Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf M EC H AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 26, 1988 TH EORETICAL  M OD EL  O F   EXTERNALLY  PRESSU RIZED   CIRCU LAR TH RU ST  P OROU S  G AS  BEARIN G   WITH   D EFORMABLE  M ATERIAL JAN   A.  KOŁODZIEJ MACIEJ  BARBACKI Politechnika  Poznań ska A  method  is  proposed  for  determining  dimensionless  characteristics  of  an  externally pressurized  circular  thrust  bearing.  An  essential  novelty  in  the  present  model  as  com- pared  with  many  existing  theoretical  models  consists  in  the  deformability  of  the  porous pad being  taken  into consideration.  The unknowns  of  the present  model  are:  the  pressure distribution  in  the  clearance  and  the  thickness  of  the  lubricating  film  (deflection  of  the porous  pad). These quantities  are determined by  solving  by  method  of  successive  approxi- mations the set of  governing  equations.  For the zero  approximation it is assumed  that  the porous material is indeformable, which  enables us to obtain a solution for  the  zero  approxi- mation  to  the  pressure  distribution.  F or  the  first  and  subsequent  approximations  the porous  pad  is  treated  as  a  thin  elastic  plate  loaded  in  an  axially  symmetric  manner  by pressure  which  has  been  found  in  the  preceding  approximation.  The  equation  of  ben- ding  of  the porous  plate  is  integrated  in  an  analytic  manner in  every  approximation. The. equation governing  the pressure  distribution  is  integrated  numerically  by using  the method of  orthogonal  collocation.  A  detailed  algorithm  is  given  for  the  determination  of  the dimensionless  load  capacity  and  the  dimensionless  mass  flow  rate. 1. Introduction Aerostatic thrust bearings  are commonly  used  in  industry,  since  they  have  exceedingly low  frictional  coefficients,  even  at  slow  speeds,  and  they  are  readily  operated  from  the factory  air- line.  Conventional  capillary  or  orifice- compensated  bearings  have,  however, low  load  capacities for  the high  supply  pressures  and feed  rates  required,  and  their  opera- ting  range  is  often  limited  by  the  pneumatic instability  of  the  air  film.  These  disadvan- tages  may  be  overcome  by  using  a  porous  pad  in  place  of  the combination of a solid  pad and  compensating  elements.  Thus,  the  aerostatic  porous  bearing,  also  has  a  stiffer  film, ensuring  greater  positionala  accuracy,  and a  smaller  tendency  to  fail  throughblockage. Porous  thrust  bearings  have  been  investigated  by  many  authors.  A  review  of  the li- terature  pertaining  to  the theory  of  such  bearings  was  given  in  paper  [1]. Almost  all  the research workers  made the assumption  that in bearing  clearance exists a uniform  gas  film, as  this  drastically  simplifies  the  solution  of  the  Reynolds  equation.  This  implies  that  the 7 4 J.  A.  KOŁOD ZIEJ,  M.  BARBACKI elastic  strength  of  the  porous  material  is  such  that  deformation  that  does  occur is  negli- gible.  In  aerostatic  thrust  bearings,  film  thicknesses  are  small  of  the  order  of  12 / urn  and hence  any  apparently  negligible  deflection  of  the porous  media  may  be  of  the same order of  magnitude  as  the  film  thickness.  The  deflection  of  the  porous  pad  depends  upon its flexural  rigidity. F or  certain  materials  the  elastic  strength  of  the  pad  will  be  insufficient t o  withstand  the loading  by  pressure  difference  across  it.  Consequently,  a  diverging  film will  be  produced.  