Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf MECHANIKA TEORETYCZNA I  S TOS OWANA 1,  26,  1988 METODA  S UPERELEMENTU  W  STATYCE  UKŁADÓW  Z  WIĘ ZAMI JEDNOS TRONNYM I RYSZ ARD   PISKORSKI Instytut  Okrę towy  Politechniki  Gdań skiej I dea  superelem en tów i  rozwią zan ia  operatorowe pewn ych  ukł adów regularn ych  pozwo- lił y  otrzym ać  rozwią zan ia  w  postaci  zam kn ię tej  zagadn ien ia  statyki  m ostów  pon ton owych z  wię zami  jedn ostron n ym i  n a  obroty. 1.  Wstę p P od  poję ciem  ukł adu  z  wię zami  jedn ostron n ym i  bę dzie  się   rozum ieć  ró wn an ia  statyki m ostów  pon ton owych ,  posiadają cych  jedn ostron n e  ogran iczen ia  na  wzajemne  o bro t y pon ton ów  w  poł ą czen iach.  R ówn an ia  te  mają   postać  [2]: p- K- z+ L- m. gdzie:  p  —we k t o r  obcią ż eń  w  wę zł ach, m  —  wektor  m om en tów  w  p u n kt ach  zwarcia  m o st u  (reakcje  n a  wię zy  / ) , z —  wektor  ugię ć  pion owych  przegubów, / —  wektor  jedn ostron n ych  ograniczeń  n a  wzajemne  o bro t y  p o n t o n ó w  w  prze- gubach , K —  m acierz  sztywnoś ci  podł oża  sprę ż ystego, I  m acierz  struktury  u kł ad u  (operator  róż n icowy). Cechą   charakterystyczn ą   tego  u kł ad u  są   jed n o st ro n n e  wię zy  w  post aci  n ierówn oś ci w  (1.1). Wię zy  te interweniują   w  postaci reakcji  m,  w t e n  sposób,  że  m  >  0,  gdy /   =   L T  •   z. M ówim y  wtedy,  że  po n t o n y  są   zwarte,  tworzą c  tzw.  strefę   zwarcia.  W  ogóln ym  przy- padku  obcią ż enia  lokalizacja  stref  zwarcia  n ie  jest  zn an a  i  n ależy  ją   zn ajdować  drogą dość  pracoch ł on n ych  obliczeń  n a  maszynie  cyfrowej.  W  przypadku,  gdy  obcią ż en ie  m o st u skupion e jest  w  pewnym  ogran iczon ym  obszarze,  wówczas  równ ież  strefa  zwarcia  pojawia się   w  otoczen iu  tego  obszaru.  W  takiej  sytuacji  rozwią zan ie  u kł ad u  r o zp a d a  się   n a  dwa rozł ą czne  obszary: a)  strefę   zwarcia,  w  której  m  >  0, b)  strefę   rozwartą ,  w  której  m  — 0. W  strefie  zwarcia  do  wyznaczenia  z  ukł adu  (1.1)  są   ugię cia  z  i  m o m en t y  zwarcia  m. 192 R .  PlSKORSKI W  strefie  rozwarcia  tylko  ugię cia  z  Z ukł adu p  — K •   z.  W  punkcie  rozdział u  obu  stref dział a  sił a  tną ca  wzajemnego  oddział ywania  w  przegubie.  Poł oż enie tego  punktu  nie jest jedn ak  znane  'a  priori'  i  należy  je  znaleźć  z  dodatkowego  warunku  zgodnoś ci  ugię ć. Takie  podejś cie,  mimo  niejednoznacznoś ci  w  sensie  dł ugoś ci  strefy  zwarcia  nasuwa pomysł   uż ycia  metody  dwóch  superelementów  obejmują cych  strefę   zwarcia  i  rozwarcia jako  rozł ą czne obiekty  do  dalszej  analizy.  Metoda superelementu pozwala  bowiem  wyeli- minować  dużą   ilość  niewiadomych,  które  do syntezy  ukł adu nie  są   potrzebne.  