Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf M E C H AN I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1,  26,  1988 NUM ERYCZNE  OBLICZENIA  PŁAS KICH  LEPKICH PRZEPŁYWÓW  NADDŹ WIĘ KOWYCH  Z FALĄ   UDERZENIOWĄ STAN ISŁAW  WRZ ESIEŃ W ojskowa Akademia T echniczna R ozpatrzon o  n iektóre  przypadki  przepł ywów  gazu  lepkiego  i  przewodzą cego  ciepł o, wykorzystują c  ukł ad  równ ań  N aviera- Stokesa  oraz  równ an ia  cią gł oś ci  i  en ergii. R ówn an ia  zapisan e  w  n iestacjon arn ej  formie  rozwią zano  stosują c  m et o d ę   iteracji po  czasie  z  wykorzystan iem  m etody  dekom pozycji. Z bad an o  wpł yw  n iektórych  param etrów  m odelowan ia  n a proces  ustalan ia  się  prze- pł ywu  i  form owan ia  fali  uderzen iowej. 1.  Wstę p Przy  rozwią zywaniu  zagadn ień  n addź wię kowego  opł ywu  z  falam i  uderzen iowym i, stosowane  najczę ś ciej  rozdzielenie  obszaru  n a  obszar  strum ien ia  n ielepkiego  i  obszar warstwy  przyś ciennej  n ie zawsze  jest  przydatn e.  D la  m ał ych  i  u m iarko wan ych  liczb Reynoldsa  konieczn e  jest  rozpatrywan ie  cał ego  obszaru  przepł ywu  przy  zastosowan iu równań  N aviera- Stokesa.  Z agadn ien ia  oddział ywania  strum ien ia  zewn ę trzn ego  z warstwą przyś cienną,  przepł ywy  z  obszaram i  oderwania,  wzajemne  oddział ywan ie  warstwy  przy- ś ciennej  z falą   uderzen iową   wystę pują ce  n p.  we  wlotach  silników  sam olotów  n addź wię- kowych,  są  przykł adam i, dla  których  poprawn y  opis  zjawisk  m oż na  uzyskać  rozwią zując peł ne  równ an ia  N aviera- Stokesa. Aktualn ie  obserwuje  się  zn aczn y  wzrost  zain teresowan ia  n um eryczn ym  rozwią zywa- niem  równ ań  N aviera- Stokesa.  P oczyn ion o  też wiele  p ró b  zastosowan ia  ró ż n o rakich m etod  num erycznego  cał kowan ia,  n p .  [1],  [2],  [3],  [4],  [5]. P oczą tkowo  do  bad an ia  lam in arn ych  przepł ywów  lepkiego  ś ciś liwego  gazu  stosowan e był y jawn e  schematy  róż n icowe  [I ],  [2] pozwalają ce  budować  prost e i ekon om iczn e  algo- rytm y  dla  maszyn  cyfrowych  o mał ej  pojemnoś ci  pam ię ci  operacyjnej  i  st o su n ko wo  n ie- wielkiej  szybkoś ci  obliczeń.  Jedn ak  jawn e  schem aty  róż n icowe  wykazują   szereg  istot- nych  wad  m.in.  charakteryzują   się   warun kową   stabilnoś cią   co  znacznie  ogran icza  zakres ich  stosowania.  Wady  tej n ie  mają   niejawne  schem aty  róż n icowe,  ale  z  kolei  pro wad zą do  skom plikowan ych  róż n icowych  równ ań  algebraicznych  wymagają cych  d o ich ro z- wią zania  maszyn  cyfrowych  o b .  duż ej  pam ię ci  operacyjnej  i  duż ej  szybkoś ci  dział an ia. 136 S.  WR Z E SI E Ń Pewien  kompromis  moż na  tu  osią gnąć  stosują c  metody  pozwalają ce  ł ą czyć  prostotę i  ekonomiczność jawnych  schematów  róż nicowych  ze  stabilnoś cią   niejawnych. Jedną  z najbardziej  interesują cych  metod jest tu metoda dekompozycji, zaproponowana w pracy  [6], pozwalają ca  na sprowadzenie TV- wymiarowych  równań do cią gu jednowymia- rowych  równań,  co  pozwala  na  stosunkowo  ł atwe  stosowanie  niejawnych  schematów róż nicowych.  