This  effect  was  observed  by  Taylor  &  Lewis  [2] in  experiments  with porous  carbon  as  the  media.  The  divergent  film  reduces  the film  pressure  and  hence the load- carrying  capacity  of  the  bearing. The  deformation  of  porous  material, as  yet,  was  taken  into  account only  in  Taylor  & Lewis  [2 -  3]  and  in  the  paper  [4]. In  papers  [2 -  3] essential  part  of  proposed  model  is determination  the  two- dimensional  flow  in  porous  material.  However,  in  most  applica- tions  the wall  thickness  of  the pad  is  small  compared to  its  radius.  Thus, the  gas flow  in the  bearing  matrix  is  predominantly  axial  and it  is  immaterial  whether  the porous  pad  is sealed  at  the sides  or  open to the atmosphere. This  assumption  in essential  way  simplifies the mathematical model of  the  bearing.  In paper  [4] the method for  determining characte- ristics  of  externally  pressurized  circular  thrust  bearings  with  deformable  porous  material with  the  mentioned  above  assumption  on  axial  flow  for  incompressible  lubricant  was proposed. The  purpose  of  this  paper  is  to  present  the  mathematical model  for  the  performance characteristics  of  the  aerostatic  porous  thrust  bearing  with  deformable  porous  material and  compressible  lubricant. We take into account also a slip flow  at the boundary between the  bearing  clearance  and the porous  material.  Opposite from  papers  [2 -  3] in this paper the  radial  flow  in  the  porous  material  is  neglected. 2.  Assumptions F igure  1  represents  the  flow  model  and  coordinate  system  in  the  circular  porous thrust  bearing.  We  assume  that  known  values  are:  p s —  supply  pressure,  p p   — ambient pressure,  H—thickness  of  porous  material,  2a—diameter  of  porous  pad. The  assumptions  made  for  this  analysis  are  as  follows: a)  The lubricant  is  a compressible  viscous fluid  with  equation  of  state  for  perfect  gas: P  =  e®T ,  (l) • where:  p  — pressure,  Q— density  of  gas,  & — gas  constant,  T ~- temperature. - la 1 F ig.  1.  Configuration  of  porous  thrust  bearing MODEL  OF  POROUS  GAS  BEARING  75 b)  The  fluid  flow  through  the  bearing  is  isothermal  and  steady. c)  The  flow  in  porous  material  is  viscous  and  Darcy's  law  applies: k 9= —-gradj?, (2) r where:  q — velocity in porous material,  k — permeability coefficient,  /u — viscosity of fluid. d) The porous matef ial is deformable. The thickness  H of the pad of bearing is small as compared with the diameter  2a; the deformability of the material may be described by the theory of thin plates, the deflection of which is discribed by the equation: r  dr V  d r [ r  dr \  dr  j \ \ ~  N '  {i) where:  w — deflection of porous pad,  Q — transverse loading,  N — flexure rigidity of porous plate. e) Since H <̂   a, the radial flow in the porous material is neglected, The Darcy's equation (2) is in this way reduced to the form: •• "  ­ 7 * "  ( 4 > f) The tangential stresses in lubricating layer penetrates on a distance  6 in the bulk of porous material [5 - 6]. Therefore the condition that there is no sliding was proposed to apply but on surface inside porous material, not its nominal boundary. g) The usual simplifications of the classical lubrication theory can be used for the bearing clearance, it being assumed that there is only radial flow governed by reduced equations of viscous compressible flow in the form: - o , (5) where: vr— radial velocity in bearing clearance, vz —-axial velocity in bearing clearance. 