Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\03mts88_t26_zeszyt_3.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3,  26  (1988)

MINIMALIZACJA  ZUŻ YCIA PALIWA W LOCIE NA  ZADANĄ   ODLEGŁOŚĆ

RYSZARD   MAROŃ SKI

Politechnika  W arszawska

Zagadnienie  minimalizacji  zuż ycia  paliwa  przez  samolot  w  locie  na zadaną   odległ oś ć,
mimo iż  upł ynę ło wiele lat  od jego  sformuł owania,  nie doczekał o się , jak  dotą d,  zadowa-
lają cego  rozwią zania.  W  pracy  wskazano  na  podstawową   trudność  polegają cą   na  tym,
że o ile dla  zał oż onej stał ej wysokoś ci  lotu pewne  sterowanie  z  klasy  funkcji  przedział ami
cią gł ych może speł niać warunki  konieczny  i  wystarczają cy  optymalnoś ci  n a  ł uku  osobli-
wym,  o tyle  dla  zmiennej  wysokoś ci  lotu  sterowanie  optymalne w  podanej  klasie  funkcji
może  nie  istnieć.  W  pracy  omówiono  niektóre  poję cia  teorii  sterowania  optymalnego,
dokonano  przeglą du  stosowanych  modeli  ruchu samolotu  i na tym tle wskazano,  na pod-
stawie  cytowanej  literatury,  gł ówne  kierunki  poszukiwań  rozwią zania  zadania.

Wykaz  waż niejszych  oznaczeń

A  —  punkt  począ tkowy,
B  —p u n kt  koń cowy,
C

x
  —współ czynnik  oporu  aerodynamicznego,

C*o — współ czynnik  oporu  aerodynamicznego  przy  zerowej  sile  noś nej,
C

s
  —współ czynnik  sił y  noś nej,

E  —  energia  wł aś ciwa  samolotu,  (energia  przypadają ca  na  jednostkę   cię ż aru)
g  —przyspieszenie  ziemskie,
H  —ham ilton ian ,
h  —wysokość  lotu  samolotu,
J  — wskaź nik  jakoś ci,
K  —współ czynnik  w  biegunowej  samolotu,
M  —m asa  samolotu,
m  —m asa  zuż ytego  paliwa,
P

s
  —  cią g  silnika,

P
x
  —o p ó r  aerodynamiczny,

P
z
  —  sił a  noś na,



542  R.  M AROŃ SKI

Q  —  współ czynnik  jednostkowego  zuż ycia  paliwa,
S  —  pole  powierzchni  pł ata,
t  —  czas,
u  —  wektor  sterują cy,
V  —  prę dkość  lotu,
x  —•  współ rzę dna  poziomego  poł oż enia samolotu,
x  —  wektor  stanu,
y  —  k ą t  t o r u  lo t u ,
r)  —  wsp ó ł c z yn n i k  wyk o r z yst a n i a  c ią gu  (P

s
  =   rjP

s

X  — w e k t o r  sp r z ę ż o n y,
Q  —g ę s t o ść  p o wi e t r z a ,
co  —fun kcja  fundamentalna  rozwią zania.

Znaczenie  indeksów:

(" )m
ax
 —  wartość  maksymalna,

(•  )min • — wartość  minimalna,
(')mo  —  wartość  odpowiadają ca  minimalnemu  oporowi,
( :  )  —  pochodna  wzglę dem  czasu,
(• )'  — pochodna,
(•  ) T  —  transpozycja  wektora.

1.  Wprowadzenie

Rozważ my  nastę pują ce  zagadnienie.  Samolot  porusza  się   w  pł aszczyź nie prostopad-
ł ej  d o  powierzchni  Ziemi. Rozpoczyna  swój  ruch w  zadanym  punkcie  pł aszczyzny  i ma
osią gnąć  inny  zadany  punkt  w  taki  sposób,  aby  zuż yć  najmniej  paliwa.  Czas  przelotu
nie  jest  z  góry  zadany.  Jak  widać  sformuł owanie  problemu n a  tym  etapie jest  mał o  pre-
cyzyjne.  Jego uś ciś lenie może nastą pić dopiero po dokonaniu wyboru  modelu ruchu samo-
lotu.  Omówieniu  stosowanych  modeli ruchu poś wię cono  rozdział  trzeci niniejszego  opra-
cowania,  przedtem jedn ak  (w  rozdziale  drugim)  omówiono wybrane  poję cia  teorii  stero-
wania  optymalnego. W  rozdziale  czwartym  pokazano,  dla  tego  samego  modelu  ruchu
samolotu,  ale  przy  róż nych  zał oż eniach odnoś nie stał oś ci wysokoś ci  lotu, że  rozwią zanie
zadan ia  może  bą dź  zawierać  ł uki  osobliwe,  bą dź  w  ogóle  nie  istnieć  w  klasie  sterowań
przedział ami  cią gł ych.  Rozdział  pią ty  zawiera  krótkie  omówienie  wyników  otrzymanych
przez  innych  autorów.

2.  Wybrane  poję cia  teorii  sterowania  optymalnego

N ajprostsze  zadanie  rachunku wariacyjnego  sformuł owane jest w  nastę pują cy  sposób:
poszukiwana  jest  taka  krzywa  opisana  funkcją   y(x)  przechodzą ca  przez wybrane punkty
A  i  B,  minimalizują ca  cał kowy  wskaź nik  jakoś ci  (funkcjonał ):



MIN IMALIZACJA  ZU Ż YCIA  P ALI WA...  543

J=  ffo(x,y,/ )dx,  (1)
A

w kt órym / 0( x, y, / )  jest znaną  funkcją   swoich  argumentów.  Funkcję  y(pc) moż na  wyzna-
czyć  rozwią zując  równanie  Eulera- Lagrange'a  [3, 4]:

dx  \   by'  I  8y

z  warunkami  brzegowymi:

y(x
A
)  =  yA,  y(x

B
)  =  y

B
.  (3)

Warunek  (2)  jest  warunkiem  koniecznym  ekstremum,  a  otrzymywany  jest  z  przyrów-
nania do zera  wariacji  funkcjonał u  (1). Równanie  (2) jest równaniem róż niczkowym  dru-
giego  rzę du,  zatem jego  rozwią zanie  zawiera  dwie  stał e  dowolne,  które  mogą   być  wyz-
naczone  z  warunków  brzegowych  (3).