M etoda ta  ł ą czy  niektóre Z  zalet jawnych  i niejawnych  schematów róż nico- wych,  eliminują c  jednocześ nie  podstawowe  trudnoś ci  w  stosowaniu  każ dego  z  nich od- dzielnie.  Ponieważ, jednak  metoda ta  nie  ma jeszcze  peł nego  teoretycznego  uję cia,  przy wykorzystywaniu  nowych  wariantów  schematów  róż nicowych  wynikają cych  m.in.  ze sposobu  aproksymacji  pochodnych, aproksymacji  warunków  brzegowych,  rodzaju  siatki róż nicowej  itp., konieczne jest  testowanie  algorytmu  skonstruowanego  z  pomocą   danego wariantu  schematu  róż nicowego  z  równoczesnym  badaniem  granic  jego  stosowalnoś ci. W  pracy niniejszej  rozpatrzono naddź wię kowy  opł yw klina i dokonano analizy wpływu dysypatywnych  wł asnoś ci  gazu  n a  formowanie  się   pola  przepł ywu,  z  wykorzystaniem zachowawczego  schematu  róż nicowego  stosowanego  do  peł nych  równań  N aviera- Sto- kesa  [3]. Podobnego typu zagadnienie rozpatrywano w pracy  [7], jednak stosowany  tam schemat dekompozycji  przy  ustaleniu  (t —>  oo)  nie  miał   wł aś ciwoś ci  schematu  zachowawczego, co znacznie obniż ało  dokł adność otrzymanych rezultatów i  nie pozwalał o na  szczegółową analizę   wpł ywu  dysypatywnych  wł aś ciwoś ci  gazu. W  niniejszej  pracy, poprzez podwójne  przekształ cenie obszaru  cał kowania,  otrzymano algorytm  pozwalają cy  n a  ł atwą   zmianę   obszaru  cał kowania,  jak  również  zagę szczenie siatki  róż nicowej  w  obszarze  warstwy  przyś ciennej  w  zależ noś ci  od  liczby  Reynoldsa przepł ywu. 2.  Sformułowanie  zagadnienia Poszukiwać  bę dziemy  pola  ustalonego  przepł ywu  w  są siedztwie  pewnej  począ tkowej czę ś ci  L   klina  o ką cie  rozwarcia  2(9, na który napł ywa naddź wię kowy  strumień gazu lep- kiego  i  przewodzą cego  ciepł o  (rys.  1). R ys.  1.  Obszar  cał kowania  w  kartezjań skim  ukł adzie  współ rzę dnych MODELOWAN IE  PŁASKICH   LEPKICH   PRZEPŁYWÓW  137 N umeryczną   an alizę   zagadn ien ia  przeprowadzim y  n a  podstawie  rozwią zań  peł n ych równań  N aviera- Stokesa  w  pewn ym  obszarze  P  ogran iczon ym  brzegiem  ć )F,  zapisan ych w  prostoką tn ym  ukł adzie  współ rzę dn ych  (x,y).  Wprowadzim y  bezwym iarowe  wiel- koś ci -   x  _  v  -   t • «»  _  u  _  v L i  *- >  L -   M m  lico 7 7 -   e  T - 3 " ' 0 "  „ _  .P  .  7 7 - - "  3  "  r M \ Q  ~  ~r~>   x   -   7Ź 2.  >  P  -   -   " a  J  M   : —>  ^  =   — - .  (2.1) Ł'oo  M o o  t o o  "o o  / "o o  - ^oo gdzie: i  —  czas, u  v  —  rzuty  wektora  prę dkoś ci  odpowiedn io  n a  oś  x,  y, g —  gę stość  gazu, T —temperatura  gazu, p —  ciś nienie  gazu, ji  —  współ czyn n ik  lepkoś ci  dynam icznej, K —  współ czynnik  przewodn oś ci  cieplnej  gazu, Re —  liczba  R eyn oldsa  przepł ywu, P r  —  liczba  P ran dt la, c p —ciepł o  wł aś ciwe  gazu  przy  stał ym  ciś n ien iu. U kł ad  równ ań  dla  ś ciś liwego  gazu  zapiszemy  w  postaci dt  8x   w  J   '  dy 8 dt 8  8v  8  8u  8  8v 8x  8y  8y  8y  dy  8x 8 dt   vt '  '  8x   v s  J   dy   v e   dp  R' y  y  - 1  (2.2) 1  /   d  8T '  R e P T  \ ~8x~  M  T x  +  8y i  r 8 Re _  8T \ 138  S.  