Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\02mts88_t26_zeszyt_2.pdf


M E C H AN I K A
TE OR E TYC Z N A
I  ST O SO WAN A

2,  26 (1988)

CON STRAIN TS  IN   SOBLD   M ECH AN ICS.
AN   APPLICATION   OF   N ON STAN DARD   AN ALYSIS

EWARYST  WlE R Z BI C KI

Instytut  Mechaniki  UW

1. Introduction

The  concept of constraints in solid  mechanics is usually  utilized  to formulate  special
cases  of constitutive  relations  identifying  with  certain  restriction  imposed  on  pairs {%,  T )
of a motion % and a stress  T . To be  a constitutive  relation such restriction must  have  a spe-
cial  form,  i.e. it must  fulfil  certain  neccesary  conditions  stated  in the  general  theory of
constitutive  relations.  The  following  N oll  axiom  is  exactly  one of these  conditions, [9,
p.  160].

The  principle  of determinism  for simple  materials. The  stress  at the  place  occupied
by the body- point  % at the time /  is determined by the history  %'  of the motion of  the  body
up to the time t, i.e.

T (
x
(x,t)

!t
)  = &(v

x
Kx,  • );'*)•

Here ś F( • ) denotes a sufficient  regular  mapping of histories V%'  of a  gradient V% of  a mo-
tion  %,  body  - points X  onto  symmetric  Cauchy  stress  tensors.

The above  principle of determinism will be  called  here a classical  principle of determi-
nism.  However,  there  exist  real  materials  for which  forementioned  defined  principle
leads  to the  theory  not  consistent  with  experiment.  In  such  situations  more  general or
alternative  formulations  of the  principle of determinism  should  be  applied.  F or  example,
if  admissible  motions of a body  are  subjected  to constraints of the  form:

w(Z JV^
rV%(Z , / ))  =  0,  (1.1)

where  u>( • )  is sufficient  regular  function  with  values  in  R"  then  the  following  statement
holds,  [9 p.  176].

Principle of determinism  for  simple  materials  subject  t o  constraints.  The  stress  at  the
place  occupied by the  body- point X  at  the time t is determined  by  the history  %*  of the
motion  %  up  to  the time t only  to  within  an  arbitrary  tensor  that  does  no  work  in any
motion compatible with  the constraints. That is:

T( X(X, 0 , 0 =

11  M ech .  T eorct.  i  Stos.  2/ 88



378  E.  WIERZBICKI

where  the  mapping  G(­)  need  be  sufficiently  regular  and  defined  only  for  arguments
V /  such as to satisfy  the  constraints, N being a  stress for  which  the  stress­power  vanishes
in  any  motion  satisfying  the  constraints,  i.e.  tr(ND) =  0  for  each  symmetric  tensor  D
such  that:

The  principle  of  determinism  for  simple materials  with  constraints  is a  generalisations
of the classical principle. If there are  no  restrictions  of  the  form  (1.1),  i.e.  w(­)  =  const.,
then  N  =  0  and  both  principles coincide.

The  principle  of  determinism  can  be  formulated  in  mechanics  also  in  more  general
form,  describing  more  general  classes  of  physical  situations.  For  example  in  [14]  it  can
be found  the following  formulation  of constraints:

wOt.Vz,  ...,v'a)  = o
and  in  [1] we deal with  constraints:

where p,  q  are  natural  numbers  and  numbers  in  scopes  under  the  letters  denote  suitable
time­derivative.

In the paper we apply nonstandard analysis  as  a  mathematical  tool  derive  new  consti­
tutive relations  of mechanics from  the known constitutive relations. Fundamental concepts
of this approach  are based on  [7, 11, 12].  The aim of the paper is to prove that  by applying
concepts  and  methods  of  nonstandard  analysis  the  principle  of  determinism  for  consti­
tutiverelations  with  constraints  can  be  obtained  from  the  classical  principle  of  determi­
nism.  This  proof  will  be  realized  by  a  certain  specification  of  nonstandard  constitutive
relations  which  are  consistent  with  the classical  principle  of  determinism.  We are to show
that  this  approach  has  the  following  attributes:

(i)  it  eliminates  from  the  axioms  of  mechanics  the  principle  of  determinism  with
constraints,

(ii)  it  has  a  clear  physical  interpretation  being  based  only  on  the  classical  principle
of  determinism,

(iii)  it  leads  to  a  description  of  physical  situations  which  cannot  be  described  neither
by  the classical  principle  of  determinism  nor by the principle of  determinism  for  constitu­
tive relations  with constraints.

