Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\03mts88_t26_zeszyt_3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  26  (1988) STATECZN OŚĆ  OSIOWO  Ś CISKAN YCH   CYLIN D RYCZN YCH   P OWŁ OK D WU WARSTWOWYCH FRANCISZEK  ROMAN ÓW STEFAN   D ZIELEN D ZIAK Politechnika  W rocł awska 1.  Wstę p D otychczasowe  metody  obliczania  obcią ż eń  krytycznych,  powł ok  dwuwarstwowych pokrywają   się   ze  znanymi  metodami  dotyczą cymi  konstrukcji  przekł adkowych.  Ogólnie moż na je  podzielić n a  dwie  grupy.  Pierwsza  z  nich dotyczy  konstrukcji  cienkich, dla  któ- rych  zakł ada  się   nieodkształ calność  rdzenia  w  kierunku  poprzecznym.  Oznacza  t o ,  że moduł   Younga  w  tym  kierunku  jest  nieskoń czenie  duży  a  przemieszczenie  poprzeczne rdzenia jest  równe  przemieszczeniu  okł adziny  fl,  2].  D ruga  grupa  to  prace,  w  których moduł   rdzenia  w  kierunku  poprzecznym  jest  skoń czony  a  przemieszczenia  są   nielinio- wymi  funkcjami.  Zagadnienie  statecznoś ci  cylindrycznych  powł ok  dwuwarstwowych w  tym  uję ciu  analizowano  w  pracach  [3, 7]. W  pierwszej  z  nich wykorzystano  równania równowagi  okł adziny  uzupeł nione o  sił y  wynikają ce  z  oddział ywania  rdzenia  n a  okł a- dzinę .  W  drugiej  autorzy  posł uż yli  się   modelem  zbliż onym  do  sprę ż ystego  podł oża typu Winklera,  wprowadzają c  tzw.  współ czynnik  podł oż a,  uwzglę dniają cy  jedynie  skł adową promieniową   reakcji  rdzenia na  okł adzinę .  Otrzymany w  ten sposób  warunek  wyboczenia nie  uwzglę dnia  wpł ywu  gruboś ci  rdzenia  n a  wielkość  obcią ż eń  krytycznych. N iniejsze  opracowanie  zawiera  analizę   trójosiowego  stanu  przemieszczeń  w  wypeł - niaczu  powł oki  dwuwarstwowei.  Rozpatrywany  cylinder  warstwowy  (rys.  1)  skł ada  się R ys.  1.  Cylinder  dwuwarstwowy x( u ) 432  F .  ROM AN ÓW,  S.  D Z IELEN D Z IAK z cienkiej  powł oki zewnę trznej  (okł adziny) i sprę ż ystego  wypeł niacza  (rdzenia).  Okł adzina speł nia  zał oż enia  dwuwymiarowej  teorii  powł ok,  rdzeń  (peł ny  lub  rurowy)  zał oż enia teorii  trójwymiarowej. Z ał oż ono, że obcią ż enie zewnę trzne przył oż one jest jedynie do okł adziny, moduł  Younga rdzenia jest  znacznie  mniejszy  od  moduł u  okł adziny {E„  Ą   E t )  oraz, że podczas odkształ - cenia  nie  ma  ruchu  wzglę dnego  pomię dzy  obydwiema  warstwami.  D opuszczono moż- liwość  niesprę ż ystego  wyboczenia  okł adziny. Zastosowano  zwią zki  fizyczne  teorii mał ych odkształ ceń  sprę ż ysto- plastyczaych  Henck'y- Iljuszyna  pomijają c  efekt  odcią ż enia  czę ś ci przekroju  i  przesunię cia  osi  oboję tnej.  