NOUN iajs-3065 226 4 ( ( PUNCT iajs-3065 226 5 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 226 6 ) ) PUNCT iajs-3065 226 7 . . PUNCT iajs-3065 227 1 since since SCONJ iajs-3065 227 2 annr annr NOUN iajs-3065 227 3 ( ( PUNCT iajs-3065 227 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 227 5 ) ) PUNCT iajs-3065 227 6 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 227 7 i i PRON iajs-3065 227 8 then then ADV iajs-3065 227 9 i i PRON iajs-3065 227 10 + + CCONJ iajs-3065 227 11 annr annr NOUN iajs-3065 227 12 ( ( PUNCT iajs-3065 227 13 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 227 14 ) ) PUNCT iajs-3065 227 15 = = PUNCT iajs-3065 228 1 i i PROPN iajs-3065 228 2 , , PUNCT iajs-3065 228 3 that that DET iajs-3065 228 4 ๐ต2j๏ƒ ๐ต2j๏ƒ NOUN iajs-3065 228 5 i. i. NOUN iajs-3065 229 1 but but CCONJ iajs-3065 229 2 i i PRON iajs-3065 229 3 is be AUX iajs-3065 229 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 229 5 - - PUNCT iajs-3065 229 6 aideal aideal NOUN iajs-3065 229 7 of of ADP iajs-3065 229 8 r r NOUN iajs-3065 229 9 , , PUNCT iajs-3065 229 10 then then ADV iajs-3065 229 11 either either CCONJ iajs-3065 229 12 ๐ตj ๐ตj PROPN iajs-3065 229 13 โŠ† โŠ† PROPN iajs-3065 229 14 i i NOUN iajs-3065 229 15 + + CCONJ iajs-3065 229 16 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 229 17 ) ) PUNCT iajs-3065 229 18 โˆฉ โˆฉ X iajs-3065 229 19 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 229 20 ) ) PUNCT iajs-3065 229 21 or or CCONJ iajs-3065 229 22 ๐ต2 ๐ต2 NOUN iajs-3065 229 23 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 230 1 [ [ X iajs-3065 230 2 i i X iajs-3065 230 3 + + CCONJ iajs-3065 230 4 ( ( PUNCT iajs-3065 230 5 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 230 6 ) ) PUNCT iajs-3065 230 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 230 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 230 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 230 10 ] ] X iajs-3065 230 11 = = PUNCT iajs-3065 231 1 i i PRON iajs-3065 231 2 + + CCONJ iajs-3065 231 3 ( ( PUNCT iajs-3065 231 4 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 231 5 ) ) PUNCT iajs-3065 231 6 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 231 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 231 8 ) ) PUNCT iajs-3065 231 9 ) ) PUNCT iajs-3065 231 10 . . PUNCT iajs-3065 232 1 it it PRON iajs-3065 232 2 means mean VERB iajs-3065 232 3 that that SCONJ iajs-3065 232 4 either either CCONJ iajs-3065 232 5 ๐ตjโ„‹ ๐ตjโ„‹ VERB iajs-3065 232 6 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 232 7 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 232 8 + + CCONJ iajs-3065 232 9 ( ( PUNCT iajs-3065 232 10 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 232 11 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 232 12 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 232 13 ) ) PUNCT iajs-3065 232 14 or or CCONJ iajs-3065 232 15 ๐ต2โ„‹ ๐ต2โ„‹ PROPN iajs-3065 232 16 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 232 17 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 232 18 + + CCONJ iajs-3065 232 19 ( ( PUNCT iajs-3065 232 20 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 232 21 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 232 22 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 232 23 ) ) PUNCT iajs-3065 232 24 . . PUNCT iajs-3065 233 1 since since SCONJ iajs-3065 233 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 233 3 is be AUX iajs-3065 233 4 a a DET iajs-3065 233 5 non non ADJ iajs-3065 233 6 - - ADJ iajs-3065 233 7 singular singular ADJ iajs-3065 233 8 content content NOUN iajs-3065 233 9 - - PUNCT iajs-3065 233 10 r r NOUN iajs-3065 233 11 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 233 12 module module NOUN iajs-3065 233 13 then then ADV iajs-3065 233 14 by by ADP iajs-3065 233 15 lemmaies lemmaie NOUN iajs-3065 233 16 2.16 2.16 NUM iajs-3065 233 17 , , PUNCT iajs-3065 233 18 2.14 2.14 NUM iajs-3065 233 19 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 233 20 ( ( PUNCT iajs-3065 233 21 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 233 22 ) ) PUNCT iajs-3065 233 23 = = SYM iajs-3065 233 24 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 233 25 ( ( PUNCT iajs-3065 233 26 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 233 27 ) ) PUNCT iajs-3065 233 28 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 233 29 and and CCONJ iajs-3065 233 30 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 233 31 ( ( PUNCT iajs-3065 233 32 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 233 33 ) ) PUNCT iajs-3065 233 34 = = SYM iajs-3065 233 35 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 233 36 ( ( PUNCT iajs-3065 233 37 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 233 38 ) ) PUNCT iajs-3065 233 39 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 233 40 so so SCONJ iajs-3065 233 41 that that SCONJ iajs-3065 233 42 either either ADV iajs-3065 233 43 bl bl PROPN iajs-3065 233 44 ๏ƒiโ„‹ ๏ƒiโ„‹ PROPN iajs-3065 233 45 + + CCONJ iajs-3065 233 46 ( ( PUNCT iajs-3065 233 47 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 233 48 ) ) PUNCT iajs-3065 233 49 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 233 50 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 233 51 ) ) PUNCT iajs-3065 233 52 ) ) PUNCT iajs-3065 233 53 or or CCONJ iajs-3065 233 54 ๐‘ข2โ„‹ ๐‘ข2โ„‹ ADV iajs-3065 233 55 ๏ƒiโ„‹ ๏ƒiโ„‹ PROPN iajs-3065 233 56 + + CCONJ iajs-3065 233 57 ( ( PUNCT iajs-3065 233 58 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 233 59 ) ) PUNCT iajs-3065 233 60 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 233 61 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 233 62 ) ) PUNCT iajs-3065 233 63 ) ) PUNCT iajs-3065 233 64 . . PUNCT iajs-3065 234 1 therefore therefore ADV iajs-3065 234 2 by by ADP iajs-3065 234 3 lemma lemma PROPN iajs-3065 234 4 2.2 2.2 NUM iajs-3065 234 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 234 6 is be AUX iajs-3065 234 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 234 8 - - PUNCT iajs-3065 234 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 234 10 of of ADP iajs-3065 234 11 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 234 12 ( ( PUNCT iajs-3065 234 13 โ‡ โ‡ ADJ iajs-3065 234 14 ) ) PUNCT iajs-3065 234 15 let let AUX iajs-3065 234 16 ๐‘ข2v ๐‘ข2v VERB iajs-3065 234 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 234 18 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 234 19 for for ADP iajs-3065 234 20 ๐‘ข ๐‘ข NOUN iajs-3065 234 21 , , PUNCT iajs-3065 234 22 ๐‘ฃ ๐‘ฃ PRON iajs-3065 234 23 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 234 24 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 234 25 , , PUNCT iajs-3065 234 26 it it PRON iajs-3065 234 27 means mean VERB iajs-3065 234 28 that that SCONJ iajs-3065 234 29 ๐‘ข2v ๐‘ข2v VERB iajs-3065 234 30 โ„‹๏ƒ โ„‹๏ƒ NUM iajs-3065 234 31 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 234 32 . . PUNCT iajs-3065 235 1 but but CCONJ iajs-3065 235 2 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 235 3 is be AUX iajs-3065 235 4 a a DET iajs-3065 235 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 235 6 - - PUNCT iajs-3065 235 7 athen athen NOUN iajs-3065 235 8 by by ADP iajs-3065 235 9 lemma lemma PROPN iajs-3065 235 10 2.7 2.7 NUM iajs-3065 235 11 either either CCONJ iajs-3065 235 12 ๐‘ข๐‘ฃโ„‹ ๐‘ข๐‘ฃโ„‹ NUM iajs-3065 235 13 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 235 14 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 235 15 + + CCONJ iajs-3065 235 16 ( ( PUNCT iajs-3065 235 17 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 235 18 ) ) PUNCT iajs-3065 235 19 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 235 20 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 235 21 ) ) PUNCT iajs-3065 235 22 ) ) PUNCT iajs-3065 235 23 or or CCONJ iajs-3065 235 24 ๐‘ข2 ๐‘ข2 PROPN iajs-3065 235 25 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 235 26 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ PROPN iajs-3065 235 27 + + CCONJ iajs-3065 235 28 ( ( PUNCT iajs-3065 235 29 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 235 30 ) ) PUNCT iajs-3065 235 31 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 235 32 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 235 33 ) ) PUNCT iajs-3065 235 34 ) ) PUNCT iajs-3065 235 35 . . PUNCT iajs-3065 236 1 but but CCONJ iajs-3065 236 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 236 3 is be AUX iajs-3065 236 4 a a DET iajs-3065 236 5 non non ADJ iajs-3065 236 6 - - ADJ iajs-3065 236 7 singular singular ADJ iajs-3065 236 8 content content NOUN iajs-3065 236 9 - - PUNCT iajs-3065 236 10 r r NOUN iajs-3065 236 11 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 236 12 module module NOUN iajs-3065 236 13 then then ADV iajs-3065 236 14 by by ADP iajs-3065 236 15 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 236 16 2.16 2.16 NUM iajs-3065 236 17 , , PUNCT iajs-3065 236 18 2.14 2.14 NUM iajs-3065 236 19 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 236 20 ( ( PUNCT iajs-3065 236 21 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 236 22 ) ) PUNCT iajs-3065 236 23 = = SYM iajs-3065 236 24 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 236 25 ( ( PUNCT iajs-3065 236 26 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 236 27 ) ) PUNCT iajs-3065 236 28 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 236 29 and and CCONJ iajs-3065 236 30 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 236 31 ( ( PUNCT iajs-3065 236 32 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 236 33 ) ) PUNCT iajs-3065 236 34 = = SYM iajs-3065 236 35 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 236 36 ( ( PUNCT iajs-3065 236 37 ๐‘… ๐‘… NOUN iajs-3065 236 38 ) ) PUNCT iajs-3065 236 39 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 236 40 thus thus ADV iajs-3065 236 41 either either CCONJ iajs-3065 236 42 ๐‘ข๐‘ฃโ„‹ ๐‘ข๐‘ฃโ„‹ NOUN iajs-3065 236 43 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 236 44 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 236 45 + + CCONJ iajs-3065 236 46 ( ( PUNCT iajs-3065 236 47 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 236 48 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 236 49 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 236 50 ) ) PUNCT iajs-3065 236 51 or or CCONJ iajs-3065 236 52 ๐‘ข2โ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ ๐‘ข2โ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ X iajs-3065 237 1 + + CCONJ iajs-3065 237 2 ( ( PUNCT iajs-3065 237 3 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 237 4 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 237 5 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 237 6 ) ) PUNCT iajs-3065 237 7 . . PUNCT iajs-3065 238 1 that that PRON iajs-3065 238 2 is be AUX iajs-3065 238 3 either either DET iajs-3065 238 4 ๐‘ข๐‘ฃ ๐‘ข๐‘ฃ NOUN iajs-3065 238 5 โˆˆ โˆˆ NOUN iajs-3065 238 6 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 238 7 + + CCONJ iajs-3065 238 8 ( ( PUNCT iajs-3065 238 9 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 238 10 ) ) PUNCT iajs-3065 238 11 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 238 12 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 238 13 ) ) PUNCT iajs-3065 238 14 ) ) PUNCT iajs-3065 238 15 or or CCONJ iajs-3065 238 16 ๐‘ข2 ๐‘ข2 PROPN iajs-3065 238 17 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 238 18 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 238 19 + + CCONJ iajs-3065 238 20 ( ( PUNCT iajs-3065 238 21 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 238 22 ) ) PUNCT iajs-3065 238 23 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 238 24 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 238 25 ) ) PUNCT iajs-3065 238 26 ) ) PUNCT iajs-3065 239 1 = = PUNCT iajs-3065 240 1 [ [ X iajs-3065 240 2 ๐ผ ๐ผ ADP iajs-3065 240 3 + + CCONJ iajs-3065 240 4 ( ( PUNCT iajs-3065 240 5 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 240 6 ) ) PUNCT iajs-3065 240 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 240 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 240 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 240 10 ] ] PUNCT iajs-3065 240 11 . . PUNCT iajs-3065 241 1 therefore therefore ADV iajs-3065 241 2 i i PRON iajs-3065 241 3 is be AUX iajs-3065 241 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 241 5 - - PUNCT iajs-3065 241 6 a a DET iajs-3065 241 7 ideal ideal NOUN iajs-3065 241 8 of of ADP iajs-3065 241 9 r. r. PROPN iajs-3065 241 10 proposition proposition PROPN iajs-3065 241 11 4.4 4.4 NUM iajs-3065 241 12 let let VERB iajs-3065 241 13 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 241 14 be be AUX iajs-3065 241 15 a a DET iajs-3065 241 16 faithfulfinitely faithfulfinitely ADV iajs-3065 241 17 generatedmultiplication generatedmultiplication NOUN iajs-3065 241 18 r r NOUN iajs-3065 241 19 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 241 20 moduleand moduleand NOUN iajs-3065 241 21 i i PRON iajs-3065 241 22 is be AUX iajs-3065 241 23 a a DET iajs-3065 241 24 stpns stpns ADJ iajs-3065 241 25 - - PUNCT iajs-3065 241 26 aideal aideal NOUN iajs-3065 241 27 of of ADP iajs-3065 241 28 r r NOUN iajs-3065 241 29 with with ADP iajs-3065 241 30 annr annr NOUN iajs-3065 241 31 ( ( PUNCT iajs-3065 241 32 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 241 33 ) ) PUNCT iajs-3065 241 34 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 242 1 i i PRON iajs-3065 242 2 if if SCONJ iajs-3065 242 3 and and CCONJ iajs-3065 242 4 only only ADV iajs-3065 242 5 if if SCONJ iajs-3065 242 6 then then ADV iajs-3065 242 7 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 242 8 is be AUX iajs-3065 242 9 stpns stpns ADJ iajs-3065 242 10 - - PUNCT iajs-3065 242 11 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 242 12 of of ADP iajs-3065 242 13 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 242 14 proof proof NOUN iajs-3065 242 15 ( ( PUNCT iajs-3065 242 16 โ‡’ โ‡’ NOUN iajs-3065 242 17 ) ) PUNCT iajs-3065 242 18 let let VERB iajs-3065 242 19 โ„Ž2๐พ โ„Ž2๐พ NOUN iajs-3065 242 20 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 242 21 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 242 22 for for ADP iajs-3065 242 23 h h NOUN iajs-3065 242 24 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 242 25 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 242 26 and and CCONJ iajs-3065 242 27 ๐พ ๐พ PROPN iajs-3065 242 28 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 242 29 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 242 30 . . PUNCT iajs-3065 243 1 since since SCONJ iajs-3065 243 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 243 3 is be AUX iajs-3065 243 4 a a DET iajs-3065 243 5 multiplicationr multiplicationr ADJ iajs-3065 243 6 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 243 7 module module NOUN iajs-3065 243 8 , , PUNCT iajs-3065 243 9 then then ADV iajs-3065 243 10 โ„Ž โ„Ž PROPN iajs-3065 243 11 = = SYM iajs-3065 243 12 ๐ตโ„‹and ๐ตโ„‹and PROPN iajs-3065 243 13 ๐พ ๐พ PROPN iajs-3065 243 14 = = SYM iajs-3065 243 15 jโ„‹ jโ„‹ PROPN iajs-3065 243 16 forsome forsome NOUN iajs-3065 243 17 ideals ideal NOUN iajs-3065 243 18 ๐ต ๐ต PROPN iajs-3065 243 19 , , PUNCT iajs-3065 243 20 j j PROPN iajs-3065 243 21 of of ADP iajs-3065 243 22 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 243 23 , , PUNCT iajs-3065 243 24 that that PRON iajs-3065 243 25 is be AUX iajs-3065 243 26 โ„Ž2๐พ โ„Ž2๐พ NOUN iajs-3065 243 27 = = SYM iajs-3065 243 28 ( ( PUNCT iajs-3065 243 29 ๐ตโ„‹)2 ๐ตโ„‹)2 X iajs-3065 243 30 jโ„‹๏ƒ jโ„‹๏ƒ X iajs-3065 243 31 i i PRON iajs-3065 243 32 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 243 33 but but CCONJ iajs-3065 243 34 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 243 35 is be AUX iajs-3065 243 36 a a DET iajs-3065 243 37 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 243 38 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 243 39 , , PUNCT iajs-3065 243 40 