Microsoft Word - A Credit Rating Model For Enterprises Based on Projection Pursuit and K-Means Clustering A Credit Rating Model for Enterprises Based on Projection Pursuit and K-Means Clustering Algorithm Mu Zhang School of Finance, Guizhou University of Finance and Economics Guiyang 550004, Guizhou, China, E-mail: rim_007@163.com Zongfang Zhou School of Management and Economics, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 610054, Sichuan, China Abstract This paper proposes a new credit rating model for enterprises based on Projection Pursuit and K-means clustering algorithm. Firstly, using Projection Pursuit, the comprehensive credit score of each sample is obtained, so as to reflect the structure or characteristics of original multi-dimensional data. Secondly, the distribution density of the comprehensive credit score series is estimated by the kernel density estimation method, and then the initial cluster centers in original high dimension space are determined according to the local maximum points of density function. Finally, starting from the initial cluster centers above, using K-means clustering algorithm, the final cluster centers are obtained, and then the credit grades are partitioned. Thus, the credit rating for enterprises is realized. Taking the high-tech listed companies in China as samples, it is proved that the model proposed by this paper is feasible and effective. Keywords: enterprise credit rating; Projection Pursuit; kernel density estimation; initial cluster centers; K-means clustering algorithm 基于投影寻踪和 K-均值聚类的企业信用评级模型 张目 1 周宗放 2 1. 贵州财经大学/金融学院，贵阳 550004 2. 电子科技大学/经济与管理学院，成都 610054 摘要：提出一种基于投影寻踪和 K-均值聚类的企业信用评级模型。首先，运用投影寻踪对样本企业进行信 用综合评分，以反映原高维数据的结构或特征；然后，利用核密度估计法对信用综合得分序列进行分布密 度估计，并根据密度函数的局部极大值点确定原高维空间中的初始聚类中心； 后，从给出的初始聚类中 心出发，运用 K-均值算法获得 终聚类中心，并划分企业信用等级，从而实现对样本企业的信用评级。以 我国高技术产业上市公司为例，应用实例证明了该模型的可行性和有效性。 关键词：企业信用评级，投影寻踪，核密度估计，初始聚类中心，K-均值聚类算法 1. 引言 企业信用评级是运用科学的指标体系、定量分 析和定性分析相结合的方法，通过对企业信用记 录、经营水平、外部环境、财务状况、发展前景以 及可能出现的各种风险等进行客观、科学、公正的 分析研究之后，就其信用能力所做出的综合评价， 并用特定的等级符号标定其信用等级[1]。