Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf M E C H AN I KA TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1,  26,  1988 SK R Ę P O WANE  SKR Ę C AN IE  P R YZ M AT YC Z N YC H   P R Ę T ÓW O  BI SYM E T R YC Z N YC H ,  Z WAR TYC H   P R Z E K R O J AC H KRYSTYN A  M AZ U R - Ś N I ADY Politechnika  W rocł awska P rzedstawion a  w  niniejszej  pracy  techniczna  teoria  skrę powan ego  skrę can ia  pryzm a- tycznych  prę tów  o  bisymetrycznych,  zwartych  przekrojach  został a  wyprowadzon a  w  ra- mach  m echan iki  analitycznej  kon t in u u m  m aterialn ego  Cz.  Woź n iaka  [1]. Z n an e  teorie  skrę can ia  skrę powanego  prę tów  o  zwartych  przekrojach  bazował y  n a klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  uzupeł n ion ej  dodatkowym i  h ipotezam i,  ogran iczają c  się z koniecznoś ci  do  kon kretn ych  kształ tów  przekroju  poprzeczn ego  ( n p . : elipsy  [2], pro st o - ką ta  [3]).  Szczególną   trudn ość  sprawiał a  realizacja  sztywnego  utwierdzen ia  cał ego  prze- kroju  podporowego,  n a  co  zwracał   uwagę   W.  Burzyń ski  [4]. Sposób  podejś cia  d o  zagadn ien ia  stosowany  w  niniejszej  pracy  jest  orygin aln y,  otrzy- m an a  teoria jest  wewnę trznie  niesprzeczna.  Poję cie  wię zów  pozwala  n a  przyję cie  zupeł n ie dowolnych  warun ków  brzegowych,  a  po n adt o  pozwala  n a  weryfikację   otrzym an ych  wy- ników. 1.  Wyprowadzenie  ró wn ań 1' P rzedm iotem  rozważ ań  jest  prę t,  zajmują cy  w  konfiguracji  odn iesien ia  obszar  Q  = FxP,  gdzie F je st  jedn ospójn ym  obszarem  n a  pł aszczyź nie  OX X X 2 ,  ogran iczon ym  krzywą odcinkami  gł adką ,  sym etrycznym  wzglę dem  osi  X x   i X 2 ,  a  P jest  odcin kiem  <0, L )  osi  X 3 kartezjań skiego  prostoką tn ego  ukł adu  współ rzę dnych  (rys.  1.). l )  Wskaź niki  greckie  a,  /?  przebiegają   cią g  1, 2, wskaź niki  ł aciń skie  /, / ,  m  przebiegają   cią g  1, 2,  3 Obowią zuje  umowa  sumacyjna  wzglę dem  wszystkich  wskaź ników.  Przecinek  poprzedzają cy  wskaź nik oznacza  pochodną   czą stkową   wzglę dem  odpowiedniej  współ rzę dnej  materialnej,  kropka  nad  symbolem oznacza  pochodną   wzglę dem  czasu.  Kropka  mię dzy  symbolami  oznacza  iloczyn  skalarowy  wektorów i  macierzy,  natomiast  mnoż enie  macierzy  przez  macierz i  macierzy  przez  wektor  zapisuje  się   bez uż ycia znaku  dział ania. 12* 180  K.  M AZU R- Ś N IADY Prę t  jest  utwierdzony  w  przekroju  X 3   =   0. G ę stość  masy  prę ta  oznacza  się   Q — Q(X), pole  zewnę trznych  obcią ż eń  masowych b  =   ( 6 l s  b2,  b3),  zaś  pole  zewnę trznych  obcią ż eń  powierzchniowychp  =   (Pi,p2,P3)- Równania  ogólnej  teorii  skrę cania  prostych  pryzmatycznych  prę tów  wyprowadzone na  podstawie  mechaniki analitycznej  kontinuum materialnego  [1] przedstawiono w  [5]. Teoria t a opiera się   n a  zał oż eniu nieodkształ calnoś ci rzutów  przekrojów  poprzecznych prę ta  na  pł aszczyzny  prostopadł e do  osi  prę ta,  co  realizują   wię zy  wewnę trzne  narzucone na  funkcję   deformacji  %(X, t): X'!