Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf MECHANIKA TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 1,26,1988 GRAFY  TRANS FORMACJI  ZM IENNYCH  JAKO  M OD ELE  DRGAJĄ CYCH UKŁ ADÓW  CIĄ GŁ YCH JÓ Z E F   WOJN AR OWSKI AN D R Z E J  N O WAK Politechnika Ś lą ska, Gliwice Wykaz  waż niejszych  oznaczeń A k   —p o l e  przekroju  k- tego  elem en tu  belkowego C  —  macierz  sztywnoś ci  elem en tu  sprę ż ystego c  —współ czyn n ik  sztywnoś ci D k   —  funkcja  ch arakterytyczn a  ukł adu D   —fu n kcja  wyzn aczn ikowa  grafu  przekształ con ego E  —m o d u ł   Youn ga  na  rozcią gan ie /   —geom et ryczn y  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju  belki Ki_,  K 2 ,  K 3 ,  KĄ . —  funkcje  Krył owa- P ragera M   —m a c ie r z  bezwł adn oś ci  elem en tu  inercyjnego S k   —s i ł a  osiowa  w  A:- tym  przekroju T£, —  m acierzowa  waga  krawę dzi  grafu  drgań  poprzeczn ych tij  —  waga  krawę dzi  grafu  dla  drgań  wzdł uż nych T fc  —  macierz  przejś cia  / c- tego  elem en tu  belkowego T fj  —  waga  krawę dzi  grafu  zredukowan ego u k   —  przemieszczenie  osiowe  w  / c- tym  przekroju vt  —m a c ie r z  zm ien n ych  w  fc- tym  przekroju t x k   —  wierzchoł ek  grafu  odpowiadają cy  / c- tej  zm ien n ej  biegun owej 2 x k   —  wierzchoł ek  grafu  odpowiadają cy  / c- tej  zm ien n ej  przepł ywowej X T   —  oznaczenie  grafu  tran sform acji  zm ien n ych X T   —  oznaczenie  grafu  przekształ con ego Yt  —m a c ie r z  podatn oś ci  w  £ - tym  przekroju Y k   —  podatn ość  przem ieszczeniowa  u kł adu  w  fc- tym  przekroju /S  —p ierwiast ek  ch arakterystyczn y A t j  —fu n kcja  wyzn aczn ikowa  grafu  dla  drgań  wzdł uż n ych A,- ; —  macierz  wyzn aczn ikowa  grafu  dla  drgań  poprzeczn ych 6  —t ran sm it an c ja  ś cież ki  gł ównej  grafu  zredukowan ego 2 2  J .  WOJNAROWSKI,  A.  NOWAK A  —  m acierz  chakterystyczn a  ukł adu g  —  gę stość  m asy © k   —  p o d a t n o ść  ką towa  w  / c- tym  przekroju fj, k   —  współ czyn n ik  okreś lają cy  iloraz  pierwiastków  charakterystycznych i  —macierz  [1,0] \   —m a c i e r z  [0, 1]. 1.  Wprowadzenie W  form uł owan iu  zadań  m odelowan ia  drgań  ukł adów  o  param etrach  rozł oż onych w  sposób  cią gły  stosuje  się   m etody:  klasyczna  m etoda  rozdzielania  zmiennych,  macierzy przen iesien ia  [10]  o raz  m etodę   elementów  skoń czonych  [1].  N iektóre  z  tych  metod  są wygodn ym  n arzę dziem  w  analizie  drgań  ukł adów  prę towych,  co  wymaga  przyję cia  postaci funkcji  kształ tu . W  p racy  sform uł owan o  nową   interpretację   m odelowan ia  drgań  ukł adów  cią gł ych p rzy  zastosowan iu  form alizm u  grafów  [5,  7].  M etodę   grafów  wykorzystano  w  agregacji p o d u kł a d ó w  prostych ,  które  mogą   być  zarówno  cią głe ja k  i  dyskretn e.  W  przypadku  ukł a- dów  zł oż on ych  powstaje  problem  ustalen ia  warun ków  zgodnoś ci  przemieszczeń  i  sił pom ię dzy  p o d u kł ad am i  nazywanymi  prostym i  o  znanych  podatn oś ciach  dynamicznych. K o n st ru u ją c  grafy  tran sform acji  zmiennych  elementu  prę towego  oraz  podstawowych  ele- m en t ó w  dyskretn ych,  sposób  m odelowan ia  sprowadzono  do wyznaczania  ś cież ek  gł ównych w  grafie  u kł ad u  [2,  3,  4], Z astosowan ia  grafów  przepł ywu  sygnał ów  i  reguł y  M ason a  zn an e  są   w  analizie  ukł a- dów  elektrycznych  [8, 9] i  dotyczą   one  równ ań  czą stkowych  rzę du  2- go.  W  sformuł owanej m etodzie  opisuje  się   ukł ady  prę towe  drgają ce  wzdł uż nie  i  skrę tnie,  których  modelem m at em at yczn ym są   równ an ia rzę du  2- go  oraz  ukł ady  wykonują ce  drgania  gię tne,  modelo- wan e  równ an iam i  rzę du  4- go.  