Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\03mts88_t26_zeszyt_3.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  26  (1988)

PRZEPŁYWY  TERMODYFUZYJNE  SPRZĘ Ż ONE  Z  POLEM  NAPRĘ Ż EŃ
W  LEPKOSPRĘ Ż YSTOŚ CI

MAREK  WRÓBEL

W yż sza  Szkoł a  Inż ynierska,  Opole

1. Wstę p

Problematyka  przepł ywów  cieplno- dyfuzyjnych  sprzę ż onych  z  polem  mechanicznym
jest jedną   z podstawowych jakie napotykamy  w zagadnieniach naprę ż eń technologicznych
wystę pują cych  w  dojrzewają cym  betonie,  naprę ż eń  w  korodują cych  konstrukcjach,
gruntach  ekspansywnych,  czy  też  przy  nakł adaniu  powł ok  ochronnych  w  metalach.
Z punktu widzenia  budownictwa  szczególnie  istotny jest  pierwszy  przypadek,  kiedy  wza-
jemnie  oddział ywują ce  n a  siebie  przepł ywy  wilgoci  i  ciepł a  oraz  pola  przemieszczeń
determinują   póź niejsze  wł asnoś ci  betonu  i  konstrukcji  wykonanych  z  tego  materiał u.
W  pracy  podję to  próbę   iloś ciowego  oszacowania  wpł ywu  wzajemnych  sprzę ż eń  mię dzy
tymi  polami,  oraz  wpł ywu  tych  sprzę ż eń  na  pole  naprę ż eń,  n a  podstawie  rozwią zania
pewnego zadania począ tkowo- brzegowego.  Rozwią zanie  oparto n a odpowiednim  funkcjo-
nale  [15],  którego  warunkami  stacjonarnoś ci  są   równania  termodyfuzji  podane  przez
N owackiego  dla oś rodka  sprę ż ystego  [10, U ] i  uogólnione  przez  Kubika  [6]  n a  zadania
sprzę ż onej  termodyfuzji  lepkosprę ż ystej.  Wydaje  się ,  że  taka  analiza  sprzę ż eń  może  być
celowa,  gdyż  autorzy  niewielu  publikacji  z  zakresu  termodyfuzji  sprę ż ystej  i  lepkosprę -
ż ystej  skupiają   uwagę  n a  teoretycznych  podstawach  problemu  [6,  10,  11, 24].  Z nane  są
rozwią zania  pewnych  zagadnień  brzegowych  [2, 4,  8,  14] lecz  brak jest  tam  przykł adów
liczbowych  obrazują cych  rozważ ane  procesy  i  mogą cych  posł uż yć  do  analizy  sprzę ż eń
rozpatrywanych  wielkoś ci  polowych.

2.  Podstawowe  założ enia  i  postawienie zadania

Sformuł ujemy  teraz  analizowane  w  pracy  zadanie  począ tkowo- brzegowe:  N ależy
wyznaczyć  pola  temperatury,  koncentracji  i  przemieszczeń,  oraz  odkształ ceń  i  naprę ż eń
zdeterminowane  przez  zadane  na  brzegach  wartoś ci  temperatury  i  koncentracji,  oraz
okreś lić  wpływ  wzajemnych  sprzę ż eń  mię dzy  rozpatrywanymi  polami  n a  ich  rozkł ad.

7 *



508 PRZEPŁ YWY  TERMODYFUZYJNE . . .

Rozpatrzmy  więc  warstwę  o gruboś ci  h, w  której  wystę puje  pole  temperatury &,  koncen-
tracji  C  i  przemieszczenia.  Ut (rys.  1). Zakł adamy, że zagadnienie przez nas rozpatrywane
jest  jednowymiarowe,  tzn .  wszystkie  pola  zależą  od  jednej  zmiennej  przestrzennej  x

3
,

oraz  że  oś rodek  jest  izotropowy,  brak  w  nim  ź ródeł   ciepł a i  masy  oraz  sił   masowych.

C b H ! ł )

Rys.  1.  Warstwa  z  polem  temperatury,  koncentracji  i  przemieszczenia

Warunki  brzegowe  podamy  w  temperaturze i  koncentracji:

(2.1)

natomiast  za  warunki  począ tkowe  przyjmujemy  wartoś ci  przyrostów  entropii  i  koncen-
tracji  ponad  stan  naturalny  na  cał ej  gruboś ci  warstwy  równe  zero:

a , 0 )  =   0,  QS(X3,  0)  =   0.  (2.2)

Wtedy  funkcjonał   dla  sprzę ż onych  pól  temperatury,  koncentracji  i  przemieszczenia
przyjmie  postać  (por.  (2.31)  w  pracy  [15]):

,  C,  U
3
]  -

- A/2

1  1  K
—  n*dC*dC- >r —  m*d6*d0——

K'0
33

*l*dU
3
,

33
*d0,

3
+K'®

33
*n*dU

3
,

33
*dC

l3
+ (2. 3)