«Xm,p =  Kp,  (1.1) (0  d la  oc  Ą= ft gdzie:  dap  = Wyraż ając  funkcję  deformacji  za  pomocą  wektora  przemieszczenia  u  — %—X,  otrzy- muje  się  po  linearyzacji  i  scał kowaniu: "i  =   V1- PX2, n 2   =   V2 +   9^ 1  >   (1 - 2) «3  -   C» gd zie:  95 =   ^ ( l ^ ,  / ), V«  =   V«(^3» 0>   C =   f C^i»- 2̂ >- 3̂  >  0  S 3  dowoln ym i,  niezależ nymi, róż n iczkowaln ymi  fun kcjam i  wszystkich  argum en tów,  peł nią cymi  rolę  współ rzę dnych uogóln ion ych .  F u n kcja  cp jest  ką tem  o bro t u , tp a   są  przesun ię ciami  rzutu  przekroju  prę ta n a  pł aszczyznę OX X X 2 ,  funkcja  £  opisuje  spaczenie  przekroju.  D la prostego,  pryzmatycz- n ego  p r ę ta  zasadę  idealn oś ci  wię zów  [1]  m oż na  n apisać  w  po st aci: L JlJs-   d X d(8F)+  j  gr •   d X dF]  dX 3   +  [  f  s •   ó X dF]  ^ = 0>  -   0,  (1.3) 0  dF  F  F  X3  =  L gdzie  s  oznacza  brzegowe,  natomiast  r  masowe  sił y  reakcji  wię zów. Eliminując  z  (1.3)  reakcje  wię zów  za  pomocą  równań  ruchu div T + qb + Qr =   Q %,  (1.4) (gdzie  T   jest  pierwszym  tensorem  ekstra  naprę ż enia  Pioli- Kirchhoffa  i  wyraża  reakcję materiał u  ciał a  n a  stan  odkształ cenia)  oraz  warunków  brzegowych: T n^ p  + s,  (1.5) (gdzie  n jest jednostkowym  wektorem  zewnę trznie normalnym  do  8Q)  oraz  podstawiając skł adowe  przemieszczeń  wirtualnych  (z uwzgę dnieniem  (1.2))  otrzymano w  [5]  równania ruchu  i  warunki  brzegowe  dla  współ rzę dnych  uogólnionych. W  pracy  [6]  otrzymano  równania  teorii  skrę cania  skrę powanego  prę tów  o  zwartych przekrojach poprzez narzucenie n a ruch prę ta opisany w  [5] dodatkowych wię zów wewnę trznych  i  warunków  brzegowych. W  niniejszej  pracy  zawę ż amy  rozważ ania,  ograniczając  je  do  prę tów  o  bisymetrycz- nych  przekrojach  poprzecznych.  D odatkowe  wię zy  wewnę trzne,  narzucone  n a  funkcję spaczenia  przekroju  przyjmuje  się  w  postaci: :- «rara - o.  0- 6) SKRĘ POWANE  SKRĘ CANIE  PRĘ TÓW  181 gdzie  e  =   e(X 3 ,  t)  jest  nową   współ rzę dną   uogólnioną ,  okreś lają cą   stopień  skrę powan ia skrę cania  wzdł uż  dł ugoś ci  prę ta. U twierdzenie prę ta uniemoż liwia przemieszczenia pun któw przekroju  X 3   =  0  (przekrój podporowy  nie  paczy  się ,  nie wykonuje  obrotu i  nie przesuwa  się   w  pł aszczyź nie  OX t X 2 ), co  realizują   geometryczne  wię zy  brzegowe 6(0,0- 0, t  + S v - Skł adowe przemieszczeń  wirtualnych po  uwzglę dnieniu  (1.2) i  (1.6) przybierają   post ać: (1.10) Eliminują c  z  (1.10)  dodatkowe  sił y  reakcji  wię zów  za  pom ocą   (1.8)  i  (1.9)  oraz  sto- stosują c  lemat  du  Bois- Reymonda  i  twierdzenie  o  divergencji  otrzymuje  się   nastę pują cy ukł ad  równań  ruchu 182  K.  