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M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  S TOS OWANA

3,  26  (1988)

HOMOGENIZATION  OF  FIRST  STRAIN- GRADIENT  BODY

SŁAWOMIRA  BYTN ER

BARBARA  G AM BI N

Institut  of  Fundamental  T echnological Research,  W arsaw

The  problem  of  the  homogenization of  first  strain- gradient  body  is  studied  by  means
of  the  / "- convergence  method. Assuming  the  form  of  internal  energy  for  real  a- periodic
structure  the homogenized  internal  energy  of  the  homogeneous  (effective)  body  is  deter-
mined.  The  coefficients  in  the  homogenized  energy  functional  are  effective  material
constants  and  they  depend  on  the  solutions  of  a  so- called  cell- problem.  '

1. Introduction

H omogenization method is  applied  to describe  the global  elastic  response  of  the non-
simple  material  body  with  periodic  microstructure.  As  a  result  one  obtain  th e  closed
form  of  effective  (homogenized) internal energy  function  in  which  any  quantities  can  be
calculated  explicitly  for  a  given  real  structure as  far  as  so- called  „ problem  on  a  cell"  is
solved.  M icrostructure  is  understood  here  as  a  real  heteregeneous  non- simple  elastic
body  (first  strain- gradient  model)  whose  properties  vary  rapidly  and  periodically  with
space. The real dimension of  a single cell of periodicity is  big  enough to apply  the concept
of  continuum  but  the  number  of  cells  is  too  large  to  apply  any  numerical procedure  for
solving the proper  system  of  partial  differential  equation. F or this  purpose  one  seek  the
behaviour  of  limiting  process  when the numbers  of  cells  goes  to  infinity  and  at  the  same
time  their  characteristic  dimension becomes infinitely  small.  In th e  problem  of  the  first
strain- gradient  theory  we  deal  with  the system  of  partial  differential  equations  of  th e  4t h

order  with  rapidly  varying  coefficient  and  to  get  any limiting  result  we  decide  to  use  the
concept  of  P- convergence  rather  than  homogenization theorem based  on  (7- convergence
i.e.  convergence  of  a  sequence  of  the partial  differential  operators  ([1]  [2]). I n mathema-
tical  description  is  the  problem  going  to  the limit  (/ - convergence)  of  a  sequence  whose
terms are the energy  functionals  involving  the small  parameter e. The limit  is  a  functional
with  constant  coefficients  which  we  call  effective  material  parameters.  We  follow  the
homogenization theorem  [4] and we  apply  it  to the case  of the first  strain- gradient model
of  elasticity  with  periodic  microstructure.  ,



424  S.  BYTN ER,  B.  G AMBIN

2.  Equations  of  the first  strain- gradient  model  of  elasticity

The  statical  equations  of  equilibrium  are  [5]:

r
u
.t- it

tJk
,ut+Xj  =   0  in  Q  <=   R3,  i,j,  h  — 1, 2, 3,  (2.1)

here  r
u
  =   t

JU
  ju

iJk
  denotes  the  stress  tensor  and  the  couple  stress  tensor,  respectively.

Xj  is  the body  force  vector  per unit volume.
We  suppose  th at  the  internal  energy  per  unit  volume  has  the  form:

j ^ ( e ( J ,  xtJk)  — — Kijkl  stj  ekl  + —  M iJkimn  xijk  xlmn+N iJkm  eu  xklm,  (2.2)

where:
elJ  —  U(hf)>   }tIJk= =   sJk,i,  (2.3)

• Ktjkl  = =   KkllJ  =   KjM>   t̂jklmn  am  MlmniJk,  (2.4)

and  Kij
k
i,  Mij

Mmn
,  N

iJk
i

m
  are bounded and measurable  functions  in Q  (Q is  a  region in  R3

occupied  by  the  body).
Then  the  constitutive  equations  become:

r
u
  a  ds/ / de

tJ
  =  K

tJm
  e

pą
+N

tJmr
x

pą r
,

[i
Uk

  =   djtfldx
ijk

  =   N
mljk

e
m
+M

uk]>v
x

par
.

M oreover,  we  assume  that  the  form  J&{ • , • ) is  positive  definite  i.e.  there  exists  such
a  number  c  >  0  that  for  all  XeQ  holds:

3

rf(etj,  Km) >  c  JjjJ (slj+Hfjk).  (2.6)
l,J,k  =  I

N ow,  we  define  the  microperiodic  structure  of  the  real  medium.
Let :

Y  =  [0, 7 J  x  [0, Y
2
] x  [0, y3 ]  e  T?