W  szczególnym  przypadku  podanego  zagadnienia,  gdy  funkcjonał   jest  liniowy  ze
wzglę du  na  pochodną   y':

B

(4)
A

równanie  Eulera- Lagrange'a  degeneruje  się   do  nastę pują cego  równania  algebraicznego:

co(x,y)  =  0,  (5)

gdzie:

/   dip  dtp  , „

B

=   J

Funkcja  oi(x,y)  nazywa  się   funkcją   fundamentalną   rozwią zania  [11],  zaś  krzywa  y(x)
bę dą ca  rozwią zaniem  równania  (5) nazywa  się   ł ukiem osobliwym  (singular  arc). N a ogół
nie  jest  ona  rozwią zaniem  postawionego  zadania,  gdyż  nie  zawiera  stał ych  dowolnych
pozwalają cych  n a  speł nienie  warunków  (3).  D alszą   konsekwencją   jest  również  to,  że
inne  warunki  konieczne  nie  zachowują   tradycyjnej  postaci.

Klasyczny  rachunek  wariacyjny  nie  uwzglę dnia  ograniczeń  nał oż onych n a pochodną
»  ==   y',  to  jest  ograniczeń:

"m in  <  W  <  "max-   C O

Ich  uwzglę dnienie  moż na  uznać  za  istotny  wkł ad  współ czesnej  teorii  sterowania  opty-
malnego. D oł ą czenie ograniczeń  (7) do zagadnienia  opisanego funkcjonał em  (4) z warun-
kami  brzegowymi  (3)  w  istotny  sposób  zmienia  moż liwość  jego  rozwią zania.  Zdegene-
rowane  równanie  Eulera- Lagrange'a  (5) jest  warunkiem  koniecznym  optimum  jedynie
dla  tej  czę ś ci  krzywej  y(x),  dla  której  ograniczenia  (7)  nie  są   aktywne,  to  znaczy:

u
nln

<u<u
max

.  (8)

Moż liwe  jest  zatem  osią gnię cie  punktów  A  i  B  ekstremali  dla  u =   u
ml

„  lub  u  =   u
max

.
Oryginalną ,  bo  nie nawią zują cą   do metodyki  rachunku wariacyjnego,  metodę  rozwią -

zania zagadnienia z funkcjonał em liniowym ze wzglę du  na y',  podał  i zastosował  do  szeregu



544 R .  MAROŃ SKI

przypadków  Miele.  M etoda  ta  daje  warunki  konieczny  i  wystarczają cy  optymalnoś ci,
dlatego  też  zostanie  t u  przytoczona.

Zał óż my,  że  wszystkie  rozwią zania  dopuszczalne  zadania  zawierają   się   we  wnę trzu
krzywej  domknię tej :

oraz, że  punkty  począ tkowy  A  i  koń cowy  B leżą   n a  tej  krzywej

(9)

(10)

Zał óż my  pon adto, że  krzywa  co(x, y)  =   0 dzieli ten obszar na dwa  podobszary,  w których
zn ak co jest  okreś lony,  na przykł ad taki jak  n a rysunku  1. Obliczmy  teraz róż nicę  wartoś ci

, y)= o

R ys.  1. Obszar  rozwią zań  dopuszczalnych  (AH G KB —  krzywa minimalizują ca  funkcjonał )

funkcjonał u  (4) dla  dwóch  arbitralnie wybranych  trajektorii  ACGDB  i  AEGFB ł ą czą cych
punkty  A  i  B:

JACGDB—JAEGFB J  <pdx+y)dy—  j  (pdx  + rpdy  =J
ACGDB

J
AEGFB

j  <pdx+ipdy+  j  <pdx+fdy,  (11)
ACGEA

 (
 GDBFG

ską d,  p o  zastosowaniu  twierdzenia  G reena  otrzymamy:

- JAEGT B  =  ~fj  <»dxdy+  JJcodxdy, (12)

dzie  cu  ane jest  zwią zkiem  (6), zaś  «  i  /? oznaczają   obszary  ograniczane  odpowiednio
krzywymi  ACGEA  i  GDBFG. Jeż eli  w  obszarze  a  co <  0,  zaś  w  obszarze  /5 co  >  0,  to
wówczas:

'ACGDB  - "*  JAEGFB-
(13)



MIN IMALIZACJA  ZU Ż YCIA  P ALI WA...  545

Ze wzglę du na to, że  obie krzywe ACGDB i AEGFB moż na wybrać  dowolnie,  to moż na
powiedzieć,  że krzywa  AHGKB  minimalizuje  funkcjonał   (4). Szczegół y  dotyczą ce  innych
przypadków  znajdują   się  w pracy  [11],

W  teorii  sterowania  optymalnego  zadanie  minimalizacji  funkcjonał u  sformuł owane
jest w  sposób  nastę pują cy:  poszukujemy  w klasie  funkcji  przedział ami  cią gł ych  takiego
wektora  sterowania u(t)

«,„<„ < «( 0 ̂   u
max

,  (14)

aby  cał kowy  wskaź nik  jakoś ci:

tB

J=  ff
o
(x,u,t)dt  (15)

u
przy  ograniczeniach w postaci  równań  stanu

i  = / ( * , » ,  0  (16)

i  zadanych warunkach  brzegowych,  osią gał   minimum.  D o wyznaczenia  sterowania  opty-
malnego «* moż na posł uż yć się   warunkiem  koniecznym minimum funkcjonał u — zasadą
maksimum  Pontriagina.  W tym  celu  należy  poszukać  sterowania  maksymalizują cego
hamiltonian  zadania:

u*(t) =   arg  max  H(x,  a,k,i)  =

=   argmax  [- f
o
(x,  u, t) + Uf(x,  u, t)].  (17)

Wektor X nazywany jest wektorem sprzę ż onym z wektorem stanu x, albo inaczej  wektorem
mnoż ników  Lagrange'a.  Speł nia  on  równanie:

(Ze  wzglę du  na oczywiste  podobień stwo  do równań  mechaniki  analitycznej  równania
stanu  (16)  i  sprzę ż one  (18)  nazywane  są  także  równaniami  kanonicznymi  H amiltona).
Rozwią zanie  zadania  sterowania  optymalnego  polega  n a  rozwią zaniu  zagadnienia  brze-
gowego  dla  równań  stanu  (16)  i  równań  sprzę ż onych  (18)  przy  sterowaniu  wyznaczo-
nym  zwią zkiem  (17). We  wnę trzu  zbioru  sterowań  dopuszczalych  zwią zkowi  (17) odpo-
wiadają   warunki:

4 1 ^ ° -
Pierwszy  z  nich, po  rozwikł aniu ze wzglę du  na  wektor  sterowania,  pozwala  zwykle n a
wyznaczenie  sterowania  optymalnego  «*, drugi  zaś  oznacza,  że  macierz  drugich pochod-
nych  hamiltonianu wzglę dem  wektora  sterowania  ma być  ujemnie  okreś lona.  Jest to tak
zwany  silny  warunek  Legendre'a- Clebscha.  Jeż eli  macierz t a jest  ujemnie  pół okreś lona
to  mówimy,  że speł niony jest  sł aby  warunek  Legendre'a- Clebscha.