Dotyczy to przede  wszystkim  strefy  rozwartej,  która  charakteryzuje  się   zanikają cym  cią giem  ugię ć w  miarę   oddalania  się   od  punktu  przył oż enia  sił y. 2.  Pół ograniczone pasmo  pontonów (P P P ) Strefa  rozwarta  jest  pół ograniczonym  cią giem  pontonów,  w  stanie  bezzwarciowym w  przegubach,  a  jedynym  obcią ż eniem  zewnę trznym jest  sił a skupiona  na jednym  brzegu tej  strefy. Równania  (1.1)  w  przypadku  n jednakowych  pontonów  sprowadzają   się   do ukł adu / > =   K  - z: (2.1) (2.2) (2.3) gd zie: =  .p 0 , _  0 , y  a-  b 12 l T a —  dł ugość pontonu, b —  szerokość  pontonu, /  —  odległ ość  mię dzy  przegubami, y —  cię ż ar  wł aś ciwy  wody. 1 . i  , r a r 2 d 11 i i i •  L- t C X n Rys.  1. U kł ad  równań  jednorodnych  (2.2)  z  warunkami  brzegowymi  (2.1)  i  (2.3)  moż na  roz- wią zać  metodą  operatorową   [1], zakł adają c rozwią zanie w postaci Zj =  A- (r)J,j  = 0,  1,  ...n, W  rezultacie  otrzymamy  nastę pują ce  pierwiastki  równania  charakterystycznego: (2. 4) M E T O D A  SU P ERELEM EN TU . 193 oraz Stał e  Ai,A 2 ,  wyznaczon e  z  warun ków  brzegowych  (2.1)  i  (2.3)  wyn oszą : M k' M Po k  ' gdzie: M  = M oż na  wykazać,  że  pon ieważ  r x   •   r a  =   1  oraz  r t  ,6  /- 2  t o : (2.5) 2 ] / 3 ] / a  fc =   0 . Obliczenia  n um eryczn e  dla  «  =   1  {a  — 1) wykazują   bardzo  szybką   zbież n ość a  A 2   d o  zera  już  dla  niewielkiej  liczby  pon ton ów  ( pat rz  tabl.  1). x  d o Tablica  1 n Ik A t Po 2k A% Po 2 0.58034 3.10"3 3 0.57756 2.1  10"* • 4 0.57737 1.5 10~ 5 5 0.577351 1.1  10- 6 6 0.57735 7.9  1 0 - s Ik  1 D la  n  =   oo  —A t   =  - Ą =- =   0.57735. Po  j/ 3 Z  powyż szego  zestawien ia  m oż na  wn ioskować,  że  dla  n  >  4  pół ogran iczon e p a sm o  p o n - ton ów  m o ż na  t rakt o wać ja k o  pół n ieskoń czone  (n  =  oo). R ozwią zan ia  u kł a d u  (2.2)  mają wówczas  szczególnie  prostą   p o st a ć : ,  1  />o ..  2j/ 3|/ a  A: (2.6) czyli z,  =  3 0 -   Ą , it d . Wn iosek:  P P P  t rakt o wan e  ja ko  superelem en t  posiada  sztywność  n a  ugię cie  p io n o we 13  M ech .  T eoret .  (  Stos.  1/ 88 194  R .  PlSKORSKI w  wę ź le  brzegowym  n r .  0  ró wn ą: k 0   =   2 / 3  ]/«"•   k,  (2.7) t z n .  p 0   =   k 0   •   z Q . 2.1.  Ograniczenia  stosowalnoś ci  superelementu P P P .  Superelem ent  brzegowy  charakteryzu- je  jego  sztywn ość  n a  brzegu  (k 0 ).  Sztywność  ta  jest  wielkoś cią  stał ą,  dopóki  wewną trz t ego  elem en tu  n ie  pojawi  się  dodat kowe  zwarcie,  wynikają ce  z  wyczerpania  się  luzów m ię dzy  p o n t o n a m i.  Waru n ek  t en  w  sposób  istotny  ogran icza  zastosowan ie  elementu P P P  w  obliczen iach ,  zmieniając  jego  charakterystykę  sztywnoś ciową.  