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MECHANIKA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA

1, 26, 1988

APPLICATION OF WAVE METHOD IN INVESTIGATION OF DRIVE SYSTEMS
COMPARISONS WITH OTHER METHODS

AMALIA PIELORZ

1PPT PAN, Warszawa

1. Introduction

The paper concerns dynamic investigations of drive systems with variable and constant
shaft cross-sections using the wave solution of motion equations. The model of a drive
system consists of shafts and rigid bodies with constant mass moments of inertia with
respect to the axis of rotation. Rigid bodies are loaded by external moments which prac-
tically can be arbitrary. Considerations concern those systems where supporting bearings
eliminate flexural deformations and shafts are mainly torsionally deformed. Damping
appearing in these systems is taking into account by an equivalent damping, which is
compared with a damping continuously distributed in the case of a unilaterally fixed rod
torsionally deformed. Moreover, results obtained by means of the wave method are com-
pared with suitable results obtained by means of the rigid finite element method and with
the method of separation of variables. jgj

It should be pointed out that dynamic investigations of drive systems are carried mostly
out by means of discrete models, [1]. In literature also discrete-continuous models are used
likewise in the present paper," [2, 3], which more precisely describe real systems but re-
quire slightly different methods for solution. The method of separation of variables the
most often is applied in these studies. It allows, in principle, to consider undamped sys-
tems and to determine natural frequencies and eigenfunctions, [2 - 4]. Using the wave
solution of motion equations one can determine displacements, strains and velocities in
arbitrary shaft cross-sections at an arbitrary time instant.

2. Wave method in investigation of drive systems

In this section the wave method is presented in the case of the discrete-continuous
model of a drive system with variable cros-section of shafts. The method is based on the
utilization of wave solution of appropriate motion equations. It can be applied for shafts
with a constant and variable cross-section, however in the last case the functions repre-
senting variable cross-sections should be such that the equations of motion have solutions
of the d'Alembert type.

7 Mech. Teoret. i Stos. 1/88



98 A . PlELORZ

2.1. Drive systems with variable shaft cross-section. Consider a multi-mass drive system con-
sisting of an arbitrary number of rigid bodies connected by means of shafts. The shafts
consist of segments with variable polar moment of inertia. The method proposed may be
easily applied to the discussion of models for drive systems with an arbitrary number
of segments, however in order to get clearer and simpler analytical formulae the analysis
is limited to the case when each shaft consists of two segments, Fig. 1.

Jr ,|MN+1 J

M , M D1

(1) U )

M
D3 4

N+l
M

D.N+1

Fig. 1. Model of a drive system

The shafts are deformable only in torsion-like manner and their central axes, together
with elements settled on them, coincide with the main axis of the drive system. It is assu-
med that the x axis is parallel to the main axis of the drive system, and that its origin
coincides with the location of the left end of the first shaft in an undisturbed state at time
instant t = 0. Moreover, damping is taken into account by means of an equivalent dam-
ping.

The i-th shaft segment, i = 1, 2, ..., N, where JV is an even number, is characterized
by the length /{, density Q, shear modulus G and variable polar moment of inertia JOi
which is described by the function:

J0l(x) T (
 x~boi rpt\~i—h i' (1)

where: JOi(bod = 0, JPi = /Oi(£;-i). Lt = h + l2+ ... +/;. If boi -> -oo then function
(1) is constant, therefore shaft cross-sections can be constant, piece-wisely constant, va-
riable and piece-wisely variable. Other forms of function Joi, suitable motion equations
for which have the solution of the d'Alembert type, one can find in [5 - 7]. The rigid bo-
dies of the system, with mass moments of inertia /;, are loaded by external moments
Mi(t). The moments of an equivalent damping, also loaded these bodies, are assumed
in the form:

(2)
Mm{t) = -Dteitt(x, t) for * = £,_!, i= 1,3, ...,N,

Afo,]v+i(0 = -DN+16N,t(x,t) for x = LN,

where Dt are the coefficients of the equivalent damping of viscous type, 0t angular displa-
cements of shafts, and comma denotes partial differentiation. Moments MDi act in se-
lected shaft cross-sections, and thus this aassumption allows to apply motion equations



APPLICATION  OF  WAVE M ETH OD ... 99

without dam pin g. M oreover, it is assumed t h a t displacem en ts an d velocities of shaft
cross- sections  are equal  t o zero  at tim e  in stan t t =   0.

