Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\03mts88_t26_zeszyt_3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  26  (1988) PRAKTYCZNE  ZASTOSOWAN IE  ELEMEN TÓW AN ALIZY  M OD ALN E J D O  DYN AMICZN YCH  BADAŃ   OBRABIAREK WŁADYSŁAW  LISEWSKI PAWEŁ  G U TOWSKI Politechnika  Szczeciń ska 1.  Wprowadzenie Wł aś ciwoś ci  dynamiczne  ukł adów  liniowych,  a  wię c  również  i  obrabiarek  moż na opisać przez zbiór funkcji  przejś cia  lub przez czę stoś ci wł asne i  odpowiadają ce  im postacie drgań  [1]. W  ostatnim  okresie  obserwuje  się   szczególne  zainteresowanie  tą   drugą   formą opisu  [2]. Wynika  to niewą tpliwie  z faktu,  że obraz postaci drgań  zawiera  czę sto  bardziej czytelne  informacje  o  wł aś ciwoś ciach  dynamicznych  badanej  obrabiarki.  Z  wizualnej analizy zachowania się   obrabiarki  lub poszczególnych jej  zespoł ów przy  czę stoś ciach rezo- nansowych  doś wiadczony  badacz może wycią gnąć  wnioski  potrzebne konstruktorowi  [3]. Metoda ta  winna  być  wię c szczególnie  przydatna, gdy  celem  badań jest  uzyskanie  infor- macji  o  tym  jak  należy  przekonstruować  obrabiarkę ,  by  uzyskać  lepsze  jej  wł aś ciwoś ci ze wzglę du na przyję te  kryterium. Intuicyjne dotychczas propozycje zmian  konstrukcyjnych obrabiarki,  w  przypadku  analizy  modalnej mogą   być  wynikiem  przeprowadzonych  obli- czeń modelowych  (przynajmniej  w  sensie jakoś ciowym)  [4]. 2.  Zasady  budowy  modelu  badawczego  obrabiarki Okreś lenie  postaci  drgań  obrabiarki  w  oparciu  o  badania  doś wiadczalne  wią że  się z  koniecznoś cią   ustawienia  na  niej  duż ej  liczby  czujników.  D okł adność  odtworzenia drgań obrabiarki drgają cej  z okreś loną  czę stoś cią  wynika z liczby zastosowanych do pomiaru czujników  oraz  zł oż onoś ci postaci  drgań  odpowiadają cej  badanej  czę stoś ci.  Przykł adowo, do badania postaci drgań tokarki autorzy pracy  [4] zastosowali  160 czujników.  N ie zawsze oś rodki  badawcze  zajmują ce  się   tą   problematyką   dysponują   aparaturą   umoż liwiają cą prowadzenie  pomiarów  tak  duż ej  liczby  sygnał ów  równocześ nie. Przedstawiona  w  tym  opracowaniu  analiza  modalna jest  pewną   modyfikacją   metod przedstawionych  w  literaturze  [2,  4,  10]. Bazuje  ona  n a  zał oż eniach metody  sztywnych 488 W .  LlSEWSKI, P .  GUTOWSKI Rys.  1.  M odel  badawczy  obrabiarki — podział   n a  sztywne  elementy  skoń czone elementów  skoń czonych  (SES)  [5].  Badany  ukł ad  mechaniczny  traktuje  się   jak  zespół sztywnych  brył   poł ą czonych elementami  sprę ż ysto- tł umią cymi  (EST). Podział   badanego ukł adu  n a  brył y  sztywne  odbywa  się   n a  ogół  w  sposób  naturalny  tzn.  w  pł aszczyznach styku poszczególnych jego elementów (np. pł aszczyzny prowadnic, poł ą czeń itp.) Moż liwe są   też  podział y elementów jednolitych  w  sposób  sztuczny.  Przykł adowy  model  badawczy obrabiarki  przedstawiono  na  rys.  1. Poza  podział ami naturalnymi, stół   i  stojak  frezarki podzielono  dodatkowo  w  sposób  sztuczny- umowny.  D zię ki  tak  przyję temu  modelowi obrabiarki  w  badaniach  doś wiadczalnych  uzyskuje  się   moż liwość  rozważ ania  zarówno analitycznego  jak  i  doś wiadczalnego  modelu  badanego  obiektu  we  wspólnej  przestrzeni metrycznej  [6]. Wył ania  się   wię c moż liwość jednoznacznego  porównania  sygnał ów  z obu modeli  co  ma  istotne  znaczenie  np. w  procesie  identyfikacji  parametrów  modelu anali- tycznego  w  oparciu  o  wyniki  badań  doś wiadczalnych.  Wprowadzenie  zał oż eń metody SES  pozwala  ponadto zminimalizować  liczbę   czujników  niezbę dnych  do jednoznacznego okreś lenia  ruchu elementów  obrabiarki,  oraz rozdzielić jego skł adowe translacyjne  i rota- cyjne.  W  przypadku  badania  tak  zł oż onych obiektów  jak  obrabiarka,  problem ustalenia najmniejszej  niezbę dnej liczby  czujników  jest waż ny  ze wzglę du na czas  badań, oraz ilość zdobywanych  i  dalej  przetwarzanych  informacji.  Moż liwość  rozdzielenia  translacyj- nych  i  rotacyjnych  postaci  drgań  uł atwia  wnioskowanie  konstruktora  o  przyczynach wystę powania  w  obrabiarkach  niekorzystnych  zjawisk  z  dynamicznego  punktu widzenia. Lepsza  w  zwią zku  z  tym  powinna  być  efektywność  wprowadzanych  przez  niego  zmian konstrukcyjnych. 3 .  