Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\02mts88_t26_zeszyt_2.pdf


MECHANIKA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA

2, 26 (1988)'

NON-STANDARD ANALYSIS AND THE CONTINUOUS MEDIA

JERZY BLAHUT

Politechnika Slqska, Gliwice

1. Preliminary remarks

The A. Robinson's non-standard analysis seems to be a very convenient and efficient
tool of formalization of the connections between, the system of corpusculae of material
body and the continuous medium, representing this body.

In the survey [5] of Polish studies in the above mentioned direction and in the paper
[7] quoted in [5], there is also demonstrated the possibility of a similar formalization of
the connections between porous medium and its skeleton (at given time instant).

In this paper we present certain notion of continuous medium and discuss its simple
topological and measure theoretical properties.

We begin with a brief description of the non-standard formalism, used below. Starting
from the set Xo = R (the real line) of individuals we obtain the universe of the standard

CO

model M of analysis as X = U X„, where X„+1 equals to Xn plus the power set of Xn for

any natural n. The set-theoretical epsilon-relation e, restricted to X2 is the only extralogical
relation of the model M. The language of M contains also the constants, at least one for
each element of X. For given infinite set W of indices and the $"0-regular ultrafilter D
on W, we define nonstandard model *M as the ultrapower of M modulo D. We do not
suppose for *M the enlargement property and we make no hypotheses on saturation of
*M in the powers, greater than 3£x.

The symbols av, Aw, ... stand for elements of the non-standard universe, that are
equivalence classes of the functions (aw)wew, (AW)W£W, ... respectively modulo D. The
expressions of set theory, analysis etc., introduced in the paper are to be understood as the
abbrevations of the expressions, defined in *M. The standard elements of *X and the
internal sets (relations, functions) in *M are defined as usual, the notation for standard
elements is the usual one, too. We refer to [3] for details. If the argument concerns only
the *elements of *Xn with given, finite n (as in the whole text below), then we can identify
the relation *e of *M with a suitable restriction of the set-theoretical epsilon.



370 J-   BŁ AH UT

2.  Main  definition  and  theorems

I n  all the paper U denotes a bounded open set in the space R3  of the standard model M.

D efinition  1. The  set P  £  U is  said  to be  a  continuous medium  of  the  internal set A
w
  of

points of *i?3  in U  if  there  holds  inclusion A
w
n*U  £  *P.

We  shall  frequently  use  the  following  trivial

Lemma  1. The set P  s U is a  continuous medium of A
w
  in U as  above  if  there exists a set

HeD  such,  that

Ur\   U   ^w  s P
well

(here and  everywhere  in the paper W  and D  are the set  of  indices  and the ultraf ilter, used
in  the  description  of *M  in  the  section  1).

Proof.  I t is  immediate.  Indeed, A
w
n*U £ *P iff A

w
r\ U  s P  for  each  w  from  the  set  of

indices,  belonging  to D,  which  is  equivalent  with  the  condition in the thesis,  q.e.d.

The  set A
w
  may  be  meant as  a  hyperfinite  set  of  mass- points  (see  e.g.  [5, 6]) or  as the

sume  of  (maybe,  hyperfinite,  too) internal family  of  balls of  infinitesimal  radius, intended
A

as  a  model  of  a  set  of  atom s.  We  can also  interpret A
w
  as  a  skeleton  of  porous  medium

(see  [7]). The notion of  continuous medium defined  in this  section  seems  to be very  naive
and  even  too  general.  We  prove,  however,  that under very  natural  hypotheses  about the

A  A

distribution  of  points  of A
w
  in * U there is very few  continuous media of A

w
  in U.

Let {K„}„
B
*

N
 be  an  internal  sequence  (indexed  with  extended  naturals)  of  cubes K

n

of  the form [a„, b„) x  [c„, d„) x [e„,f
n
) ([x, y)  is  the set  of  all ze*R  such that x  <  z  < y).