U n der  above  assum ption s,  t h e determ in ation  of an gular  displacem en ts  a n d  velocities
of  th e  system  sh own  in F ig. 1 is reduced  to t h e solution  of wave  equation s, [7],

®i,n- c
2
(9

i
,

xx
+  ~-

2
- v—e

ltX
)  =  0,  1  =   1, 2, ..., N   (3)

X  —  O O £
with  boun dary  con dit ion s;

6
liX

~D
1
0

ut
  =  0  for  x = 0,

Jo,i- t®i- i,x  -   Jot@t,
x
  for  x  =  L i_ j,  t  =  2,4, ,.,,JV,

t
,n + GJoi&i,

x
- GJ

Olt
- i@t- i,x- Di®t,t*=  0  for  X - i n ,  :

*- 3, 5, ..., t f- l,
GJ

ON
0

N lS
- D

N +J
&n,t  =  0  for  x**L

N
,

0 ( _ 1 = 0 i  for  x =  L £ _ !,  f - 2 , 3,  ...,"JV

an d  with  initial  con dition s

6> i(xO)  =  0 M ( x ! O )  =  O,  / =  1, 2, ...,7V,  (5)

where  c 2 =  G/ Q. I n th e case  of  con stan t  polar  m o m en t  of in ertia  J
ol
  equ at io n s  (3)  be-

come  clasical  wave  equation s.

U pon  the in troduction  of t h e following  n on dim en sion al  quan tities

x  = xKk + l
2
),  .7 =  ct/ Q, +1

2
),  0, =  9,10a,  D

t
 =  A( / i + h W i  c),

M i  =  M i ( / 1 +  / 2 )
2 / ( J i© o C 2 ) ,  K

t
 =  J

pi
Q(I

t
+hVJ

lt
  E

t
 = JJJi,  (6)

.  B
t
 =  J,IIJP,I- U  h = hKh+U),  fat =  Joil'vi,  b

Oi
 = ł „ i/ ('i +  'a)

relations  (3) -  (4),  om ittin g  bars  for convenience, are

1 , t  =  0  for  x  =  0,

X  « Z , , _ i ,  /  =   2 , 4 ,  . . . ; i V ,

^ - ^ ^ J E ^ - E i D f i , ,,  =  0
fo r  ^  =   L i _ i ,  / =  3 , 5 ,  . . . , i V - l,

E
N +t

M
N +t

- 0
N
,

tt
- K

N
J

ON
E

N +1
0

N
,

x
/ E

N
- E

N +i
D

N +1
0

N tt
  = 0  for  x  =   L w ,

< 9(_!  =  6>,  for  x =  L , _ 1 ;  /  =  2, 3, ..., Af,

where  0
O
  is t h e co n st an t  value  of an an gular  displacem en t.

Th e  solution s  of th e  problem  (7), (8) an d  (5) a r e sought  in th e  fo rm

\ L
l

_ .
1

) - \   for  X -   1, 3,  ; . . , N - \.

&t(x, t) =  — L _ [fXt- x+L d+gtd+x- L di  for  i =  2, 4,  ..., N ,
X  —  D

oi

where  functions  (x- b
oi
)~

l
fi  an d ( x- ^ o .- ) ""1^  represen t  waves,  caused  by  a n  extern al

loading,  propagatin g  in t h e / - th shaft  segment  in the direction  con sisten t  a n d  opposite



100  A. PlELORZ

to  the  direction  of the x  axis, respectively.  In the  arguments  of functions  / (  and gt  it was.
taken  into  account that  the first  perturbation  occurs  in the  i- th.  shaft  segment  at  the  time
instant  t =  0 in the  cross- section  x  =  £ ; - i  or x  =  L

t
, respectively,  where  L

t
 =  / i + / 3  +

+   ., , + / {. F urthermore it is assumed  that the functions/   and g
t
  are  equal  to  zero for nega-

tive  arguments.  If the  function  J
oi
  is constant  and  equations  (7)  become  classical  wave

equations  then  the  sought  solution  (9)  consists  only  of the  sums  of functions / (  and g{
with  the  same  arguments,  [8,  9].

