Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\02mts88_t26_zeszyt_2.pdf MECHANIKA TEORETYCZNA I  S TOS OWANA 2,  26( 1988) ROZWIĄ ZANIE  ZAGADMENIA  PRZEPŁYWU  DDEALNEGO CZYNNIKA Ś CIŚ LIWEGO  W  PALISADZIE  PROFILI  METODĄ   WARIACYJNĄ M .  J .  ClAŁKOWSKI Politechnika  Poznań ska Wykaz  waż niejszych  oznaczeń w (O u c a 0 P Po Q X F T Fcor ii dii ń —  wektor  prę dkoś ci  wzglę dnej —  wektor  prę dkoś ci  ką towej —  wektor  prę dkoś ci  obwodowej —  wektor  prę dkoś ci  bezwzglę dnej — lokalna  prę dkoś ć  dź wię ku —  potencjał   prę dkoś ci —  ciś nienie —  ciś nienie  cał kowite —  gę stość —  wykł adnik  izentropy —jednostkowa  sił a  odś rodkowa —jednostkowa  sił a  Coriolisa [Q) — przestrzeń  H ilberta —  obszar  przepł ywu —  brzeg  obszaru  ii —jednostkowy  wektor  normalny  do  brzegu W  zagadnieniach przepł ywowych  maszyn  wirnikowych  waż ną   rolę  odgrywa  wyznacze- nie pól prę dkoś ci, ciś nień, gę stoś ci  itp.  W zwią zku  z rozwojem  metod numerycznych oraz elektronicznych  maszyn  cyfrowych  stał o  się   moż liwe  wyznaczenie  rozkł adów  prę dkoś ci dla  niektórych  waż nych  technicznie  przypadków.  W  niniejszej  pracy  wyprowadzono funkcjonał   energii  dla  przepł ywu  potencjalnego  czynnika  ś ciś liwego  z  uwzglę dnieniem doprowadzenia pracy  w  kole  wirnikowym.  Minimalizacja  funkcjonał u  energii jest  równo- waż na  równaniom ruchu  [12]. Uję cie  opisu przepł ywu  w  postaci  cał ki  energii jest  bardzo wygodne  do  stosowania  metody  elementu  skoń czonego,  która  w  naturalny  sposób  po- zwala  uwzglę dnić  nieregularne  obszary.  Wariacyjne  (energetyczne)  uję cie  róż nych  przy- 312  M .  OAŁKOWSKI padków  przepł ywu  czynnika  ś ciś liwego  był o  przedmiotem  prac  [2, 3, 5, 6, 8].  D la prze- pł ywu  transonicznego  w  maszynach  przepł ywowych  szereg  pozycji  bibliograficznych  jest przedstawionych  w  pracy  [13].  W  niniejszej  pracy  zbadano  moż liwość  minimalizacji funkcjonał u  energii  za pomocą  metody odwzorowania  zwę ż ają cego  oraz metody N ewtona dla przepł ywu poddź wię kowego  i transonicznego. W koń cowej  czę ś ci pracy przedstawiono algorytm  znalezienia  rozwią zania  w  obszarze  dyskretnym  dla  przypadku  stacjonarnego przepł ywu  przez  pł aską   palisadę   profilów. 1.  Podstawowe równania —  Równanie  ruchu. Równanie  to  dla  przypadku  stacjonarnego  ma  postać  [4]: ~di  \ T  W  J ~ W'  r °  W ~  ~  ~g~ lub  po  obustronnym  pomnoż eniu  przez  w: dt  \ 2  )  \ 2  /   Q F  —  F  4- P —  Równanie  cią gł oś ci  przepł ywu: div(QW)  =   0  lub  g div  w+ w  •   VQ —  0.  (2) —  Równanie  energii. W  maszynach  przepł ywowych  wygodnie jest  uż ywać  równania  energii  nie w  postaci róż- niczkowej  lecz  skoń czonej. M a to miejsce  szczególnie  w przypadkach, w których  nastę puje doprowadzenie  (wzglę dnie  odprowadzenie)  pracy.  W  adiabatycznym  przepł ywie  stacjo- narnym  ilość  pracy  przekazanej  czynnikowi  wzdł uż  linii  prą du  wyraża  zależ ność  [1, 9]: h- H  h + y ^ - c j.  (i) Przekazana praca może być  wyraż ona  również  równaniem  Eulera dla  maszyn przepł ywo- wych  w  postaci: Z  porównania (1) i (2) otrzymujemy  nową  funkcję   / zwaną   rotalpią : I  — h + y  c\  — u 1  c iu   =   i 2 +- j- c\  — Ui c 2u   =   ;'+  —  c2 — uc u  =  const.  (5) Z  trójką ta  prę dkoś ci  (rys.  1) wynika, że iloczyn  uc u  z  równania  (4) moż emy wyrazić przez prę dkość  wzglę dną   w  i  wypadkową   c,  mianowicie: w 2  =   c2  + u2~2uc u   =   c 2 +  w2 u a  stą d: ±   i  i  (6) ROZWIĄ ZAN IE  ZAG ADNIENIA  P R Z E P Ł YWU ... 313 Ponieważ  rotalpia  jest  stał a  wzdł uż  linii  prą du  wię c jej  gradient  jest  wektorem  prosto- padł ym  do  linii  prą du,  co  prowadzi  do  zerowania  się   nastę pują cego  iloczynu: w •   v/   =   0  lub  w •   Val  =   0.  (6a) —  Równanie  przem iany: (7) Rys.  1, W  dalszych  rozważ aniach  wykorzystamy  zależ noś ć: • ^  | - j —)  =  ft—  s k ą d  a2  =   ( x  —  1)  •   i, wię c: VP  =  a 2 VQ.  (9) Ze  wzglę du  na  jednolitość  oznaczeń  oraz  cią gł ość  przejś cia  z  co - > 0,  prę dkość  dź wię ku odpowiadają ca  rotalpii  cał kowitej  bę dziemy  oznaczać  również  przez  a 0   ja k  w  przypadku co =   0;  wtedy  a 0   =   ( « - l )-   / .  P rzeto  zależ ność  (6)  przyjmie  postać: 2   2   1   v  1 7  =   — 1 -   =   r   + - ^ (w 2 - u 2 )  lub  ag  =   a2 + — T - (w 2 - u 2 )  (10) w— 1  «—1  2  2 Wykorzystują c  zależ ność  (9) wprowadzimy  równanie ruchu  (1) do  równ an ia  cią gł oś ci  (2), stą d  otrzymujemy  równ an ie: U- M - i- w2)  = 0 .a2di\ w+w Prę dkość  dź wię ku  w  powyż szym  równaniu  moż emy  wyznaczyć  z  zależ noś ci  (10),  stą d mamy  nastę pują cą   postać  równania  cią gł oś ci: div w + - Wyznaczmy  nastę pują cy  iloczyn  wystę pują cy  w  równaniu  (11): wF  =   w(F r +Fcor)  =   w  (i  •   o)2X+j  •   co2y)- - 2w  • ( =  w- Fr, OD (12) 7  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/ 87 314  M .  CIALKOWSKI gdyż  iloczyn w - (ax w) =  0 , tzn.  sił a  Coriolisa  n ie  wykonuje  pracy. Rozważ my  teraz  drugi  skł adnik  zależ noś ci  (11);  wykorzystamy  zależ noś ci  (6a)  i  (12): w •  \ F-  V | i  w2\  1 -   w •  V ( y «2 - 1  w2] =  fig/ - "1 •   w •   V(ln/ ),  (13) gdzie: Stą d: p przy  czym  wielkoś ci  P o ,  Q 0   s*ł  odniesione  do  rotalpii  T o . P o  uwzglę dnieniu  zależ noś ci  (13) równanie  cią gł oś ci  (11) jest  nastę pują ce: ln / )  =   0  lub  d i v ( »  =   0.  (16) Z akł adam y  dalej, że przepł yw bezwzglę dny jest niewirowy,  tzn . istnieje  potencjał  prę dkoś ci 0  speł niają cy  zależ noś ć: U  =  Q)Xf.  (17) Wprowadzają c  zależ ność  (17) do  równania  (16) i wykonują c  róż niczkowanie  otrzymujemy podstawowe  równanie  gazodynamiki  dla  maszyn  przepł ywowych: (a 2 -   w2)0 XX   + (a 2  -   M'2)  0  (typ  h iperbol iczny) wtedy  —= -   >  IĄ  -   (21) a  x + l  a2 / I  =   0  (lin ia paraboliczn oś ci)  wtedy  —=   =   1. a 2   x+l  a 2 Miejsce  geom etryczn e  p u n kt ó w  dla  których  A  =  0  dzieli  obszar  przepł ywu  n a  obszar poddź wię kowy  oraz  obszar  n addź wię kowy.  Wyróż n ik  A  bę dzie  odgrywać  istotn ą  ro lę przy  badan iu  zbież noś ci  procesów  iteracyjnych. 2.  Uję cie  wariacyjne  równania  cią gł oś ci Równanie  (16)  na  mocy  (17)  moż emy napisać  w  nastę pują cej  postaci: div(/M0 =  div j[ 1 - ~ ± -   £  ~ L _ -  j  (V0 -  «)} -   0.  (22) R ówn an ie  E ulera  rach u n ku  wariacyjnego  [7]  jest  n astę pują ce: 8F  d  I  3F\   8  I  8F\   8  I  8F 80  8x  \  8