Postać  zasady  maksimum  danej  zwią zkiem  (17)  pozwala  na  nastę pują cą   interpretację
geometryczną   [12,  18].  U twórzmy  zbiór  prę dkoś ci  uogólnionych:

V(x,  t) =  {f{x,  u, 0, / o ( *. «, 0 : « e <u
mi

„, u
max

y},  (20)



546 R .  MAROŃ SKI

jako  zbiór  miejsc  geometrycznych  koń ca  wektora  {/ (*,  u, t),  f
o
(x,  u,  t)}  przy  ustalo-

nych  x  i  t,  podczas  gdy  u  zmienia  się   wewną trz  cał ego zbioru  sterowań  dopuszczalnych
(Mmin,  u

max
y.  Zasada  maksimum  wyraża ż ą danie, aby  w  każ dej  chwili  czasu  rzut  wektora

OK  n a  kierunek  rozszerzonego  wektora  sprzę ż onego  I  =  {k, — 1}  był   maksymalny
(punkt  L   n a  rys.  2a). P unkt Z.  odpowiadają cy  rozwią zaniu  optymalnemu może być inter-
pretowany jako  punkt  wspólny  hiperpł aszczyzny  A  stycznej  do  zbioru  prę dkoś ci  uogól-
nionych i  tego  zbioru.  Wektor  sprzę ż ony  1 jest  wtedy  wektorem  normalnym do tej hiper-
pł aszczyzny.

Rozważ my  nastę pują ce  sytuacje:
1°  —  Z biór prę dkoś ci uogólnionych V jest  wypukł y  i ma on z hiperpł aszczyzną  A  w danej
chwili  czasu  jeden  punkt  wspólny.  Rozwią zaniu  optymalnemu  odpowiada  punkt  L
wykresu  (rys.  2a).

Rys.  2.  Wypukł y  zbiór  prę dkoś ci  uogólnionych

2°  —  Z biór  prę dkoś ci  uogólnionych  V jest  wypukł y  i ma  on z  hiperpł aszczną  A  nieskoń-
czenie wiele punktów  wspólnych.  Niech. VA oznacza przecię cie  zbiorów  Vi  A  (na rys. 2b
odcinek  MN ).  V

A
  jest  zbiorem wypukł ym  z  zał oż enia wypukł oś ci  zbioru^F . Ż aden punkt

A.

Rys.  3.  N iewypukł y  zbiór  prę dkoś ci  uogólnionych



MIN IMALIZACJA  ZU Ż YCIA  P ALI WA...  547

zbioru V
A
 nie jest wyróż niony — zasada maksimum w swojej  podstawowej  wersji  zawodzi.

Sterowanie  odpowiadają ce  punktom  zbioru  V
A
  jest  osobliwe.

3° — Zbiór prę dkoś ci  uogólnionych V nie jest wypukł y  (na rys. 3 krzywa MPN ),  wówczas
moż na go uczynić wypukł ym w sposób  sztuczny  zastę pując  ten zbiór  najmniejszym  zbio-
rem  wypukł ym  go zawierają cym  (odcinek  MN  n a rys.  3). Może wówczas  dojść  do  poje-
dynczego  przeł ą czenia sterowania  pomię dzy  punktami M i JV, może  być jedn ak  wygene-
rowany  stan  należ ą cy  do owego  uzupeł nienia zbioru,  który  sam do zbioru  V n ie  należ y,
a  otrzymywany  jest  w  wyniku  nieskoń czenie  czę stych  przeł ą czeń  sterowania  pomię dzy
punktami  zbioru  V (punktami M i N  n a rys.  3). Sterowanie  odpowiadają ce  takiej  sytuacji
bę dziemy  nazywali  sterowaniem  uogólnionym  (chattering  control).

Przytoczone przykł ady wskazują , że istotną  ze wzglę du n a istnienie rozwią zania  w kla-
sie  sterowań  przedział ami  cią gł ych  wł asnoś cią   zadania  jest  wypukł ość  zbioru  prę dkoś ci
uogólnionych.  Faktycznie  znajduje  to  potwierdzenie  w  twierdzeniu  egzystencjalnym
(porównaj  [8], str. 284). Rozwią zanie  zadania istnieje  również w przypadku  szczególnym,
gdy  hamiltonian liniowo  zależy  od sterowania  (porównaj  [8], str.  288).

Jeż eli  hamiltonian jest  liniowo  zależ ny  od sterowania,  to na ł uku  osobliwym  (przy-
padek  2°) pochodna  hamiltonianu wzglę dem  sterowania  znika  toż samoś ciowo.  Istotnie,
rozważ my  funkcjonał   w postaci  (4), to jest:

ta

J  =  f  [<p(t,  x)  + yj(t,  x)  u] dt,  (21)
u

z  nastę pują cym  równaniem  stanu:

i—y- n.  (22)

H amiltonian  ma wtedy  postać:

i / =   - <p(t,x)- ip(t,x)u+Au.  (23)

D la  zmiennej  sprzę ż onej:

l  = y{t,x)  (24)

hamiltonian  nie  zależy  od  sterowania  (jego  pochodna  wzglę dem  sterowania  znika)
Po  wykorzystaniu  (22) otrzymujemy  nastę pują cą   zależ noś ć:

dt  ~  dt
  +

  dx  dt  dt
  +

  8x

Zmienna  sprzę ż ona  X speł nia również  równanie (18):

dt  dx  8x
  +

  8x

Odejmują c  stronami  równania  (25) i  (26)  mamy:

czyli  otrzymaliś my  równanie  ł uku  osobliwego  (porównaj (5)).