then then ADV iajs-3065 243 41 by by ADP iajs-3065 243 42 lemma lemma PROPN iajs-3065 243 43 2.18 2.18 NUM iajs-3065 243 44 we we PRON iajs-3065 243 45 have have VERB iajs-3065 243 46 ๐ต2j๏ƒ ๐ต2j๏ƒ NOUN iajs-3065 244 1 i i NOUN iajs-3065 244 2 + + CCONJ iajs-3065 244 3 annr annr NOUN iajs-3065 244 4 ( ( PUNCT iajs-3065 244 5 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 244 6 ) ) PUNCT iajs-3065 244 7 . . PUNCT iajs-3065 245 1 since since SCONJ iajs-3065 245 2 annr annr NOUN iajs-3065 245 3 ( ( PUNCT iajs-3065 245 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 245 5 ) ) PUNCT iajs-3065 245 6 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 245 7 i i PRON iajs-3065 245 8 then then ADV iajs-3065 245 9 i i PRON iajs-3065 245 10 + + CCONJ iajs-3065 245 11 annr annr NOUN iajs-3065 245 12 ( ( PUNCT iajs-3065 245 13 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 245 14 ) ) PUNCT iajs-3065 245 15 = = PUNCT iajs-3065 246 1 i i PROPN iajs-3065 246 2 , , PUNCT iajs-3065 246 3 that that DET iajs-3065 246 4 ๐ต2j๏ƒ ๐ต2j๏ƒ NOUN iajs-3065 246 5 i. i. NOUN iajs-3065 247 1 but but CCONJ iajs-3065 247 2 i i PRON iajs-3065 247 3 is be AUX iajs-3065 247 4 stpns stpns ADJ iajs-3065 247 5 - - PUNCT iajs-3065 247 6 aideal aideal NOUN iajs-3065 247 7 of of ADP iajs-3065 247 8 r r NOUN iajs-3065 247 9 , , PUNCT iajs-3065 247 10 then then ADV iajs-3065 247 11 either either CCONJ iajs-3065 247 12 ๐ตj ๐ตj PROPN iajs-3065 247 13 โŠ† โŠ† PROPN iajs-3065 247 14 i i NOUN iajs-3065 247 15 + + CCONJ iajs-3065 247 16 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… NOUN iajs-3065 247 17 ) ) PUNCT iajs-3065 247 18 โˆฉ โˆฉ X iajs-3065 247 19 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 247 20 ) ) PUNCT iajs-3065 247 21 or or CCONJ iajs-3065 247 22 ๐ต2 ๐ต2 NOUN iajs-3065 247 23 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 248 1 [ [ X iajs-3065 248 2 i i X iajs-3065 248 3 + + CCONJ iajs-3065 248 4 ( ( PUNCT iajs-3065 248 5 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 248 6 ) ) PUNCT iajs-3065 248 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 248 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 248 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 248 10 ] ] X iajs-3065 248 11 = = PUNCT iajs-3065 249 1 i i PRON iajs-3065 249 2 + + CCONJ iajs-3065 249 3 ( ( PUNCT iajs-3065 249 4 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 249 5 ) ) PUNCT iajs-3065 249 6 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 249 7 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 249 8 ) ) PUNCT iajs-3065 249 9 ) ) PUNCT iajs-3065 249 10 . . PUNCT iajs-3065 250 1 it it PRON iajs-3065 250 2 means mean VERB iajs-3065 250 3 that that SCONJ iajs-3065 250 4 either either CCONJ iajs-3065 250 5 ๐ตjโ„‹ ๐ตjโ„‹ VERB iajs-3065 250 6 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 250 7 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 250 8 + + CCONJ iajs-3065 250 9 ( ( PUNCT iajs-3065 250 10 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 250 11 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 250 12 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 250 13 ) ) PUNCT iajs-3065 250 14 or or CCONJ iajs-3065 250 15 ๐ต2โ„‹ ๐ต2โ„‹ PROPN iajs-3065 250 16 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 250 17 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 250 18 + + CCONJ iajs-3065 250 19 ( ( PUNCT iajs-3065 250 20 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 250 21 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 250 22 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 250 23 ) ) PUNCT iajs-3065 250 24 . . PUNCT iajs-3065 251 1 since since SCONJ iajs-3065 251 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 251 3 is be AUX iajs-3065 251 4 faithful faithful ADJ iajs-3065 251 5 then then ADV iajs-3065 251 6 by by ADP iajs-3065 251 7 lemmas lemmas PROPN iajs-3065 251 8 2.8 2.8 NUM iajs-3065 251 9 , , PUNCT iajs-3065 251 10 2.9 2.9 NUM iajs-3065 251 11 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 251 12 ( ( PUNCT iajs-3065 251 13 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 251 14 ) ) PUNCT iajs-3065 252 1 = = SYM iajs-3065 252 2 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 252 3 ( ( PUNCT iajs-3065 252 4 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 252 5 ) ) PUNCT iajs-3065 252 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 252 7 and and CCONJ iajs-3065 252 8 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 252 9 ( ( PUNCT iajs-3065 252 10 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 252 11 ) ) PUNCT iajs-3065 252 12 = = SYM iajs-3065 252 13 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 252 14 ( ( PUNCT iajs-3065 252 15 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 252 16 ) ) PUNCT iajs-3065 252 17 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 252 18 so so SCONJ iajs-3065 252 19 that that SCONJ iajs-3065 252 20 either either CCONJ iajs-3065 252 21 hk hk PROPN iajs-3065 252 22 ๏ƒiโ„‹ ๏ƒiโ„‹ PROPN iajs-3065 252 23 + + CCONJ iajs-3065 252 24 ( ( PUNCT iajs-3065 252 25 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 252 26 ) ) PUNCT iajs-3065 252 27 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 252 28 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 252 29 ) ) PUNCT iajs-3065 252 30 ) ) PUNCT iajs-3065 252 31 or or CCONJ iajs-3065 252 32 โ„Ž2 โ„Ž2 VERB iajs-3065 252 33 ๏ƒiโ„‹ ๏ƒiโ„‹ PROPN iajs-3065 252 34 + + CCONJ iajs-3065 252 35 ( ( PUNCT iajs-3065 252 36 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 252 37 ) ) PUNCT iajs-3065 252 38 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 252 39 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 252 40 ) ) PUNCT iajs-3065 252 41 ) ) PUNCT iajs-3065 252 42 . . PUNCT iajs-3065 253 1 therefore therefore ADV iajs-3065 253 2 by by ADP iajs-3065 253 3 corollary corollary ADJ iajs-3065 253 4 3.4 3.4 NUM iajs-3065 253 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 253 6 is be AUX iajs-3065 253 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 253 8 - - PUNCT iajs-3065 253 9 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 253 10 of of ADP iajs-3065 253 11 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 253 12 ( ( PUNCT iajs-3065 253 13 โ‡ โ‡ ADJ iajs-3065 253 14 ) ) PUNCT iajs-3065 253 15 let let VERB iajs-3065 253 16 ๐‘ข2j ๐‘ข2j NOUN iajs-3065 253 17 ๏ƒ ๏ƒ VERB iajs-3065 253 18 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 253 19 for for ADP iajs-3065 253 20 ๐‘ข ๐‘ข PRON iajs-3065 253 21 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 253 22 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 253 23 and and CCONJ iajs-3065 253 24 j j PROPN iajs-3065 253 25 is be AUX iajs-3065 253 26 an an DET iajs-3065 253 27 ideal ideal NOUN iajs-3065 253 28 of of ADP iajs-3065 253 29 r r NOUN iajs-3065 253 30 , , PUNCT iajs-3065 253 31 it it PRON iajs-3065 253 32 means mean VERB iajs-3065 253 33 that that SCONJ iajs-3065 253 34 ๐‘ข2j ๐‘ข2j NOUN iajs-3065 253 35 โ„‹๏ƒ โ„‹๏ƒ PRON iajs-3065 253 36 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 253 37 . . PUNCT iajs-3065 254 1 but but CCONJ iajs-3065 254 2 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 254 3 is be AUX iajs-3065 254 4 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 254 5 , , PUNCT iajs-3065 254 6 then then ADV iajs-3065 254 7 ๐‘ข2๐ฝโ„‹ ๐‘ข2๐ฝโ„‹ PROPN iajs-3065 255 1 = = PUNCT iajs-3065 255 2 ๐‘ข2๐ฟ ๐‘ข2๐ฟ PUNCT iajs-3065 255 3 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 255 4 ๐ผโ„‹. ๐ผโ„‹. NOUN iajs-3065 256 1 but but CCONJ iajs-3065 256 2 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 256 3 is be AUX iajs-3065 256 4 a a DET iajs-3065 256 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 256 6 - - PUNCT iajs-3065 256 7 athen athen NOUN iajs-3065 256 8 by by ADP iajs-3065 256 9 lemma lemma PROPN iajs-3065 256 10 2.7 2.7 NUM iajs-3065 256 11 either either CCONJ iajs-3065 256 12 ๐‘ข๐ฟ ๐‘ข๐ฟ PROPN iajs-3065 256 13 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 256 14 