Z akres  m etody  ogran iczon o  do  wyznaczenia  równania ch arakterystyczn ego  oraz  dynam icznych  podatn oś ci  ukł adów  cią gł ych. D la  u kł adó w  o  strukturze  szeregowej  p o d an o  rekurencyjne  zwią zki,  umoż liwiają ce redukcję   grafu  do  grafu  czwórnika  z  wierzchoł kami  brzegowymi.  W  grafie  tym  jedna z  tran sform acji  zastę pczych  okreś la  równanie  charakterystyczne  ukł adu.  M oż liwe  jest równ ież  badan ie  postaci  drgań  wł asnych  ukł adu  na  etapie  kolejnych  kroków  redukcji grafu.  Z akres  m etody  rozszerzono  n a  ukł ady  o  strukturze  nieszeregowej  dzię ki  zastoso- wan iu  dekom pozycji  ukł adu  n a  podukł ady  oraz  agregacją   ich  grafów.  W  tym  przypadku kon ieczn e  jest  wyznaczenie  dynamicznych  podatn oś ci  podukł adów  w  pun kcie  sprzę ż e- n ia . P o n a d t o  rozważ ono  zagadn ien ie  badan ia  wraż liwoś ci  strukturalnej  czę stoś ci  wł asnych u kł a d u  cią gł ego  przy  modyfikacji  struktury  ukł adu. W  przedstawionym  przykł adzie  badań wpł yw  poł oż en ia  p u n kt u  sprzę ż en ia.podukł adów  n a  wartoś ci  pierwiastków  charakterys- tyczn ych .  An aliza  wykazał a,  że  w  n iektórych  poł oż eniach  czę stoś ci  wł asne ukł adu  gł ów- n ego  są   niewraż liwe  n a  modyfikację   struktury  tego  ukł adu,  przez  przył ą czenie  drugiego p o d u kł a d u . G RAF Y  TRANSFORMACJI  ZM IEN N YCH .,. 23 2.  Grafy  transformacji  zmiennych  elementów U kł ady  cią głe  moż na  modelować  za  poś rednictwem  belek  prostych,  wykonują cych drgania  wzdł uż ne  oraz  poprzeczne.  W  obydwu  przekrojach  brzegowych  elementu  wy- róż nia  się   macierze  kolumnowe  zmiennych  reprezentują cych  wielkoś ci  kinematyczne  oraz sił owe*'.  Pomię dzy  zmiennymi  wyodrę bnionymi  w  przekrojach  brzegowych  zachodzi relacja  macierzowa: v2  =  T v1 )  (1) gdzie:  Vi = cól[u,y,&,s,Q,M]i,  i=  1,2, T  =  T(/3) jest  macierzą   transformacji  zmiennych  elementu  macierzą   przejś cia  ele- mentu, /? jest  pierwiastkiem  charakterystycznym. D okonują c  specyfikacji  macierzy  T  oddzielnie  dla  drgań  wzdł uż nych  i  poprzecznych otrzymujemy  szczegół owe  jej  postacie  [1] —  dla  drgań  wzdł uż nych: cos/3 T  = EA sinj3  cos /? —  dla  drgań  poprzecznych: „   T 2 2 gdzie  wyróż nione  podmacierze  są   nastę pują ce: (2) (3) =  T 2 2  = K1  J- - I3 - I2 • K3 K, '- EIP 2 K 2 K 3 - El • EIP 1 (4) (5) gdzie  przez  K t   = K t {P),  i  ±   1, 2, 3, 4  oznaczono  funkcje  Krył owa. Równanie  (1)  moż na  odwzorować  geometrycznie  w  postaci  grafu  przepł ywu  infor- macji  elementu  belkowego  (rys.  1). Odpowiednie  grafy  transformacji  zmiennych  elementu  ilustrują   rys.  2a,  b. W  tablicy  1  zamieszczono  schematy  fizyczne,  postacie  macierzy  przejś cia  oraz  grafy transformacji  zmiennych  elementów  dyskretnych  — sztywnoś ci  i  masy,  dokonują c  ich specyfikacji  dla  drgań  wzdł uż nych  i  poprzecznych. *'  Zmienne  biegunowe  oraz  przepł ywowe  zgodnie  z  przyję tą   terminologią  zaproponowaną  przez F i- restona  [6], 24 J .  WOJN AR OWSKI ,  A .  N O WAK T((ł ) Rys.  1.  M odel  elementu  cią gł ego ^2 2  2*3 Rys.  2.  G rafy  elementu  belkowego Tablica  1 Lp schemat elementu 1  C  Z C*   ; WX K M macierz  przejś cia elementu c =  o c= " 1 0  0  0 0  1 0  0 Cy  0  1  0 .0  ci '2 2  *  *  l 2 2 Rys.  4.  G raf  ukł adu  jako  model  drgań wzdł uż nych Rys.  5.  G raf  ukł adu  jako  model  drgań poprzecznych 26  J.  WOJN AROWSKI,  A.  N OWAK Redukcję  grafu  z  rys. 4a  przeprowadza  się  wykorzystując  rekurencyjne  zależ noś ci  (4): gdzie:  /c =   2, 3, ..., n 4y> - rtf\   U   = 1 , 2 . Transmitancje  krawę dzi  grafu  zredukowanego  (rys.  4b)  wynoszą: Z uwagi  n a warunki  brzegowe  zachodzi: ^iV  =   ^ I *  =  0. W analogiczny  sposób  dokonuje się  redukcji  grafu  ł ań cuchowego  z  rys.  5a,  wykorzystując  rekurencyjne  zależ noś ci  ma- cierzowe : A<« =  TftAft- 1)+ T$A?f  «, ffiV f̂fla- 1','  (8) k- X) 1  , 22^22  ! gdzie:  fc  =   2, 3, ..., n A j j ' - T | $\   t,j- 1,2. Z  uwagi  na  warunki  brzegowe  zachodzi  A ^  =   0,  A2V  =   0.  