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MECHANIKA  Y U   P L '87
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  26 (1988)

BOUNDARY  ELEM EN TS  F OR  TH ERMO- ELASTO- PLASTICITY  O F  M ETALS

AN D RO  ALUJEVIC

IZTOK  POTRĆ

University  of  Maribor,  Yugoslavia

1. Introduction

Singularities  contained in the  boundary  element  method  represent  one  of its main
advantages  over  finite  elements,  enabling  a better  approximation  of stress  distributions
due  to  shape  changes  and/ or  variation  of boundary  conditions,  like  supports,  contacts
etc.  Also,  the  resulting  system  of equations  is smaller  with  BEM   than  with  F E M , but,
unfortunately, its matrix is fully populated. In this paper governing  equations and numerical
results  (for  a metal wall  and plate bending) are given for  the initial  strain  concept of BEM
elasto- plastic  formulation,  bearing  in  mind  body  forces  and  thermal  loads.  F or  the  case
of large  displacements, an updated Lagrange  technique has  been  developed  and is  also re-
ported  in this  paper.

2.  Theoretical  background

Mechanical  properties  of metals  may  be  divided  into  elastic,  plastic  and  viscous.  In
this  paper,  viscous  influence  has  been  neglected.  I n the elastic  domain a complete  revers-
ibility  can  be  observed,  and  at  each  point of time  there is a unique  relationship  of  loads
and  deformations,  while  for  the plastic  regime  permanent deformations  are  due  to  occur,
which  are  dependent  upon  the  history  of loading.  If only  small  strain  rates  apply:

hj  -   - j  ("t.j+uj.i) "  Btj+eh+efj  (1- 1)

an  incremental  formulation  may  be  written  by a formal  multiplication  with  a time  step
dt > 0,  which  is also  typical  in the  classical  elasto- plastic  analysis.  F or  the  description
of  material properties, elasticity  and  plasticity  laws  are  required,  where  the  last  one is
composed of a yield criterion and flow rule. Considering a bilinear material, one dimensiona 1
yield  stress  formulation  reads as:

Oy = a
o
+M(l- Ę JE),  (1.2)

and  the  yield  criterion is:

F(a,  k,  6)  =  M  -   o,(k,  0)  =  0,  (1.3)



590  A.  ALUJEVIC,  I.  POTRC

which is dependent  on  stress  (a), hardening  (k) and temperature  (0). For the  multidimens­
ional  modelling  the  Mises­Huber  criterion  is applicable:

F(ffti,k,  0)  = \Z3I2SUSU- o,(k, 6)  = 0,  (1.4)

where  Sy  is the  deviatoric  stress  and k  material  hardening  coefficient:

ud8[i.  (1.5)

For  the  plastic  flow  Prandtl­Reuss  equation  may  be  used  in its  incremental  form:

defj = S(1dL  (1.6)

In  order  to corelate  the  unidimensional  state,  a  comparative  stress  shall  be  used:

a. =  l/3/25 y 5 W )  (1.7)

and  also  a corresponding  comparative  plastic  strain  increment:

del ­ VV^defjdefj.  (1.8)

Using  the  associated  yield  criterion,  the  proportionality  factor  is:

dX =  3/2rfsJ/«r..  (1.9)

Additionally,  there  are  also  incremental  equilibrium  conditions,  valid  both  in  the  elastic
and  in the  plastic  regime:

<iij,i+bj = O, bij — bji, pi = aijnJ,  (1.10)

For  the  elastic  strain  increment:

e'u^hj-eh-'eh,  (!•!!)

the  Hookean  constitutive  law  is applicable:

atJ =  2 G ( e w ­ ^ ­ 8 & ) + 2 G
! ^ M ( e w ­ 8 U ­ ^ / ( l  ­ 2 K ) ,  (1.12a)

where efj  represents  initial  strain.  Analogously  by  defining:

af} = 2Gkfj+2Gvdub
p

kk/(l-2v),

the  above  formulation  reads  for  the  initial  stress:

2v)-ófj.  (1.12b)

Incorporating kinematic relations  (1.1) into (1.12a) and (1.12b), and then to the equilibrium
equations  (1.10a),  the generalised  Navier­Lame  equation  is  obtained:

Uj,M+uk,kJl(l~2v) = hjlG,  (1.13)

where  generalised  body  forces bj include  thermal  loading.
The  direct  solution  of  this equation  leads  to  the finite  differences  or  to  the finite  element
technique,  while  by converting  this  equation  into  an  integral fcjrm,  the boundary  element
method  may  be  derived.