In  the paper  the concept  of a  constitutive relation  is understood  in more  general sense
than  that  in  most  of  the  papers  on  this  subject.  Namely  after  a  certain  specification  the
constitutive  relations will be treated as constitutive relations for  the  internal  forces  descri­
bing  material  properties  of  bodies —  or  as  constitutive  relations  for  the  external  forces
describing interactions  between  a body and its exterior, cf.  [11,  15].



CONSTRAINTS  IN  MECHANICS  379

2.  Physical  foundations

Let  be  given  the  following  objects:
(i)  the  set F  of  states  y  of  the  mechanical  system  under  consideration,  i.e.  assume

that  F  is  an  open  set  in  a  certain  topological  space,
(ii)  the set 0*  of  admissible  evolutions  R  B t ­»• y(t)  E F  of  states  of  the  mechanical

system  under consideration,  i.e. the set  of right­hand  side  differentiable  functions  of  real
variable;  assume  that  this  differentiation  is  well  defined,

(iii)  the  dual  pairing  (W,{­,  •>,  W)  of  linear  topological  spaces  in  which  W  is  the
space of time rates y,  W  is the space of reactions  Q of the  system and  (y,  Q)  is the  power
of the reaction  Q  for  the rate y, y  e  W, n e  W,

(iv) the  set  Ht  of  histories  y
(()  : Rt  ­> F  of  the  evolution['y( •) s 0

1  of  the  system  states
up  to the time  t, defined  for  each  t e R, i.e.

for  t  sR,seR,s  ^  0.

As a basis for  our considerations the following  requirement will be  postulated.
Principle  of  determinism.  For  each  time­instant  t e R  a  reaction  q{t)  of  the  system  is

uniquely determined  by the history y(t)  e H,  of the evolution y( •) e 0*  up to the time  t and
by the rate  y(t)  of change of a  system state in the time t,  i.e,

e(0 = <?0>y(0,y('))- (2.1)
Introducing above and applying  below concepts such as  the state of the system, a reac­

tion of the system, the rate of  changing of a state  of the  system, etc., can have  a  different
physical interpretation,  which can be found  in [11].

In a  description  of a mechanical  system the concept of  constraints  is used  in  situations
where  it  is  impossible  to  receive  so  many  informations  to  be  sufficient  to  describe  it  by
a  constitutive  relation  satisfying  the  classical  principle  of  determinism.  Accepting  here
as  a  fundamental  requirement  the  classical  principle  of  determinism  has  then  a  superior
authority  with  respect  to  other  ones.  The  approach  using  in  the  paper  is  in  agree  with
above  premises  because  the  concept  of  constraints  is  here  a  natural  consequence  of  the
classical  principle  of  determinism.

3.  Tools  from  nonstandard  analysis

Let  9Ł  be  a  nonempty  set.  From  all  sequences  of  points  of  SC  we  shall  distinguish  the
set  C, C cz !%N,  elements  of  which  will be called the  converging  sequences.  For  each  con­
verging sequence  (x,,)neN we assing exactly one point limx„  e $Ł which will be called a limit
°f  (,x„)„sN.  We will also  say that  each sequence  (x„)„lN e  C converges  to  the  limit  limxn.
We assume  that  the  operation  lim: C ­> SC  fulfils  the  following  conditions:

(i) each  subsequence  of  a  sequence converging  to  x, x e f . i s a  sequence  converging
to  x,

(ii) the constant  sequence with values  equal to  x, x  e SE,  converges  to  x,
(iii)  each sequence  not  converging  to  x, x  e SŁ, contains  a  subsequence  whicn  in  turn

does not contain any subsequence converging to  x.

u*



380  E .  WlERZBICKI

cThen  the  pair  (#", lim)  will  be  referred  to  as 1/­space,  cf.  [6 p.  339]. Let  CA, A  t
stands  for  the  set  of  all  converging sequences with values  in A  and  let  P(3T)  be the  power
set  of  X.  Define  two  sequences  d„: P{%)­>  P{SE), int„: P(SQ  ­»•  P ( f ) ,  of  operations,
setting:

(xXeN  e  CA},

cln+l(A)  =  cUcl,,^),  nei\T,

and:

int,1+1(^()  =  inttint,,^),  neN,

for  every  A  eP(2F).  It  is  easy  to  verify  that  each  pair  ($Ł,  cl„) n eN,  is  a  step­space,  cf.
[3],  i.e.  for  each  « e JV  the  operation  cln  fulfils  all  conditions  defining  a  closure  operation
in  a  topological  space  (possible  except  the  requirement  that  cl;;  must  be  equal  to  cl,,).
It  is  easy  to  introduce  a  topological  structure  in each i'­space  by  defining  the  closed sets
as  the  sets  D  containing  limits  converging  sequences  of  points  belonging  to  the  set  D,  cf.
[2  p .  90]. This  topology  will  be  denoted  by  r.  If  the  operation  lim  fulfils  the  additional
condition

