Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\02mts88_t26_zeszyt_2.pdf


M E C H AN I K A
TE OR E TYC Z N A
I  STOSOWAN A

2,  26  (1988)

QUASI- STATYCZNA  SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZN OŚĆ  DLA  M ATERIAŁU
N IEŚ CIŚ LIWEG O.  ROZWIĄ ZAN IE  M ES

MACIEJ  BANYŚ

Politechnika W rocł awska

1.  Wprowadzenie

Zagadnienia  quasistatycznej  lepkoplastycznoś ci  są   rozwią zywane  efektywnie  przy

zastosowaniu  procedur  iteracyjno- przyrostowych  typu  N ewtona- Raphsona  [3, 2].  Tego

typu metody zarówno w przypadku  bez wzmocnienia, jak  i ze wzmocnieniem kinematycz-

nym są  bezwarunkowo  stabilne dla parametru aproksymacji  liniowej  O  ^  —-  i  umoż liwiają

uzyskanie  rozwią zań  sprę ż ysto- plastycznoś ci,  jako  stanów  ustalonych  odpowiadają cych

duż ym  czasom.  Dotychczasowe  rozwią zania  pozwalają   n a  stwierdzenie,  że  jedynie  dla

parametru 0 = 1  niezależ nie od wielkoś ci  przyrostu czasu  dt uzyskuje  się  wyniki  praktycz-

nie  dowolnie  dokł adne.  D la parametru 0  e (—;  11 dokł adność w  istotny  sposób  zależ ała

od  wartoś ci  przyrostu  dt,  przy  czym  im  mniejsza  wartość  0  tym,  w  celu  zapewnienia,
dokł adnoś ci, należy  stosować  mniejsze  dt. W  dotychczasowych  rozważ aniach koncentro-
wano  się  gł ównie na weryfikacji  metod pod ką tem  ich stabilnoś ci  i  dokł adnoś ci  pomijają c
przypadek  materiał u  nieś ciś liwego  w  zakresie  sprę ż ystym  i  plastycznym.  Istnieje  kilka
moż liwoś ci  uwzglę dnienia  tej  wł asnoś ci  materiał u  [7], jednakże  istnieją   procedury,  które
„zał amują "  się  i  uniemoż liwiają   osią gnię cie  poż ą danej  dokł adnoś ci. W  pracy skoncentro-
wano  się   na  przebadaniu jednej  z  czę ś ciej  stosowanych  moż liwoś ci,  która  zadowalają co
uwzglę dnia  efekt  nieś ciś liwoś ci.

2.  Procedura numeryczna

Model  ł epkoplastyczny  zaproponowany  w  pracy  [4]  umoż liwia  stosowanie  róż nych
kryteriów  uplastycznienia  i  typów  wzmocnienia.  Dla* kryterium  H ubera- Misesa  i  wzmoc-
nienia  kinematycznego  moż na zapisać  model  ł epkoplastyczny  w  postaci:



360  M .  BAN YŚ

gdzie  e" — wektor  odkształ ceń niesprę ź ystych,
y  oznacza  lepkoś ć,

crc — aktualna  granica  plastycznoś ci  na rozcią ganie,
Sk =  SflCjt,  s

k
  oznacza  wektor  dewiatora  naprę ż enia  wzglę dnego,

S
D
 — macierz  dewiatorowa,

a
k
  =  er—c  I Ile", a

k
 oznacza,  naprę ż enie  wzglę dne.

M acierz  II jest  macierzą   diagonalną   wynikają cą   z  zastosowania  zapisu  wektorowego

ten sora  a, a  macierz  III przedstawia  macierz  diagonalną   wynikają cą   ze stosowania  od-

kształ ceń  inż ynierskich  Iz pominię ciem—przy  odkształ ceniach e
Xy

\ .  Współ czynnik c

okreś la  wzmocnienie  kinematyczne.  Metody  opisane  w pracach  [2, 6] uwzglę dniają   od-
jkształ cenia  sprę ż yste  poprzez  równanie  konstytutywne:

ff  =   Dee,  (2.2)

gdzie:  D  — macierzą   sprę ż ystoś ci,
8e — oznacza  wektor  odkształ ceń  sprę ż ystych.