WRZESIEŃ 8  dv  •   8  du  8  du Bx   r  8x  8x  By  By r  By 8  dv  8  ,. ... dv  8  du by  by  By  By By 1 E =  - ^{u 2 +v 2 )  + e, X = = 0, D la  wygody  zapisu  opuszczon o  symbole  przyję te  dla  oznaczenia  wielkoś ci  bezwymiaro- wych. W  celu  zam kn ię cia  ukł adu  d o  równ ań  (3.2)  doł ą czymy  równ an ie  stan u  gazu  doskona- ł ego P  =  - 1TQT-   ( 1 3 > Współ czyn n ik  lepkoś ci  dynam icznej  / j,  przyjmiemy  ja ko  zn an ą   funkcję   tempera- t u ry  T   w  postaci  wykł adniczej  zależ noś ci *  " IT- P rzyjmiem y  nastę pują ce  zał oż enia, przy  których  badać bę dziemy  wpł yw  dysypatywnych wł aś ciwoś ci  gazu  n a  jakoś ciowy  i  iloś ciowy  ch arakter  pola  przepł ywu: 1)  n apł ywają cy  strum ień  gazu  jest  naddź wię kowy  ( Ą « ,  >  1), jednorodny  i  niezaburzony; 2)  przepł yw  w  cał ym  obszarze  jest  symetryczny  wzglę dem  pł aszczyzny  symetrii  klina; 3)  n ie  uwzglę dn ia  się   przem ian  fizyko- chemicznych  t . j.  gaz  przyjmuje  się   jako  doskonał y o  stał ej  P ran d t la  P r,  stał ym  wykł adniku  adiabaty  P oisson a  k  i  e  —  C# T ; R ozwią zan ia  t a k  sformuł owanego  zagadn ien ia  poszukiwać  bę dziemy  dla  stacjonar- n ych  waru n kó w  brzegowych : Q  =  Qo,  w  =   M 0 )  v  =   v0,  T   -   T o  d la  x  -   0  i  0  <  y  ^  F2(x), o r a z  0  <  x  <  x k   i  y  =  F 2 (x) SQ  BU  8T   . S~  =   "fl—  =   - T -  =   v  =   °  d l a  0  I ł   si  I ^ J - . j[ 2 3 Z 6 / ł   +   Z 2 Z 5 ( 2 H . A) ] ~ -   +  ^ - ^ - +   (2.9a) • TT- H- S !̂  I) =   —  W qv, 3 i lub  krócej: ~=W .  (2.9b) Tak  zapisany  ukł ad  rozwią zywać  bę dziemy  w  sposób  numeryczny,  dokonując  dyskrety- zacji  obszaru  cał kowania siatką  róż nicową,  przy  czym w  ukł adzie (q%, q 2 )  bę dzie to  siatka równomierna a odpowiadają ca jej  siatka  w  obszarze  rzeczywistym  nierównom ierna, zgę sz- czona  w  pobliżu  powierzchni  klina  (rys,  2). 140 S.  WR Z E SI E Ń 1.0 - t o. hi - 4  . I E y/ 1.0  qi  0 R ys.  2.  Siatka  róż nicowa  w  ukł adzie  wsp. 3.  Algorytm  dekompozycji.  Schemat  róż nicowy D la  numerycznego  rozwią zywania  ukł adu  równań  (2.9)  z  warunkami  brzegowymi (2.5)  wykorzystamy  metodę dekompozycji  [3],  [6], pozwalają cą  n a  sprowadzeniu  zagad- nienia  do  cią gu  prostszych  zadań poprzez pewne rozdzielenie ukł adu  równań  wyjś ciowych przy  jednoczesnym  zachowaniu  warunku  aproksymacji  globalnej.  Sposób  rozdzielenia uwarun kowan y  jest  przede  wszystkim: —  statecznoś cią  schematu  róż nicowego  i  prostotą  realizacji  algorytmu, • — sposobem  okreś lania  warunków  brzegowych, —  ż ą daną  dokł adnoś cią  rozwią zań  numerycznych, —  wyborem  ukł adu  współ rzę dnych  i  postacią  zapisu  równań  wyjś ciowych. W  tym  celu  zapiszemy  ukł ad  równań  (2.9)  w  prostszej  postaci: If 8t (3.1) gdzie:  /   = / {/ i , / 2 , / 3 , / 4 } —wekt o r  szukanych  funkcji  gazodynamicznych, £ł   —  operator  wydzielonej  czę ś ci  ukł adu  (2.9)  aproksymowany  dalej  niejawnym schematem  róż nicowym, F p  —  pozostał a  czę ść  ukł adu  równań  aproksymowana  w  sposób  jawny. Jeś li  przy  tym  ukł ad  (2.9b)  wykazuje  wł aś ciwoś ci  ustalenia  (a  ziakł adamy,  że  tak  jest) t o  dla  t  ->  oo  m am y: au W=   - Slf+ Fp. (3 . 