U pon  the  substitution  the assumed  form  of solution  (9) into  boundary  conditions (8),
upon  denoting  the  largest  argument  in each  equality  by z  and  using  the  function  (1)  to
the  description  of the variation  of polar  moment of inertia  one gets  the following  system
of  equations  for  unknown  functions  / (  and  gt:

2ld- r
u
g,(z- 21

t
)

)  for  ' - 2 , 4 ,  ,..,N ,

- '< 3, ( + i/ K2"2/ ( )- ''2, i+ i/ i( ^- 2/0

l
i
- h

+
i)  for  i =  1, 3, . . . , J V- 1,

fi  C?)+ f1i/ xC2) +   r 2i/ i(z)  =   C 1M l(z)- g']'(z) +  r 3 1 g; ( z ) -  r 2 1  Sl{z),

ft'to+rxtfiOfr+ratfi®  =   C
i
M

i
(z)- g'

i
'(z)  + r

3l
gl(z)  (10)

- i"2igi(z)+r
v
fl- i(z)  for  i =   3 , 5 ,  . . . , N - 1 ,

for  1 =  2, 4,  ...,N - 2
y

=   C
N
M

N +l
(z)- f'ń (z)

+r
3
,  N +ifh(z) -   r

2
,  / ( )

where:

r n  —  • i + i >  2i  i l o L >  3 i  i i ,

r
lt
  =   C Ł i - i - *o . i - Oa C Ł i - a - 6 o , i - i ) "8 + *,  » =   2 , 4 ,  ...,iV,

r 2 i  =  Ą ( Li - 1 - 6 o( ) "
1 - ( i / - i - *o , f -1 ) ( A - 2 - 6 o ,i - i . ) ~

2 ,  / ' =  2 , 4 ,  ..., jy,

r 3 i  = Ą - ( Li _ 1 - V f - i )
2 ( A - 2 - * o ,i - i ) "

2 .  / - 2 , 4,  ....JV.

r
4i
  =  2 ( £ i _ 1 - / b0 p i _ 1 ) ( Z , ; _ 1 - 0̂ ( ) ( A - 2 - ^ o ,i - i r

2

)  < -   2 , 4 ,  ...,N ,

rit  =  2 J B i ( A- i - 6 o , ( - i ) ( A- i - & oi r
1 ,  /  =   2 , 4 ,  ...,N ,

r
u
  =   I f + J i : l . 1 £ ( ( L ) - 1 - Ł ( ) , l _ l )

I £ r - i ^ - 2 - i o1 i - i r
2  +   Ą A,

f  —  3 , 5 ,  ..., J V—1,

/  —  3 ,  5 ,  . . . , i V — I ,

' ' a t  -   - ^ + 2 ^ ,  14 , .  - r
3l
- 2EtD

u
  i = 3,5,  . . . , N - l,  (11)

ftw  =   2 Ą _1 Ą ( Li _ 1 - &0 i £ _ 1 ) ( L i _ 1 - i0 i ) J E : r J 1 ( A _ 2 - Z) 0 , i _ 1 ) -
2 ,

/ =   3, 5,  , , ., JV—1,



APPLICATION   OF   WAVE  M ETH OD ...  101

)(- Ł (- i- &o()"18  '  -   3, 5,  ...,N - l,

• "2,w+i  —  —K
N
E

N
^

t
E

N
  (L u- i—bom)  (L

N
—b

0N
),

>'3,N +L   —
  ł

'l,N +l~2E
N +1

D
N +1

,

C t - Ą ( Ą - i - 4 o ł ), / -  1,3, ....JV- 1,

Ci- s- JSl+l(ii- 6o0i / - 2, 4, ...,# •
Equations  (10)  are  differential  equations  with  constant  coefficients,  however  the

arguments of several  functions  of the  right- hand sides  of  these equations are shifted.  These
equations  can  be  solved  numerically  by  means  of  the finite  difference  method  or  analy-
tically, as it was presented in  [8, 9] for  a drive system with a constant shaft  cross- section.

2.2. Numerical results.  N umerical  calculations  for  nondimensional  angular  displace-
ments  &{x, t)  are  carried  out  in the  case  of  a  two- mass  drive  system.  The  method  of  fi-
nite  differences  with  Az  =  0.025  is  applied  in  order  to  solve  equations  (10)  for  N   =   2,
and  next  displacement  functions  are  determined  according  to  formulae  (9).