K KIT

W  zależ noś ci  (2.3)  wielkoś ci  £3333, 9533, <£ 33,  K',  K  są  odpowiednimi  do  rozpatrywa-
nego  zadania  skł adowymi  tensorów  funkcji  materiał owych £ "yw[P a],  c)j;[J/ m

3K], $ij[JI
/ kg] i  tensorów  przewodnictwa  dyfuzyjnego  K'

u
 [kg2/ Jms]  i  cieplnego  / ^[J/ m sK ]. Z ko-



PRZEPŁYWY  TERM OD YF U ZYJN E...  509

lei  / [J/ kgK],  m [J/ m 3K 2],  n [Jm 3/ kg2]  są   funkcjami  materiał owymi, T„ [K] jest  'tempera-
turą   stanu  naturalnego, a S  =  H(t)  oznacza  funkcję   H eavisid'a  (por.  [15]).
Powyż sze  zadanie  począ tkowo- brzegowe  rozwią ż emy  zmodyfikowaną   m etodą   bezpo-
ś rednią   Ritza [23].

Przyjmujemy  do rozwią zania  nastę pują ce  funkcje  bazy:
—  dla koncentracji:

?t(2/ c- l)  ,  ,  .  n{lk- \ )  .  7c(2k- l)  ..
  M

fk(x
9
)  =  cos  — ^ — ' -  x

3
;  f

k
,

3
(X

3
)  =  -   - ^ —' -   sin   v  '  x

3
  (2.4)

—  dla temperatury:

.  ,  n(2k- \ )  ,  a(2fc- l)  .  n(2k- l)  ..  _
gk(^3) =   cos  —" — —' -   x3,  gk, 3(x3)  =   ±- j—'-   sin   h  x3,  (2.5)

—  dla przemieszczenia:

.  .  .  3i(2A:- 1)  ,  .  7t(2k- l)  n(2k- l)  .. , .
u

k
(x

3
)  =  sin —5u _ —L

  X3s
  u

kt  3( JC 3) =  —^ —i - c os  / ;  x3.  (2.6)

Wartoś ci  funkcjonał u  (2.3)  bę dziemy  poszukiwali  na kombinacjach  liniowych  mają cych
postać:

n O "  go(t) + 2j  ak(t)gk(x
3
),  (2.7)

n

C(x3,  t) -   / O(O +  Ę   bk(t)fk(x3),  (2.8)

J 7 5 ( *a, O - «o( O + Xc *W^«).  (2- 9)

gdzie:  '  -

(2.10)

(2.11)

«O(O =   J ± L  [ ^ C +  a^Jfi- COJCs =  UbH(t)x3,  (2.12)

przy  czym  a T [ K ~
1 ]  i  ac[m

3/ kg]  są   współ czynnikami rozszerzalnoś ci  cieplnej  i  dyfuzyj-
nej  natomiast v[ —] jest  współ czynnikiem Poissona.
Funkcje g

Q
,f

0
  i  u

0
  speł niają   niejednorodne, natomiast funkcje  g

k
,f

k
iu

k
  — jedn orodn e

warunki  brzegowe  w  tem peraturze,  koncentracji  i  odkształ ceniach. a
k
{t),  b

k
(t)  i  c

k
(t)

są   tutaj  poszukiwanymi  funkcjami  czasu.  Wystę pują ce  w  funkcjonale  (2.3)  funkcje ma^
teriał owe / , m, n przyjmujemy  stał e w czasie (por.  [2])

l(t)=lH(t),  m(t) =  mH(t),  n(t)  = nH{t),  (2.13)

oraz  zgodnie  z  [6, 10,  11,  16]:



510  M . WRÓBEL

# 33 =  - y "^ ssss -   - y  «.<?(*).  (2.14)

N atom iast z analizy  funkcjonał u  danego  zależ noś cią  (2.3)  wynika  kilka  funkcji  sprzę ga-
ją cych  pola  term iczne,  dyfuzyjne  i  mechaniczne, które  po  uwzglę dnieniu  (2.14)  moż na
przedstawić  w postaci:
1.  F un kcja  sprzę gają ca  pole  mechaniczne z cieplnym  zwią zanym  z przepł ywem  ciepł a;

«rt- y«r.  (2- 15)

2.  F unkcja  sprzę gają ca  pole  mechaniczne z cieplnym  zwią zanym  z przepł ywem  masy:

3.  F un kcja  sprzę gają ca  pole  mechaniczne z  dyfuzyjnym:

«r«- |l>ca«.  (2.17)

4.  F unkcja  sprzę gają ca  pole  cieplne z  dyfuzyjnym:

*  =   A,/ .  (2.18)

Wobec  zał oż enia  (2.13)  funkcje  sprzę gają ce  redukują  się  do  roli  współ czynników  sprzę-
gają cych  (stał ych w czasie)

