Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf


M EC H AN I KA
TEORETYCZNA
i  STOSOWANA

1,  26,  1988

O  ROZS EPAROWANIU  RÓWNAŃ  TERM ODYFUZJI  LEPKOS PRĘ Ż YS TEJ

J AN   K U B I K

M AR E K  WR Ó BE L

W yż sza  Szkoł a  Inż ynierska,  Opole

1.  Wstę p

Z agadn ien ia  termodyfuzji  lepkosprę ż ystej  prowadzą   d o  zł oż on ego  u kł a d u  pię ciu
równ ań  róż niczkowo- cał kowych.  Trudn oś ci  zwią zane  z cał kowan iem tego  u kł a d u  ró wn ań
skł aniają   do  poszukiwań  prostszych  uję ć  zagadn ien ia.  Jedn ą   z  takich  m oż liwoś ci  w zakre-
sie  sprzę ż onej  term osprę ż ystoś ci  p o d ał   jeszcze  w  1956 r.  Biot  [1].  P ropozycja  t a  sprowa-
dza  zadan ia term osprę ż ystoś ci  d o rozsprzę ż on ych  ró wn ań  teorii  n aprę ż eń  ciepln ych.  N i-
niejsza  praca  stan owi  przeniesienie  tej  ideii  n a zagadn ien ia  termodyfuzji  lepkosprę ż ystej.

2.  Równania  zagadnienia

R ówn an ia  tworzą ce  wynikają ce  z  fun kcjon ał u  energii  wewnę trznej  d la za d a ń  t erm o -
dyfuzji  lepkosprę ż ystej  mają   postać  [4, 5,  6]:

O  =   - <f'
tJ
 * dsij+m'  * dgS- l'  * dC,  (2.2)

M=  - tyj*  de
u
- V  * dgS+n'  *dC.  (2.3)

Kolejny  równ oważ ny  zestaw  ró wn ań  tworzą cych  otrzym uje  się   z  fun kcjon ał u  en ergii
swobodnej  [4, 5,  6]:

°u  =  Emi  * de
u
  -   <p

tJ
  *d©  + 0

U
  * dC,  (2.4)

gS  =   <p,j  * dsij+m  * d& + l  * dC,  (2.5)

M  =   &„ * ds
tJ
- I*d6+n*  dC.  (2.6)

Z ależ noś ciom  (2.1) -  (2.6)  odpowiadają   n astę pują ce  ró wn an ia  n a strum ien ie  m asy  i  c iep ł a:

J, =   - K
u
M,j,  (2.7)

9t =   - k
u
9,j,  (2.8)



44  J-   K U BI K ,  M .  WRÓBEL

oraz  równ an ia  pól  dotyczą ce  quasi- statycznych  zagadnień  termodyfuzji:

0
t
j,j+eFt  =   0,  (2.9)

Ć  = i\ - ji,i,  (2.10)

T
o
eŚ =  e r 2 - ?M .  (2.11)

W  rozważ aniach  uwzglę dniamy  także  równania  geometryczne:

«u =  j- Cl/ ł .j+Cj.O.  (2- 12)

Zależ noś ciom  (2.12)  i  (2.9)  oraz  równaniom  tworzą cym  (2.1)4- (2.3)  lub  (2.4) +  (2.6)

odpowiadają   w  oś rodku  izotropowym  nastę pują ce  równania  przemieszczeniowe  LamegO1

[ 4 , 5 , 6] :

/ u'*dU
it
jj+(n

l
  + A')*dU

JJi
  =   Ys*dQS

tl
+y'

e
*dC

ti
- QF

u
  (2.13)

gdzie:

y'
s
  =   a

s
(2p'+M)

t
  (2.14)

(2.15)

,  , +  y,  * dC
tX
- qFu  (2.16)

gdzie:

(2.17)

(2.18)

Jeż eli  uwzglę dniać  równania  tworzą ce  (2.1)-  (2.3) i zwią zek  geometryczny  (2.12)  w  rów-
n an iu  entropii  (2.11) i bilansie  masy  (2.10)  to  otrzymamy:

T
o
  QS  =   Qr

2
 - k(q>'  * de

%
 „ - mf  * dgS «- / '• * rfC ») ,  (2.19)