3,  (2.7)

after  [2]  we  shall  call  it  a  basic  cell.
M oreover  we  assume  th at  functions:

K
im

(j>),  M
immn

(y),  N
tJklm

(y)  S L - (X),  yeY,  (2.8)

i.e.  they  are  bounded  and  measurable  functions  and  can  be  extended  to  the  whole  R3

as  F - periodic  functions.  N ow  we  define  Y  periodic coefficients  by  the following  assump-
tions :

(2.9)

F or  a fixed  e th e internal energy  function  per unit volume has the  form:

,  «w»)  =   ~2  Khki(.x)s
lJ
B

kl
+  Y

M
ukimn(x)x

lJk
}i,

mn
+N fj

km
(x)s

u
x

klm
.  (2.10)



H OMOG EN IZATION   OF   F I R ST...  425

3.  The Concept of F  — convergence  and homogenization  theorem

Let  (X, t) be a topological  space  and  (F
h
), h eN ,  F

h
: X- > R a sequence  of  functions

(R  denotes  closure  of R).
Following  [4] we  define:

r~(T)limsup.F 7l(y) =   suplimsupinfĄ Cy),  (3.1)
A- ><»  Usr(x)  h- *°o  yeU
y- *x

F~ (T )liminfFi,(y) =  supliminfinfĄ ^),  (3.2)
fr- »»  Usz(x)  A- J- CO  ysl!
y- >x

where  r(x) is  the family  of  open  sets,  for the topology  r, containing X,
When:

/ l- »0O  /l- i- OO

We shall denote their common value by:

r - ^ l i m ^ O O,  (3.4)

or  briefly  by:

r- (r)limF
h
(x).  (3,5)

h- *co

We  shall  say  that  F =  T " ( T )  lim F
h
, iff

h- xn

VxeX  F(x) =   F-   (T) lim F
h
(x).  (3.6)

A- ł- oo

I n  other  words  {F,,}ii
e!f

 converges  in the sense  of  .F- convergence  t o the limit  F(x). The
homogenization  theorem  given  in  [4] is used  to  formulate  appropriate  theorem  in the
case of the first  strain- gradient model of elasticity.  I n [4] the theorem is given for the case
of  scalar  field  (see below)  a. e R1,  but the proof  of  the  theorem can be repeated  in 3 di-
mensional  case  without  any important  changes.  The proof  is  long  and we  decided  to
omit  it. N ow,  we  shall  formulate  theorem:
let:

/ :  R3 x R* x R31  x R3* ^   R+,

(x,  «, / 3, | )  - >• / (*, a, /S,  £ ) ,

be  an integrand  satisfying:

(i)  x - >- / (x, a, / ?, | ) is Y—  periodic,
(Y  is a basic  cell in R3),

(ii)  i  - +  f(x,  a, p, f) is convex,  (3.7)

(iii)  A|||2  < f{x,  «, jS, 0
(A, A — constant),

(s  —  constant).

2  Mech.  Teoret,  i  Stos.  3/ 88



426  S.  BYTN ER,  B.  G AM BIN

F.(u, Q)  «  jfU- ,  u(x), Du(x), D2u(x)\  dx,  ( 3 . 8 )
oo

then ,

VM  e  [W &CR3)]3  (©„- family  of  open  bounded  sets  in  R3),

r- (s~  W
U2

(Q))\ \ mF
e
(u,  Q)  =  F

0
(u,  Q),  (3.9)

c- >0

with

F
0
(u,  Q)  =   / / „ ( «( *) , D «(x), D2u(x))dx,  (3.10)

an d

/ „ («, /S, 0  =   min 4 r  (f(x>  «•  Z3' ^>2«(*) +  f) *' .  (3.11)

where:  FTr =   {ue[W ?„?(R
3
),  u  is  F- periodic},

J —topology  in  W 1- 2{Q).
The  spaces  ^ / ( i t 3 ) ,  W U1{Q)  are  the  proper  Sobolev  spaces.  U sing  (2.10)  we  define:

. f{x,  a, 0,  £) =   j*'(fi,  I)  =  y  i ^ W +   y  M(y)&+N (y)PS  (3.12)

with  y  =  —- .