Równanie równowagi  dla obszaru  V dla zastosowanej  dyskretyzacji  wprowadzonej poprzez
macierz  odkształ ceń  B ma  postać

VadV =  R,  (2.3)
Y

gdzie:  s =   BK, H  oznacza  wektor  przemieszczeń wę zł ów,
R jest  wektorem  wszystkich  obcią ż eń zewnę trznych.

Wprowadzają c  iteracyjno- przyrostowy  zapis  powyż szych  równań,  aproksymację   liniową
i  rozwinię cie  w szereg  Taylora  prę dkoś ci  odkształ ceń niesprę ź ystych  i"  moż emy  wypro-
wadzić  procedurę  typu  N ewtona- Raphsona  tak jak  w pracy  [2]. Rozwią zanie  sprowadza
się  wówczas  do rozwią zywania  ukł adu równań liniowych tworzonych na nowo dla  kolejnej
i- tej  iteracji  w  zastosowanym  («+ l)- szym  przyroś cie:

K'- Aui
+1

 = J- YUi,  (2.4)

gdzie:  K' jest  macierzą   sztywnoś ci  postaci:

K ' =   /   BTD "BrfF ,  (2.5)
v
/
v

Au  przedstawia  przyrost przemieszczeń pomię dzy kolejnymi  iteracjami.
Wektory  prawej  strony  równania  (2.4) tzw.  sił  równoważ ą cych  mają   postać:

Ui  /   i+ 1 rfF- 2?B ł l,  (2.6)
v v

gdzie: xUi  =  <5<tó  + i ; V ) _
M acierz  D "  jest  macierzą   sprę ż ysto- lepkoplastyczną   uwzglę dniają cą   wzmocnienie i ma



SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚĆ  361

postać:

] A ' 1 G.   (2.7)
Przyrost  <5<r'+1 =   aiX\ - a„.
Macierz  D ' jest  zwią zana  z  macierzą   D "  równaniem

D " =   D 'G ,

gdzie  macierz  G  jest  macierzą   „wzmocnienia"  postaci

)  •   (2.8)
n+ej

, 8 s, "

Macierz  G  w  przypadku  braku  wzmocnienia, tzn.  gdy  c  —  O, równa  się   macierzy jedno-
stkowej  1.  W  takim przypadku  algorytm  upraszcza  się  do  opisanego  w pracy  [3].
Przyrost  naprę ż eń pomię dzy  kolejnymi  iteracjami  okreś lony jest  wzorem:

Aal,
+ 1

  =   D " BZ 1B< + 1-   D ' D -
1 ; ^ .  (2.9)

Algorytm  powyż szej  procedury przedstawiony  został  w pracy  [2],

3.  Materiał   nieś ciś liwy

Model lepkoplastyczny  przedstawiony  w punkcie II gwarantuje  nieś ciś liwość  materiał u
w zakresie  plastycznym.  Taką   wł asność obserwujemy  w  przypadku  metali.  W  niektórych
przypadkach  przyjmuje  się   również  nieś ciś liwość  w  zakresie  sprę ż ystym,  co  odpowiada
stosowaniu  uł amka  Poissona v  =   0,5. Wówczas  macierz sprę ż ystoś ci  staje  się  nieokreś lona
ze  wzglę du  na  wyraż enie  ( 1 - 2-  v)  w  mianowniku.  Moż liwoś ci  rozwią zywania  takich
problemów  został y  omówione  ogólnie  w  pracy  [7]. Jednakże  w  konkretnym  przypadku
konieczny  jest  wybór  sposobu  traktowania  nieś ciś liwoś ci  dają cy  gwarancję   moż liwie
dokł adnego  rozwią zania.  W  pracy  zastosowano  czę sto  stosowany  sposób  polegają cy  na
przyję ciu  uł amka Poissona o wartoś ci bliskiej  0,5. Wybór  ten podyktowany  był  wł asnoś cia-
mi  procedury.  Zwróć my  uwagę   na  równanie  (2.7)  okreś lają ce  macierz  sprę ż ysto- lepko-
plastyczną .  W  przypadku  wartoś ci  bliskich  0,5  macierz  sprę ż ystoś ci  posiada  elementy
o duż ych  wartoś ciach. Z kolei macierz podatnoś ci  D "1 m a elementy o mał ych wartoś ciach,
odwrotnie proporcjonalne  do  elementów macierzy  D. Ten fakt  powoduje,  że w  równaniu
(2.7)  dominuje  drugi  czł on  sumy  wynikają cy  ze  stosowania  modelu  ł epkoplastycznego
W równaniach  (2.6) oraz  (2.9) wystę puje  iloczyn  D " 1 ^ ^ ! .  Ze wzglę du  na postać  wektora
X},