( 2 6 )



548  R .  M AR OI QSK I

Sterowanie  n a  ł uku  osobliwym,  dla  hamiltonianu liniowo  zależ nego  od  sterowania,
moż na  wyznaczyć  z  warunku,  ż e-   dH(du  jest  toż samoś ciowo  równe  zeru.  Otrzymujemy
wtedy  cią g  warunków  (porównaj  [12, 20]):

M imo, że w  pierwszym  waj- unku  (28) pochodna dH/ du nie zależy  od sterowania, to zależy
od  (x, X,  t),  a zatem jej  kolejne pochodne wzglę dem  czasu  mogą  jawnie zawierać  sterowa-
nie poprzez  zwią zki  (16)  i  (18). N ależy jednak  pamię tać, że  n a  ł uku  osobliwym  warunek
konieczny  Legendre'a- Clebscha  speł niony jest  jedynie  w  sł abej  postaci,  dlatego  trzeba
go  badać  oddzielnie  (porównaj  [12,  18]).

3.  Modele  ruchu samolotu

W  niniejszym  rozdziale przedstawiono  stosowany  przez autora  [9] model ruchu samo-
lotu  traktowanego  jak  pun kt materialny  oraz  pokazano  przy  jakich  dodatkowych  zał o-
ż eniach  upraszczają cych,  moż na  z  tego  modelu  otrzymać  model  najprostszy,  tak  zwany
model energetyczny  [13]. Wszystkie modele ruchu badane w cytowanej  literaturze mieszczą
się  w  podanym przedziale, chociaż, z uwagi na rozmaitość zał oż eń upraszczają cych  poczy-
nionych  przez  ich  autorów,  trudno  omawiać  każ dy  z  nich  oddzielnie.  M odel  energe-
tyczny  bę dzie  natomiast  wykorzystany  w  rozdziale  4.

Z akł adamy,  że  samolot  ma  stale  zachowaną   równowagę   momentów  podł uż nych
i jest  traktowany jak  pun kt materialny poruszają cy  się  w pł aszczyź nie pionowej  wzglę dem
pł askiej  powierzchni  nieruchomej  Ziemi. Zakł adamy ponadto, że  wektory  cią gu  P s  oraz
prę dkoś ci  lotu  V są   współ liniowe.  Siły dział ają ce n a samolot przedstawiono  na rysunku  4.

R ys.  4.  Sił y  dział ają ce  n a  samolot

Z  twierdzenia  o  pochodnej  pę du  wzglę dem  czasu  otrzymujemy  (porównaj  [9]):

dV

Q-

(29)

(30)



MIN IMALIZACJA  ZU Ż YCIA  P ALI WA...  549

Powyż szy  ukł ad  równań  uzupeł niają  dwa zwią zki  kinematyczne:

~ =   Psiny,  (31)

dx
- ft  = V^sy,'  (- 32)

oraz  zakł adają c, że zmiana  masy  nastę puje  tylko  w wyniku  spalania  paliwa,  równanie
zmiany  masy  samolotu:

™= - nQ.  03)

Sił a noś na P
z
 i  opór P

x
 są funkcjami  prę dkoś ci  V, wysokoś ci  lotu h oraz ką ta natarcia,

a  współ czynnik jednostkowego  zuż ycia  paliwa  Q  zalety  od prę dkoś ci  i  wysokoś ci  lotu.
Równania  ( 29) - H ( 33) tworzą  ukł ad równań stanu  (16). Zmiennymi stanu są  wielkoś ci

stoją ce  pod znakiem pochodnej,  zaś zmiennymi sterują cymi  te  wielkoś ci,  które  nie dadzą
się  wyrazić  jako  funkcje  zmiennych stanu i czasu.  Wskaź nikiem  jakoś ci  jest  masa  zuż y-
tego  paliwa  w  chwili  koń cowej  m{t^ ), gdzie:

t

m ( 0 =   fvQdtl  m{t
A
)^ Q.  (34)

u
Zamiast  tego  zwią zku  wygodniej  posł ugiwać  się  równaniem:

£- ,0.  '  (35)
z warunkiem począ tkowym  m{t

A
)  =  0. (Zachodzi oczywisty  zwią zek  mię dzy  masą  samo-

lotu  M a  masą  zuż ytego  paliwa  m:  M(t)  =   M(t
A
)—m(t)).

W  sformuł owanym  zadaniu  zmienne  stanu  w  chwili  począ tkowej  t
A
  są  okreś lone,

natomiast  w chwili  koń cowej  t
B
  mogą  być ustalone lub dowolne.  Zasięg  lotu  (x

B
 — x

A
)

jest  zadany, czas  przelotu  (t
B
— t

A
)  nie jest z góry  znany i wynika  z rozwią zania  zadania.

Z  uwagi  na to, że równania  stanu są  autonomiczne, zaś cał kowanie równań róż niczko-
wych  najlepiej  przeprowadzać w  znanym  przedziale  zmiennej  niezależ nej,  zamiast  czasu
t  wprowadza  się zwykle  nową  zmienną  niezależ ną  x  wykorzystując  równanie  (32).  (Za-
gadnieniem  analogicznym  do  rozważ anego  jest  zadanie  maksymalizacji  zasię gu  lotu,
wówczas  wygodnie jest za zmienną niezależ ną  uważ ać  zuż yte  paliwo, którego  ilość  prze-
znaczona  na przelot jest  z  góry  znana).

Uproś cimy  teraz  równania  ruchu  samolotu  (29) - h (33)  otrzymując  tak zwany  model
energetyczny. Wprowadzamy  w tym celu nową  zmienną  stanu — energię  wł aś ciwą  samo-
lotu  okreś loną  zwią zkiem

E^ h  + ^ - .  (36)

Róż niczkując  ten zwią zek  wzglę dem  czasu, po uwzglę dnieniu  (31) mamy:

dE  ...  V dV (37)



550  R.  M AROŃ SKI

P o  wyznaczeniu  z  tego  równania  dVJdt  i wstawieniu  do równania  (29)  otrzymujemy:

Mg  tdE

ską d:

,
(
  -   F sin y\   =  r]P

smax
- P

x
- Mgsiny,  (38)

(P  P)  (39)

Jest t o  najprostsze  równanie róż niczkowe  opisują ce  dynamikę  .samolotu. Wyraża  ono fakt,
że  róż nica  mocy  dostarczanej  do  ukł adu i  mocy  traconej  na  skutek  dyssypacji jest  równa
przyrostowi  energii  tego  ukł adu, stą d  też  nazwa  modelu  opisywanego  tym  równaniem  —
model  energetyczny.  Ruch samolotu  opisany jest wtedy  równaniami  (39), (36)  oraz  zwią z-
kami  otrzymanymi  z zależ noś ci  (30)  i  (32)  przy  zał oż eniu, że  dy/ dt  a  0  i,  że  ką t  pochy-
lenia  trajektorii  y  jest  mał y:

P,  =  Mg,  '  .  (40)

dx
dt

-   V.  (41)

Energetyczny  model  ruchu  samolotu  nie  wymaga  aby  prę dkość  V  i  wysokość  lotu  h
był y  cią gł ymi  funkcjami  czasu.  Obie  te funkcje  mogą   doznawać  niecią gł oś ci  pod  warun-
kiem,  że  energia  wł aś ciwa  E jest  cią głą   funkcją   czasu.  Wł asność  ta  odgrywa  istotną   rolę
w  zagadnieniu  rozpę dzania  z  jednoczesnym  nabieraniem  wysokoś ci  [13].

