Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\01mts88_t26_zeszyt_1.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  26, 1988

OPERATOROWA  METODA  ROZWIĄ ZANIA  PEWNEGO  UKŁADU
ŁAŃ CUCHOWEGO

RYSZARD   PISKORSKI

Instytut  Okrę towy  Politechniki Gdań skiej

Rozwią zano  ukł ad  równań,  opisują cych  statykę   mostu  pontonowego  w  zwarciu,  sto-
sują c  rachunek  operatorów  do  cał kowania  równań  róż nicowych.

1.  Wstę p

U kł adem  ł ań cuchowym  bę dziemy  nazywać  ukł ad  pontonów  tworzą cych  most  pł y-
wają cy  z  ograniczeniami  na wzajemne  obroty  w  przegubach,  zwierają cy  się   pod  wpływem
obcią ż enia zewnę trznego.  Strefa  zwarcia  przesuwa  się  wraz  z przemieszczają cym  się   obcią -
ż eniem,  stanowią c  w  ten  sposób  rodzaj  mostu  promowego,  nieruchomego  jednak  jako
cał oś ci. Po obu stronach strefy  zwarcia  reszta mostu zachowuje  się  jako  ukł ad poł ą czonych
przegubowo  pontonów, nie  przenoszą cych  obcią ż enia.

W  pracy  [2]  rozwią zano  zagadnienie  począ tkowego  zwarcia  mostu,  traktują c  strefę
zwarcia  i  strefę   rozwarcia  jako  dwa  superelementy.  U dał o  się   przy  tym  zredukować
sztywność  cał ej  strefy  rozwartej  do  wę zła  brzegowego,  dzię ki  wykorzystaniu  rachunku
operatorowego  zastosowanego  do  róż nic  skoń czonych,  opisują cych  równania  równowagi
w  tej  strefie.  Ograniczenie  rozwią zań  analitycznych  wynikał o  tylko  z  wielkoś ci  strefy
Zwarcia  i  dla  dł uż szych  stref  zwarcia  należ ało  korzystać  z  pomocy  komputera  przy  ana-
lizie  strefy  zwarcia,  traktowanej  jako  superelement  [3].

D la  pewnych  spotykanych  w  praktyce  obcią ż eń  statycznych  sił ami skupionymi  i  przy
zał oż eniu regularnoś ci konstrukcji  mostu moż liwe  są  również rozwią zania  w strefie  zwarcia
w  postaci  analitycznej,  dzię ki  zastosowaniu  rachunku  operatorowego.

Tematem  tej  pracy jest  analiza  strefy  zwarcia.  Jest  zatem  ta  praca  kontynuacją   idei
superelementu  rozwinię tej  w  [2].

2.  Sformułowanie problemu

Równania  statyki,  opisują ce  strefę   zwarcia  mają   postać  [2]:

p  =   K-  z+  L-  m,

/ .  .  I  *  •   w



200 R .  PlSKORSKI

gdzie:  p  —wekt o r  obcią ż eń  zewnę trznych,
m —  wektor  niewiadomych  momentów  zwarcia  w  przegubach,
z —  wektor  przemieszczeń  pionowych  wę zł ów,
/ —  wektor  zadanych zmian ką tów  nachylenia mię dzy  pontonami w przegubach,

wynikają cych  z  luzów  mię dzy  pontonami w  stanie  nieobcią ż onym,
K —  macierz  sztywnoś ci  podł oża  sprę ż ystego,
L —  macierz  „ struktury"  ukł adu  (operator róż nicowy).

Z akł adamy,  że  strefa  zwarcia  obejmuje  nieokreś loną   bliż ej  ilość  pontonów,  liczbę
których  należy  okreś lić  1  dodatkowych  warunków  zwarcia  (m >  0)  i  cią gł oś ci  ugię ć na
styku ze strefą   rozwarcia. D zię ki pasmowej budowie macierzy K i L moż na powyż szy ukł ad
(2.1)  rozwią zać  metodą   operatorową   [1], przepisują c  go  w  postaci:

W  ten  sposób  po  „ scał kowaniu" pierwszej  grupy  ukł adu równań  (2.2) i  wyznaczeniu
przemieszczeń  z  moż na nastę pnie  „scał kować" drugą   grupę   równań i  w ten sposób  obli-
czyć momenty  zwarcia  m  w  cał ej  strefie  zwarcia.