信用评级 有助于企业防范商业风险，为现代企业制度的建设 提供良好条件；信用评级有利于资本市场的公平、 公正和诚信；同时，信用评级也是商业银行确定贷 款风险程度的依据和信贷资产风险管理的基础。 目前，信用评级 常用的方法是基于分类的方 法。在 Altman (1968)[2]做出开创性工作之后，多元 判别分析(MDA)[2-3]、Logistic 回归模型[4]、Probit 回 归模型[5]等统计方法在信用评级中获得了广泛应 Journal of Risk Analysis and Crisis Response, Vol. 2, No. 2 (August 2012), 131-138 Published by Atlantis Press Copyright: the authors 131 Administrateur Texte tapé à la machine Received 7 February 2012 Administrateur Texte tapé à la machine Accepted 14 March 2012 Administrateur Texte tapé à la machine Zhang and Zhou 用。然而，这类统计方法存在着诸多局限，如： MDA 要求样本数据服从正态分布和等协方差，而现 实中大量数据并不服从这些假定[6]；Logistic 回归模 型不仅对中间区域的差别敏感性较强，而且当样本 点完全分离时，模型参数的 大似然估计可能不存 在[7]。20 世纪 90 年代以来，以聚类分析[8]和 K-近邻 法[9]为代表的非参数统计方法被引入到信用风险分 析中，其中，聚类分析具有不要求样本数据服从具 体分布，并且，具有可对变量采用名义尺度和次序 尺度等优点，适于信用风险分析中按照定量指标和 定性指标对并不服从一定分布特性的数据信息分类 的要求 [10] 。在众多的聚类算法中， K- 均值（ K- means）算法[11]是一种基于划分的聚类算法，因其理 论上可靠、算法简单、收敛速度快、能有效处理大 数据集而得到 为广泛的使用[12]。参考文献[13]和 [14]对 K-均值算法在企业信用评级中的应用进行了 有益的尝试，其基本思路是：首先采用 Z 评分法、 因子分析法等对样本企业进行信用评分，然后，在 系统自动指定初始聚类中心下，运用 K-均值算法对 信用得分序列进行聚类。上述研究存在以下两个方 面的问题：（1）将高维数据“降维”后进行聚类分 析，易丢失数据信息；（2）由系统自动指定初始聚 类中心，导致聚类结果缺乏可靠性。 众所周知，K-均值算法对初始聚类中心较为敏 感，对于给定的聚类数目 K，从不同的初始聚类中 心出发，可能得到不同的聚类结果[15-16]。现有文献 提出的优选初始聚类中心的方法主要有：密度评估 法、距离优化法、基于遗传算法的方法和基于取样 的方法等[17-22]。这些方法在一定程度上优化了初始 聚类中心，减少了聚类的迭代次数。然而，上述方 法均是在高维空间中进行计算，其算法复杂度较 高，且某些方法存在输入参数难以确定的不足。 投影寻踪（Projection Pursuit，PP）[23-24]是一种 直接由样本数据驱动的探索性数据分析方法，特别 适用于分析和处理非线性、非正态的高维数据，其 基本思想是把高维数据投影到低维子空间上，寻找 出能反映原高维数据的结构或特征的投影，以达到 研究分析高维数据的目的。有鉴于此，本文受参考 文献[25]的启发，将投影寻踪与核密度估计结合运用 于优选初始聚类中心，从而提出一种基于投影寻踪 和 K-均值聚类的企业信用评级模型。本文的研究逻 辑是：首先，运用投影寻踪对样本企业进行信用综 合评分，以反映原高维数据的结构或特征；然后， 利用核密度估计法对信用综合得分序列进行分布密 度估计，并根据密度函数的局部极大值点确定原高 维空间中的初始聚类中心； 后，从给出的初始聚 类中心出发，运用 K-均值算法获得 终聚类中心， 并划分企业信用等级，从而实现对样本企业的信用 评级。 2. K-均值算法原理 K-均值算法的基本思想是通过迭代把数据对象 划分到不同的簇中，以求目标函数 小化，从而使 生成的簇尽可能的紧凑和独立。给定样本集和正整 数 K，K-均值算法将样本集分割成 K 个簇，每个聚 类中心是簇中样本的均值；将其余对象根据其与各 个簇的中心的距离分配到 近的簇；然后，求出新 形成的簇的中心。这个迭代重新定位过程不断重 复，使得每个簇中所有样本与其中心的距离总和 小，直到目标函数 小化为止[11-12]。 