2 ) D okon ując  teraz  aproksymacji  lewej  czę ś ci  ukł adu  (3.1)  niejawnym  dwuwarstwowym schem atem  typu  C ranka- N icholsona  ze  współ czynnikami  wagowymi  otrzymamy  sche- m at  róż n icowy: —fn (3.3) MODF- LOWANIE  PŁASKICH   LEPKICH   PRZEPŁYWÓW H I aproksymują cy  ukł ad  równań  (3.1)  z  dokł adnoś cią   0 ( T + / J ") ,  który  przedstawimy  w kan o- nicznej  postaci  z  uwzglę dnieniem  (3.2): (3.4) Wprowadzają c  w  obszarze  A h   =  Qx  C,  gdzie  Q—jednostkowy  kwadrat,  C  =   [0, T ] dla  t e  C, róż nicową   siatkę  o stał ym kroku  przestrzennym  h t   =   l/ N I,  h 2   =   l/ N J  i  kroku iteracyjnym  r,  otrzymamy  po  aproksymacji  pochodnych  w  (3.3)  ukł ad  równ ań  alge- braicznych  dla  niewiadomych  funkcji  sieciowych: (fs)h,  ( J - 1 . . . . . 4 ).  (3.5) U kł ad  ten moż na rozwią zać  stosują c  n p. metodę  macierzowej  „ progon ki". D la dostatecz- nie duż ej liczby  wę zł ów jest to operacja  bardzo trudn a, a czasem wrę cz niemoż liwa z uwagi na  znaczne  wymagania  odnoś nie  pamię ci  operacyjnej  E M C  i  czasu  obliczeń. Wybierają c  w  charakterze wektora  funkcji  gazodynamicznych  wektor  o  skł adowych: f  _ (3.6) dokonamy  wieloskł adnikowej  dekompozycji  [3]  i  napiszemy  (2.9)  w  postaci: 4 df dt (3.7) gd zie: 'Ą u,- 5-7  s—   z H r r z b ' - f l—  '  ( d l a / = 1 , 2 ) , o?  QRC  \   oqf  oqi  j \ z\   =   0 ,  z\   =   z 4 ,  z?  =   z 5 , 0  0  0  0 0  2/ J. +  X  0  0 0  0  p  0 0   0 0 P r 0  0  0  0 0  fi  0  0 0  0  2^ +  2  0 0   0   0 Pr o z   l  k ~ l   T Q  k 0 z 4 c - 0 0 dq l 0 0 fc- 1  8 0  ZA  ;  ~~R4   k  dq x z 4 - 0 0 0 0 (3.8) 142 S.  WR Z E SI E Ń o i  k_- 1_  T  J Q  k  8q 2 1  k- l  j _ Q  k  8q 2 O 0 O d oq 2 O O k~\   P  k- l  8 ~ k  8q 2   6   k  8q 2 O k- \  8 k  ~8q2 k- l- T- ± - k  8q2 O « !  =   U,  ll2  =   V, I—•  m acierz  jedn ostkowa. O p erat o ry  róż n iczkowe  £1,  zastą pimy  operatoram i  róż nicowymi  Q.\ Jh   w  wę zł ach  siatki n,  i,j  otrzym an ym i  p o  aproksym acji  poch odn ych ilorazam i  róż n icowym i: 8 -   ±   -̂ (3.9) 8  8  8 An alogiczn ie  aproksym ujem y  p o ch o d n e:  - = —, 8q 2   8q 2   8q 2   oq 2   uy^ P o  zastą pien iu  o perat o ra  I +   TCCA,,)  W ogólnym  schemacie  róż nicowym  (3.4),  opera- t o r em  przybliż on ym: ra 2 Si 2 (3- 10) m o ż na  ju ż  prowadzić  obliczenia  w  czterech  kolejnych  etapach  schem atu  dekom po- zycji: /  = ! (3.11) W  każ d ym  z  etapów,  z  uwagi  n a  rodzaj  aproksym acji  pochodn ych  i  warun ków  brze- gowych ,  uzyskuje  się  ukł ady  ró wn ań  algebraiczn ych  z  macierzą  trójdiagon aln ą,  ł atwe do rozwią zywan ia  n a  m aszyn ach  cyfrowych  o  ś redn ich  zdoln oś ciach  obliczeniowych  (serii MOD ELOWAN IE  PŁASKICH   LEPKICH   PRZEPŁYWÓW  J43 OD RA  i  R- 32).  W  t ym  przypadku  zastosowan o  m etodę   faktoryzacji  (zwaną   czę sto  m e- todą   „ przegn an ia") . 4.  