(iv)  if  limx„  =  x  and  limxj!  =  xn,  neN,  then  there '[exist  sequences  (rii)ieN,  (ki)ieII
of  natural  numbers for  which limxj!{  =  x,
then  cl„  =  cl,„  for  each  pair  (n, m) eN2  and  cl  =  cl„, neN,  is  then  a  closure  operation
in topological  space  (5Ł,  r,  cf.  [2, p. 90].

Similarly to  such topological concepts as: the monad, the  standard  part  operation,  the
F­limit  operation,  we  are  going  to  define,  for  any  neN  and  for  any  Z/­space,  new  con­
cepts  of M­monad, n­standard part operation and F ­limit operation. To this aid let the pair
(SŁ,  lim)  be  a  JJ­space  and  let  9C, lim  be  objects  in  a  certain full  structure  501.  Let  *9Jl be
an  enlargement  of  9JI.  We  have  *3f 6 *2ft  and  lim e  *9K  (here  and  below  we  write  lim
instead  of *lim). The pair  (*ŁŁ,  lim) is considered here as a QL'­space.  For  x  eSŁ  and  neN
define :

^ )  s  n  {*A: A  e  P(3Ł),  xeA=  intnA}.  (3.1)
Denoting  by  f.iT(x) the  monad  of  x  in the topological  space  (SC,  x) it is  easy  to  verify  that
the following  inclusions:

Monx(x)  3  Mon2(x)  a  Mon3(*)  =3 ...,
as  well  as  the  equality:

H  Mon„(jc)  =  fix(x)
iitsN

hold.  The  i'­space  {SC, lim)  will  be  called  «­Hausdorff,  neN,  if  JC =  y  is  implied  by
Mon„(x)  =  Mon„(y). It  is easy to  see that if L'­space  (SC, lim) is H­Hausdorff,  for  a  certain
neN,  then  the  topological  space  (#\  T)  is a  Hausdorff  space.

Now  let  i'­space  be  n­Hausdorff  for  a  certain neN.  Then in every n­monad  Monn(x),
x  e  a:,  there  is  exactly  one  standard  point.  For  each  pair  (x, y)  e  2Ł x  *2Ł  we  shall  write
s t n j  =  x  if  y  sMon„(x).  The  aforemention  operation  st„: *% ­>•  %  will  be  considered
as  the  n­standard  part  operation.  The  domain  of  st„  is  equal  to  (J{Mon„(x): x  e  SŁ).
A  sequence  (x„) „e*N  of  points  of  *SC will  be  called  ^­converging  if  there  exist  a  point



C O N ST R AI N T S  I N   M E C H AN I C S  381

I , X E I ,  and a  hypernatural  number  X
o
 e *N \ N ,  such  that  the relation  x, e M on„ (*)

holds  for  every  v e *N \ N ,  v < X
o
. Points  from  M on n(x)  will  be considered  as Ą - Iimits

o f (x„)„e*N -
The  concepts of n- H ausdorff  L'- space,  «- monad.  «- standard  part  operation,  Fn- limii,

operation will be used below  only  in the case of n =   1. In the sequel  instead  of  a  1- monad
a  1- Hausdorff  space,  etc., we shall  use the  terms:  a monad,  a  H ausdorff  X'- space, etc.,
respectively.

N ow let T  stands for a fixed  topological  regular  space  and 2 r  be the set of all  closed
subsets  of  T . Let  define  a convergence  in 2T  setting  (A„)„

eN
 e C iff  for  some  A e 2T  the

following  statements  holds:
(i)lim sup^ n  =  A, i.e. each neibourhood  of any  point  from  A  has a nonempty  inter-

sections  with  almost  every  set A,„ n eN ,
(ii) liminL4„  =  A, i.e.  each neibourhood  of any  point  from  A  has a non- empty inter-

section  with  infinite  number  of  sets  A
n
, n eN .

