Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\04mts88_t26_zeszyt_4.pdf MECHANIKA  Y U   P L '87 T E O R E T YC Z N A I  STOSOWAN A 4,  26  (1988) ON   IN VARIAN CE  OF   F IN ITE  ELEM EN T APPROXIM ATION S ZORAN   V.  DRASKOVIC Aeronautical Institą te, Belgrade 1. Introduction In  order that some physical  law  is  a  law  of the nature, it can n ot depend on the choice of the coordinate system where it is applied. In view of the fact  that these laws are represent- ed by  mathematical equations, this means that the form of  natural laws (i.e. their equations) do  not  depend  on  the  system  in  which  they  are  formulated  — they  are  invariant  with respect  to  the  operation  of  the  change  of  the  coordinate  system.  If  one understands these laws  as  relations  between  mathematical  objects,  invariant  in  the  sense  of  tensor  calculus, the invariant  mathematical  objects  will be the tensor fields,  while th e natural laws will  be described  by  the  tensor  equations. On  the  other  hand,  in  the  applications  of  the  theory  we  are  most  frequently  forced to  use  the approximations  of  natural laws;  however,  this  is  n ot the  reason  to  desist  from the request  that these  approximative  laws would  be  "n atural" too. After  all,  what  we  call "the  natural laws"  are  only  the  approximative  forms  of  the  true laws  of  the  n ature, and nevertheless  we  request  theirs  invariance!  This  request,  if  we  stay  on  th e  natural  laws described  by  the  tensor  equations,  would  mean  that  th e  approximations  of  tensor  fields which  take  part  in  these  equations,  must  be  invariant  under  coordinate  transformations. We shall  see in the next section what  are the repercussions  of the request for  invariance of  finite  element  approximations  in  Euclidean  space. 2.  Invariant  finite  element  approximations  in  Euclidean  space Let  us  start  from  the  following  interpolation  formula  for  one  vector  function: «(*• )  =   * * ( * > ( * »  =   PK(x°)v K .  (1) where  PK  are  interpolation  functions,  and  x?  are  arbitrary  curvilinear  coordinates  in (three- dimensional)  Euclidean  space;  Einstein's  summation  convention  for  diagonally repeated  indices will  be  used;  index  P relates  to  the  points  in  the  space  where  the values of  the  vector  function  were  done.  There  is  nothing  new  in  the  vector  representation  (1) and it  is quoted in this form  for  example  by  Oden  ((7.48) in  [2]), but  immediately  rejected as  "less  accurate"  than  "the  usual  approximation"  ((7.51)  in  [2]).  H owever,  let  us  look 598 Z .  V.  D RA§KOVIĆ for  the coordinate form  of the representation (1); after  the multiplication with base vectors, we  shall  have: {»(*• ) •  g\ xa)  =   }v\ x")  =  PK{pf)v{pfi) •  g»(x") =   **( *>"( **)*«( *&>)  • **(**)  (2) since  th e scalar  product of  the base vectors  at  different  points  of  the space  is equal  to the Euclidean  shifters  ([1], p. 806); placement of  index  AT in the parentheses  in  (2) means that the  summation  convention  is  n ot  applied  to  the corresponding  member —  in  summation over  K this  member  is simply  associated  to  the  other  members  with  this  index. There is another way  to obtain representation (2). Let us start from the usual  expression in  the  rectangular  Cartesian  system  for  the  approximation  of  coordinates  of the  vector function  under  consideration: where  now  QK are  some  interpolation  functions.  In  order  to  give  to  this  expression  an invariant  form,  we  introduce  arbitrary  generalized  coordinates: x° ~  x a (z i ).  (4) U n der  this  coordinate  transformation  we  shall  have: v c (x°) dz J dx c dx c =   RK(x°)v° K 8z J 8x c (5) or,  after  multiplication  by  8xb/ dzJ\ x s: 8x"  Bz J dz J an d  that  is  the  same  formula  as  (2);  (we  used  the fact  that  the  shifters  are  given  by: (6) g"c(x",  X"K)  = 8z J 8X C (7) s.  [1],  p .  807).  In  this  way,  th e  equivalence  between  vectorial  and  coordinate  approach in obtaining th e invariant approximation is proved. Anyhow,  one can say that the interpola- tion  (6)  reduces  t o : i.e. to th e summation at the point x" shifted  nodal values of  a vector  function.  In any case, the shifters  (which h as not  appeared in  (13.94) at Oden, when the vector- valued  representa- tion  has  been  used)  are introduced in  a natural way  in the approximations  of  vector  func- tion —  by passing on the curvilinear  coordinates; this is just the consequence of  the request t h at  th e  interpolation  procedure  must  be  invariant.  I t  is  clear  that this  invariant  process can  be  also  extended  on  the  tensor  fields. Only  in  rectangular  Cartesian  coordinates, when  the  shifters  are  the Kronecker  delta, th e expression  (2), i.e. (6) reduces to th e usual finite element approximation for the coordina- tes  of a  vector  field: v b (x°)  =   - P * (* INVARIANCE  OF  FE  APPROXIMATIONS 599 However,  the  approximation  (9)  (which  is  simpler  than  (2)  or  (6),  since  it  does  not include  the  shifters)  has  not  the  above­mentioned  property  of  invariance.  