3.  Rozwią zanie  zagadnienia  w warstwie  lepkosprę ż ystej

Przyjmujemy,  że m ateriał  warstwy podlega zjawiskom  Teologicznym opisywanym teorią
Artun ian a  [18],  w  której  przyjmuje  się,  że ją dra  w  cał kowych równaniach fizycznych  są
nieinwariantne  wzglę dem  przesunięć skali  czasowej.  N atomiast wraz  z upł ywem czasu —
m ateriał   taki  może  być  opisany  równaniami  liniowej  lepkosprę ż ystoś ci  o  ją drach  typu
splotu  (por.  [1, 7,  12,  13, 19]). F unkcja  relaksacji  m a wtedy postać:

(3.1)
1+ ^ o C o

a  jej  tran sform ata  Laplace'a:

P + y  (3.2)

D zię ki  zastosowaniu  metody  bezpoś redniej  Ritza  zadanie  szukania  ekstremum  funkcjo-
n ał u ^ [0", C,  U£\   sprowadził o  się  d o  zadania  poszukiwania  ekstremum funkcji,  której
argum entam i  są  poszukiwane  funkcje  czasu  a

k
(t),  b

k
(t)  i c

k
(t).  Warunek  istnienia ekstre-

m um  tej  funkcji  prowadzi  do  ukł adu  trzech  równań  Eulera- Lagrange'a.  Po dokonaniu
n a  tym  ukł adzie  transformacji  Laplace'a,  uwzglę dnieniu  (3.2) i wprowadzeniu  oznaczeń
z  tabl.  1 otrzym am y:



PRZEPŁYWY  TERMOD YFU ZYJN E... 511

P] a
k
 + [ *i««] b

k
+  L  x

c2

L  P+Ko

Tabela  1. Oznaczenia wprowadzone na ukł adzie równań Eulera- Lagrange'a w przestrzeni obrazu

(3. 4)

Warstwa  sprę ż ysta

E
0
H{t)

Warstwa  lepkosprę ż ysta

di  =  - 3I2(2fc- l)2  —
n

a
2
  =   - n2(2Jc- \ )2D

T
hm

a
3
  =  —h

3
m

a* =  b
t
  =   Ji2(2fc- 1)2A

a,  = d  =  - n
3
(2k- l)

3
Eo

a
6
  = c

2
=  - 7i(Zk- l)h

2
Eo

b
2
  =

- h
3
n

=   C  =   - J

14

c 5  =   -

c
9
  =   -

di  =

D
c
lh

15

14

ć 2 H

rf, =   (- lY+lh3E
0
U„l(2k- l)©

b

d
3
  =  (- lf

+1
h

3
nl(2k- \ )

dĄ .  - ii  (
14

da  =   - ( -



512 M .  WRÓBEL

a
7
x

c2 (3.5)

p + Ro +

d
a
  Xci

Z  ukł adu  równ ań  (3.3)- *- (3.5)  obliczamy  wartoś ci  poszukiwanych  funkcji  a
k
(p),b

k
{p),

CkU>) w przestrzeni  obrazu. D okonując nastę pnie retransformacji  Laplace'a po  wstawieniu
do  (2.7)- = - (2.9) otrzymujemy  poszukiwane  wielkoś ci  polowe:

#(0  +  4 £  0

C"(x3.  0 -  C,f#(0+ 4" 2  **(0cos -

1

3  ,

__

J ,
J

(3.6)

(3.7)

Tabela  2. Współ czynniki  rozwią zania  zadania  począ tkowo- brzegowego  w warstwie  lepkosprę ż ystej

Ba

b
o

£o

Si

t,

*.

*.

g»

R*- R*A
1+

R*A
2
- R*A3  +  RA<- A

S

(JR.~ł ~plk) \ R~\ ~P2k)  C^~ł ~j?3Jfc) (- ^ 4"/ ?4fc)  \ R- \ ~p5k)

R'- B*B1+ R> Bt- R*Bi+ XBĄ- Ba
(X +Pik)(R  +P2  k)(R  +P3k)(R +p*k)(R - hPs*)

R*- R*C
1  +

  R>C
2
- R

2
C

3
  + RC<- C,

P t k  ' P t k ^   1 *T "J ^ t k  2 - " > P ff t " 3  ~ T *^ ( J t  " 4 .  t  ^ > 5

(P(t  +   - R)  (P it  - ^ l t) (Ptk- P2k) (j>lk- P3k) (Plk- P4k) (j>lk - P5k)

Pik  +ptkB
t
  +pl

k
B

2
  +p?

k
B

3
  +PikB

i
. + B,

(Ptk  +R)  (Ptk  - Pik)  (Plk—P2k) (pik  ~P3k)  (Plk  - P4k)(Plk  - Psk)

Plk^ Plk  Cl- \ - pik  C2  ~ł ~Plk  C3  "^ PlkC^ Ą - Ca

<.Ptk +  R)(Pl
<i
~P

1
k)(p

l
k- P2k)(pik- P3k)(Plk- p*k)(p,k- p

S
k)

(Pik  +  R)
2
(Pik—Plk) (Plk —P2k) (plk  —P3k) (Plk~P*k) (.Ptk —Psk)

Pik+ptkB,.+p?
k
B

2
+p

2

K
B

3
+pikB

Ą
+Bs

(p,k +  R)
2
(Plk- p

l
k)(p

t
k- P2k)(Plk- P3k)(Plk- p*k)(P>k- p

S
k)

ph+ptkC
i
+p?kC

1
+p?

k
C3+

Pl
kC<+C

s

(Pik+R)
2
(Ptk- ptk)(Plk- P2k)(Ptk- P3k)(Plk- P*k)(.Plk- P}k)

<

Bez  czynnika  w  mi-
nowniku,  dla  któ-

rego  wyraż enie  w
nawiasach  (...) jest
równe  zeru.