The set 2r  with  the convergence  of sequences  of sets  defining  above,  determines  a certain
L'- space,  [6 p.  188],  which  will  be denoted  here  by  (2T, lim). An important result, [10],
is  that this Z/ - space is H ausdorff  (i.e.  1- Hausdorff)  an d:

MonOO =   {Be  *(2T) :°B = A},  Ae  2T,  (3.2)

where  °B stands for the standard  part of the set B. It means that the standard  part  opera-
tion in / / - space  ( 2r , lim) is equal to the standard  part  operation of  (closed)  subsets  of T .
Moreover,  .F- lim^,, =  Mon(^4) provided  that:

(3A0  6 *N \ N )(Vn  e *N \ N )[[n  <  Ao]  => [A = °An]],

for  each  f- converging  sequence  (A
n
)

nB
*

N
  of  closed  subsets  A,,e*(2T).

4. From microconstitutive relations to macroconstitutive  relations.

N ow we are going  to formulate the method which  enable  us to obtain  new  constitutive
relations from  the known  constitutive  relations. The known constitutive  relations  are here
relations  satisfying  the following  form  of the classical  principle of determinism  (2.1):

where  function  ^ , :fx  W x H
t
  -> W ,  for  every  t e R,  is  defined  by  <p

t
(y(t), y(t), y

U)
) =

s  <p(t, y(t), / °) . The formula  (Z>) is a starting  point of our  considerations.  I n the  sequel
arguments  t and y(y, yU)  e H

t
, t e R, will be treated as parameters; for the  sake  of simpli-

city  they will be omitted. So (D) has a form:

Q =  q>(y,y)\  f:Fx  W  - * W .  (4- 1)

Let us assume that the  set U(y) s  dom ^(y,  • },  for every  y eT ,  is open in  W . I n a parti-
cular  case  Eq. (4.1) reduces to g =   q>(y).

Let  0  be a set of  functions  ć piF- tW  - »•   W   which  are assumed  to describe  physical
situations  defined  by  (D). H ence we conclude  that  the set 0  depends  on parameters t
and  / °(• )•  In agreement  with  physical  premises,  0  is  an  infinite  set.  Every  function



382  E , WlERZBICKI

<p e 0  will  be called a  constitutive relation. I t is not assumed  here th at  every  constitutive
elation being an element of 0  has a physical sense.

Let  9Jt  B  (A
r
)

T S
j-   be a full  structure in which  sets  R, F, W

:
 W   are  separated  objects

of  th e type A
w
.  Passing to an enlargement *9Ji of 501, elements of *& will be called micro-

constitutive  relation s:

Q =  q>(y,y);  (p:*Fx*W - **W ',<p  e*0.  (4.2)

F or  every  microconstitutive  relation  cp,  (pe*&,  and for  every  y,yeF,  we  have dom

ę (ip
>
  • )  =   *U(y).  Every  function cp,qs  *&, is an internal relation but not  necessary  stan-

dard.
Let us assume  th at  the set F is a topological H ausdorff  space satisfying  the first  axiom

of  countability.  F or every  state y, y e T , we  denote  by  {o
n
(y))

nsN
  the neibourhood- basis

of y  in F.  I n the space  2W I  of all  closed subsets  of  W   we shall  introduce a L'- space struc-
ture  setting  T : =   W   in i'- space  (2T, lim).  I t is  possible  to introduce such  structure by
means  of  considerations  of  Sec.  3, provided  that  W   is  regular.  Let us define  sequences
{0t\ {y, w))

neN
  Getting

# ? ( y,  «0 •   {g =   KY> W ) - (y> w) e <y
n
{y) x B{w,  ro/ «)},  (4.3)

where  r 0 e i?+ , y  e *0  and B(w, ro/ ń )  is  an open ball in W  with a center w and a radius
ro/ n , n e *iV.  Let W o be a subset  of *& satisfying  comditions:

(i)  for  every  ~p eW
0
,  y e *F, w e*W ,  sequences  (Sftfiy, w))n€*N  of  closures  of  sets

defined  by Eq. (4.3)  have  F­limits  (in the sense  precised  in Sec. 3),
(ii)  there  exist  1 ° a  standard  state  y, y e F,  2° a  standard  velocity  y, y e W, 3° a  non­

standard  number  Ao s  lo{y),  XQ  e *N\N,  such  that:

°[*t<y,  w)]  #  0,  (c», y, MO € ^ x ^ x ^ ) ,  (4.4)

where  the  closures  @f(y, w) of  sets  ś $f(y,  w), for  every  v e *N \ N ,  v  < X
o
,  are ̂ - limits

of  the  sequences  (Mf (y,  w))
nŁ

*
N
  an d  where  the sets  ^?|(y, w) do n ot depend  on  (y, w) e

fi(y)  x  [A(W ).

