Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\02mts88_t26_zeszyt_2.pdf MECHANIKA TEORETYCZNA I S TOS OWANA 2, 26( 1988) NONLINEAR EQUATIONS OF SHELLS OF SLOWLY VARYING CURVATURES Z E N ON   R YC H TER Politechnika  Biał ostocka 1. Introduction A major problem in the general nonlinear theory of thin elastic shells consists in reducing the very  complex  general  field  equations  to  simpler,  tractable  forms.  Extensive  surveys, of efforts  along  these lines can be found  in the works  of  Koiter  [1] and Pietraszkiewicz  [2], so  we  may  concentrate here on those  results  having  a direct bearing  on the present  work. One  early  recognized  possibility  is  to  deal  with  only  the  equilibrium  equations  an d compatibility  conditions  in  conjunction  with  the  constitutive  relations.  I n  this  way  the very  involved  stress- displacement  relations  are  put  aside  and  n o  restrictions  as  to  the magnitudes  of  displacements  and  their  derivatives  must  be  adopted.  These  so- called "intrinsic  shell  equations"  can be  greatly  simplified  if  the  strains  are  small  and  the  ratio of  maximum membrane to  bending  strains  is  not very large  or very  small  compared  with unity.  The  resulting  "lowest- order  interior  equations"  due  to  John  [3]  and  Koiter  [1] permit further  reduction for  "quasi- shallow"  shells  (also  called  "shells  of  small  G aussian curvature")  introduced by  Koiter  [1] which  are  characterized  by  the  requirement  of  smal- lness  of the G aussian curvature with respect to the reciprocal of the square  of  the characte- ristic  deformation  wave  length.  U nder  such  circumstances,  the  membrane  forces  can  be represented in terms of  a stress  function  and the bending  strains  through  a  strain  function, leading  to  two  appealingly  simple  differential  equations  in two  unknowns  [1]. This  paper  aims  at  extending  the  range  of  applicability  of  the  now  classic  equations of  quasi- shallow  shells.  To  this  end,  the  condition  of  quasi- shallowness  is  replaced  by the  weaker  assumption  of  slow  variation  of  curvatures  over  the  middle  surface  —  an assumption first  proposed  by  D uddeck  [4] in the context  of linear  theory  and then  exploi- ted  by  Łukasiewicz  (see  [5])  in  a  series  of  papers  concerning  both  linear  and  nonlinear shell  problems.  We  borrow  from  D uddeck  his  refined  expression  for  membrane  forces in  terms  of  a  strain  function  which,  contrary  to  quasi- shallow  shells,  takes  account  of the  G aussian  curvature.  The  second  of  D uddeck's  variables,  the normal  deflection  of  the midsurface,  turns  out  to be  unsuitable  for  the intended here  displacement- free  theory  and is  not used.  Instead, we  express  the bending  strains  through a  strain  function,  finding  the appropriate formula  from  D uddeck's  stress  function  by  noting a  static- geometric  analogy between  membrane forces  and bending strains.  Compared with  Koiter's  [1] strain  function ("curvature  function"  in his  terminology),  our  new  formula  is  only  slightly  more  compli- 304  Z .  RYCH TER cated  due to  the occurence of  a  G aussian curvature- related  term.  