Pomiar  parametrów  przestrzennego  ruchu  bryły  sztywnej Każ da  brył a  sztywna  w  przestrzeni  R3  może  mieć  sześć  stopni  swobody.  Jej  ruch w  dowolnym  nieruchomym  ukł adzie współ rzę dnych  opisują   trzy  translacyjne  i  trzy rota- cyjne  współ rzę dne  uogólnione.  Przedstawić  je  moż na  w  postaci  wektora  (macierzy  ko- lumnowej): q ^ O ^ c o l t e ^ ) };  a  = 1 , 2 , . . . , 6 ,  (1) gdzie:  q ia (t)  —  współ rzę dna  uogólniona  sztywnego  elementu  oznaczonego  numerem  i. AN ALIZ A  MODALNA- OBRABIAREK 489 Pomiar  ruchu  dowolnego  elementu  obrabiarki  traktowanego  jak  sztywny  moż liwy jest  przy  uż yciu  czujników  przyś pieszeń  (sejsmicznych)  odpowiednio  n a  nim  rozmiesz- czonych. Każ dy  czujnik  zamocowany  na  bryle  sztywnej  wykonują cej  drgania  mierzy  jej przyś pieszenie  w  punkcie  pokrywają cym  się   ze  ś rodkiem  cię ż koś ci  masy  sejsmicznej czujnika.  Równanie  opisują ce  to  przyś pieszenie  m a  postać: x  [ai(t)xr A ], (2 ) gdzie: p A (t)  — wektor  przyś pieszenia  punktu  A, Po(t) — wektor  przyś pieszenia  punktu  0  (począ tku  ukł adu  współ rzę dnych), e( 0  —wektor  przyś pieszenia  ką towego, . Aby  n a  podstawie  pomiarów  wyznaczyć  przemieszczenia  uogólnione  q 0  należy  także w  innych,  punktach  brył y  sztywnej  umieś cić  czujniki.  Ł ą czna  ich  liczba  nie  może  być mniejsza  od  sześ ciu,  a  liczba  punktów w  których je  ustawiono  —  nie mniejsza  od trzech. Każ dy  nastę pny czujnik  to dodatkowy wiersz w macierzy  R. Przy trzech punktach pomia- rowych  moż liwe  są  dwie  wersje  rozmieszczenia  czujników  —  w  ukł adzie 2- 2-2  lub 3- 2- 1. Rys.  3.  U stawienie  czujników  pomiarowych  w  ukł adzie  3- 2-1 W  przypadku  ukł adu 3- 2-1  pokazanego  na rys.  3 istnieje  moż liwość  wyznaczenia  współ - rzę dnych  uogólnionych  q 0  gdy  prawdziwa  jest  koniunkcja: (6) W  ogólnym  przypadku  musi  być  speł niony  warunek: ~ V:  £= >  {A,B,C}, L AN ALIZ A  MODALNA  OBRABIAREK 491 gdzie: i,j  —n um ery  współ rzę dnych  ukł adu  odniesienia, {A, B, C]  —  zbiór  punktów  w  których  zamocowano  czujniki, L   —  dowolna  prosta  w  przestrzeni  K3. Równanie  (6) jest  matematycznym  zapisem  powszechnie  znanego  warunku  by  punkty mocowania  czujników  nie  leż ały  na jednej  prostej. Wymagania  dotyczą ce  punktów  mocowania  czujników  podczas  pomiarów  (zależ- ność  5)  ograniczają ce  się   do  nierównoś ci  okreś lonych  współ rzę dnych  są   bardzo  ł atwe do  speł nienia. Celowe  jest  jednak  moż liwie  wyraź ne  róż nicowanie  tych  współ rzę dnych, by  rejestrowane  przebiegi  przemieszczeń  także  wyraź nie  róż niły  się  mię dzy  sobą .  W  rów- naniu  (3)  obowią zuje  zał oż enie,  że  ukł ady współ rzę dnych  zwią zane  z  punktami  A  i  0  są do  siebie  równoległ e.  W  przypadku  nie  speł nienia  tego  zał oż enia,  równanie  to  bę dzie miał o  postać: q = < 9 - R *- q0 ,  (7) gdzie: q  — macierz  kolumnowa  zawierają ca  przemieszczenia  mierzone  przez:  wszystkie czujniki  zamocowane  n a  drgają cej  bryle  sztywnej, R* — macierz  transformacji  o  wymiarach  6 x 6  uwzglę dniają ca  współ rzę dne  moco- wania  wszystkich  sześ ciu  czujników  na  bryle  sztywnej  (zbudowana  analogicz- nie  do  R — wzór  (4)), 0  —macierz  kosinusów  kierunkowych.  . D la  czujników  w  ukł adzie  3- 2-1  (rys.  3)  ma  ona  postać: c o s  cp Al   j.  c o s 9 9 ^ 2  c o s 99^13  0 cos

tą   osią   globalnego ukł adu  współ rzę dnych. Przy  trzech  punktach  mocowania  czujników,  wyjś ciowa  postać  macierzy  0  jest  nastę - pują ca: V0 A   0  0 0  0 B   0 0  0  0 c j gdzie:  A,  B, C — nazwy  punktów  mocowania  czujników, 0  = 0 0 0 < PB23 0 0 0 0 0 0 c o s < p c 3 3  _ coscp A32 Macierz  0 '  ma wymiary  9 x 9  i poszukiwaną   macierz  0  otrzymuje  się  z  niej  prziez  skreś- lenie wierszy  oraz kolumn opisują cych  poł oż enie „ brakują cych"  czujników  w  poszczegól- 492 W.  LlSEWSKI,  P .  GUTOWSKI n ych p u n kt ach . P rzykł adowo  wyż ej  zapisana  macierz  kosinusów  kierunkowych  dla  ukł a- dów  czujników  z  rys.  3 powstał a  po  skreś leniu  z  macierzy  O '  wierszy,  oraz  kolum n  opi- sują cych  poł oż enie czujników  q 1B   w  punkcie  B,  oraz  q ic   i  q 2 c  w  punkcie  C.  Takich  czuj- n ików  p o  prostu  n ie  ma.  