Tn 1FO we introduce an equivalence relation  ~  , setting  (p±  ~  ^ 2 provided  t h at :

(Vv 6 **f\ N )[[v  < min(Ao(&)»  ^0(^2)] • >  [ °i^ ( y,  w) =   o ^ ( y ,  w)]],

holds  for  (ipi, <p
2
)  e ^ o -   The equivalence  class  determined by the microconstitutive rela-

tion  y e ! P 0  an d the pertinent quotient set will  be denoted by  n((p) an d IT  respectively.

Settin g:

«"«< y, w) m °[®f(y, w)],  (4.5)

for  (<p,  y) e W
o
 x F, the relation:

g s ^ % ,  w),  0ł "<- - );FxW - +2w',  (4.6)

will  be  called  a  macroconstitutive  relation generated  by  a  microconstitutive relation  9?,
1̂ e ?0,  provided  that  n  =  7r(c>). It is a macroidealisation  of physical  situation  described

by  microconstitutive  relation  given  by (4.2).  It is important  that  Mn{y,  w) is a  closed set
in  W  but not necessary  bounded.  Microconstitutive  relations  #j and ę

2
  will be considered

as  nondiscernible  if  they  generate  the  same  macroconstitutive  relation.  Equality  of



C O N ST R AI N T S  I N   M E C H AN I C S  383

classes  3i((pi) and  3r(c?2)  is  equivalent  to  nondiscernibless  of  microconstitutive  relations
c>! and  cp

2
. Introducing parameters  t an d ym  it can be form ulate  the following  proposition .

P roposition. F or every microconstitutive  relation  f,  cp e  IF Q, there  exists in  $Jl a m acro-

constitutive  relation  M^ {ip){yw,  • )  generated  by  q>,  i.e.  there exists  in  SIR a  set  of  reactions,

closed  in  W ",  uniquely  determined  by  y(t),  y(t)  and  y{t\   A  relation  @?&(yV\   • )  n ot

depend  on a  choice  of  a microconstitutive  relation from  the class n((p), i.e.  it  is  the  same

for  each  pair  of  microconstitutive  relations.  So  (4.2)  implies:

e
(t)  e m®  (V

v
\   y(t),  HO)-   (G D )

Above  proposition  will  be  considered  as  the  general  principle  of  determinism  an d  the

family  of  multifunctions:

Fsy  - +   Af'Xy)  m  {w  e  W :  (y,  w) e  dom@f"(y">,  • )},  (4.7)

where:

dom # ?&> (yt o,  • )  •   {(y, w)eFx  W : ®f<<\ y«\  y,  w)^ 0},

will be formed  constraints. We will describe  below physical  situations  for  which  constraints
(4.7)  do  not depend  on the history  / °,  y' 0  e  H

t
.  So, we  shall  also  define  A

t
(y)  m  Af

l
\ y).

F rom  now  on  and  from  Eq.  (4.4)  we  conclude  that  evolutions  y(- )  e&>,  satisfying  for
every  /  6 R the  condition  y{t)  e  A,(y(t),  exist.  So,  for  each  t  e R  and  y  e F  the  set  A

t
(y)

is the set  of  all  rates  y  of state y  at the time t. H owever,  macroconstitutive  relations  as well
as  constitutive  relations  from  the  set  0  not necessary  have  physical  sense.

5. From the general  principle of determinism to the principle of  determinism  for
constitutive  relations  with  constraints

The  formalism  presented  in  Sec.  4  leads  from  microconstitutive  relations  satisfying

the  classical  principle  of  determinism  (D)  to  the  macroconstitutive  relations  satisfying

the  general  principle  of  determinism  (G D ). The  idea  of  such  passage  is  in  splitting  the

set  *? 0  of  microconstitutive  relations  into  disjointed  classes.  To every class  is  assigned  th e

value of  the operation  ę   - » fl^fi)(• ) on an arbitrary  element  tp of  this  class.  This  'mapping

is  one to  one  and  t h e  operation mentioned  above  is  additive  if  at  least  one from  the com-

ponents is  standard,  i.e.:

^*&+ *v)(.) _  gt"^ \ • )+ ^3I(ł *!)(  O-

The operation 0  - * *& together  with  the choice  of  the  set  0  of  constitutive  relations  leads

to  the set  *0.  The choice  of  the operation 0  • *  *0  seems  to be  natural, because  0  an d  *0

represent  the  same  physical  object  in  different  structures  501  and  *9Jl  respectively.  The

restriction  of  the  considerations  to  the  set  W
Q
,  which  is  the  domain  of  th e  operation

