Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf M EC H AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1, 26,  1988 PLASTIC  STRAIN   ENERG Y  UNDER  CYCLIC MULTIAXIAL  STATES  OF   STRESS KRZYSZTOF   GOŁOŚ Politechnika  W arszawska In  this  paper  the  cyclic  plastic  strain  energy  density  under  multiaxial  states  of  stress is  analysed.  A  relationship  is  proposed  which  can  be used  to  determine the plastic  strain energy  per cycle for  non —  Masing material for  various  stress  range.  In  the  investigation the  generalized  constitutive  relations  cyclic  stress — strain  for  non — M asing  material are  used.  The  presented  model  based  on  general  and  basic  principles  and  significant constants  can  be  obtained  from  appropriate  and  common tests.  Predictions  of  the  pro- posed  method  with  the  experimental  data  of  biaxial  cyclic  loading  has  shown  good  ag- reement. 1. Introduction In  total  strain —  controlled experiments  it  has  been  observed  that after  some number of  cycles,  usually  less than  half— life  duration the steady  state of  the material is  achived. F or  practical  purposes,  it  may  reasonably  be  assumed  that  the  steady  hysteresis  loop does  not  vary  with  cycles  [1 -  4].  Therefore,  the idea  of  relating  fatigue  life  to  the  plastic strain  energy  density  (area  of  hysteresis  loop)  during  a  load  cycle  has  been  proposed. The work  of  Feltner and Morrow  [5] need mentioning as  the first  significant  contribution in  which  they  have  clearly  pointed out the significance  of  plastic strain  energy  in  the ana- lysis  of  fatigue  proporties  of  metals. Halford  [6]  presented  the  relationship  for  plastic  strain  energy  based  on  the  cyclic stress  — strain  curve  of  the  material.  Esin  and  Jones  [7] introduced the  concept  of  sta- tistical  functions  characterizing  the  micro — inhomogenity  of  stress  and  strains  existing in  a  metal and  used  it  to express  the hysteresis  energy.  Jhansale  and Topper  [8]  proposed an  approach for  describing  the loop  shapes  of  a  non —  Masing  material. Abel  and  M uri • [9] suggested  that the  hysteresis  loop  clousere  failure  may  be  an  essential  prerequite  for the  fatigue  — crack  initiation.  The  method  of  an  analytical  description  of  the  steady hysteresis  loops  and cyclic  strain  curve  from  the test  of  one specimen  only, was  discussed in  [10]. It  is generally  agreed, that plastic  strain  energy  plays  an important role  in the  damage process.  The  plastic  strain  energy  density  depends  on  the  kind  and  range  of  the  cyclic loading.  The  significance  of  the  energy  approach  is  in  ability  to  unify  microscopic  and 172  K .  G OLOŚ macroscopic  testing  data  and  to  define  multiaxial  criteria. All,  of  there above mentioned investigations  consider  only  the  uniaxial  state  of  stress.  The  problem  of  plastic  strain energy  in  multiaxial  cyclic  loading  was  considered in  some works.  D amali and Esin  [11] discussed  th e extension  of  Esin's statistical formulation to the case of biaxial  fatigue under proportional  stressing.  G arud [12] considered the plastic cyclic strain energy  under complex loading  based  on  a  „new  hardening rule". Lately,  Lefebvre,  N eal and  Ellyin  [13] accor- ding to I 2   (von Mises) theory presented the relation for  the plastic energy dissipated during proportional  loading. I t  is  objective  of this  paper to present the relationship, which can be used  to  determine plastic  strain  energy  for  both,  Masing  and  non —•  Masing  material  under  cyclic  mul- tiaxial  states  of  stress.  