M AZU R- Ś N IADY i  [T ?lX i X 2 - T 3a (X l X 2 )JdF+  j P3 X l X 2 d(8F)  + DF j DF j Pl d(dF)+  J   Q b h dF = 8F  F  F  (1.12) T 2 i  dF+  f p 2  d(8F)  + f  ob 2  dF  =   /   g(yi 2  +  fXJdF, BF  F  F T flX,  -  T HX 2 )dF+  f  (p 2 X, - Pl X 2 )d(8F)  + F  BF +  j' Q^ X.- b.X^ dF  =   }  elyiXi- yiXt  + ipiX F  F oraz  warunki  brzegowe  dla X 3   =  0 i X 3   =  L: J(T 33 n 3 - p 3 )X 1 X 2 dF=O, F JT " 3 dFn 3 -   fp a dF=0,  (1.13) F  F J  (T ^ - T ^ XJclFn,-  f(p 2 X i - Pl X 2 )dF=0. F  F J  f F  F W  dalszym  cią gu  ogranicza  się  rozważ ania  do jednorodnych,  izotropowych  materia- ł ów,  dla których: T 1 1  =  T 22  -   C 1 1 3 3C .3 =  A I A s . 3 ,  (1.14) T 12   = T 21  =  C 1 2 3 3C , 3 =  0, T 23   = T 32  = Podstawiają c  (1.14)  do  (1.12)  otrzymuje  się  ukł ad  czterech  równań  róż niczkowych dla  czterech  współ rzę dnych  uogólnionych: (X+2fj,)Ie, 33- fxh  e- l*I s 3+/ oC?,33  =  0 s  (2.1) V«,33  = 0 , natomiast  warunki  brzegowe  (1.16)  dla X 3   =  0 w postaci: i 3 +   Jp3XiX2dF=0, F ,s+nl o ę >z +  f  (piXt- Pl X 2 )dF^ O,  (2.2) F F zaś  dla X 3   =  L  w postaci: £ . 3 = 0 , 1*1, £ + / j,I0(p,3~Ms  =  0,  (2.3) y«,3  = o . U twierdzenie  prę ta  w  przekroju  podporowym  realizują  geometryczne  wię zy  brzegowe: e(0)  =  0, ?(0) -   0,  (2,4) V«(0)  -   0. Rozwią zując  ukł ad równań  (2.1)  przy  uwzglę dnieniu  (2.2),  (2.3) i  (2.4)  otrzymuje się współ rzę dne  uogólnione: (2 . 5 ) Podkreś lone  czł ony w wyraż eniach  (2.5)  opisują cych  e i  95 powstają  w wyniku  skrę- cania  prę ta  zgodnie  z  wię zami  modelowymi  (1.2),  (1.6), pozostał e są  spowodowane  na- rzuceniem  wię zów fizycznych  (2.4)  opisują cych  podparcie prę ta. Ten sposób rozróż nienia Zachowany  zostanie  w  dalszych  rozważ aniach. Przeprowadzono  analizę  wpł ywu  utwierdzenia  i  proporcji  wymiarów  przekroju  n a funkcje  e i cp.  Rozpatrywano  prę ty z materiał u o stał ych materiał owych E =   2,1 •   105  M Pa i v  =  0,3, o polu  powierzchni  przekroju  poprzecznego  równym  polu  koł a  o promieniu a. Poziomą  pół oś  elipsy  przyję to  kolejno  równą  a, \ ,5a, 2a,  2,5a,  3o, SKRĘ POWANE  SKRĘ CANIE  PRĘ TÓW 185 Rys.  3 i 4 przedstawiają   wykresy funkcji  e i   wyraż onego  wzorem  (2.5)  wzdł uż  dł u- goś ci  prę ta  dla  wspornika  o  L   «•   20a,  a x   =  2a,  zaś  linia  prosta  przedstawia  wartoś ci podkreś lonego  czł onu w wyraż eniu  (2.5) na ką t  ę   (a wię c wzgł ę dny ką t  skrę cenia w  przy- padku  prę ta  sklecanego  swobodnie). Im bardziej kształ t przekroju  elipsy  odbiega  od przekroju  koł owego tym  wię kszy  staje się  wpływ zamocowania na ostateczną  wartość ką ta skrę cenia. Rys. 9 przedstawia  wzglę dną 186 K.  