Przyję to  warunek  nieś ciś liwoś ci  (y t   =  0,5). D la  t ak  okreś lonego  modelu wyznaczono  funkcje  przemieszczeń  w  rdzeniu. Z  zasady prac  wirtualnych  wyprowadzono  równania  równowagi  i  zespół   naturalnych  warunków brzegowych.  W  oparciu  o  otrzymane  rozwią zanie  analityczne  obliczono  obcią ż enia  kry- tyczne  dla  osiowo  ś ciskanego  cylindra  z  peł nym  rdzeniem.  Rozpatrzono  stosunkowo prosty  przypadek  wyboczenia  osiowo- symetrycznego.  Rozwią zanie  teoretyczne  porów- n an o  z  wynikami  badań  doś wiadczalnych. 2.  Przemieszczenia 2.1. Przemieszczenia  okładziny. Zgodnie  z  przyję tymi  zał oż eniami  stan  przemieszczeń okł adziny  jest  zgodny  z  hipotezą   prostych  normalnych  Kirchhoffa- Love'a.  Przemiesz- czenia  w  kierunkach, x,  # ,  z,  dowolnego  punktu  okł adziny,  oddalonego  o  z—R g   od po- wierzchni  ś rodkowej  mają   postać: (1 ) W,— W. 2.2. Trójosiowy  stan przemieszczeń  rdzenia. Rdzeń  konstrukcji  znajduje  się   w  trójosiowym stanie  przemieszczenia.  W  ogólnym  przypadku  przemieszczenia  rdzenia  w  kierunku osiowym,  obwodowym  i  promieniowym  są   funkcjami  trzech  zmiennych  x,  $,  z  i  nie  są zn an e: Vv  = Vu(x,  0,  *),  (2) M am y  wię c  do  czynienia z  trójwymiarowym  zadaniem teorii  sprę ż ystoś ci.  Przedstawienie przemieszczeń  skł adowych  (2)  jako  iloczynów  przemieszczeń  okł adziny  w  punktach styku  obydwu  warstw  I tj.  dla  z  = ^ - - y)  i  pewnych  nieliniowych  funkcji  zmiennej z  pozwala  na  rozdzielenie  zmiennych a  w  rezultacie na  sprowadzenie  zadania  trójwymia- rowego  d o  dwuwymiarowego: STATECZN OŚĆ  POWŁOK  CYLIN D RYCZN YCH   433 „ - * , ( * « * , - -U  • *(*),  (3) N ieznane  funkcje  ó(z),  x{z),  ę (z)  moż na wyznaczyć  z  warunków  równowagi  wewnę trz- nej  elementarnego wycinka  rdzenia: _ J  _ 2_ Wu "  \ - 2v u   >z   z 1  "'*  z 2 gdzie: Podstawiają c  równania  (3) do  (4) otrzymujemy  warunki  równowagi  wewnę trznej  rdzenia w  postaci: —  Q>l*).x#  + C*rj  (W -  q>), x  + C*(w  tp), xz   =   0, (w •   ?> ).„ (1  +   c*) +   —  (w •    0,  stą d  c 2  =   c*  =   c 6  =   0.  W  przypadku  rdzenia  rurowego  n a jego  swobodnej  powierzchni  (z  =  R—ć )  zerują   się   naprę ż enia Poniż ej,  jako  przykł ad,  rozpatrzony  zostanie  stosunkowo  prosty  przypadek  osiowosy- metrycznego  wyboczenia  cylindra  z  peł nym  rdzeniem.  D la  tego  przypadku  moż na przyją ć: u  =  u(x);  w =  w(x); v  =   0.  (9) Przyjmują c  dalej  n  = 0  dostajemy  z  (8): J f  =   0,  (10) gdzie: 3.  Równania  równowagi  i  obcią ż enia  krytyczne 3.1.  