Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\02mts88_t26_zeszyt_2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZ N A I  STOSOWAN A 2,  26 (1988) OP IS  STANU  ZARYSOWANIA  LEPKOSPRĘ Ż YSTEJ TARCZY W  U JĘ C IU DYSTRYBUCYJNYM M A C I E J  M I N C H   : • .: • : Politechnika  W rocł awska W  pracy  wyprowadzono  równanie  róż niczkowe  lepkosprę ż ystej  tarczy  zarysowanej. Wykorzystują c  zasadę   wariacyjną   typu  G urtina,  aparat  teorii  funkcji  uogólnionych  oraz przyjmują c  zwią zki  fizyczne  dane  ogólnym  przedstawienieniem  cał kowym  Boltzmanna, wyprowadzono  równanie  róż niczkowe  pł askiego  stanu  naprę ż enia  w  materiale  liniowo lepkosprę ż ystym.  W równaniu tym warunki brzegowe, począ tkowe  oraz graniczne w rysie zawarte są  explicite.  Podano przybliż ony  sposób  rozwią zania  wychodzą c  z analogii  spię - ż ysto- lepkosprę ż ystej. •  •   .  • • ;••   1.  Wprowadzenie W  ramach  liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  istnieje  wiele  modeli  opisują cych  zachowanie się  ciał  z defektami.  Prace te rozwijają   się  w  dwóch kierunkach. Pierwszy  z nich wykorzy- stuje  dyskretny  model obliczeń  (metoda róż nic skoń czonych, metoda elementów skoń czo- nych)  [4, 9, 12].  G lobalny  obraz  efektów  zarysowania  otrzymany  w  tych  pracach  jest poprawny, jednak  zaburzenia w miejscach rys są  z zał oż enia niedokł adne. D rugi  kierunek polega  na formuł owaniu róż nych modeli matematycznych dla  ciał  kruchych z  defektami. Literatura w tej  dziedzinie jest  niezwykle  bogata.  Wymienić  tu moż na m.in.: pracę   [18], w której rozwią zań  poszukuje  się   poprzez przekształ cenia cał kowe i wprowadzenie  funkcji zmiennych zespolonych  oraz  prace  [11, 19] gdzie  podano teorie defektów.  Teorie  te pole- gają   na  budowaniu  pewnych  potencjał ów  modelują cych  defekt. Wykorzystanie  matematycznych modeli  dla  ciał   kruchych  w konstrukcjach  z betonu zbrojonego  napotyka jednak  n a pewne  trudnoś ci. D latego też teorie ż elbetu  rozwijają   się niezależ nie,  choć  wykorzystują   również  rozwią zania  matematycznych  teorii  defektów. Ż elbetowe  tarcze  zarysowane  projektuje  się  do dzisiaj  jako  sprę ż yste,  jednorodne  i  izo- tropowe.  Taki  model  obliczeniowy,  przyję ty  już kilkadziesią t  lat temu,  wykazuje  wiele sprzecznoś ci.  W  przedziale  obcią ż eń  uż ytkowych  w  konstrukcji  tarczy  obserwuje  się niejednorodnoś ci  wystę pują ce  w postaci  rys  oraz deformacji  Teologicznych i  plastycznych. W  tarczy  takiej  zachodzi  znaczna  redystrybucja  sił  wewnę trznych,  w porównaniu  do jej stanu  sprę ż ystego.  Wniosek  ten potwierdzony  został   także  licznymi  doś wiadczeniami. 348 M .  M I N C H W modelu teoretycznym konieczne jest zatem przyję cie  takiego  sposobu opisu, aby moż na był o  uwzglę dnić  w nim  obserwowane  niecią gł oś ci deformacji.  