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 256 15 + + CCONJ iajs-3065 256 16 ( ( PUNCT iajs-3065 256 17 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 256 18 ) ) PUNCT iajs-3065 256 19 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 256 20 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 256 21 ) ) PUNCT iajs-3065 256 22 ) ) PUNCT iajs-3065 256 23 or or CCONJ iajs-3065 256 24 ๐‘ข2โ„‹ ๐‘ข2โ„‹ ADV iajs-3065 256 25 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 256 26 ๐ผโ„‹ ๐ผโ„‹ NOUN iajs-3065 256 27 + + CCONJ iajs-3065 256 28 ( ( PUNCT iajs-3065 256 29 ๐ฝ(โ„‹ ๐ฝ(โ„‹ PROPN iajs-3065 256 30 ) ) PUNCT iajs-3065 256 31 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 256 32 ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(โ„‹ NUM iajs-3065 256 33 ) ) PUNCT iajs-3065 256 34 ) ) PUNCT iajs-3065 256 35 .but .but PUNCT iajs-3065 257 1 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 257 2 is be AUX iajs-3065 257 3 faithful faithful ADJ iajs-3065 257 4 , , PUNCT iajs-3065 257 5 then then ADV iajs-3065 257 6 by by ADP iajs-3065 257 7 ihjpas ihjpas PROPN iajs-3065 257 8 . . PUNCT iajs-3065 258 1 36 36 NUM iajs-3065 258 2 ( ( PUNCT iajs-3065 258 3 3 3 NUM iajs-3065 258 4 ) ) PUNCT iajs-3065 258 5 2023 2023 NUM iajs-3065 258 6 313 313 NUM iajs-3065 258 7 lemmas lemma NOUN iajs-3065 258 8 2.5 2.5 NUM iajs-3065 258 9 , , PUNCT iajs-3065 258 10 2.6 2.6 NUM iajs-3065 258 11 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 258 12 ( ( PUNCT iajs-3065 258 13 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 258 14 ) ) PUNCT iajs-3065 258 15 = = SYM iajs-3065 258 16 ๐‘†๐‘œ๐‘ ๐‘†๐‘œ๐‘ PROPN iajs-3065 258 17 ( ( PUNCT iajs-3065 258 18 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 258 19 ) ) PUNCT iajs-3065 258 20 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 258 21 and and CCONJ iajs-3065 258 22 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 258 23 ( ( PUNCT iajs-3065 258 24 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 258 25 ) ) PUNCT iajs-3065 258 26 = = SYM iajs-3065 258 27 ๐ฝ ๐ฝ PROPN iajs-3065 258 28 ( ( PUNCT iajs-3065 258 29 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 258 30 ) ) PUNCT iajs-3065 258 31 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 258 32 . . PUNCT iajs-3065 259 1 thus thus ADV iajs-3065 259 2 either either CCONJ iajs-3065 259 3 ๐‘ข๐ฝโ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ ๐‘ข๐ฝโ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ PROPN iajs-3065 259 4 + + CCONJ iajs-3065 259 5 ( ( PUNCT iajs-3065 259 6 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 259 7 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 259 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 259 9 ) ) PUNCT iajs-3065 259 10 or or CCONJ iajs-3065 259 11 ๐‘ข2โ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ ๐‘ข2โ„‹๏ƒ๐ผโ„‹ X iajs-3065 259 12 + + CCONJ iajs-3065 259 13 ( ( PUNCT iajs-3065 259 14 ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ ๐ฝ(๐‘…)โ„‹ VERB iajs-3065 259 15 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 259 16 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)โ„‹ NOUN iajs-3065 259 17 ) ) PUNCT iajs-3065 259 18 .that .that PRON iajs-3065 259 19 is be AUX iajs-3065 259 20 either either CCONJ iajs-3065 259 21 ๐‘ข๐ฝ ๐‘ข๐ฝ ADJ iajs-3065 259 22 ๏ƒ ๏ƒ PROPN iajs-3065 259 23 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 259 24 + + CCONJ iajs-3065 259 25 ( ( PUNCT iajs-3065 259 26 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 259 27 ) ) PUNCT iajs-3065 259 28 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 259 29 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 259 30 ) ) PUNCT iajs-3065 259 31 ) ) PUNCT iajs-3065 259 32 or or CCONJ iajs-3065 259 33 ๐‘ข2 ๐‘ข2 PROPN iajs-3065 259 34 โˆˆ โˆˆ PROPN iajs-3065 259 35 ๐ผ ๐ผ PROPN iajs-3065 259 36 + + CCONJ iajs-3065 259 37 ( ( PUNCT iajs-3065 259 38 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 259 39 ) ) PUNCT iajs-3065 259 40 โˆฉ โˆฉ NOUN iajs-3065 259 41 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘… NUM iajs-3065 259 42 ) ) PUNCT iajs-3065 259 43 ) ) PUNCT iajs-3065 260 1 = = PUNCT iajs-3065 261 1 [ [ X iajs-3065 261 2 ๐ผ ๐ผ ADP iajs-3065 261 3 + + CCONJ iajs-3065 261 4 ( ( PUNCT iajs-3065 261 5 ๐ฝ(๐‘… ๐ฝ(๐‘… PROPN iajs-3065 261 6 ) ) PUNCT iajs-3065 261 7 โˆฉ โˆฉ PROPN iajs-3065 261 8 ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… ๐‘ ๐‘œ๐‘(๐‘…)):๐‘… PROPN iajs-3065 261 9 ๐‘… ๐‘… PROPN iajs-3065 261 10 ] ] PUNCT iajs-3065 261 11 . . PUNCT iajs-3065 262 1 therefore therefore ADV iajs-3065 262 2 by by ADP iajs-3065 262 3 lemma lemma PROPN iajs-3065 262 4 2.7 2.7 NUM iajs-3065 262 5 i i PRON iajs-3065 262 6 is be AUX iajs-3065 262 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 262 8 - - PUNCT iajs-3065 262 9 aideal aideal NOUN iajs-3065 262 10 of of ADP iajs-3065 262 11 r. r. PROPN iajs-3065 262 12 proposition proposition NOUN iajs-3065 262 13 4.5 4.5 NUM iajs-3065 262 14 let let VERB iajs-3065 262 15 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 262 16 be be AUX iajs-3065 262 17 a a DET iajs-3065 262 18 faithfulfinitely faithfulfinitely ADV iajs-3065 262 19 generatedmultiplicationr generatedmultiplicationr ADJ iajs-3065 262 20 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 262 21 module module NOUN iajs-3065 262 22 , , PUNCT iajs-3065 262 23 and and CCONJ iajs-3065 262 24 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 262 25 is be AUX iajs-3065 262 26 a a DET iajs-3065 262 27 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 262 28 of of ADP iajs-3065 262 29 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 262 30 . . PUNCT iajs-3065 263 1 then then ADV iajs-3065 263 2 the the DET iajs-3065 263 3 followingstatements followingstatement NOUN iajs-3065 263 4 are be AUX iajs-3065 263 5 valent valent NOUN iajs-3065 263 6 : : PUNCT iajs-3065 264 1 1 1 X iajs-3065 264 2 . . X iajs-3065 264 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 264 4 is be AUX iajs-3065 264 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 264 6 - - PUNCT iajs-3065 264 7 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 264 8 of of ADP iajs-3065 264 9 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 264 10 2 2 NUM iajs-3065 264 11 . . PUNCT iajs-3065 265 1 [ [ X iajs-3065 265 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 265 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 265 4 ] ] PUNCT iajs-3065 265 5 is be AUX iajs-3065 265 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 265 7 - - PUNCT iajs-3065 265 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 265 9 of of ADP iajs-3065 265 10 r r NOUN iajs-3065 265 11 . . PUNCT iajs-3065 266 1 3 3 X iajs-3065 266 2 . . X iajs-3065 266 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 266 4 = = PUNCT iajs-3065 266 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 266 6 for for ADP iajs-3065 266 7 some some DET iajs-3065 266 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 266 9 - - PUNCT iajs-3065 266 10 aideal aideal ADJ iajs-3065 266 11 i i PRON iajs-3065 266 12 of of ADP iajs-3065 266 13 r r NOUN iajs-3065 266 14 . . PUNCT iajs-3065 267 1 proof proof NOUN iajs-3065 267 2 ( ( PUNCT iajs-3065 267 3 1 1 X iajs-3065 267 4 ) ) PUNCT iajs-3065 267 5 ๏ƒ› ๏ƒ› NOUN iajs-3065 267 6 ( ( PUNCT iajs-3065 267 7 2 2 X iajs-3065 267 8 ) ) PUNCT iajs-3065 267 9 follows follow VERB iajs-3065 267 10 by by ADP iajs-3065 267 11 proposition proposition NOUN iajs-3065 267 12 4.4 4.4 NUM iajs-3065 267 13 . . PUNCT iajs-3065 268 1 ( ( PUNCT iajs-3065 268 2 2 2 X iajs-3065 268 3 ) ) PUNCT iajs-3065 268 4 ๏ƒž ๏ƒž NOUN iajs-3065 268 5 ( ( PUNCT iajs-3065 268 6 3 3 X iajs-3065 268 7 ) ) PUNCT iajs-3065 268 8 suppose suppose VERB iajs-3065 268 9 that that SCONJ iajs-3065 268 10 [ [ X iajs-3065 268 11 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 268 12 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 268 13 ] ] PUNCT iajs-3065 268 14 is be AUX iajs-3065 268 15 stpns stpns ADJ iajs-3065 268 16 - - PUNCT iajs-3065 268 17 