Energia  potencjalna  odkształ cenia  okł adziny  i  praca  sił  zewnę trznych. W  dalszym  cią gu dopuś cimy  moż liwość  utraty  statecznoś ci  przez  okł adzinę  poza  przedział em  sprę ż ystoś ci. Energię   potencjalną   odkształ cenia  okł adziny  obliczymy  w  oparciu  o  teorię   mał ych od- kształ ceń  sprę ż ysto- plastycznych  Henck'y- Ujuszyna  zkł adają c,  że  materiał  okł adziny jest nieś ciś liwy  (v t   =  0,5)  oraz  przy  pominię ciu  efektu  odcią ż enia  czę ś ci  przekroju  i  przesu- nię cia  osi  oboję tnej  [6].  D la  osiowo- symetrycznej  formy  wyboczenia  cylindra  ma  ona postać: u 1 o  o ( U ) 436  F .  ROM AN ÓW,  S.  D ZIELEN D ZIAK gdzie: D la  wyboczenia  czysto  sprę ż ystego: Zakł adają c,  że  n a krawę dziach  x  =  0, x  =  /  dział a  stał e obcią ż enie  osiowe  N x ,  praca sił zewnę trznych  n a  okł adzinie dana jest  zależ noś cią   [5]: /   - aa fL, -   - i  f  f  RMw, xxfdddx.  (12) o  oo  o 3.2.  Energia  sprę ż ysta  rdzenia. Zgodnie  Z wcześ niejszymi  zał oż eniami rdzeń  Znajduje  się w  trójosiowym  stanie  odkształ cenia. Energia  sprę ż ysta  rdzenia  dla  osiowo- symetrycznej formy  wyboczenia  cylindra  dana jest  zależ noś cią: / 2n 2c 0   0   0 2v a (13) 2  »zi  2  **"] gdzie: z y««  ==  U u , 2 + W u , x , y x&   =   0, y» z   =   0. 3.3. Równania równowagi.  U wzglę dniając  (11),  (12),  (13)  moż emy  zapisać  cał kowity potencjał   energetyczny  cylindra  jako: n=  U g +A u - L z .  (14) Z  warunku  minimum potencjał u: (5/2" = 0  (15) znajdujemy  dwa  lokalne  równania  równowagi  powł oki  dwuwarstwowej: 2A 7 u- 2A 1 u, xx +(A 9 - A s )w, x ~A 3 w, xxx   =   0, 2A 4 .w+2(A 6 - A 8 )w, xx +2A 2 w, xxxx +(A 9 - A s )u, x +  (16) +A 3 u, xxx   =  N x w iXX , STATECZN OŚĆ  POWŁOK  CYLIN DRYCZN YCH   437 oraz zespół  naturalnych warunków  brzegowych  dla  x  =  0  i  x  =  / : 2A 1 u, x +A 3 w tXX +wA 5   =   0, A 9 u- A 3 u lXX +2(A 8 - A 6 )w, x - 2A 2 w, xxx +N x w, x   =   0,  (17) gdzie: Ai,  ..., Ag  są   stał ymi. Przyjmują c  dalej  dla  n  =   0 przemieszczenia okł adziny w postaci  (7), otrzymujemy  poszu- kiwana  rozwią zanie: 1  ( A +   (18) J l̂T~ 2> " gdzie:  rf  =   2c (70 2 - / ? )- - ™7   = =  " 2 ~ D 438 F .  ROM AN ÓW,  S.  D ZIELEN D ZIAK 2R a   " 2c 2c X, =   /   z32(z)dz,  X 2   =   / 0  0 X 3   =   f  z«J(z)p(z).,  =  f*'*  \   w  funkcji  para- metru 1 — Gu!E,  m 10- 5 ,  2 — G u jE, =  2 •   10- 5 , 3 — Gul Et  -   3 •   10- 5,  4 —G „ / £ t  =   4 - 1 0 - 5 STATECZN OŚĆ  POWŁOK  CYLIN DRYCZN YCH 439 4.  Badania  doś wiadczalne Badaniom,  mają cym  na  celu  wyznaczenie  wartoś ci  obcią ż eń  krytycznych  powodu- ją cych  utratę   statecznoś ci,  poddano  cylindry  z  peł nym rdzeniem  (rys.  3). Oktadzina Rdzeń piankowy Rys.  3.  