K-均值聚类过程是通过反复移动簇中心以 小 化簇集内的总度量（如：距离、相似度等）来完成 的。设样本为 iX （ 1, 2, ,i N  ），给定一组初始 聚类中心点 kc （ 1, 2, ,k K  ），初始聚类中心可 以从样本集中随机选择，也可以根据实际需要来指 定。K-均值聚类算法交替执行以下两步[11-12]： （1）对每个样本 iX ，找出距离其 近的中心 点（簇） argk   1,2, ,min ( , )k ik K d c X  ， 1, 2, ,k K  （1） （2）计算每个簇中样本的均值，该均值向量即 成为该簇新的中心 ( ) 1 1 kn k k j jk c X n    ， 1, 2, ,k K  （2） 其中， kn 为第 k 簇中的样本数。 重复以上两步，直到没有样本或很少的样本被 分配到不同的簇中。 3. 企业信用评级模型的构建 对于多分类的企业信用评级问题，设有 m 个企 业组成训练样本集  1, ,iA A i m   ，企业信用评 级指标集  1, ,jC C j n   ， ijx 为训练样本 iA 在 Published by Atlantis Press Copyright: the authors 132 A Credit Rating Model for Enterprises 指标 jC 下的指标值。基于投影寻踪和 K-均值聚类的 企业信用评级模型构建步骤如下： 步骤 1：指标值的归一化处理。为消除各指标 的量纲、统一各指标的变化范围和方向，须对指标 值进行极值归一化处理。 对于成本型指标，令 max max min j ij ij j j x x y x x    ， 1, 2, , ; 1, 2, ,i m j n   （3） 对于效益型指标，令 min max min ij j ij j j x x y x x    ， 1, 2, , ; 1, 2, ,i m j n   （4） 式（3）-（4）中， maxjx 、 min jx 分别为第 j 个指标的 大值和 小值。 对于固定型指标，即指标值越接近某一固定值 越好的指标，有 1 max ij j ij ij j i x x y x x       ， 1, 2, , ; 1, 2, ,i m j n   （5） 式（5）中， jx  为第 j 个指标的 佳稳定值。 步骤 2：构造信用评分函数及投影指标函数。 PP 方法就是把 n 维数据  1, ,ijy j n  综合成以 1 2( , , , )na a a a  为投影方向的一维投影值 iZ ： 1 n i j ij j Z a y    ， 1, 2, ,i m  （6） 上式中， a 为单位长度向量。 iZ 近似刻画了样本企 业的信用状况[7]，投影值越低，信用风险越高，则 称式（6）为样本企业的信用评分函数， iZ 为样本 企业的信用综合得分。 PP 方法在综合 iZ 时，要求 iZ 的散布特征应 为：局部投影点尽可能密集， 好凝聚成若干个点 团，而在整体上投影点团之间尽可能散开。由此， 投影指标函数可构造为[23] ( ) Z ZQ a S D （7） 式中， ZS 为 iZ 的标准差， ZD 为 iZ 的局部密度，即 2 1 1 ( ) 1 m Z i i S Z Z m      （8） 1 1 ( ) ( ) m m Z ij ij i j D R r I R r      （9） 其中， 1 1 m i i Z Z m    为 iZ 的均值； R 为求局部密度 的窗口半径，它的选取既要使包含在窗口内的投影 点的平均个数不太少，避免滑动平均偏差太大，又 不能使它随着 m 的增大而增加太快， R 一般可取值 为 0.1 ZS [26-27]；点间距离 | |ij i jr Z Z  ； ( )I t 为单位 阶跃函数，当 0t 时其函数值为 0，当 0t 时其 函数值为 1。 步骤 3：优化投影指标函数。当样本集给定 时，投影指标函数只随投影方向的变化而变化。不 同的投影方向反映不同的数据结构特征， 佳投影 方向就是 大可能暴露高维数据某类特征结构的投 影方向 [26-27]。通过求解投影指标函数 大化问题可 估计出 佳投影方向，即 2 1 max ( ) . . 1 Z Z n j j Q a S D s t a    （10） 式（10）所设定的问题是一个以 1, ,ja j n  为优化变量的复杂非线性优化问题，常规优化方法 较难处理。模拟生物优胜劣汰规则与群体内部染色 体信息交换机制的实码加速遗传算法(Real Coded Accelerating Genetic Algorithm， RAGA)是一种通用 的全局优化方法，用它来求解该问题则十分简便而 有效。