Ć -   r Ł -  AT(<2>'  *deiti  + l'  * dgS t ti + n*dCt  „ ) .  (2.20)

W  równaniach  (2.19) i  (2.20)  przyję to,  ż e:

k
u
  m  kdtj,  Ku  =  Kd

u
,  ę '

tJ
  =   tp'd

u
,  ®'

u
  =   0'd

u
.  (2.21)

W  zależ noś ciach  (2.1)- = - (2.21) przyję to  nastę pują ce  oznaczenia:

<T tj,  e,j-  —  tensory  stan u  naprę ż enia i  odkształ cenia,

T i,C
t
  —  tem peratura i koncentracja  w  chwili t,

T
o
,  C

o
  —  tem peratura i koncentracja  stanu  naturalnego,

S- Tj- To, C- d- Co  (2.22)

p- F* —  sił a  masowa  jedn ostki  obję toś ci  ciał a,

Eijki>E'ijki,<Ptj,<pij>®ij>®tj —
  i e a s o i

y  funkcji  relaksacji,
/ , / ', /w, «,  n'  —  funkcje  relaksacji,

li,  h  —  strum ień  ciepł a i strumień  masy,

S  —  en tropia,

M  —  potencjał   chemiczny,



O  ROZSEPAROWANIU  RÓWNAŃ ...  4 5

Jc,j,Kij — tensory  przewodnoś ci  cieplnej  i  dyfuzyjnej,
r

lt
r

2
  — ź ródło  masy  i  ź ródło  ciepł a  w jednostce  obję toś ci  i  n a  jednostkę  czasu,

* — symbol  oznaczają cy  mnoż enie  splotowe,  zdefiniowane  relacją,

r)  (2.23)

(...),( — oznaczenie  pochodnej  czą stkowej,

(:) — oznaczenie  pochodnej  wzglę dem  czasu —~ ^ ~

H,H(t)  — funkcja  H eaviside'a,

3.  Rozsprzę ż enie  równań

Proces  rozsprzę gania  ukł adu  równań  termodyfuzji  lepkosprę ż ystej  rozpoczynamy od
zróż niczkowania  zależ noś ci  (2.13).  Otrzymamy

(2p' + X) * dU
UJi

  =  ^  * dQS,
u
+y'

c
 * dC, „ - gF , , ,.  (3.1)

Po  przyję ciu  zał oż enia, że  współ czynnik  Poissona  jest  stał y,  czyli

/ *'(') =  £ 'A0,  A'(f ) =  !' / ( »,  (3.2)

dokonujemy  na  równaniu  (3.1) transformacji  i  retransformacji  Laplace'a  otrzymują c:

G  =   pS  u H   5 —^ —  C i i  z—o—  Fi  ;  =

{2f' + X)f{t)  •   (2A' +  A')/ (0

- p.QS,u+hC,
it
- QF

t
,

t
.  (3.3)

Wykorzystując  zależ ność  (3.3) moż na  wyeliminować  z  równań  (2.19)  i  (2.20)  pierwsze
skł adniki  w  nawiasach.  W  rezultacie  otrzymamy:

T
o
QŚ  = Qr

2
 —k(m  * dgS,

 it
  +1  * dC

?
 „  — QF

it ( ) ,  (3.4)

Ć  =  r
t
- K(f*  dgS

tii
 + n * dC, u- QF

itt
),  (3.5)

gdzie:

fYX  *—  Q)  V  —  YYX

n =  *' yc - n ',  (3.6)

e  =   y'e .
Q =   * 'e -

Równania  (3.4) i  (3.5) są  rozseparowanym  od  pola  przemieszczeń  ukł adem  równań
cieplno- dyfuzyjnych,  który  wraz  z  równaniem  przemieszczeniowym:



46 J.  K U BI K ,  M.  WRÓBEL

li'  •  dUtjj  + in' + A')  * dUjji  =   y'
s
 * dgS,i + y'

c
*  dC,

 t
 -   QFI,  (3.7)

stan owią  ko m p let  ró wn ań  termodyfuzji  lepkosprę ż ystej  sprowadzon ej  do  teorii  naprę ż eń
ciepln o- dy fuż yj nych.