The  two- mass  drive  system  is  characterized  by  the  following  nondimensional  para-
meters,  (6):  U  =   l

2
  =  0.5,  K

t
  -   0.01,  E

t
  =   0.1,  £

2
  =   0.8,  1.0,  1.25,  D

t
  =   D 3  =   1.0,

the  parameters  b
oi
  =   —20,  —1000,  b

02
  =   b

ol
  — l

x
  occuring  in  formula  (1),  and  <90 =  1

[rad],  c  <•   5000  [m/ s]. The  effect  of  the  quotient  of  polar  moments  of  inertia  of  shaft
segments  B

2
  =  J

P
2lJ

P
i  is  investigated  for  the nondimensional external moments My{t)  —

7- 10-5exp(- 0.0044?)- sin (^/ 70)  and  M
3
(t)  =   0.  D isplacements  0(x,t)  are  plotted

out in Fig. 2 for  the three selected  shaft  cross- sections  x  =  0, 0.5,  1.0  and for  b
Ql
  =   —20,

—1000. It follows  from  F ig. 2 that for  any time instant differences  between  displacements
for  moderately changing shaft  cross- sections  with  b

01
  =   —20  and b

01
  =  —1000 are small,

and  that  the  effect  of  the  quotient  B
2
  =   J

P2
JJ

P
L   on  displacements  is  most  observable  in

the  cross- section  x  =  0.5.
In  the case  of  a  two- mass  drive  system  the  effect  of  the lengths  of  shaft  segments  on

displacements  &(x,  t)  was  also  considered,  namely  for  the  lengths  of  shaft  segments
h  =  0.2,  0.4,  0.6,  0.8,  / 2  =   1. 0- h,  and  for  K±   = 0.01,  1.0  and  B2  =   1.25.  All  calcu-
lations  indicated  that  this  effect  on  angular  displacements  in  shaft  cross- sections  under
consideration  was  inconsiderable.  F or  this  reason,  the  appropriate  diagrams  for  displa-
cements  are  not  presented  in  the  paper.

3.  Comparisons

The  method,  proposed  in  the  paper  for  investigations  of  drive  systems  torsionally
deformed, takes into account all ref lectons of waves  during the work  of the drive system  and
leads  to solving  ordinary  differential  equations with a retarded argument. These  equations
are derived under the assumption that equivalent  damping may be considered  in boundary
conditions. In real  systems  damping is  distributed  continuously. F or the present, methods
for  solving  appropriate  motion  equations  with  damping  are  not  sufficiently  effective  to
be  used  in  investigations  of  discrete- continuous  models  of  drive  systems.  A  comparative



1

0.002

6

0

0.002

Q

0

b0=- iooo

/

/

•   /

/ /

/

b O] - 2O

/

/

i/ /
/

/ ^N ^- B2 = 1 . 2 5

^ ^  2 = 1

! ^  ^- B2=0.8

100

ML  vV\   D  T

.B^O.8  \

/   2=125  / tŹ \̂

1U0

10- 4

0.

- io -4

n.   ^
\1OO  /   t

x=0  /

~B2=1.25  / *  =

io- 4

n
U

- io -4

t

A-   AX

x=0  /

^- B2 = 1 2 5  /

t

/

.5

t

.5

F ig.  2.  D isplacement  diagrams  for  a  two- mass  drive  system

[102]



APPLICATION  OF WAVE  METHOD...  103

analysis for the  dissipative  wave  equation  and  the  classical  wave equation  with  the  equiva-
lent damping is performed in the case of a unilaterally fixed rod with a constant cross-
section. Also for simple systems, results obtained by means of the wave method is com-
pared with appropriate results obtained by means of the rigid finite element method and
the method of separation of variables.

3.1. Damping in dissipative wave equation and equivalent damping. The solution of the,' dissi-
pative wave equation is now compared with the solution of the classical wave equation
with the equivalent damping. The comparison is accomplished for the rod right-handly
fixed the free end of which is loaded at time instant t = 0 by a constant torque, Fig. 6
with 7 = 0 .

3.1.1. Solution for dissipative wave equation. The discussion of the system under consi-
deration, Fig. 6 with / = 0, taking into account the damping continuously distributed
is reduced to solving the dissipative wave equation, which in appropriate nondimensional
quantities analogous to (6) has the form:

©,tt+2h6,t-0,xx = O, (12)

with the following initial conditions:

<9 = 0 ( = 0 for * = 0 (13)

and boundary conditions:

&,x = -Mo for x = 0,

0 = 0 for # - l , ( 1 4 )

where h is a nondimensional damping coefficient, Mo is a nondimensional constant tor-
que, and bars are omitted for convenience.