Let  us  perform in  (9) the  transvection  with  base  vectors,  and  we  shall  have  the  following  representation of  a  vector  field: (10) (we  emphasize  that  geometrically  is  incorrect  to  indicate  the  expression: (11) as the value  of  a vector field  at  the point  x"K;  cf.  (7.45) in  [2]). If,  by  the  transformation: y>  ­ y*(xa)  (12) we introduce  another  curvilinear  coordinates  y",  we  can  also  write  (10)  in  the  form: 3xb 8xb 8yq K 8xb~ df My") (13) in  general  case,  this  is  different  from  the  representation  obtained  by  starting  from  the approximation  for  coordinates  of  vector field  analogous  to  (9), but  in  the  system  of  cur­ vilinear coordinates  (12). Consequently, the approximation  in the  form  of  (9)  is  not  really invariant  under  the  transformations  of  the  coordinate  system.  This  means  that  the  form (9)  would  not  be  used  (except  in  Cartesian  orthogonal  coordinates)  in  approximations of  one  natural  law,  if  we  request  its  invariance. 3.  Example:  comparison  of  two methods  of  interpolation For  the  sake  of  comparison  of  two  approaches  (the  usual  and  the  invariant  one), we shall consider a vector field  defined  on  a cylindrical surface.  Let us prescribe the values of the field  at the points A, B, C and  D  (s. Fig.  1), so that  in the cylindrical polar  system: v2(*D  ­ v2(x?B) = v 2(x°c)  = v 2(x°o)  =  0  (14) and: v3(x°A)  = v 3(x°B) = v 3(x°c)  = v 3(x$)  =  0 .  (15) 600  Z.  V.  DRASKOVIC Regardless  of  the  interpolation  functions  assumed  in  these  approximation  procedures, these two  approaches  will be essentially  different.  To be assured in that,  we will first  deter­ mine  the  value  of  the  vector  field  at  the  point  E  by  the usual  approximation  (10); it will be: and: here we use the orthogonality  of cylindrical coordinates, and in  (17) we use the assumption (14)  too.  However,  if  we use  the  invariant  approximation in the form  of  (2) for the vector field  in  question,  we  shall  have: and: "  (AE7  — V\XE)S \XEJ  —  •* \XE)U \JCK)Sb\x(K))S K^EJ n.  (19) here  we  have  used  the  fact  that: ^ O D  J­  ft(jfl)»ft(*S),ft(*e).ft(*Ł)  (20) and: as  well  as  the  assumption  (14). Generally, one can say that the first  approximation  procedure gives the field  of radially distributed  vectors, while the second one gives the field  of vectors parallel to the prescribed vectors  at  the  points  A,  B,  C  and  D. 4.  Concluding  remarks  and  future  work The  basic  conclusion  is  the  following:  the usage  of  the  shifting  operators in  a  coordinate form  of  approximations  of  vector  and  tensor fields  in  an  arbitrary  curvilinear  coordinate system  in  (three­dimensional)  Euclidean  space  is  necessary  if  we want  to  realize  the  in­ variance  of  the  approximative form  of a  natural law in which  these fields  take part. Only in  Cartesian  orthogonal  coordinates  these approximations  coincide with usual expressions for  the  approximation  of  coordinates  of  vector  and  tensor  fields. The  dwelling  upon  Euclidean  space  has,  on  the  one hand,  its  reasons  in  the fact  that we  have  been  primarely  interested  in  (finite  element)  approximations  in  such  physical theory like mechanics of continua. More definitely, the necessity of the consistent introduc­ tion  of  shifters  into  interpolation  formulae  was  appeared  in  the  three­field  theory  [3] (in  the  case  of  the  use  of  these  formulae  in  curvilinear  coordinates).  On  the  other  hand, it is  difficult  to  speak  about  operators  of parallel  displacement  (in the sense of the above­ mentioned  shifters)  in  non­euclidean  spaces. IN VARIAN CE  OF  F E  APPROXIMATIONS  601 The  acceptance of  the presented procedure of  the invariant  interpolation will  request, for  example, to  carry  out  the finite  element  equations  of  motion in  arbitrary  curvilinear coordinates.  H owever,  the  naturalness  of  this  interpolation  is  n ot  the  guarantee  of  its simplicity —  the  shifters,  in  which  variables  are  n ot  separate,  will  arise  explicitly  in  it. In  any  case,  the  presented  approach  would  be  justified  in  numerical  examples,  in  the sense  that we  will essay  to  explain  some  effects  by  the  consistent  introducing  of  shifting operators. Acknowledgements The  author  whishes  to  express  his  gratitude  to  D r.  Mladen  Berkovic  (Aeronautical Institute, Belgrade)  for  his  greatest  patience during  numerous valuable  discussions  related to  the ripening  of  the  idea  presented  in  the  paper.  The  author is  also  indebted  to  Prof. Jovo  Jarić  (Faculty  of  Sciences,  Belgrade)  for  critical  review  of  th e  paper.  Any  faults, of  course,  are  those  of  the  author. References 1.  J. L.  ERICKSEN ,  T ensor fields,  H an dbuch  der  Physik,  Bd.  I H / 1,  Springer- Verlag,  Berlin —G attin gen — H eidelberg,  1960. 2.  J. T .  OD E N ,  Finite  Elements  of  N onlinear  Continua, M cG raw- H ill, N ew  York,  1972. 3.  M .  BERKOVIC,  T hree- field approximations in nonlinear finite  element  analysis  (Private com m un ication s) P  e 3K>  M   e H H BAPH AH TH ŁIE  AnPOKCH MAIJH H   KOH E^H BIX  3JIEM EH TOB a3iPiecKne  3aKom>i  6yflyT  „ H aTypajiBH biM H "  Torfla  K o r ^ a  OHM n p a  TpaH ccbopMauH ii  cH creM ti KoopflH H ar.  M w MOMceiw oScysKflan .  Tai