3. Governing equations and method of solution Flow in the porous material is governed by the stedy-state mass continuity equation (axisymmetric case): Substitution of Darcy's law (4) and equation of state (1) into equation (7), yields 0. (8) dz  \fji0tT  dz J . A. K O Ł O D Z I E J , M . BAR BAC K I By n otin g t h at  2p - ~  -   P, - , it can be shown, that if-   ^ df dz I n tegratin g equation (6) twice respect to z, applying the boudary conditions in the form: v r   = 0 for 2 = 0 , (10) v r = 0 for  z =  c- w+d, (11) we h ave: _ ± ^± _   t  !_ %r   ~ 2  cfri(c- w+d)2  c- w+d \ Substitution of equation (12) t o (5) and integration in the film region, yields: (c- w+d) 3 1  d v Because  Q V-   — ^ -   (17) is  dimensionless  parameter  of  stiffness. In  solution  of equation  (14),  should  satisfy  the  following  boundary  conditions: ~ g-   =  0  for  J?  =   0,  (18) F - l  for  J ? « I ,  (19) While,  in  solution  of equation  (16),  W —  should  satisfy  the  following  boundary  condi- tions : W =  0] dW  _  nl  for  R  =   ]> MODEL OF POROUS GAS BEARING 77 which are conditions for clamped edge of plate. It is also required that: dW  d3W dR~  dR3 = 0 for  R=.O, (21) which results from the symmetry of the problem. The unknowns of the present model are: the pressure distribution — P in the cle- arance, and deflection —  W of the porous pad (the thickness of the lubricating film). These quantities are determined by solving by method of successive apprixomations the set of equations (14) and (16) with the boundary conditions (18), (19), (20) and (21). For the zero approximation it is assumed that the porous material is indeformable, ĵ <°> = 0, which enables to obtain the zero approximation to the pressure distribution P<0), by solution of equation (14) with  W  = 0. For the first and subsequent approxi- mations the porous pad is treated as a thin elastic plate loaded in an axially symmetric manner by pressure which has been found in the preceeding approximations. The equa- tion governing the pressure distribution (14) is integrated numerically in every approxi- mation by means of orthogonal collocation [7]. In this way solution for  P is given in polynomial form. The equation of bending of the plate (16) is integrated in analytic manner in every approximation, because it is a linear equation with load described by polynomials. Solutions to the foregoing system of equations are in the form of pressure-squared distributions through the bearing clearance. The load capacity is simply found as the sum of forces created by the fouilm boundary pressure acting normally to the bearing area or 2n  a  a s = / /  (l>­Pa)rdrd® =  2n J  (p­pa)rdr. (22) 0  0  0 In dimensionless form this becomes: i S = — S  _ =  2 J  (P­l)RdR. (23) •  o The dimensionless load capacity is seen to be the ration of the actual load to the maximum load possible. The mass flow rate required by the film may be calculated from the gas velocity cros- sing the film boundary: In  a m  = —j  J  (gqz)\z^crdrd&. (24) o o Substitution of Darcy's law (4) and the equation of state (1) yields 78 J. A. KOŁOD ZIEJ, M. BARBACKI In dimensionless form the flow becomes: M =   h~r~^ > 5 T T ^ : - 2 dP2 A Q (P?- l)  dR (26) 4. Results The convergence of the described above method of successive approximations is sa- tisfactory.  In  almost  all  calculated  cases  with  number  of  iterations  less  than  10, results are  stable  for  the pressure  distribution P and the deflection  of porous plate  W . This good convergence  is  illustrated  in  Tables  1  and  2. Table  1.  