In  the  investigations,  the  general  constitutive  equations  cyclic streess —  strain  [14]  are  used. The  significant  constants  in  the  proposed  relationship  can  be  obtained  from  appro- priate  and  common tests. 2.  Cyclic  plastic  strain  energy D uring  strain  fatigue,  energy  is  dissipated  because  of  plastic  deformation.  The cyclic plastic  strain  energy  dissipated  per  unit  volume  during  a  given  loading  cycle  for  an ele- ment  subjected  to  a  cyclically  varying  stress  and  strain  history  Ao xi   and  Ae t j  is: I,  (1) where Asfj  is  the  plastic  strain range.  Because  of  incompressibility  of  plastic deformation (i.e.  d(Ae kk )  — 0,  the  foregoing  relation  can  also  be  expressed  as  follows: )>  (2) where  ASjj  =  Aa t j— (djjAo kk )/ 3  is  the  deviatoric  stress  tensor. The  cyclic  uniaxial  stress —. strain  curve  is  generally  obtained  by  plotting  the  stress corresponding t o the positive  (tensive)  peaks  of  the  hysteresis  loop  at  half—life  for  va- rious  strain  ranges.  A  widely  used  form  is: As  Aa  I  Aa\ ~2~   =   1lf   +   \ 2K')  '  ^ where  AaJ2,  As/ 2  are  the  stress  and  strain  amplitude, respectively,  E  is  the  modulus of elasticity,  AT is a  strength coefficient,  and  ri  is  the cyclic  strain hardening exponent. A ma- terial  is  said  to  exhibit  a  Masing  description  when  the branches  of  hysteresis  loops can be  described  by  the  equation  (3)  magnified  by  a  factor  of  two,  i.e.: I/ if (4) The  origin  of  th e  coordinate  system  in  this  case  is  transfered  to  the  compressive  tip of the  hysteresis  loop. G enerally, if  the origin  of  the coordinate axes is  transformed to the tip of  the negative PLASTIC  STRAIN  E N E R G Y . . . 173 (compressive)  cycle,  the positive  branches  of the  half—life  hysteresis  loops  do  not  fall on  a  monotonically  increasing  unique  curve  (non — Masing  material).  This  observation is rather  significant  and it  affects  the maner  in  which  the plastic  strain  energy  per cycle is to be determined.  Jhansale  and  Topper  [8] proposed  an  approach  for  describing  the loop shapes of non — Masing material. This approach was analysed in [2,  3] and is adopted herein. A „master" curve different  from  that of the cyclic curve is defined  as one geometri­ cally  similar  to the  matched  upper  branches  of  the hysteresis  loops  with  minimum pro­ portional  range. A S * / 1 iii/ w ft 7 /__  A_e°_ Ac I\ j i 1 D y -1 < AS Strain range Fig.  1.  Hysteresis  loop  for  a  non—Masing  material In the Figure  1 the uniaxial  hysteresis  loop  (ABCA)  for the „minimum"  proportional range,  a0  and that  of  (OABCDFO)  with  a bigger  proportional  range  are presented.  The equation  of the „master"  curve  ABCD,  where the origin  A corresponds  to the lower tip of  the  minimum  proportional  range  hysteresis  loop  is  given  by [3]: (5) The  increase  in  the  proportional  stress,  da0,  can be  obtained  from: da0 = Acs­Acs* =  Acs­2K*(Ae p/2)n'.  (6) Then, the plastic strain  energy  density — the area  of the hysteresis  loop  OABCDFO may be  expressed  as: 1ep.  (7) (8) AW  =  . 1+n* For  Masing  material  do0 =  0,  and  equation  (7) reduced  to  [6] 1­n'AW  = 1+n' For  non — Masing  material  under  cyclic  multiaxial  loading  the  relation  between  stress 174 K.  G OLOŚ and  strain  components  is  given  by  [14]: l - n* 2E IE (9) where  ACT *  =   (3/ 2/ dSĵ lS1,*)1'2  is  the  effective  range  stress.  The  deviatoric  stress  tensor ASfj  is  calculated  as: ASrj  =  Aa*j- d u (Aa* k )[3.  (10) The  components of  stress  tensor Aa%  may  be  estimated  from  the difference  between  Aa u and  the  increase  in  the  proportional stress,  <5cr0. The increase in  proportional stress,  da0 can  be  obtained  as: da 0   £ (11) where Aa  =   (3[2ASijAS t jyi 2 ,  and a Q   is the minimum proportional stress for  uniaxial  case. According  to  the  I 2   theory  the  equivalent  plastic  strain  can  be  defined  as  follows: AsP  =   (2/3/1 efjAefj)1'2.  (12) It  is  generally  assumed  that  the effective  cyclic  stress — strain  curve  for  multiaxial pro- portional  loading  takes  the form  analogous  to  equation  (5),  (see  Fig.  2). (13) '1000 05 2 . 0 3.0 F ig.  2.  A  cyclic  stress —  strain  relation  for  a  A- 516  G r.  70  caxbon  steel Therefore,  the  plastic strain energy  for  non — Masing material under  multiaxial loading can  be  expressed  by  following  equation: A W   =   \   n .  A a*A B" + Sa 0  A BP. (14) PLASTIC  STRAIN  ENERGY...  175 The  above  equation  relates  the  plastic  strain  energy  denisty  under  multiaxial  loading with  the  components  of  the  strain  and  the  stress  tensors.  The  softening  or  hardening  of the  material  due  to  cyclic  loading  is  included  through  the  equation  (9). 3.  Comparison  with  experimental  data To  examine  the  applicability  of  the  proposed  criterion  we  would  require  data  on uniaxial  cyclic — strain  curves  and  amplitudes  of  strain  and  stress  for  multiaxial  cyclic loading. The test results for  A­516 Gr. 70 low alloy carbon steel presented  in  [2,  15] enable us  to  make  relative  comparison.  This  material  as  shown  in  [2,  3]  does  not  follow  the Masing  hypothesis. Fully  reversed  strain — controlled  tests  at  six  strain  ratios  (Q = AstIAsa)  have  been carried  on  thin — walled  tubular  specimens  using  a  hydraulic  servo — controlled  testing system. Specimens were cyclicaly loading in the axial direction  while pressures were applied to the inside and  outside  alternatively  during each half  cycle. The strain  ratio,  Q,  was kept constant  during  a  given  test.  Figure  2  shown  a  master  curve  under  uniaxial  stress  condi­ tions. The strength coefficient  K* and the hardening exponent  n* of the Eq.  (13) evaluated by  a  least — squares  technique  were: K*  =  629.8 MPa  and  n* =  0.144.  (15) The  plastic  components  of  strain  tensor  based  on  relationship  (9)  for  the  plane  stress condition  may  be  expressed  as: r  =  2  ^ ^ ­ j ­  [A<*t­4rA&:\.  (16a) (2K*) "* l-n* J . =  2  = — | j o * _  Jtf*)  (16b) (2K*)n* where la*  =  [(Aa*)2­Aff*Aa*  + (Aa*)z]ll2.  (16c) The minimum proportional range er0 for the A­516 Gr. 70 carbon steel is TaTbi  p a c i e i a  mU KJiH iecKott  3H e p r a n  njiacTH ^ecicoft  flecbopiwaimH   noJiy^ieH H Bie  H a  OCCH OB AieTOfla  6bu in  cpaBH eH w  c  naHBiMEt aKcnepHMeHTajiŁHWMM   B  ycnoBH Sx  n n o c K o r o H a- COCTOH H H H . S t r e s z c z e n i e E N E R G I A  OD KSZ TAŁCEN IA  PLASTYCZN EG O  P R Z Y  WIELOOSIOWYCH   OBC I Ą Ż EN I ACH C YKLIC Z N IE Z M I E N N YC H W  pracy  przedstawiono  metodę   obliczania  jednostkowej  energii  dysypacji  przy  obcią ż eniach  cyklicz- nie  zmiennych w  warunkach  zł oż onego  stanu  obcią ż enia.  Przedstawiona  m etoda może  być  stosowana  do obliczania  energii  odkształ cenia  plastycznego  zarówno  dla  materiał ów  podlegają cych  opisowi  modelem Masinga  i  nie  podlegają cych  tem u  opisowi.  Zaletą   przedstawionej  metody  jest  to,  że  stał e materiał owe zastosowane  w  obliczeniach  mogą   być  otrzymane  n a  podstawie  wyników  badań  zagadnień  jednoosio- wych. Wyniki  obliczeń jednostkowej  energii  odkształ cenia plastycznego  uzyskane  przy  zastosowaniu  przed- stawionej  metody  został y  dla  pł askiego  stanu  naprę ż eń  porównane  z  odpowiednimi  wynikami  uzyska- nymi  z  badań  doś wiadczalnych. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  2  paź dziernika  1986  roku. 12  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/88