N iech ukł ad obcią ż ony bę dzie jedną   sił ą  skupioną   przył oż oną  do pontonu „zerowego",
wokół   którego  rozcią ga  się   po  obu  stronach  strefa  zwarcia,  (rys.  1).

Rys.  1

Zanurzenia  przegubów  pontonu „ 0 ": z
0
  i  z

0
  okreś lają   jednoznacznie poł oż enie całej

strefy  jako  ciał a  sztywnego,  moż na je  wię c  traktować jako  stał e  do  wyznaczenia  po roz-
wią zaniu  ukł adu  (2.2). Jednocześ nie sił y  wzajemnego  oddział ywania pomię dzy  pontonem
"„ 0"  i resztą   strefy  zwarcia: p

0
,  p

0
  oraz m

0
,  m

0
  stanowią   obcią ż enia brzegowe  n a koń cach

obu  czę ś ci  strefy  zwarcia.  Z  równań  równowagi  pontonu zerowego  mamy  nastę pują cy
zwią zek  tych  obcią ż eń  z  sił ą   zewnę trzną   P:

Po
  =

P  •   1
Po  =  —r ~ —( 3 +  a) i —  a )  k  •   z 0  —  •m0  —m0

I

(2.3)



OP E R ATOR OWA,  M E T O D A....  201

a —  dł ugość  p o n t o n u ,
b  —  szerokość  p o n t o n u ,
/  —  odległ ość  mię dzy  przegubam i,

y  —  cię ż ar  wł aś ciwy  wody,

pozostał e  oznaczenia  zgodnie  z  rys.  1.

3.  Rozwią zania  w strefie  zwarcia

3.1.  Ugię cia  przegubów.  R ówn an ia  okreś lają ce  ugię cia  przegubów  w  strefie  zwartej,
rozcią gają cej  się   p o  prawej  stron ie  p o n t o n u  „ 0 ",  mają   postać  L T  •  z  = / ,  a lb o :

z i _ 1 - 2 zi  +  z,.+ 1  =   - / • /,  ( / =   1, 2,  . . . , «—1 ) ,  (3.1)

a  d l a  i  =   0 :  .  • •.

z
o
- 2z

o
+z

t
  =   - / • /.  (3.2)

R ówn an ie  (3.1)  jest  równ an iem  róż nicowym,  kt ó rego  rozwią zan ie  przewidujem y
w  po st aci:  zj = A(r)J,  co  prowadzi  do  ró wn an ia  ch arakterystyczn ego:

/ ' 2 - 2 - r +l  =  0,  ską d  r
t
—r

%
  — \ .

Stą d  cał ka  ogólna  równ an ia  jedn orodn ego  m a  p o st a ć :  zj  — A+Bj.  W celu  obliczen ia
cał ki  ogólnej  równ an ia  n iejedn orodn ego  należy  z rozwią zan ia  zj  zbu do wać  cał kę   Xj  speł -
niają cą   jedn orodn e  warun ki  począ tkowe:  x

0
  =  0,  x

t
  = 1,  stą d  Xj = j .

Wtedy  cał ka  równ an ia  n iejedn orodn ego  m a  po st ać  [1]:

k=\

P o n i e wa ż  qj  —  <7j_fc  =   —/ /   =   c o n st . ,  st ą d;

j

Z atem  rozwią zanie  równ an ia  róż nicowego  (3.1)  m a  ostateczn ie  p o st a ć :

Zj =  A+B- j- - t~- j
2
.  (3.4)

Stał e  A  i B wyzn aczam y  z  waru n ku  brzegowego  (3.2),  st ą d:

A  _  -   R _ z  - z  — —  f3  5")

D la  lewej  stron y  strefy  zwarcia  m o ż na  n atych m iast  n a p isa ć :

. J " _  ^  o  _  •=   _ _ 7  _  j l  H  fi"ł

pod  warun kiem ,  że  n um eracja  wę zł ów  tej  czę ś ci  bę dzie  się   odbywać  w  o d wr o t n ym  kie-

run ku  (w  lewo)  od 0  do n.