y )  jest  funkcją  tworzą cą. Z  porówn an ia  (23)  z  (22)  m a m y: 80 8F =   0 ,   .   (23) d0 x 8F ~80^ 80 Z   '  [  x+l  '  a% Cał kowanie  ukł adu  równań  (24)  daje: mb 7* 8F  [,  tc- \  (V0- u)2- u2\ "- i  80 =   —  1 316  M .  ClAŁKOWSKI Stał ą   cał kowan ia  okreś lamy  z  warun ku  istnienia cią gł ego  przejś cia  od  przepł ywu  czynnika ś ciś liwego  d o  przepł ywu  czynnika  nieś ciś liwego  (a„. - +  co).  Ł atwo  pokazać,  że  C  =   -   a\ a  st ą d: (26) N a  m ocy  (15)  otrzym ujem y: F u n kc ja  F   posiada  wymiar  en ergii: W  szczególnym  przypadku  dla  przepł ywu  czynnika  nieś ciś liwego  («„, - >  oo) funkcja  J 1 m a p o st a ć : F(w,  u,  w)  =   -   i -   (H - 2 -   «2)  =   -   i -   [(V,) •     ( 32) lub: a * fv.p( S )ds.  (32a) Kł adą c  6J  =  0  otrzymujemy  równanie  wariacyjne: f (V0- ») •  V, •  [l- JC }-  i y ^ - y - ' l ^ dQ  =   f  ,•  p(s) •  ds,  (33) •   L  "  +   1  a *  J  aa z którego moż na wyznaczyć  rozkł ad prę dkoś ci dla  zadanej funkcji  p(s). 318 M .  ClAŁKOWSKI D la  przepł ywu  czynnika  nieś ciś liwego  (a* - * oo): dJ =   J   w .  y v dQ~  J  vp(s) •   ds. (34) S3  da Zauważ my,  że równanie wariacyjne  (33) jest nieliniowe.  Stanowi to dość duże utrudnienie numeryczne,  które  moż na  pokonać  stosują c  metody  iteracyjne  rozwią zywania  równań nieliniowych.  O  zbież noś ci  procesów  iteracyjnych  decyduje  znak  drugiej  wariacji  d2J funkcjonał u  energii  (31).  Ponieważ  S 2J  =   d(5J)  przeto  dla  aeR1  mamy: S z J(w,  ii,a%,v, h) =  lim dJ(w+a Vh, u, a*, v) — 6J(u  ,w,a# s v) all 2- x Qo •   V/?)-  {w- Vv)}dQ. Wektory  w, Vv, Vh  są   wektorami  współ liniowymi,  wię c  funkcja  podcał kowa  w  drugiej cał ce jest  równa  toż samoś ciowo  zeru. Ostatecznie  mamy: w  szczególnoś ci  dla  h  -   v: (35) D ruga  funkcja  podcał kowa w  nawiasie  jest  wyróż nikiem  charakterystycznym  podstawo- wego  równania gazodynamiki  dla  maszyn przepł ywowych,  zależ ność  (20). D ruga  wariacja  funkcjonał u  energii  (31)  speł nia  nierównoś ci: —  dla  przepł ywu  poddź wię kowego  (A  <  0) d2J  >  0, —  dla  przepł ywu  naddź wię kowego  (A  >  0) 82J  <  0. Rys.  2. ROZWIĄ ZAN IE  ZAG ADNIENIA  P R Z E P Ł YWU ...  319 Aby  druga  wariacja  funkcjonał u  energii  był a  dodatnia  również  w  obszarze  naddź wię- kowym  należy  zmodyfikować  funkcjonał   poprzez  dodanie  czł onu  regularyzują cego H( 0, d2J  < 0) a w obszarze  Q t jQ 2   prę dkość jest mniej- sza od prę dkoś ci dź wię ku.  Interesują ce są  tutaj tylko  takie przypadki, gdy przyrost entropii na  poszczególnych  liniach  prą du  z;a falą   uderzeniową   jest  bardzo  mał y.  