Analiza  numeryczna N umeryczne  obliczenia  wykon an o  n a  cyfrowej  m aszynie  O D R A  1305  za  pom ocą programu  o  nazwie  L N P P . Z  uwagi  n a  dł ugi  czas  obliczeń  każ dego  warian tu  (rzę du  kilku  godzin),  obliczenia prowadzono  etapam i  zapisują c  wyniki  poś redn ie  n a  taś m ie  m agn etyczn ej.  P rzy  każ dym kolejnym  etapie  pracy  m aszyny  wyniki  te  wprowadzan o  jako  warun ki  począ tkowe.  K o ń - cowe  wyniki  równ ież  zapisywano  n a  taś m ie  magnetycznej  w  form ie  reko rd ó w  niezre- dagowanych,  tworzą c  w  ten  sposób  zbiór  rozwią zań  dla  róż nych  liczb  R eyn oldsa  prze- pł ywu,  poszczególnych  liczb  wę zł ów  siatki  róż nicowej,  stopn ia  zgę szczania  siatki  itp., P ostą piono  tak  z  dwóch  powodów.  P o  pierwsze,  wyniki  te  wprowadzon o  ja ko  warun ki począ tkowe  przy  zm ian ie  n p .  liczby  R eyn oldsa  przepł ywu,  co  znacznie  skraca  czas  obli- czeń  nowego  warian t u .  P o  drugie,  powstał   pewien  zbiór,  ł atwo  dostę pny  i  wygodny  przy analizie  pola  przepł ywu  program am i  uż ytkowymi  tablicują cymi  lu b  rysują cymi  ż ą dane funkcje  i  współ czynniki. Obliczenia  testują ce  prowadzon o  dla  klin a  o  ką cie  rozwarcia  20  =   40°,  prę dkoś ci przepł ywu  n iezaburzon ego  M   =   3,0  dla  współ czyn n ików:  x  —  1,41;  w  =   0, 75;  P r  =   0, 71, w  szerokim  przedziale  liczb  R eyn oldsa  oraz  dla  róż n ych  wartoś ci  kro ku  przest rzen n ego: hi  i  h 2 .  P rzykł adowe  wyniki  obliczeń  rozkł adu  n a  powierzchn i  klin a  n iekt órych  para- metrów  gazodyn am iczn ych  uzyskan ych  dla  warun ków  brzegowych  (2.5)  i  waru n ków począ tkowych  okreś lon ych  param et ram i  przepł ywu  n iezaburzon ego  przedstawion o  n a rys.  3.  Z  przebiegu  funkcji  Q i  T   wynika  iż  uzyskan o  dużą   zbież ność  wyn ików  w  dość duż ym  przedziale  zm ian y  kro ku  h t   i  h 2 .  N p .  przy  zm ianie  kro ku  h x   od  wartoś ci  h v   = 0,066  do  h t   =   0,05  krzywe  Q(X) i  T (x)  leż ą .  bardzo  blisko  siebie,  jedyn ie  w  obszarze  do- sunię tej  fali  uderzeniowej  róż n ica  wartoś ci  param etrów  się ga  7- =-  8%.  D la  wartoś ci  h t   = 0,1  róż nice  są   wyraź ne  równ ież  w  obszarze  dalszej  czę ś ci  klina,  gdzie  n ie  wystę puje  wza- jemne  oddział ywanie  warstwy  przyś ciennej  z  falą   uderzeniową .  R ozbież n oś ci  param et ró w się gają   t u  7%,  n at o m iast  w  obszarze  ostrza  klin a  10 -   12%.  Stą d  wniosek,  że  w  pobliżu ostrza  konieczn e jest  zgę szczenie  wę zł ów  siatki  róż nicowej  w  kierun ku  osi  x.  M o ż na  to oczywiś cie  osią gnąć  zwię kszając  ogólną   liczbę   wę zł ów  siatki  w  tym  kieru n ku ,  chociaż bardziej  celowe  był oby  n iejedn orodn e  zgę szczenie  istnieją cej  liczby  wę zł ów  (lub  n ie- znacznie  tylko  wię kszej),  z  uwagi  n a  wystarczają co  poprawn y  przebieg  funkcji  gazodyn a- micznych  w  dalszej  czę ś ci  klin a.  