Cylinder z  peł nym  rdzeniem stosów, do  badań Rys.  4.  Schemat zamocowania i  obcią ż enia cylindrów Okł adziny  zewnę trzne  wykonano  z  odcinków  rury  PA- 4N - tb  030 x 0,75  wg  PN - 70/ H- 74592  o  wł asnoś ciach  E t   =  0,72387 x 10s  M P a,  R B   =  0,153 x  103  M P a,  R Q , 2   = =   0,191 x 103  M Pa, R m   = 0,259 x  103  M Pa. Rdzenie wykonano  ze  sztywnej  pianki  poliu- retanowej  o  gę stoś ciach  pozornych  100,  125,  150  kg/ m 3.  D la  pianki  przyję to  v u   =   0, G u   =   19,4  M Pa. D ł ugoś ci cylindrów  wynosił y  206,  515 i  772,5  mm co  odpowiada  smuk- ł oś ciom  A równym  20,  50,  75  (smukł ość  graniczna  l gr   =  68,3)*. Sposób zamocowania i obcią ż enia cylindrów pokazano na rys.  4. Przykł adowe wykresy obcią ż enia  w  ukł adzie Al  [mm]—P  [kG ] pokazano  na  rys.  5.  Jako  wartość  sił y  krytycz- *'  Smukł ość  liczona  dla  samej  okł adziny 440 F .  ROM AN ÓW,  S.  D ZIELEN D ZIAK A  = 20 At R ys.  5.  Wykresy  o bcią ż en ia nej  P kr   przyjmowano  maksymalną   wartość  sił y jaką   był  w  stanie przenieść cylinder  (war- tość  sił y  po  przekroczeniu  P k ,  gwał townie  malał a).  Pomiar umoż liwiał  dodatkowo  obli- czenie  iloś ci  energii  potrzebnej  do  osią gnię cia  sił y  krytycznej.  Otrzymane  wyniki  zesta- wiono  w  tabeli  1. T..p. — 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Smuklość — i 20 50 75 Tabela  1.  Zestawienie  obcią ż ei G ę stość rdzen ia [kg/ m 3] pusty 100 125 150 pusty 100 125 150 pusty 100 125 150 A r doś wiadcz. [kN ] 13,4 14,9 15,1 14,8 11,5 11,8 11,5 11,2 8,3 7,8 9,0 7,6 kp doś w* — i, n 1,12 1,10 1,02 1,00 0,97 . 0,94 1,08 0,91 i  krytycznych Energia [N m] 22,5 35,2 29,9 33,3 12,8 14,9 13,3 12,2 8,3 7,2 9,0 6,5 — 1,56 1,33 1,48 1,01 1,04 0,95 _ . 0,87 1,08 0,78 teoretycz. [kN ] 12,26 14,17 — ,—, — 1,15 — — STATECZN OŚĆ  POWŁOK  CYLIN D RYCZN YCH 441 Z  przeprowadzonych  badań  wynika,  że  wzrost  sił y  krytycznej  przenoszonej  przez cylinder  z  peł nym  rdzeniem jest  zauważ alny  w  zakresie  mał ych  smukł oś ci.  D la  X — 20 zaobserwowano  ok.  10% wzrost  P kr   w  stosunku  do  rur  pustych.  W  zakresie  smukł oś ci bliskich  granicznej  (A  =   50  i  A =   75)  rdzeń  nie  ma  wpł ywu  n a  wzrost  sił y  krytycznej. Podobnie  gę stość  zastosowanej  n a  rdzenie  pianki  poliuretanowej  nie  ma  praktycznie wpł ywu  na  wzrost  obcią ż eń  krytycznych. D la  mał ych  smukł oś ci  zaobserwowano  znaczne  zwię kszenie  energii  odkształ cenia potrzebnej  do  wyboczenia  prę ta.  D la  X =   20,  w  zależ noś ci  od  gę stoś ci  rdzenia,  wynosił on  od  33% do  56%. Zaobserwowano  również,  że  cylindry  peł ne  odkształ cał y  się   w  inny  sposób  aniż eli puste.  