+1
  i wł asność macierzy  podatnoś ci  D ~J moż emy stwierdzić,  że powyż szy  iloczyn  bę dzie

równy  wektorowi  o  skoń czonych  wartoś ciach.  Decydują cy  ze  wzglę du  n a  efektywność
algorytmu  bę dzie moment startu,  gdy  a  —  0.  Wówczas  drugi  czł on  sumy  zwią zany  z po-
chodnymi  czą stkowymi  przyjmie  wartoś ci  zerowe  i  macierz  D "  =   D'  =   D.  W  miarę
narastania odkształ ceń niesprę ż ystych  zwię ksza  się  dominacja drugiego  czł onu, a  zmniejsza
się  wpł yw  wyraż enia  (1 — 2 •  v).

W  pierwszym  punkcie  zaznaczyliś my,  że  model  lepkoplastyczny  pozwala  dla  pro"
porcjonalnego  obcią ż ania  w  prosty  sposób  generować  rozwią zania  dla  plastycznoś ci

10  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/ 87



362  M .  BAN YŚ

Rozwią zanie  plastyczne  otrzymuje  się   jako  graniczne  rozwią zanie  dia  duż ych  czasów.
Wówczas  osią gamy  stan stacjonarny i dalszy przyrost odkształ ceń plastycznych jest zerowy.
Czas  gra  rolę   fikcyjnego  parametru.  Również  wielkość  y  okreś lana  jako  lepkość  może
przyjmować  dowolną   wartość  bez  wpł ywu  na  wynik  obliczeń.  Rozwią zanie  sprę ż ysto-
epkopiastyczne  dą ży  asymptotycznie  do  rozwią zania  sprę ż ysto- plastycznego.  Z  tego
wzglę du  moż na  weryfikować  procedurę   porównują c  wyniki  obu  metod  tzn.  sprę ż ysto-
lepkoplastycznoś ci  (stan  stacjonarny)  i  sprę ź ystoplastycznoś ci.  N ależy  podkreś lić,  że
w  M ES rozwią zania  dla  plastycznoś ci  otrzymuje  się   iteracyjnie  lub  przyrostowo.  Zawsze
n a  każ dym  etapie iozwią zywania  problemem jest  niedokł adne  speł nienie kryterium  upla-
stycznienia  a

kint
  =  a

e
.  Stan  naprę ż enia  musi  znaleźć  się   n a  powierzchni  plastycznoś ci

i nie może jej  przekroczyć. Takie przejś cie  graniczne jest trudne do speł nienia numerycznie
dla  każ dego  punktu  G aussa  cał kowania  numerycznego.  Wykorzystanie  modelu  lepko-
plastycznego  omija  ten  problem  dają c  rozwią zanie  asymptotyczne  i  z  tego  wzglę du jest
konkurencyjne  mimo  pewnych  wad  [1,  6].

4.  Weryfikacja  procedury

D o  obliczeń  wybraliś my  przykł ad rury  gruboś ciennej  nieskoń czenie dł ugiej  obcią ż onej
ciś nieniem  wewnę trznym.  Przykł ad ten jest  rozwią zany  w  literaturze  i  czę sto  jest  stoso-
wany  do  weryfikacji  procedur numerycznych  [1 - 4- 3]. Zastosowano  prawo  (2.1)  z  funkcją
potę gową   &(F)  =   F".
D ane  materiał owe  przyję liś my  tak  jak  w  pracy  [2]:
moduł   Younga  E =   3 •   107,
uł amek  Poissona  v  =   0.495 do  0.499999995,
granica  plastycznoś ci  a

e
  =   3 •   104,

wskaź nik  potę gowania  n  =   1,  promień  wewnę trzny  a  =   1,
lepkość  y  — 1 •   10~ 8,  promień  zewnę trzny  b  = 2,
współ czynnik  wzmocnienia  c  =   1,15 •   107.