BOUN DARY  ELEMEN TS...  591

3.  Integral  formulation

Starting  from  the  weighted  residual  formulation  of  the  equilibrium  equation:

where the weighting  displacement function u%  depends on the Kelvin  fundamental  solution
for  an  infinite  domain.  Equation  (2.1)  may  be  converted  into  a  generalised  Somigliana
equation:

f (uf
k
b

k
 + u*,

k
0)dr+ J of

Jk
- e]

k
dV,  (2.2)

with  initial  deformations  EP
U
,  while  u*

s
 and  />,*  are  displacements  or  tractions  at  point f

due  to  the  unit  body  force  in  i  direction  at  source  point  £  in  Kelvin's  space,  af
Jk

 being
stress kernel. The volume integral, which includes contributions of body forces  an d thermal
loads,  may be transformed  into a contour integral  form.  Alternatively  particular  solutions
(u,p)  [4]  can  also  be  applied,  transforming  equation  (2.2)  in to:

H ,(l)- St(D  -   J  (ufk(pk- pk)- pfk(uk- Uk))dA+  J c*ke%dV.  (2.3)

Bringing  the  source  point  f  to  the  contour,  the  basic  integral  equation  is  obtained  for
nodes  on  the  boundary:

C
ik
(u

k
 - 4)  =  /   (ul(k  ~P

k
) - Pt{u

k
  -   4) ) dA+j  af

Jk
kf

k
dV.  (2.4)

F or  the iterative process, stress values have to be determined. At  the interior, these can  be
evaluated  from  the  Somigliana  equation  (2.3), performing  the  derivation  and  bearing  in
mind  the  H ookean  relationship  (1.12a)  of  the  elastic  part  of  total  displacements:

<*ti- Oli =   J  {V
k
*

u
i

Pk
- p

k
)- P^ (u

k
- u

k
))dA~d

u
oiE0l{\   - 2v) +

+ J  Z*
km

ą
m
dV- D

u
  «fc,(g),  (2.5)

where  all  tensors  with  an  asterisk  (*)  are  derived  from  th e  Kelvin  fundamental  solution,
while  vectors  with  a  dash  (~)  are  particular  solutions  for  body  forces  and  temperature
field  with  constant  gradients.
F or  boundary nodes  (2D ) two  stress tensor components appear to be known, and the third
component  may  be  determined  by  means  of  numerical  derivatives.

4.  Discretization and  algebraization

In  the case  of  elasto- plastic  computation by  the boundary  element technique, nodaliza-
tion  is  required  not only  on the contour, but  also  in  one part  of  the interior  where  plastic
zone is  due to  appear.  Internal cells  are  to  be  used  for  the volume  integration  of  plastic
strain  contributions, but  they  do n ot increase the number  of  algebraic  equations. With  N
boundary  nodes  and  IN   unknowns,  only  a  system  of  2N   equations  is  obtain ed:

Hu  =  Gp+b+S
J
e

l
>.  (4.1)



592  A.  ALU JEVIC,  I .  POTRĆ

Taking  into  account  th e  prescribed  boundary  values,  the  system  is  written  as:

dx =f+Se",  (4.2)

and  its  solution  is:

x^ =m + K
1
e

l>
.  (4.3)

Stresses  have  to  be  evaluated  at N   boundary  nodes  and M  internal points  (i.e. 3*(M+N )
equations):

a  =  Gp + Hu+b + (S+D)ep.  (4.4)