Odbywać  się  to może przez przyję cie  przemieszczeń  w  szerszej  klasie  funkcji,  tzn. w  klasie  funkcji  uogólnionych lub inaczej dystrybucji.  Podejś cie takie dla konstrukcji ż elbetowych  belek,  pł yt  i  tarcz prezen- tują  np. prace  [I , 2, 5, 15].  Przyję te  w nich modele nie uwzglę dniają  jednak  zjawisk reolo- gicznych  w  betonie poza  miejscami  defektów.  D la  wię kszoś ci  materiał ów ich zachowanie w  procesie  odkształ cenia  odbiega  od  zał oż eń  przyję tych  w  liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci. Istnieje zatem potrzeba dalszego  uś ciś lenia  modeli przez uwzglę dnienie  w opisie wł asnoś ci materiał u zmiany odkształ ceń w czasie i ich wpł ywu na stan konstrukcji. W  niniejszej  pracy  wyprowadzono  równanie  róż niczkowe  pł askiego  stanu naprę ż enia w ramach liniowej  lepkosprę ż ystoś ci.  Zwią zki  fizyczne  przyję to  w formie  ogólnego przed- stawienia  cał kowego  Boltzmanna.  Podano  przybliż ony  sposób  rozwią zania  wychodząc z  analogii  sprę ż ysto- lepkosprę ż ystej  oraz  okreś lono  zwią zek  fizyczny  w  rysie. 2.  Zał oż enia Rozważa  się  jednorodną  i  izotropową  tarczę  cienką,  której  powierzchnia  ś rodkowa zajmuje  obszar  Q  parametryzowany  kartezjań skim  ukł adem  współ rzę dnych x a ,  a  =   1,2, ograniczoną  dowolnym  konturem dQ, n a brzegu  dQ u   sztywno  zamocowaną, ze  swobod- nym  brzegiem  8Q S   i  statycznym  obcią ż eniem  zewnę trznym  p  (rys.  1).  Ponadto  obszar tarczy £i podzielony jest pojedynczą,  niepropagują eą  się rysą krzywoliniową  L ,  kawał kami gł adką  w  R2,  n a  dwa  podobszary  Q L   i  Q 2 .  Zakł ada  się,  że  rysa  obejmuje  cał ą  grubość tarczy,  przy  czym  L t   i  L 2 ,  stanowią  odpowiednio lewy  i  prawy  brzeg  rysy  L   =  L ivL 2 . Przyję cie  wię kszej liczby  rys poza komplikacją  natury rachunkowej nie wniesie nic nowego do  przeprowadzanych  tu  rozważ ań. Rys.  1,  Rozpatrywany  obszar  tarczy  Q  z  rysą  na  krzywej  L . TARCZA  LEPKOSPRĘ Ż YSTA  349 Warunki  brzegowe  zadania  mają   nastę pują cą   postać: —  warunki  przemieszczeniowe « =   ii  na  8Q U   (2.1) —  warunki  naprę ż eniowe Sn=p  na  3Q S   (2.2) Tutaj  u(x, t), SCx, i)  oznaczają   odpowiednio  wektor  przemieszczenia  i  tensor  naprę ż enia okreś lone  czasoprzestrzentiie,  natomiast w, p  są   funkcjami  wektorowymi  zadanymi odpo- wiednio  na  brzegach  8Q U   i  8Q S ,  zaś  n jest  wektorem  normamym zewnę trznym  do  brzegu BQ. Ponadto  do  warunków  brzegowych  zewnę trznych  (2.1) i  (2.2)  doł ą czyć należy  jeszcze warunek  graniczny  w  rysie,  w  której  przemieszczenie  u(x, t)  doznaje  skoku [u(x, Ók  =   ff(*.O.  xeL ,  (2.3) gdzie  g(x,  t)  jest  funkcją   gę stoś ci  defektu  cią głą   na  krzywej  L ,  zaś  symbol  [f] L   oznacza róż nicę  prawostronnej  i lewostronnej  granicy  funkcji/ przy  przejś ciu  przez krzywą   L . Postać  funkcji  gę stoś ci  defektu  może  być  przyjmowana  w  róż ny  sposób  w  zależ noś ci od dział ania wymuszają cego  pola  deformacji  lub  obcią ż eń na brzegi  tarczy lub  bezpoś red- nio w  rysie.  