Wtedy  wielkość wektora  rotacji  prę dkoś ci jest  do pominię cia  [15, 16] i przepł yw za falą   uderzeniową  mo- ż emy  traktować  jako  bezwirowy  i  potencjał   prę dkoś ci  bę dzie  funkcją   cią głą   n a  fali • ude- rzeniowej. N a  linii AB, (rys. 2,) prę dkość  przepł ywu jest  równa  prę dkoś ci  dź wię ku.  N a  linii BC wystę puje  fala  uderzeniowa.  D la obszaru  ś i t   i Q 2   cał ki  energii  mają   postać  (funkcja p{s) na  profilu  zeruje się ): K +  l -   ai  i i - i i-2 x / • da s-   J0 1 p 1 (s)ds x + l da, Ze wzglę du na cią gł ość masy i potencjał u prę dkoś ci na fali  uderzeniowej zachodzi  równoś ć: 0iQiW n ^   =  0 2 Q 2 W „ 2   n a  SQ s ;  QW „\ SQ  =p(s), przeto: i  •  Pi(s) •  ds-   j  0 2 p 2 (s)ds  =  0, s oraz  na mocy  cią gł oś ci  funkcji  0  w  cał ym  obszarze  Q: / = / 1  +   / 2 = * + 1 2 N -   f0- p(s)- ds+H(&,u). BO 320  M .  CIAŁKOWSKI 4.  Minimalizacja  funkcjonału  energii F unkcjonał  energii w postaci  (31) nie jest funkcjonał em kwadratowym.  Zatem I wariacja nie jest formą   dwuliniową . Istnieje  wiele metod minimalizacji  funkcjonał ów  w  zależ noś ci od  pewnych  wł asnoś ci  funkcjonał u  (ś cisła  wypukł oś ć,  nieujemność  II  wariacji).  Dalej zbadamy  czy funkcjonał   (31) może zostać zminimalizowany  za pomocą   metody  odwzoro- wania  zwę ż ają cego,  dla  funkcjonał ów ś ciś le  wypukł ych.  Zakł adamy, że  0  e  V(V—prze- strzeń  H ilberta).  Zajmiemy  się   teraz  zbadaniem  ś cisł ej  wypukł oś ci  funkcjonał u  energii, cią gł oś ci  I  i  I I  wariacji.  Speł nienie tych  wł asnoś ci  oraz  nieujemność  i  ograniczoność II wariacji  gwarantują ,  istnienie  odwzorowania  zwę ż ają cego  [10]. 4.1. Wypukłość funkcjonału  energii.  Musimy  zbadać, czy  speł niony jest warunek  (0  <  a  < f&- p(s)> ds. dQ+ (36) sa  a  da Ze  wzglę dów  fizycznych  funkcja  0  musi  speł niać nastę pują cy  warunek: y -   >  o.  (37) a%   v   ' Zajmijmy  się   zbadaniem  wypukł oś ci  funkcji  f(&).  D la  wektora  prę dkoś ci  obwodowej istnieje  funkcja  U  taka,  że  u =   Vf/. D okonamy  zatem  przedstawienia  0  — 0— U,  stą d: oraz: 2- K Zatem  funkcja  f(0)  n a  mocy  nieujemnoś ci f"(0)  [19] jest  wypukł a  w  zakresie  prę dkoś ci okreś lonych  .nierównoś cią: K ) 2 - »2  I ^ T f,  (V0- u)2  x- l  u2 4  J  i1  4 —+ "^ 4 2  —K ROZWIĄ ZAN IE  ZAG ADNIENIA  P R Z E P Ł YWU ...  321 jeś li: x - l  «2  w2 t o  znaczy  w  zakresie  przepł ywów  poddź wię kowych.. Z  nieujemnoś ci  i  wypukł oś ci  funkcji  f(0)  wyn ika  wypukł ość  fun kcjon ał u  en ergii  ( 3D . Ś cisła  wypukł ość  zach odzi  zawsze,  gdy  / "  >  0 4.2.  Cią gł ość I  i  I I  wariacji  funkcjonału  energii.  M usim y sprawdzić,  czy z  waru n ku  0„  - *  0 O wynika  J(0„)  - »  J(& 0 )  oraz  d2Ą 0„)  - *  d2J(0 o ).  N iet ru d n o  zauważ yć,  że  waru n ek  t en dla  (32)  i  (35)  jest  speł n ion y. 4.3.  