Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf


M E C H AN I K A
TE OR E TYC Z N A
I  STOSOWAN A

1,  26,  1988

TH E  KORTEWEG - DE  VRIES  EQU ATION S FOR  WAVES  PROPAG ATION   I N
AN   IN F IN ITE  TU BE

KRZYSZTOF   MURAWSKI

Agricultural Academy,  L ublin

1. Introduction

In  recent  years,  there  has  been  growing  interest  in  the  partial  differential  equations
which  govern  wave  phenomena  on  the basis  of  the reductive  Taniuti- Wei's  [1], the  mul-
tiple- scaling  [2], the  Lagrangian  [3], and  Shen's  [4] methods. Amongst  them, the  number
of  equations  appeared  on  linear  waves  in  tubes  [5 -  9]. It was  shown  th at  in  the  absence
of  dissipation  of  energy  the  fundamental  set  of  nonlinear  equations  for  the  irrotational
motion of waves in a liquid filled  a tube can be reduced to the Korteweg- de  Vries equation
[10]. Also Burgers  equation was  obtained for  dissipative systems  [10 - 12]. In  1968  Johnson
[13]  introduced  the  so- called  Korteweg- de  Vries- Burgers  equation  for  a  wave  propaga-
tion on an elastic  tube containing a viscous fluid  which  may  be regarded  as  a simple  model
of  an  artery.  Recently  the  discussion  of  an  incompressible  fluid  that  is  confined  within
an  infinitely  long  circular  cylinder  with  thin walls of  elastic  rings  leads  to  the  Korteweg- de
Vries  equation  [14] which  also  may  be  obtained  in this  case  via  Lagrangian  method  [15].

The main  purpose  of  this  note is  to broaden  Lamb  equations  [14] to  allow  compressi-
bility  of  fluid  and  to  take  more  realistic  model  equation,  describing  motion  of  a  tube
wall,  into  consideration.

The  organization  of  this  note  is  as  follows.  In  the  next  Section  fundamental  sets  of
equations  are  presented.  Section  3  and  4  deal  with  derivation  of  the  Korteweg- de  Vries
equation  for  a  tube  with  elastic  rings  and  the  Korteweg- de  Vries  equation  with  varying
coefficients.  Section  5 presents  construction  of  the same  equation  via  the  multiple- scaling
method.  Last  Section  is  devoted  to  the  short  summary  of  this  note.

2. Physial models

In  this  note we  consider  the  one- dimensional  irrotational fluid  waves  of  characteristic
amplitude  /  and  characteristic  length  X in  an infinitely  long  tube  with  thin walls  of  elastic
rings  and  a  diameter  2a  to  take  into  account nonlinearity  and  dispersion  of  medium  on
the  assumption  that  /  <̂   2a  <ś  k  The  tube  wall  is  assumed  to  be  incompressible  and  we

8  M ech.  T eo t et .  i  Stos.  1/ 88



114  K.  MURAWSKI

ignore  axial  motions  of  the  wall  and  bending  moments  are  neglected.  Then  we  take  as
the  set  of  relevant  basic  equations:

—  equation  of  continuity,

(eA)t+(QAV)x  = 0,  (2.1)

—  Euler's  equation,

Vr + VVx +  j P x  = 0,  .  (2.2)

—  Newton's  equation,

^ ^ J^L^Q = 0. (2.3)
a2Qm  Qmh

  F  Qmh

—  equation  of  state,

Q  =  Q(p) =  D p , D  =  c o n s t . ,  (2.4)

where  we used  the  following  notations:  Q — liquid  density,  A — area  of  the  crossection,
V—liquid  velocity,  a — tube  radius  at  the  undisturbed  uniform  state,  q  —density
of  the  tube  material,  E — Young's  modulus  in  the  circumferential  direction,  p —  liquid
pressure,  q — outside  pressure.  The  subscripts  x  and  t  imply  partial  diferentiation.