In  the  end,  a  relatively simple  set  of  two  governing  differential  equations  in  two  unknowns —  the  stress  and strain  functions  — is  obtained  which  generalizes  the  equations  of  quasi- shallow  shells an d  reduces  to  the  latter  upon  dropping  terms  multiplied  by  the  G aussian  curvature. It is  a matter of  course  that the new  equations generalize  also  all  their predecessors  involving two  unknowns  one  of  which  is  the normal  deflection,  i.e.  the equations  of  shallow  shells due to  D onnell  [6], M ushtari  [7], and Vlasov  [8], as  well as  equations for  shells  of slowly varying  curvatures  due  to  D uddeck  [4]  and  Łukasiewicz  [5]. Our  work  closes  with a  formulation  of  appropriate displacement- free  boundary condi- tions to  be used  with the two  differential  equations. These include a set  of  static boundary conditions  derived  by  proper  simplification  from  D anielson's  conditions  [9],  and  a  set of  deformational  boundary  conditions which  are  a  reduced version  of  those provided  by Pietraszkiewicz  [2]. The  differential  equations  and boundary  conditions found  are truly  displacement- free only  for  surface  an d  edge  loads  whose  components are  known  in  the  basis  attached to the  deformed  shell.  Consequently,  dead  loads  are  inappropriate  and  only  pressure- like loads  can  be  admitted. 2.  Reduction  of  basic  field  equations This section is devoted  to reducing the general nonlinear shell equations to the so- called "lowest- order  interior equations"  [1, 3]. Although  the outcome of this reduction is identical with  [1, 3], our  derivation  throws  new  light  on the subject  as  we:  (a) make  a  distinction between  the wave lengths  corresponding  to membrane  and  bending  strains  (b) introduce a  wave length characterising the variation of curvatures  over the midsurface;  consequently, th e  validity  criteria  for  the  "lowest- order  interior  equations"  become  more  precise  than in  [1, 3].  ' To  begin  with  we  assume,  as  Koiter  [1] does, that the strains  are  small  everywhere  in the shell which is thin, homogeneous, and linearly  elastic. The fundamental field equations now are as follows  ([1], p. 34). The constitutive equations between the symmetric membrane forces  N a p  and  extensional  strains  ga/ 5,  and between  the moments M ap  and bending strains M aP   =   2>[(1 - v)g aP +va a ^ ],  (2) where  a a p  is  the  metric tensor  of  the undeformed  middle  surface,  h  denotes the constant shell  thickness,  2?is  Young's modulus, v is  Poisson's  ratio, and D  =   Eh3jl2(l—v2)  stands for  the f lexural  rigidity. The force  equilibrium  equations  are: =   - f, (3) - Hq  ̂ + q^ M^ - ib  ̂ + q^ N ^   =p.  (4) EQUATIONS  OF  SHELLS  •  3 0 5 Here  Z>a/3  is the curvature  tensor  of  the undeformed  midsurface,  a vertical  stroke  indicates surface covariant differentiation  based on the undeformed  metric aafl, p a  and p  are  surface loads  tangential  and  normal  to the deformed  shell  (this  is indicated  by the overbars). The  compatibility  conditions  assume  the  form: ­ ~ f e +  y  &fe«n)  ­^fevi/.+«*.|/.­^ia)| ­  0,  (5) =  0,  (6) where  ea/3 is the  permutation  tensor  based  on a ati. In  order  to compare  the  various  terms in the  above  equations,  we  assume  that the surface  coordinates have the dimension  of length.  This makes it possible  to introduce the relations: ft*  =  ° f e ) '  «tf ­  0(«)»  *«/» —  0 0  IR) • to define  the parameters g,  q and  JR which are the  absolute  maximum  stretching  and  ben­ ding strains,  and  the  smallest  principal  radius of curvature of the  midsurface.  