Jeś li  któryś  z  elementów  badanego  urzą dzenia  wiruje  (np.  narzę - dzie  w  m odelu, z  rys.  1), pom iar  skł adowych  jego  ruchu  przy  uż yciu  czujników  sejsmicz- n ych  n ie  jest  moż liwy.  Jedn akże  z  powodzeniem  zadanie  t o  m oż na  rozwią zać  uż ywając pię ciu  czujników  indukcyjnych  bezdotykowych,  oraz  czujnika  drgań  skrę tnych.  Sposób k- ty  element (8) Rys.  4.  P om iar  skł adowych  ruchu  wirują cej  tarczy;  1-5  —  czujniki  bezdotykowe,  6  —  czujnik  drgań skrę tnych  (sejsmiczny) p o m ia r u  p o ka za n o  n a  rys.  4.  M acierz  R*  dla  takiego  u kł ad u  pom iarowego  przyjmuje p o st a ć : ' 0  0  1  r 21   - r u  0 0  0  1  r 22   - r1 2  0 1 0  0  0  r 3 3  - r2 3 0  0  1  r 2 4  - r1 4  0 0  1  0  - r 3S   0  r 1 5 .0  0  0  0  0  1 gdzie:  r ti   —  i- ta  współ rzę dna  odległ oś ci  / - tego  czujnika  od  począ tku  przyję tego  ukł adu współ rzę dnych. C zujn iki  indukcyjne  mierzą   ruch  w  stosunku  do  bazy,  n a  której  został y  zamocowane. Jeś li  bazą   tą   jest  są siedni  element  badanego  urzą dzenia,  którego  ruch  mierzony  jest  czuj- n ikam i  sejsmicznymi,  wówczas  wykorzystują c  moż liwość  transformacji  współ rzę dnych uogóln ion ych ,  ruch  elementu  wirują cego  w  ukł adzie  bezwzglę dnym  wyznaczyć  moż na z  zależ noś ci  (rys.  4 ) :  , gdzie:  , I O K —  m acierz  zawierają ca  skł adowe  ruch u  wirują cej  brył y  sztywnej  okreś lona w  ukł adzie  bezwzglę dnym, AN ALIZA  MODALNA  OBRABIAREK  493 qox — macierz  zawierają ca  skł adowe  ruchu  wirują cej  brył y  sztywnej  okreś lona wzglę dem  elementu  bazowego  na  którym  zamocowano  czujniki  indukcyjne, K K  — macierz  transformacji  przemieszczeń  brył y  (k- \ )  bę dą cej  bazą ,  d o  ukł adu współ rzę dnych  brył y  wirują cej  (k), q0K- i — macierz zawierają ca  skł adowe ruchu brył y  (k— 1) bę dą cej  bazą   do  mocowa- nia  czujników  indukcyjnych. Podczas  badania  obiektów  skł adają cych  się   z  n  elementów,  które  moż na  traktować jak  sztywne,  ukł ad  pomiarowy  powinien  skł adać się   z  6«  czujników  mierzą cych  sygnał y wyjś ciowe.  W  przypadku  braku  zestawu  badawczego  o duż ej  liczbie  torów  pomiarowych, przy  zał oż eniu o  stacjonarnoś ci  obiektu,  badania  moż na  prowadzić  etapowo  przenoszą c czujniki  na kolejne  brył y. Wówczas wystarczy  6 czujników  mierzą cych sygnał y  wyjś ciowe oraz jeden  do  pomiaru  sygnał u  wejś ciowego.  W  badaniach  takich  operować  należy  nie sygnał ami  (przemieszczeniami)  lecz  zespolonymi  funkcjami  przejś cia.  Odniesienie  prze- mieszczeń  zmierzonych  w  wybranych  punktach  n a  obrabiarce  do  sygnał u  wymuszenia rozwią zuje  problem  przesunię ć - fazowych  mię dzy  sygnał ami  mierzonymi  w  kolejnych etapach badań. Równanie  (7) w  tej  sytuacji  przyjmuje  postać: W  =   0  •   K*  •  W 0 5  (10) gdzie: n — numer  czujnika, i —  numer  skł adowej  zespolonej  funkcji  przejś cia, f{ju>) — sił a  wymuszają ca  drgania  obrabiarki. Po wyznaczeniu  funkcji  przejś cia  W  w  oparciu o pomiary  dla  każ dej  brył y  sztywnej  roz- wią zanie równania  (10) ze wzglę du na Wo  nie stanowi  problemu. W  ten sposób  otrzymuje się   peł ną   informację   o  ruchu  każ dego  elementu  badanego  urzą dzenia  (n p.  obrabiarki). Informacja  ta jest  opisana w  ukł adzie współ rzę dnych zwią zanym  z każ dą   mierzoną   brył ą . Tak  wyznaczone  funkcje  przejś cia  mogą   być  aproksymowane  wyraż eniem  [1]: gdzie: m t   —m asa  rezydualna, F t k,  Gtk, S t ,  R t   — parametry  wielomianu  aproksymują cego, Xt+jy t   —podatn ość  rezydualna, n — liczba  rezonansów  na  charakterystyce  w  rozpatrywanym  przedziale '  .  .  czę stotliwoś ci Taka  postać  charakterystyk  wymaga  znacznie  mniejszych  obszarów  pamię ci  komputera niezbę dnej  do  zmagazynowania  wyników  badań,  a jednocześ nie  stanowi  wygodną   formę wyjś ciową   do  estymacji  parametrów  modelu  badanego  obiektu  [1]. 494 W.  LlSEWSKI,  P .  GUTOWSKI 4.  