T h e  other  model  equation  governing  motion  of  a  tube  wall  without  rings  as  a  linear
viscoelastic  solid  characterized  by  its  relaxation  time  was  that  employed  previously  in
[16]  and  for  our  aim  m a y  be  written  in  the  following  form

Eh  Qh3  Eh  n
+h  ~p  =  ( i ^ ) a  ~q>  ( 2 ' 5 )J2  • **«  r  (l—v2)a

where: v  is  a  Poisson's  coefficients  and  r  is  a  tube  radius  at  the  disturbed  uniform  state.
We  define  two  dimensionless  small  parameters,  namely:

la  I  •
8  =  —j~,  o  =  ­,  (2.6)

which  measure  the  weakness  of  dispersion  and  nonlinearity,  respectively.  The  Korte­
weg­de  Vries  equation  will  be  derived  on  assumption  that  d  =  e2.

3.  Derivation  of  the  Korteweg­de  Vries  equation  for  tube  with  rings

Our  primary  aim  is  to  derive  an  approximate  single  equation  from  the  fundamenta
set  of  equations  (2.1) ­  (2.4).  For  this  purpose  we  apply  the  reductive  Taniuti­Wei's
method  [2]. Assuming  that  A,  V, p  are  slowly varying  functions  in  a reference  frame  mo­
ving  with  the  speed  Vo,  we  introduce  the  following  coordinate­stretching:

Ł­e(x­Vot),  r=et.  (3.1)

In  new  coordinates  ft  T,  equations  (2.1) ­  (2.4)  may  be  rewritten  in  the  form

s2(pA)T  ­  VQ(pA)s + (pAV)t  =  0,  (3.2)

=  0 ,  (3.3)



THE  KORTEWEG­DE  VRIES  EQUATIONS...  115

E
  A

  2na
  Jt(2aq —

^ : i j i  l h  ­  °<fi3>­  <3­4>
On the other  hand,  since  we are concerned  with  weak  nonlinear  waves,  we expand the
dependent  variables  as power  series  in  d  around  the undisturbed  uniform  state:

P  =  q+dPi+  • • • ,

V­Wt  + d*V2+  ....  (3.5)
A ­  ^ 0 + ^ ! +  ....

Substituting  (3.5) and Ł2 =  8 into  the above  set of equations  (3.2) ­ (3.4)  and equating
all the coefficients  of the  various  powers of e to zero, we have the equations:

qA0  Vu~  Vo(AoPli  + qAit)  =  0,  (3.6)

PH­qVoVyf=0,  (3.7)

EhAi­lTKfpi  = 0.  (3.8)

Hence,  we obtain

4­T8T*i.  (3.9)

(3.11)

Finally,  from  e4, the second­order  perturbed  terms  can be eliminated  and the compati­
bility  condition  (3.11)  gives  rise  to the Korteweg­de  Vries  equation  for px

PIT+PpiPu+«Pi  tu  =  0.  (3.12)
The  nonlinear  /S and the dispersive  a. coefficients  are described  by the formulae

(3.13)
Ehq(Eh+2aq)

4.  Derivation  of  the  Korteweg­de  Vries  equation  with  varying  coefficients

We consider now the fundamental  set of equations  (2.1), (2.2), and (2.5) which  describe
wave  propagation  in  an infinite  thin­walled  tube  without  rings  neglecting  bending mo­
ments  and axial  motion  of the tube  wall.  We assume  that  the undisturbed  radius  a is
varying  slowly  along  axial  direction  and rewrite  the above  mentioned  equations  for  Q =
const.  =  0O in the following  form:

Qo(Vt + Wx) + (Br)x  + Qohr^—^—  rxxxt, ­  Cx = 0,  (4.1)

(r*)»+(HFfc.-O, (4-2)



I j g  K .  MURAWSKI

where  we in troduce  the  n otation :

Eh
B

We investigate  ingoing  solutions of equations  (4.1)  and  (4.2) in the  small  amplitude appro-
ximation  using  the  same  reductive  method.  Because  a =  a(x),  we  introduce the  following
coordinate- stretching  of  the  reference  moving  frame:

-  J f  dX
U  To (4.5)

ł }  =   83'2X.