Z n ajom ość  rozwią zań  (3.4) z dokł adn oś cią   d o z 0 i z0  pozwala  n am  obliczyć  ro zkł ad y

m om en tów  w  strefie  zwarcia.

14  M ech .  T eoret.  i  Stos. 1/ 88



202 R .  PlSKOU SKI

3.2.  M omenty  zwarcia.  R ó wn a n i a  o kr eś la ją ce  m o m e n t y  z wa r c ia  L m=p- K- z  d la

p r a we j  s t r o n y  st refy  z wa r c i a  m a ją   n a st ę p u ją cą   p o s t a ć :

m
i
-

1
- 2m

i
+m

l+l
  =  kl[(3- <x),  2(3 + a ) ,  (3- a)] (3.7)

(3- a)] I s  q0,
(3.8)

gdzie:  poi  m o  —  obcią ż enia  wę zła  0,
p„ —  obcią ż enia  wę zła  n  od  strony  strefy  rozwartej.

Prawe,  strony  równań  (3.7)  i  (3.8)  po  podstawieniu  rozwią zań  (3.4)  mają   postać:

q
0
  =   p

0
l- 6Akl- (3- «

q
n
  =   - p,J+6Akl+Bkl[3(2n

( 3 - a ),

(3.9)

Postę pując  jak  w  p.  3.1  znajdziemy  rozwią zanie  równania  róż nicowego  (3.7):

C+DJ+ (3.10)

Stał e  cał kowania  C  i  D  wyznaczone  z  warunków  brzegowych  (3.8)  mają   postać:

C  =  m
0
^  p

o
l(n- l)- pJ- 6Aklb(n- 2)  +

- Bk![2n(n- l)(n- 2)- (3  + a)

kfl
2

[ n ( n - l )2 ( n - 2 )-
(3- 11)

D  =   - p
o
l+(l- a)Bkl.

W  rozwią zaniach  wystę puje  oprócz niewiadomych  z
0
,  p

0
,  m 0, również  nieznana liczba

pontonów  n p o  prawej  stronie  strefy  zwarcia.  Sił a p„ wystę pują ca  na koń cu  strefy  zwarcia
reprezentuje  oddział ywanie  reszty  rozwartej  mostu.  Zgodnie  z  obliczeniami  w  [2], siłę
dział ają ca  na  czę ść  rozwartą   mostu  moż na  wyrazić  nastę pują co:

p*  =   K  •  z
n
, k n  =   2^3  |/ «k .  (3.12)

Równanie  cią gł oś ci  sił  na koń cu strefy  zwarcia: p% +p^   =  0 pozwala  obliczyć  sił ę p„  =  pń x
dział ają cą   na  koń cu  strefy  zwarcia;



O P E R AT O R O WA  M E T O D A. . .  203

gdzie  z„ jest  ugię ciem  koń ca  strefy  zwarcia:

Podstawowy  warunek  pozwalają cy  okreś lić  liczbę   pontonów  n  w  zwarciu  z  prawej
strony pon ton u  ś rodkowego, t o warunek zerowania się  momentu n a koń cu strefy:  m„ =  0.
Warunek  ten prowadzi  do równ an ia:

- p
0
l+Akl(l2n+2]/ J  ]/ a)  + Bkl6n + (2 }/ J j/ cT) +

-   kfl2n(2n2  + 1 ~]/ J  ]/ an)  =  0.

Podobny  warunek  moż na  napisać  dla  lewej  strony  strefy  zwarcia,  podstawiają c:

p
0
  =  p

0
,  A  =  A,  n =  n  it d.