Zastosowano  osiowo- symetryczne  trójwę zł owe  elementy  Lagrange'a  z  ograniczoną
moż liwoś cią   odkształ ceń  e

x
  =  0  w  kierunku  osi  symetrii  oraz  cał kowanie  numeryczne

dwupunktowe  kwadraturą   G aussa. D yskretyzowano  przekrój  na  8 elementów  z  globalnie
17  wę zł ami. Wykonane  obliczenia  miał y  na  celu  potwierdzenie  rozważ ań  teoretycznych
zwią zanych  z  bezwarunkową   stabilnoś ci  dla 0  ^  1 / 2 i dowolnie  duż ych przyrostów  czasu
dt  oraz  zbadanie  wpł ywu  wartoś ci  uł amka  Poissona  na  dokł adność i  efektywność  pro-
cedury.  Ponieważ  moż na  uzyskać  rozwią zanie  sprę ż ysto- plastyczne  dla  duż ych  czasów,
z  tego  wzglę du  przyję to  przyrost  czasu  dt  =  1O10.  Przyrost  ten  umoż liwia  osią gnię cie
stanu  ustalonego  już  w  drugim  przyroś cie.  Rozwią zaniem  startowym  był o  rozwią zanie
czysto  sprę ż yste.  Przyję to  ciś nienie  wewnę trzne  p  —  22420,  które  powoduje  zarówno
w  przypadku  bez wzmocnienia jak  i ze  wzmocnieniem znaczne uplastycznienie  przekroju

Zagadnienie  rury  gruboś ciennej  nieskoń czenie  dł ugiej  i  obcią ż onej  ciś nieniem  wew-
nę trznym  dla  materiał u  nieś ciś liwego  bez  wzmocnienia  redukuje  się   do  prostych  równań
wzglę dem  naprę ż eń  [5]. W  MES moż liwe jest  rozwią zanie  tego  zagadnienia  poprzez przy-



SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚĆ  353

jecie  uł amka  Poissona  bliskiego  wartoś ci  0,5.  W  oparciu  o  opracowaną   procedurę   roz-
wią zano  powyż sze zagadnienie  przyjmują c  róż ne wartoś ci  uł amka  Poissona  coraz  bliż sze
0,5.  Praktycznie już  dla  wartoś ci  v =  0,495  otrzymuje  się   bardzo  zadowalają ce  wyniki
zarówno w zakresie  przemieszczeń jak  i naprę ż eń w przypadku  bez  oraz ze wzmocnieniem
kinematycznym  (rys.  1 — 4).  Przyjmowanie  wartoś ci  coraz  bliż szych  0,5  nie  powoduje
znaczą cych  zmian  w  wynikach.  Róż nice nie  przekraczają   przy  tym  1%.  Trzeba  ponadto
zaznaczyć,  że  aż  do  wartoś ci  v  =  0,49999995 nie  wystę pują   zaburzenia  w  wynikach,  co
ś wiadczy  o dobrych wł asnoś ciach procedury. D opiero przyję cie  v =  0,499999995  powoduje
gwał towne perturbacje  w wynikach  począ wszy  od rozwią zania  sprę ż ystego.  N ależy dodać,
że wzrost  wartoś ci  uł amka Poissona powoduje  niekiedy  wzrost  liczby  przyrostów potrzeb-
nych  w  celu  uzyskania  stanu  ustalonego  Powyż sze  obliczenia  porównano  dla  materiał u
ś ciś liwego w zakresie  sprę ż ystym  (rys  1  - r- 4). Praktycznie jedynie  dla naprę ż enia  osiowego
a