Transmirancje  krawę dzi grafu  zredukowanego  (rys:  4b)  wynoszą: T £  =   A < f ,  t,j- 1,2. Równanie  charakterystyczne  ukł adu  jest  okreś lone  za  poś rednictwem  transmitancji  kra- wę dzi  ł ą czą cej  wierzchoł ek — ź ródło  z  wierzchoł kiem — upustem  i  w  rozważ anym  przy- padku  posiada  postacie: thifi)  = 0>  detTf2(j8)  -   0.  (9) D la  ukł adu  z  utwierdzonymi  obustronnie brzegami  (rys.  6) grafy  zredukowane  posiadają wierzchoł ki —  upusty  ix„ + 1  i t x n + 1  (rys. 7). W tym przypadku równania  charakterystyczne przyjmują  postacie: < fc ( 0) - O,  detTf2(/ ?)  =   0.  (10) 2 - a] —< 2>  3 l  |n R ys.  7.  G rafy  zredukowane  ukł adu G RAF Y  TRANSFORMACJI  Z M IEN N YCH ... 2 7 Równania  charakterystyczne  (9)  i  (10)  rozwią zuje  się   stosują c  jedną   z  metod  itera- cyjnych  np.  metodę   siecznych.  Przedstawiona  metoda  redukcji  grafu  z  wykorzystaniem równań  (7)  i  (8)  posiada  wł asnoś ci  algorytmiczne  i  stanowi  podstawę   do  opracowania programów  numerycznych. D okonamy  modyfikacji  równań  (8)  w  przypadku  analizy  drgań  ukł adów  cią gł ych z  elementami  dyskretnymi.  Rozważ my  ukł ad  drgają cy  (rys.  8),  w  którym  w  ż - tym  prze- kroju  wystę puje  masa  skupiona  m  oraz  podpora  sprę ż ysta  w  przekroju  k- tym. - f f l-2 M l\ a- yi  Us Rys.  8.  M odel  ukł adu Przeprowadzają c  redukcję   grafu  do  przekroju  / - tego  uzyskujemy  graf  czę ś ciowo  zre- dukowany  przedstawiony  na  rys.  9. 2 Xi  T " '  2 XM Rys.  9. Redukcję   grafu  w  nastę pnym  kroku  przeprowadza  się   wedł ug  równ ań : (11) W nastę pnych krokach redukcji  dokonuje  się   z wykorzystaniem  równań  (8) dochodzą c do przekroju  / c- tego, w którym  wystę puje  element sprę ż ysty. G raf  czę ś ciowo  zredukowany pokazano  na  rys.  10 Rys.  10. W  /c- tym  kroku  redukcję   przeprowadza  się   wedł ug  równań: (12) 28  J-   WOJNAROWSKI,  A.  NOWAK <2\ Postacie  macierzy  M  i  Ć podano  w  tablicy  1.  Redukcję  pozostał ych podgrafów  przepro- wadza  się  już  dalej  wg  równań  (8). 4.  M etoda  ś cież ek  gł ównych  grafu  transformacji  zmiennych W  rozpatrywanej  klasie  grafów  wystę pują  jedynie  ś cież ki  otwarte,  których  redukcja polega  na  mnoż eniu  transmitancji  skł adowych  krawę dzi.  Przez  ś cież kę  gł ówną  rozumieć bę dziemy  ł ań cuch  w  grafie  prowadzą cy  od  wierzchoł ka —  ź ródła  do  wierzchoł ka — upustu.  D okonując  geometrycznej  redukcji  ś cież ek  gł ównych w  grafie  moż emy  wyznaczyć postać  analityczną  równania  charakterystycznego  ukł adu, które  otrzymuje  się jako  sumę transmitancji  zastę pczych  wszystkich  ś cież ek  gł ównych.  Sposób  taki  jest  efektywny  dla ukł adów  zł oż onych z  mniejszej  liczby  elementów  a  szczególnie  w  analizie  drgań wzdł uż- nych ukł adów  dyskretno- cią gł ych  ze  wzglę du  na  skalarną  reprezentację  grafu.  • Rozpatrzmy  w  formie  przykł adu ukł ad jak  na  rys.  11  wykonują cy  drgania wzdł uż ne, którego  graf  ilustruje  rys.  12. CD   2  mpVVV- U   © Rys.  11,  Model  ukł adu 1 X 2 , 3  1  1 * 4  *  11  1 * 5 Rys.  12. Graf  transformacji  zmiennych  ukł adu W  grafie  daje  się  wyodrę bn ić  pięć  ś cież ek  gł ównych  pom ię dzy  wierzchoł kami i  iX 5 ,  kt ó r e  przedstawion o  n a  rys.  13. Wagi  krawę dzi  grafu  są  n astę pują ce: *#  3  Ą \ >  i  iSĄ \ >  =  — i - c oi,P '  P t&  = cos/ S, p sin/ j,p,  (13) i  ir  EA,  EA 2 [i  =   l 2 jli,  c 01   =>  - j—,  c 0 2  =   - = —,  m O i =   QAJI_. Suma  transmitancji  zastę pczych  tych  ś cież ek  generuje  funkcję  charakterystyczną  ukł adu: A = *tf> [(l—2£ l)  tiV + ̂ A+tUKt^ - mcoH^ ),  (14) G RAF Y  TRANSFORMACJI  ZM IEN N YCH ... 