Taking  in to  account  th e  known  boundary  values,  it  gives:

1  =  Ax  + / +  (S+D) s',  (4.5)

for x  the  solution  of  (4.3)  has  to  be  considered,  rendering:

{AK
t
 + S+D)s

p
 = n+K

2
e

p
.  (4.6)

5.  Solution  procedure

I n  the  preceeding  formulation  increments  of  plastic  deformation  have  been  taken  as
formally  known.  In t h e  reality  these values have  yet  to  be  determined  by  an incremental
procedure:
A)  At  th e first  step a  complete elastic computation is performed,  using  the full  load  (pres-

cribed  tractions,  displacements,  body  forces  and  thermal  loading):

x" ~ m, <f — n.  (5.1)

Consecutively,  the load  is  t o  be  adjusted  to meet the yield  criterion  at  the mostly  loaded
n ode:

L
o
 — ffo/ niax(tr„ ) - *•  *o  — £<>#?,  a0  =   L on.  (5.2)

B)  N ext,  an  incremental  part  of  the  load  is  used.  After  the  / - th step  the  load  factor  is
determined  selecting  an  increment  u>:

(5.3)

and  the  unknown  boundary  values  are:

Xi =   L im+K
t)
8?t  q

t
  =   L

t
n+K

2
ę

p
i.  (5.4)

F or  the evaluation  of  plastic  deformations,  plastic  strains  are  separated  into accumulated
strains  (from  the  previous  increments)  and  actual  strain  increments:

• WO -   (̂/ - 1)+ J*&(Q..  (5.5)

C)  The  plastic  strain  increment  is  determined  iteratively  [1].  The  procedure  starts  from
th e  old  value  at  each  of  M+N   points,  producing  stress  values:

(5.6)



BOU N D  ARY  ELEMEN TS... 593

N ext,  modified  strains  may  be  determined:

c ' r,  7J
1  -  oe  -J  o '  - I-  / f  eP /  ̂ H\

Cij  — Eij' c,(j  — c- lj ~\ ~  c^jT^ZJfc^,  Ĵ. / )

and  also  deviatoric  strains:
eo- = £ y- A- < 4»./ 3-   (5.8)

U sing  the  H ookean law  of elasticity,  deviatoric  strains  are  evaluated  from  stresses:

e'
u
= S

u
/ 2G+Aefj.  (5.9)

Plastic  strain  increments  can  now  be evaluated  using  Prandtl- Reuss  rule:

Aefj~AXS,j. '  (5.10)

F or  the  determination of the  yield  point  of a bilinear  material,  th e  following  relation
is  to be used:

ff
v
(l)  =   <r„(/ -  l)+E

t
Ae^ 'l(l  - E

t
/ E).  (5.11)

F rom  the  last  interval  plastic  strain  increments  are  obtained:

(5.12)

and  now  for the  new  interval  the  strain  components become:

^ .  (5.13)

By recursion,  starting from  equation (5.6) and repeating the procedure until the required
convergence  criterion :

oU
(Ael)~

nev>
(A£*)  (5.14)

is  met,  the  last  load  increment  gives:

x = x
e
+K

1
(e

t
'(l- l)+AĘ >>(l)),  a = ą

e
+K

2
(e\ l- \ )+Ae?(l)).  (5.15)

As  an example of the described procedure, a thermally loaded metal wall analysis  has been
performed, using  temperature dependent material properties <r

y
(6)  an d E

t
(6).  The tempera-

ture field  has  been  kept  steady,  0°C  at  the upper  and 480°C at the lower  side.  The  yield
point has been 310 M Pa (20°C) and 175 M Pa (500°C), an d the tangent modulus of 36  G Pa
(20°C) and 30 G Pa (500°C) respectively  have been considered with linear variation  between
specified  limits.  Results  of  the  analysis  are given  in  F ig.  1.