Poprzez po  i p
0
  zgodnie z równaniami  (2.3) wchodzą   do rozwią zania  param etry  z obu

stron  zwarcia  i  przez  to  zadanie  nie jest  proste  do dalszej  analizy.
Stosunkowo  proste  rozwią zania  otrzymuje  się  dla symetrycznych  przypadków  obcią -

ż enia,  które  zostaną   przedyskutowane  w  dalszym  cią gu.

4.  Symetryczne  przypadki  obcią ż enia

4.1.  Siła  skupiona w ś rodku  pontonu. W  tym  przypadku  l
t
  = l

z
  = —  (patrz  rys.  1).

Strefa  zwarcia  musi  być symetryczna  tzn :  z 0 =  z0,  m0  — m0,  stą d  m oż na  rozpatrywać
tylko  prawą   stronę   strefy  zwarcia  i  n a podstawie  (2.3):

p

Ponieważ B =   — - ^- zgodnie z (3.5), wię c rozwią zania w strefie zwarcia bę dą  m iał y postać:

(j+l)j.  (4.2)

M omenty  gną ce,  zgodnie  z  (3.10):

[  ,  kfl2  „  / ]  .
u*  m

0
- b>o/ + —~—O- °0\ J  +

gdzie:
™

0
  =  p

0
l(n- l)- p„ł - 6klz

0
(n~2)  +

Irfl
2
  left

2  (4- 3)
N i  n(n* -  l) ( n -  2) -   ^ -   (3 +  o > ( +  D+

n — liczba  pontonów w  zwarciu  po prawej  stronie  pon ton u  zerowego.

Odpowiednikiem  równania  (3.13)  jest  teraz:

= 0 , (4.5)

14*



204  R .  PlSKORSKI

ską d:

'  ~- 2n(n+l)(2n+l)fl

z
  =   _ — _ — ,  (4.6)

6(2n+l) + 2]/ 3  )/«
oi'az

fl
z

0
  =   z,,+ - ^ -

Cał kowita  dł ugość strefy  zwarcia  wyraż ona  w  iloś ci  pontonów wynosi  2n+1 (pontonów).
Relacje  (4.6)  pozwalają   wyznaczyć  zanurzenia  ś rodkowych  przegubów  z 0  i  koń co-

wych  z„, jeś li  znamy ilość pontonów w  zwarciu. N ie mamy przy tym ż adnej gwarancji,  ż e:
a)  wszystkie  pontony  wewną trz  strefy  są   zwarte  (m

t
  >  0  dla  i  < n),

b)  nie  wystę puje  zwarcie  na  styku  strefy  zwarcia  i  rozwarcia.
Warunki  powyż sze  moż na  sprowadzić  do  nastę pują cych  ż ą dań:
a)  w„ _ x  >  0 —  wobec  monotonicznoś ci funkcji  w;  (4.3),
b)  <p„  < f—  gdzie  <p

n
  jest  ką tem zał amania  pomię dzy pontonami  na  styku  strefy  zwarcia

i  rozwarcia.
N ie  speł nienie warunku  (a) oznacza odł ą czenie się   ostatniego  pontonu od  strefy  zwarcia,
Zaś  w  przypadku  (b) — doł ą czenie  się   nastę pnego  do  strefy  zwarcia.

Ką t  zał amania  <p„  wynosi:  q>„  =   (—z„- i+2z
n
  — zM + 1)-  - p  Podstawiają c  z„_1  ze  strefy

zwarcia  (4.2)  i  z„ + 1 ze  strefy  rozwarcia:  z„ + 1  =  z„   •  r, gdzie  r  zgodnie z formuł ami w  [2]:

l/ J  - l/a
r  =   ~=—- =- ,  otrzymamy:

V73+ l/ a

9>- - - j- (l- r>- y?>.  (4.7)

Warunki  (a) i  (b) prowadzą   w  rezultacie do nastę pują cego  ograniczenia na ugię cia koń ca
strefy  zwarcia:

c , 8 )

lub  w  powią zaniu  z  siłą   P:

"n,min  "<   -i

gdzie:

ifi  "'—T fi  W
3  (2n + l) +  ]/ aJ( ]/ 3- ) / a) 2n,

(4.9)

(4.10)