4.  Termodyfuzja  w  warstwie

Jako  zastosowanie  proponowanej  w  pracy  metody  rozwią zanie  zadań  termodyfuzji
sprę ż ystej  i  lepkosprę ż ystej  przeprowadzimy  analizę  nastę pują cego  zadania:

N ależy  wyznaczyć  pola temperatury koncentracji, przemieszczeń, a w dalszej  kolejnoś ci
odkształ ceń  i  naprę ż eń  w  warstwie  sprę ż ystej  okreś lone  przez  dane na  brzegach  wartoś ci
temperatury  i  koncentracji.

Rozważ my  więc  warstwę  o  gruboś ci  h, w  której  wystę puje  pole  temperatury  O, kon-
centracji  C  i  przemieszczenia  U

t
  (rys.  1).

6bH lt)
CbH(t)

H

CbH(t)

h
2"

R ys.  I .  Warstwa  z  polem  temperatury,  koncentracji  i  przemieszczenia  oraz  warunkami  brzegowymi

Z a kł a d a m y,  że  zagadn ien ie  przez  nas  rozpatrywan e  jest  jedn owym iarowe,  oraz  że  oś ro-
d ek  jest  izotropowy,  br a k  w  n im ź ródeł   ciepł a  i  m asy  oraz  sił  masowych.  Wówczas  wiel-
ko ś ci  wystę pują ce  w  zadan iu  dadzą  się  przedstawić  w  p o st aci:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

~  QS(x
a
,t),

=  C(x
3
,t),

= kdu  =

ut
"k
0
0

=

0
k
0

0
0

V*.

°1
0  ,
k\

(4.4) n- i  =

(4.6) K
t

=   K5
U
  .

(4.5)

0  £   0
0  0  K

(4.7)



O  ROZSEPAROWAN IU  R Ó WN AŃ . .. 47

at
u
  =   2/ J,'  * dU

it
j+(2.  * dU

k<k
~y'

c
  * dgS—y

c
  * dC)8

tj
  =

a
n
(x

3
,t)  O  o
O  G22(Xi,t)  O
o  o

Q
r

2
  =   O ,  r

y
  .  O ,

g Ą -

±  4 j ±  A;

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Wobec  powyż szego  komplet  równań  wyjś ciowych  (3.4),  (3.5)  i  (3.7)  moż na  przedstawić
w  postaci:

(4.11)

(4.12)

T
O
QS  =   -

2  AA, (4.13)
D o  rozwią zania  ukł adu  równań  (4.11)  i  (4.12)  potrzebny jest  jeszcze  warunek  brzegowy
dla  entropii  i  warunki  począ tkowe.  Aby  znaleźć  warunek  brzegowy  w  entropii  weź my
równanie  tworzą ce  (2.5)  oraz  równanie  przemieszczeniowe  (2.16)  na  którym dokonano^
transformacji  Laplace'a.  Po  scał kowaniu  bę dzie:

QS  =   (pu * dU
itJ
+m  * d@+l  *  dC,

stał ą   X  wyznaczymy  z  waru n ku  brzegowego:

U3 , 3 I  = >   A  =   U ,

2/ ^+ 3/ 1

stą d:

wstawiają c  (4.17)  do  (4.14)  otrzymujemy  warunek  brzegowy  dla  entropii:

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

=
  S

S
b
H{t).  (4.18)



4 8  J.  K U BI K ,  M . WRÓBEL

N atom iast jako  warunki  począ tkowe  przyjmujemy  zerową   wartość entropii i  koncentracji
n a  cał ej  gruboś ci  warstwy

e 5 ( 0
+ )  -   0,  C (0+ ) =   0.  (4.19)

Jeż eli  n a  ukł adzie  równań  (4.11)  i  (4.12)  dokonać  teraz  transformacji  Laplace'a  to  po
wykorzystaniu  warunków  począ tkowych  (4.19)  ukł ad  ten  moż na  rozseparować.  Otrzy-
mamy  dwa  równania  postaci:

AQS
t3333

- sBeS.
3i
+s

2
T

oe
S  = 0,  (4.20)

C » —  DQS
I33

+EQS,  (4.21)
u

gdzie:

A  =   kK(l2- mh),  B  =   km + KnT o,

Rozwią zanie  ogólne  dla transformaty  entropii  wyznacza  się  z  równania  (4.20)  otrzy-
mują c:

gS(x
3
,  s)  =  A

t
e

c
^

x
'+A

2
e-

c
^

x
'+A

3
e

d
^

x
^ +A

4
e-

d
^

X3
,  (4.23)

gdzie:

c = 1/  ~  {B+yB2- 4AT
0
)  d = 1/  - ~ {B- yB2- 4AT

0
)  .  (4.24)

D zię ki  symetrii  warunków  brzegowych  rozważ ania  nasze  znacznie się  upraszczają ,  bo-
wiem  rozwią zanie  zawiera  parzyste  funkcje  ze  wzglę du  na  współ rzę dną  x

3
:

QŚ (X
3
 ,s)  =  QS(- X

3>
S),  Ć (X

3
  , s)  =   C ( - x

3
,  s).  (4.25)

Wł asność  (4.25)  pocią ga  za sobą   w rozwią zaniu  (4.23)  równość  parametrów:

A
t
  = A

2
 i A

3
  =  A

4
.  (4.26)

Wówczas  transformatę   entropii  (4.23)  moż na  zapisać  wykorzystują c  definicję   cosinusa
hiperbolicznego  w postaci:

QS(X
3
  , s)  =  2^Lch(c]/ ix3)  +2A3ch(d\ / s'x3).  (4.27)

N atomiast z drugiego  równania ukł adu  (4.20) i (4.21) otrzymamy rozwią zanie  ogólne dla
transformaty  koncentracji:

C(x
3
,  s)  =   2A

1
(Dc

2
+E)ch(c\ / 7x

3
)+2A

3
(Dd

2
+E)ch.(d\ / Jx

3
),  (4.28)

ską d  po  wykorzystaniu  warunków  brzegowych  (4.10)  i  dokonaniu  retransformacji
Laplace'a  [2,3]  otrzymujemy  po przekształ ceniach  ostateczną   postać  na  poszukiwane
wielkoś ci  polowe  entropii i  koncentracji:



O  ROZSEPAROWAN IU   R Ó WN AŃ ...  Ą 9

4

4 13 J '
)  1

j2F~l)  A  3 J
(4.30)

4

Pole  odkształ ceń  obliczymy  z  równania  (2.12)  poprzez  scał kowanie  zależ noś ci  (4.13):

3̂3 -   C/ 3,3 =  ^ ^
3 /   (a,

 Q
S+  a

c
 C) + Y,  (4.32)

a  stał ą  F  wyznaczymy  z  warunku  brzegowego  i  znanych  wartoś ci  qS
b
 i  C fc:

6)  => y = o,  (4.33)
±"2 "

skąd  po odpowiednich  rachunkach  otrzymujemy  z  zależ noś ci  (4.32)  ostateczną  postać
równania  na pole  odkształ ceń:

£33(^3, t)  =   (a
s
QS+x

c
C).  (4.34)

1 —v

N atomiast pole temperatury 0 i naprę ż eń a
i}
  okreś limy z równań tworzą cych  (2.2) i  (2.4)

dla  oś rodka  sprę ż ystego:

0  =   - e'uBij+m'QS- 1'C,  (4.35)

<y
i}
 =  E

mi
  e

kl
 -   cp

u
9  + 0

tJ
C,  (4.36)

skąd  ostatecznie po wykorzystaniu  zależ noś ci  ł ą czą cych  odpowiednie  stał e  materiał owe
otrzymujemy:

1   r  I
6{x

3
,t)  =  —  - y , —~ E s

3 3
( x

3
, t )  + QS(x

3
,  t)- lC(x

3
,  t)\ ,  (4.37)

m  L  (1  — 2v)  J
E  \   v  \

l _ 2 v }l + v  3 3  3 >  T  ) '
(4.38)

* 3 3 ( *3 , 0  =  0,  (4.39)

4  Mech.  Teoret. i Stos. 1/88



50 J.  K U BI K ,  M.  WRÓBEL

gdzie  wystę pują ce  w zależ noś ciach  (4.35) -  (4.38) pola  entropii, koncentracji i  odkształ ceń
dane  są   równaniami  (4.30),  (4.31)  i  (4.44).