Jest  ona przedmiotem oddzielnych  badań  [15]. Szerszy  komentarz  dotyczą cy gę stoś ci  defektu g(x,  t)  dla konstrukcji  betonowych ze zbrojeniem  podany bę dzie  w  dalszej czę ś ci  pracy. Cał ość  dotychczasowych  rozważ ań  dotyczył a  szczególnego  przypadku  rysy  dzielą cej obszar Q na dwie czę ś ci. Moż na wykazać  [1], że uogólnienie na przypadek rysy wewnę trznej (np. na ł uku AB — rys.  1) w niczym nie zmienia przeprowadzanych  rozważ ań.  Sprowadza się  to  do przyję cia  n a  pozostał ej czę ś ci  krzywej  L   warunku: [«(*, Ok  =   0,  x  *AB,  (2.4) oraz  zwią zków  definiują cych  zachowanie się   funkcji  gę stoś ci  defektu  na  koń cach  rysy: dg(xt)3g(x  t ) 3 ) = = 0  ( 2 5 ) ds   v /   ds   K  J N ależy  zwrócić  uwagę   na  fakt,  że  przyję cie  na  krzywej Ł   warunku  (2.3)  powoduje konieczność  przeprowadzenia  rozważ ań  w  klasie  funkcji  uogólnionych,  stą d  w  dalszych dział aniach  opierano  się   na  definicjach  i  zwią zkach  teorii  dystrybucji  podanych  przez Schwartza  [17]. Są  one znane i nie wymagają   tu przypomnienia. Moż na jedynie  zaznaczyć, że w przypadku  opisu zadania pł askiego dotyczą   dział ań w przestrzeni (D(Q))2  dwuwymia- rowych  wektorowych  funkcji  próbnych  (gdzie Q  jest  dowolnym  otwartym  obszarem przestrzeni  euklidesowej R2). W  dalszych  rozważ aniach, ze wzglę du na dowolne zarysowanie  tarczy  wzdł uż krzywej L   wynikają ce  z  wymuszają cego  pola  obcią ż eń  lub  deformacji,  istotne  znaczenie  mają dystrybucje  singularne  typu  delta  (bę dą ce  uogólnieniem  funkcji d — D iraca),  o  danej gę stoś ci f  skoncentrowanej  na  krzywej L c R2,  których  wł asnoś ci  definiuje  się   nastę - 350  M .  M I N C H pują co  [1]:

  =   J  ip(x)«(yd L ) ,  =   ( -   1)W  /   v»(*)D "9(*)&,  (2.7) gdzie:  a  -   ( a l 5  a 2) ,  |a |  =   a!  +   a 2. Tutaj  funkcja  ip(x)  jest  funkcją   cią głą   na krzywej  L , zaś  cał ki  po  prawej  stronie  wzorów (2.6)  i  (2.7)  są   cał kami krzywoliniowymi  po  krzywej  L . Wynika  stą d, że funkcjonał y  sformuł owane powyż ej  dla jednostkowych  gę stoś ci  funkcji y> mają   analogiczną   wł asność  odsiewają cą   jak  funkcja  typu  d — D iraca,  polegają cą   na przyjmowaniu  wartoś ci  funkcji  1 *E+- ir (ip 2 —ip 1 )*itrE- F,  (3.5) gdzie: F  =  yj1*2?°+  —  0Pz~ ipi)*^  tr2s°.  (3.6) M noż enie  splotowe  wzglę dem  czasu  ozn aczon o z  poniż szego  zwią zku: (3.7) D o  opisu  om awian ego  zagadn ien ia  wykorzystano,  n a podstawie  an alogii  sprę ż ystej, splotową  zasadę  wariacyjną  typu  G u rt in a  [6, 7],  stowarzyszoną  z  ukł adem  ró wn ań  p o la (3.1) 4-  (3.3)  o raz  waru n kam i  brzegowymi  (2.1) — (2.3) i warun kiem  począ tkowym  (3.4). Przyję to  funkcjonał   p o st aci: / («) =  /   UdQ-   J  l*b*udQ~ Q  a  (3.8) —  J  l*p*uddQ, so gdzie: U  =   y>1 * I —  v « —E °) * V U + \ 2   I  (3.9) +  - T T  (.f2—Vi)*  (- -̂   d i vH - t r £ °|*d i vH, 2  \  2  / jest  funkcją  energii  odkształ cen ia  bę dą cą  odpowiedn ikiem  energii  odkształ cen ia w  teorii sprę ż ystoś ci. D alej  oblicza  się  wariację  fun kcjon ał u  (3.8): r + l*b- divF\ dudQ+  (3.10) r  [\   2   1  .  1 •*  2 + Sas *p- P(u)]  duddQ+f P(u)duds, 352  M.  M I N C H gdzie: JP(.) -   - [ ^ - ( v i V +y (V3- Vi)*divj(- )J«,  (3.11) jest  analogią   do  operatora napię cia powierzchniowego  w  teorii  sprę ż ystoś ci. Jeż eli  u(x, t)  jest  kinematycznie  dopuszczalnym  przemieszczeniem  (tzn. jeś li  stanowi rozwią zanie  zagadnienia  (2.1)- r- (2.3)  i  (3.1)- r- (3.4))to  wariacja  (3.10)  równa  się   zeru. Z  drugiej  strony  jeś li  prawa  strona  równania  (3.10) znika  dla  dowolnego  wyboru  du to otrzymuje  się   przemieszczeniowe  równanie róż niczkowe  tarczy  lepkosprę ż ystej: »+ l *A- d i vF   =   0,  (3.12) naturalne  warunki  brzegowe  dotyczą ce  brzegu  swobodnego  lub  sztywnego  (gdzie  dla brzegu  sztywnego  warunek  du — 0 sprowadza  się  formalnie  do  warunku  „  =  0 oznaczają cego  zgodnie  z  (2.1)  wypadkową   przemieszczenia  u  na  sztywnym  brzegu  8Q,i) [P(u)- 1  *p] U  =   0 V du\ Bau   =   0,  (3.13) oraz  dodatkowy  warunek  graniczny  w  rysie  wyraż ają cy  cią gł ość  wypadkowego  wektora napię ć  przy  przejś ciu  przez  rysę   L : [P(«)]L  =   0.  (3.14) Pojawienie  się   ostatniej  cał ki  krzywoliniowej  we  wzorze  (3.10)  i  w  efekcie  warunku (3.14), wynika  z  uwzglę dnienia  dodatkowego  brzegu  wewną trz  obszaru  Q,  tzn. linii rysy L   =  L i'uL t,  gdzie  L ^  i  L 2   stanowią   przeciwległ e jej  brzegi.  Cał kę  tę  moż na przekształ cić do  postaci, w  której  bę dzie  liczona  ona  wzdł uż linii, a wielkoś ci  podcał kowe skł adać się bę dą   z sumy dwu skł adników zwią zanych z przemieszczeniem stycznym do rysy  Su s  i prze- mieszczeniem normalnym do niej  6u„.  Wyrazi  się  to formalnie przez cosinusy  kierunkowe «K(ÓM   =   6usn1  + Su„n2)-   N ależy przy  tym  zwrócić uwagę  n a fakt,  t e  dla brzegów  L t  i  L 2 posiadają   one przeciwne  zwroty.  