Bez czynnika w mia-
nowniku,  dla  któ-
rego  wyraż enie  w
nawiasach  (...) jest
równe  zeru.



PRZEPŁ YWY  TERMOD YFU ZYJN E...  513

±^   c
k
(t)sm . P ^ " 1 )  * 3 ] ,  (3.8)

gdzie:
5  .

S«e"«'],  (3.9.)
1 = 1

(3.10)
/ =i

5

^  Sre"*],  (3.11)

a współ czynniki tfj, b
t
 i c ; znajdują  się w tabl. 2.

Wielkoś ci  .4, y4l9  ...,AS,  B,Bt,  ..., Bs,  C, Ct,  ...,  Cs  z  tabl.  2  oraz  z  zależ noś ci  (3.9)- i-
• i- (3.11) są funkcjami  stał ych materiał owych, oraz współ czynników  sprzę gają cych  (2.15) - J-
- ł - (2.18).  Wystę pują ce  w  zależ noś ciach  (3.9),- r(3.M)  wi e l k o ś c ią  (i  —  1, ..., 5)  są  pier-
wiastkami  równania  pią tego  stopn ia  (jps+p*D

1
+p

3
D

2
+p

2
D

3
+pD

4
.+D

s
  = 0),  które

rozwią zywano  numerycznie.
Pole odkształ ceń  dla  danego  zadan ia  począ tkowo- brzegowego  otrzymamy  z  zależ-

noś ci  n a  tensor  odkształ cenia  Cauchy'ego  [6, 10,  11]:

^ ^  J  (3.12)

Z  kolei  przystą pimy  d o  wyznaczenia  skł adowych  ten sora  naprę ż enia  [6]:

«r„ a  2fi*ds
u
- \ ~(X*d8

lik
- y

T
*d&Ą - y

c
*dC)  6

tJ
.  (3.13)

Jeż eli  n a zależ noś ci  (3.13)  dokon am y  transformacji  Laplace'a,  skorzystamy  ze  zwią zków
(3.1)  i  (3.2),  oraz  z  transform at  wielkoś ci  polowych  (3.6)+  (3.8),  t o  po  retransformacji
otrzymamy  nastę pują ce  skł adowe  tensora  naprę ż enia  w  przestrzeni  orygin ał u:

Ou(x
3
, t) =  o"

22
(x

3
,t) =  ^ ^   [j~  ehx(x

3
, 0  +

-   [ «c C £ 0c 3 , 0 +   <XT ®R(X3,  0]J»  O -
1 4 )

ah(x
3
,t)  = 0,  (3.15)

gdzie:

®l(Xs, t) -   <9,1/ 7(0 + — ^  L**(0- ai«(0]co8  i ^ ^ .  x3f,  (3- 16)
*•   fc= i



514 M .  WRÓBEL

3
,  t)  - } .  (3.17)

—  xX  (3.18)

przy  czym:

s 2
5

(3.19)

(3.20)

(3.21)

A
R
  =   AyE

0
  C

o
,  B

R
  =  ByE

0
  C

o
,  C

R
  =  CyE

0
  C

o
,  (3.22)

a  współ czyn n iki  a
0
,  b

Q
,  c

0
,  q

iR
,  b

iR
,  c

lR
  znajdują   się  w  tabl.  2.

4.  Realizacja  numeryczna  i  zestawienie  wyników

W  oparciu  o  przedstawione  rozwią zanie  analityczne  opracowano  program  na EMC
OD RA  1204  w ję zyku  Algol  60.  D o przeprowadzenia  obliczeń  wykorzystano  nastę pują ce
wartoś ci  odpowiednich  współ czynników  i  funkcji  materiał owych dotyczą cych  dojrzewają -
cego  betonu  (po  sprowadzeniu  do  jednostek  ukł adu  SI ):

—  współ czynniki  dyfuzji  D
c
  [5, 17, 20] i  przewodnoś ci  cieplnej  D

T
  [3,  9]:

D
c
  =  6 •   10- 6  [m 2/ h],  D

T
  =   4 •   10"2  [m 2/ h],  (4.1)

—  współ czynniki  rozszerzalnoś ci  cieplnej  x
T
  [3, 9]  i  dyfuzyjnej  a c  [5,  7]:

OL
T
  =  4.7  •   10- 6  [l/ K],  a c  =   1.25  •   10"

5  [m 3/ kg],  (4.2)

Q0  0.1  0.2  03  0.4  0.5

R ys.  2.  R ozkł ad  temperatury  w  warstwie  dla  przypadku:
Xu  =   XT  —  XC2  =   Xc i

