Local Influence Analysis of Non-parametric Regression Model with Random Right Censorship


 

I. 



 

II. 

Y ( , , )
T T

X Z T

( )
T T

Y X β Z α T ε  

1
( , , )

T

n
X X X 1n 

1
( , , )

T

p
β β β

1
( ) ( ( ), , ( ))

T

q
α T α T α T T

ε ( | , , ) 0 ,
T T

E ε X Z T 
2

( | , , )
T T

V a r ε X Z T ζ

Y C

Y Y

C

( , , )
T T

X Z T m i n ( , )Y C  ( )δ I Y C  ( )I 

{ ( , , , , ) }
T T

k k k k k
x z t δ



 

( , , , , )
T T

X Z T δ
1

( , , )
T T

k k k p
x x x

k
Y ( , )

k k
δ m i n ( , )

k k k
Y C 

( )
k k k

δ I Y C 
k

 1
k

δ 

k
 0

k
δ 

i
F

i
Y G

i
C in f { : ( ) 1}

i
F

η t F t 

ii
FF  1 GG  1

1

1 1

( ) ( )

p q

i i i k i k i k i

k k

E δ G β x z α t 


 

   ， ni ,,2,1 

                     

1

0

( ) ( ) ( )
1 ( )

F Gi
η η

i i i i
y

i

y
E δ G d G t d F y

G y

E Y

 







 

1 1

( )

p q

i k i k i k i

k k

E Y β x z α t

 

  

1

1 1

( ) ( )

p q

i i i k i k i k i

k k

E δ G β x z α t 


 

   ， ni ,,2,1 

1
{ ( ) , 1 }

i i i
δ G i n 


 

1 1

( )
( )

p q

i i

k ik ik i i

k ki

δ
β x z α t ε

G







 

    ni ,,2,1 

i
ε


0
i

E ε

 ，

2
( )

i
V a r ε ζ

 
 G

G
ˆ

G

G
ˆ

  

  

[ 0 , ]

( )

1

( )

1 ( )
,ˆ

( ) 2 ( )

0 ,

j j
I δ t

n

j

n

j j

n

N
i f t

G t N

i f t










 






  
  

    








 

( ) 1 2
m a x { , , , } ,

n n
   

1
( ) [ ], 1 , 2 , ,

n

j i ji
N I j n  




  

( )

i i

i

i

δ
L

G






  ( ) , 1 , ,
T T

i i i i i
L x β z α t ε i n


   

III. 

β

1 1 1

1 0 0ˆ( ) s u p , ( ) , ,

n n n

i i i i i

i i i

L n p p p p

  

 
    

 
  β η β

 ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
T T

i i i i i i
x t L x z t    

 
η β μ β α

1

ˆ ˆˆ ( ) ( ) ( )t S t G t


 
 

α

1

ˆ ( ) ( )

n

T

i i i

i

S t W t x x



 

1

ˆ ( ) ( )

n

T

i i i

i

G t W t x y




 
1

ˆ ( ) ( )

n

i i

i

t W t x



 μ
1

( ) ( ) ( )

n

i h i h i

i

W t K t t K t t



   ( ) ( )hK K h  

( )K  ，h ( )ω

[ , ]a b ，0 1a b  

，
1 1

1
 

  ,
ˆ ( )

i T

i

p
n


λ η β

，

1

1

1
 

( )  .
ˆ ( )

n

T

i i

L






β
λ η β

β

1

1
 

ˆ( ) l o g ( ( ) )   ,

n

T

E i

i

l



  β λ η β

Rλ
1

0
1

 

ˆ ( )

ˆ ( )

n

i

T

i i





η β

λ η β

λ β



 

1

1

1
 

n
ˆQ ( , ) l o g ( ( ) )   .

n

T

i

i

n




  λ β λ η β

， β̂ λ̂

：

 

 

1
1

1

1
1

1

1 0

1 0

 n

1 , n

 n

2 , n

Q ( , )
ˆ ˆQ ( , ) ( ) ( )

ˆ ( )Q ( , )
ˆQ ( , ) ( )  .

n

T

i i

i

n

Ti

i

i

n

n












    







    
  





λ β
λ β η β λ η β

λ

η βλ β
λ β λ λ η β

β β

IV. 

j ( , )
T

j j
x L

( )
T T

i i i i i
L x β z α t ε


   ，  .i j

( )

ˆ
j

β

β

j ( , , , )
T T

j j j j
x z t L

β̂
( )

ˆ
j

β

， ，

β

  
1 1 1

( ) 2 2 .1 2 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ( ){1 (1 )} ,
j i p

β β n S S S η β o
  

  

1 1 1 2

2 1 2 2

ˆ ( )
ˆ ˆ( ( ) ( ) )