U zyska  się  w  ten sposób  w  warunku  (3.14) zasadę   akcji i  reakcji  napię ć stycznych  i  normalnych na brzegach rysy  L . Warunek  (3.14) przedstawia zatem warunek cią gł oś ci wypadkowego  wektora napię ć przy przejś ciu  przez rysę   L . W  celu uproszczenia zadania brzegowego  zarysowanej  tarczy lepkosprę ż ystej, równanie róż niczkowe  (3.12) ze  stowarzyszonymi  warunkami brzegowymi  i warunkiem granicznym w  rysie  zastą pi  się   dalej  równoważ nym  równaniem  opisanym  w  terminach  dystrybucji przy  zał oż eniu, że u(x, t)  należy do szerszej klasy funkcji,  tzn. klasy funkcji  uogólnionych. W  tym  celu  formalnie  oblicza  się   wyraż enia: =   j  {V2u}2)*graddiv  « + 1 * A - =   - P(gd L )+  [1 • > - P ( «) ] 4 + i> [ ( 4 - «) ]̂  (3.17) Otrzymano  w  ten  sposób  równanie  róż niczkowe  na  wektor  przemieszczenia  u(x,  t) tarczy lepkosprę ż ystej  zarysowanej,  które zawiera  w  sobie komplet warunków  brzegowych zewnę trznych na brzegu  8Q, warunki począ tkowe  oraz speł nia warunek graniczny w rysie powodują cy  skok  wektora  przemieszczenia przy  przejś ciu  przez jej  brzeg. Zwrócić należy  uwagę   n a  podobień stwo  równania  (3, 17) do  równania przemieszcze- niowego  zagadnienia  pł askiego  z  rysą   podanego  w  pracy  [5]: =   - N (gd L )+(p- N (u))d s +N [(u- u)d,l,  (3.18) gdzie  N  jest  operatorem napię cia  powierzchniowego ) . ) « .  (3.19) Róż nica  polega  n a  wystę powaniu  w  funkcjach  relaksacji  wielkoś ci  X i  jx  zależ nych  od czasu. 4.  Zwią zek  fizyczny  w  rysie Postać  funkcji  gę stoś ci  g(x,  t)  decyduje  o  stopniu  trudnoś ci  rozważ anego  problemu, stą d  konieczność jej  szerszego  omówienia. Przy wyprowadzaniu  równania  róż niczkowego tarczy  lepkosprę ż ystej  (3.17)  przyję to  gę stość  defektu  g(x,  t),  opisują cą   skok  wektora przemieszczenia  w  rysie  zgodnie  z  równaniem  (2.3), na  tyle  regularną   n a  ile  wymagają tego  obliczenia.  Aby  uzyskać  postać  funkcji  gę stoś ci  g(x,  t)  należy  w  tarczy  ż elbetowej rozpatrzyć warunki równowagi  w rysie pamię tając przy tym, że po powstaniu rysy  istnieje 354  M .  M I N C H w  niej  uzewnę trznione  zbrojenie,  które  wzajemnie  oddzialywuje  na  są siednie  brzegi  rysy. Staje  się  zatem  oczywiste,  że rozwarcie  rysy  zależ eć  bę dzie  od wielkoś ci  sil  wystę pują cych w odkrytym  zbrojeniu w rysie. Zł oż oność niektórych procesów zachodzą cych w elementach ż elbetowych  wymaga  poczynienia  szeregu  zał oż eń  upraszczają cych  koniecznych  do  okreś- lenia  zwią zku  fizycznego  w  rysie.  Jako  gł ówne  wymienić  tu moż na:  rozpatrywanie  sta- tycznego  zjawiska  zarysowania  (bez  efektów  dynamicznych  podczas  pę kania  rysy  itp.), zał oż enie  braku  oddział ywań  betonu  mię dzy  są siednimi  brzegami  rysy  (wzajemne  zazę- bianie  się  betonu) co powoduje,  że napię cia w rysie  przenoszone są tylko  przez  zbrojenie, ponadto  przyję cie  krzywoliniowego  wykresu  naprę ż enie —  odkształ cenie  a—e  dla betonu • oraz modelu  sprę ż ystoplastycznego  a- e  dla stali  zbrojeniowej. Rozpatrzenie  wyrunków  równowagi  w rysie  oraz  zał oż eń  przyję tych  z  ogólnej  teorii rys  pozwala  na otrzymanie  prawa  fizycznego  opisują