4.  Rozwią zanie  zadania  dla  modelu  energetycznego

Celem niniejszego  rozdział u jest pokazanie, że dla  energetycznego  modelu ruchu samo-
lotu  przy  zał oż eniu stał ej  wysokoś ci  lotu  moż na  wzglę dnie  prosto  otrzymać  rozwią zanie
optymalne  metodą   Mielego.  Rozwią zanie  to  zawiera  ł uk osobliwy  odpowiadają cy  lotowi
ustalonemu,  co jest  zgodne  z  intuicją   i praktyką .  Odstą pienie  od  zał oż enia o  stał ej wyso-
koś ci  lotu  prowadzi  do  zaskakują cego  wniosku.  N ie tylko  otrzymane poprzednio rozwią -
zanie  nie jest  optymalne, rozwią zanie  zadania może w  ogóle  nie istnieć  w klasie  sterowań
przedział ami  cią gł ych.

Przy  zał oż eniu, że lot  samolotu  o stał ej masie  M  odbywa  się   na stał ej wysokoś ci  (h =
=   const.)  równania  (39)  i  (35)  po  wykorzystaniu  (41)  przybierają   postacie:

(4 2 )

(4 3 )

dx

dm

Z agadnienie  minimalizacji  zuż ycia  paliwa,  dla  zadanych  warunków  brzegowych:

E
A
,  E(x

B
)  =  E

B
,  m{x

A
)  =  0,  (44)



MIN IMALIZACJA  ZU Ż YCIA  P ALI WA...  551

moż na  sprowadzić  do  zagadnienia  minimalizacji  cał ki  liniowej:
B  B

m(pe
B
) =   j  ~=- dx=  f

  V
(V)dV+<p(V)dx,  (45)

A  A

gdzie  funkcje  ip{V) i  cp(V)  moż na  okreś lić  wyznaczając  ?j  ze  wzoru  (42),  wtedy:

Postać  funkcjonał u  (45) jest  analogiczna  do  postaci  danej  wzorem  (4).  Przyjmują c,  że
biegunowa  samolotu  dana jest  w  klasyczny  sposób:

(47)

po  wykorzystaniu  (40)  z  drugiego  warunku  (46)  otrzymujemy:

*smax  *smax
y

gdzie:

C,  =   0.5QSC
X0

 ,  C
2
  -   i ^ £ .  (49)

Przy zał oż eniu, że  P s m a K ,  Q,  Ct,  C2  nie zależą  od prę dkoś ci  lotu, funkcja  fundamentalna
rozwią zania  (6)  ma  postać:

Po  przyrównaniu  jej  do  zera  otrzymujemy  rozwią zanie  optymalne  n a  ł uku  osobliwym

/ " I p r ' .  const,  (51)

Z  powyż szego  warunku  oraz  z  równania  (42)  wynika,  że  na  ł uku  osobliwym  trajektorii
optymalnej  ciąg  poś redni  silnika  stale  równoważy  opór  aerodynamiczny  sam olotu:

G ranice  obszaru  rozwią zań  dopuszczalnych  n a  pł aszczyź nie  (x, V)  wyznaczają  krzywe
poprowadzone z punktów  począ tkowego  i  koń cowego,  a  otrzymane ze  scał kpwania  rów-
nania  (42)  dla  7]  =  0  i  y\  — 1.

Przykł adowe  rozwią zanie  zagadnienia  dla  samolotu  klasy  TU- 134A  zawiera  rys.  5.
Skł ada  się  ono  z  trzech  odcinków:  skrajnych,  na  których  ciąg  jest  minimalny  P

s
  — 0

i  ś rodkowego,  gdzie  ciąg  ma  wartość  poś rednią.
Odstą pienie  od  zał oż enia o  stał ej  wysokoś ci  lotu  prowadzi  do  istotnych  komplikacji.

Metody  Mielego  nie  moż na  zastosować,  co  wię cej,  nabiera  znaczenia  kwestia  istnienia
rozwią zania  w  klasie  sterowań  przedział ami  cią gł ych.  Twierdzenie  egzystencjalne  (patrz
[8] str.  284)  wymaga  bowiem,  aby  zbiór  prę dkoś ci  uogólnionych  był  wypukł y.  D la  ener-
getycznego  modelu ruchu samolotu warunek ten nie jest speł niony, na co zwrócono uwagę
w  pracy  [19].



552 R .  MAROŃ SKI

V[m/ s]<

240

220

200

180

160

140

x

—
-

 ̂ \
v  u> < 0

xX  00 = 0  ,PS
\

\

•   1  1   '

\

x
x7co> 0  /

/

\   / J-
\  /«*• *•

X  «... 1  1 .  —1—»-
0  10  20  30  X £ k m ]

R ys.  5.  Rozwią zanie zagadnienia  dla  stał ej  wysokoś ci  lotu

Pokaż emy  teraz,  że  uzyskane  poprzednio  sterowanie,  w  przypadku  gdy  wysokość
lotu  może  być  zmienna, nie jest  optymalne.  Lepsze  od  niego jest  sterowanie  uogólnione.