Z a  t akim  rozwią zan iem  przem awia  równ ież  fakt,  iż  jest to  obszar  duż ych  gradien tów  param etrów  w  obydwu  kierun kach  obszaru  cał kowan ia. Analizują c  wpł yw  kro ku  h 2   n a  wyniki  obliczeń,  ł atwo  zauważ yć  źe  wart o ść  h z   =  0,05 przy  zachowan iu  h t   =   0,05  jest  wystarczają ca  d o  otrzym ywan ia  zbież nych  rezultatów. Przy  dalszym  zm n iejszan iu  wartoś ci  h 1 {h 2   =   0,033)  krzywe  Q(X) prawie  pokrywają   się , a róż nice w przebiegu  T (x)  są   n iezn aczn e (rzę du  1,5%). R ówn ież  i w  tym p r zyp a d ku  m am y do  czynienia  z  pewną   n iedokł adn oś cią   w  obszarze  ostrza  klin a.  Wydaje  się ,  wię c  celowe by  rozpatrzyć  w  póź niejszym  etapie  testowan ia  m etodyki,  sposoby  pro wad zą ce  do h,= 0.1  ;h2=0.05 h,=0.066;h2 = h,= 0.05  ; h 2 = Q. u 1.2 1.0 Rys.  3.  Wpł yw  wartoś ci^kroku  cał kowania  na  wartoś ci  Q, T   na  powierzchni  ciał a  opł ywanego Rys.  4.  Z m ian a  parametrów  przepł ywu  wzdł uż  dł ugoś ci  klina  (Re  =   500) 1144] MOD ELOWAN IE  PŁASKICH   LEPKICH   PRZEPŁYWÓW 145 zwię kszenia  dokł adn oś ci  obliczeń  w  obszarach  wzajemnego  oddział ywan ia  fali  uderze- niowej  z warstwą   przyś cienną.  Jedn ą   z  m etod m oże tu być  wspom n ian e  wcześ niej  zgę szcza- nie siatki  w kierun ku  osi  x,  drugą   n atom iast m odyfikacja  aproksym acji  ró wn an ia  cią gł oś ci. G ę stość  gazu jest  bowiem  param etrem , którego  ustalen ie  się   w  procesie  iteracji  p o  czasie, nastę puje  zdecydowanie  najwolniej.  P race  n ad  tym i  zagadn ien iam i  są .  akt u aln ie  prowa- dzone. N a  rys.  4  p o kazan o  przykł adowy  przebieg  funkcji  Q, u,v  I T   uzyskan ych  d la  M   =   3,0 i  Re  =   500, w  kilku  przekrojach  wybranych  wzdł uż dł ugoś ci klin a.  Widać  wyraź ną   zm ian ę charakteru  przebiegu  krzywych  w  m iarę   oddalan ia  się   od  ostrza  klin a.  M ian owicie,  jeś li bezpoś rednio  za  ostrzem  przebiegi  wszystkich  param etrów  charakteryzują   się   cią gł ym gradientem  (oczywiś cie  zm ien n ym ),  t o  w  m iarę   oddalan ia  od  ostrza  m o ż na  wyróż n ić obszar  w  którym  param etry  przepł ywu  są   w  przybliż eniu  stał e.  W  koń cowej  czę ś ci  klin a obszar  pola  przepł ywu  ze  stał ym i  wartoś ciami  param etrów  widać  już  bard zo  wyraź n ie, przy  czym  obejmuje  on  ju ż  znacznie  wię kszą   strefę   pom ię dzy  powierzchn ią   klin a,  a  falą uderzeniową .  Z jawisko  to  m a  swój  gł ę boki  sens  fizyczny.  M ian owicie  w  pobliżu  ostrza klina  nastę puje  wzajemne  przen ikan ie  się   i  wzajemne  oddział ywan ie  warstwy  przyś cien n ej z  falą   uderzeniową .  P rawdopodobn ie  oddział ywanie  t o  jest  przyczyną   pewn ego  zakrzy- wienia  się   w  tej  strefie  fali  uderzeniowej  rys.  5.  W  strefie  przepł ywu  gdzie  odległ ość  fali =• «  obliczenia numeryczne dla  Re=500; teoria  gazu  nielepkiego Rys.  5.  Poł oż enie fali  uderzeniowej  przy  opł ywie  klina  dla  M  =   3.0  i  ®  =   20° uderzeniowej  o d  warstwy  przyś ciennej  jest  n a  tyle  duż a,  iż  wzajem ne  oddział ywan ie nie[wystę puje,  zaczyn a  się   form ować  obszar  przepł ywu  o  stał ej  wartoś ci  p a r a m et r ó w  — odpowiednik  pola  opł ywu  klin a  w/ g  klasycznej  teorii  dyn am iki  gazu  n ielepkiego.  