29 Rys.  13. gdzie  w  miejsce  czę stoś ci  co należy  podstawić  wyraż enie: co  = V (15)Moi  \   Qli Podstawiają c  do  wyraż enia  (14)  zależ noś ci  (13),  (15)  i  przyrównują c  je  do  zera  wyzna- czamy  po  prostych  przekształ ceniach  postać  funkcji  charakterystycznej  ukł adu: 1 A = c • +   c Q J oraz  równania  charakterystycznego: c \   '«O 1  < - ( 16) 1+ - j- j- Pi'zyjmujac  wartoś ci  parametrów: otrzymujemy  szczegół ową   postać  równania  (16): Z  równania  (17)  wyznaczamy  wartoś ci  pierwiastków  charakterystycznych /Sx  >  0,7475,  /S2 =   3,2944,  ft  &  T (k- l)ut,  dla  lc ^  3. N a  podstawie  grafu  z  rys.  12  wyznaczamy  również  wartoś ci  zmiennych  biegunowych i  przepł ywowych  ukł adu  a  nastę pnie  współ czynniki  postaci  drgań. Ogólne  wyraż enia  na  te  wielkoś ci  są   nastę pują ce: 1)  w  przekroju  2: , f  i  \   *-,   i. • sin/ ?,  6*!  =   1, i.  = 0 0 5 ^ 3 . 30 J .  WOJN AROWSKI,  A .  N OWAK 2)  x  =   / ,ł   w  przekroju  3:  u 3   =   u 2 , S 3   =   ti^ S i - mco 2 u 1   =   cos/ ?  —  / ?sin/ J. m 0 1 3)  w  przekroju  4; w 4  =   " s H  5 3 c 4)  w  przekroju  5: u 5   m  0, =   -   - - s\ nfi  + —  cos/ ?  - Wartoś ci  tych  zmiennych  w  przekrojach  wewnę trznych  elementów  1  i  (2)  wyznacza się   n a  podstawie  równań  „ uzmiennionych": 1)  0  <  Xx  <  li  dla  elementu  1: C OlP 2)  w2(f)  =   c 5 2 ( ^ )  =   - fic 02   psin  [ifig •   u 4   +cos f N ormują c  przemieszczenia  ukł adu  wzglę dem  wartoś ci  maksymalnej  moż emy  okreś lić współ czynniki  postaci  drgań. Zastosowanie  metody  ś cież ek  gł ównych  pokaż emy  również  na  przykł adzie  drgań poprzecznych  ukł adu  z  rys.  14,  dla  którego  odpowiedni  graf  pokazano  na  rys.  15. ElcA Rys.  14. - M co M acierze  wystę pują ce  jako  wagi  krawę dzi  grafu  wynoszą : [m  0 1 M " [o  - C  = "  1 c 0 0 0_ 1   = o (19) Redukują c  graf  metodą   ś cież ek  gł ównych wyznaczamy  macierz charakterystyczną   ukł adu: A  =   (1 -   M < u 2 C ) T 2 2 -  M o) 2T Ł 2,  (20) G RAF Y  TRANSFORMACJI  ZM IEN N YCH ...  31 gdzie: I  /   C0 =  1/   , V  " i 0 ft)  =   / ?2ft> 0,  C00  =  1 /   ,  Co  =   - yg-,  / M o =   g ^ / . r  "'o  ' Uwzglę dniając  zależ noś ci  (4), (5), (19) i obliczają c  wyznacznik  macierzy  (20) wyznaczamy postać  równania  charakterystycznego gdzie : 1   c  '   2   m 0 5.  Wyznaczenie  podatnoś ci  ukł adów cią gł ych Pod poję ciem podatnoś ci  Y rozumiemy  odpowiedź ukł adu  na wymuszenie jednostkowe w  przekroju  x, co  zapisujemy: Y~Y(fi>,x).  (22) Przyjmują c  x =  x k   wyznaczamy  wartość  funkcji  (22) w  tym  punkcie,  którą   umownie nazywamy  podatnoś cią   podukł adu w A;- tym  przekroju  i  oznaczamy  przez  Y k . Moż na wykazać,  że podatność daje  się   bezpoś rednio wyznaczyć  z grafu  ukł adu,  przyj- mują c  nastę pują ce  okreś lenie [5]: Y  -   D { ( o )   ' k  ~ gdzie: D(oo)—jest  funkcją   charakterystyczną   ukł adu  równą   funkcji  wyznacznikowej gra- fu  X T , D k (co)—jest  funkcją   wyznacznikową   grafu  przekształ conego  X T . Zagadnienie  wyznaczania  podatnoś ci  metodą   grafów  sprowadza  się  do skonstruowania grafu  przekształ conego X T ,  który  otrzymuje  się  z grafu  X T   stosują c  proste  topologiczne przekształ cenia. Sposób  przekształ cenia prowadzi do: 1°  Przyję cia  zerowego  wierzchoł ka- upustu  j_x k  odpowiadają cego  przemieszczeniu ukł adu  w  A>tym  przekroju. 2°  Przyję cia  jednostkowej  wartoś ci  zmiennej  przepł ywowej  w  k- tyra. przekroju  co odpowiada  przyję ciu  wierzchoł ka- ź ródła   2 Xk- 3°  U sunię cia  wszystkich  krawę dzi  grafu  X T   wychodzą cych  z  wierzchoł ka  jjfc. 4°  U sunię cia  wszystkich  krawę dzi  grafu  X T   wchodzą cych  do wierzchoł ka  2 xk . Opisany  czynnoś ciowy  sposób  wyznaczania  podatnoś ci  ukł adów  cią gł ych  zilustrujemy na  przykł adzie  ukł adu przedstawionego  na rys.  11, którego  graf  ilustruje  rys.  12. Wyznaczymy  podatność  ukł adu w przekroju  2, generują c  funkcję   charakterystyczną grafu  przekształ conego pokazanego  na  rys.  16. G raf ten  powstaje  z grafu  jak n a rys. 12 przez  przyję cie  zerowego  wierzchoł ka   1 x 2 ,3 oraz; wierzchoł ka- ź ródła  2 x 3 -   Wówczas  graf przekształ cony  przyjmuje  postać  dwóch  rozł ą cznych grafów  (rys. 16). 