aideal aideal NOUN iajs-3065 268 18 of of ADP iajs-3065 268 19 r. r. PROPN iajs-3065 268 20 but but CCONJ iajs-3065 268 21 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 268 22 is be AUX iajs-3065 268 23 a a DET iajs-3065 268 24 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 268 25 , , PUNCT iajs-3065 268 26 then then ADV iajs-3065 268 27 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 268 28 = = PUNCT iajs-3065 269 1 [ [ X iajs-3065 269 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 269 3 โ„‹]โ„‹. โ„‹]โ„‹. PROPN iajs-3065 269 4 put put VERB iajs-3065 269 5 i i PRON iajs-3065 269 6 = = PUNCT iajs-3065 270 1 [ [ X iajs-3065 270 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 270 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 270 4 ] ] PUNCT iajs-3065 270 5 is be AUX iajs-3065 270 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 270 7 - - PUNCT iajs-3065 270 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 270 9 of of ADP iajs-3065 270 10 r r NOUN iajs-3065 270 11 and and CCONJ iajs-3065 270 12 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 270 13 = = PUNCT iajs-3065 270 14 iโ„‹. iโ„‹. NOUN iajs-3065 270 15 ( ( PUNCT iajs-3065 270 16 3 3 NUM iajs-3065 270 17 ) ) PUNCT iajs-3065 270 18 ๏ƒž ๏ƒž NOUN iajs-3065 270 19 ( ( PUNCT iajs-3065 270 20 2 2 X iajs-3065 270 21 ) ) PUNCT iajs-3065 270 22 suppose suppose VERB iajs-3065 270 23 that that SCONJ iajs-3065 270 24 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 270 25 = = PUNCT iajs-3065 270 26 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 270 27 for for ADP iajs-3065 270 28 some some DET iajs-3065 270 29 stpns stpns ADJ iajs-3065 270 30 - - PUNCT iajs-3065 270 31 aideal aideal NOUN iajs-3065 270 32 of of ADP iajs-3065 270 33 r. r. PROPN iajs-3065 270 34 since since SCONJ iajs-3065 270 35 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 270 36 is be AUX iajs-3065 270 37 a a DET iajs-3065 270 38 multiplication multiplication NOUN iajs-3065 270 39 , , PUNCT iajs-3065 270 40 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 270 41 = = PUNCT iajs-3065 271 1 [ [ X iajs-3065 271 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 271 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 271 4 = = PUNCT iajs-3065 271 5 iโ„‹. iโ„‹. NOUN iajs-3065 271 6 but but CCONJ iajs-3065 271 7 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 271 8 is be AUX iajs-3065 271 9 a a DET iajs-3065 271 10 faithfulfinitely faithfulfinitely ADV iajs-3065 271 11 generated generate VERB iajs-3065 271 12 , , PUNCT iajs-3065 271 13 then then ADV iajs-3065 271 14 by by ADP iajs-3065 271 15 lemma lemma PROPN iajs-3065 271 16 2.18 2.18 NUM iajs-3065 271 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 271 18 is be AUX iajs-3065 271 19 cancellation cancellation NOUN iajs-3065 271 20 , , PUNCT iajs-3065 271 21 therefore therefore ADV iajs-3065 271 22 [ [ X iajs-3065 271 23 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 271 24 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 271 25 ] ] X iajs-3065 272 1 = = VERB iajs-3065 273 1 i i PRON iajs-3065 273 2 is be AUX iajs-3065 273 3 stpns stpns ADJ iajs-3065 273 4 - - PUNCT iajs-3065 273 5 aideal aideal NOUN iajs-3065 273 6 of of ADP iajs-3065 273 7 r. r. PROPN iajs-3065 273 8 proposition proposition NOUN iajs-3065 273 9 4.6 4.6 NUM iajs-3065 273 10 let let VERB iajs-3065 273 11 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 273 12 be be AUX iajs-3065 273 13 a a DET iajs-3065 273 14 finitelygenerated finitelygenerated ADJ iajs-3065 273 15 multiplicationz multiplicationz NOUN iajs-3065 273 16 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 273 17 regular regular ADJ iajs-3065 273 18 content content NOUN iajs-3065 273 19 r r NOUN iajs-3065 273 20 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 273 21 module module NOUN iajs-3065 273 22 , , PUNCT iajs-3065 273 23 and and CCONJ iajs-3065 273 24 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 273 25 is be AUX iajs-3065 273 26 a a DET iajs-3065 273 27 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 273 28 of of ADP iajs-3065 273 29 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 273 30 withannr withannr NOUN iajs-3065 273 31 ( ( PUNCT iajs-3065 273 32 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 273 33 ) ) PUNCT iajs-3065 273 34 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 274 1 [ [ X iajs-3065 274 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 274 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 274 4 ] ] PUNCT iajs-3065 274 5 . . PUNCT iajs-3065 275 1 then then ADV iajs-3065 275 2 the the DET iajs-3065 275 3 followingstatements followingstatement NOUN iajs-3065 275 4 are be AUX iajs-3065 275 5 valent valent NOUN iajs-3065 275 6 : : PUNCT iajs-3065 276 1 1 1 X iajs-3065 276 2 . . X iajs-3065 276 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 276 4 is be AUX iajs-3065 276 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 276 6 - - PUNCT iajs-3065 276 7 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 276 8 of of ADP iajs-3065 276 9 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 276 10 2 2 NUM iajs-3065 276 11 . . PUNCT iajs-3065 277 1 [ [ X iajs-3065 277 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 277 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 277 4 ] ] PUNCT iajs-3065 277 5 is be AUX iajs-3065 277 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 277 7 - - PUNCT iajs-3065 277 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 277 9 of of ADP iajs-3065 277 10 r r NOUN iajs-3065 277 11 . . PUNCT iajs-3065 278 1 3 3 X iajs-3065 278 2 . . X iajs-3065 278 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 278 4 = = PUNCT iajs-3065 278 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 278 6 for for ADP iajs-3065 278 7 some some DET iajs-3065 278 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 278 9 - - PUNCT iajs-3065 278 10 aideal aideal NOUN iajs-3065 278 11 i i PRON iajs-3065 278 12 of of ADP iajs-3065 278 13 r r NOUN iajs-3065 278 14 with with ADP iajs-3065 278 15 annr annr NOUN iajs-3065 278 16 ( ( PUNCT iajs-3065 278 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 278 18 ) ) PUNCT iajs-3065 278 19 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 278 20 ๐ผ. ๐ผ. PROPN iajs-3065 278 21 proof proof NOUN iajs-3065 278 22 ( ( PUNCT iajs-3065 278 23 1 1 X iajs-3065 278 24 ) ) PUNCT iajs-3065 278 25 ๏ƒ› ๏ƒ› NOUN iajs-3065 279 1 ( ( PUNCT iajs-3065 279 2 2 2 X iajs-3065 279 3 ) ) PUNCT iajs-3065 279 4 follows follow VERB iajs-3065 279 5 byproposition byproposition NOUN iajs-3065 279 6 4.1 4.1 NUM iajs-3065 279 7 . . PUNCT iajs-3065 280 1 ( ( PUNCT iajs-3065 280 2 2 2 X iajs-3065 280 3 ) ) PUNCT iajs-3065 280 4 ๏ƒž ๏ƒž NOUN iajs-3065 280 5 ( ( PUNCT iajs-3065 280 6 3 3 X iajs-3065 280 7 ) ) PUNCT iajs-3065 280 8 let let VERB iajs-3065 280 9 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 280 10 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 280 11 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 280 12 , , PUNCT iajs-3065 280 13 then then ADV iajs-3065 280 14 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 280 15 = = PUNCT iajs-3065 281 1 [ [ PUNCT iajs-3065 281 2 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 281 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 281 4 ( ( PUNCT iajs-3065 281 5 for for ADP iajs-3065 281 6 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 281 7 isamultiplication isamultiplication NOUN iajs-3065 281 8 ) ) PUNCT iajs-3065 281 9 . . PUNCT iajs-3065 282 1 put put VERB iajs-3065 282 2 [ [ PUNCT iajs-3065 282 3 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 282 4 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 282 5 ] ] X iajs-3065 282 6 = = SYM iajs-3065 282 7 i i PROPN iajs-3065 282 8 , , PUNCT iajs-3065 282 9 impliesthat impliesthat VERB iajs-3065 282 10 i i PRON iajs-3065 282 11 is be AUX iajs-3065 282 12 stpns stpns ADJ iajs-3065 282 13 - - PUNCT iajs-3065 282 14 aideal aideal NOUN iajs-3065 282 15 of of ADP iajs-3065 