Z wraca uwagę   również  fakt  braku  zakrzywienia  fali  uderzen iowej  w  tej  strefie  p o la  przepł ywu. 10  M ech .  T eoret .  i  Stos.  1/ 88 146 S.  WR Z E S I E Ń u =10 Rys.  6.  Parametry  przepł ywu  ustalonego  dla  Re  =   250;  500;  2000 Rysunek  6  przedstawia  parametry  gazodynamicziie  uzyskane  przy  numerycznym mo- delowaniu  opł ywu  dla  róż nych  wartoś ci  liczby  Reynoldsa  przepł ywu  niezaburzonego. Łatwo  zauważ yć  wpł yw  liczby  Re  na  trzy  zasadnicze  elementy  naddź wię kowego  opływu ciał a  pł ynem  lepkim.  Rozpatrzymy  je  kolejno. Warstwa  przyś cienna.  Widać  bardzo  wyraź ny  wzrost  gruboś ci  warstwy  przyś ciennej wraz  ze  zmniejszaniem  się   liczby  Reynoldsa.  Prowadzi  to  oczywiś cie  do  zwię kszania strefy  wzajemnego  oddział ywania  warstwy  przyś ciennej  z  falą   uderzeniową   (krzywe  dla Re  =   250).  N ależy  przypuszczać,  że  dalsze  już  niewielkie  zmniejszenie  liczby  Reynoldsa doprowadzi  do  uformowania  pola  przepł ywu  bez  wyraź nej  strefy  warstwy  przyś ciennej i fali  uderzeniowej. Bę dzie  to  oczywiś cie  przypadek  niemoż liwy  do  obliczeń  za  pomocą innych  niż  peł ne  równania N - S. F ala  uderzeniowa. Z uwagi  na niezbyt  dużą   liczbę  wę zł ów siatki  przypadają cą   w  strefie formowanie  się   fali  uderzeniowej,  nie  analizowano  gruboś ci  fali  uderzeniowej,  a  jedynie jej  poł oż enie  rozumiane jako  zbiór  max  wartoś ci  Q. D la  mał ych  liczb  Reynoldsa  (250) fala  uderzeniowa  formuje  się   znacznie wyż ej  od jej  poł oż enia  w  opł ywie gazem nielepkim przy  czym. ką t  fali jest  znacznie wię kszy.  Odpowiada to w przybliż eniu  poł oż eniu fali  przy opł ywie  ciał a  pogrubionego  o grubość  warstwy  przyś ciennej.  Jednocześ nie  moż na  stwier- dzić,  że jest  to  fala  o  znacznej  gruboś ci,  gdyż  zaburzenia  przepł ywu  docierają   do  górnej granicy  cał kowania  i  w  celu  uniknię cia  bł ę dów  należ ało  zwię kszyć  obszar  cał kowania do  wartoś ci  G t   =  2L . A  dla  porównania: dla  Re  =   500 wystarczał a  wartość  Gi  — 1,5 L , dla  R e  =   2000  G x   =   L .  D la  rosną cej  liczby  Reynoldsa  poł oż enie  formują cej  się   fali uderzeniowej  zbliża  się   do  otrzymanego  w  teorii  przepł ywu  nielepkiego,  z  zachowaniem prawa  opł ywu  ciał a  pogrubionego. M OD ELOWAN IE  PŁ ASKICH   LEPKICH   PRZEPŁ YWÓW  147 Przepł yw  w  strefie  pomię dzy  warstwą  przyś cienną  a  warstwą  uderzeniową.  Z ach odzi tu  oczywisty  zwią zek  zgodny  zresztą  z  wyż ej  wym ien ion ym i  zjawiskami,  pom ię dzy  p o - ł oż eniem  tej  strefy,  jej  wielkoś cią  i  param etram i  przepł ywu.  D la  m ał ych  liczb  R e  jest  t o strefa  stosun kowo  m ał a,  znajdują ca  się  tylko  w  tylnej  czę ś ci  klin a.  K ą t  odchylen ia  wekt o ra prę dkoś ci wynosi tu 26°  (przy ką cie  klin a  20°).  D la rosn ą cych liczb  R e  obserwuje  się zn aczn e zwię kszenie  takiej  strefy,  a  kąt  odchylenia  strum ien ia  n p .  dla  Re  =   2000  wyn osi  22°. 5.  U wagi  koń cowe Przewiduje  się  równ ież  testowan ie  m etodyki  dla  Re  >  2000  po  uwzglę dn ien iu  wspom- nianych  wcześ niej  sposobów  zwię kszenia  dokł adn oś ci  obliczeń  w  strefach  przepł ywu o  duż ych  gradien tach  param etrów.  