Transformacja  charakterystyk  czę stotliwoś ciowych Czytelną   informację   o  wł aś ciwoś ciach  badanej  obrabiarki  zawierają   graficzne  obrazy postaci  drgań  odpowiadają cych  poszczególnym  czę stoś ciom rezonansowym. W  przypadku prezentowanej  metody  badawczej  dane  niezbę dne  do  uzyskania  przejrzystego  obrazu postaci  drgań otrzymuje  się  w wyniku  transformacji  charakterystyk Wo  do każ dego  naroża brył y której  ruch one opisują . Problem transformacji  charakterystyk  do dowolnego punktu badanego  obiektu  pojawia  się   także  w  innych sytuacjach  zależ nie  od celu  badań. Sposób realizacji  tego zadania zarówno dla funkcji  przejś cia  w postaci tablicy jak  i w formie aprok- symowanej  wzorem  (12) jest  przedmiotem rozważ ań  niniejszego  rozdział u pracy. Ogólny  przypadek  transformacji  charakterystyk  wystę puje  wtedy,  gdy  rozpatrywane ukł ady  współ rzę dnych  są   przesunię te  i  obrócone  wzglę dem  siebie.  W  tym  przypadku transformację   przeprowadza  się   niejako  dwuetapowo,  najpierw  do  ukł adu  Ax'y'z'  prze- sunię tego  równolegle  o wektor  r aA   wzglę dem  ukł adu wyjś ciowego  Oxyz (rys.  5), a nastę p- nie  dokonują c  obrotu  ukł adu  Ax'y'z'  do  Ax 1 y 1 z 1 . Y' R ys.  5.  Transform acja  charakterystyk  czę stotliwoś ciowych  W z ukł adu Oxyz do ukł adu W  ukł adzie  Oxyz  charakterystyki  dynamiczne  W i okreś lone  są   zależ noś cią   (11). D la  ukł adów przestrzennych sił y uogólnione/ (tworzą   wektor  f  o  sześ ciu  skł adowych, z  których  trzy  pierwsze  są   sił ami  P  dział ają cymi  wzdł uż  osi  ukł adu,  zaś  pozostał e trzy momentami  M  wzglę dem  tych  osi. AN AL I Z A  M OD ALN A  OBR ABI AR E K 495 Redukcja  sił y  f  do  ukł adu Ax'y'z'  okreś lona jest  zależ noś cią  [5]: f x- V«- ff  (1 3) gdzie:  T f   —  macierz  współ czynników  redukcji  sił , zaś  transformacja  przemieszczeń  z  pun ktu  0  ukł adu  Oxyz  do  pun ktu  A  ukł adu  Ax'y'z' wyraża  się  zależ noś cią: q^  =   T „ - q0 ,  (14) gdzie: q 0  —  macierz  przemieszczeń  uogólnionych  w  pun kcie  0, T„  —  macierz  transformacji  przemieszczeń. Charakterystykę  dynamiczną  w  punkcie  A  ukł adu Ox'y'z'  \ \   do  Oxyz  okreś lić  więc m oż na zależ noś cią: (15)" M — f  • > jAi zaś  zwią zek  mię dzy  charakterystykam i  W  i  W^  równ an iem : W ;  =   T - W,  (16) gdzie  T jest poszukiwaną  macierzą  redukcji  do  ukł adów  równoległ ych. Elementy  T tj   macierzy T wyznaczyć  moż na z równania  (16) po jego rozpisaniu w  postaci jawnej  i  podstawieniu  wartoś ci  W t   i  W ' Ai   wyznaczonych,  z  zależ noś ci  geometrycznych okreś lonych  na podstawie  rys.  4.  W  rezultacie  otrzymuje  się: 1 0  0  0  T 15   T l6 - 0  1  0  T 2 4  0  T 26 0  0  1  T 3 4  T 35  0 0  0  0  T 4 4  0  0 0  0  0  0  T s5   0 _ 0  0  0  0  0  T 66 _ T  = (17) gdzie: Cu_  d ] a  « - 1 , 2,  3, Cł J  fC  ~—  4 )  D j  Oj dla  k  =   4,  5, 6, oraz: ck Ci  = V  V  7 ABA  XBA  • C'BA COS C>nl  COSC)„2  COS C)n Pt  p 2   p 3 XBO  - ' BO  2^BO COS C9 nl  COS CPn2 kf(cos95„£,  n  =   k—  3 (18) (19) (20) (21) (22) 496 W .  LlSEWSKI,  P .  G uTOWSKt W  drugim  etapie  dokonuje  się   transformacji  charakterystyk  W^  do  ukł adu  Ax i y l z i obrócon ego  wzglę dem  Ax'y'z'  o  ką t  okreś lony  macierzą   kosinusów  kierunkowych  ij'. C O S 7 ? 1 2 J j'  =   C 0S ł 1 2 l   COS?^22  C °S ł ? 2 3  .  (23^ o s^ 3 1  cos^32  cosrj33 W  rezultacie  otrzymuje  się   ogólny  wzór  na  transformację   charakterystyk  W  z  układu Oxyz do  przesunię tego  równolegle  i  obróconego  wzglę dem niego  ukł adu  Ax- ^ y^ z^ .  Wzór ten  m a  postać: W ^ - 9 - T . W,  (24) gdzie: n = (25) zaś  m acierz  T  okreś lona  jest  równaniem  (17). 4.1.  Transformacja charakterystyk aproksymowanych do dowolnego punktu bryły sztywnej. Jak wykaza- n o w pracy  [1], charakterystyki  dynamiczne wyznaczone doś wiadczalnie w okreś lonym prze- dziale  czę stotliwoś ci  (co A ,  w B )  w punkcie  t  dowolnego  ukł adu posiadają cego  n  sprzę ż onych stopn i  swobody  m oż na  aproksymowac  wielomianem  o  postaci  opisanej  zależ noś cią   (12). Transform acja  charakterystyk  dynamicznych  opisanych  wielomianem  aproksyma- cyjnym  n ie  zmienia  postaci  wielomianu,  lecz  powoduje  zmianę   współ czynników  aprok- symacji,  przy  czym  zm ianie  ulegają   param etry  m t ,  x t ,  y,  F tk   i  G tk ,  gdyż  są   one  funkcją poł oż enia  pun ktu,  w  którym  zdejmowano  charakterystykę ,  n atom iast  parametry  S k   i  R k n ie  ulegają   zmianie,  gdyż  charakteryzują   one  wł asnoś ci  ukł adu  niezależ nie  od  miejsca zdejm owania  charakterystyki. Transform ację   charakterystyk  aproksymowanych1  przeprowadza  się   korzystają c z  zależ noś ci  (24), która  w  tym przypadku  przyjmie  po st ać: W r  =   T r - W,  ..  (26) gdzie: T r  =   if •   T —  macierz  redukcji, W  —  m acierz  charakterystyk  opisanych  równaniem  (12), W r  —  m acierz  charakterystyk  zredukowanych  z  ukł adu  Oxyz do  ukł adu  Ax1y1zl, n atom iast  param etry  m\ ,  xr t ,  y\ , F t r k , G r tk  wielomianu  W  przetransformowanego  z  ukł adu Oxyz  do  u kł ad u  Ax^ y^ z^ ,  znajduje  się   z  ukł adu  równ ań  powstają cych  po  zapisaniu  rów- n an ia  macierzowego  (26)  w  formie  rozwinię tej  i  p o  porównaniu  w  otrzymanych  równa- n iach  skł adn ików  o  tej  samej  postaci.  • R ówn an ie  (26)  w  formie  rozwinię tej  ma  postać: wr x  11  J l 2  • ••   J  16 _r61  r62  ...  n 6 (26a) przy  czym  dla  i  =   4,  5,  6  i  j  =  1, 2, 3  T u   =   0. AN ALI Z A  MOD ALN A  OBRABIAREK  •   497 Pierwsze  z tych. równań t o : W i =   T [ j W t  + T \ 2  W 2  + T [ 3  W 3  + T U W 4  +  T U W s  + T U W 6 .  (27) Podstawiając  zamiast  W }  i  W ] wyraż enie  (12) otrzymuje się: n 1  \ H   F W wyniku  porównania w równaniu  (28) odpowiednich  skł adników  otrzymuje się: 6 (30) i- u=J]T [jy JO ,  (31) k =   1 ... n,  (32) fr- l...».  (33) W sposób  analogiczny z dalszych  5- ciu równań wynikają cych  z równania  (26a)  wyznacza się pozostał e parametry charakterystyk  przetransformowanych.  Parametry te wraz  z para- metrami  opisanymi  równaniami  (29- ^33)  moż na  przedstawić  w  nastę pują cy  sposób: a)  dla  z  =  1, 2, 3;  b) dla  i =  4, 5,  6, k  • » 1, 2, , .., n  fc= l,2,...,n (34) 7= 1  7 = 4 6  6 y>i =   x x i  T ijyj,  yi  =   ^  ^ o X f  v^"J 7= 1  7= 4 •   • '•   6  • . • • • '.  6  ' . . : . • •   • • ; • ';  . ' • • ' , . . • C1"  »  TT U*  ET  .\   TT  T? rtk  ~  J/ J  llirjki  flk—  £   îj ĵkt 7- 1  7=4 498  W.  LISEWSKI,  P .  G OTOWSKI 6  6 Gh  =  ]?  T [jG Jk ,  G\ k  =   £  T [jG Jk .  (38) Z  przedstawionych  rozważ ań  wynika,  że  transformacja  charakterystyk  aproksymo- wanych jest bardzo prosta. M oż na więc bezpoś rednio po zdję ciu  charakterystyk dynamicz- nych  badanego  obiektu  przeprowadzić  ich  aproksymację,  a  wszystkie  dalsze  operacje zwią zane  z  przetwarzaniem  tych  charakterystyk  prowadzić nie  na tablicach  lecz  na wielo- mianach. 5.  Wyniki  badań  doś wiadczalnych Wykorzystując  metodę zaprezentowaną  w  pracy  [1], oraz  powyż sze rozważ ania prze- prowadzono  badania  doś wiadczalne  kilku  obrabiarek.  Podczas  badań  starano  się  symu- lować  okreś lone  warunki  pracy  obrabiarki.  W  zwią zku  z  tym mię dzy  narzę dziem i przed- miotem  obrabianym  instalowano  sił ownik  hydrauliczny  lub  sprę ż ynowy.  Kierunek oraz wartość  sił y wywoł anej  w ten sposób  odpowiadał y stał ej skł adowej  sił y skrawania  symulo- wanego  procesu  obróbki.  Skł adową  zmienną  generowano  przy  uż yciu  impulsatora. Parametry  impulsu  dobierano stosownie  do  wł asnoś ci  badanej  obrabiarki,  oraz  zakresu czę stotliwoś ci,  w  którym  należ ało  wyznaczyć  charakterystyki  [I ł ].  Przykł adowe charak- terystyki  czę stotliwoś ciowe  wyznaczone  podczas  badań  jednej  z  obrabiarek  przedsta- wiono  n a  rys.  6.  Są  to  charakterystyki  otrzymane  w  wyniku  pomiaru  sygnał ów  odpo- wiedzi  przez  sześć czujników  ustawionych  w  ukł adzie 3- 2-1  (rys.  3).  Obok  każ dego  z wy- kresów  zamieszczono  w  tablicy  wartoś ci  parametrów  opisują cych  charakterystyki  aprok- symują ce. Wyestymowane  n a podstawie  tych charakterystyk  parametry  R i S zestawiono poniż ej: _ |"- . 2 0 8 4 E +4  - .5472  E + 5 ] I  - i.5327 E + 4  .3359 E+ 5J P  _ - .1595  E + 3  - .6467 E + 31 .4421 E + 2  .1710  E + 3J Zagadnienie interpretacji  tych wyników, zwią zanie  ich z adekwatnym  modelem w sen- sie jego  struktury,  t o  odrę bny  problem,  który jest  przedmiotem aktualnie  prowadzonych przez  autorów  prac.  * We  wcześ niejszej  pracy  [1] pokazano  proces  aproksymacji  w  odniesieniu  do  charak- terystyk  wyznaczonych  analitycznie.  Interesują ca  jest  odpowiedź  na  pytanie  dotyczą ce szybkoś ci  zbież noś ci  procesu  iteracyjnego  w  przypadku  opisu  charakterystyk  wyzna- czonych  doś wiadczalnie.  