  =   0



PRZEPŁYWY 515

0.1  Q2  0.3  0.4  0.5

Rys.  3. Rozkiad  koncentracji  w  warstwie  dla  przypadku:

K.   = . XT =   Xci "  «C1   =*  0

Q0  Q1  0.2  0.3  0.4  a  5

Rys.  4.  Rozkł ad  koncentracji  w  warstwie lepkosprę zystej  dla  czasu  t  => 720  h

<D  x„ =3 «T  =  Mca =  0;  xci  #  0  oraz  x» =  x r  =  0;  x «  #  0;  «ci   ̂ 0

©   x, #  0;  x r  =  Xci  "  0;  xCi  ?* 0  oraz  x,   ̂ 0;  x T  «" 0;  * «  ł
4 0;  «ci  i*  C

<3)  «»  •=   0;  x r  ?* 0;  xCa  "•  0;  %»  #  0 oraz  x« -=  0;  x T  i* 0;  xe»  ?* 0;  «t

©   x„ ?4  0;  «T / 0 ;  xcj  =  0;  xCi  #  0  oraz  x„   ̂ 0;  « r  s
6 0;  xct  < A  0;  x c i

współ czynniki  materiał owe m  [3,  9], n, /  [21,  22]:

/  =   1305.4  [J/ kgK],  m m 7862.5 [J/ m 3K 2],

n m 134.2 [J/ m 3kg2],

współ czynniki  C
o
  i  y  [5,  7]:

Go =  9.75 •   10- 9  [m 2/ N ],  y =  12.46 •   102  [l/ h ],

(4. 3)

(4. 4)



516 M .  WR Ó B E L

QO  0.1  0,2  a3  0,4  a s

Rys.  5.  Rozkł ad  koncentracji  w  warstwie  lepkosprę ż ystej  dla  czasu  t  =   720  h

©   x
a
  & 0;  x

T
  =   xci  ~  xci  =   0;  oraz  x„ # 0 ;  x

T
  =   0;  xC 2  #   0;  xci  =   0

oraz  x,  =   0;  x r  9
s  0;  xC2  /   0;  xC i  =   0

<3> x„  «=   0;  x r  3*  0;  Xc2  =   xC t  =   0
O i t , ^ 0 ;  xr  5s  0;  xci  =   xci  =   0  oraz  x»  # 0 ;  xT  Ą=  0;  x «  #  0;  «ci  =  0

KU  —  XT  =  0;  Xci  #  O;  «ci  ~  0

—  moduł   sprę ż ystoś ci  podł uż nej £ 0  [9] i  współ czynnik Poissona v [7]:

E
o
  =  2- 1010  [Pa],  v «  i - [ - ],  (4.5)

—  warunki  brzegowe  w  temperaturze 6
b
  [3] i  koncentracji  Cj  [7]:

0„  =   40.0  [K],  C„  =   10.8  [kg/ m 3].  (4.6)

Wyniki  numeryczne  przedstawiono  w  postaci  graficznej  na  rysunkach  2- *- 15.  Mając
n a  uwadze  ograniczoną  obję tość  pracy  zilustrowano  tu  tylko  najistotniejsze  z  nich
Z e wzglę du n a symetrię zadania  (rys.  1) na wykresach  przedstawiono jedynie wyniki  prze-
biegu  procesów  dla  poł owy  rozpatrywanej  warstwy.  Aby  umoż liwić  lepszą  analizę  iloś-
ciową  prezentowanych  wyników  wprowadzono  nastę pują ce  zmienne  bezwymiarowe;

* . (4.7)

przy  czym  dla  temperatury  i  koncentracji  poziomem  odniesienia  są  zadane  wartoś ci
temperatury  i  koncentracji  na  brzegach,  natomiast  dla  naprę ż eń  —  poziom  ustalonych
naprę ż eń  osią ganych,  w rozpatrywanym  procesie w warstwie  sprę ż ystej.  W  trakcie analizy



Rys.  6.  Rozkł ad naprę ż eń  w  warstwie  lepkosprę ż ystej  dla  czasu  t  =   384  h

(D «r

• y

x„  = =   0
XT  =   0

x „ =  o A

Xci  =  0

x,   -

XT  7*

* M   =

XCI  =

=   0

5 * 0

0
0

0
0

N.   f i
Xr  =

Xci  =
XC2  7 *

K,   -

XT  —

M e i -

Mb

# r

X C I

0

0
o A

0

0
0

0

0

* 0 .
j * 0

^ 0

=  0

».

X CI

XCJ

©

®

"« Ą
Xci  =

« r

X c i

Xci

9*0
=  0
5* 0

)

0
0

0

i * 0
i*0

=  0

=  0

X .

Xci

Xci

®

=  c

II 
%

5*C

**«  ^ 0
XT  m  0

xci =  0

x,  «  0

«r  = 0
xca •  0
Xci  5*0

®

X,

Xci

XC2

A

5*

7*

Ą
Ą

«C1

x.
X ,

Xc

5*0
=  0

=  0

= 0
•  = 0

a 5*0

Xci  5* 0

0

0
0

0
» c

xc

5*0

5*0

i  »0
» 5 * 0

0,4

Rys.  7.  Rozkł ad  naprę ż eń w  warstwie  lepkosprę ż ystej  dla  czasu  t  =   720  h

=  0
=  0

x «

=

7 *

B

0
0
o A

0

x.