z
  widać  istotne  róż nice  pomię dzy  materiał em  ś ciś iiwym  a  nieś ciś liwym.  Wszystkie  obli-

czenia  zamieszczone  na  poniż szych  rysunkach  wykonano  dla  parametru  aproksymacji
liniowej  © =   1  i  uł amka  Poissona  v  =  0,495  otrzymują c  stan  ustalony  w  drugim  przy-
roś cie  przy  nieprzekraczaniu  pię ciu  iteracji.  Warunek  plastycznoś ci  w  strefie  plastycznej
został   speł niony  idealnie  w  każ dym  punkcie  G aussa  (bł ą d  0%).  Obliczenia  wykonano
w  podwójnej  precyzji  na  komputerze  SM4.

N astę pnie  dla  róż nych  wartoś ci  paiametru  aproksymacji  <9  testowano  zachowanie  się
procedury  zwią zane  z  wpływem  wartoś ci  uł amka  Poissona v  =  0,495.  Obliczenia przepro-
wadzono  dla  przypadku  bez  wzmocnienia  i  ze  wzmocnieniem  kinematycznym.  Wpł yw
parametru  aproksymacji  moż emy  obserwować  n a  podstawie  speł nienia warunku  plastycz-
noś ci, tzn. poprzez  statyczną   funkcję   uplastycznienia  F  = — ̂ -   — 1. W  przypadku  osią g-

om

nię cia  granicy  plastycznoś ci  funkcja  F  przyjmuje  wartość  zero.  W  celu  analizy  wpł ywu
parametru  aproksymacji  liniowej  przyjmijmy  róż ne wartoś ci  parametru  dla  naprę ż eń  0

a

oraz  odkształ ceń niesprę ż ystych  0
S
.  Przyję cie  obu  wartoś ci  równych  zeru  powodował o

niestabilność  numeryczną   procedury  zarówno  w  przypadku  bez  wzmocnienia, jak  i  ze
wzmocnieniem kinematycznym  (dla przyrostów  czasu  dt  wię kszych  niż 10a). W  przypadku

bez  wzmocnienia,  gdy  &
E
 —  0  otrzymujemy  algorytm  stabilny  dla  ©

a
  >  - y,  jednakż e,

im  mniejsza  wartość  &
a
, tym  mniejsza  dokł adność wyników  (rys  5); zwł aszcza  dla  gra-

nicznej wartoś ci  6
a
  =  0,5  obserwujemy  duże zaburzenia.  W  przypadku  ze wzmocnieniem

kinematycznym  najbardziej  interesują cy  jest  wpł yw  drugiego  parametru  aproksymacji,
tzn. ©

E
 (przy O

a
  =   1). Jeż eli  0

e
  =  0, to pomijamy  wpł yw  pochodnej czą stkowej  wzglę dem

s"  i  procedura jest  typu  N ewtona- Raphsona dla <r  oraz  począ tkowych  obcią ż eń  dla  8°.
Wówczas  macierz  wzmocnienia  G  =   I  (patrz  wzór  2.8).  Okazuje  się ,  że  taki  przypadek
prowadzi  do  bardzo  duż ych  bł ę dów  (rys.  6). Wzrost  wartoś ci  ©

B
 zdecydowanie  polepsza

dokł adność  i w  przypadku,  gdy  0
B
  =   0

S
  =   1 otrzymuje  się   bardzo  dobre  wyniki  fnieza-

leż nie  od  wartoś ci  przyrostu  dt).  N ależy  zaznaczyć,  że  nie  obserwowano  znaczą cych
róż nic  w  wartoś ciach  funkcji  uplastycznienia  F  dla  uł amków Poissona  bliskich  0,5  (rys.
6, 7).