RAGA 的具体算法参见参考文献[26]和[27]。 Published by Atlantis Press Copyright: the authors 133 Zhang and Zhou 步骤 4：计算训练样本的信用综合得分，对信 用综合得分序列进行分布密度估计。将步骤 3 估计 出的 佳投影方向 a 代入式（6）后可得训练样本 的信用综合得分 iZ  。初始聚类中心要求是一组能尽 量反映数据分布特征的数据对象[28]；由投影寻踪原 理可知， iZ  的散布特征反映了原高维数据的某种结 构或特征；因此，可以通过分析 iZ  的散布特征来优 选初始聚类中心。为此，本文利用核密度估计法对 信用综合得分序列 iZ  进行分布密度估计。其中，核 密度估计定义如下 [29-30]： 定义 1：设 ( )K 为 1R 上一个给定的概率密度函 数， 0mh  是一个与 m 有关的常数，满足 m   ， 0mh  ，则称 1 1 ( ) ( ) m i m im m z Z f z K mh h        （11） 为 ( )f z 的一个核密度估计，其中 ( )K 为一已知核 函数，满足 sup ( ) u K u     ， ( ) ( )K u K u  （12） ( )K u du     （13） lim ( ) 0 u uK u   （14） mh 称为窗宽或光滑参数。 步骤 5：确定初始聚类中心，运用 K-均值算法 划分信用等级。由步骤 4 得出密度函数 ( )mf z  及相 应的核密度估计曲线。在已知数据分布的条件下， 一个优良的初始聚类中心应满足[31]：（1）选择的初 始聚类中心点各属于不同的类，即任意两个初始聚 类中心点不能属于同一类；（2）选择的初始聚类中 心点应能够作为该类代表，即应该尽量靠近类中 心。据此，可直观搜索出密度函数 ( )mf z  的局部极 大值点，并选取与局部极大值点 临近的样本投影 点在原高维空间中所对应的点为初始聚类中心点。 在运用 K-均值算法对企业进行信用评级时，首 先根据信用评级的实际需要设定 K 个信用等级，则 应有 K 个聚类数目与之对应，从而需选取 K 个样本 点组成初始聚类中心。假设密度函数 ( )mf z  有 N 个 局部极大值点，当 K=N 时，初始聚类中心随即确 定；当 K＜N 时，从我国商业银行“区别对待，择 优扶持”的信贷原则出发，在 N 个局部极大值点中 选取数值较大的前 K 个点来确定初始聚类中心；当 K＞N 时，则需通过增加训练样本数量来使得 K≤ N。 在确定初始聚类中心后，运用 K-均值算法对训 练样本进行聚类分析，从而得到 K 个 终聚类中心 点。由式（6）计算 K 个 终聚类中心点的信用综合 得分，然后，根据信用综合得分的大小，建立聚类 类别与信用等级的一一对应关系，从而划分出 K 个 信用等级，并实现对训练样本的信用评级。 步骤 6：对新样本进行信用评级。对于一个新 的测试样本，首先，运用式（3）-（5）对测试样本 的信用评级指标值进行标准化处理，特别地，当测 试样本的第 j 个指标值在训练样本指标值区间 min max,j jx x   （ 1, 2, ,j n  ）内时，即为归一化处 理。然后，分别计算测试样本与步骤 5 得出的 K 个 终聚类中心点的欧式距离，找出距离其 近的中 心点，该中心点对应的信用等级即为测试样本所属 的信用等级。特别地，当测试样本与 2 个或 2 个以 上 终聚类中心点的欧式距离相等时，则可通过计 算联系向量距离[32]来加以区分。 4. 应用实例 4.1. 指标体系与样本数据 本文参照国家财政部统计评价司的企业绩效评 价指标体系和中国工商银行企业资信评估指标体 系，遵循指标选取的系统性、科学性、客观性、可 比性及可操作性等原则，从偿债能力、营运能力和 盈利能力等三个方面构建企业信用评级指标体系。 该指标体系包括以下 12 个指标：流动比率、速动比 率、资产负债率、利息保障倍数、存货周转率、应 收账款周转率、总资产周转率、固定资产周转率、 总资产报酬率、净资产报酬率、销售净利率、股本 报酬率等。 选取沪、深股市中的高技术产业上市公司作为 实验样本，样本区间选定为 2005-2007 年，数据来 源于国泰安数据库。剔除异常数据样本后， 终获 得 112 家样本企业，其中，有 74 家为“非 ST ”企 业，这类企业称之为“正常企业”；其余 38 家为 Published by Atlantis Press Copyright: the authors 134 A Credit Rating Model for Enterprises “ ST 或 ST ”企业，这类企业称之为“违约企 业”。