5. Kontakt dwóch pólprzestrzeni

Jako  kolejny  przykł ad  proponowanego  uję cia  zadań  termodyfuzji  rozpatrzymy za-
gadnienie kontaktu dwóch sprę ż ystych  i izotropowych pół przestrzeni  (rys.  2).  Zakł adamy,
że  zagadnienie  przez  nas  rozpatrywane  jest  jednowymiarowe,  oraz  pomijamy  w  nim

• ;"  : . 9 S  l >

.- ;•   c  I * 3,  • ' ' . • '.   • -;  0 " ( O , t )

-   '  ' '  t  LJlM  '
- • •-   j i n  11   J„

. . ; . • .   U 3 - ( 0 , t ) = O;

> Vio, n :
:  Q+(O,t)  -

JpHlt)  .

u3
ł(o. n- -

• .,'• '.   : g s

.  .  .'.   c' l x ,

.  : •   '

, t l  ;• '

,ti;.

<3

R ys.  2.  K on takt  dwóch  pół przestrzeni  z  polem  entropii  i  koncentracji  oraz  warunkami  brzegowymi

ź ródła  ciepł a  i  masy  oraz  siły  masowe.  Wówczas  podobnie jak  poprzednio  wielkoś ci
wystę pują ce  w zadaniu  opisane  są   zależ noś ciami  (4.1)- (4.9)  i  (4.11) -  (4.13).  Jako wa-
runki począ tkowe przyjmujemy  brak  przyrostów  odkształ ceń, temperatury i  koncentracji
ponad  stan  naturalny:

e M *3 , 0)  =  0,  6>± (x3,0) =  0,  C ± ( x3, 0) =  0.  (5.1)

Przyjmujemy  również  zanikanie  tych  wielkoś ci  polowych  w nieskoń czonoś ci:

8jjj(±   o o , O =  0,  6>*(±   oo, 0  =  0>  C ± ( ±  o o , 0  =  0.  (5.2)

Warunki  (5.1) i  (5.2) w poł ą czeniu z  równaniem  konstytutywnym  (2.5)  dają :

&
SHx

3
,0)  = 0,  (5.3)

QS
±
(±   oo.O  =   0.  (5.4)

Wykorzystanie  warunków  (5.1) -  (5.4) w ukł adzie równań (4.11) i (4.12) prowadzi poprzez
zależ ność  (4.23)  do nastę pują cego  ukł adu równań:

QS
+
(X

3
,S)  -   At&~ c^ x'+At^ - ''^x\   (5.5)

QS- (X
3
,  s) =  A- [e+e</ '** + Aie+ *V^,  (5.6)

C+ (x3, ś ) =  AtL s- e^ +AiJte- W *',  (5.7)

C- (x
3i
s)  =  AiL atf**+AiBeW T *,  (5.8)

gdzie:
L  =  Dc2+E,  R =  Dd2  + E.  (5.9)



O  ROZSEPAROWANIU  R Ó WN AŃ ... 51

W  pł aszczyź nie  kontaktu  pół przestrzeni  (x
3
  =  0)  zakł adamy  idealny  kontakt  termiczny

obu  pół przestrzeni  przejawiają cy  się  cią gł oś cią  strumienia  ciepł a:

<73
+(0, 0  =   ? 3- ( 0, 0 .  (5.10)

oraz  równoś cią  temperatur  po  obu  stronach  pł aszczyzny  kon taktu:

< 9 + ( 0 , t)  = ©'(0, t ) .  (5.11)

Zakł adamy  również  zerową  wartość  przemieszczenia  na  brzegach  pół przestrzeni  (sztywna
pół pł aszczyzna  kontaktu):

"Ł tf ( 0 , 0 - 0,  (5.12)

oraz  przyjmujemy  warunki  brzegowe  w  wartoś ciach  strumieni  masy  po  obu  stronach
pł aszczyzny  kontaktu  pół przestrzeni  (rys.  2):

./ 3+(0, 0  =j
p
H(t),  (5.13)

Jś (O,t)  =   - jiH(t).  .  (5.14)

Przyjmiemy  tutaj,  że  w  pł aszczyź nie  x
3
  =   0  wystę puje  powierzchniowe  ź ródło  masy

o  intensywnoś ci  I.  Mogą  wówczas  wystą pić  warunki  brzegowe  (rys.  3):

j£(0,  t) + Qi- J  = j^ ( 0 , 0-   (5.15)