32  J .  WOJNAROWSKI,  A.  NOWAK F unkcja  wyznacznikowa  grafu  przekształ conego  jest  iloczynem  funkcji  wyznaczniko- wych  skł adowych  podgrafów. ix' . h  i*-5 2*12 "1   2*3   1 2 \ Rys.  16. F unkcja  wyznacznikowa  grafu  przekształ conego jest  postaci: A  (B)  =  t ( ^ \ t t - 2) +- t (2 i > \   (24) a  po  wstawieniu  wag  krawę dzi: (25) Iloraz  funkcji  (16),  (25) okreś la  podatność dynamiczną   ukł adu  obliczaną   w przekroju  2: y  _  _J  J  /.   (26)1 ~""'  4 ^ f ( ) ' gdzie  w  miejsce  parametru  /? należy  podstawić  wyraż enie: /? =  mfco 0i w 0i   =   i / - ^5 1 -   ,  c 0 1  =  —y- 1- ,  mOi  ==  &Aih-   (27) / W Rozważ my  z kolei  model ukł adu dyskretno- cią gł ego wykonują cego  drgania poprzeczne (rys,  17),  którego  macierzowy  graf  przedstawiono  na  rys.  18. -i a  ©   2  m h © Rys.  18. G RAF Y  TRANSFORMACJI  ZM IEN N YCH ...  33 Macierz  charakterystyczną   ukł adu  przedstawiamy  w  postaci  macierzy  o  strukturze blokowej: 1 AT A -   A . .  (28) gdzie  podmacierz  t A  jest  generowana  przez  ś cież ki  gł ówne  grafu  zawarte  pomię dzy wierzchoł kami  2 *i  i  i*4  i  ma  postać: A.  = T {T ii' T ^ ) + T ( 2 2 »[ T iy +  ( Ć + M ) T < y]}.  (29) Podmacierz  2A  jest  generowana  przez  ś cież ki  gł ówne  zawarte  mię dzy  wierzchoł kami 2*1 >  2*4  i  m a  p o st ać : A2  =   f  {T2 2 1>- F12>+ T[(Ć+  M)T +  T 2 2 > ] }.  ( 3 0 ) Zauważ my,  że  wymiar  macierzy  charakterystycznej  A  wynosi  dimA  =   < 2,2>  a  jej wyznacznik  przyrównany  do  zera  okreś la  równanie  charakterystyczne  ukł adu: A(p)  =  detAQ9)  = 0 .  (31) D la  ukł adów  cią gł ych  wykonują cych  drgania  poprzeczne  moż emy  w  każ dym  przekroju okreś lić trzy  niezależ ne  funkcje  podatnoś ci  dynamicznej,  które  generują   macierz  podat- noś ci  ukł adu  w  A:- tym  przekroju: \ Y k   0 k \ gdzie: Y k   i  <9fc  są   odpowiednio  podatnoś cią   przemieszczeniową   i  ką tową,  które  wyznacza się   przy  jednostkowej  wartoś ci  sił y  skupionej  & k   =   1  oraz  jednostkowym momencie  M k   =   1  w  tym  przekroju, 0 k   jest podatnoś cią  przemieszczeniową   ką tową   przy jednostkowym  momencie M k sile  skupionej  Q k . W  rozważ anym  przykł adzie  wyznaczymy  macierz  podatnoś ci  ukł adu  w  przekroju  2. Odpowiednie  grafy  przekształ cone  umoż liwiają ce  wyznaczenie  podatnoś ci  Y k ,  0 k ,  0 k pokazano  na  rys.  19a,  b,  c. Redukują c  przykł adowo graf z rys.  19a otrzymujemy  pię ć ś cież ek  gł ównych zaznaczone na  rys.  20. Transmitancje  ś cież ek  gł ównych  wynoszą : 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/8S 34 J.  WOJN AROWSKI,  A.  N OWAK N a  ich  podstawie  konstruujemy  macierz  wyznacznikową   grafu  z  rys.  19a: ,,  0 (34) b) 0 Rys.  19. Rys.  20. Obliczają c  wyznacznik  macierzy  (34) A 2 (fi)  -   detA2  i  uwzglę dniając  funkcję   (31) wyzna- czamy  podatność  przemieszczeniową   ukł adu w  przekroju  2: AM. (35) W  podobny  sposób  wyznacza  się   pozostał e podatnoś ci  & 2   i  <92  ukł adu. G RAF Y  TRANSFORMACJI  Z M IEN N YC H ...  35 6.  Metoda  dekompozycji  ukł adu i  agregacji  grafów Metoda  polega  na  dekompozycji,  czyli  podziale  ukł adu  na  prostsze  podukł ady, dla których  niezależ nie  są   konstruowane  odpowiednie  grafy  transformacji  zmiennych. W przekrojach podział u wyznacza  się  podatnoś ci dynamiczne poszczególnych podukł adów. D okonują c  agregacji  podgrafów  wyznaczamy  podatność  cał ego  ukł adu  w  wybranym przekroju.  