Widoczne  był y  na  nich  liczne  lokalne  pół fale  przy  zachowaniu  koł owej  postaci geometrycznej  przekroju. 5.  Porównanie  wyników  teoretycznych z  doś wiadczalnymi Obliczenia  obcią ż eń  krytycznych  wg  (18)  przeprowadzono  jedynie  dla  cylindrów o  smukł oś ci  A =   20. Wynika  to z  warunku  (9), który  może być speł niony jedynie  w  przy- padku  dostatecznie krę pych  cylindrów.  Ponieważ  dla  tej  smukł oś ci  wyboczenie  zachodzi poza  zakresem  sprę ż ystym,  energia  odkształ cenia  okł adziny  opisana  jest  zależ noś cią (11).  Współ czynniki 

= - jr,  obliczone  dla cylin- Oznaczenia E a ,  G u ,v u   —m o d u ł   sprę ż ystoś ci  podł uż nej,  moduł   sprę ż ystoś ci  poprzecznej  i wsp. Poissona  dla rdzenia, —j.w.  dla okł adziny, —  współ rzę dne  walcowe, —  przemieszczenia  pow.  ś rodkowej  okł adziny w kierunkach x, • &,  z, —  promień  pow.  ś rodkowej  okł adziny, —  promień  pow.  ś rodkowej  rdzenia, —  cał kowita grubość  rdzenia i okł adziny oraz  cał kowita dł ugość cylindra, A,  B, E  — amplituda  przemieszczeń  powierzchni  ś rodkowej  okł adziny, Di  TT" B x   =  E t t t  t  1  ' 2  2  Rg % e , E k   —m o d u ł y  plastycznoś ci  dla okł adziny E c   =  —, Ą   = • granica  proporcjonalnoś ci  i  umowna  granica  plastycznoś ci  dla  okł a- dziny, L it er a t u r a 1.  A. K.  AjiEKCAHfl̂ oB,  J I . 3 .  BP I O K K E P ,  J I . M .  Kypm H H ,  A.  I I .  IIpyCAKOB,  Pacnem  mpexcjioUnbix nawAeu,  0 6 o p o H r H 3 3  M ocKBa  1960. 2 .  3 .  H .  rpH To- uioKj  I I .  I I .  ^ I J U I K O B ,  ycmoUuueocmb  u  K0Ae6mun  mpexc/ iouubix  oSo/ ioneK,  MocKBa 197 3 . 3 .  M . A .  H jarAM OB,  B . A.  H B A H O B ,  B. B .  ryjiH H ,  npomiocmb,  ycmouuwocmb  u  dmaMUKa  oBononeK c  ynpyzuM  3ano/ mumeneM,  H ayK a,  M ocKBa  1977. 4.  S.  TIM OSH EN KO,  I, N .  G OOD IER,  T heory of  elasticity, N ew  York,  Toron to,  Lon don ,  1961. STATECZNOŚĆ  POWŁOK  CYLINDRYCZNYCH   443 5.  S.  TIMOSHENKO,  S.  WOIN OWSKY- KRIG ER,  T heory  of  plates  and  shells, N ew  York,  T oron t o, Lon don , 1959. 6.  A.  C .  BOJIBM H P J  ycmouuusocntb  decfiopMupyeMbix  cucmeM,  H a yK a 3  M ocKBa  1977. 7.  J. C.  YAO,  Buckling  of  Axially  Compressed  L ong  Cylindrical  Shell  with Elastic  Core,  Journ al  of  App. Mechanics,  June  1962. P  e  3  IO  iw e yC T O ft o H BO C T B  flBYXCJIOftH blX  LJH JI H H flP JM E C KH X O BO JI O ^E K , OC EBOM Y  © K AT H I O P aSoTa  coflep>KHT  a n a n n 3  T pexocH oro  COCTOH H H H  nepeM eineH H ii  B 3anojiH H Tejie  flByxcuoiiH OH   0 60 - JIO ÎKH. PaCCMaTpHBaeMBlft  K0Mn03HTHBIH  qHJIHHflp  COCTOHT H3 TOHKOH   BH eillH eii  o6oJIOTH