Pn.zer jest  sił ą ,  przy  której  nastę puje  „izolacja"  strefy  zwarcia  (z„  =   0). Wówczas  siła
wzajemnego  oddział ywania mię dzy  strefami  jest  równa  zeru,  a  most  poza  strefą   zwarcia



O P E R AT O R O WA  M E T O D A. . . 205

jest  pł aski. Obliczają c  P,,, n,;n  i  P„, max  dla  każ dego  n znajdziemy  przedział y, w ja kic h  m u si
się   znaleźć  sił a P, aby  moż liwe  był o  zwarcie  n p o n t o n ó w w prawej  czę ś ci  strefy  zwarcia,
albo  2 « + l  p o n t o n ó w w  cał ej  strefie.
W  tablicy  1 przedstawion o  bezwymiarowe  wartoś ci  t ych  sił  dla a. =  0.91.

Tablica  1

n

1
2
3
4
5
6

• *it,  min

kfl

14.43
90.07

274.94
617.02

1164.3
1964.8

kfl

24
120
336
720

1320
2184

'  n,  max

kfl

90.07
274.94
617.02

1164.3
1964.8
3066.6

Wnioski  do tablicy  1
1.  Z warcie  pun ktowe  n = 1 m oże  zajść  dla sił y  P\ ,

m
i„  = 14.43  kfl.

2.  P rzedział y  ( / ' „ . „ „ P , , , , , , , )  wypeł niają   cał kowicie  oś P  tzn .  P
n
,

max
  =   P

n
- i,wtn-

3.  P rzy zadan ej  sile P m oż na n atych m iast okreś lić liczbę   n p o n t o n ó w w zwarciu  n a podsta-
wie  tabl.  1.

4.2.  Siła  skupiona w ś rodkowym  przegubie  mostu  Jeż eli  sił a  P  dział a  w  przegubie  o  n r. 0

(h  =  h  h  =  0)>  wówczas  nie  istnieje  p o n t o n  ś rodkowy  okreś lają cy  poł oż en ie  prawej

poł owy  strefy  zwarcia  z dokł adn oś cią   do  A  i B  (patrz  rys.  1).  R ozwią zan ia  bę dą   jed n a k

n adal symetryczne i  takie,  że z_
x
  =  z

t
,  (przegub  o n r.  0 nie  istnieje).  N a  po d st awie (3.4)

otrzym am y  w  tym  przypadku  B =  0,  st ą d:

JL
"j — 0̂  ' (4.11)

Sił a P dział ają ca w  przegubie  0 musi  się   rozdzielić po poł owie n a obie  czę ś ci  strefy  zwarcia,
st ą d:

Po  = 2 '
(4.12)

(równ an ia  2.3 są  w  tym  przypadku  n ieprzydatn e).
P odstawien ie  (4.11) i  (4.12) do  relacji  z rozdział u 3.2 prowadzi  d o n astę pują cych  wzo ró w
n a  m om en t  gną cy  w  strefie  zwarcia:

j
2  - ~~j\ (4.13)

gdzie:

m o = po!(n- \ )+2]/ i  / a  khn- 61dzon(n- 2)  +

(4.14)



206 R.  PlSKORSKI

Warun ek  zerowania  się  momentu na  koń cu  strefy  zwarcia  m„ =  0  ma  postać:

- p
0
l+ 2 \ / l  i/ a  klz

n
 + l2kk

o
n- kfl

2
(2n

2
  + l)n  = 0  (4.15)

i  prowadzi  do  wyznaczenia  z
n
  lub  z

0
:

P  ,.  «
2k

~.,,  —
12»+ 2|/ 3  j/ a (4.16)

Z 0 =

gdzie:
n —je st  liczbą   pontonów  zwartych  po  prawej  stronie  obcią ż enia  P,  a  dł ugość

strefy  zwarcia  wynosi  2«  pontonów.
Przeprowadzają c  podobną   analizę   zwarcia  w  przedostatnim  i  ostatnim  przegubie,  jak
w  p.  4.1  pracy  otrzymymy  odpowiednik  relacji  (4.8):