D la ukł adów  sprzę ż onych  poprzez  tylko  jedną   zmienną   kinematyczną   (biegu- nową )  wykorzystuje  się   nastę pują cy  wzór: gdzie:  Y^ \   Yl2)  są   podatnoś ciami  podukł adów  w  /c- tym  przekroju. Równanie  charakterystyczne  otrzymuje  się   przez  przyrównanie  do  zera  mianownika funkcji  (36). Istotę   metody zilustrujemy  na przykł adzie  drgań  wzdł uż nych ukł adu  przedstawionego na  rys.  21.  U kł ad  podzielono  na  dwa  podukł ady  w  przekroju  3,  przedstawione  na  rys. t,  <2) 6   - EA3 Rys.  21. 22a,  b. Pierwszy  z  podukł adów pokazany  na rys.  22a  był  analizowany  w punkcie  4 pracy jego  graf  ilustruje  rys.  12.  D la  tego  podukł adu  wyznaczono  podatność  dynamiczną w  przekroju  2,  która jest  opisana  wzorem  (27).  Konstruują c  graf  ukł adu zł oż onego zre- dukowano graf  podukł adu pierwszego  do jednej krawę dzi  o wadze  równej  podatnoś ci  F41? (wzór  27), do którego  przył ą czono nastę pnie graf  drugiego  podukł adu.  G enerują c  ś cież ki gł ówne  otrzymanego  grafu,  pokazanego  na  rys.  23  wyznaczono  ogólną   postać  równania charakterystycznego  ukł adu: =   O,  (37) \   c i  / gdzie: 3 * 36 J .  WOJN AROWSKI,  A.  N OWAK P o  podstawieniu  do  (37)  wag  krawę dzi  grafu  otrzymujemy  postać  równania  cha- rakterystycznego: 1 I (38) gdzie  y j l )  jest  podatnoś cią   pierwszego  podukł adu  okreś loną   wzorem (27). Rys.  23. Wyznaczymy  również  podatność  ukł adu  zł oż onego  z  przekroju  3,  wykorzystują c grafy  drugiego  podukł adu przedstawione  na  rys.  24a,  b,  przy  czym  graf  z  rys.  24b jest grafem  przekształ conym  (przyjmują c  zerowy  wierzchoł ek   t x 3   oraz  wierzchoł ek- ź ródło 2*3)- a )  1X3  1  , x6  t „   ,x R ys.  24. F unkcje  wyznacznikowe  podgrafów  wynoszą : N a  ich  podstawie  wyznaczamy  podatność drugiego  podukł adu: (39) (40) (41) Wykorzystują c  wzór  (36)  wyznaczamy  podatność  ukł adu  zł oż onego: Y  = (42) gdzie: G RAF Y  TRANSFORMACJI  ZM IEN N YCH ...  37 Przedstawiony  przykł ad  ilustruje  sposób  analizy  ukł adów  zł oż onych  o  strukturze nieszeregowej,  polegają cy  n a dekompozycji  ukł adu na podukł ady o  strukturze  szeregowej, dla  których  są  wyznaczane  podatnoś ci  w  przekrojach  sprzę ż enia.  D okonując  agregacji grafów  podukł adów moż liwe jest  wyznaczenie  w  sposób  sekwencyjny  równania  charakte- rystycznego  ukł adu  zł oż onego  oraz  jego  podatnoś ci  dynamicznej  wzglę dem  jednego z  punktów  sprzę ż enia. 7.  Przykł ady  liczbowe Rozważ my  drgania  wzdł uż ne  ukł adu  przedstawionego  na  rys.  25,  który  otrzymuje się  przez  modyfikację  ukł adu  z  rys.  21,  przyjmując  nieskoń czenie  dużą  sztywność  ele- mentu  sprzę ż onego  c  (c  =   oo).  D la  tak  przyję tego  modelu  drgają cego  sformuł owano zagadnienie  oceny  wpł ywu  poł oż enia  masy  m,  okreś lonego  współ rzę dną  x  n a  wartoś ci czę stoś ci  wł asnych  ukł adu  z  jednoczesną  zmianą  dł ugoś ci  l 2   elementu  3,  przejmując M l  X *  h • — • 2 EA, tn  3 C 1 Rys. - | 5- 25. •r —® — . - ®- EA2 EA,3 Równanie  charakterystyczne  ukł adu  otrzymujemy  wykorzystując  zależ noś ci  (27), (38)  i  po  podstawieniu  wartoś ci  parametrów 0  =   oo,  A t   =  A 2   -   A 3 ,  m  =  2m ot ,  m 0 1  =   QAJI,  ct  ==   2c O ł , c 01 .  =   EAjh sprowadzono  je  do  postaci: t g^ |t g( l- f) j9  +  [O s5j8+ tg(l- f)j8][tg(l- S)|8  +  t g^ ( l - 2J fft g( l - D ^ )]  =   0,  (43) gdzie: P =   co/ co Oi ,  o) O i  =  ł / coiM oi'  %  •   x l l i  • Rozwią zując  równanie  (43)  wyznaczono  wartoś ci  pierwiastków  charakterystycznych  /? w funkcji  współ rzę dnej  £, czyli  poł oż enia masy  m.  