Load  capacity  S  an d  mass  flow  rate  M  for  succesive  approximation  i; p,  =   9,  A o   =  10,  a c   =   100,  S b   m 0.05,  A  =  0.01 1 1 2 3 4 5 6 7 8 0.6237747 0.6431721 0.6407426 0.6410518 0.6410124 0.6410168 0.6410169 0.6410168 M 68.12282 69.77471 69.54882 69.57369 69.57052 69.57092 69.57087 69.57088 Table  2.  Load  capacity  S  an d  mass  flow  rate  M  for  succecesive  approximation / ; P s   m  9,  Ao  -   90,  a c   m  100,  S b   =  0.05,  A  =   0.1 i 1 2 3 4 5 6 7 S 0.8452509 0.8427989 0.8428321 0.8428317 0.8428317 0.8428317 0.8428317 M 140.5341 140.1449 140.1500 140.1499 140.1499 140.1499 140.1499 I n  the proposed mathematical model the dimensionless  characteristics such as  the load capacity  S  and  the  mass  flow  rate  M  are  functions  of  the following  dimensionless para- m eters:  A o ,  P s ,  S b ,  a c   and  A.  The  variation  in  the  load  capacity  S  and  the  mass  flow rate  M  with  the  bearing  number  A o   for  various  ration  of  radius  pad  to  bearing  clea- rance  a c   are  shown  in  Figs.  2  and  4.  It  is  seen  from  these  figures  that  deformation  of 0.3 0.2 indeformable material L L U J i i i i i i 10 100 A„ Fig. 2. Normalized load capacity  S versus bearing number  Ao for a range of ratio of radius pad to bearing clearance  ac. u.y s 0.8 0.7 0.6 0.5 0.6 0.3 0.2 n i P5=9.0 S,= 0.05 - y i i ! i i I i i : M /fa / Aa • M i l 1 I i l l 10 100 Fig. 3. Normalized load capacity  S versus bearing number  Aa, for a range of dimensionless depth. of penetration of shear  A [79] Fig. 4. Normalized mass flow rate M versus bearing number Ao for a range of ration of radius pad to bearing clearance  ac 160 M 140 120 1 0 0 - 80 60 - 40 " 20 0 f| =9.0 S^O.OS aL-100 A=001/V //01 / y i  i  i  !  i  ;  i A- 100 Fig. 5. Normalized mass flow rate Af versus bearing number /Lo for a range of dimensionless depth of penetration of shear  A 180] M OD EL OF POROUS G AS BEARING 8 1 porous material can have significant influence on nondimensional load capacity and mass flow rate. This influence increases with decrease of parameter  A Of whereas this influence increases with increase of parameter  a c . While, Figs 3 and 5 show the variation in the load capacity  S and the mass flow rate  M with the bearing number  A o for various di- mensionless  depths  of  penetration  of  shear A.  It  is  seen  from  these  figures  that  penetra- tion  of  shear  inside  porous  material  (the slip flow  on the boundary  of  porous region  and of fluid  region)  can  have  significant  influence  on  load  capacity and  mass  flow  rate.  The Table  3  shows  the  variation  in  the  load  capacity  and  mass  flow  rate  with  dimensionless parameter  of  stiffness  of  porous  pad  S h . Table  3.  Variation in the load  capacity S and mass  flow  rate M  with  the dimension- less  parameter  of  stiffness  S  ;  A o   =  10,  P  =   9,  A  =   0.01,  a  -   100. 0.0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 S 1 0.623774 0.624556 0.625329 0.626093 0.626849 0.627597 0.631218 0.634653 0.637915 0.641017 M 68.123 68.187 68.251 68.315 68.378 68.439 68.742 68.031 69.307 69.571 References 1.  J. A.  KOŁOD ZIEJ,  On possibilities of  more accurate designing  of  characteristics of  thrust  porous bearings Part  1:  Survey  of  theoretical models,  Zagadnienia  Eksploatacji  Maszyn,  Zeszyt  n r  2,  vol.  46, (1981), pp.  91 - 103,  (in  Polish). 2.  R.  TAYLOR,  G . K.  LE WI S,  Experience  relating to  the  steady  performance  of  aerostatic porous  thrust- bearings,  The Institution of  M echanical Engineers, Proceedings  1975, vol.  189,  22/ 75, pp.  383 -  390. 3.  R.  TAYLOR,  G . K.  LE WI S, Steady- state solution for  an aerostatic thrust  bearing with  an elastic porous  pad 6th  Int.  