282 16 r r NOUN iajs-3065 282 17 with with ADP iajs-3065 282 18 annr annr NOUN iajs-3065 282 19 ( ( PUNCT iajs-3065 282 20 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 282 21 ) ) PUNCT iajs-3065 282 22 = = PUNCT iajs-3065 283 1 [ [ X iajs-3065 283 2 0 0 NUM iajs-3065 283 3 : : PUNCT iajs-3065 283 4 r r NOUN iajs-3065 283 5 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 283 6 ] ] X iajs-3065 283 7 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 283 8 [ [ PUNCT iajs-3065 283 9 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 283 10 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 283 11 ] ] X iajs-3065 283 12 = = PUNCT iajs-3065 283 13 i i PRON iajs-3065 283 14 , , PUNCT iajs-3065 283 15 that that PRON iajs-3065 283 16 is be AUX iajs-3065 283 17 annr annr ADJ iajs-3065 283 18 ( ( PUNCT iajs-3065 283 19 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 283 20 ) ) PUNCT iajs-3065 283 21 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 283 22 i. i. NOUN iajs-3065 283 23 ( ( PUNCT iajs-3065 283 24 3 3 NUM iajs-3065 283 25 ) ) PUNCT iajs-3065 283 26 ๏ƒž ๏ƒž NOUN iajs-3065 283 27 ( ( PUNCT iajs-3065 283 28 2 2 X iajs-3065 283 29 ) ) PUNCT iajs-3065 283 30 supposethat supposethat ADJ iajs-3065 283 31 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 283 32 = = PUNCT iajs-3065 283 33 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 283 34 forsome forsome NOUN iajs-3065 283 35 stpns stpns NOUN iajs-3065 283 36 - - PUNCT iajs-3065 283 37 aideal aideal NOUN iajs-3065 283 38 of of ADP iajs-3065 283 39 r r NOUN iajs-3065 283 40 with with ADP iajs-3065 283 41 annr annr NOUN iajs-3065 283 42 ( ( PUNCT iajs-3065 283 43 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 283 44 ) ) PUNCT iajs-3065 283 45 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 283 46 i i PRON iajs-3065 283 47 . . PUNCT iajs-3065 284 1 but but CCONJ iajs-3065 284 2 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 284 3 isamultiplication isamultiplication NOUN iajs-3065 284 4 , , PUNCT iajs-3065 284 5 then then ADV iajs-3065 284 6 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 284 7 = = PUNCT iajs-3065 285 1 [ [ PUNCT iajs-3065 285 2 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 285 3 โ„‹]โ„‹ โ„‹]โ„‹ PROPN iajs-3065 285 4 = = PUNCT iajs-3065 285 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 285 6 , , PUNCT iajs-3065 285 7 and and CCONJ iajs-3065 285 8 since since SCONJ iajs-3065 285 9 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 285 10 is be AUX iajs-3065 285 11 a a DET iajs-3065 285 12 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 285 13 then then ADV iajs-3065 285 14 by by ADP iajs-3065 285 15 lemma lemma PROPN iajs-3065 285 16 2.20 2.20 NUM iajs-3065 285 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 285 18 is be AUX iajs-3065 285 19 a a DET iajs-3065 285 20 weakcancellation weakcancellation NOUN iajs-3065 285 21 , , PUNCT iajs-3065 285 22 it it PRON iajs-3065 285 23 means mean VERB iajs-3065 285 24 that that SCONJ iajs-3065 285 25 [ [ X iajs-3065 285 26 โ„ฑ:r โ„ฑ:r DET iajs-3065 285 27 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 285 28 ] ] X iajs-3065 285 29 + + CCONJ iajs-3065 285 30 annr annr NOUN iajs-3065 285 31 ( ( PUNCT iajs-3065 285 32 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 285 33 ) ) PUNCT iajs-3065 285 34 = = VERB iajs-3065 286 1 i i PRON iajs-3065 286 2 + + CCONJ iajs-3065 286 3 annr annr ADJ iajs-3065 286 4 ( ( PUNCT iajs-3065 286 5 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 286 6 ) ) PUNCT iajs-3065 286 7 . . PUNCT iajs-3065 287 1 but but CCONJ iajs-3065 287 2 annr annr NOUN iajs-3065 287 3 ( ( PUNCT iajs-3065 287 4 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 287 5 ) ) PUNCT iajs-3065 287 6 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 287 7 i i PRON iajs-3065 287 8 , , PUNCT iajs-3065 287 9 it it PRON iajs-3065 287 10 means mean VERB iajs-3065 287 11 that that SCONJ iajs-3065 287 12 i i PRON iajs-3065 287 13 + + CCONJ iajs-3065 287 14 annr annr ADJ iajs-3065 287 15 ( ( PUNCT iajs-3065 287 16 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 287 17 ) ) PUNCT iajs-3065 287 18 = = PUNCT iajs-3065 287 19 i i PRON iajs-3065 287 20 and and CCONJ iajs-3065 287 21 annr annr NOUN iajs-3065 287 22 ( ( PUNCT iajs-3065 287 23 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 287 24 ) ) PUNCT iajs-3065 287 25 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 288 1 [ [ PUNCT iajs-3065 288 2 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 288 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 288 4 ] ] PUNCT iajs-3065 288 5 , , PUNCT iajs-3065 288 6 it it PRON iajs-3065 288 7 means mean VERB iajs-3065 288 8 that that SCONJ iajs-3065 288 9 [ [ X iajs-3065 288 10 โ„ฑ:r โ„ฑ:r DET iajs-3065 288 11 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 288 12 ] ] X iajs-3065 288 13 + + CCONJ iajs-3065 288 14 annr annr NOUN iajs-3065 288 15 ( ( PUNCT iajs-3065 288 16 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 288 17 ) ) PUNCT iajs-3065 288 18 = = PUNCT iajs-3065 289 1 [ [ PUNCT iajs-3065 289 2 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 289 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 289 4 ] ] PUNCT iajs-3065 289 5 . . PUNCT iajs-3065 290 1 thus thus ADV iajs-3065 290 2 [ [ X iajs-3065 290 3 โ„ฑ:r โ„ฑ:r NUM iajs-3065 290 4 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 290 5 ] ] X iajs-3065 290 6 = = PUNCT iajs-3065 290 7 i i PROPN iajs-3065 290 8 , , PUNCT iajs-3065 290 9 but but CCONJ iajs-3065 290 10 i i PRON iajs-3065 290 11 is be AUX iajs-3065 290 12 stpnsโ€“2 stpnsโ€“2 NOUN iajs-3065 290 13 - - PUNCT iajs-3065 290 14 a a DET iajs-3065 290 15 ideal ideal NOUN iajs-3065 290 16 of of ADP iajs-3065 290 17 r r NOUN iajs-3065 290 18 , , PUNCT iajs-3065 290 19 itfollows itfollow VERB iajs-3065 290 20 that that SCONJ iajs-3065 290 21 [ [ X iajs-3065 290 22 โ„ฑ:r โ„ฑ:r PRON iajs-3065 290 23 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 290 24 ] ] PUNCT iajs-3065 290 25 is be AUX iajs-3065 290 26 stpns stpns ADJ iajs-3065 290 27 - - PUNCT iajs-3065 290 28 aideal aideal NOUN iajs-3065 290 29 of of ADP iajs-3065 290 30 r. r. PROPN iajs-3065 290 31 proposition proposition NOUN iajs-3065 290 32 4.7 4.7 NUM iajs-3065 290 33 let let VERB iajs-3065 290 34 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 290 35 be be AUX iajs-3065 290 36 a a DET iajs-3065 290 37 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 290 38 multiplicationprojective multiplicationprojective ADJ iajs-3065 290 39 r r NOUN iajs-3065 290 40 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 290 41 module module NOUN iajs-3065 290 42 , , PUNCT iajs-3065 290 43 and and CCONJ iajs-3065 290 44 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 290 45 is be AUX iajs-3065 290 46 a a DET iajs-3065 290 47 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 290 48 of of ADP iajs-3065 290 49 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 290 50 with with ADP iajs-3065 290 51 annr annr NOUN iajs-3065 290 52 ( ( PUNCT iajs-3065 290 53 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 290 54 ) ) PUNCT iajs-3065 290 55 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 291 1 [ [ X iajs-3065 291 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 291 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 291 4 ] ] PUNCT iajs-3065 291 5 . . PUNCT iajs-3065 292 1 then then ADV iajs-3065 292 2 the the DET iajs-3065 292 3 followingstatements followingstatement NOUN iajs-3065 292 4 are be AUX iajs-3065 292 5 valent valent NOUN iajs-3065 292 6 : : PUNCT iajs-3065 293 1 1 1 X iajs-3065 293 2 . . X iajs-3065 293 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 293 4 is be AUX iajs-3065 293 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 293 6 - - PUNCT iajs-3065 293 7 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 293 8 of of ADP iajs-3065 293 9 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 293 10 2 2 NUM iajs-3065 293 11 . . PUNCT iajs-3065 294 1 [ [ X iajs-3065 294 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 294 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 294 4 ] ] PUNCT iajs-3065 294 5 is be AUX iajs-3065 294 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 294 7 - - PUNCT iajs-3065 294 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 294 9 of of ADP iajs-3065 294 10 r r NOUN iajs-3065 294 11 . . PUNCT iajs-3065 295 1 3 3 X iajs-3065 295 2 . . X iajs-3065 295 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 295 4 = = PUNCT iajs-3065 295 5 iโ„‹ iโ„‹ VERB iajs-3065 295 6 forsome forsome NOUN iajs-3065 295 7 stpns stpns ADJ iajs-3065 295 8 - - PUNCT iajs-3065 295 9 aideal aideal ADJ iajs-3065 295 10 i i PRON iajs-3065 295 11 of of ADP iajs-3065 295 12 r r NOUN iajs-3065 295 13 withannr withannr NOUN iajs-3065 295 14 ( ( PUNCT iajs-3065 295 15 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 295 16 ) ) PUNCT iajs-3065 295 17 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 295 18 ๐ผ. ๐ผ. PROPN iajs-3065 295 19 proof proof NOUN iajs-3065 295 20 ( ( PUNCT iajs-3065 295 21 1 1 X iajs-3065 295 22 ) ) PUNCT iajs-3065 295 23 ๏ƒ› ๏ƒ› NOUN iajs-3065 296 1 ( ( PUNCT iajs-3065 296 2 2 2 X iajs-3065 296 3 ) ) PUNCT iajs-3065 296 4 followsby followsby ADJ iajs-3065 296 5 proposition proposition NOUN iajs-3065 296 6 4.2 4.2 NUM iajs-3065 296 7 . . PUNCT iajs-3065 297 1 ( ( PUNCT iajs-3065 297 2 2 2 X iajs-3065 297 3 ) ) PUNCT iajs-3065 297 4 ๏ƒ› ๏ƒ› NOUN iajs-3065 297 5 ( ( PUNCT iajs-3065 297 6 3 3 X iajs-3065 297 7 ) ) PUNCT iajs-3065 297 8 followssimilarly followssimilarly ADV iajs-3065 297 9 as as ADP iajs-3065 297 10 inproposition inproposition NOUN iajs-3065 297 11 4.6 4.6 NUM iajs-3065 297 12 . . PUNCT iajs-3065 298 1 ihjpas ihjpas PROPN iajs-3065 298 2 . . PUNCT iajs-3065 299 1 36 36 NUM iajs-3065 299 2 ( ( PUNCT iajs-3065 299 3 3 3 NUM iajs-3065 299 4 ) ) PUNCT iajs-3065 299 5 2023 2023 NUM iajs-3065 299 6 314 314 NUM iajs-3065 299 7 proposition proposition NOUN iajs-3065 299 8 4.8 4.8 NUM iajs-3065 299 9 let let VERB iajs-3065 299 10 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 299 11 be be AUX iajs-3065 299 12 a a DET iajs-3065 299 13 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 299 14 multiplicationnon multiplicationnon ADJ iajs-3065 299 15 - - ADJ iajs-3065 299 16 singular singular ADJ iajs-3065 299 17 content content NOUN iajs-3065 299 18 r r NOUN iajs-3065 299 19 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 299 20 module module NOUN iajs-3065 299 21 , , PUNCT iajs-3065 299 22 and and CCONJ iajs-3065 299 23 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 299 24 is be AUX iajs-3065 299 25 a a DET iajs-3065 299 26 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 299 27 of of ADP iajs-3065 299 28 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 299 29 with with ADP iajs-3065 299 30 annr annr NOUN iajs-3065 299 31 ( ( PUNCT iajs-3065 299 32 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 299 33 ) ) PUNCT iajs-3065 299 34 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 300 1 [ [ X iajs-3065 300 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 300 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 300 4 ] ] PUNCT iajs-3065 300 5 . . PUNCT iajs-3065 301 1 then then ADV iajs-3065 301 2 the the DET iajs-3065 301 3 following follow VERB iajs-3065 301 4 statementsare statementsare VERB iajs-3065 301 5 valent valent NOUN iajs-3065 301 6 : : PUNCT iajs-3065 301 7 1 1 X iajs-3065 301 8 . . X iajs-3065 301 9 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 301 10 is be AUX iajs-3065 301 11 stpns stpns ADJ iajs-3065 301 12 - - PUNCT iajs-3065 301 13 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 301 14 of of ADP iajs-3065 301 15 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 301 16 2 2 NUM iajs-3065 301 17 . . PUNCT iajs-3065 302 1 [ [ X iajs-3065 302 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 302 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 302 4 ] ] PUNCT iajs-3065 302 5 is be AUX iajs-3065 302 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 302 7 - - PUNCT iajs-3065 302 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 302 9 of of ADP iajs-3065 302 10 r r NOUN iajs-3065 302 11 . . PUNCT iajs-3065 303 1 3 3 X iajs-3065 303 2 . . X iajs-3065 303 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 303 4 = = PUNCT iajs-3065 303 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 303 6 for for ADP iajs-3065 303 7 some some DET iajs-3065 303 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 303 9 - - PUNCT iajs-3065 303 10 aideal aideal ADJ iajs-3065 303 11 i i PRON iajs-3065 303 12 of of ADP iajs-3065 303 13 r r NOUN iajs-3065 303 14 withannr withannr NOUN iajs-3065 303 15 ( ( PUNCT iajs-3065 303 16 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 303 17 ) ) PUNCT iajs-3065 303 18 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 303 19 ๐ผ. ๐ผ. PROPN iajs-3065 303 20 proof proof NOUN iajs-3065 303 21 ( ( PUNCT iajs-3065 303 22 1 1 X iajs-3065 303 23 ) ) PUNCT iajs-3065 303 24 ๏ƒ› ๏ƒ› NOUN iajs-3065 304 1 ( ( PUNCT iajs-3065 304 2 2 2 X iajs-3065 304 3 ) ) PUNCT iajs-3065 304 4 follows follow VERB iajs-3065 304 5 by by ADP iajs-3065 304 6 proposition proposition NOUN iajs-3065 304 7 4.3 4.3 NUM iajs-3065 304 8 . . PUNCT iajs-3065 305 1 ( ( PUNCT iajs-3065 305 2 2 2 X iajs-3065 305 3 ) ) PUNCT iajs-3065 305 4 ๏ƒ› ๏ƒ› NOUN iajs-3065 305 5 ( ( PUNCT iajs-3065 305 6 3 3 X iajs-3065 305 7 ) ) PUNCT iajs-3065 305 8 follows follow VERB iajs-3065 305 9 similarly similarly ADV iajs-3065 305 10 as as ADP iajs-3065 305 11 in in ADP iajs-3065 305 12 proposition proposition NOUN iajs-3065 305 13 4.6 4.6 NUM iajs-3065 305 14 . . NOUN iajs-3065 306 1 5 5 NUM iajs-3065 306 2 . . X iajs-3065 306 3 conclusion conclusion NOUN iajs-3065 306 4 we we PRON iajs-3065 306 5 will will AUX iajs-3065 306 6 present present VERB iajs-3065 306 7 the the DET iajs-3065 306 8 most most ADV iajs-3065 306 9 important important ADJ iajs-3065 306 10 propositions proposition NOUN iajs-3065 306 11 in in ADP iajs-3065 306 12 this this DET iajs-3065 306 13 research research NOUN iajs-3065 306 14 : : PUNCT iajs-3065 306 15 . . PUNCT iajs-3065 307 1 let let VERB iajs-3065 307 2 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 307 3 be be AUX iajs-3065 307 4 a a DET iajs-3065 307 5 faithfulfinitely faithfulfinitely ADV iajs-3065 307 6 generatedmultiplication generatedmultiplication NOUN iajs-3065 307 7 r r NOUN iajs-3065 307 8 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 307 9 module module NOUN iajs-3065 307 10 , , PUNCT iajs-3065 307 11 and and CCONJ iajs-3065 307 12 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 307 13 is be AUX iajs-3065 307 14 a a DET iajs-3065 307 15 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 307 16 of of ADP iajs-3065 307 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 307 18 . . PUNCT iajs-3065 308 1 then then ADV iajs-3065 308 2 thefollowing thefollowing NOUN iajs-3065 308 3 statementsare statementsare NOUN iajs-3065 308 4 valent valent NOUN iajs-3065 308 5 : : PUNCT iajs-3065 308 6 1 1 X iajs-3065 308 7 . . X iajs-3065 308 8 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 308 9 is be AUX iajs-3065 308 10 stpns stpns ADJ iajs-3065 308 11 - - PUNCT iajs-3065 308 12 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 308 13 of of ADP iajs-3065 308 14 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 308 15 2 2 NUM iajs-3065 308 16 . . PUNCT iajs-3065 309 1 [ [ X iajs-3065 309 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 309 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 309 4 ] ] PUNCT iajs-3065 309 5 is be AUX iajs-3065 309 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 309 7 - - PUNCT iajs-3065 309 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 309 9 of of ADP iajs-3065 309 10 r r NOUN iajs-3065 309 11 . . PUNCT iajs-3065 310 1 3 3 X iajs-3065 310 2 . . X iajs-3065 310 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 310 4 = = PUNCT iajs-3065 310 