W  tym  sensie  ele- m en t  P P P  po siad a  ch arakterystykę  nieliniową  (zmienną  skokowo). Z  zan ikają cego  ch arakt eru  ugięć  wę zł ów  wewną trz  P P P wynika,  że  dodatkowe  zwarcie m oże  pojawić  się  albo  w  wę ź le  1, gdy  z 0  <  0,  albo  w  wę ź le  2,  gdy  z 0  >  0,  (patrz rys.  2). •   - oznacza  zwarcie O — brak  zwarcia •   R ys.  2. Badając  warun ek  zwarcia  w  o bu  przypadkach  w  odpowiedn ich  wę zł ach  otrzymuje  się n astę pują ce  ogran iczen ie  n a  ugię cie  z 0 : 2  "  < Z <  =   Z"'  ( Z 8 ) 2 " "  JF^ W     P zw   pojawia  się   w  przegubie  0 moment zwarcia  i  od  tej  chwili  należy  wpro- wadzić  inny  model  obliczeniowy,  uwzglę dniają cy  istnienie  strefy  zwarcia  mię dzy  P P P (rys.  4). Rozwią ż emy  to  zadanie  metodą   superelementów.  Superelement  zwarty  obejmuje przeguby  0- 1- 2.  P o  obu  jego  stronach  znajdują   się   superelementy P P P , 13* 196 R .  PlSKORSKI (PPP) (PPP) Rys.  4. Równanie  równowagi  dla  superelementu  0- 1- 2,  zgodnie  z  (1.1)  ma  postać: i'o Pi Pz A (3 +  «)fe ( 3- 00* 0 1 ,  (3- «)fc, ,  2(3 +  oc)fc, ( 3 - «)f c > 2 T 0 (3- a)fc, (3+ «)fc, 1 i 2 1 ~ T 0 m, (3 . 3 ) Brzeg  elementu  stanowią   przeguby  0  i  2.  P onadto:  po  = Pz  —  0, / ?!  =  P ,  z0  =   z 2 .  Po uporzą dkowaniu  ukł adu  (3.3)  ze  wzglę du  na  ugię cia  brzegowe  i  wykorzystaniu  symetrii otrzymamy: (3 +  «)/ c, (3- .)., 1 - T  ! ( 3 — oi)k,  — (3 + a ) *, 1 T l T 1 T 0 • z 2 0 2 J_ 2 Redukują c  obcią ż enie  do  brzegu  otrzymamy  kolejno: reakcje  brzegu r b  — KM Ku  Pi  —  — sił y  na  brzegu ci) - Ł . macierz  brzegową   elementu  0- 1-2 (b) (3. 4) (0 (3. 5) Od  strony  superelementu  brzegowego  P P P : =   0 , (3.6) M E T O D A  SU P E R E L E M E N T U . . .  197 Zatem  na  brzegu  równanie  równowagi  jest: ) - * *,  (3.7) ską d: Z  rozwią zaniem  z2  moż na  wrócić  do  superelementu  (strefy  zwarcia)  i  obliczyć  pozostał e niewiadome,  np.  moment  zwarcia: mt  =   *L - 6 fe2 -   . ! + * - #R  (3.9) Przyjmują c  mx  =   0 znajdziemy  minimalną   sił ę , przy  której  znika zwarcie  w  ś rodku  strefy: P min   -   (j/ 3  + 1/ «) fakfl>  (3.10) wartość  której  pokrywa  się   z  rozwią zaniem  (3.2). Moment  gną cy  m t   moż na  wtedy  przekształ cić  do  postaci: 2/ 3+l/ « 2 Zakł adają c  zwarcie  na  brzegu  mię dzy  superelementami  moż na  obliczyć  P m!lx ,  czyli sił ę ,  kiedy  doł ą czy  się   nastę pny  ponton  ze  strefy  rozwartej,  albo  kres  zał oż onego  typu rozwią zania: P max   =  3 [2 +  ( |/ r + 1/ «) ( 2 j/ 3"+  |/ a) ] */ / .  (3.12) Zatem zakres  rozwią zań  przyję tych  na wstę pie jest  ograniczony  do  sił y P  speł niają cej  nie- równoś ć: Pmin  ^ P ^   Pm«*<  (3.13) Sprawdzimy  jeszcze,  czy  w  cał ym zakresie  (3.13)  superelement  PPP jest  liniowy,  tzn.  czy nie  interweniuje  warunek  (2.8).  