N ow,  we  verify  th e  assumptions  (i)—(iv).
The  (i)  follows  from  (2.8)  and  (2.9)  i.e.  from  the  assumption  about  periodic  structure
of  the  body.
The  (ii) follows  from  the square  form  o f/ a s  a function  of $,
The  (iii)  is  fulfilled  becouse  of  (2.6)  and the fact  that  all  quantities  Kij

k
i(y),  Mij

k
i

mn
(y),

N ijkimiy)
  a r e  bounded.

The  (iv)  is  proved  by  using  th e  average  value  theorem. The energy  density  of  the  homo-
genized  body  writes:

f
o
(fi,  |) -   min 4 r  r f 4 - ^+   ^ - M(D20+C)(D2&+C)+N p(D20+S)]dy,  (3,13)

(we  use  abbreviate  notation).
To  find  0  which minimizes th e  functional  we  shall  calculate  the  variations  of  integrand
With  respect  t o  0:

j ^  Ą  (3.14)

Assu m in g:

<5e(0  =   O,  (3.15)



HOMOGENIZATION  OF  FIRST...  4 2 7

we  take:

(3.16)

and  as a final  result  we get the set of  equations  which  should  be  fullfiled  on the basic
cell  Y:

VV(MVV%) = - V V M ,

VV(MVVx) = -WJV".  (3A7)

The above system of equations determines the „cell-problem". One can see that the coe-
fficients  Kijki(y) are not taken into account. The solution (%, x) exists and is unique (with
accuracy up to polinomial of the 1st order) iff:

(X, J) is F periodic and (x, xl s  W4-2(Y).

Substituting (3.16) into (3.13) we get:

Y

or:

where:

Kdy+ -jl- J MD*xD2xdy+ -^ J

The effective functional ^ ( u , / ? ) has the simple form:

It is clear that fields x and"% are not need to be known.
We use only the second derivatives of them.

F0(u,Q) mk j^K?fkls(jekl + ^Mffklmnxtjkxlmn+NffHmeuxklm\dx. (3.21)

(3.18)

foifi, 0=~KefW+ ~MefH+Nefp£, (3.19)

= -jlj- f Af(DaZ+J)(D^+7)*fy, (3.20)

2*



428  S.  BYTNER,  B.  GAMBIN

4. One-dimensional example

Assuming that all quantities depend on one variable only we deal with reduced problem
of (2.1):

dx  d2

dx  dx2

where:

[j,+X=0 in  Q c  R1, (4.1)

dx n "  dx2  '
(4.2)

dx

If, independently, we formally reduced the cell problem to a one-dimensional we get:

d2  ... ,  d2  , .  d2

dy2

i  ,  ,  >'eY (4-3)
dy2

The solutions (second derivatives of  %,  ~x) have the form:

(4.4)

dy2  M(y)  M(y)'
where:

r ­ I

Using formulae (3.20) we get:

(4.5)

If one assumed the stronger conditions of continuity for the functions Kfjki(x),  M'ijamn(x),
N?mm{x) one can use the  G — convergence method (compare [3], [6], [7]) to obtain the
effective properties of the medium under consideration. But in the case this method
provides to a long calculations (4th order differential operator) and the proof of the proper



HOMOG EN IZATION   OF   F I R ST ...  4 2 9

homogenization theorem, is  n ot trivial  one. In contrast, t h e / "- convergence  concept applied
in  this  paper gives the results  (i.e. effective  material parameters)  almost  immediately  an d
in  a  very  elegant  manner.

References

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P  e 3  IO  M   e

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S t r e s z c z e n i e

H OM OG E N I Z AC JA  OŚ R OD KA  G R AD I E N TOWE G O P IERWSZ EG O  R Z Ę DU

Przeprowadzono  homogenizację   oś rodka  gradientowego  1- go  rzę du  metodą   P- zbież nóś ci.  Z akł adają c
postać  energii  wewnę trznej  dla  rzeczywistej  e- periodycznej  struktury  wyznaczono  zhomogenizowaną
energię   wewnę trzną   dla jedn orodn ego  ciał a  efektywnego.  Współ czynniki  w  zhomogenizowanym  funkcjo-
nale energii  są   efektywnymi  stał ymi materiał owymi. Zależą   on e od rozwią zania  tzw. problem u  n a kom órce.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  28  wrześ nia 1987  roku.