<p  - > 0t"l^ {  • ),  has  a  character  of  a regularisation  assumtion  and is  made  only  for  securing

mathematical  correctness  of  th e  proposed  approach.  N ow  the  question  arise:  Wh at  con-

stitutive  relations  already  known  in mechanics can be  obtained  on that way  from  a certain

microconstitutive  relation  q>,  <p  E  W
0
"i



384  E.  WIERZBICKI

Answer  yes  t o  this  question can be easily  obtained for  relations  satisfying  the  classical
principle  of  determinism  (D )  by  setting  ć p: =  *ip  where  ip: Fx  W - >  W   is  a  function  for
which  every  element of  the family  {dom  ip(y, • ):  y  e F}  is  open.  I t is n ot  so  easy to  obtain.
a  result  related  t o  the  question  for  more  wide class  of  constitutive  relations.  I n  Sec.  6  we
shall  obtain  results  for  certain  special  cases  of  constitutive  relations,  namely  we  shall
found  solutions  to  the following  problem :

P roblem .  Let  t  be a fixed  time  instant,  /  e R, and let  be given:

(i) constraints  Fay  - >  A
s
(y)  <=   W ,seR,

(ii)  the  family  of  functions  ip
s
:Fy.W x.H

s
- *  W ,seR,  sufficiently  regular  and  that

for  every  s  e  R  an d for  every pair  (y, y( s> )  eFxH
s
  inclusion:

A
s
(y)  c  doxny>

s
(y,  • ,  / s ) )

holds.  We  are  t o  find  a  microconstitutive  relation  which  generate  th e  macroconstitutive

relation :

fl(0  Bft(y(t),  y(t),  y
w
)+N *

Mm
(y(t)).  (5.1)

I n Eq.  (5.1) N
AtW ))

(y{t))  is a cone, normal  to the  set A
t
(y(t))  in  a  poin t  y(t)  e  A

t
(y(t))

}

defined  as  follows.  Let A  c  W  an d  w e  W . F irst we  define  a  cone tangent  to  A  at  a point
H>, setting,  [8]:

A3W ±W

no
where  lim  inf  is  taken in the H ausdorff  sense  [4, p. 147].
A  cone n orm al  to  A  is  the set  defined  by:

N
A
(w)  m  {

Q
eW :  <y, g>  >  0,  w  e  T

A
(w)}.

N ote  t h at if  A  is  a  closed  set  in  a  separable  Banach  space  (and  hence in  all  special  cases
examined in Sec. 6) then, [8]:

N
A
{w)  =   {Q e  W ':QI\ \ Q\ \   S dd

A
(w)}u  {0},

where  dd
A
  is the subgradient  of th e function  d

A
:  W  - *•   R

+
  defined  by:

d
A
(w)  e  inf {]\ w—~w\ \ :w  ed},

A  solution  to  the aforemention  problem  can be given by  an arbitrary  microconstitutive
relation  which  generates  a  macroconstitutive  relation  satisfying  the  following  principle
of  determ inism .

The  principle  of  determinism  for  constitutive  relations  with  constraints.  The  reaction
Q(t) of th e system  at th e time t is determined by a history / °  e H

t
,  up to the time t by a  state

y(t)  an d  by  a  rate  y(t)  with  an  accuracy  to  an additive  term  Q,  Q G  W ,  having  nonne-
gative  power:

<Y,  Q>  >  0 ,  (5.2)

on  every  rat e  y,y  eW ,  admissible  by  constraints,  i.e.  on  every  rate  belonging  to  the  set

I n  the  forementioned  principle  of  determinism  the  condition  (5.2)  can  be  changed  by



CONSTRAINTS  IN  MECHANICS  385

the alternative  condition:

<y,e>  =  o,  (5.2.1)

provided  that  for  every  teR  and  every  y{ •) e &  the set At(y(())  is  a certain  linear  space.

6.  Special  cases

6.1. Firstly let us assume  that:  1° F  is an open  set in  a certain linear  space  W for  which

dim W  — dim  W  <  +oo,  2°  constraints  are  holonomic,  i.e. for  every  teR  equality:

At(y)  =  TlAt](y),ye[At],  (6.1)

where:

[At] =  {yeW:  At(y)  *  0},  (6.2)

holds.  Moreover  let  for  every  y  e At(y)  equality:

%,(V)(7) =  NlA>](y)  (6.3)

holds.  Then  it  can  be  proved  that,  [10], there  exists  a  microconstitutive  relation  $>  e xIfQ
which generates the following  macroconstitutive  relation:

o(t)  e yj,(y(t),  y(t),  y')  +  Nw(y).