Łatwo  sprawdzić,  ż e: 4| /3 N a koniec, wracają c  do (3.8) moż na zauważ yć, że dla sił y P o  =   6kfl  zh  =   0, co oznacza, że  znika  oddział ywanie  mię dzy  strefami.  Strefa  rozwarta  jest  pł aska  (z;  =   0)  i  nastę puje „izolacja"  strefy  zwarcia,  bo  sił a  wzajemnego  oddział ywania  spada  do  zera.  Takie  zja- wisko  moż na  zaobserwować  dla  dowolnej  strefy  zwarcia,  pomię dzy  kolejnymi  przył ą - czeniami  pontonów. 4.  Podsumowanie W  przykł adzie  przytoczonym  w  punkcie  3  pracy,  dzię ki  swej  prostocie  moż na  był o wyznaczyć  podstawowe  relacje  zachodzą ce  w  moś cie  w  począ tkowej  fazie  zwarcia  mostu z  sił ą   skupioną   w  przegubie.  Podobne  zwią zki  moż na  wyznaczyć  dla  sił y  przył oż onej w  ś rodku  pontonu  [2]. 198  R . PlSKORSKI D alsza  analiza,  przy  zwię kszaniu  liczby  pontonów w  zwarciu  nie  jest  już  moż liwa w  sposób  analityczny.  Przeprowadzić ją   moż na jedynie  na  maszynie  cyfrowej,  wykorzy- stują c  opisaną   wyż ej  ideę   superelementu.  Celem  niniejszej  pracy  był o  naszkicowanie metody  w  zagadnieniu  statyki  mostu  z  wię zami  jednostronnymi,  a  w  szczególnoś ci zastosowanie  elementu P P P . D la  pewnych  ukł adów  regularnych  moż liwe  są   rozwią zania  operatorowe  również w  strefie  zwarcia,  ale  to  już  bę dzie  tematem  innej  pracy. 5.  Wspomnienie N iniejszą   pracę   pragnę   poś wię cić  pamię ci  Profesora  Józefa  Wię ckowskiego,  który zapoczą tkował  prace n ad ukł adami dyskretnymi  i  swoim  zaangaż owaniem  dał  asumpt do powstania  szeregu  prac  poś wię conych  mechanice  mostów  pł ywają cych. D zisiaj  niestety  nie  ma  G o już  wś ród  nas. Literatura J.  R.  BITTN ER,  Rachunek  operatorów  w  przestrzeniach  liniowych,  PWN ,  Warszawa  1974. 2.  R.  PISKORSKI,  N umeryczne  i  analityczne zastosowanie  sztywnych  elementów  skoń czonych do  statyki mostu pontonowego z  wię zami, Prace  Badawcze  I. O. P. G .  N r.  1635/ MR- 632/ 82,  G dań sk  1982. 3.  J.  WIĘ CKOWSKI,  Elementy  dynamiki mostu pontonowego z  luzami obrotowymi w opisie  dyskretnym, Prace IM P,  z. 77, Gdań sk 1980. P  e 3 ro M  e M ETOfl  C yn E P 3JI E M E H TA  B CTATHKE  CH CTEM   C OUHOCTPOHHŁIMH H fleH   cynepajie.weH TOB  n  o n e p a io p H o e  KHTerpwpoBaHHe  neKOToptrx  p eryjin p u bix  cucreM   no3Bo- JI H JI BI  n o Jiyn iT B  B 3aMKHyT0H  (jjopMe  pe3yjiBTaTW  B  c r a n iK e  n o irro im bix  IKOCTOB  C  ofluocTpoHHWMH   C BH - 3H M H   n pw  o So p o T ax. S u m m a r y SU P E R E LE M E N T  M ETH OD   I N   TH E  STATICS  OF   SYSTEM   WITH   U N ILATERAL CON STRAIN TS Idea  of  superelement  and  operator  integration solutions  of  certain regular  systems allowed  to obtain in  exact  form  the  solutions  of  the ferry- bridge  problem with  unilateral  constraints on pivot. Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  22  grudnia  1986  roku.