N ow  V
o
  is a function  of x. We  take  e2  — d into  consideration.  Expansion  of  /• ,  F   into

power  series  of  the  same  parameter

r= e n+ W2 + . . . ,
  ( 46)

leads  to the decomposition of equations  (4.1) and  (4.2) establishing  the relationship  among
the  first- order  perturbed  quantities  from  collecting  terms  by s:

F rom  the  second- order .equations  e 2,  the  compatibility  condition  give  rise  to the  Korte-
weg- de  Vries  equation  with  varying  coefficients

Viiit  = l^Vo -̂ -̂ Ba^V,.  (4.9)

5 .  Derivation  of  the  Korteweg- de  Vries  equation  via  multiple- scaling  method

Our  next  purpose  is  to apply  the  multiple- scaling  method  [2] to derive  the  Korte-
weg- de Vries  equation  which  describe  small  amplitude  and  long  waves.  The  fundamental
set  of  equations  (4.1)  and (4.2)  may  be rewritten  in the  following  form:

V
t
+VV

x
  + r

x
 + r

xu
  + r

xxxtt
  =  0,  (5.1)

( r a ) t + ( r »F ) *- Of  (5.2)

where  dimensionless  variables  are introduced  by the  transformations:

i r v -   (i3)
I n  equation s  (5.1)  and  (5.2)  we introduce  the  multiple  spatial  and  temporal  scales  x„  =
s"x  an d  t

n
  — s"t for n  =  1, 2,  ... The  dependent  variables  are  expanded  around  the undi-



T H E  KORTEWEG - DE  VRIES  EQU ATION S...  117

sturbed  un iform  state  in t o  t h e  asym pt o t ic  series  in  term s  of  t h e  p aram et er  d  by  writin g

<5"V  (5.4)

fis  th e  un disturbed  dim en sion less  radiu s  of  t u be.  T h e  derivative  o p erat o rs  a r e  co n sid ered
to  be  of  t h e  form

8  8 , 8

(5.5)
Bt  ~  8t,

+
  8t

2
'~'

ox  dXi  8x
2

Substitutin g  (5,5)  an d  (5.4)  in t o  equ at io n s  (5.1)  a n d  (5.2),  we  o bt ain  a  sequen ce  of  equ a-
tion s  by  equatin g  th e  coefficients  of  like  powers  of  s.  T h e  first  t h ree  sets  of  p e r t u r ba t io n
equation s  are  as  follows:

V
lt
,  + '\

Xl
  =   0,  (5.6)

2r
Ui

  + lV
1Xi

  =   0,  (5.7)

tl
  +  i'

1Xl
  -   0 ,  (5.8)

: 1 2 ^  +   / ~ F L S  =   0 ,  (5.9)

""• V  (5.10,

l
  (5.11)

F ro m  equation s  (5.6)  -   (5.9),  we  fin d

/ ) , (5.12)

Fi  =   Vi [x
2
 -   y \   t\   •  n  (fa),  rŁ  «  / !(f2) •   (5.14)

Th e  fourth - order  equ at io n s  (5.10)  an d  (5.11)  lead  t o  t h e  following  equ at io n  after  r em o -
vin g  secon d- order  t erm s  by  assum in g  t h a t  V

2
  depen ds  o n  x

t
  an d  t

t
  t h r o u gh  ^ :

~  \ 3/ 2

Âł «- °-   ( 5 J 5 )



U 8  K,  MU RAWSKI

/   'y

Transform ing  to  the  coordinate  system  moving  with  a  phase  velocity  l /   —  >  j  e - >