M AZ U R- Ś N IADY U 2 0 Q  25a  30a  35a  40a  L Rys.  5. -  1 - 2 - 3 1 - 1 2.25 1 4.0 a i / a 2 6.25 * > " - - ^ 9.0 - Rys.  6. Rys.  7. róż nicę  ką tów  skrę cenia w przypadku  skrę cania swobodnego i skrę powanego  dla róż nych proporcji  pólosi  elipsy. Po  podstawieniu  (2.5)  do  (1.14)  otrzymuje  się   skł adowe  stanu  naprę ż enia w nastę pu- ją cej  postaci: T 11  = T 12  =  0, rnl3  __ MJS(IQ+I S) [ch(kX 2 ) - (2.6) SKRĘ POWANE  SKRĘ CANIE  PRĘ TÓW 187 3.0 2.0 1.0 i  i  i  i  ; y ^ \   1   t  i  1 • I I I ' 0.1 L  0.2L  0.3L  OAL  Q5 L Rys.  8. l.OL 9.0 Rys.  9. _ -   th(kL ) sh(kX 3 )]  X t , Podstawiają c  (2.6) do  (1.4) i  (1.8) otrzymuje  się  te  sił y reakcji  wię zów,  które  wystę pują wewną trz  obszaru  Q -   - r.1 / [sh(kX 3 ) -   tHkL )  ch(kX 3 )]X 2 , Q r 2   = (2.7) [sh(kX 3 )~ ——-   [ch (fcr 3) -   th(fcL) sh(ikL)] A^  X2, 188  K.  M AZU R- Ś N IADY •   0,  R w =  }  (T fiX 1 - T ^ iX 2 )dF  =   0. Sił y  reakcji  wię zów  n a  BQ moż na  obliczyć  podstawiając  (2.6)  do  (1.5)  i  (1.9). N a  pobocznicy  prę ta  (dla  X 1}   X 2   e 8F  i  X 3   e (0, L ))  otrzymuje  się  nastę pują ce  sił y reakcji  wię zów: Ś2  =   4^4Y M / °" ~ 4 )  (2.8) Ś3 -   £ % TU  T [ch(feZ )- th(fcX)sh(kX 3 )][(/ 0+ I S)X2nt D la  elipsy  jak  na  rys.  2  skł adowe  wektora  zewnę trznie  normalnego  do  brzegu  mają skł adowe:  » a j^ i  _ a j^ 3  ( 2 9 ) w  zwią zku  z  tym  podkreś lony  czł on  w  wyraż eniu  Ś 3   jest  równy  zeru. W  przekrojach  koń cowych  prę ta  wystę pują  nastę pują ce  sił y  reakcji  wię zów: ( y ^   r n \   lcHkX 3 )- th(kL )sh(kX 3 )]\ n 3 - Pi , =  0,  (2.10) a o. W  przekroju  podporowym  ( Z 3  =  0,  «3  =   - 1)  otrzymujemy  zatem  róż ne  od  zera sił y  reakcji  wię zów: r.  M S X 2   MJ S X 2 I ( / o - SKRĘ POWANE  SKRĘ CANIE  PRĘ TÓW  189 natomiast  w  przekroju  X 3   = L , n 3   =  1 wystę pują   nastę pują ce  sił y  reakcji  wię zów: Jak  wynika  z  powyż szych  obliczeń  zastosowane  w niniejszej  pracy  wię zy  wewnę trzne wywoł ują   siły  reakcji  wię zów  modelowych jedynie  w koń cowych  przekrojach  prę ta.  Sta- nowią   one czę ść sił  reakcji  wię zów  S a  (dopeł nienie  stanowią   sił y reakcji  wię zów  fizycznych, spowodowane  sposobem  podparcia prę ta).  N ie jest  moż liwe  rozdzielenie  tych  sił  reakcji, ponieważ  nie wiadomo, jaka  czę ść  sił y p a   przypada  n a wię zy  modelowe,  a ja ka  na fi- zyczne. Przyjmują c  rozkł ad  obcią ż enia  zewnę trznego  w postaci M S X 2   MJ S X 2 Pi  —  — f — i + ~ r r (2.13) M s X t   .  MJ,X t P l   IÓ+I S   +   (I o +I s )I o ch(kL )  ' (speł nione  są   warunki  fp a   =  0,  j{pzX t —  p 1 X 2 )dF  =  M s ),  otrzymuje  się   sił y  reakcji >  F wię zów  modelowych i fizycznych  na koń cu swobodnym  (dla X3  =  L ) równe zeru. M oż na zatem  stwierdzić, że przyję ty  model jest  dobry i speł nia warunek fizycznej  poprawnoś ci. Interesują ce  jest  rozpatrzenie  przypadku  szczególnego,  a  mianowicie  skrę canego wspornika  o przekroju  koł owym.  