G as  Bearing  Symp.  1974,  P aper  C5. 4.  J. A.  KOŁOD ZIEJ, A  theoretical model  of  an  externally pressurized porous thrust  bearing with  deformable porous  material,  Ar c h i wu m  B u d o wy  M a sz yn ,  vol. 32, Z eszyt  1 - 2,  p p . 95 -  114,  ( 1985) ,  ( in P o li sh ) . 5.  J. A.  KOŁOD ZIEJ, Flow of  viscous incompressible fluid  at  boundary  of porous  region with high  porosity, P h.  D .  Thesis,  Institute  of  F un dam en tal Technological  Research,  Polish  Academy  of  Science,  1977. (in  Polish). 6.  J. A.  KOŁOD ZIEJ,  On possibilities of  more accurate designing  of  characteristics  of  thrust  porous bearings. Part  2:  Proposition  of  new  theoretical model for  steady- State conditions.  Zagadnienia  Eksploatacji  M a- szyn,  Zeszyt  1 -  2,  vol.  49 -  50,  (1982),  pp.  49 -  63,  (in  Polish). 7.  B. A.  FIN LAYSON ,  T he Method  of  W eighted  Residuals  and  Variational Principles,  Academ ic  P res, N ew York,  1972. 6  Mech. Teoret.  i  Stos.  1/88 82 J. A. KOŁODZIEJ, M. BARBACKI P e 3 IO M e TEOPETH H ECKAH M O ^ BJ I t m iJ I K H AP I M E C K O r o n BH EIIIH E n H T AE M O r O n P H Y^ E T E flEOOPM AJIH H I lOP H C TOrO MATEPHAJIA B pa6oT e n peflcraBjieH cn ocoS onpeflejieH H H 6e3pa3M epH bix xapaiKeHHe flaBJiś H M H B m e - H H   noflinnnH U Ka  H  cpyHKUHH   TOJILU H H M  CM a3biBaiomero  CJIOH   ( n p o r a S  nopHCToft  Biuiafli- cn).  3 T H   Bejin- onpeflejiH ioTCH   lweTofloM   o liepefliibix  npKSjiKKeH nft.  B  HyjieBOM   npn6jiit>KeHKH   n pefljiaraercji, M aTepaaJi  n o p u c r bit ł   H cneć jJopjtupyeM biHj  \ ITO  n o3Bon n eT  nonyMHTb  p eu ieH ae  pacnpeflejieiiH H   flaB_ B  nepBo/ K  H  cnepyiomHx  n pa6iin *eH H H X  n opH C xaa  BKJiaflna  ip aK T yeic a  Kai< TOHKan c  oceBoft  cuMMeTpimecKoH   H arpy3Koii flaBJieH H H , on peAen eH H oro  paH ee  B  nocjieflHHM   n pH 6jin - >iiceHHH.  YpaB- pacn paqejieH H H   flaBJieH iiH  B  KawfloM   npn6jin>KeHHH   H trrerpyeTCfl  MHCJieHHO MeTofloM   opTO- KOJH I0K3U H H . H   noflpo6H faift  an ropn TM   onpeflejieH H fi  6e3pa3MepH oft  n ecym efi  C H J I H   H   6e3pa3M epH oii CKOpOCTH   n O T O K a. S t r e s z c z e n i e TE OR E TYC Z N Y  M OD EL POROWATEG O  Z EWN Ę TRZ N IE  ZASILAN EG O C YLI N D R YC Z N E G O  G AZOWEG O ŁOŻ YSKA  WZ D ŁU Ż N EGO  Z  OD KSZTAŁCALN YM M ATERIAŁEM   POROWATYM W  pracy  przedstawia  się   sposób  wyznaczania  bezwymiarowych  charakterystyk  cylindrycznego  io- ż yska  wzdł uż nego  zasilanego  zewnę trznie.  Istotną   nowoś cią   modelu,  w  porównaniu  z  wieloma  istnieją - cymi  modelami teoretycznymi jest  uwzglę dnienie  odksztalcalnoś ci  porowatej  wkł adki. W proponowanym modelu  niewiadomymi  są :  rozkł ad ciś nienia  w  szczelinie  ł oż yska  oraz  grubość  filmu  smarują cego  ugię cie wkł adki  porowatej.  Wielkoś ci  te  wyznacza  się   poprzez  rozwią zanie  ukł adu równań  rzą dzą cych  metodą kolejnych  przybliż eń.  W  przybliż eniu  zerowym  zakł ada  się ,  że  materiał  porowaty  jest nieodkształ calny, co  pozwala  n a  uzyskanie  zerowego  przybliż enia  dla  rozkł adu ciś nienia. W  pierwszym  i  nastę pnych  przy- bliż eniach  wkł adkę   porowatą   traktuje  się   jako  cienką   sprę ż ystą   pł ytę  obcią ż oną   osiowosymetrycznie  ciś- nieniem  wyznaczonym  w  poprzednim  przybliż eniu.  Równania  zginania  pł yty  cał kuje  się   analitycznie w  każ dym  przybliż eniu.  Podaje  się   algorytm  wyznaczania  bezwymiarowej  sił y noś nej  oraz  bezwymiarowej prę dkoś ci  przepł ywu  gazi  przez  ł oż ysko. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  20  stycznia  1987  roku.