10*



2,4

2,2

2,0

1,8

1,6

1,0

0,8

\

material ś ciś liwy
bez wzmocnienia

materiał nieś ciś liwy
bez wzmocnienia

material ś ciś liwy
ze wz- mocnieniem
kinematycznym

0,5  0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Rys.  1. R u r a  gruboś cienna.  Wykresy  przemieszczeń  promieniowych  u
r
  dla  materiał u nieś ciś liwego  i ś ciś li-

wego. Przyję to  materiał  bez  wzmocnienia  i  ze  wzmocnieniem  kinematycznym.  Zastosowano  8  elementów;
wartoś ci  przemieszczeń  w  wę zł ach;  linie  cią gle —  rozwią zanie  ś cisłe  [5]

0,5  0,6  0,7  0,8

materiał ś ciś liwy
ze wzmocnieniem
kinematycznym
c=1,15'107

materiał nieś ciś liwy
bez  wzmocnienia

0

- 0,1

- 0,2

- 0,3

- 0,4

- 0,5

- 0,6

- 0,7

- W

- 0 ,9

- 1,0

k
p

R ys.  2.  Wykresy  naprę ż eń promieniowych  ov dla  rury  gruboś cienaej  z  materiał u  ś ciś liwego i nieś ciś liwego;
.p—- ozn acza  ciś nienie  wewnę trzne;  r —p r o m ie ń ;  linie  cią głe —  obliczenia  ś cisłe  [5],  Przyję to  materiał
bez wzmocnienia  i ze wzmocnieniem kinematycznym. Wartoś ci  naprę ż eń w punktach  G aussa;  zastosowano

8  elementów

[364]



u

1,3

0,6

0,5

materiał  ś ciś liwy
ze  wzmocnieniem
kinematycznym

11510'

zakres  strefy  plastycznej  materiał u
nieś ciś jiwego  bez  wzmocnienia
promień  strefy c=  1,588

zakres  strefy  plastycznej  materiał u
ś ciś liwego  bez  wzmocnienia
promień  strefy Q = 1,599

materiał  ś ciś liwy

-   oznacza  materiał
nieś ciś liwy  ze  wzmocnieniem
kinematycznym  c = 1,15- 107

0,5  0,6 0,7 0,8 0,9  1,0

Rys.  3.  Rura  gruboś cienna. Wykresy  naprę ż eń  obwodowych  dla  materiał u  ś ciś liwego i nieś ciś liwego.  P r z y
ję to  materiał   bez  wzmocnienia i ze  wzmocnieniem kinematycznym. Linie cią głe  —  obliczenia  porównawcze

[5];  wartoś ci  naprę ż eń  w  punktach  G aussa

P

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

(

- o,:

zakres  strefy  plastycznej
ze wzmocnieniem  kinema-
tycznym c=1,15- 107

zakres  strefy  plastycznej
bez  wzmocnienia

nieś ciś liwy  materiał

nieś ciś liwy  material

ś ciś liwy  materiał
ś ciś liwy  material

0,5 /   0,6 0J7  0,8  0,9  1,0

Rys.  4.  Rura  gruboś cienna.  Wykresy  naprę ż eń  osiowych  a
x
  dla  materiał u  ś ciś liwego  i  nieś ciś liwego.  Przy-

ję to material  bez  wzmocnienia i ze wzmocnieniem kinematycznym. Wartoś ci  naprę ż eń  w  pun ktach  G aussa;
zastosowano  8  elementów  i  dwupunktową   kwadraturę   G aussa



es=o,5
e

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
b

Rys.  5. Zależ ność statycznej  funkcji  uplastycznienia  F  od  parametrów aproksymacji  liniowej  0.  Przypadek
bez  wzmocnienia

6 , 5 =1

9£ = 0, 75

0,5 i t r 0,8 0,9
R ys.  6.  Z ależ ność  statycznej  funkcji  uplastycznienia  F  od parametrów aproksymacji  liniowej  0 .  Przypadek

ze  wzmocnieniem  kinematycznym

1366]



SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚĆ 367

Rys.  7.  Analogiczny wykres jak  n a  rys.  6;  przypadek materiał u  ś ciś liwego  z  uł amkiem  P oisson a v  =   0.3

5.  Wnioski

N a  podstawie  przeprowadzonych rozważ ań  i  weryfikacji  numerycznej  moż na stwier-
dzić, że procedura typu  N ewtona- Raphsona jest  bezwarunkowo  stabilna  dla parametrów

aproksymacji  liniowej  0  ^  - ^ . Umoż liwia ona efektywne  rozwią zywanie  zagadnień quasi-

statycznej  sprę ż ysto- lepkoplastycznoś ci  oraz sprę ż ysto- plastycznoś ci  dla  róż nych wartoś ci
uł amka  Poissona  praktycznie  dowolnie  bliskich  0,5,  co  odpowiada  przyję ciu  materiał u
nieś ciś liwego.