Nieujemność  (koercywnoś ć)  n  wariacji  funkcjonału  energii. —  P r z e p ł yw  p o d d ź w i ę k o wy D la  przepł ywu  poddź wię kowego  nieujemność  I I wariacji  wyn ika  ze  zn aku  wyróż n ika  (21) równ an ia  charakterystyczn ego  i  zawsze  52J  >  0. —  P r z e p ł yw  t r a n s  o n i c z n y D la  sł abych  fal  uderzen iowych  przyrost  en t ro p ii jest  proporcjon aln y  do  trzeciej  potę gi z  róż nicy  prę dkoś ci  za  i  przed  falą  [16]: As  =  - A- [(V&- u)- Vri + - (V0- u)- \ f n_] 3   >  0  skąd  w •  Vn + -   w •  V«_  ^  5,  A, B  >  0, lub  pisząc  w  postaci  ogólniejszej  [27]: d i v[ ( V$ - w)]  s:  B, albo  w  postaci  sł abej; -   /   ( V0  -   u)VrjdQ  <  B  J  rjdQ,  r\  e  V+  =  {rj: t] e Hi  (0),f]  <  0}.  (39) a  n Przyjmując  skoń czen ie  wym iarową  przestrzeń  V  z  fun kcjam i  bazowym i  {9?;}, n ieró wn o ść (39)  przyjm ie  p o st a ć : -   J  (70  - u)V, e V.  (39a) a  a N ierówn ość  (39a)  doł ą czamy  do  fun kcjon ał u  en ergii  przez  zastosowan ie  fun kcji  kary, otrzym am y  wtedy  zm odyfikowan y  fun kcjon ał   en ergii: J K (0,  u, a.)  =  J(0,a,  a# ) +H(0, u), gdzie: H(0, u) = K-  £  {[ -   f  (V0- u)7q} i dQ- BJ( Pi dQ\ + ) 2 ,  t +  =  max(0,  t), K > 0, oraz: Stał ą  B  i  kary  K  n ależy  d o brać  t ak  aby  6ZJ K   >  0  (wtedy  [i  >  0),  o raz  był   speł n iony warun ek  (39). D alej  wykorzystam y  n ierówn ość  F riedrichsa  [18],  otrzym ujem y: 322  M .  CtAŁ KOWSKI f  [ 1  2  l ]l  + 2  " '  (40) Ograniczoność  I I  wariacji  wynika  z  cią gł oś ci  I I  wariacji.  Wykazaliś my  zatem  cią gł ość I  i  I I  wariacji,  nieiijemność  i  ograniczoność  II wariacji  przeto n a  mocy  twierdzenia  [10] operacja  T   =   &- y  •   G() jest  operacją  zwę ż ają cą.  Operacja  T  jest  zawsze  zwę ż ają ca dla  przepł ywów  poddź wię kowych  (d2J K   >  0)  oraz  dla  przepł ywów  transonicznych, dla których  fi  >  0. Liczba  y  siO ,  - T T J- I,  p  >  0,  a  stał a M  wynika  z nierównoś ci [10]: \ \ G(u)- G(v)\ \ ^ M\ \ u- v\ \ . W zależ noś ci  od wyboru  parametru y proces iteracyjny  oparty na metodzie odwzorowania zwę ż ają cego  jest  szybciej  lub  wolniej  zbież ny,  najlepszą  wartoś cią  jest  y  =  / J,/ M 2.  Dla przepł ywów  transonicznych  szczególnie  trudno  jest  okreś lić  wartość  dodatniej  liczby li,  gdyż  obszar  Q 2   zależy  od  wielkoś ci  wektora  prę dkoś ci  napł ywu  na  palisadę  oraz ką ta  napł ywu  jak  również  geometrii  palisady.  Okreś lenie  zatem  optymalnej  wartoś ci parametru  y jest  stosunkowo  trudne. Proces iteracyjny  z parametrem y  =£  y opt   jest wolno- zbież ny.  Znacznie  szybszą  zbież ność  gwarantuje  metoda  N ewtona,  która  jest  zbież na przy  tych  samych  zał oż eniach  [10]  co  metoda  odwzorowania  zwę ż ają cego.  W  zagadnie- niach  opł ywu palisady  profili  obok  warunków  brzegowych  oraz geometrii palisady  zadaje się  kąt  napł ywu  w  nieskoń czonoś ci.  Uwzglę dnienie  ką ta  napł ywu jest  ł atwe przez  wyko- rzystanie  cyrkulacji.  Mianowicie  w  przekroju  8Q 3   (który  przyjmujemy  jako  leż ą cy  w nie- skoń czonoś ci) skł adowa  styczna  v y   prę dkoś ci jest zwią zana  z  cyrkulacją  nastę pują co: Ba, a  z  drugiej  strony  uwzglę dniając  fakt,  że  skł adowa v y   ma  stał ą  wartość  w przekroju  <9i23 mamy: J d0  r - j-  dy =   J  v y dy  =  Vyfa- yt) Z atem : 0 2  ~ ®i =  0>2 - yi)vxtga.