M ci

XCI

7 *

7 *

=

0
0
o A

0

X ,

«r
XC2

X c i

9 * 0

=   0
»0
=  0



®

X,  •

HT  Ą

*ciĄ

Xci  =»

x,  =

HT  =

Xci =

* d  =

X.  =

xr  *

Xci  *
xci  Ą

0
0

oA
0

0

0

=  o A
= 0

0

0
A

0
0

* .

*T

Kca

« .

*r

X C J

«C1

K,

Xr

XCI

* o

B O

=  o A
­ 0

­ 0

= 0
. 0  ®
# 0

­ 0

^ 0

•  0
Ą0

<.  Ą0
<T  Ą  0

<C1  ł 4  O

* ci  =  0

* .   Ą0
xr  ­ 0
xci  ­  0

X.  5*0

Xr  ?* 0

xci  Ą  0

xc,  # 0

x«
xr

XC2

Xci

« .

Xr

NBl

Xci

x.

x r

Ą0
Ą0

=  0

—  0

# 0

=  0

Ą0

Ą0

Ą0

Xci  = O

Xc i  Ą  0

4  0t5  „ ^ H

Dla  /  =

Rys.  8.  Rozkł ad  naprę ż eń w  warstwie  lepkosprę ż ystej  dla  przypadku:

x,  =   x
T
  =   xc*  =   xci  =   0.

96 h  pojawiają   się   zauważ alne  róż nice mię dzy  naprę ż eniami  w  warstwach  sprę ż ystej  i  lepko-
sprę ż ystej

96h

Rys.  9.  Rozkł ad  naprę ż eń  w  warstwie  lepkosprę ż ystej  dla  przypadku:

* r  Ą  0;  x,  =  xC2  =  xci  =  0

[5181



0.2

0,4

0.6

0,8

1.0

0,2

0.4

0,6

0.8-

1,0

0,0

- 1

- 2

-   - 3

- 5

- 6

.   —7
/

' - 8
G L-

0,1

• — — .

1h
3 8 ih
770h
2h
96 h
eh

CCMPa]
1

0.2

^ \

Ł  t  -
^*—^=:

«.

0,3 Q4 0 5

~r 720h

V9 6 h
\
1

Rys.  10.  R ozkł ad  naprę ż eń  w  warstwie  lepkosprę ż ystej  dla  przypadku:

0,0

Rys.  11.  Rozkł ad  naprę ż eń  w  warstwie  lepkosprę ż ystej  dla  przypadku:

Kr  #  *C2  ^ 0 ;  «u  =   0 ;  x C i  5*  0

0,5  1 1 6  2 4  4 8 9 6 192  384  720  1440  .2680 t CKI

tf[ M PQ]

Rys.  12. Warstwa  lepkosprę ż ysta.  Rozkł ad naprę ż eń  w  czasie  dla  przypadku:  x
u
  =   XT  =   Xci  =   «ci  =   0.

Linią   przerywaną   oznaczono  poziom  ustalonych  naprę ż eń  (f  =   2880h)  w  warstwie  sprę ż ystej

[ 519J



520 M .  WRÓBEL

Q.5  1 192  384  720  1440  2880 tth]

R ys.  13. Warstwa  lepkosprę ż ysta.  Rozkł ad naprę ż eń  w  czasie  dla  przypadku:  *:„  ź  K
C
\   Ą=  0;  KT  ­  xC2

=  0.  Linią   przerywaną   oznaczono  poziom  ustalonych  naprę ż eń  (/   =   5760h)  w  warstwie  sprę ż ystej

0.2

0,4

ae

1.0

- 2

- 3

- 4

- 6

- 7-

- 8

03  1 16  24  48  96  192  384  720  1440  2880

©

©^0.3

8L- 1
6 [ MPa]

R ys.  14.  Warstwa  lepkosprę ż ysta.  RozkJad  naprę ż eń  w  czasie  dla  przypadku:  x„  #   x
T
  ^  *

C1
  ^   x

ci
  ^  o.

Linią   przerywaną   oznaczono poziom ustalonych  naprę ż eń (f  =   5760 h) w warstwie sprę ż ystej

prezentowanych  wykresów  korzystać  należy  z  definicji  współ czynników  sprzę gają cych
(2.15)^- (2.18).  Każ dy  z  nich w zależ noś ci  od  stopnia sprzę ż enia rozpatrywanego zadania
przybierać może bowiem wartość  równą   lub róż ną   od zera. W ten sposób  zadanie w spo-
sób  naturalny  dzieli  się   n a  szesnaś cie  elementarnych przypadków.  I  tak  n p.  zadaniu
zupeł nie  niesprzę ż onermi  odpowiada  przypadek  x

u
  =  x

T
  — %

c2
 =   x

cl
  =  0,  natomiast

zadaniu  w  którym  wystę puje  peł ne  sprzę ż enie  rozpatrywanych  pól  —  przypadek  «u ^
^   H

T
  ^   %

c2
  Ą=  «ci  Ą=  0.