Upon the introduction of the transformation:

0 = Q-"fv (15)

equation (12) takes the form:

v,t,-v,xx-h
2v = 0. (16)

• By executing the Laplace transformation relations (16), (14) are:

(^-/^--g- = 0, (17)

v = 0 for x = l and ~+M0 = 0 for X - 0, (18)
dx

where by wavy lines the Laplace transformation of suitable functions are marked.
The solution of equation (17) for conditions (18) has the form:

n=0 k=0

where xkn = (-l)
kx+2(k+ri).

Upon the retransformation and the use of relation (15) the solution of equation (12)



104  A.. PIELORZ

is  the  following  function:
CO  1

(x, 0 = M o 2 2 (-l)k+"H(t-xJ f t-h*I0Qi(z>-xl^)dz, (20)22
n=0fc=0  0

•where 70(x) is the Bessel function.  From formula  (20) it is seen that it is more  comfortable
to  consider  the derivative  of function 0(x, t) with respect to time. This  derivative  has the
form:

it(x, t) = Mo ]? ]? ( - I f ^ - i j e -
1 " ^ ^ - ! ^ ) = (21)

where H{t) is the  Heaviside  function.
3.1.2. Equivalent  damping. The  discussion  of the fixed  rod to the free  end  of  which

a  constant  torque  and an  equivalent  damping  moment  are applied  is reduced, in nondi-
mensional quantities, to solving the equation

© . « - * . » - 0 (22)

with initial conditions (13) and with the following boundary conditions:

# , * = - M o + £ 0 , t for * - 0 ,

0 = 0 for x - 1 ,

where D is a nondimensional coefficient of equivalent damping.

For the solution of the form:

&(x,t)=f(t-x)+g(t+x), . (24)

we have

,(,) = - / ( z - 2 ) ,

r(z)(l+D)= M0 + (l-D)g'(z),
 V J

from where:

r(z)=w2(-])ft(4ST for 2n ^z < 2(w+1)- (26)
For example for cross-section x = 0 and for 2n ̂  t < 2(« + l)

)" (27,

Function (27) is a piece-wisely constant function.
3.1.3. Numerical results. In Fig. 3 are shown diagrams of velocities in cross-sections

x = 0 and x = 0.5 of the considered rod for damping coefficients h = D = 0.1, 0.2 and
0.5 and for Mo = 1.0 obtained according to formulae (21) (continuous lines) and for-
mulae (26) (dashed lines). From Fig. 3 it follows that velocities obtained for the equiva-





106  A..  PIELORZ

lent  damping  in  successive intervals  of time beginning  with  even  numbers  are  approxima-
tely  average  velocities  obtained  for  the damping  continuously  distributed.  Moreover,
results  for  the  both  types  of damping  coincide for  /  > 8. Analytical  formulae  are  consi-
derably  simpler  in the case  of  the  equivalent  damping.

3.2.  Wave method and rigid finite  element method. The  comparison  of  the. wave  method
with  the rigid finite  element method is peiformed  for angular  displacements of an undam-
ped  two- mass  drive  system  with  constant  cross- section,  Fig. 1 for N  = 2, J

Q1
  =  J

Q2
 =

const  and M
Di
_{t)  =  M

D3
(t)  =  0. The  system  is loaded  by the  external  moment  applied

to  rigid  body  (1), which  is  described  in nondimensional  quantities  by function M
±
(t)  =

0.00001 sin (nt/ 4).  In calculations K
t
  =  0.1 and E

3
  = 0 . 1 ,  (6),  are assumed.

The  motion  of the  drive  system  under  consideration  using  the  method  proposed in
the  paper is described  by equations  (10)  with b

01
  - >•   — oo. Displacements  ©{x, t) of  shaft

cross- sections  of the  drive  system  for x =  0, 0.5,  1.0 are  obtained by means of the  finite
difference  method with Az  —  0.025.  D iagrams  of these  displacements  are shown  in Fig. 4.