„,  (46) gdzie  indeksy  1 i 2  oznaczają  punkt począ tkowy  i koń cowy  leż ą cy  w przekroju  8Q 3   w kie- runku  osi  y. W  przypadku  zadanego  ką ta  napł ywu  a_«> równanie wariacyjne  (33) należy  rozwią zać ł ą cznie  z  warunkiem  (46). Wprowadzenie  liniowego  ograniczenia  (46) nie zmienia przed- stawionych  wł asnoś ci  funkcjonał u  J(fi, u,  a # ). ROZWIĄ ZAN IE  ZAGADNIENIA  P R Z EP Ł YWU ... 323 5.  P rzykł ad  obliczeniowy P rzedstawione  rozważ an ia  wykorzystam y  d o  okreś len ia  wielkoś ci  przepł ywowych w  stacjonarnym  przepł ywie  idealnego  czynnika  ś ciś liwego  przez  pł aską   palisadę   o  n ie- skoń czonej  liczbie  ł opatek.  Z e  wzglę du  n a  stacjon arn ość  przepł ywu  ogran iczym y  się   do obszaru  pokazan ego  n a  rys.  3.  W  szczególnym  przypadku  obszar  pokazan y  n a  rys.  3 może  się   zawierać  m ię dzy  kolejnymi  szczelinami  mię dzywień cowymi  (linie  8Q 1   i  8Q 3 leżą   w  ś rodku  szczeliny  mię dzywień cowej). M  = 10,00 A2=  10,00 A3 = 16,00 L1  =10 L2 =8 0 AA = 16,00 A5 = 16,00 A6 = 10,00 LV = 20 LN=20 Rys. 4.Rys.  3. N a  liniach  8Q 2 - "  i  8Q^ >  oraz  8Q 2 -   i  dQ^ -   ze  wzglę du  n a  periodyczn ość  m am y  takie same  skł adowe prę dkoś ci  (wielkoś ci  n iezn an e).  N a  linii  8Q 3   rozkł ad prę dkoś ci jest  zadan y. N atom iast  n a  linii  8Q X   n iezn an y  rozkł ad  prę dkoś ci  speł n ia  warun ek  cią gł oś ci.  P o n a d t o nieznany jest  ką t  spł ywu.  F un kcjon ał   energii  (31) wym aga  znajom oś ci  r o zkł a d u  pię dkosci p(s)  n a  cał ej  linii  8Q. F unkcja  p  speł n ia  warun ek  cią gł oś ci: =  0,  peL 2 {8Q). (41) Z astosowanie  zasady  m in im um  energii  potencjalnej  (zasady  najmniejszego  dział an ia) spowoduje  wybran ie  z  klasy  funkcji  p(s)  speł niają cych  waru n ek  cią gł oś ci  (41)  t akiej, która  n a d a  cał ce  energii  wartość  m in im aln ą .  W  klasie  funkcji    1,1  — 1,  ..., 6, wówczas  nastę puje  zagę szczenie  siatki  w kierunkach zazna- czonych na rys.  4. Jeś li  AI  <  1, wówczas  kierunek zagę szczania jest  przeciwny. Zagę szczenie  nastę puje  wedł ug postę pu  geometrycznego.  Jako  parametry  podstawowe sł uż ą: liczba  AI  okreś lają ca  stopień zagę szczenia  i liczba  przedział ów w  kierunku zagę sz- czania. - 1 - 1 Rys.  5. D o  obliczeń  numerycznych  zastosowano  metodę  elementu  skoń czonego  z elementem czworoką tnym  typu  lagranż owskiego  z  dziewię cioma  wę zł ami. U zyskano  dzię ki  tem u: —  wysoki  stopień  aproksymacji  zadania  wyjś ciowego, —  wysoki  stopień  aproksymacji  profilu, Minimalizacji  funkcjonał u  (31)  dokonano  przez  rozwią zanie  nieliniowego  równania wariacyjnego  (33). Równanie  to  zlinearyzowano  metodą   N ewtona  [25, 26].  Proces itera- cyjny  ma  nastę pują cą   postać: =   f v J % f J n -   0 , 1, . . . ( 4 5 ) Dla n  =  0 przyję to 