Wyniki  obliczeń  dla czterech począ tko- wych postaci drgań opracowano graficznie  w postaci krzywych,  które pokazano  n a rys.  26. W  wyniku  przeprowadzonej  analizy  stwierdzono,  że  w  pewnych  poł oż eniach  masy dyskretnej  czę stoś ci  wł asne ukł adu pokrywają  się  z  wartoś ciami  czę stoś ci  wł asnych  belki obustronnie  utwierdzonej,  które  wynoszą  /? =  n  oraz  (i =  2n. Punkty  niewraż liwoś ci  czę stoś ci  wł asnych  ukł adu  n a  modyfikację  strukturalną,  po- legają cą  na  przył ą czeniu  do  niego  innego  podukł adu  są  okreś lone  wzorami: |  =  - i  ( / = l , 2 , . . . , fc - l)  oraz  t gfo*£ = - Ą £ —^-,  (45) K  2K7C gdzie  k  oznacza  numer  postaci  drgań. 38 J .  WOJN AROWSKI,  A .  N OWAK W  pierwszym  przypadku  punkty te pokrywają  się z wę zł ami drgań  belki obustronnie utwierdzonej. Przyjmujmy  umownie, że belka z masą  dyskretną  m stanowi  ukł ad gł ówny. Zbadajmy również  przebiegi  czę stoś ci  wł asnych ukł adu gł ównego, pomijając  element  sprę ż ysty  c t , tzn.  przyjmując  c ±  —  0. Równanie  charakterystyczne  (40) dla ukł adu  gł ównego jest  postaci: tg(l- £)/ ?+ tg/ S![l- 2/ Stg(l- £)fl  =  0.  (45) Pierwiastki  równania  (45) w  funkcji  współ rzę dnej  f  pokazano na rys.  26. 1,0 Analizując  wykresy  pokazane  na rys. 27  zauważa  się  dla wyż szych  postaci  drgań zjawisko  „ dudnienia"  czę stoś ci  wł asnych.  Punkty  nieczuł oś ci  pokrywają  się  również z  wę zł ami  drgań  belki.  D oł ą czenie  masy  dyskretnej  powoduje  zmniejszenie  czę stoś ci wł asnych  belki,  co jest  zgodne z  ogólnym  stwierdzeniem, że ze wzrostem  masy  czę stoś ci wł asne  ukł adu  maleją. G RAFY  TRANSFORMACJI  ZM IEN N YCH ... 39 Odwrotne  zjawisko  obserwuje  się ,  gdy  ukł ad  poddamy  dodatkowym  wię zom  sprę ż ystym. Rozważ my  ukł ad  zł oż ony  z  belki  obustronnie  utwierdzonej,  do  której  w  przekroju  x przył ą czono  element  sprę ż ysty  c  (rys.  28).  U kł ad  ten jest  szczególnym  przypadkiem  mo- dyfikacji  modelu  z  rys.  25. I- —.-®   2  i- - ©  63 E A l ? P.  4 Rys.  28. Równanie  charakterystyczne  ukł adu  ma  postać: - DP  =   o, (46) gdzie  zał oż ono,  że  —  e 0 ,  c0  —  EA/ I. Zmiany  czę stoś ci  wł asnych  ukł adu  w  funkcji  współ rzę dnej  przedstawiono  na  rys.  29. 1,0 Przy  doł ą czeniu do  belki  elementu  sprę ż ystego  zauważa  się   wzrost  czę stoś ci  wł asnych. Zmiany  czę stoś ci  są   wię ksze  przy  doł ą czeniu  do  belki  elementu  masowego,  co  ilustruje porównanie  krzywych  z  rys.  27  i  29. 8.  Podsumowanie  i  wnioski Przedstawiony  w  pracy  sposób  modelowania  drgań  ukł adów  cią gł ych  posiada  wł as- noś ci  algorytmiczne  w  zakresie  wyznaczania  równania  charakterystycznego  i  postaci drgań  ukł adów  o  parametrach  rozł oż onych  w  sposób  cią gł y.  Trzeba  zaznaczyć,  że  w  li- teraturze  analizę   drgań  ukł adów  mechanicznych  na  gruncie  modeli  kontinualnych  prze- prowadza  się   na  przykł adach  stosunkowo  prostych  modeli  [10,  11].  D la  bardziej  zł oż o- 40  J '  WOJN AROWSKI, A.  N OWAK nych  ukł adów  analizę   prowadzi  się   w  oparciu  o  modele  dyskretne,  n p.  z  zastosowaniem metody  elementów  skoń czonych.  N iemniej  istnieje  potrzeba  rozwijania  metod  analizy drgań  ukł adów  n a  gruncie  modeli  kontinualnych,  ponieważ  wyniki  tej  analizy  nie  są obarczone  bł ę dami  aproksymacji.  W  pracy  [10]  przedstawiono  metodę   wyznaczania równania  charakterystycznego  i  dynamicznych  podatnoś ci  zł oż onych  ukł adów  cią głych z  Zastosowaniem  schematów  blokowych.  W  metodzie  tej  wymaga  się   Znajomoś ci  po- datnoś ci  podukł adów  w  punkcie  ich  sprzę ż enia. W  prezentowanej  pracy  wykorzystano  również  ten  sposób  analizy  formuł ują c metodę agregacji  grafów  podukł adów  (rozdział   6),  przy  czym  podatnoś ci  podukł adów  wyzna- czane  są   n a  podstawie  grafu  przekształ conego podukł adu metodą   opisaną   w  rozdziale  5. W  tym  zakresie  przedstawiony  sposób  analizy jest  równoważ ny  metodzie  macierzy prze- niesienia  oraz  metodzie  ukł adów  blokowych  [10].  