Przykł ad  pokazują cy  dokł adność dopasowania  charakterystyki aproksymowanej  pokazano  na  rys.  7.  W  omawianym  przypadku  pokazano  kilka  faz zbliż ania  się  do  rozwią zania  zadowalają cego.  Okazuje  się,  że  uzyskanie  dobrej  zgodnoś ci obu  wykresów  wymaga wielu iteracji.  Czas  obliczeń  jest  jednak  na  tyle  krótki,  że  nie stanowi  to  istotnego  problemu. x 0 1  =  . 3 0 6 E- 6 y o 1 =  . 9 4 6 E- 7 r 1 2 " o r .974 E+2 .152E*3 h 1 r .114 E- 1 .272E- 3 U 1 r - >997E-5 .997E- 5 S 1 r .930E+4 .234E+- 5 R 1 r • 393E*1 .115E+2 xE1 »  207^ czę stotliwość  , Hz 2Z —'•   charakterystyko  doś wiadczalna charakterystyka  aproksytnowana r 1 2 CO o r • 974E*2 .152£*3 hr .357E- 2 .120E- 2 ^ 2 r - .103E-  4 .103E- 4 b 2 r .947E*4 .227E*5 R 2 r .300E+1 .997E+1 = - . 2 0 5 E-1 10 14  16  18  20  22 c zę s t o t l i wo ś ć,  Hz x o 3 = - . 9 41  E-6 yo '3 ;  .434 E-6 r 1 2 »  or • 974E»2 ,152E*3 F 3 r - .234E-2 - .297E-2 .215E- 6 - .215E-6 S3r .9559- 4 •  239Ef9 H 3 r .296EH .920E+1 10 czę stotliwoś ć, Hz 18' [499] d) 481 42- a • i/i o o 6 - - 6 li / r 1 2 CO  o r .974E»2 .152E*3 - 118E-1 - .288E-2 K W «- k »0 E-B • nt,  •   - .252E-0 — ^ ^ G 4 r - .736E-6 .736E- 5 S 4 r .953E<-4 .242E+5 ^ 4 r .278E+1 .S17E+1 e)  1*- 12 2- 10J CS  6 - o xE - 6 a 2- 10 18'  20  , ,  221 czę stotliwość  , Hz r 1 2 .974Et2 .152E+3 f- 5r .304E- 2 .115E- 3 hr - 763E-5 - .763E-5 S 5 r .919E+4 .2A9E*- 5 R5r .282E^1 .123E+2 W   20 czę st o t liwo ś ć, Hz x o e  = - 9 99  E-G y O G =  . 2 5 8 E- 6 m 6  =- . 8 5 5 E-1 r 1 2 " o r .974 Et2 ;152Et3 - .44GE-2 • :270E- 2 hr - 642E-5 .642E- 5 .954E*4 .241E+5 hr .297E*1 .108E+2 10' 12' 14 18'  20'  "22 czę st o t liwo ś ć, Hz R ys.  6.  P rzykł adowe  charakterystyki  amplitudowo- czę stotliwoś ciowe  wyznaczone  na  stole jednej  z bada- nych  obrabiarek [500] AN ALIZ A  MODALNA  OBRABIAREK 501 ukfad  rzeezywisly 5  kroków  ileracyjnych 10 kroków  iteracyjnych 20 kroków  iteracyjnych 25kroków  iteracyjnych 2  4  6 Re, mm/ daN Rys. 7. Charakterystyki  aproksymują ce  po kolejnych  krokach iteracyjnych  (charakterystyka  z rys.  6c) Jednym  z  waż niejszych  celów  prezentowanej  pracy  jest  badanie  postaci  drgań  obra- biarek.  Zgodnie wię c  z  zał oż eniami metody  zbudowano  model  obrabiarki  (rys.  1)  i  dla przyję tego  wariantu jej  pracy  (przypadku  skrawania  stwarzają cego  okreś lony  stan  obcią - ż enia  obrabiarki)  wykonano  pomiary  [H»  12].  N a  każ dej  z  umownie  sztywnych,  brył instalowano  po  6  czujników  sejsmicznych  (jak  n a  rys.  3)  i  wyznaczano  charakterystyki czę stotliwoś ciowe.  W  ramach  niniejszej  pracy  dla  zilustrowania  wyników  przedstawiono dwie postacie drgań (56 H z — rys. 8 i 376 H z — rys. 9) jednej z wielu przebadanych  frezarek pionowych.  Zachowanie  się   obrabiarki  podczas  drgań  przy  tych  czę stotliwoś ciach  moż na ocenić w  oparciu  o  obraz  przedstawiony  w  lewej  czę ś ci  omawianych  rysunków.  Są   to w  odpowiednim  powię kszeniu  dwie  skrajne  fazy  ruchu  badanej  obrabiarki.  Obraz  taki rysowany jest przez  komputer  [8] na  podstawie  wyznaczonych  doś wiadczalnie  charakte- rystyk oraz danych geometrycznych  obrabiarki.  Swoboda  wyboru  poł oż enia  obserwatora wzglę dem  drgają cej  obrabiarki  stwarza  moż liwość  oglą dania jej  z  wielu  stron. Ten pł aski obraz może stać się  wię c bardziej  plastyczny i informacja  o ruchu obiektu peł niejsza. Istotnym  uzupeł nieniem prezentacji  wyników  badań jest  moż liwość  wygenerowania wielu obrazów  drgają cej  obrabiarki,  bę dą cych kolejnymi  fazami jej  ruchu. Podanie kolej- nych obrazów  w odpowiednim tempie  na  monitor komputera  pozwala  uzyskać  ruchomy obraz  drgają cej  obrabiarki. Postacie drgań ukł adów tł umionych opisują   liczby  zespolone. Rzeczywiste  zachowanie się   obrabiarki  w  takiej  sytuacji  poprawniej  może  pokazać  wł aś nie  ruchomy  jej  obraz. Taka analiza pozwala na jakoś ciową   ocenę  badanego obiektu. D o oceny iloś ciowej  potrzeb- 504  W.  LisEWSKr,  P .  G U TOWSKI na  jest  informacja  o  udział ach poszczególnych  zespoł ów  obrabiarki  (w  tym  przypadku brył   traktowanych  jak  sztywne)  w  drganiach  wzglę dnych  mię dzy  narzę dziem  i  przed- miotem  obrabianym-   Przyję ty  model  pomiarowy  oraz  wynikają ca  stą d  moż liwość  tran- sformowania  przemieszczeń  zadanie  to  czynią   realnym.  