s — ^llffi  <  10~ s. Dla  przypadku  opł ywu  palisady  profili  (zł oż onych z  pojedynczych  profili  Bondera  [20]) cieczą   doskonał ą ,  porównanie  wyników  wedł ug  metody  odwzorowania  konforemnego [20]  z  wynikami  autora,  przedstawiono  na  rys.  7. Czas obliczeń na siatce o 675 wę zł ach kształ tował  się  nastę pują co  (maszyna cyfrowa  OD RA 1305) 326 M .  CfAŁKOWSKI opł yw  pojedynczego  profilu  pł ynem  ś ciś liwym,  5 iteracji  x  7  min./ iterację opł yw  palisady  cieczą   doskonał ą   ~ 15  min. Cp 0,6 Cp - 0,2 0,0 0,2 0,4 0,8 1,0 i 0,0 oooc xxx \ v 0,2  . X\ N 0,6 \ _  Metoda  osobliwoś ci  [ 21] _  Metoda  Strickera  [ 22)  — o  Metoda  Sellsa  [ 23] _  Formuła  przybliż ona  [ 2 4 ] x  wg  obliczeń  autora  , — I,U  c Rys.  6. Rys.  7. ROZWIĄ ZAN IE  ZAGADNIENIA  P R Z EP Ł YWU ...  327 Literatura 1.  E.  TU LISZKA,  Sprę ż arki,  dmuchawy i  wentylatory, WN T  Warszawa  1969. 2.  W.  F ISZ D ON , Application of Variational Methods to  the Solution of  Practical Supersonic Flow  Problems, Z AM M ,  Tagungsheft  42,  1962 3.  W.  F ISZ D ON ,  Known  applications of  variational methods  to transonic flow  calculations,  Symposium Transsonicum  Aachen, 1964. 4.  W. J.  PROSN AK,  Mechanika pł ynów, Vol.  I I , PWN  Warszawa 1971. 5.  R. L.  SELIG ER,  G .  B.  WH ITH AM ,  Variational principles  in continuum  mechanics,  Proc. R oy, Soc. A 305, 1  - 25,  1968. 6.  K. G .  G U D ERLEY,  O. P .  BH OTAN I,  On  the  Relation between  Variational Principles for  Inviscid Gas Flows in Spaces of Different  Dimensions,  Journal  of  Appied  M athematics  and  Physics  (Z AM P ). Vol.  24,  1973 7.  A.  KN ECH SKE, Differentialgleichungen,  B. G . Teubner  Verlagsgeselleschaft,  Leipzig, 1962. 8.  B.  KRAJEWSKI,  Variational Problems of the  T heory of T hree- Dimensional Flow T hrough T hermal T urbo- machinery,  Archiwum  M echaniki  Stosowanej, 6, 15, 1963. 9.  W.  TRAU PEL,  T hermische T urbomaschinen,  Bd. I , Springer- Verl. 1966 10.  J.  CEA,  Optimisation:  T heorie et algoritmes,  D un od,  Paris 1971. 11.  J.  SZMELTER,  Metody  komputerowe  w mechanice,  BN I Warszawa  1980. 12.  B. Ś REDN IAWA,  Hydrodynamika i  teoria  sprę ż ystoś ci,  P WN , Warszawa  1977 13.  R. PIEPRZYK, M . CIAŁKOWSKI,  Analiza porównawcza istnieją cych metod obliczania osiowo- symetrycznego przepł ywu przez  osiowe wień ce sprę ż arek transonicznych,  Opracowanie wykonane w ram ach  P roblemu Mię dzyresortowego  M R . I . 26,  P raca  niepublikowana.  P oznań  1978. 14.  W. I.  SMIRN OW,  Matematyka  wyż sza, Tom 4,  cz. I . P WN , Warszawa  1962 15.  A.  H .  SH APIRO,  Compressible Fluid Flow,  The Ronald  Press Company, N ew York, 1954. 16.  L. LAN D AU ,  E.  LI F SZ YC ,  Mechauika  oś rodków  cią gł ych,  P WN , Warszawa  1958. 17.  K. M AU R I N ,  Analiza.  Elementy  cz.  I.,  P WN , Warszawa  1974. 18.  G .  N .  POŁOŻ Y, i inni, Metody przybliż onych obliczeń ,  WN T,  Warszawa  1966 19.  D . S.  M ITRIN OVIC, Elementarne nierównoś ci, PWN , Warszawa  1972. 20.  M . E.  KLON OWSKA, W.  J.  PROSN AK, J.  K. SZYMAŃ SKI, Obliczanie opł ywu palisady prostoliniowej,  Instytut Podstawowych  Problemów Techniki  P AN . N r  44,  1976. 