Warunki  (5.10)-   (5.14)  pozwalają  na  wyznaczenie  stał ych w ukł adzie równań  (5.5) -   (5.8),
który  po ich wprowadzeniu  moż na przedstawić  w  postaci  dwóch  równań  na  transformaty
entropii  i  koncentracji:

Rys.  3.  Warunki  brzegowe  dla  strmieni  masy  w  zadaniu  kon taktu  dwóch pół przestrzeni

m  A* j
sys

s)  =   A± L ±   -

gdzie:

A±   ''  ( + ~2

J
yssys

1

s

i

s)/ s

J5±  =  -
(a+ 3+   - b+ c+ )(d~e- - c~f-

(5.16)

(5.17)



52  J.  K U BI K ,  M.  WRÓBEL

m

e* =

(5.18)
/ ±   .  p ^ L . [ l -

D okonując  na zależ noś ciach  (5.15)  i  (5.16)  re transformacji  Laplace'a- otrzymujemy po-
szukiwane  wielkoś ci  polowe  w przestrzeni oryginał u

]   (5.20)

Przystą pimy  z  kolei  do  obliczania  pola  odkształ ceń.  Wykorzystując  zależ ność  (2.12)
i  cał kując  równanie  (4.13)  otrzymujemy:

2«'±   4- 3 A'*
«!• (*• ,  O -   W.«(*si  0  -   ^ q r x 7 ^ "  [ ^ ^ ± ( x 3 '  O + ^ C * ^ ,  01+ ^-   (5.21)

Stał ą  X  obliczamy  z  warunku  brzegowego  (5.12)  i  zależ noś ci  (5.19)  i  (5.20):

2,.'±  4- 3/ l'±
£3*3(0,  o  =   f ,

t +
x

±
  t«tes'(o,  o + «*c *( p ,  OJ+ JT -   o  (5.22)

P o  przekształ ceniach  otrzymujemy:

**»(*• . O =   ^ t ^ A i ±   [ «*e
5 ± fe  1  0 + * ł   C ± f e .  0 -   (aJeSo* +  a a Q ) ]  (5.23)

gdzie:

/ l  (5.24)

(5.25)



O  ROZSEPAROWANIU   R Ó WN AŃ ...  5 3

Pozostał o  jeszcze  okreś lenie  tensora  stanu  naprę ż enia  dla  rozpatrywanego  problemu
począ tkowo- brzegowego.  Wykorzystując  należ ność  (4.8)  otrzymujemy:

oft(*a. 0  =  ahtei,  t) = ̂ eiiQcirO- Qp't  + M'^ lafeS^ Xi,  t) + «$C*(x
3
,  *)]  (5.26)

a±
3
(x

3>  t
) =  (2/M'

4 +  A' ± ) s|3 ( x3 i  O - ( 2 A*'*  +   3A'*)  •   [«ł eS*fa,  t)+aiC*(?ea,  t))  (5.27)

gdzie  pola  entropii, koncentracji i odkształ ceń dane są równaniami  (5.19),  (5.20),  (5.23).
Stał e  materiał owe  wystę pują ce  w  zadaniu  ł ą czą  nastę pują ce  zwią zki:

a'=   -   \ 2LI- .
(1- 2*0

(5.28)

6.  D ział anie pł askiego  ź ródła  masy

Zagadnienie  pł askiego  ź ródła  masy  w przestrzeni jest  przypadkiem  szczególnym  roz-
patrywanego  w poprzednim  punkcie pracy  zadania  kontaktu  dwóch  pół przestrzeni,  który
zachodzi  wówczas  gdy obie  pół przestrzenie są z tego  samego  materiał u, a więc  posiadają
jednakowe  stał e  (funkcje)  materiał owe.  Rozwią zanie  takiego  problemu  począ tkowo-
brzegowego  otrzymamy  z przytoczonych w p- cie  5 pracy  równań  przyjmując  w nich stał e
materiał owe  dla „ dodatn iej" i  „ujemnej"  pół przestrzeni  (rys. 2)  za  równe  sobie.
Odpowiednio  bę dzie:

Poszukiwane  wielkoś ci  polowe  entropii  i  koncentracji  wyraż ają  się  zależ noś ciami:

2(ad- bc)(de- cf)  r j / w ^ l  At

l ^ j ^ j j  (6.1)