Suppose  t h at :
A  A

1°  there  exists  a  positive  infinitesimal h
w
  such  that b

n
—a

n
  =  d„—c

n
 ~ f„—e„ = h

w

for  any  « e *N ,
2°  if m, n e *N , m < n  then K

m
, K

n
  are  disjoint,

3°  the  extended  space *R3  is  a  sum  of  all K
n
's, n e *N .

D enote  by  mes  the three- dimensional  Lebesgue  measure,  by  *mes its  extension  in *M
an d by  st x  the standard part  of a finite  hyperreal x.  D enote,  at  the end, by A°  the interior
of  a  set A  £  R3  in  the  natural  topology  of R3.

We  have  the  following  theorems
Theorem  1.  If  for  each K

n
  £  *U  the  intersection K

n
  n A

w
  is  non- empty,  then any  conti-

nuous medium P o?A
w
  in U is dense in U,

Theorem  2.  If  for  any K
n
 *U  holds  the  inequality:

th en  each  Lebesgue  measurable  continuous  medium P  of A
w
  in U  is  of  full  Lebesgue

measure  in U.

Theorem  3.  If  for  each K
n
  £  *U  holds  the  inequality:

' *m es( A;n i°)
s t ( :



N ON - STAN D ARD   AN ALYSIS...  371

then  each  continuous  medium P  of A
w
  in U is  of  full  Lebesgue  measure  in U an d  the  set

U\ P  is  nowhere  dense  in V.
Remark.  The occurence  of  *mes,  a  canonical  extension  of  Lebesgue  measure  (not  of  the
external  measure)  in *R3  in  the  inequalities  of  thms  2,3  implies  measurability  of  the  sets
in  question.
Proof  of  the thra  1.  Let P  be  a  continuous  medium  of A

w
  in U  and  let B  s U  be  an

open  ball  with  a  center  c  and  radius r >  0.  Since  *jR3  is  a  sum  of Kń s,  there  exists

p e*N   such, that *c eK
p
.  Since 0  < h

w
 < *r, we  have K

p
  c *B. Let K

p
 = C

w
,  where  any

C
w
, w  6 W , is  a  cube  in R3  of  the  form [s

w
, t

w
) x [u

w
, x

w
) x [y

w
, z

w
).  Then K

p
  £  *B  and

K
p
nA

w
  non- empty  imply,  that C

w
  S B  and C

w
nA

w
 ^  0  for  each w  from  certain  set

H o  e D.  H ence, if  £/ n  I J Aw  S  P  for  certain  flei),  then  ( J  (CwHvi,,,) £ P  and  for
H weH

each  w e H
o
r\ H, C

w
nA

w
  G   P  has  non- void  intersection  wuh B. H

o
nH e D  is  non- empty

set,  which  completes  the  proof.
Proof of the thm 2. Since C/is bounded, the set / o f  all n e  *# su ch , that K„ £, *U, is  hyper-
finite.  H ence, the  set  of  all  numbers:

_ *mes(K„nA
w
)

*mes(K„) '
 J>

is  finite  or  hyperfinite  and, according  to  the well- known  non- standard result,  has  a  least
number c

w
.  The  standard  part  2c  of c

w
  is  positive.

F or  certain Hi. e D  we  have c
w
 > c >  0  whenever  H>  e  flt.  Let P  be  a  Lebesgue  mea-

A

surable  continuous medium  of A
w
  in U. Then for  certain H

2
eD  there  is:

A
w
s P.

Choose arbitrary  point p  in U. F or certain q e *N  there is *p e iś Ts and, since U is open,
also  wRT,  £   *£/ . P ut K

q
 =  C w, where  each  C w  is  as  in  the proof  of  thm  1. Then for  certain

H
3
  £  D  there  is:

m e s ( C n y l )  ,  _
c -   a n d  ^ e C -m es( C w)  >

• whenever  w 6 H
3
.  Since  the  set H  =   H iP iH jn H s  is  infinite,  and  the  length h

w
  of  the

edge  of K
q
  is  an  infinitesimal,  there  is  a  sequence  {w,,}̂ 0- !  of  W^J  from H  such,  that

lim AW(i  =  0.  Let  for  each  finite  natural n En  be  an  open  cube  with  the  edges  of  length

2h
W n

  parallel  to  the axes  of  coordinates,  such,  that p eE
n
  and C

W JI
  £  E„.  Then  we  have:

mes(C
W ii

nA
w
J  J _

(E)  8>
mss(E„) mts(E„) mes(E

n
)  8  mes(C w)

Hence,
c/8  > 0 .