Wówczas  a y  =  a 2   — a, zaś I s   = 0. W  zwią zku  z  tym znikają   wszystkie  sił y  reakcji  wię zów  modelowych i fizycznych  wewną trz  obszaru  Q i  n a pobocznicy.  Pozostają   jedynie  sił y  reakcji  wię zów  modelowych  n a koń cach  p rę t a: „  M S X 2 S  n 3 - p itlQ J O  1  A \ które także znikają   n a koń cu swobodnym w przypadku  rozkł adu  obcią ż enia zewnę trznego w  tym przekroju  w postaci: M S X 2 S 2  s t  1  s Pi  =   r—.  Pi  - —r  •   (2- 15) • la  J o Znikanie wię zów fizycznych jest w tym przypadku oczywiste.  Przekroje prę ta okrą gł ego Ze wzglę du  na osiową   symetrię   nie ulegają   spaczeniu,  w zwią zku  z tym jest  równ a  zeru funkcja  e, okreś lają ca  stopień  skrę powania  wzdł uż  dł ugoś ci  prę ta,  a ką t obrotu  (p  jest wówczas  liniowo zależ ny od współ rzę dnej X 3   (tak jak  w przypadku skrę cania swobodnego). ]90  K.  M AZU R- Ś N IADY Literatura 1.  C z.  WO Ź N I AK,  W stę p  do  mechaniki  analitycznej  kontinuum  materialnego, D ynamika  ukł adów  sprę - ż yst yc h—  praca  zbiorowa,  Wrocł aw  1976. 2.  A.  i  L.  F Ó F P L , Drang  und  Zwang,  Monachium—- Berlin  1944,  t.  2. 3.  J. N O WI Ń SK I, Skrę canie  prę ta prostopadfoś ciennego,  którego jeden przekrój pozostaje piaski,  Arch.  M ech. Stos.,  1,  1953. 4.  W.  BU R Z YŃ SKI,  O  niedornaganiach  i  koniecznych  uzupeł nieniach  de  Saint- Venantowskiej  teorii prę tów prostych,  P race  Wrocł awskiego  Towarzystwa  N aukowego,  Seria  B,  nr  42,  Wroclaw  1951. 5.  K.  M AZŁTR- Ś N IAD Y,  Some  problems of  torsion  of  prismatic rods as  bodies with internal constraints,  Bull. Acad.  P olon .  Sci.,  sci.  techn .,  22,  1974,  s.  389- 397. 6.  K.  M AZ U R - Ś N I AD Y,  Skrę canie  pryzmatycznych  prę tów  jako  ciał   z  wewnę trznymi wię zami, M echanika Teoretyczn a  i  Stosowana,  4,  17,  1979,  s.  553  -  565. Praca  wykonana  w  ramach C.P.B.P.Ol.02. P  e  3  IO  M e G T E C H fiH H O E  K P Y^ E H U E  n P H 3 M AT H ^ E C K H X  CTEP>KI- IEM  O BH C H M M E T P H M H LI X CELTOIIIH LIX  C E ^ E H H H X TeiwoJi  pa6oTW  HBJWieTCH   BŁ I BO A  TexmroecKoft  TeopHH   CTecH emioro  K p yie m r a CTep>KHeii o  6H CKM M erpH tiH bix3  c n n o iu H bix  ceiiem un c  Ha ocuoBe  MexaHHKK  Ten c  BHyTpeHHWMH   C BJI SH M H   [1].  B  n p iiM ep e  pacciviaTpH BaeTca  oflH opoflH yio,  H3OTponHyio  KOH COJIŁ  O  nonepe^iH oM   ce^ein iH B  BHfle  sjijin n c a .  KOH C OJI Ł  H arpy>KeH a  KpyTHiUHM   MOMei- rroM  n a  cBo6oflHOM   KoHUe.  rTonyiaeTCH   anajiH - TH »ecKoe  pein eH H e  n p o 6n eM bi  H  aH ajnraH pyeicH   njiH H H ne  cooTHouieHHH  noJiyoceK  sjuiH n ca yrjia  KpyneiiH H   u