Rozważ my  ruch  samolotu  opisany  modelem  energetycznym.  Równania  tego  modelu
po  zmianie  zmiennej  niezależ nej,  są  nastę pują ce  (porównaj  zwią zki  (39),  (35),  (40),  (41),
(36)):

?
—-   -   W  -   (r,Psnax~Px)JMg,

~

P.  -   Mg,

.  ,  V2

(53)

(54)

(55)

(56)

M inimalizowana  jest  masa  zuż ytego  paliwa  m(x
B
)  przy  warunkach  brzegowych  (44),

przy  czym  dla  ustalenia  uwagi  przyjmujemy,  ż e:

E(x
A
)  =  E(x

B
)  =  E

0
.  (57)

Biegunowa  samolotu  opisana jest zależ noś cią  (47), zaś  o wielkoś ciach  P
smax

,  Q,  Q, C
X0

,  K,
podobn ie  jak  poprzednio  zakł adamy,  że  są  stał e.  D okonamy  zamiany  zmiennych  w po-
dany  w  pracy  [6]  sposób:

(58)

(59)

gdzie  (PJPx)
max

  jest  doskonał oś cią  maksymalną  przy  speł nionym  warunku  (55):

m
«

x
  -   MglP

xmo
,  (60)



MIN IMALIZACJA  ZU Ż YCIA  P ALI WA... 553

Pxmo jest minimalnym oporem przy  speł nionym  warunku  (55),  V
m0

  jest  prę dkoś cią   lotu
przy  jakiej  wystę puje  opór  minimalny  P

xmo
  zaś p  =  P

snax
/ P

xmo
.  P o  wykonaniu  prostych

przekształ ceń  równania  (53),  (54)  przybierają   postacie:

(61)

m'  =   rjpju,  (62)

gdzie  u jest  prę dkoś cią   bezwymiarową   u  =   VjV,„
0
.  Po wyeliminowaniu  u  z  równań  (61)

i  (62)  mamy:

E'  =   a- 0.5[(<yjmy  + (m'/ a)2] =f(m',  a),  (63)

gdzie  a  =   rjp  (0  ^  a  ^  p).
D la  wybranego  samolotu  i  ustalonych  współ czynników  wykorzystania  cią gu  r\  e

e <0,  1> równanie (63) przedstawia  rodzinę  krzywych  pokazanych n a rys. 6. Zakreskowana

- 4  - 2  U   0  2  4  g'

Rys.  6.  D yskusja  rozwią zania  zagadnienia  dla  zmiennej  wysokoś ci  lot u

czę ść  wykresu  reprezentuje  zbiór  prę dkoś ci  uogólnionych.  Równanie  (63)  nie  zależy "
od czasu  ani od współ rzę dnej  poziomego poł oż enia samolotu x, zatem otrzymany  z niego
wykres jest  sł uszny  w  róż nych  chwilach  czasu.  Odcinek  RU  wykresu  odpowiada  lotowi
szybowemu,  gdyż dla  m'  =  0  z  równania  (62) wynika,  że  rj =  0.  P unkt  U  o  współ rzę d-
nych  (—1, 0)  odpowiada  lotowi  szybowemu  na  takim  ką cie  natarcia, że  opór jest  mini-
malny,  wtedy  z  równania  (61)  wynika,  że  u  =   1.  Krzywa  UCD  jest  obwiednią   rodziny
krzywych  danych równaniem (63), przy czym a zmienia się  od 0 do p.  D la typowych samo-
lotów  zbiór  prę dkoś ci  uogólnionych  (zakreskowany  obszar  n a  rys.  6)  nie  jest  wypukł y,
co pocią ga  za  sobą   istotne  nastę pstwa.  Lot  ustalony  E'  =  0  speł nia  warunki  brzegowe
E(

X
A)  = E{x

B
)  —  odpowiada  mu punkt  C wykresu.  P unkt G  pozwala jedn ak  n a zmniej-

szenie  zuż ycia  paliwa,  gdyż  odpowiadają ca  mu wartość  fh'  (a wię c  ilość  zuż ytego  paliwa
na  jednostkę   odległ oś ci)  jest  mniejsza.  Sterowanie  odpowiadają ce  temu  stanowi  może
być  wygenerowane  w  wyniku  nieskoń czenie  czę stych  przeł ą czeń cią gu  pomię dzy  pun kta-
mi  U  (rj =  0) i  D  (?7 =   1), zatem  lot  ustalony  dla  przyję tego  modelu  ruchu  samolotu
nie jest  optymalny,  co  wię cej  optymalne  sterowanie  cią giem  może  nie  należ eć  do  klasy
funkcji  przedział ami cią gł ych.

10  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/ 88



554  R.

5.  Uwagi  o  rozwią zaniach  zadania

Przedstawiony  w  rozdziale  4  przykł ad  wskazuje  na  to,  że  do  zadania  minimalizacji
zuż ycia  paliwa  należy  podchodzić  dość  ostroż nie.  Znajduje  to  odzwierciedlenie  w  cyto-
wanych opracowaniach tematu. D ość wcześ nie  zauważ ono  bowiem,  że  rozwią zanie  zada-
nia  powinno  uwzglę dniać  hiki  osobliwe,  gdyż  wystę powały  one  w  podobnych  zagad-
nieniach  dotyczą cych  lotu  rakiet  w  atmosferze.  Zadania  takie  z  powodzeniem  rozwią -
zywał   M iele  opracowaną   przez  siebie  metodą   już  pod  koniec  lat  pię ć dziesią tych  (prace
te  został y  zebrane  w  publikacji  [11]).  M etoda  ta,  choć  bardzo  skuteczna,  stosunkowo
rzadko  może  być  stosowana,  gdyż  dotyczy  jedynie  funkcjonał ów  w  postaci  (4). D opiero
rozwój  m etod  współ czesnej  teorii  sterowania  optymalnego  dostarczył   narzę dzi  pozwala-
ją cych  na  dalsze  badanie  problemu.  Już  w  1971  roku  podano  wynik  badania  zbioru
prę dkoś ci  uogólnionych  dla  energetycznego  modelu  ruchu  samolotu  F4  [19]. Zbiór ten
nie jest  wypukł y,  a  co  z  tego  wynika,  lot  ustalony  nie jest  optymalny.  Lepszy  od  niego
jest lot ze sterowaniem  uogólnionym  cią giem.  Jedynie  dla  dystansów  lotu n a  tyle krótkich
aby  lot  ustalony  w  ogóle  nie wystę pował,  optymalna trajektoria  skł ada się   ze  wznoszenia
n a  peł nym  cią gu  i  lotu  szybowego.  Warto  w  tym  miejscu  zaznaczyć,  że  sterowanie prze-
ł ą czne  o  czę stoś ci  przeł ą czeń na tyle  duż ej,  aby  moż na je  był o uznać za  przybliż enie  ste-
rowania  uogólnionego,  nie jest realizowalne  praktycznie. Zmiana obrotów  współ czesnego
silnika  lotniczego  wymaga  kilkunastu  sekund,  nie  mówią c  już  o  kwestiach  trwał oś ci
sprzę tu i komfortu  lotu. Te wzglę dy zapewne  sprawił y, że autorzy  opracowania  [19] w dal-
szych  swoich  pracach poszukiwali  takiego  modelu ruchu samolotu, dla którego  trajektoria
optymalna  był aby  zbliż ona  do  stosowanej  w  praktyce.  W  artykule  [14], dla  energetycz-
nego  modelu  ruchu wzbogaconego  o  równanie  (31), pokazali  oni, że  sterowanie  poś red-
nie  cią giem  dla  warunków  lotu  ustalonego  może  być  optymalne  n a  ł uku  osobliwym.
Sterowanie  to  speł nia wówczas warunki  (28). Powyż szy  rezultat  został   podważ ony  przez
Speyera  [16], który  wykazał ,  że rozwią zanie  ustalone nie  speł nia warunków  koniecznych
Legendre'a- Clebscha.  W  kolejnym  artykule  polemicznym  [15]  Schultz  pokazał , że  dla
modelu ruchu z pracy  [14] wzbogaconego  o równanie  (30) sterowanie  na ł uku osobliwym,
odpowiadają ce  warunkom  lotu  ustalonego,  speł nia  warunki  Legendre'a- Clebscha.  Jed-
nakże i ten rezultat został  podważ ony.  W  artykule  [17] Speyer  wykazał , że dla  przyję tego
przez  Schultza  modelu  ruchu  samolotu  lot  ustalony  nie jest  optymalny  dla  dostatecznie
dł ugich  czasów  lotu  (powyż ej  2.8  min.).  Warunek  konieczny  Jacobiego  nie jest  wtedy
speł niony.  Speyer  wykluczył   również  sterowanie  uogólnione jako  nie  optymalne. Mimo,
iż  cytowana  praca  nie  zawiera  metody  wyznaczenia  sterowania  optymalnego,  jej  autor
pokazał ,  że  sterowanie  okresowe  cią giem  i  sił ą   noś ną   powoduje  zmniejszenie  wskaź nika
jakoś ci  w  porównaniu  z  lotem ustalonym. Zysk  ten nie jest jednak  duż y,  nie przekracza
bowiem  pół  procenta.  Tak  wię c  poszukiwania  modelu  ruchu  samolotu,  dla  którego  lot
ustalony  okazał by  się   optymalny  nie  zakoń czyły  się ,  jak  dotą d,  powodzeniem.