M otion  equations  for  the undamped  two- mass  drive  system  using  the rigid  finite
element  method  have  the  form, [10],

- 6>,+ 1) =  0  for  /  =  2 , 3 ,  ..., N ,  (28)

Y
R
O]

H
N +

  Al
  (-

H
ii- i+"n)  =   ,

where A* is the  number  of finite  elements, lengths  of extreme  and  remaining  elements  are
Al/ 2  and Al respectively,  JR0  =   JOIQAI  and 0i is the displacement of the i- th element.

Introducing  the appropriate  nondimensional  quantities  (6) equations  (28) take the
form:

r
4
(- 0

i
_

1
+20

i
- e

i+1
)^ O  for  * -   2, 3, ..., JV- 1,  (29)

0N.t+ eK) =  0,
where:  r

x
  =  1+AIKJ21,  r

2
  =  AlKJl,  r

3
  = AIKJ21+1/ E3,  r 4  =  KJjń l,  and bars  are

omitted  for  convenience.
D isplacements  <9(-  for finite  elements  are obtained  from  equations  (29)  by  means of

the  Runge- Kutta  method  with  At =  0.01  and  initial  conditions:

<9((0) =  0,(0)  -   0.  (30)

D iagrams  for  these  displanements,  in nondimensional  time,  are shown  in  Fig.  5 taking
into  account  5 finite  elements.

F rom  the comparison  of  the  displacement  diagram  for  the cross- section  x =  0 in
F ig.  4 with  the  diagram  of function  &,,  in Fig. 5 it follows  that the character of the both
curves  is  similar,  and that  the suitable  maximum  displacements  obtained  by  means of
the  both  methods  differ  from  each  other by about  8 per  cent.  However,  the displacement





108  A.  FlELORZ

curves  of cross- sections x  <=  0.5 and x =  1.0 do n ot  differ  practically  from  corresponding
curves 0

3
, 0

S
  presented  in F ig. 5. Additionally  one  may  note  that  the  execution  time of

n um erical  calculations  is much longer  when  the rigid finite  element method is applied.

3.3.  Wave method and  method of separiation of variables.  In  this  section  the  forced  vibra-
tion s  of t h e  un dam ped  system  shown  in Fig.  6 is considered  using  wave  solutions  of mo-

M - ^ \ \

0  1
F ig.  6. Simple mechanical  system

tion equation s and the  method of separation  of variables.  In the  both  cases  displacements
of  cross- section x = 0  are determined  (i.e.  for the cross- section  where  the rigid  body  is
attach ed  t o  t h e rod),  and the  amplitude- frequency  curve  is  plotted  out for  th e nondi-
m ensional  external  m om en t M(t)  =  a

o
sinpt.  The rod is  characterized  by  polar  moment

of  in ertia J
o
,  shear  m odulus G,  density Q and length /.

3.3.1.  Wave solution.  The determination of  nondimensional displacem en ts]^  the elastic
element  of  th e  system  shown  in F ig. 6 is  reduced  to solving  motion  equations  (22) with
initial  con dition s  (13) and the following  boundary  conditions:

M(t)- 0
>tt

+K0,
x
<=Q  for  *  =   0,

0  =  0  for  x = l ,

where bars, denoting nondimensional quantities, are omitted for  convenience and K  =  J
o
 gh

Substituting  (24) in to  boun dary  conditions  (31) we  h ave:

-   a
o
ń npz+f"(z- 2)- Kf'(z~2)

!

g(z)  =   - / ( z - 2 ),  ( 3 2 )

where  function  / (z)  is  assumed  t o  be  zero  for  negative  arguments.  Equations  (32)  are
solved  numerically  by  means  of  t h e finite  difference  method.

3.3.2.  Method of separation  of variables.  The  solution  for  the  forced  vibrations  of the
un dam ped  system  presented  in  F ig. 6  is  now sought  in  the  form:

6(x,  t) -   JjT  T
n
(t)®

n
(x),  (33)

where  T
n
 are un kn own  functions  depending  on time, and (9,, are eigenfunctions  which are

determ in ed  from  equation  (22) with  boundary  conditions  (31) for  M(t)  =  0.  We  have
t h en ,  an alogously  as  in  [A],

&()  i „ . r  cosa>„x,



APPLICATION   or  WAVE  M ETH OD ...  109

where co
n
  are natural frequencies,  and y\   can be  obtained  from  an  orthogonality  principle

for  the discussed  example  when  eingenfunctions  are  assixmed  to  be  identical. As  it  is  seen
from  (34)2  a nonintegral  term appears  in the orthogonality  principle.  Such  a  term  occurs
in the case  of  discrete- continuous  systems.  F or such  systems  it  is  more convenient  to  use
Lagrange  equations  in  coordinates T „:

^ = ^ ) ,  » - 1 .2  (35)
8 f

where H„ are  generalized  external  forces  corresponding  to  coordinates T
n
  and  they  are

determined  from  the  expression  for  the  work  of  an  external  loading  on  an  infinitesimal
displacement 6©(x, t).  In  the  case  under  discussion  the  loading  acts  in  cross- section

Energies E
k
  and E

p
  in  nondimensional  quantities:

lake  the  form,  [4],

( 3 6 )

where  bars  are  omitted for  convenience,  and the  Lagrange  equations  remain  in  the  form
<35).

U pon  the  substitution  (33)  into  (37)  and  upon  proper  transformations  we  get:

CO

K
" 2

« =  i

(38)

K

Substituting  (38)  into  (35)  we  have:

,  1
n- nvj  K y i

  nKJ

I n  the  case  of  an  external  loading  applied  in  cross- section  x  =  0,  [4],

(39)

H
n
(t)  -   M(t)6M  -   - —  M O .  (40)

and  equation  (39)  for  M{t)  =   a
o
ń npt  has  the  following  solution



A.  PlELORZ

Displacement &(x, t)  is  then  calculated  according  to  the  formula

j)  x

IK
i

(42)

3.3.3. Numerical  results.  Numerical  calculations  are  concentrated  on  the  amplitude-
frequency curve for the cross-section x = 0 with K = 0.5 and a0 = 1-0. This curve on
the base of the Lagrange equations for the undamped system can be easily determined
from the formula (42). However, when the wave method is used the points of this curve
are obtained from numerical solutions of equations (32) in the region of steady motion.

In Fig. 7 results obtained on the base of formula (42) are marked by a continuous
line. According to this formula, the vibration amplitude is infinite for the frequencies

A

- 2

- 4 -

4 P

Fig. 7. Amplitude-frequency curve

of the external moment being equal to the successive natural frequencies of the system,
because in the denominator of formula (42) differences ton— p occur. In the considered
example co± = 0.654, co2 = 3.293, a>3 - 6.362.

In Fig. 7 results obtained using wave solutions of motion equations are marked by
stars for p smaller than the second natural frequency. It follows from Fig. 7 that stars
lie practically on the continuous curve. However, from numerical calculations it follows
that for p being equal to the first natural frequency and in the neighbourhood of this
value the vibration amplitude is not infinite, because expressions (con— p)'

1 do not occur



APPLICATION   OF   WAVE  M ETH OD ...  H I

when the finite  difference  method is  applied  for  the  solution  of  equations  (32). It  appears
moreover that the value  of the amplitude for  the resonance frequency  is sensitive  to  a nu-
merical  integration  step  and  there  are  some  difficulties  in  its  exact  determination.

4.  Final  remarks

The  method applied in the paper, based  on the use of wave solutions  of suitable motion
equations,  allows  to  determine  displacements,  strains  and  velocities  in  arbitrary  shaft
cross- sections  of  drive  systems  modelled  by  means  of  rigid  bodies  and  elements  torsio-
nally  deformed.  These  systems  can  be  loaded  by  periodic  and  nonperiodic external  for-
ces.  Using  this  method  variable  cross- sections,  finite  lengths  and  equivalent  damping
can  be  taken  into account.

F rom  comparisons  for  simple  systems  it  follows  that  1) the  substitution  of  damping
continuously  distributed  by  an  equivalent  damping  leads,  beyond  a  short  initial  time
interval,  to  practically  the  same  results,  2)  maximum  values  of  displacements  for  the
cross- section  in  which  the  external  loading  is  applied,  obtained  by  means  of  the  wave
method  and  the method of rigid finite  elements differ  by  8 per cent, while  suitable  curves
coincide  practically  for  remaining  considered  cross- sections,  and  the  execution  time  of
numerical  calculations is  considerably  shorter when the wave method is used,  3) the appli-
cation  of  the  wave method in the investigation  of forced  vibrations  for  undamped  systems
does  not  lead  to  infinite  amplitudes.

It  should  be pointed out that the wave method in the  presented form  leads  t o  solving
simple  mathematical  relations  and  it  is  more  effective  than  other  methods  for  conside-
rations  of  discrete- continuous models of  drive  systems  undergoing torsional deformations.