ˆ ( )
0

T

T i

F i i F

i

F

η β
E η β η β E

S S β
S

S S η β
E

β

  
   

    
    
   

    
  

1

2 2 . 1 2 1 1 1 1 2
S S S S


 

 
( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ,
T

j j j
E C D M β β M β β  



 

2

2

ˆ

( )
E

β β

l β
M

β







j

，

ˆ( )
j

V a r y


j

， 2ζ̂  2ˆ ( )ζ j

   .( )
ˆ ˆ( ) 2 ( ) ( )

j E E j
E L D M l β l β 

V. 

n
ω R ( | )

E
l β ω

,

1

( | ) ( )

n

E i E i

i

l β ω ω l β



 
0

ω ω 1n 

0
( | ) ( )

E E
l β ω l β

ˆ ˆ( ) 2[ ( ) { ( )} ]
D E E E

l ω l β l β ω  ˆ ( )β ω

β ( | )
E

l β ω
0

( )ω a ω a h 

0
( 0 )ω ω

0
( ) / |

a
d ω a d a h


 h

n
R

T T
, ( )

E
ω L D ω（ ）

  
C

0

0

( )
( )

E

T

h L D ω
ω h H h

0 0

0

2

2 1

ˆ( ) ,

ˆ{ ( ) }
2 2 { ( ) }

E

TE

β ETL D ω ω β

ω

L D β ω
H l β

ω ω
 




    
 

2
( , )

βω E
L D β ω  

p n ( , )k i
,

( )
k

β E i
l β

C
0

( )
h
ω

1 1
0

p p n
λ λ λ λ


     



 

  
0

( )
E

L D ω
H  1( , ) : 1 ,

T

m m m n
v v v m n 

  
0

( )
E

m m mL D ω
H v λ v

  
0

( )
E

L D ω
H

  
  

0
( )

1

.
E

n

T

m m mL D ω

m

H λ v v



 

1
v

1
λ

2

1

j

p

e m m j

m

C λ v



  je 1n 

j
1

v

( , , )
T T

j j j
x z t

j
e

C

   

         
1 1

2 2 .1

2 1 (1 ) 2 1 (1 )

- 2 1 (1 ) ,

j
e j p j p

T

j j p

C E L D o E C D o

n S o 
 

   

 

  

1

2 1 1 1

, ˆ

ˆ ( )
( , ) (1 ) ,

ˆ ˆ1 ( )

i

j β E j j pTβ β

i

S S η β
l x β o

λ η β







   



1 1 1 , 2

1 ˆ ˆ,

ˆ ˆ( ) ( )1
,

ˆ(1 ( ) )

Tn

i i

λ n T

i i β β λ λ

η β η β
S Q

n λ η β
 

  




   
1 2 1 , 2

1 ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 1 ( ) )1
,

ˆ( 1 ( ) )

T T
n

i β i β i i

β n T

i i
β β λ λ

η β λ η β η β λ η β
S Q

n λ η β
 

   
  




   
2 1 2 , 2

1 ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( 1 ( ) )1
,

ˆ( 1 ( ) )

T T
n

i β i β i i

λ n T

i i
β β λ λ

η β λ η β η β λ η β
S Q

n λ η β
 

   
  




   
2 2 2 , 2

1 ˆ ˆ,

ˆ ˆ( ) ( )1
,

ˆ( 1 ( ) )

T T
n

β i β i

β n T

i i
β β λ λ

η β λλ η β
S Q

n λ η β
 

 
  




1

2 2 . 1 2 1 1 1 1 2
S S S S


 



 

VI. 

2p 

1

2
( ) 2 s i n

3
α t π t

 
  

 

，  
2

2

1
( ) 1 .5

2
α t t  ，

~ ( 0 , 1 )t U 2q  [1 . 0 , 1 . 5 ]
T

β  ~ ( 0 , )X N 

~ ( 7 , )Z N 

5 5

5 5


 

  
 
 

~ ( 0 , 1 )ε N

( )
T T

Y X β Z α T ε  

C

i i i
C Y λ  ， 1 , 2 , , ,i n

 
1

~ ( 0 , )
n

i i
λ U c


1 0 0 0n  5c 

2 0 %
 

1

3
5 ( l o g )

n
h n n





2 2
1 5

( ) (1 ) ( 1 )
1 6

K t t t  

、 、 、 、

i ， ( )
i

η β β

λ

ˆ ˆ6 . 6 1 7 1 0 . 0 0 7 2β λ、  

，
1 1 1 2 2 1 2 2

, , ,S S S S
i

e
C

i
e

C



 

i
e

C

i
e

C 、 、 、 、

 

 ， ：

 

 

 

 

 

 

 ：