(4.17)
4 / 3

lub  wprowadzają c  sił ę  P„,
mi

„  odpowiadają cą   odł ą czeniu się  ostatniego pontonu i P„,„
lax

 —
odpowiadają cą   doł ą czeniu  się   nastę pnego  pontonu  do  strefy  zwarcia,  otrzymamy:

gdzie:
*n,mtn  "^  • *•  "^  -*  H , niflx J

Ą T T  «  Ą f--   -  (V*- V*)  (2]/"3"W +  l/ a) (2«- l),
(4.18)

(4.19)

^n,zer  zgodnie  z  (4.16),  odpowiada  z„  =  0  i  jak  poprzednio  dotyczy  izolacji  strefy
zwarcia  od  reszty  mostu.  Wartoś ci  tych  sił   dla  a  =  0.91  przedstawiono  w  tabl.  2.

Tablica  2

n

1
2
3
4
5
6
7

^ n ,  H I  f i t

kfl

2.565

41.6
156.8

423.2

862

1530

2475

"nt  zer

kfl

6

60

210

504

990

1716

2730

Ą ,«ra

Ar//

41.6

165.8

423.2

862

1530

2475

3445



OPERATOROWA  M ETOD A... 207

4.3. Dyskusja  wyników-  Powyż sze  dwa  przypadki  obcią ż enia  sił ą   skupioną   obejmują
również  te  obcią ż enia  lokalne  mostu,  których  wypadkowa  skupiona jest  bą dź  w  ś rodku
pontonu,  bą dź  w  przegubie.  Ponieważ  praktyczne  przypadki  obcią ż enia  nie  przekraczają
dł ugoś ci  dwóch  są siednich  pontonów,  wię c  wyprowadzone  tu  formuł y  mogą   sł uż yć  do
obliczeń  zanurzeń  mostu  i  rozkł adów  sił  wewnę trznych  w  strefie  zwarcia  w  tych  dwóch
charakterystycznych  poł oż eniach obcią ż enia  mostu.  Jedynie  moment gną cy  bezpoś rednio
pod  obcią ż eniem  bę dzie  zależ ał   od  rozkł adu tego  obcią ż enia.

Jeż eli  obcią ż enie  bę dzie  się   poruszać  po  moś cie,  to  pomijają c  efekty  dynamiczne,
bę dziemy  mieli  na  przemian  do  czynienia  z  obu  przypadkami  opisanymi  w  p .  4.2  i  4.3
pracy.  Z  analizy  wyników  zamieszczonych  w  tabl.  1 i 2  wynika,  że  przy  takiej  samej  sile.
dł ugoś ć strefy  zwarcia wyraż ona liczbą  pontonów w zwarciu jest róż na  w  obu  przypadkach.
N p.  dla  Pjkfl  =  500,  w  chwili,  gdy  sił a znajduje  się   w  ś rodku  pontonu,  dł ugość  strefy
zwarcia  wynosi  7 pontonów  ( 2n + l) ,  zaś  w  chwili,  gdy  sił a znajduje  się   nad  przegubem,
8  pontonów  (2ri),  wię c  jest  dł uż sza.  Zmiany  te  bę dą   zachodzić  okresowo  i  oznacza  to
tylko,  że  odł ą czenie się   pontonu od  strefy  zwarcia  z  tył u  za  obcią ż eniem  nie  odbywa  się
w  tym  samym  momencie co  przył ą czenie  nastę pnego  przed  obcią ż eniem.  Ta  oscylacyjna
wł asność  dotyczy  również  zanurzenia strefy  zwarcia,  (przy  dł uż szej  strefie  zanurzenie jest
mniejsze);  ruchowi postę powemu towarzyszy  wię c  również  ruch pionowy  cał ej  strefy  jako
ciał a sztywnego.  Zjawiska  te zaobserwowano  przy okazji  obliczeń kontrolnych w  pracy [3].
Jako  ilustrację   obu  przypadków  zwarcia  przytoczymy  wyniki  obliczeń,  wedł ug  wyprowa-
dzonych formuł , mostu pontonowego obcią ż onego  sił ą   P  =  600 kN .  Wymiary'  wszystkich
pontonów  był y  identyczne:
dł ugość  a  =  2.2  m,
szerokość  b  =   6.3  m,
wysokość  c  =   1.0  m,
luz  na  zderzakach  d  =  .01  ni,
odległ ość  przegubów  /  =   2.3  m,
cię ż ar  wł aś ciwy  wody  y  — 9.81  kN / m 3.
N a  tej  podstawie  parametry  potrzebne  do  dalszych  obliczeń  są   nastę pują ce:

k  =3—  =   11.33 kN / m,  «  =  (- 7-1  = = .915,  / /   =   —/ = . 0 2 3 m ,

Tablica  3

P  =   600  kN

liczba  pontonów  w  zwarciu

dł ugość  strefy  zwarcia

zanurzenie  pod  sił ą

moment  gną cy  w  przegu-
bie  0

n

L

Zo

OTO

Sił a  w  przegubie

6

27.6  m

.503  m

1692.4  kN m

Sił a  w  ś rodku  pon ton u

6

29.9  m

.499  m

1382.2  *kN m

*  w  tym  przypadku  moment  m
a
  nie  wystę puje  bezpoś rednio  pod  silą , lecz  w  są siednim  wę ż le  o  n r.  0



R .  PlSKORSKI  208

p
kfl  =   .2606  kN ,  - rjr  =   2302.47,  stą d  na  podstawie  tabl.  1  i  2  moż na  natychmiast  ok-

reś lić  liczbę   n  pontonów  w  zwarciu.  Wyniki  obliczeń  w  obu  przypadkach  obcią ż enia
zestawiono  w  tabl.  3.

5.  Podsumowanie

F orm uł y  wyprowadzone  w  p.  4  pracy  pozwalają   zorientować  się   w  rozwią zaniach
w  strefie  zwarcia,  a co najważ niejsze,  obliczyć  dł ugość strefy  zwarcia, która  w przeciwnym
przypadku  jest  niewiadomą   przy  rozwią zywaniu  numerycznym  ukł adu  (2.1).

Analityczne  rozwią zania,  choć  nie  wyczerpują ce  wszystkich  przypadków,  umoż liwiły
porównanie z rozwią zaniami  modelu cią gł ego  [4] i oszacowanie  przydatnoś ci tego  modelu
w  obliczeniach  numerycznych.

Literatura

1.  R.  BI TTN ER ,  Rachunek  operatorów  w przestrzeniach  liniowych, P WN ,  Warszawa  1974.
2.  R .  P ISKORSKI,  Metoda, superelementu w statyce  ukł adów z  wię zami jednostronnymi, Mech. Teoret.  i Stos.

1,  1988,  s.  191- ^198.
3.  Obliczenia wytrzymał oś ciowe mostu pontonowego,  P raca zbiorowa,  Wyd.  wewn.  I. O. P. G ., N r.  1901/ 84,

G dań sk  1984.
4.  R.  PISKORSKI,  Ocena przydatnoś ci  modelu  cią gł ego  w  statyce  mostu  pontonowego,  Prace  Badawcze

I.  O. P. G .  N r.  1783/ MR- 774/ 84,  G dań sk  1983.

P  e  3  IO  M e

OITEPATOPH BIH   M ETOfl  P AC TE TA  H EKOTOP Oft  I JE I I H OH   C H C TEM LI

P e iu e iio  cKcieiwy  ypaBH eH H H ,'  orrHCHBaiornHX  craTHKy  rroHTOHHoro  M o d a  B  KOHTaKTe,
o n e p a T o p n o e  Kcm- icjieHHe  K  H H TerpnpoBaH H io  pa3H ociH bix  yp

S u m m a r y

OPERATOR  IN TEG RATION   M ETH OD   OF   SOLU TION   OF   A  CATEN ARY  SYSTEM

The  system  of  equations  governing  the  problems  of  ferry- bridge  statics  has  been  solved  by  means  of
the  operational  calculus  applied  to  the  integration  of  difference  equations.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  22 grudnia  1986  roku.