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 310 6 for for ADP iajs-3065 310 7 some some DET iajs-3065 310 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 310 9 - - PUNCT iajs-3065 310 10 aideal aideal ADJ iajs-3065 310 11 i i PRON iajs-3065 310 12 of of ADP iajs-3065 310 13 r r NOUN iajs-3065 310 14 . . PUNCT iajs-3065 310 15 . . PUNCT iajs-3065 311 1 let let VERB iajs-3065 311 2 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 311 3 be be AUX iajs-3065 311 4 a a DET iajs-3065 311 5 finitelygenerated finitelygenerated ADJ iajs-3065 311 6 multiplicationz multiplicationz NOUN iajs-3065 311 7 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 311 8 regular regular ADJ iajs-3065 311 9 content content NOUN iajs-3065 311 10 r r NOUN iajs-3065 311 11 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 311 12 module module NOUN iajs-3065 311 13 , , PUNCT iajs-3065 311 14 and and CCONJ iajs-3065 311 15 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 311 16 is be AUX iajs-3065 311 17 a a DET iajs-3065 311 18 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 311 19 of of ADP iajs-3065 311 20 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 311 21 with with ADP iajs-3065 311 22 annr annr NOUN iajs-3065 311 23 ( ( PUNCT iajs-3065 311 24 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 311 25 ) ) PUNCT iajs-3065 311 26 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 312 1 [ [ X iajs-3065 312 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 312 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 312 4 ] ] PUNCT iajs-3065 312 5 . . PUNCT iajs-3065 313 1 then then ADV iajs-3065 313 2 the the DET iajs-3065 313 3 followingstatements followingstatement NOUN iajs-3065 313 4 are be AUX iajs-3065 313 5 valent valent NOUN iajs-3065 313 6 : : PUNCT iajs-3065 314 1 1 1 X iajs-3065 314 2 . . X iajs-3065 314 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 314 4 is be AUX iajs-3065 314 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 314 6 - - PUNCT iajs-3065 314 7 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 314 8 of of ADP iajs-3065 314 9 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 314 10 2 2 NUM iajs-3065 314 11 . . PUNCT iajs-3065 315 1 [ [ X iajs-3065 315 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 315 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 315 4 ] ] PUNCT iajs-3065 315 5 is be AUX iajs-3065 315 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 315 7 - - PUNCT iajs-3065 315 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 315 9 of of ADP iajs-3065 315 10 r r NOUN iajs-3065 315 11 . . PUNCT iajs-3065 316 1 3 3 X iajs-3065 316 2 . . X iajs-3065 316 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 316 4 = = PUNCT iajs-3065 316 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 316 6 for for ADP iajs-3065 316 7 some some DET iajs-3065 316 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 316 9 - - PUNCT iajs-3065 316 10 aideal aideal NOUN iajs-3065 316 11 i i PRON iajs-3065 316 12 of of ADP iajs-3065 316 13 r r NOUN iajs-3065 316 14 with with ADP iajs-3065 316 15 annr annr NOUN iajs-3065 316 16 ( ( PUNCT iajs-3065 316 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 316 18 ) ) PUNCT iajs-3065 316 19 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 316 20 ๐ผ. ๐ผ. PROPN iajs-3065 316 21 . . PUNCT iajs-3065 317 1 let let VERB iajs-3065 317 2 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 317 3 be be AUX iajs-3065 317 4 a a DET iajs-3065 317 5 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 317 6 multiplicationprojective multiplicationprojective ADJ iajs-3065 317 7 r r NOUN iajs-3065 317 8 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 317 9 module module NOUN iajs-3065 317 10 , , PUNCT iajs-3065 317 11 and and CCONJ iajs-3065 317 12 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 317 13 is be AUX iajs-3065 317 14 a a DET iajs-3065 317 15 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 317 16 of of ADP iajs-3065 317 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 317 18 with with ADP iajs-3065 317 19 annr annr NOUN iajs-3065 317 20 ( ( PUNCT iajs-3065 317 21 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 317 22 ) ) PUNCT iajs-3065 317 23 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 318 1 [ [ X iajs-3065 318 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 318 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 318 4 ] ] PUNCT iajs-3065 318 5 . . PUNCT iajs-3065 319 1 then then ADV iajs-3065 319 2 the the DET iajs-3065 319 3 followingstatements followingstatement NOUN iajs-3065 319 4 are be AUX iajs-3065 319 5 valent valent NOUN iajs-3065 319 6 : : PUNCT iajs-3065 320 1 1 1 X iajs-3065 320 2 . . X iajs-3065 320 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 320 4 is be AUX iajs-3065 320 5 stpns stpns ADJ iajs-3065 320 6 - - PUNCT iajs-3065 320 7 asubmodule asubmodule NOUN iajs-3065 320 8 of of ADP iajs-3065 320 9 โ„‹. โ„‹. PROPN iajs-3065 320 10 2 2 NUM iajs-3065 320 11 . . PUNCT iajs-3065 321 1 [ [ X iajs-3065 321 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 321 3 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 321 4 ] ] PUNCT iajs-3065 321 5 is be AUX iajs-3065 321 6 stpns stpns ADJ iajs-3065 321 7 - - PUNCT iajs-3065 321 8 aideal aideal NOUN iajs-3065 321 9 of of ADP iajs-3065 321 10 r r NOUN iajs-3065 321 11 . . PUNCT iajs-3065 322 1 3 3 X iajs-3065 322 2 . . X iajs-3065 322 3 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 322 4 = = PUNCT iajs-3065 322 5 iโ„‹ iโ„‹ NOUN iajs-3065 322 6 for for ADP iajs-3065 322 7 some some DET iajs-3065 322 8 stpns stpns ADJ iajs-3065 322 9 - - PUNCT iajs-3065 322 10 aideal aideal NOUN iajs-3065 322 11 i i PRON iajs-3065 322 12 of of ADP iajs-3065 322 13 r r NOUN iajs-3065 322 14 with with ADP iajs-3065 322 15 annr annr NOUN iajs-3065 322 16 ( ( PUNCT iajs-3065 322 17 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 322 18 ) ) PUNCT iajs-3065 322 19 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 322 20 ๐ผ. ๐ผ. PROPN iajs-3065 322 21 . . PUNCT iajs-3065 323 1 let let VERB iajs-3065 323 2 โ„‹ โ„‹ PRON iajs-3065 323 3 be be AUX iajs-3065 323 4 a a DET iajs-3065 323 5 finitelygenerated finitelygenerate VERB iajs-3065 323 6 multiplicationnon multiplicationnon ADJ iajs-3065 323 7 - - ADJ iajs-3065 323 8 singular singular ADJ iajs-3065 323 9 content content NOUN iajs-3065 323 10 r r NOUN iajs-3065 323 11 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 323 12 module module NOUN iajs-3065 323 13 , , PUNCT iajs-3065 323 14 and and CCONJ iajs-3065 323 15 โ„ฑ โ„ฑ PROPN iajs-3065 323 16 is be AUX iajs-3065 323 17 a a DET iajs-3065 323 18 propersubmodule propersubmodule NOUN iajs-3065 323 19 of of ADP iajs-3065 323 20 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 323 21 with with ADP iajs-3065 323 22 annr annr NOUN iajs-3065 323 23 ( ( PUNCT iajs-3065 323 24 โ„‹ โ„‹ PROPN iajs-3065 323 25 ) ) PUNCT iajs-3065 323 26 โŠ† โŠ† NUM iajs-3065 324 1 [ [ X iajs-3065 324 2 โ„ฑ:๐‘… โ„ฑ:๐‘… PROPN iajs-3065 324 3 โ„‹ โ„‹ NOUN iajs-3065 324 4 ] ] PUNCT iajs-3065 324 5 . . 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PUNCT iajs-3065 356 1 math math NOUN iajs-3065 356 2 . . PUNCT iajs-3065 357 1 1988 1988 NUM iajs-3065 357 2 , , PUNCT iajs-3065 357 3 50 50 NUM iajs-3065 357 4 , , PUNCT iajs-3065 357 5 223 223 NUM iajs-3065 357 6 โ€“ โ€“ PUNCT iajs-3065 357 7 235 235 NUM iajs-3065 357 8 . . PUNCT iajs-3065 358 1 11 11 NUM iajs-3065 358 2 . . X iajs-3065 358 3 ali ali PROPN iajs-3065 358 4 , , PUNCT iajs-3065 358 5 s. s. PROPN iajs-3065 358 6 mon mon PROPN iajs-3065 358 7 cancellation cancellation NOUN iajs-3065 358 8 modules module NOUN iajs-3065 358 9 , , PUNCT iajs-3065 358 10 m. m. PROPN iajs-3065 358 11 sc sc PROPN iajs-3065 358 12 . . PUNCT iajs-3065 359 1 thesis thesis PROPN iajs-3065 359 2 , , PUNCT iajs-3065 359 3 university university NOUN iajs-3065 359 4 of of ADP iajs-3065 359 5 baghdad baghdad PROPN iajs-3065 359 6 , , PUNCT iajs-3065 359 7 1993 1993 NUM iajs-3065 359 8 . . PUNCT