This result  is  equivalent  to  the  principle  of  determinism  stated  below.
Principle  of  determinism  for  constitutive  relations  with  holonomic  constraints  in

spaces  of finite  dimension.  The reaction  q(t)  of  the system  at  the  time  t  is  determined  by

a history y0)  of the system up to time t, by a state y(t)  and  by a rate y(t)  with an  accuracy

to  an additive term  having nonnegative power:

<y,Q>>0  (6.4)

on  every  rate  y,y  e  W, admissible  by  constraints,  i.e.  on  every  rate  belonging  to  the  set

As  before  in  the  forementioned  principle  of  determinism  the  condition  (6.4)  can  be
changed  by the alternative  condition

<[y( Q)  =  0  (6.5)

provided  that  for  every  t e  R  and  every  y(­)  e 0>  the  set  T{At](y(t)) is  a  certain  linear
space.

6.2. Now  assume  that:  1° F  is a  certain  Riemanian  manifold  and  2° the  set  A,(y(t)),
for  every  (t, y{ •)) e R x 3? is  a  conformal  image  of  a  non­empty  closed  convex  set  in R"
or  a diffeornorphici  mage of  a  closed  set  in  R" with  C1­boundary.  Then  it  can. be  proved
that,  [10], there  exists  a  microconstitutive  relation  y  e  Wo  which  generates  the  following
macroconstitutive  relation:

Q(t)ey>t(y(t),y(t))+Njt(Yt))(y(t)).

This  result  is  equivalent  to  the  principle  of  determinism  for  constitutive  relations  with
constraints  in  its  general  form  stated  in  Sec. 5 provided  that  F  is  a  Riemanian  manifold.



386  E .  WlERZBICKI

6.3.  At  last let us  assume that  (D) has a  form:

where  a: T  ­> R  is a  certain  function  Gateaux  differentiate  in  every  point  of  the  set F
which is  assumed  to  be  an  open subset  of a  certain  separable  Hilbert  space  W.  Then  the
spaces  W  and  W  are isomorphic and will be identified  below. Moreover  let us assume that
constraints  are  holonomic,  i.e. that  equalities  (6.1),  (6.2)  and  (6.3) holds.  Then  it  can be
proved  that,  [10],  there  exists  a  micro constitutive  relation  <p  e yy0  which  generates  the
following  macroconstitutive  relation:

Q(t)es'(y(t))+Nldt](y(t)),

where  s: JT ­>•  R  denote  the  known  Gateaux  differentiable  function,  [At] is  assumed  to
be  a  non­empty  convex  closed  set.  This  result  is  equivalent  to  the  following  principle
of  determinism:

The principle  of  determinism  for  potential  constitutive  relations  with  holonomic  con­
straints  in  Hilbert  spaces. The  reaction  Q{t) of  the  system at  the  time  t is  determined by
a state y(t)  of the system with an accuracy to an additive term  Q having nonnegative power
(y>  6)  5= 0  on  every  rate  y,y  sW,  admissible  by  constraints,  i.e.  on  every rate  belonging
to  the  set  Tyt](y(t)).

As before  in the forementioned  principle  of  determinism  inequality  <y, g> ^  0 can be
changed  by the  alternative  condition  (6.5) provided  that  for  every  t  E R  the  set  T
is a  certain linear space.

7.  Final  remarks

In the  paper  the following  results are  obtained:
(i)  An  approach  of  formulating  new  constitutive  relations  of  mechanics  starting

from  the  known  relations.  The  known  relations  satisfy  the  classical  principle  of  determi­
nism.

(ii) It  is proved  that,  in. the proposed  approach,  constitutive  relations with  constraints
are  special cases  of constitutive  relations without constraints.

(iii) The principle  of determinism  for  constitutive relations with constraints  is  deduced
from  the  classical  principle  of  determinism,  where  no  constraints  are  taken  into  account.

(iv) A generalisation of some topological concepts of nonstandard  analysis to analogical
concepts  in  i'­spaces  is discussed.

(v) It  is proved  that  the  standard  operation  in L'­space of  closed  subsets  of  a regular
topological space ^coincides with the standard part operation of closed sets in a topological
space  T.

Results  (ii) and  (iii) can be generalized  without  difficulties  for  more wide class of con­
stitutive  relations  than  that  described  in  the  paper.  This  generalisation  is  related  to  the
relations  in  which  the  reaction  of  the system  depends  on fields  in RHS  of  (D)  as well as
on  elements  of  a  certain fibre  bundle,  [5], and  to the relations in which  (D) is replaced by



CONSTRAINTS  IN   MECHANICS  387

where  y( • )  =   (y( • ),  &(  • )) is  a pair  of  an evolution y( • )  e  3? and a  temperature- field  <9(  • ).
In  this case, applying  the method proposed in the paper, we are able  to formulate thermo-
mechanical constraints, [13].