Literatura

1.  J. H .  ARG YM S,  L.  F .  VAZ ,  K. J.  WILLAM ,  Improved solution methods for  inelastic rate problems,  C om p.
M eth.  App.  M ech.  E n g.  16,  31 -  77,  1978.

2.  M .  BAN YŚ,  JRozwią zywanie  problemów  ą uasi- statycznej sprę ż ysto- lepkoplastycznoś ci  ze  wzmocnieniem
kinematycznym,  M ech.  Teor.  i  Stos.  (w  druku).

3.  T. J . R.  H U G H ES,  R. L.  TAYLOR,  Unconditionally  stable  algorithms  for  quasistatic  elasto- visco- plaitic
finite  element analisis,  C om p.  Struct.  8,  169- 173, 1978.

4.  P .  PERZYN A,  T eoria lepkoplastycznoś ci, P WN , 1966.
5.  W.  PRAOER,  P . G .  H OD OE ,  T heory of  perfectly  plamic  solids,  J .  Wiley,  1951.



368  M .  BAN YŚ

6.  O. C. ZtENKiEWicz, I .  CORM EAU ,  Visco- plasticity, plasticity and creep in elastic solids —  a unified nume-
rical  solution  approach, I n t . J.  N u m .  M eth.  Eng.  8,  821 -  845,  1974.

7.  O. C .  Z I E N KI E WI C Z ,  Viscoplasticity, plasticity,  creep  and viscoplastic flow- proroblems of  small, large  and
continuing deformations,  Computional M echanics, ed.  J.  T.  Oden, Austin,  Texas,  297 -  328,  1974.

P  e  3 jo  M e

KBA3H - CTATIMECKAJI  yilP Yr O  Bfl3KOmiAC TiraH OC TB  JLJIfl
H EOKH M AEM OrO  MATEPHAJIA.  PEIHEHHE  METOflOM   KOH E^H LIX

3JI EM EH T0B.

MeTofl  Kon e^H bix  ajieMeHToB  flJiH   KBa3HCTaiHiiecKHX  npoSneM   yn p yr o  BH 3Kom iacn ra-
H OC TH   c  yKeToM   KHHeMaTHqecKoro  ynpomaeH H Ji.  ITpHHHT  ireoKHMaeMoH   iwaiepnaji  B  yn p yr o ił   o6jiacTn

I lya c c o H a  6jiH 3Koro  0. 5. H e Ha6jiiOflajiocB  3Ha^iHTejiŁHoe  BSIHKHW Z  n a c n a  I lyaccoH a  Ha  CH H -
sihtpeKTMBHocTH   ajiropMTMa  oSjiacTH   craSmibH ocTH   KBK H  TOM H OCTH .  JXHK  n apaM eipa  an n p o K ca-

M am n i  6  =   1 H   ^IH CJIO  I lya c c o H a  v  =   0.495  n oJiyqeH w  oneH B  yfloBJieTBOpHTenbHbie  pe3yjibTaTbi  «n s

S u m m a r y

QU ASI —  STATIC  F XASTO  — VISCOPLASTICITY  F O R  IN COM PRESSIBLE M ATERIAL
SOLU TION   BY  F E M .

The  finite  element  method  has  been  applied  to  quasi- static  elasto- viscoplasticity  with  kinematic har-
dening. Incompressible material in  the elastic range has  been considered for  the  Poisson ratio close to 0.5.
The  substantial  influence  of  the Poisson  ratio  on  deterioration of  the algorithm effectiveness  in  the  range
of  stability  an d  accuracy  was  not  observed.  The  satisfactora  result  for  the  incompressible  material  with
application  of  parametr 0  =   1 and the Poisson  ratio v =   0.495 has been obtained.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  30  marca  1987  roku.