0 °C

48O"C

F ig.  1. Plastic  zone  development  in a  thermally  loaded  wall



594 A.  ALUJEVIC,  I,  POTRC

6.  Updated  Lagrange  routine

In  many  engineering  problems  there  are  small  strains  but  large  geometrical  changes.
For  such  cases  an  "updated"  Lagrange  procedure  has  been  developed,  consisting  of  the
following  steps:
A)  Evaluation  stops  if  a  maximum  displacement  reaches  a  specified  value.
B)  New  geometry  is  determined  using  computed  displacements.
C)  For  each  computational  point,  a  rotation  with  respect  to  the  previous  position  is

determined.
D)  Stresses  and  strains  from  the  preceeding  steps are added and rotated  for  the  new geo­

metry.
E)  Correction  of  the  yield  point.
F)  Correction  of  boundary  conditions  (supports  and  contacts).
G)  Restart  of  the  elasto­plastic  computation  (i.e.  back  to  A).

Fig.  2.  Plastic  zone  development  in  a  bending  plate  sheet

As  an  example  of  this  kind  of  structural  behaviour,  plastic  bending  problem  of  a  plate
has  been  evaluated.  Results  of  the  computation  are  shown  in  Fig.  2  (plane  strain  case
of  a  metal  plate,  bent  over  a  rigid  support  cylinder).

7.  Conclusion

In  the  above  paper,  theory  of  the  boundary  element  method  for  plasticity  problems
has  been  demonstrated.  Results  of  two  typical  problems  have  been  presented.

References

1.  MENDELSON, Plasticity—Theory and Application,  McMillan,  New  York  1968.
2.  RICARDELLA, An Implementation of the Boundary Integral Technique for Planar Problems in Elasticity

and Elastoplasticity,  Report  No.  SM­73­10,  University  of  Pittsburg,  1973.



BOUN DARY  ELEMEN TS...  595

3.  BREBBIA,  TELLES,  WRÓBEL, Boundary Element T echniques — T heory and Applications,  Springer  Verlag,
Berlin  1984.

4.  P OTRĆ , Zur Behandlung temperaturabhdngiger elastopiastischer Probleme mittels Randelcmentmethode,
D issertation,  U niversity  of  Erlangen,  1987.

5.  ALU JEVIC,  P OTR Ć , Boundary Elements for L arge Plastic Displacement Problems of Metals,  1st  YU - PL
conference  on  new  trends  in  mechanics  of  solids  an d  structures,  D ubrovn ik  1987  (pp.  53  - 54).

6.  P OTR Ć ,  ALU JEVIC,  K U H N ,  T hermo- plasticity  by  Boundary  Elements, 9th  Boundary  E lem en t  Conference.
Stuttgart  1987  (pp.  373 -  384).

P  e 3  K)  M e

KPAEBBIE  3J I E M E H T BI  B  3AJXAMAX  T E P M O - y n P y r O - n J I AC T I M H O C TH   M E T AJI O B

B  p a 6 o i e  BtiBefleiiBi  yn p a Bju n o n n ie  ypaBiieH H H   u  npeflCTaBJieH bi  qncjieH H fcie
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S t r e s z c z e n i e

ELEM EN TY  BRZ EG OWE  W  Z AG AD N I E N I AC H   TERM O- SP RĘ Ż YSTO- P LASTYC Z N OŚ CI
M ETALI

W  pracy  został y  wyprowadzone  równania  rzą dzą ce  i  przedstawione  wyniki  liczbowe  dwu  typowych
zagadnień  sprę ż ystoplastycznych  dotyczą cych  począ tkowego  odkształ cenia  w  sformuł owaniu  M E B.
U wzglę dniono  sił y masowe  i  obcią ż enia  termiczne. W  przypadku  duż ych  przemieszczeń  w  pracy  rozwinię to
uwspół cześ nioną   metodę   Lagrange'a,  zilustrowaną   przykł adem  zagadnienia  zginania  pł yty  metalowej
n a  sztywnej  podporze.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  30  lipca  1987  roku.