N ależy  wtedy  zastan owić  się  n ad  sposobem  optym a- lizacji  wielkoś ci  zm ian  kro ku  iteracyjnego  % w  procesie  iteracji,  pon ieważ  dla  rosn ą cych liczb  Reynoldsa  proces  ustalan ia  się  przepł ywu  (przy  T  =   const)  staje  się  coraz  bardziej powolny  co  zn aczn ie  wydł uża  czas  pracy  maszyny. Literatura 1.  J.  S.  ALLEN ,  S.  I .  C H E N G ,  N umerical  Solution  of  the  Compressible N avier  Stokes  Equations  for  the  L a- minar N ear  W ake.  Physics  of  F luids,  v.  13,  N o  1,  1970. 2.  H .  I O .  E P AH JI OBC KAH ,  Pa3HocmHdn  cxe.ua  djtn  uucjimnozo  pememm  deyjuepHux  mcmaiiuoHapHbix  ypae- iienuii  Haahe- CmoKca  OAR cvciwaeMoio  sa3a,  flAH   C C C P ,  T . 160,  N°  5,  1965. B .  M .  KoBF .im, H .  H .  H H E H K O ,  Pamoanuan  cxeMa  ua  nodsiutcHux  cemxax  d/ in peuiemtn  ypaeneuuu 8H3K010  easa,  > K B M n M * ,  T .  19,  Ks  I ,  c .  1 7 4 -   188,  1979. 4.  R.  M.  BEAM,  R ,  F .  WAR M I N G ,  An  Implicit  Factored  Scheme  for  the  Compressible  N avier  —  Stokes Equations,  AIAA  Journ al,  Vol.  16,  N o  4,  s.  393- 402,  1978. 5.  E.  VON   LAV  AN TE,  Jr.  W.  T.  TH OM P KI N S,  An  Implicit,  Bidiagonal  N umerical.  Method  for  Solving  the, N avier —  Stokes  Equations,  AIAA  Journ al,  Vol.  21,  N o  6,  s.  828- ^833,  1983. 6.  H .  H .  .H H E H K O , Memod  dpoSmix  maioe  peiuemiH  MHOSOMepmix  3adau  MameMamunecKou  $U3UKU,  H 3fla- leJiBCTBo  „ H a y n a " ,  1967. 7.  I O . A.  E E P E 3H H J  B.  M .  K O BE H H J  H .  H .  .JI H E H KO, 06  odiiou Hexenou  cxeMe  pacuema  metemtn  e.t3Koeo men/ tonpoeodnoeo  lasa.  „ ""- iH cn en H Lie  M e r o A^ 1  M e xa m t K H   C I U I O U I H O H   c p e , ą w ",  T .  3 ,  N s  4 3  c .  3 - 1 8, H O B O C K 6 H P C K  1 9 7 2 . P  e 3  lo  M  e PAOTET  riJIOCKMX CBEPX3BYKOBLIX  TE ^E H H K  B£ 3K O rO TA3A  C yjIAPH Ł IMH  BOJIHAMH P accM oTpenbi H eiTOiopbie BH ^bi Te^enH Ji  B5i3Koro  TenjionpoBoflH oro  ra3a  n p i i  ncnon&3OBaH H H   yp a B- H aBBe- G roKca,  ypaBH em- m  Hepa3pbiBH0CTH  H  ypaBH eniifl  3H eprn H . paBHeHHH,  aaiutcaH H we  B  HecTau,noHapHom BHfte,  pemaioTCH   MCTOAOM  ycTanoBJieH iin;  n o  Bp e- c  ncnoJib30BaHHeM   cxeM ti  pacm en n eH H H . n apaAieipoB  qacn eH H oro p a c ^ e i a  n a  n p o iie c c  ycTaHOBjieHHH  Te^ern iH  u  (po- 10* 148  S.  WRZESIEŃ S u m m a r y N U M E R I C AL  C OM P U TATION S  OF   PLAN E  VISCOU S  SU PERSON IC  FLOWS  WITH   SHOCK WAVES Some  cases  of  viscous  and  heat  conducting  and  compressible  gas  flows  have  been  considered  by  ma kin g  use  of  the  N avier- Stokes  equations. The  equations  are  written  in  the  nonstationary  conservation- law  from  and  solved  by  means  of  time- dependendent  iterations,  the  method  of  fractional  steps  being  applied. The  effect  of  some  parameters  on  the process  of  determining  a  steady  state flow rfhd shock  wave  for- m ation  has  been  examined. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia 3  listopada 1986  roku.