-   h,  r  =  t
3
,  (5.16)

we  can  obtain  th e  Korteweg- de  Vries  equation

)  P i ł M u - 0.  (5- 17)

6.  Summary

Basing  on  the  rigorous  developed  in  the  reductive  theory,  we  have  derived  the Kor-
teweg- de  Vries  equations  as  a  first- order  of  approximation  of  waves  in  an  infinite thin-
walled  tube  having  taken  into account the fundamental  sets  of  equations.  These equations
model  also  impxilse  propagation  in  an  a  arterial  system,  small  intensines  and  a  nervous
system.  Th e  problem  of  impulse  propagation  was  considered  via  various  methods  by
Scott  [17] for  th e nervous  system  and by  G reenwald et  al  [18] for  the arterial stenoses and
aneurysms.

T h e  formulae  (3.11),  (4.8), and  (5.16)  may  be  used  to  determine physical  parameters
such  as  Young's  modulus having  measured the velocity  of th e moving frame  [19]. Various
models  of  th e  tubes  m ay  be  tested  against  experiments.

Th e  Korteweg- de  Vries  equation  with  constant  coefficients  was  discussed  in  some
details to obtain N —  soliton  [20] and N —periodical  wave  [21] solutions. These equations
were  reviewed  for  water  waves  by  Johnson  [22].

Solution  of  th e  Korteweg- de  Vries  equation  with  varying  coefficients  was  considered
in  the context of a  solitary wave propagation  from one uniform cross section  of  a  symmet-
ric  trian gular  channel in to another through a transition region.  N umerical results  showed
th at  th e  solitary  wave  is  desintegrated  into  a  train  of  solitons  of  decreasing  amplitudes
[23].

The  auth or  would  like  to  express  the  sincere  thanks  to  the  referee  for  his  valuable
comments.

References

1.  T .  T AN I U T I ,  C. C .  WE I ,  Reductive perturbation method in  nonlinear wave propagation, J.  Phys.  Soc.
Japan  24  1968  941/ 46.

2.  T .  KAWAH ARA,  T he  derivative- expansion  method and  nonlinear  dispersive waves,  J.  Phys.  Soc.  Japan
35  1973  1537/ 44.

3.  T .  KAWAH ARA,  A  note  on  the  L agrangian method for  nonlinear  dispersive waves,  J.  Plasma  Phys.  18
1977  305/ 16.

4.  M .  C.  SH E N , X.  - C. Z H O N O , Derivation  of  K- dV  equations for  water waves in a channel with variable cross
section,  J.  M ecanique  20  1981  789/ 801.

5.  T.  YO U N G ,  Hydraulic  investigations,  subserviant to  an  intended Croonian  L ecture on  the  motion of  the
blood,  P h il.  T ran s.  R oy.  So c  Lon don  98  1808  164/ 86.



TH E  KORTEWEG - DE  VRIES  EQU ATION S...  119

6.  T. B.  M OOD IE,  D .  W.  BARCLAY,  R. J. T AI T , Pressure and  flow  pulses  in vi.icoelastic  arterial  models with
reflection sites,  Acta  Mech.  53 1984  57/ 72.

7.  R. J.  TAI T,  T. B.  M OOD IE, J. B.  H AD D OW,  On radial motion of  a  non- linear  viscoelastic tube, Q. Appl.
M ath.  17 1985  385/ 93.

8.  T. B.  M OOD IE, D . W.  BARCLAY,  S. E.  G REEN WALD ,  D . L.  N EWM AN ,  W aves  in fluid  filled  tubes;  theory

and  experiment, Acta  M ech.  54 1984 107/ 19.
9.  T.  B.  M OOD IE,  D .  W.  BARCLAY,  Propagation and reflection  of  waves in finite  length  liquid- filled dis-

tensible shells,  Acta  M ech.  56 1985  151/ 63.
10.  P. L.  BH ATN AG AR,  N onlinear waves  in one- dimensional dispersive systems, Claredon  Press, Oxford  1979.
U . K .  M U RAWSKI,  Homogeneous Burgers  equation for a  wave propagation  in an infinite  lube,  Acta  P hys.