372 J-   BŁ AH UT

Since P  is  Lebesgue  measurable, mss(U\ P)  =   0  results  from  the  last  inequality  above
and  from  the  Lebesgue  density  theorem.

P roof  of  the theorem  3. Let P  be  any  continuous medium  of A
w
  in U, where A

w
  satisfies

the  hypothese  of  the theorem. D enote the interior  of A
w
  by B

w
.  There exists a  set  H t  e  D

such, th at P  is  a  superset  of  the continuous medium P
o
  =  Un [J B

w
  of  the set B

w
  in U.

B
w
  satisfies  the condition of  the theorem  2, P

o
  is  open and  hence measurable,  which com-

pletes  the  proof  of  the  first  thesis.  N ow,  let p  be  a  point  in U  and K  and  open  cube in
A

R
3  with  center p,K £ U. There  exists K

n
  =  C

w
  (any C

w
  is  a  cube  in R3  with  the edges

of  length h
w
)  such, th at *p e K„. Thus, there exists a  set H

2
e D  such,  that {J (C

w
nB

w
)

£  PnK  and B
w
nC

w
  is  non- empty whenever  we H

2
-   Left  hand  side  of  the  last  inclusion

is  an  open  set  and  we  have  proved,  that  each neighbourhood  of  each p e U  includes  an
open  ball  that  is  disjoint  with U\ P.  H ence, U\ P  is  nowhere  dense,  q.e.d.

3. Generalization

The  ultrapower  technique  was  essential  above  for  obtaining  proofs  of  thms  1, 2,  3,
H owever,  according  to  certain F rayne's  theorem  (corollary  4.3.13 in  [1]), if M

x
  is  a proper

elementary  extension  of  the  standard  model M  from  the  section  1,  then M
x
  can  be  ele-

mentarily  embedded  into  an  ultrapower *M  of M  modulo  certain  ultrafilter D.  If M
x

contains  non- standard  naturals,  D   must  be  £T0- regular.  This  makes  possible  generali-
zation  of  the  theorems  1, 2, 3  by  weakening  hypotheses.  Let *M  be  arbitrary  proper
elementary  extension  of M,  containing  non- standard  naturals,  let U and  * U be  as  in the

•   A

section  2.  Writing  in the definition  1 A  instead  of A
w
 (A an internal  subset  of *R3)  we can

modify  the definition  of  continuous medium. Let for  internal A  £   *R 3 A°  be  the internal
set, p  e A°  if  there  exists  positive  (maybe,  infinitesimal) r e*R  such,  that  the  internal
ball B  with  center p  and  radius r  is  a  subset  of A.  Let,  at  the end, the internal  sequence
of K'

n
s,ne *N , fulfils  the  conditions  1°, 2°, 3°  of  section  2  with  a  positive  infinitesimal

A  A

h  instead  of  /?„. Then,  writing  in  the  theorems  1, 2, 3 A  instead  of A
w
  and A0  instead

A

of A%, we  obtain true theorems.

4. On the existence of porosity

D efine,  analogously  as  in  [5] the porosity n(p)  of A
w
  at the point p  e U as  a  standard

part  of  the  .F- limit:

F~  lim*mes(iwn*/ „ )/ *mes(*/ „ ),
«- >co

where  for p  =  (x, y, z)  and  a  finite  natural n, /„  =  [x  , x- \—I  x  (v  , v+ —I x
\  n nj \  n nj

x[z ,z+—J  is  an  open  interval  in R3  (see  [4] for  the  definition  of  .F- limit).  By
\  n n f



N O N - S T AN D ARD   AN AL YSI S. . .  373

st3/ >w  we  denote in this  section  the p o in t y  e R
3  such,  th at the euclidean  distance  between

p
w
  and *p is  infinitesimal.