将实验样本集划分为训练样本集和测试样本 集。随机抽取 50 家“正常企业”和 25 家“违约企 业”作为训练样本，剩余的 24 家“正常企业”和 13 家“违约企业”作为测试样本。使用 Matlab7.1 工具包、Eviews6.0 和 SPSS16.0 软件进行实验分析 。 4.2. 信用评分及分布密度估计 按照第 3 节步骤 1，对训练样本指标值进行归 一化处理。运用 RAGA 求解式（10）所设定的 优 化 问 题 ， 得 出 大 投 影 指 标 函 数 值 ： max ( )Q a =0.9539， 佳投影方向： a  =（0.0171， 0.0140，0.3387，0.1517，0.4217，0.3066，0.3451， 0.2032，0.2904，0.2252，0.3880，0.3793）。将 a 代入式（6），计算出训练样本的信用综合得分 iZ  。 根据定义 1 对信用综合得分序列 iZ  进行分布密 度估计。首先，采用 Silverman（1986）提出的经验 法则[33]计算初始光滑参数，即：假定 ( )f z 为正态 密度函数 2(0, )N  ，选取正态核函数，则根据经验 法可得 佳渐进光滑参数为： 1 5ˆ ˆ1.06AMISEh m   （15） 其中̂ 为信用综合得分序列 iZ  的标准差估计值。 将 75m  ， ˆ 0.1166  代 入 式 （ 15 ） 得 出 ˆ 0.0521AMISEh  。 其次，选取正态（Gaussian）核函数： 2 1( ) ( 2 ) exp( ) 2 G u K u    ，  ,u    （16） 设置格点数为 200，利用 Eviews6.0 软件实现核密度 估计，由于拟合曲线不光滑，本文还采用尝试法[30] 对光滑参数进行适当调整，当光滑参数为 0.0180 时 得到较为满意的结果。信用综合得分序列 iZ  的核密 度估计曲线见图 1。 4.3. 初始聚类中心的确定 从图 1 可以看出，密度函数 ( )mf z  共有 7 个局 部极大值点，通过对 Eviews6.0 软件输出的数据矩阵 的直观搜索，得出这 7 个局部极大值点分别为： 0.7459，0.8152，1.0193，1.1156，1.2350，1.3082， 1.4700。本文根据我国商业银行贷款五级分类的实 际需要，设定 5 个信用等级，则应有 5 个聚类数目 与之对应。由第 3 节步骤 5，在上述 7 个局部极大值 点中选取数值较大的前 5 个点来确定原高维空间中 的初始聚类中心。 4.4. K-均值聚类分析与信用等级的划分 导入 4.3 节得出的初始聚类中心进行 K-均值聚 类分析。设置聚类数目为 5， 大迭代次数为 20， 收敛准则为 0.01，经过 5 次迭代后，达到聚类结果 的要求，聚类分析结束，得出 终聚类中心。由式 （6）计算出 5 个 终聚类中心点的信用综合得分 为：1 类-1.1080、2 类-1.2293、3 类-1.2486、4 类- 1.2700、5 类-1.3501。根据信用综合得分的大小， 建立聚类类别与信用等级的一一对应关系，即有：5 类-Ⅰ、4 类-Ⅱ、3 类-Ⅲ、2 类-Ⅳ、1 类-Ⅴ，其 中，数字序号Ⅰ-Ⅴ分别代表 5 个信用风险从低到高 的 信 用 等 级 。 0 1 2 3 4 5 6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 D e n si ty Z Fig. 1. Kernel Density Estimation Curve 图 1 核密度估计曲线 Published by Atlantis Press Copyright: the authors 135 Zhang and Zhou 4.5. 信用评级结果与对比分析 根据聚类类别与信用等级的对应关系及聚类成 员，即可实现对训练样本的信用评级。对于新的测 试样本，则按照第 3 节步骤 6 评定其信用等级。训 练样本和测试样本的信用评级结果见表 1。 由表 1 可知，训练样本的信用评级结果表现 为：从第Ⅰ级到第Ⅴ级，随着信用等级的降低，违 约企业比例（可近似看成违约率）呈单调递增趋 势。即，企业信用等级越低，其违约概率越大，信 用风险越高，这与信用风险管理理论相吻合。测试 样本的信用评级结果呈现出与训练样本相似的特 征，表明本文模型具有良好的泛化能力，能够满足 实际应用的需要。 为便于比较，本文还采用由系统自动指定初始 聚类中心的 K-均值算法（以下简称为传统模型）对 样本企业进行信用评级。