Brak  peł nego kompletu danych dla  innych technologii sprawił , że przyję to  beton jako
rozpatrywany  oś rodek.  N ależy  jednak  pamię tać, że  w  toku  rozwią zania  postawionego
problemu  począ tkowo- brzegowego  poczyniliś my  szereg  zał oż eń upraszczają cych,  z  któ-
rych  najistotniejsze  to pominię cie  ź ródeł  ciepł a i  masy,  oraz  przyję cie  stał ych  (uś rednio-
nych)  funkcji  materiał owych  okreś lają cych  wł asnoś ci  fizyczne  betonu.  Okazuje  się ,  że
w  sytuacjach,  gdy  zmiany  temperatury  i  koncentracji  wywoł ane  reakcjami  hydratacji
są   mał e  w  porównaniu  ze  zmianami tych  wielkoś ci  spowodowanymi  przepł ywami  ciepł a
i  masy,  t o  zaniedbanie  ź ródeł  ciepł a i  masy  jest  uzasadnione. Przyję cie  takiego  uprosz-



PRZEPŁYWY  TERMOD  YFU Z YJNE . . . 521

Rys.  15. Warstwa  lepkosprę ż ysta.  Rozkł ad naprę ż eń w  czasie  dla  f  =   0.3.  Linią   przerywaną   oznaczono
poziom  ustalonych  naprę ż eń  w  warstwie  sprę ż ystej

czenia  jak  również  przyję cie  stał ych  (uś rednionych)  wartoś ci  współ czynników  dyfuzji
i termodyfuzji  jest n a podstawie  prac  [17, 20, 22] obszernie  uzasadnione w  pracy  [2].

Analizowane  w  pracy  zadanie  począ tkowo- brzegowe  należy  wię c  traktować  jako
kolejne przybliż enie  tego zł oż onego problemu. Ze wzglę du  n a ograniczoną   obję tość  pracy
nie  bę dziemy  tu  przeprowadzali  szczegół owej  analizy  otrzymanych  wyników  numerycz-
nych. Warto jednak  zaznaczyć  •—  pozostają   one w  dobrej  zgodnoś ci  z  wynikami  innych
autorów.  I  tak, jeż eli  chodzi  o  wpł yw  sprzę ż eń  n a  rozwój  pola  cieplnego,  oraz  sprzę ż e-
nia  cieplno- dyfuzyjne  z  pracami  [2,  17, 20, 22], natomiast w  zakresie  zagadnień  sprzę ż e-
nia  pola  mechanicznego Z polem  koncentracji  —  z  pracą   [16].  Otrzymane wyniki  nume-
ryczne  w  sensie  opisanych  wcześ niej  zał oż eń  upraszczają cych  nabierają   znaczenia  jako
wyniki  iloś ciowe  obrazują ce  wpływ  sprzę ż eń  rozpatrywanych  pól  n a  siebie.  Mogą   się   one
okazać pomocne w rozstrzygnię ciu  nierzadkiego  dylematu, czy  dane zadanie począ tkowo-
brzegowe  rozwią zywać  jako  niesprzę ż one,  czy  też  analizować  bardziej  zł oż one  zadanie
sprzę ż one.

Literatura

1.  R .  M .  CH RISTEN SEŃ ,  T heory of  viscoelasticity,  Academic  Press  N ew  York  an d  Lon don  1971.
2.  F .  G AJD A,  Sprzę ż enie  cieplno- dyfuzyjne w  dalach  lepkosprę ż ystych,  dysertacja  doktorska,  P olitech-

nika  Wrocł awska- 1983.
3.  F .  G RU D Z IŃ SKI, Procesy  cieplne  w  technologii  hetonów,  Warszawa  1976.
4.  K.  G RYSA,  R .  SZCZEPAŃ SKI,  O  pł askim  quasi- statycznym  zagadnieniu  termodyfuzji  dla  sprę ż ystego

walca  koł owego,  M ech.  Teoret.  i  Stos.  2,  17,  1979.

8  Mech.  Teoret. i  Stos.  3/ 88



522  M .  WRÓBEL

5.  J.  Kasperkiewicz,  Dyfuzja  wilgoci  i  deformacje  skurczowe w betonie,  PWN , Warszawa  1972.
6.  J.  K U BI K ,  Analogie i  podobień stwo w  liniowych oś rodkach odksztalcalnych,  Z . N .  P oi.  Ś l.,  Bud.  38,

G liwice  1975.  .
7.  A.  M I T Z E L,  Reologia betonu, PWN ,  Warszawa  1972.
8.  R .  M OKRYK,  Z .  OLESIAK,  T ermodyfuzja w  zagadnieniu  kontaktu  warstwy i pólprzestrzeni  sprę ż ystej

M ech.  Teoret.  i  Stos.  3/ 4,  20,  1982.
9.  A.  M .  N EVILLE,  W ł aś ciwoś ci betonu, PWN ,  Warszawa  1977.