P olon.  A61  1986.
12.  K.  M U RAWSKI,  Burgers equation for a wave propagation in an infinite stout- wall tube, Z .  N aturforsch.

40a  1985  952/ 54.
13.  R. S.  JOH N SON , D octoral  thesis,  U niv.  London,  London 1969.
14.  G .  L.  LAMB,  Jr., Elements of  Soliton  T heory, J. Wiley 1980.
15.  K. M U RAWSKI,  T he Korteweg- de  Vries equation obtained via  L agrangian  method for  a wave propagation

in  an infinite  tube, Z . N aturforsch.  40a 1985  955/ 6.
16.  T. B.  M OOD IE,  R. J.  TAI T,  J.B.  H AD D OW,  W aves in compliant tubes, F .  M ainardi(ed.),  R es. N otes in

M ath.  52 1982  124/ 68.
17.  A. C.  SCOTT,  T he vibrational structure of  Davydov solitons  Phys.  Scr. 25 1982  651/ 8.
18.  S. E.  G REEN WALD ,  D . L.  N EWM AN ,  T. B.  M OOD IE,  Impulse  propagation  in  rubber- tube analogues  of

arterial stenoses  and aneurysms, M ed. & Biol.  Eng. & Computing  M arch  1985  150/ 4.
19.  K. MU RAWSKI  J.  KU KIEŁKA, Determination of  Young's  modulus  in the circumferential direction to  the,

stalk  of corn,  submitted  to J. ASAE.
20.  R.  H IROTA,  in  „ Soliton s",  R. K.  BU LLU OG H ,  P. J.  CAU D REY  (eds.),  T opics  in  Current  Physics  17,

Springer- Verlag,  Berlin  1980.
21.  R. H IROTA, M . I T O , A direct approach to multi- periodic  wave solutions to nonlinear  evolution equations,

J.  Phys.  Soc. Japan  50 1981  338/ 42.
22.  R. S.  JOH N SON , W ater waves and Korte.weg- de  Vries equations,  J. F luid  M ech. 97  1980 701/ 19.
23.  X. - C.  Z H ON G ,  M .  C.  SH EN ,  Fission of  Solitons in a  symmetric  triangular  channel with  variable cross

section, Wave  M otion  5  1983 167/ 76.

P  e 3  K)  M  e

yPABH EH FLSI  K OP TE BE rA- flE  O P H 3 A  JSJ1K  PACriPOCTPAH EH KLSI  BOJI H
B  BECKOH E^IH O  flJIH H H OK  TP YBE

B  paG oTe  npHMeHeHo T eopm o  HejiHHeHHhix  BO J I H ,  ocH OBaimyio  Ha M eToae  p eflyr a n m  T a m o m - B ea

u  MeTofle  M H ornx n apaiweipoB  flnji  n on yieH H H  ypaBH em w  K opT esera- fle  <E>pn3a  H U H   pacn pocTpaH eH H a

HejiHHeftHbix  H  HHcnepcHOHHBix  BO JI H   B  Tpy6e.

S t r e s  z c z e n i e

RÓWN AN IA KORTEWEG A- DE VRIESA D LA  P R OP AG AC JI F AL  W R U R Z E O N I E SK O Ń C Z O N EJ
D Ł U G OŚ CI

W  pracy  zastosowano teorię   fal  nieliniowych opartą   na metodzie  redukcji  Taniuti- Wei  i  metodzie
wielu  skal  od otrzymania  równania  Kortewega- de  Vriesa  dla propagacji nieliniowych i dyspersyjnych fal
w  rurach.

Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  20  wrześ nia  1985  roku.