设置聚类数目为 5， 大 迭代次数为 20，收敛准则为 0.01，经过 8 次迭代 后，达到聚类结果的要求，聚类分析结束，得出 终聚类中心。由式（6）计算出 5 个 终聚类中心点 的信用综合得分为：1 类-0.8896、2 类-1.1551、3 类 -1.3143、4 类-1.2287、5 类-1.3153。训练样本和测 试样本的信用评级结果见表 2。 由表 2 可知，虽然训练样本的信用评级结果与 信用风险管理理论相符，但测试样本的信用评级结 果未呈现出与训练样本相似的特征，说明传统模型 的泛化能力较差，不能满足实际应用的需要。另 外，传统模型的聚类分析迭代次数为 8 次，高于本 文模型的 5 次，表明本文模型优选的初始聚类中心 减少了 K-均值算法的迭代次数，加快了算法的收敛 速度，提高了算法的运算效率。 此外，为进一步考察本文模型的聚类效果，本 文还比较了上述两个模型的 小目标函数值： 5 1 k k J J    ，其中， kJ 表示第 k 类中聚类成员与其中 Table 1. The Result of Enterprise Credit Rating Based on the New Model 表 1 企业信用评级结果（本文模型） 聚类类别 5 4 3 2 1 信用等级 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 训练样本（75） 企业总数 5 21 25 12 12 违约企业比例 0.0000 0.0476 0.1600 0.7500 0.9167 测试样本（37） 企业总数 2 11 13 6 5 违约企业比例 0.0000 0.0909 0.1538 0.8333 1.0000 注：表中括号内为样本个数。 Table 2. The Result of Enterprise Credit Rating Based on the Traditional Model 表 2 企业信用评级结果（传统模型） 聚类类别 5 3 4 2 1 信用等级 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 训练样本（75） 企业总数 8 27 18 20 2 违约企业比例 0.0000 0.0370 0.2778 0.8500 1.0000 测试样本（37） 企业总数 5 12 9 11 0 违约企业比例 0.2000 0.0833 0.3333 0.7273 —— 注：表中括号内为样本个数。 Published by Atlantis Press Copyright: the authors 136 A Credit Rating Model for Enterprises 心的距离总和。计算结果显示，本文模型的 J 值为 18.57，小于传统模型的 19.08，表明本文模型的聚 类效果优于传统模型。 5. 结束语 本文将投影寻踪与核密度估计结合运用于优选 初始聚类中心，从而提出一种基于投影寻踪和 K-均 值聚类的企业信用评级模型。该模型具有以下特 点：（1）运用投影寻踪对样本企业进行信用综合评 分，以反映原高维数据的结构或特征；利用核密度 估计法对信用综合得分序列进行分布密度估计，并 根据密度函数的局部极大值点来确定原高维空间中 的初始聚类中心，具有合理性和可操作性；（2）把 高维数据投影到低维子空间上，在低维子空间进行 初始聚类中心的优选，计算相对简单，且不需要任 何输入参数，具有直观性和便捷性；（3）从给出的 初始聚类中心出发，在原高维空间中运用 K-均值算 法进行聚类分析， 大限度的保留了原始数据的信 息，并提高了聚类结果的可靠性。本文的研究为拓 展 K-均值算法在企业信用评级中的应用提供了新的 方法和思路。K-均值算法是基于梯度下降的算法， 不可避免地常常陷入局部极优[16]，因此，将基于遗 传算法、免疫规划或粒子群优化的 K-均值算法引入 到企业信用评级中有待于进一步研究。 致谢 本 文 获 得 国 家 自 然 科 学 基 金 面 上 项 目 （70971015）、教育部人文社会科学研究规划基金 项目（11YJA630196）和贵州财经学院金融学院科 研项目（2009-04）的资助，在此表示衷心的感谢。 参考文献 [1] Li Shimei, The Theoretical Thinking of Credit Capacity Evaluation of the Industrial Enterprises in China, J. 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