(  3 > °  2{ad- bc){de- cf)

e
~£J)

.exPl- ^rL|- ^3|erfcl- ^.||li.  (6.2)

natomiast  pole  odkształ ceń  opisane  jest  formuł ą:

gdzie:



54  J.  KU BIK,  M.  WRÓBEL

W±   ade)  -   ( fl. d/ +  bce)(j
p
 +,/,) -   (acf+  bde){.fl  - f

p
)

2(ad- bc)(de- cf)  '  {  }

_  /   t  2ji
p
{bcfL  +  adeR) -   (adfL  +  bceR)(j

p
 +jj)  -   (bdeL -  acfR)(jf  - j'

p
)

0  ~  \   n  ~  2{ad- be)(de- cf)
(6.5)

Z kolei tensor naprę ż enia otrzymujemy  z zależ noś ci (5.26) i (5.27) przyjmują c  w nim równe
sobie  stał e  materiał owe po  obu  stronach  pł aszczyzny  rozdział u przestrzeni:

otfi(*3, 0  =   ^ f e ,  0  =   A'e|3( x3,  0 +

- ( 2/ M '+ 3A') [«, eS
± ( x3 !  0  +  «.C *( *S l  01.  (6- 6)

«fc(*s»  0  -   ( 2 ^ +  ^ ) 4 3 ^ 3 , / ) - ( 2|«' +  3A')ta.e5*(x3, 0  +  «oC*(x8,  / )],  (6.7)

gdzie  wystę pują ce  w  zadaniu  stał e  materiał owe ł ą czą   zwią zki  dane  zależ noś cią   (5.28).

Literatura

1.  M . A.  BI O T ,  T hermoelasticity and Irreversible T hermodynamics, J.  Apll.  Phys.  27,  1956.
2.  G .  D OETSCH ,  Praktyka  przekształ cenia  L aptace'a,  PWN ,  Warszawa  1964.
3.  G . A.  K O R N ,  T .  M.  K O R N ,  Mathematical  Handbok,  Mc.  G raw- H ill  Company,  New  York,  San  F ran-

cisco,  T oron to,  London,  Sydney  1968  (tł um.  ros.  Moskwa  1977).
4.  J.  K U BI K ,  Analogie i podobień stwo  w  liniowych  oś rodkach  odksztalcalnych,  ZN  P oi. Ś l. Bud.  38,  G liwice

1975.
5.  W.  N OWACKI,  Certain  problems  of  thermodiffusion  in solids, A.  M . S.  23,  6,  1971.
6.  W.  N OWAC KI,  T ermodyfuzja w  ciele stał ym,  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2,  13,  1975.

P  e  3  K)  M  e

o  P A3B;E JI E H H K )  ypABHEHHH   B^3K oyn pyroił

B  p aó o T e  n peflJiom eH o  MeToA  npKBefleuMfl:  npo6jieM   BH 3KoynpyroH   TepM0#Hdp<J>y3HH  K  p a c c o n p a -
ypaBiietmH M   T eopim  TenJio- flHcp4)y3HOHHLix  H anpjin<eH H H .  T e o p m o  HJiraocTpHDOBaHo  3a-
MoflKcbripysHHl  B cjroe  c  KpaeBbiMH   ycnoBHHMH  n ep Bo r o  p o «a 3  a Taioi- ce  3aflauy  TepmoflHcjpdpysHH

n p a  KoH Tarcre  flByx  nonynpocTpaH CTB  n p n  HfleajiBHoiw  TenjioBOM   KoniaKTe  H   rpaH ipiH Bix  ycn oBH ax
BT o p o ro  p o Aa .

S u m m a r y  .

O N   D E C OU P LI N G   EQU ATION S  OF   VISCOELASTIC  TH ERM OD IF F U SION

I n  the  paper  th e  proposition  of  reducing  th e  viscoelastic  thermodiffusion  problems  to  the  theory  of
thermodiffusion  stresses  is  presented.  N ext  the  solution  of  thermodiffusion  problem  in  layer  with  the
boun dary  conditions  of first  type  is  given. The  problem  of  interaction  between  two  semispaces  with  ideal
therm al  con tact  an d  the  boundary  condition  of  second  type  is  also  considered.

Praca  wpynę ł a  do  Redakcji  dnia  18  lutego 1986  roku.