21.  H .  JAG ER,  Singularitatenverfahren  hoherer  Ordunng zur  Berechmmg  der  ebenen  UnterschaUstrannmg, D issertation,  Stuttgart  1984. 22.  R.  STRICKER, Zur  Berechmmg der stationaren  imterkritischen  Potentiał stromung  urn  ebene Profile belie- biger Form,  M M B  —Berich t  N r  U D —1 3 5 - 74 (Ó),  1975. 23.  C. C.  L.  SELLS, Plane Subcritical flow  past  a lifing aerofil, P roc. Roy.  Soc.  A.  308, 377 -  401,  1968. 24.  Th .  E. LABRU JERE, W.  LOEVE, J. W.  SLOF F , An approximate method for  the determination of  the pressure distribution on wings in the lower  critical speed range,  AG AR D  Cp 35, 71 -  1 -  17  -   10, 196S. 25.  M . CIAŁKOWSKI, L inearyzacja wybranych równań mechaniki pł ynów za  pomocą  metody N ewtona, Zeszyty N aukowe  Politechniki  Poznań skiej — Maszyny  Robocze i Pojazdy,  25, 1985. 26.  M .  CIAŁKOWSKI,  L inearisierung der gasdynamischen  Grundgleichung fur Stromungsmachinen, Z AM M , 66,  1986, 4, T 197- 200. 27.  M . O .  BRISTEAU ,  R .  G LO WI N SK I ,  P .  P ERIAU X,  O.  P IRON N EAU ,  G .  P OH U ER.  Application  of  Opti- mal  Control  and  Finite  Element  Methode  to  the  Calculation  of  T ransonic Flows  and  Incompres- sible  Viscours  Flows,  I n stitut  de  Recharche  d'I nform atique  et  d'Automatigue,  R ap p o rt  de  R e- cherche,  N o  294,  Avril  1978. 32S  M . CIAŁKOWSKI Praca  został a  wykonana  na  podstawie  badań przeprowadzonych  w  ramach  stypendium  im. A.  v.  Humboldta  w  „Insł itut  fur  Strahlantń ebe  und  T urboarbeitsmaschinen  der  RW T H Aachen".  Dir.  Prof.  Dr.- Ing.  H.  E.  Gallus. P  C 3  10  AI  e P EI I I EH H E  3Ą n A*IH   H JJEAJIfcH OrO  TEtffiH ILH   T E K Y^E ft CPEflBI  B  PEIIIETKE  IIPOHJIEH   BAPH AU H OH H BIM  M E TOflOM B  p a6o T e  npeRCTaBjieH o  BapH aijH oH H biń  nojpcofl  K p e m e io n o  aaflaMH   Te^euH a  H C BJI 3KOH   H   C » H - maciwoH   Teitym eft  c p eflt i  B  TypSoM am im ax.  HccjieflOBaHO  CBOHCTBai  n epBoft  H   B i o p o ń  BapjftcnH D H epraH ,  a  raKH te  n puBe^eH O  MeTOfl  peuieH H H  H e n H n e t e o r o  BapnaijH OH H oro  ypaB- H.  T eo p eT H u ec K a e  paccy>KfleiiH H   H JijnocTpH poBaH O  pac^eTH H M   npuM epoiw.  MucjieH H faie  pe3y;iB- n o ji yje go  MeioflOM   KoneH H bix  ajieivieHTOB  c  leTbipexyron bH WM   9JieMenT0M   H 3on apaM eTpa- c  9  y3Jiai«H . S u m m a r y SOLU TION   T O A  PROBLEM  O F   TH E  ID EAL  F LOW  OF   COMPRESSIBLE LI QU I D   I N  CASCAD E  PROF ILES BY  VARIATION AL  M ETH OD A variational  approach to a problem of the  flow of a non- viscous, compressible  liquid  in flow machines has  been presented. The properties of the first  and the second variation of the  energy  functional  have been investigated  as well  as a  method of solution  of nonlinear variational  equation. Theoretical  investigations have  been  illustrated  by numerical examples.  The numerical results  have  been  obtained by F E M  method with  quadrangle  element  isoparametric  with  9  knots. Praca  wpł ynę ł a do Redakcji  dnia 18 kwietnia  1985  roku.