10.  W.  N OWAC KI ,  Certain problems of  thermodiffusion  in solids,  A.M .S. 23, 6,  1971.
11.  W.  N OWAC KI,  T ermodyfuzja  w  ciele stał ym,  Mech. Teoret.  i  Stos.  2,  13,  1975.
12.  Z .  OLESIAK,  Dynamiczne zagadnienia  ciał   o  wł aś ciwoś ciach  lepko- sprę ż ystych,  Rozpr.  Inż.  9,  3,  1961.
13.  Z .  PIEKARSKI,  G .  SZEFER,  Peł zanie pół pł aszczyzny  przy  mieszanych warunkach  brzegowych, Rozpr.

I n ż.  4,  18,  1970.
14.  J.  STEFAN IAK,  J.  JAN KOWSKI,  Pł askie fale  harmoniczne  i dyfuzja w ciele stał ym, Mech.  Teoret. i  Stos.

3,  18,  1980.
15.  M .  WR Ó B E L ,  W ariacyjne  uję cie przepł ywów  termodyfuzyjnych  sprzę ż onych  z  polem  naprę ż eń ,  M ech.

Teoret.  i  Stos.  3,  25,  1987.
16.  J.  WYRWAŁ,  W ariacyjne  uję cie  termodyfuzji  lepkosprę ż ystej, dysertacja  doktorska,  Politechnika

Krakowska  1979.
17.  C . B.  AjiEKCAHflPOBCKHH,  Pacuein  6emoHHux u  2ice/ te3o6emoHHtix  KOHcmpymfuH  Ha  u3MeHemin  meM-

nepamypbi  u  eAootcHocmu  c ynemoM  noMyuecmu,  OrpoHH3,naT,  M ocKBa  1973
18.  H . X .  ApyxyjHHH,  Heuomopbie sonpocu  meopuu nojisynecmu, MocKBa  1952
19.  H . X .  ApyiyH H H j  IIoA3yuecm  cmapeioufux  Mamepuanoe.  IIo/ i3yuecm  Semoua,  M e x.  TBepfl.  Tejia,

M ocKBa  6,  1967
20.  H . SL .  BO H O C H H J  T en/ to-   u  Maccoo6Meu  npu  mepMoo6pa6omKe  6emoHHUx  u  oicejie3o6emoHHbix  u3Óejiuu,

M H H C K  1973

2 1 .  A.  B.  J I Ł I K O B ,  T eopemuiecKue  ocHoeu cmpoume/ ibHoii  $U3UKU,  M H H C K  1961

22.  J I .  A.  MAJiKHHHAi  T enAOBAaoicHocmnax  o6pa6omxa mnoicenoio  Semona,  MocKBa  1977
2 3 .  I I . B.  U toń ,  Memodu  pacnema  omde/ ibHux  3adau  menjioMacconepenoca,  M ocKBa 1971
24.  P . H .  U I B E U ,  K.  M .  JJAC I O K ,  O  eapuauuoHHbix  meopeitax  mepModuc/ )<f)y3uu  detfopMupyeMbix  meep-

dux  men,  M aT . cjura.  22,  1977

P  e  3  K>  M  e

TEP M OJ3;H cl> Oy3H OH H LIE  n EP EI U I BI BŁ I CBH 3AH H ŁIE  C  n O J I E M
H AITPJD KEH ira  B  Bfl3K O yiI P yr O C T H

B  paSoxe  o6cy>K,neHO  TepiwoAHd;cby3H0HHbie  nepeiuibiBM   CBjmHHBie  c  MexaHiwecKHM  nojiejw B ofl-
H3oTpoiiHOMj  BH 3i<oynpyroM   o i o e .  n poE tecc  Bbi3biBaK>T  flM H bie  BejiH*WHbi  TeiwnepaTypbi

H a  i<pax  cnoffj  TaK » e  i<aK  npoHcxoflHT  B KJiaccH^ecKOM   n pou ecce  3anapHBaHHH  6e-
TOHa.  J l n a  peuieH itrr  npoSneM bi  ncnonb3oBaH o  cooTBeTcrayioinH H   dj>yHKi;HoHajt  n  j«osH<pimHpoBaHHbiH

MCTOA  P «Ti;a.  P e3yn biarbi  n pesciaBJieH o  B rpadpH ^ecKofi

S u m m a r y

H E AT  AN D   M ASS  TRAN SF ER  PROBLEM   COU PLED  WITH   STRESS  F IELD
I N   VISCOELASTICITY

P roblem  of  heat and mass  transfer  coupled  with  stress field  in homogeneous  and isotropic  viscoelastic
layer  is  treated.  The  process  is  based  on  the value  of  temperature and  concentration on  the  boundary  as
in  technological  processes  in concrete. Th e solution  is based  on the appropriate functional  and  a  modified
direct  Ritz  m ethod  is  used.  Th e results  are represented  in the diagram  form.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia 21  maja 1987  roku.