cego  jej  rozwieranie  się w procesie • obcią ż enie — odcią ż enie  w nastę pują cej  postaci: g(.x,t) = g o (x,t)+ gl (x)T (x,t),  xe/ $  (4.1) Tutaj  g o (x, t)  oznacza  deformacje  trwał e w rysie  zależ ne  od historii  obcią ż enia (pamięć konstrukcji),  natomiast  gt  (x) T (x, t)  deformacje  sprę ż yste  zależ ne  od  wypadkowego wektora  napięć  T (x, t)  dział ają cego  w zbrojeniu  rysy. Wartoś ci  funkcji  g o (x, 0  i gi(x)  zależą  od parametrów wytrzymał oś ciowych,  geometrii rysy, charakterystyki  zbrojenia  itp. i są funkcjami  cią gł ymi punktów krzywej L . Zwią zek  (4.1) jest  zwią zkiem  lokalnym  waż nym  jedynie  dla  rysy  tzn. g(x,t)  =  0 dla je £ AB.  Szczegół owe  wyprowadzenie  prawa  fizycznego  opisują cego  rozwarcie  rysy  dane zależ noś cią  (4.1)  znaleźć  moż na  w pracy  [15]. Wykorzystując  sformuł owany  zwią zek  fizyczny  w  rysie  (4.1)  moż liwe  jest  podanie rozwią zania w formie  analogii sprę ż ysto- lepkosprę ż ystej.  Prowadzi to jednak  do znacznych komplikacji  natury  matematycznej,  stąd  przybliż ony  sposób  rozwią zania  moż liwy  jest do  podania jedynie  w formie  pewnej  przybliż onej  procedury  postę powania. Przyjmując  zależ ność  (4.1)  dla  zagadnienia  sprę ż ystego  za pierwsze  przybliż enie  roz- wią zania  równania  lepkosprę ż ystego  (3.17)  moż na  przedstawić  sprę ż yste  rozwią zanie równania  (3.18)  w formie  równania  róż niczkowo- cał kowego: «(*)  =   /   [go)+g 1 (y)T (y)]N (G(x,y))ds+ AB + f  {N (G(x, y ))[u(y)- n u(y)]- G(x,y)[N (u(y))- p(y)]}ds  (4.2) s gdzie  G(x,y)  jest  funkcją  G reena  speł niają cą  równanie: / *  ( v2  +   U x llp  eraddiv)   CBH3i TH na E oJI tl?- MaHa3  nojiy^eH O  BH (|i(pepeH miajibH oe  ypaBH eirae  n jiocK oro  H anpjD KgH H oro  COCTOH H H H   p,jia  jn m e i t e o r o BH 3Koynpyroro  jwaTepnana.  B  3TOM  ypaBHeHHH   noH BJunoicH   KpaeBbie  ycn osH flj  H a^ajiŁH Łie  ycnoBH H H   BH yrpeH H Łie ycn oBH a  B TpemH H e. IlpeflCTaB^eH O  npn6jHDKeHHBift  cn o co 6  pem eH H a  ocH OBan Ha  yn p y- ro- BH 3Koynpyroii  aH anorH H . S u m m a r y D ESC RIP TION   O F  A  CRACKED   STATE  O F  A  VISCOELASTIC PLATE  BY  D ISTRIBU TION AL  F ORM U LATION The  paper  contains  a  mathematical  model  of  viscoelastic  plate  with  cracks  loaded  in its  plane. Th e crack has  been characterized by th e discontinuity of the  displacement  vector. The distributional  differential equation  of  the viscoelastic  plate  with  crack,  appropriate  boundary  conditions,  initial  conditions  and compatibility  conditions, have  been  derived  by  the variational  method of  G urtin in the space  of  general F unctions. An approximate  method of  solution  resulting  from  the elastic — viscoelastic  analogy  has been given. Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  23 stycznia  1987 roku.