N a  rys.  8b  przedstawiony  jest schematycznie  ukł ad  obrabiarki,  na  którym  widać  ł ań cuch  brył   „obejmują cych"  proces skrawania.  Są  t o brył y:  1 lub 2, 4, 6, 7, 8, 9,10  i  11. Wszystkie one mają   wpływ na przemie- szczenia  narzę dzia  wzglę dem  przedmiotu  obrabianego. N a  podstawie  przeprowadzonych  pomiarów  bezwzglę dnych  drgań  wszystkich elemen- tów  przyję tego  modelu obrabiarki  (rys.  1), moż na wyznaczyć  drgania  wzglę dne  wystę pu- ją ce  mię dzy  stykają cymi  - się   brył ami.  Miarą   wielkoś ci  amplitud  drgań  wystę pują cych mię dzy  narzę dziem i przedmiotem jest na rys.  8c sł upek oznaczony numerem 11- 1. Jest on miarą   róż nicy  współ rzę dnych ruchu  elementu  11 i  elementu  1,  okreś lonej  w  punkcie  ich styku.  Sł upki  pozostał e  informują   o  amplitudach  drgań  wzglę dnych  mię dzy  kolejnymi brył ami  (zgodnie z naniesionym n a nich opisem). Został y one wyznaczone  w płaszczyź nie styku  mię dzy  odpowiednimi  elementami,  a  nastę pnie  przetransformowane  do  punkrą styku narzę dzia z przedmiotem obrabianym  ( N - P ).  Z rys.  8b widać, że drgania  wzglę dne (N —P ) wyznaczyć  moż na także jako  sumę  drgań wzglę dnych  brył  „obejmują cych"  proces skrawania  (na  rys.  8c  zaznaczono je  gwiazdkami).  Sumowanie  nie  odbywa  się   jednak wprost,  gdyż  czę ść  z  tych  elementów  wykonuje  drgania  przesunię te  w  fazie  o  ok.  180° w stosunku  do pozostał ych. Bardzo dobrze uwidacznia  to film.  Rysunek  (8a i 9a) niestety w  tym  zakresie jest nieczytelny,  wobec  czego  n a  histogramie  (8c i  9c)  obok gwiazdek dla rozróż nienia  faz  podan o znak „  +  "  lub  „  — ".  Tak  wię c w  prawej  czę ś ci  rysunków  8 i 9 (c i  d) przedstawione  są   histogramy  pokazują ce  wpływ  drgań wzglę dnych  poszczególnych brył   n a  amplitudy  drgań  wystę pują cych  mię dzy  narzę dziem i przedmiotem. Przykł adowo sł upek histogramu oznaczony numerem 1—4  informuje  o tym, jak  duży udział  w drganiach mię dzy  narzę dziem  i  przedmiotem  ma  ruch  przedmiotu  obrabianego  (element  nr  1) wzglę dem  ś rodkowej  czę ś ci  stoł u  (element nr  4). N a  rys.  8c i  9c  udział y wszystkich brył (w  sensie  amplitudowym)  zrzutowane  został y  na  kierunek,  w  którym  amplitudy  drgań wzglę dnych  narzę dzia  i  przedmiotów  są   najwię ksze.  Tę   samą   informację   lecz  w  rozbiciu n a  współ rzę dne  przedstawia  rys.  d.  N a  podstawie  tak  przedstawionych  wyników łatwo wskazać  ogniwa1,  które  są   najsł absze  w  badanej  frezarce.  Z  przedstawionych  rysunków wynika,  że  przy  czę stotliwoś ci  56  H z najsł abszym  ogniwem  frezarki  jest  grupa  wrzecio- nowa  wraz  z  narzę dziem skrawają cym,  natomiast przy  czę stotliwoś ci  376  H z — elementy mocują ce  przedmiot obrabiany.  M imo iż  silnik  (element nr  12) nie uczestniczy  bezpoś red- nio  w  ł ań cuchu  brył  „zamykają cych"  proces  skrawania  —  rys.  8b i  9b, to jednak  sposób jego  mocowania  winien  być  zmieniony  (rys.  8 i  9), gdyż  tak  znaczna masa  zamocowana jest do korpusu  obrabiarki  za pomocą  zbyt podatnych elementów, wobec czego amplitudy drgań silnika  są   znaczne. Mogą  wię c zaistnieć takie sytuacje, kiedy staje się  on generatorem drgań  cał ej  obrabiarki. 6.  Podsumowanie Przedstawiona w pracy metoda badawcza  umoż liwia zarówno jakoś ciową  jak i iloś ciową ocenę   wł aś ciwoś ci  dynamicznych  ukł adów noś nych  (w  tym  również  obrabiarek)  na pod- AN ALIZ A  MODALNA  OBRABIAREK  505 stawie  analizy  postaci  drgań.  Przyję ty  model  badawczy  oparty  n a  zał oż eniach metody SES sprawia,  że  w  ł atwy  sposób  moż na  okreś lić  udział y  badanych  zespoł ów  obrabiarki w drganiach wzglę dnych  mię dzy  narzę dziem i przedmiotem obrabianym. Powyż szy  model umoż liwia  także  skrócenie  czasu  badań  w  zwią zku  z  ograniczeniem  do  sześ ciu  liczby czujników  niezbę dnych  do  pomiaru  drgań  poszczególnych  elementów  badanego  urzą - dzenia. Testy  efektywnoś ci  procedur  aproksymacji  doś wiadczalnie  wyznaczonych  charakte- rystyk  czę stotliwoś ciowych  pokazują ,  że  uzyskanie  zadowalają cych  wyników  wymaga stosunkowo  duż ej  liczby  iteracji  procesu  obliczeniowego.  Czas  trwania  takich  obliczeń jest jednak  nieporównywalnie  krótszy  od  czasu  wykonania  samych  badań,  nie  stanowi zatem  istotnego  problemu.  