Wydaje  się ,  że  prace  dotyczą ce  sformuł owanego  zadania  moż na  podzielić  na  dwie
gł ówne  grupy:

—  pierwsza,  stara  się   oszacować  ile  moż na  zaoszczę dzić  paliwa  stosują c  sterowanie
uogólnione  lub  sterowanie  okresowe  [5, 6, 17]:

—  druga,  kierują c  się   wzglę dami  praktycznymi,  poszukuje  rozwią zań  suboptymal-



MIN IMALIZACJA  ZU Ż YCIA  P ALI WA...  555

nych  otrzymanych  w  wyniku  zał oż enia, że  rozwią zanie  istnieje  w  klasie  sterowań  prze-
dział ami  cią gł ych  z  uwzglę dnieniem  ł uków  osobliwych  [9]  (co  w  ś wietle  przytoczonych
rozważ ań  nie jest  zupeł nie pewne), bą dź  zał oż eń równoważ nych:  o  stał oś ci ką ta  natarcia
[7],  o  stał oś ci  wysokoś ci  lotu  [1]  lub  o  równoś ci  oporu  aerodynamicznego  i  cią gu  [2]
n a  odcinku  trajektorii  odpowiadają cemu  lotowi  ustalonemu.

Jeż eli  idzie  o  pierwszą   grupę   prac  to  najpeł niejsze  oszacowanie  oszczę dnoś ci  zuż ycia
paliwa  dla  modelu  energetycznego  moż na  znaleźć  w  pracy  [6].  Sterowanie  uogólnione
w  porównaniu  ze  sterowaniem  odpowiadają cym  lotowi  ustalonemu  daje  oszczę dnoś ci
zależ ne  od  parametru p  =  P

sm
axlPxmo  i  są   one tym  wię ksze im wię kszy jest  ten  stosunek

(a  wię c  dla  samolotów  o duż ym  nadmiarze cią gu  w  lotach na niewielkich  wysokoś ciach).
W  skrajnych  przypadkach,  dla  nowo  projektowanych  samolotów,  zysk  ten  może  się gać
30%.  D la  istnieją cych  samolotów w lotach na duż ych wysokoś ciach  zysk ten nie przekracza
kilku  procent,  co jest  wielkoś cią   porównywalną   z  bł ę dami wskaź nika  jakoś ci  wynikają -
cymi  z  uproszczeń  modelowych.

Jeś li  idzie  o drugą   grupę   prac to  na uwagę   zasł uguje  praca  [1] ze  wzglę du  n a  prostotę
stosowanej  tam metody, a  co  za  tym idzie,  na szybkość  wykonywania  obliczeń,  co w  za-
stosowaniach  praktycznych  ma  istotne  znaczenie  [10].

6.  Uwagi  koń cowe

W  pracy  pokazano, że  dla  tego  samego  energetycznego  modelu  ruchu  samolotu, ale.
przy  róż nych zał oż eniach odnoś nie stał oś ci wysokoś ci  lotu, rozwią zania  zadania minima-
lizacji  zuż ycia  paliwa  mogą   być jakoś ciowo  róż ne. Przy  zał oż eniu, że  lot  odbywa  się   n a
stał ej wysokoś ci,  rozwią zanie  ustalone  (V  =  const., r\   =   const.) speł nia warunki  konieczny
i  wystarczają cy  optymalnoś ci,  wynik  ten jest  zgodny  zarówno  z  twierdzeniem  egzysten-
cjalnym  (patrz  [8], str.  288) jak  i  z  intuicją .  P róba  uogólnienia  otrzymanego  wyniku  n a
przypadek  zmiennej  wysokoś ci  lotu  może  prowadzić  d o  bł ę du,  gdyż  nie  są   speł nione
zał oż enia  twierdzenia  egzystencjalnego  o  wypukł oś ci  zbiorą   prę dkoś ci  uogólnionych
(patrz  [8], str.  284).  Sterowanie  uogólnione jest  wtedy  lepsze  od  sterowania  ustalonego,
co  nie jest  zgodne  ani  z  intuicją ,  ani  ze  stosowaną   praktyką .  Bardziej  zł oż one  modele
ruchu  samolotu  wymagają   dalszych  badań  charakteru  rozwią zania  zadania.

Literatura

1.  J. F .  BARMAN ,  H .  ERZBERG ER,  Fixed- Range  Optimum  T rajectories for  Short- Haul  Aircraft,  J.  of  Air-
craft,  Vol.  13,  N o .  10,  Oct.  1972.

2.  A.  J.  CALISB,  Extended  Energy  Management  Methods  for  Flight  Performance  Optimization,  AI AA
Journ al,  Vol.  15, N o .  3,  M arch  1977.