W  literaturze  nie  spotyka  się   jednak prób  zastosowań  metody  grafów  przepł ywu  sygnał ów  w  modelowaniu  drgań  ukł adów cią gł ych. Zaletą   przedstawionego  w  pracy  sposobu  modelowania jest  moż liwość  bezpoś redniego wyznaczania  równania  charakterystycznego  ukł adu wprost  z  grafu,  metodą   poszukiwania ś cież ek  gł ównych, pomijają c  etap  okreś lania  warunków  brzegowych  dla  ukł adu.  Przedsta- wione w pracy rekurencyjne  zależ noś ci  stanowią   podstawę   do  opracowania  szczegół owych programów  obliczeń. Literatura 1.  J.  KR U SZ E WSKI ,  Metoda  sztywnych  elementów skoń czonych.,  Arkady,  Warszawa  1970. 2.  A.  N OWAK ,  J.  WOJN AROWSKI,  Modelowanie  drgań ukł adów dyskretno  cią gł ych metodą  grafów  transfor- macji  zmiennych,  Zbiór  referatów  XXI I  Sytnpozjonu  „ M odelowanie w  mechanice",  G liwice—Szczyrk 1984,  prace  P TM TS  n r  49, js.  329 -  337. 3.  A.  N O WAK ,  J.  WOJN AROWSKI,  Modelowanie  drgają cych  ukł adów cią gł ych  metodą  grafów  transformacji zmiennych.  Z biór  streszczeń  XI  Sympozjum  „ D rgania  w  ukł adach fizycznych",  Poznań —Bł aż ejewko 1984. 4.  A.  N O WAK ,  J.  WOJN AROWSKI,  Modelowanie  drgań  swobodnych ukł adów  dyskretno- cią gł ych metodą grafów  transformacji zmiennych,  Problemy  D ynamiki  Maszyn  n r  2,  3,  1984. 5.  J.  WOJN AR OWSKI ,  Zastosowania grafów  w analizie  drgań ukł adów  mechanicznych,  P AN ,  Komitet Bu- dowy  M aszyn  PWN ,  Warszawa—Wrocł aw  1981. 6.  P . A.  F IRESTON E,  T wixt  Earth  and  Sky  with  Roel  and  T ube.  T he  Mobility  and  Classical  Impendence Analogies,  J.  Acoust.  Soc.  Amer.,  vol.  28,  1958,  s.  1117- 1153. 7.  L.  R OBI C H AU D ,  M .  BOISVERT,  J.  ROBERT,  Grafy przepł ywu  sygnał ów,  P WN   Warszawa  1968. 8.  F .  KAM IŃ SKI,  Synteza  obwodów liniowych o  stał ych  rozł oż onych,  P WN   Warszawa  1976.; 9.  M .  SKOWROŃ SKA,  T eoria filtru  elektromechanicznego  o  drganiach  skrę cają cych lub podł uż nych,  Z. N , P olitech.  Warsz.  86,  Elektryka  33,  1964. 10.  R .  BI SH OP ,  G .  G LAD WELL,  S.  MICH AELSON ,  Macierzowa analiza  drgań , WN T  Warszawa  1972. 3 1 .  A .  c&H JiiinnoBj  KojieSanuM  de$opMUpyeMbix  cucmeM,  MamH H OCTpoeH ne  1970. G RAF Y  TRANSFORMACJI  ZM IEN N YCH ...  41 P  e  a  M   M e T P A*M   TPAH CcPOPM AElH H   I TE P E M E H H blX  KAK  M QH E JI H  KOJI EBJI I Om M XG S H E I I P E P H BH blX  CH CTE.M B  pa6oTe  npeflCTasjieH   aH aJira  KOJie6aHHH   H enpepM BH bix  CHCTeM  n p n npHiweHeHHH   rpacpOB  T p a n - c4)opMauHH   nepeMeHHMX.  M eio fl  3aKjnouaeTcn  B onpeflejieH H H   raaBH Lix  n yT eS  B  rpat jie  C H C T 6M BI .  3 T O T c n o c o 6  npHMenneTCH   fljw:  onpsp,enemm  xaparaepH C Tm iecKoro  ypaBHeHHH   n  flH H aM H iecKH x Bocreii  cMCTeMbi. B  cnynae  cn o wH bix  CKCTeM  npHMeHeHo Meioff fleKoivrao3H ŁWK cH creM bi n a H   arperauwH   H X noflrpa(f>oB.  ITpeflCTaBiieH H bie  npKM epw  H JunocTpKpyioT  H cn on B30Ban n e  jweTofla  B aH a- jn t3e  npofflonbH bix  KOJie6aHHft  n en pepbiBH bix  cHCieiw. S u m m a r y G RAPH S  OF   VARIABLES  TRAN SF ORM ATION S AS T H E M OD ELS OF  VIBRATIN G CON TIN U OU S  SYSTEM S A  method  of  analysis  of  the  vibrations  of  continuous  systems  has been  presented  by th e application. of  the graphs  of  variables  transformation. The method consists  in  the determination of  the principal  paths in  the  system  graph,  and  has  been  applied  in  determining  the characteristic  equation  and  the  dynamical flexibility  of  the  system. I n  the  case  of  complex  systems  a  method  has  been  applied  to  the  decomposition  of  the  system  in to subsystems  and  the  aggregation  of  their  subgraphs. The  examples  illustrate  the application  of  the method in  the  analysis  of  the  longitudinal  vibrations  of continuous  systems. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  28  maja  1986  roku.