Aproksymacja  charakterystyk  prowadzi  do  wygł adzenia  ich przebiegu, co zmniejsza  bł ę dy losowe, jakimi mogą  być obarczone charakterystyki  doś wiad- czalne  przed  aproksymacją . W  rozważ aniach  dotyczą cych  transformacji  wskazano  n a  moż liwość  wykonywania tych  operacji  także  n a  charakterystykach  aproksymują cych  (opisanych  zależ noś cią   12). Wyniki  badań  doś wiadczalnych  (przedstawione  przykł adowo  n a  rys.  8  i  9)  stanowią bardzo  czytelną   informację   o  zachowaniu  się   obrabiarki  podczas  drgań  z  okreś loną czę stotliwoś cią   rezonansową . Moż na wię c  stwierdzić,  iż  opracowana i  przedstawiona  w  pracy  metoda badań  obiek- tów dynamicznych może być  szczególnie  przydatna przy  badaniach prototypowych  obra- biarek,  gdyż  n a  podstawie  otrzymanych  plastycznych  obrazów  zachowania  się   badanej obrabiarki  przy  danych wymuszeniach  umoż liwia  wskazanie  w  sposób  bezbł ę dny  ogniwa najsł abszego  z punktu widzenia jego udział u w  drganiach  mię dzy  narzę dziem i przedmio- tem  obrabianym.  U moż liwia  to  konstruktorowi  w  sposób  efektywny  wpł yną ć  n a mini- malizację   tych drgań.  Jednocześ nie metoda ta  pozwala  n a  zbadanie  cał ego obiektu  dyna- micznego,  jakim  jest  obrabiarka,  przy  uż yciu  tylko  siedmiu  czujników  pomiarowych. Opracowana metoda aproksymacji  i transformacji  charakterystyk  wyznaczonych  doś wiad- czalnie  umoż liwia  przechowywanie  ich  w  formie  niewielkich  tablic  ze współ czynnikami wielomianów  aproksymują cych. Literatura 1.  W.  LISEWSKI, P .  G U TOWSKI ,  W ykorzystanie  analizy modalnej do  badania ukł adów dynamicznych  o wielu stopniach swobody,  M echanika Teoretyczna i  Stosowana,  1987  n r  4. 2.  R.  SNOEYS,  U .  ROESEMS,  U .  VAN D EU RZEN , P.  VAN HON ACKER,  Survey  of  Modal  Analysis  Aplicatiom, C I R P  An n .  1979,  Vol.  28  n r  2  s.  497. 3.  M .  WEC K,  K.  TEIP EL,  Dynamisches  Verhalten Spanender  Verkzeugmaschinen, Berlin,  Springer  — Verlag  1977. 4.  B . A.  KyflHHOB,  B . A.  K O I J H H E B ,  E . H .  I H H BAH O B,  Hcnumami.fi  moKapnux  cmauKoe  ua  eu6po- ycmpoUnueocmh  jnemodoM  pMauun,  OraHKH   u  HHCTpyiweHT, 4,  1978. 5.  J.  KRU SZEWSKI  i  in .,  Metoda  sztywnych  elementów skoń czonych,  Warszawa,  Arkady  1975. 6.  J. BARAN ,  Zastosowanie  dynamiki ruchu przestrzennego  dala sztywnego 2 wią zami do  teorii  identyfikacji obiektu  modelowanego nieswobodnym ciał em  sztywnym,  P race  N aukowe  Politechniki  Szczeciń skiej N r  60,  Szczecin  1976. 7.  B .  C .  ToyEEBj  Op03dejiemiu  Kojieć amtu  meepdozo m&iia  Ha  KOMtiomHmu  c noMOią to  ne303AeKtnpmecKux B,  MarmnioBeflemie,  5,  1967,  M o c r a a . 7  Mech.  Teoret.  i  Stos. 3/ 88 506  W.  LISEWSKI,  P .  G U TOWSKI 8.  A.  KOR YC KI ,  W.  LISEWSKI, Z .  M IN CIEL,  W ykorzystanie komputera do detekcji sł abych ogniw obrabiarki, M ater.  Konf.  n t . Zastosowanie  komputerów  w  przemyś le.  Tom  3.  Szczecin  1983. 9.  J.  PETERS, W.  M ERG EAY,  Dynamie  Analysis  of  Machine  T ools Using Complex Modal  Method,  CTRP An n  1976  Vol.  25  n r  1  s.  257. 10.  E .  K.  PROSSLER,  Experimentell—rechnerische  Analyse  von  Maschinenschwingungen,  VDI- Verlag, D usseldorf  1981. 11.  A.  BOD N AR  i  inn,  Metodyka  doś wiadczalnego  wyznaczania  czę stotliwoś ciowych  charakterystyk  obra- biarek  (w  druku). 12.  A.  BOD N AR,  W.  LISEWSKI,  O potrzebie korygowania  charakterystyk dynamicznych skaż onych  wpł ywem sił ownika,  Postę py  Technologii  Maszyn  i  U rzą dzeń,  1981  zesz.  1. P  e 3  K)  M  e n P H M E H E H H E  3JI E M E H T O B  M OffAJTiH OrO  AH AJIH 3A K  AH H AM H ^ E C K H M   H CCJIEflOBAH U SIM   CTAH KOB B  c r a T t e  n peflcxaBjieH bi  npmwepfei  H cnoj&3OBannH   aJieiweirroB  MOflajiMioro  a H a jn m H ccjiesoBaH H H x  M eianxtopeJKymH X  C T 3H K O B.  Rnst  SKcnepflMeHTajiŁHo  onpeflejie'H H bix  aiwnnHTyaHo- 4>a- 30Bo- H acioTH bix  xapaKTepHCTHK  noKa3aH w  adpdieKTfci  n x  anpoKCH Mainro  n p n  ncnoJiL3OBaHMH   iweTofla o im c a H H o r o  B  n p e a t i flym e i i  waTbe  [ 1] .  I I oKa3aH o, ^ T O  n o c n e  anpoKCHiwaiiHH  ^acroTH bie xapaKTepHcTHKH BO3M OH {H O  TpaHCcpopMHpoBaTb c o r n a c H o npaBHJiaM  flBH H teH H H  >Kecri