D enote by S the  cr- algebra  of  all  Borel  subsets  of U. We  prove  the  following
A

Theorem  4.  If A
w
  e *S, then the porosity  function n  is  defined  at  almost  all  (with  respect

to  the Lebesgue  measure) points  of  the set U.
Proof.  D enote by S

±
  the cr- algebra  of  subsets  of *U, generated  by *S  an d  let  the  internal

sequence [K„}
ne
*

N
  be  as  in  section  2.  F or  any E  s U let E  be  a  counterimage  of E  with

respect  to  the mapping  st 3.

We  sketch,  for  convenience,  the  proof,  that E  e S
x
  whenever E e S.  Let G  £  U  be  open,

let d(a, A)  be the distance  of.  point  a  from  the  set A  in  the  euclidean  m etric  of R3  and

let  for neN ,G
n
  be  the  sum  of  those  exactly K

g
's  th at *d(p

m
 *U\ G))  >   • #—  for  any

p
w
 e K

v
  Then G  =   ( j  G„, G  6 S

t
.  The family  of  all  sets E, where  £   s S,  is  a  cr- algebra

7 1 = 1

of  subsets  of U, generated  by  the sets G,  where G  £  U are  open. Of  course,  this  cr- algebra
is  a  subfamily  of  S^.  P ut m

o
(B)  =   *m es( 5n ^ w)  for  any  5  6 *5. (*U,*S,m0')  is  then

an internal measure  space in a sense of  [2] and we  can extend stwi0 t o the Loeb  measure mt
defined  on  5*i.
Let,  at  the  end, m

2
(E)  =  m,_(E)  for  each E e S.  Then  for  a  sequence  {£„}  of  pairwise

disjoint  sets from  &  £"„** are pairwise  disjoint  and m
2
(\ ^ JE„)  =   m i ( Q £ n )  =   W I C U ^ J I ) —

« = 1 n = l n = l
00

=  IE >ni(E,<)> m2  is  a  measure  on S.  If  £ e S  is  of  Lebesgue  measure  zero,  then  for

any  *e  >  0,  and  open G c U  such,  that  mes(G )  >  e  and  f c G w e  have  & S  *(?,  for
G   open,  and m

2
(E)  ^  m 2(G ) =  m^ G)  ^  »»!(*<?)  =   st *m es( *G n i„ , ) <  st*mes(*G )  < s.

H ence, m
2
{E) — 0 too and m

2
  is  absolutely  continuous  with  respect  to Lebesgue  measure

restricted  to S.  I t follows  from  the Radon- N ikodym  theorem,  th at m
2
  h as  at  Lebesgue

almost  all  points p  =  (x, y, z) e U  the  Radon- N ikodym  derivative  with  respect  to  mes,

denote it by f(p),  equal to  limm 2(/ n)/ mes(/ „ ), where /„  =   lx  •, x- \—  x  I y  , y+—I  x
„- >»  \  n n] \  n n)

xlz ,zĄ—I  is  an  open  interval  and  /„  s U  for n  large  enough.  We  have  for  any

standard  natural n  an d  for:

1- 2""

n n

mes(/ „   x/ „ )  <  l/ (8"mes(/ „)).

s ]n  s  */„



374 J. BLAH U T

H ence, for n large enough:

*raes( */ nniw)
- stmes(/ „)  *mes(*7„)

an d/ C p)  equals  to T I(J>)  th e  stan dard  p a r t  of  the  f- lim it  of  *m es(*/ „ n / 4w)/ *m es(*/ „ ),  q.e.d.