3.  L. E .  ELSG OŁC,  Rachunek  wariacyjny,  P WN , Warszawa  1960.
4.  I . M .  G ELF AN D ,  S. W.  F OM I N , Rachunek  wariacyjny, P WN , Warszawa  1972.
5.  E . G .  G ILBERT,  M . G . PERSON S, Periodic  Control and the  Optimality  of  Aircraft  Cruise, J .  of  Aircraft,

Vol.  13,  N o . 10,  Oct.  1976.
6.  S.  C.  H OU LIH AN , E. M .  C LI F F , H . J .  KELLEY,  Study of  Chattering  Cruise,  J . of  Aircraft,  Vol.  19, N o .  2,

F eb.  1982.

10*



556  .  R .  MAROŃ SKI

7.  E .  LAR G E ,  Minimum  Fuel Paths for  a Subsonic  Aircraft, J.  of  Aircraft,  Vol.  18, N o . 5, M ay 1981.
8.  E . B.  L E E ,  L.  M AR K U S,  Foundations  of  Optimal  Control  T heory  (wydanie  rosyjskie),  N auka,  Moskwa

1972.
9.  R .  M AR O Ń SK I, W.  ŁU CJA,N EK, Optymalizacja trajektorii samolotu w locie na zadaną  odległ oś ć , Archiwum

Budowy  M aszyn,  T o m  XXVI,  zeszyt  2,  1979.
10.  R .  M AR O Ń SK I,  Praktyczne  wyznaczanie optymalnych  warunków  lotu samolotu, M ateriał y XXV  Symp.

„ M odelowan ie  w  M ech an ice", Kudowa  marzec  1986.
11.  A.  M I E L E ,  Extremization  of  L inear  Integrals  by  Green's  T heorem,  w  zbiorze  Leitman  G .  (editor):

Optim ization  Techniques with  Applications  to  Aerospace  Systems, Academic  Press, N ew  York  1962.
12.  H . M .  R OBBI N S,  A  Generalized L egendre- Clebsch Condition  for  the  Singular  Cases of  Optimal Con-

trol,  IBM  Journ al,  July  1967.
13.  E .  S.  R U T O WSK I ,  Energy  Approach  to  the  General Aircraft  Performance Problem,  J.  of  Aeronautical

Sciences,  M arch  1954.
14.  R .  L.  SC H U LT Z ,  N . R .  ZAG ALSKY,  Aircraft  Performance Optimization,  J.  of  Aircraft,  Vol.  9,  N o . 2,

F eb.  1972.
15.  R .  L.  SC H U LT Z , Fuel Optimality  of  Cruise,  J .  of  Aircraft,  Vol.  11, N o . 9, Sept.  1974.
16.  J.  L.  SF EYER,  On  the Fuel Optimality  of  Cruise,  J.  of  Aircraft,  Vol.  10, N o . 12, D ec. 1973.
17.  J.  L.  SP EYER,  N onoptimality  of  the  Steady- State  Cruise for  Aircraft, AIAA  Journ al, Vol.  14, N o . 11,

N ov.  1976.
18.  N . X.  VI N H ,  Optimal  T rajectories in  Atmospheric Flight, Elsevier,  Amsterdam  1981.
19.  N . R .  Z AG ALSKY,  R. P .  IRON S, R .  L.  S C H U L T Z ,  Energy  State  Approximation and  Minimum- Fuel

Fixed- Range  T rajectories,  J.  of  Aircraft,  Vol.  8,  N o .  6,  June  1971.
20.  B.  T .  3JIAU ,KH H 3  B.  H .  KH *OP EH KO,  OnmuManbHue  mpaemnopuu  c  cuwyjinpHbuiu  dysaMU,  ABTO-

H   TeneMexaHHKaj  123  1974.

P  e 3 io  M  e

M H H H M AJIH 3AU H H   PACXOflA  TOID IH BA  B  nOJIETE IIO  3A# AH H OM  PACCTOJIHHH

3an ayaM H H KM ajiH 3am iH pacxoH aTon jiH Ba  caM on&ra  B n on &re n o 3aflaimoM   paceroH H H H ,  XOTH   n p o u i-
JIO  lvmoro  J i e i  OT eił  (J)opMyjiHpoBKH 3  H e n a n u i a  RO  CH X  n o p  yfloBJieTBopH TenbH oro  penieH U H .  B  craTBH
nOK33aH O,  MTO OCHOBHaH  TpyflHOCTb  3aKJIK«aeTCH   B  TOM, HTO eCJIH  flJM  onpeflWieH H Oli  nOCIOHHHOH   Bbl-
coTbi  n o n e i a  onpejjejie'H H oe  yn pasjieH H e  H3 KJiacca  Kyco^H o  H enpepBiBH bix  (byH Kiyni  MoweT  BbraonH H Tt
KOH e^H bie  H  H eoSxoflH M tie  ychoBH H   opraMajiBH ocTH   Ha CHHrynnpHOH  n y r e ,  TO  flns  nepeM eH H oił   B H -
C O T Ł I  n o J ie ia  onTHMajiŁHoe  ynpaBJieH H e  B 3T O H   Kn acce  MOJKCT n e cymecTBOBaTt.  B  craTLH   naerca  0630P

noHHTHK  TeopH H   onTHMaJiBHoro  yn pasjieH H Sj  a  TaioKe  o 63o p  npHMeHHeMBix  Moflejień  flBH -
caivioJie'Ta.  H a  3T O M  < bc«e  yKa3aH 0j  n a  ocHOBe  i;HTHpoBaHHOH  jiH T epaT ypu ,  ocH óBiioe  H anpaB-

S u m m a r y

M I N I M I Z AT I O N   OF   F U E L  CON SU M P TION   D U R I N G   F LI G H T  ON   A  G IVEN  D ISTAN CE

Th e  problem  of  minimum fuel  consumption by  the aircraft  for  a  given distance flight  has  been consi-
dered  for  years  in many  papers, however,  the satisfactory  solution  of  that problem has n ot been found  yet.

I n  the paper  it  has  been  shown,  t h at the solutions  for  control in the form of  piecewise  functions  exist
only  for  t h e  flights  of  constant  altitude,  but  may  n ot  exist  for  the  more  general  cases. Some concepts of
optim al  con trol  theory  are  also  discussed,  models of  aircraft  motion are reviewed and, on the base  of cited
references,  basic  directions  of  conducting  the  research  are  pointed  out.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  4  wrześ nia 1987  roku.