References

1.  W.  BIELSKI, Oś rodki cią gle z  wię zami aholonomiczynrni, D issertation, F aculty of  M athem atics, C om puter
Sciences  and  M echanics,  Warsaw  U niversity,  1976.

2.  R .  EN OELKIN G , General topology, PWN ,  Warszawa,  1977.
3.  F .  H AU SD ORF F, Gestufte  Raumes,  F un d.  M ath., XXXV,  1935,  486- 502.
4.  F .  H AU SD ORFF, Mengenlehre, 3rd  edition,  Springer,  Berlin,  1927.
5.  W.  KOSIN SKI, Równania ewolucji  ciał  dyssypatywnych,  I F T R  R eport, 26, Warszawa  1983.
6.  K.  KU RATOWSKI,  T opology, Acad.  Press,  N ew  York  1966.
7.  A.  ROBIN SON , N on- Standard Analysis, Studies in Logic an d F oundations of M athematics, N o r t h H olland,

Amsterdam  1979.
S.  R. T.  ROCKAFELLAR,  Generalized  directional  derivatives and subgradients  of  nonconvex functions,  C an .

J.  M ath., XXXII,  2,  1980,  257- 280.
9.  C.  TiiUESDELL, A  First  Course  in  Rational  Continuum  Mechanics,  The  John-  H opkins  U niveristy,  Bal-

timore- M aryland  1972.
10.  E .  WIBRZBICKI,  D issertation,  F aculty  of  M athematics,  Computer  Science  and  Mechanics,  Warsaw

U niversity,  1985.
11.  Cz.  WOŹ N IAK,  Constraints  in  Constitutive Relations  in  Mechanics,  M ech. Teor. i  Stos.
12.  C z.  WOŹ N IAK,  N on Standard Analysis in Mechanics, Advances  in  M echanics, to be  published.
13.  C z.  WOŹ N IAK,  On  the  Modelling  of  the  Materials  and  Interrelations with  T hermoelectro- mechanical

Constraints,  Bull.  Acad.  P olon.,  Ser.  Sci.  Techn., to  be  published.
14.  C z.  WOŹ N I AK,  W stę p  do  mechaniki  analitycznej  kontinuum  materialnego,  in:  Dynamika  ukł adów sprę -

ż ystych,  Ossolineum,  Warszawa  1976.
15.  C z.  WOŹ N IAK,  W ię zy  w mechanice  ciał  odksztalcalnych,  Ossolineum,  Warszawa,  to  be  published.

P  e  3  K>  M  e

CBH3H   B  MEXAHHKE TBEP ^OrO  TEJIA.  IIPH MEH EH H E
H ECTAH JIAPTH OrO  AHAJIH3A

B  CTaTŁII  npeflJIOH <eH O MeTOfl  d)OpM yjIH pOBKH   H O B L I X  KOHCTHTVTKBHBIX  COOTHOHieHHH   M exaH H K H ,

K o i o p o r o  H cxofliiBiM   n on o> K eH H eM   jrBJifflOTCH   H 3BecT H bie  o r r p e fle jijn o in H e  ( K o u c r u T yT H B H b ie ) C O O T I I O -

iiieH H H .  M e T o fl  oCH OBaH   n a  XI O H H T H H X  H e c ia H ffa p T H o r o  a H a n H 3 a .  ITpH M eH fiH   n p efljrcwceH H biH   M e- rofl

A0K 33aH 0j  *r r o  n p H H m i n  fleTepM H H H 3M a  HJIH   KOHCTHTVTHBHblX COOTHOmeHHK  CO  CBH 3aMH   M0>KH a  B b l -

BeCTH   H 3 KJiaCCITOeCKOrO  n p H H U H n a  fleTepM H H H 3M a3  B  KOTOpOM   CBSI3H   OTCyCTBVIOT.

S t r e s z c z e n i e

WIĘ ZY  W  M EC H AN I C E  CIAŁA  STAŁEG O. ZASTOSOWAN IE  AN ALI Z Y  N I E STAN D AR D OWE J

W  pracy  zaproponowano  metodę   formuł owania  nowych  relacji  konstytutywnych  ze  znanych  relacji
konstytutywnych.  Wykorzystano  w  niej  efektywnie  poję cia  analizy  niestandardowej.  Stosują c  powyż szą
metodę   wykazano,  że  zasada  determinizmu  dla  relacji  konstytutywnych  z  wię zami  m oże  być  otrzym ana
z  zasady  determinizmu  dla  relacji  konstytutywnych  bez  wię zów.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  7  kwietnia  1986  roku.