References

1.  C. C.  C H AN G ,  H . J.  KEISLER, Model T heory, Amsterdam  1973.
2.  P . A.  LOEB, Conversion form ltonstandard to standard measure spaces and applications in probability

theory,  Tran s,  of  AM S,  211  (1975)  pp.  113- 122.
3.  M .  M ACH OVER,  J.  H IRSCH F ELD , L ectures on non- standard analysis,  Berlin,  H eidelberg,  N ew  York  1969.
4.  A.  ROBIN SON , N on- standard analysis, Amsterdam  1966.
5.  C z.  WOŹ N I AK, N onstandard analysis in mechanics, Advances  in mechanics  (1986) N r  1 pp. 3 -  36.
6.  C z.  WOŹ N I AK, On the nonstandard analysis and the interrelations between mechanics of mass- point

systems and continuum mechanics, M ech. Teor.  i  Stos.  4,  19  1981,  pp.  511 -  525.
7.  C z.  WOŹ N F AK,  K.  N O BI S, N on- standard analysis and balance equations in the theory of porous media,

Bull.  Ac.  P ol.  Sci.  Tech .  XXIX,  11- 12,  1981,  pp.  213- 218.

P  e  3  K>  M e

H E C T Aim AP T H BlH   AH AJI H 3  H   CIU IO1U H LIE  C P E ^BI
A

H J I H   BiiyxpeH H ero  MHo>necTBa A
w
  To^eu  H ecraH RapTH oro p ac m n p eH H s  TpexwepH oro  n pocrpaH ciBa

A

H   oTKpbiToro  MHO>KecTBa U  CTaHAapTHoro  npocrpaH CTBa  onpe^ejiKeM   H enpepLiBH yro  cpe,ny A
w
  B U.

A

Kait  CTaH ^apTH oe  M H OK C C TBO  P 3  B pacuiapeK H H *  P K O T oporo  3aKniOMeHfai  Bee o6m iie  TOMIKU  A„ K *U,
XCJIH   3Toro  a6crpaKTH oro  onpe# ejieH H H   flaiOTca  B03M0)KHbie cpv&vpmcKue HCTOJiKosaHHH, B  TOM
CBH 3aiIH bie  C nOHHTHeM  nopHCTOH   Cpeflbl.

JI^aioTCfl  ycjioBH a  rapaH TH pyiom H e,  MTO H enpepBiBH an  c p e ^ a
1°  nnoTHan  B U ,
2°  H3MepHiwafl  H en peptiBH aH   c p e ^ a  n ojraofi MepŁi B U ,
3°  ncai- can  H en pepbiBH aa  c p e ^ a  nonHOH  M epw  B U  H   ee BnyTpeHHocTŁ njioTH aa B U 3

JCoi<a3aHbi cooTBeTCTByiomKe Teopejviw. JI,oKa3aHa fla>Ke Teopeiwa cymecTBOBaH H a no'WH
nopHCTOCTH  B CMWCJie paSoTbl [ 7] .

S t r e s z c z e n i e

AN ALI Z A N IESTAN D ARD OWA I OŚ R OD KI C IĄ G ŁE

A

D la zbioru wewnę trznego A„ punktów rozszerzenia niestandardowego przestrzeni trójwymiarowej

definiujemy oś rodek cią gły zbioru A
w
 w otwartym podzbiorze U standardowej przestrzeni trójwymiarowej

ja ko zbiór P standardowych punktów przestrzeni, w którego rozszerzeniu *P zawarte są  wszystkie punkty

wspólne A
 w
 i *U.

D la tej definicji podajemy moż liwe interpretacje fizykalne, mię dzy innymi w terminach oś rodka poro-
watego.

P o d an o  w  pracy  warunki  dostateczne  n a  to,  by
1°  oś rodek  cią gły P  był   gę sty  w V,



N ON - STAN D ARD   AN ALYSIS...  375

2°  mierzalny  oś rodek  cią gły P  był   peł nej  miary  w U,
3°  każ dy  oś rodek cią gły był  peł nej miary w U i miał  wnę trze gę ste w U.

P odan o  dowody  odpowiednich  twierdzeń.  U dowodniono także  przy  dodatkowych  zał oż eniach o A*
twierdzenie  o  istnieniu  prawie  wszę dzie  funkcji  porowatoś ci  w  sensie  pracy  [7].

Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 1 wrześ nia 1986 roku.