References

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10.  J.  KRU SZEWSKI  i  inni,  Metoda  sztywnych  elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa  1975.



112  A.  PlELORZ

P  e 3  io  M e

H CnOJIBSOBAH H E  BOJIH OBOrO  METOflA  B  HCCJIEflOBAHHflX
CH CTEM   H   ErO  CPABHEHHE G  flPiTH M H  METO.Ę AMH

B  pa6oT e  npe,tpio>KeH o  BOJIKOBOH   iweTofl flJM  flH H aM iwecKH X accnefloBanH H
n o i i  Moflejiił   npH BoAH oii  CHCTeMbi  c  I:OC TOH H H Ł IM H   H  nepeMeniibiMH   C C I C H H H M H   najioB  riepenocainH x
CKpyMHBaraiUHH   M OM CH T.  3aTyxaH «e  B MccJiefloBamioH   CHCTeivie ŷ iaTUBaiOTCH  n p n
aaiyxaH WH   fleiicTByjomero  B  H 36paH H Lix  ceqCHHHX  npH BOfla3  MTO  flonycKaeT  npHMeHHTB

Merafl  cpaBH eno  c  flpyra.M H   iweToflaMH   Ha  npiiM epe  H 36paH H bix  n pocTbix
TopcH om io  fleiJ)opM H poBaH H bix.  HiweHHO,  ij'H K'1'11131106  3aTyxaHHe  cpaBHeHO  c  3aTyxaHHeM   HenpepHBHo
pa3Jio>KeimoM   H  n ojiytieH iiŁ ie  n p H   n om oupi  BOJIH OBOI- O  M doAa  pe3yju>TaTbi  cpaBHeHO  c  cooTBeTCTByio-

pe3yji&TaTaMH   nonyyeHHWMHi n p H   noMomw  ivieiofla  IKSCTKH X  KoiieiiH H x  ajieMeHTOB  H  MeTofla  pa3-
nepeM eH H bix.

B  flanH oii  (JiopMe  BOJI H OBOH   MeTOfl  Befl&r  flo  n p o d b i x  MaTeMaTH^ecKHX 4)opi«yji.  Kpoiwe  Toroj H3
cpaBH eimft  n p o d b i x  CHCTCM  cn eflyer,  ^ T O  OH   6ojiee  3{J>eKTHBei-i  qeM   flpyrne  M exoflu  aHajiH3a  CH deia
n epeH ocn m H X  C KpyiH Baiouiyio  n arp y3K y.

S t r e s z c z e n i e

• WYKORZYSTAN IE  M E TOD Y  F ALOWEJ  W  BAD AN IAC H   U KŁAD ÓW  N APĘ D OWYCH,
P ORÓWN AN IE  Z  I N N YM I M E TOD AM I

W  pracy  zaproponowano  metodę  falową   do  badań  dynamicznych  dyskretno- cią gł ego  modelu ukł adu
napę dowego  poddanego  odkształ ceniom  skrę tnym,  o  stał ych  i  zmiennych  przekrojach  wał ów.  Tł umienie
w  badan ym  ukł adzie  uwzglę dnione  jest  poprzez  tł umienie zastę pcze  dział ają ce  w  wybranych  przekrojach
wał u,  co  umoż liwiło  przyję cie  równań  ruchu  bez  tł umienia.

P roponowaną   metodę   porównano  z  innymi  metodami  n a  przykł adzie  wybranych  prostych  ukł adów
odkształ canych  skrę tnie.  M ianowicie, tł umienie zastę pcze  porównano  z  tł umieniem rozł oż onym w  sposób
cią gł y,  oraz  wyniki  otrzymane  za  pomocą   metody  falowej  porównano  z  odpowiednimi  wynikami  uzyska-
nymi  za  pomocą   metody  sztywnych  elementów  skoń czonych  i  metody  rozdzielenia  zmiennych.

W  podanej  postaci  m etoda  falowa  prowadzi  do  prostych  zwią zków  matematycznych.  P onadto  z do-
konanych  porówn ań  dla  prostych  ukł adów  wynika,  że jest  efektywniejsza  od  innych  metod  przy  dyskusji
.ukł adów  poddanych  odkształ ceniom  skrę tnym.

Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 20 stycznia 1987 roku.