The  rates of  change  of the  strains  and  curvatures  will  be  characterized  by  means  of wave  lengths Le,  Lq  and Lr  as follows: ba^  = 0(1/RLr),  Kla where Kis  the  Gaussian  curvature  of the undeformed  midsurface;  the same  wave  lengths will  be  used in evaluating  higher­order  derivatives,  e.g.  ga^,, = 0(g/Lg),  etc. These  definitions  and  relations  (1)  and (2̂   imply  that: =  0(Ehg), MaP =  0(Eh 3q), where  use  has  been  made  of the  fact  that a^ =  0(1).  N o w  the  magnitudes  of the  individual terms  in the equilibrium  and  compatibility  equations  (3) ­ (6)  a r e : (3):  Ehg/L,,  Eh3qJRLq, Eh 3q/RLr,  Łh 3q2[Lq, (4):  Eh3q\L\,  Eh*q*/R, Eh*q3, Ehg/R, Ehgq, (5):  qlLq,glRLg,glRLr, (6): where in evaluating  (5) and  (6) one  should remember that  ea(!  =0(1). In  order  to simplify  equations  (3) ­ (6),  we  first  take  notice  of the  well­known  fact that  uncoupled  constitutive  equations  (1) and  (2)  are approximate  ones because  of omis­ sion  of terms  conforming  to relations  [1, 9]: h/R(l+v)P$,~PZ\ $.  (19) The  two just  derived  governing  differential  equations  in two  unknowns,  F  an d  W , are the major  novel finding  of  this  account. Recall  that they  are  valid  for  small  strains  an d under the  assumptions  (7)-  (9),  (15)  an d  (17).  F or  shells  of  slowly  varying  curvatures  in  the sense  of  (8),  the requirements  (15) an d  (17) are clearly  less restrictive  th an the  assumption KL 2   <ś 1  (here L   =  L g   =   L g )  adopted  in  the  theory  of  quasi- shallow  shells  [1].  Conse- quently,  our equations  (18)  and  (19)  generalize  those  of  quasi- shallow  shells;  th e  former reduce  to  the  latter  when  the  K  terms  are  dropped.  As  an  example  consider  a  spherical shell:  it  has  constant  curvatures  (l/ L r   =   0)  and  thus  represents  a  shell  of  slowly  varying curvatures  for  all  deformations  with  finite  wave lengths  L g ,  L q ,  whereas  it  belongs  to  the class of quasi- shallow  shells  only for  sufficiently  small  products  KL %  and  KL \   of  G aussian curvature  and  the  wave  lengths  squared. 4.  Boundary  conditions Boundary  conditions  suitable  for  our  differential  equations  (18)  and  (19)  must  n ot involve  displacements  if  they  are t o  be  of  any  value.  This  quality  possess th e  static condi- tions provided  that the edge  load  components are  known  in the n atural basis  of  t h e  defor- med shell.  An  appropriate set  of  such  conditions may  be  easily  obtained from  D anielson's conditions  ([9],  Eqs.  (4.10)-   (4.12))  upon  neglecting  small  terms  satisfying  relations  (7). The  result  is: M n ,  (20,21) 2>?f I X + D d  - v)  {q^ n a t p ), s   =  M t ,,- Q,  (22) where  N « are the components of  the  membrane force,  Q  is  the shear  force,  M n   is  th e ben- ding moment and  M t   represents  the torque, all  prescribed  per  unit length  of  th e  undefor- 308  Z .  RYCHTER med  edge  but resolved  with  respect to the deformed  basis  (its vectors  have  approximately the  same  magnitudes  as  the undeformed  base  vectors,  because  of  small  strains,  but  may have  quite  different  directions, since  displacements  and  rotations  are  not  restricted);  «a is the unit normal to th e undeformed  edge  surface,  t a   is the unit tangent to the undeformed edge  curve,  (  ), s  indicates  differentiation  with  respect  to the undeformed  arc length. D eformational  boundary  conditions  represent  another  type  of  displacement- free conditions.  A  set  suitable  for  oiir  purposes  is  readily  derived  from  Pietraszkiewicz  ([2], Eqs.  (4.4.40)  and  (6.3.8)), after  simplifications  based  on  (7), in the  form: =  k t ,  fh^   =  k tn ,  (23,24) ^ ) , s  =   /c„,  / "/ >&* =   ft  •   (25,26) H ere  k t ,  k tn   and  k n   denote the changes  of  the normal curvature, the geodesic  torsion and the  geodesic  curvature  of  the boundary  curve,  and g t   is  its  elongation. When  the edge  is clamped,  for  instance,  all  these  quantities  are  zero. With  (14)  and  (16) the above  static and  deformational  boundary  conditions  may  be easily  represented  in  terms  of  the  stress  and  strain  functions. 5. Conclusions The  two  differential  equations  and the  static  and  deformational  boundary conditions obtained  in  this  paper  for  shells  of  slowly  varying  curvatures,  undergoing  small  strains with  unrestricted  displacements  and  rotations  are  fairly  simple,  but  must  be  used  with discretion.  F irst,  a  word  of  caution should  be  said  in  regard  to  the simplifications  made in.  deriving  the  equations,  which  were  based  on  a  qualitative  rather  than  quantitative argument.  Therefore  it  is  imperative  that  each  solution  of  our  simplified  equations  be checked for  consistency  with  the  original,  unsimplified  equations.  These  latter equations, as  Koiter  [1] points  out, are  unsuitable  for  shell  stability  problems  and so  are, of  course, the  reduced  equations presented here. Finally, there is  apparently  no variational  formula- tion  equivalent  to  our  differential  equations  and  boundary  conditions; this  is  a  serious drawback  from  a  computational  viewpoint. I n  theoretical  perspective,  our  result  seems  worth  while,  as  it  considerably  expands the  limits  of  validity  of  the various  similar  equations known  previously. References 1.  W. T. KorrER, On  the nonlinear theory of thin elastic shells, P roc.  K on .  N ed.  Ak. Wet. B69(1966) 1 -  54. 2.  W.  PIETRASZKIEWICZ,  Finite  rotations and L agrangean description in  the  non- linear  theory  of  shells, P WN ,  Warszawa- Poznań  1979. 3.  F .  JO H N ,  Estimates  for  the  derivatives of  the  stresses in a  thin shell and interior  shell equations,  Comm. Pure  Appl.  M ath.  18 (1965)235- 267. 4.  H .  D U D D E C K ,  Biegetheorie der  allgemeinen Rotationsschalen mit  schwacher  Veriinderlichkeit  der Scha- lenkrummungen,  Ingenieur- Archiv  33 (1964) 279 -  300. 5.  S.  Ł U KASIEWIC Z ,  Obcią ż enia skupione w tarczach, pł ytach i powł okach,  PWN ,  Warszawa  1976. 6.  L. H .  D OM N ELL,  Stability  of  thin- walled tubes under torsion,  N ACA, Rep. N o .  479, 1933. EQUATIONS  OF  SHELLS  309 7.  X.  M .  M yiH iapn,  HeKomopue  o6o6ią enun  meopuu HIOHKUX  odoAoueK,  H 3B.  (bn3.  Mar. YH H B.  2,  cep.  83  1938. 8.  B.  3 .  BnacoBj  O6utan  meopuu  moHKUX  OBOJIOW K,  MoCKBa -  JleHHHrpafl  1949. 9.  D . A.  DANTELSON,  Simplified  intrinsic equations for  arbitrary elastic shells, I n t.  J.  E n g.  Sci.  8  (1970) 251 -  259. 10.  Z .  RYCH TER,  O  porównaniu  rozwią zań  w teorii powł ok  walcowych  i teorii sprę ż ystoś ci, Arch .  I n ż. Lą d. 30 (1984) 585 -  593. 11.  Z .  RYCH TER,  Zredukowane  liniowe  równania  powł ok  o  wolna .zmiennych  krzywiznach,  M ech.  Teor. Stos.  22  (1984) 613 -  620. P  e 3 io  M e H E JI H H E fiH BI E  yP ABH E I LK S OEOJIO^IEK C  M E flJI E H H O H 3M E H H I O1I 1H M H C K K P H BH 3H AM H O 6m n e  HeJiHiieHHwe  ypaBHeHHH   paBiiooecn ji  H  ycnoBMH   coBM eciH ocrH   fleiJiopM auH H   T O H K H X,  yn - p yr a x  o6oJio«eK  csefleH W  K flByiw ypaBneHHHM   fljia  $ym