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MECHAN IKA  y U   PL'87
TEORETYCZNA
I  S TOS OWANA

4,  26  (1988)

SOLU TION   OF   SH ALLOW  SH ELLS  BY  BOU N D ARY  ELEM EN T  M E T H O D .
PROBLEM   OF  CORN ERS

OTTON   DĄ BROWSKI

ROMAN   SZMIGIELSKI

T echnical  University of  W roclaw

1. Introduction

Boundary  Element M ethod  (BEM) is  one of  numerical  methods which  is finding  now
greater  attention  in  mechanics  [1, 2]. BEM   is  applied  for  the  solution  of  the  boundary
problems  described  by  the  integral  equations.  The  adventage  of  BEM   which  causes  its
computational  applications  is,  that  the  BEM   reduces  geometrical  size  of  the  problem  by
one and consequently reduces the time of calculations. The unknown quantities are bound-
ary  displacements  or forces  depending on how the edge is supported.  The solution of  wider
class  of  shells is  restricted  to  the possibility  of  obtaining  fundamental  solutions  (G reen's
function).

We will discuss  the thin, shallow,  spherical  shell, which  middle surface  can be  described
approximatly  by  equation  [5]:

where k  =   2d/ a2 —  constant curvature,  d—  height  of  the shell,  a —  radius  of  the bottom
of  the  shell.
The  fundamental  solution  is  given  in  [4]  and  complete  solution  in  [8].

The  integral  representation  of  the  equilibrium  equations  of  shells  can  be  obtained
by  making  use  of  Betti- MaxwelFs  reciprocal  theorem  [6].  If  one  of  the  state  of  forces
is unit  loading  and corresponding fundamental  solution is  one of the state  of the  displace-
ments and after  making  use  of  the properties  of  the D irac's function  we  obtain  the Somi-
gliano's  formulas  for  displacements:

«j(®  =   /   [T ,(K)u
u
(K,  G)+M

a
(K)f

nJ
(K,  G)]dC-   f  [T

t3
(K,  G)u

t
c  c

k

+ M
nJ
(K,G)<p

n
(K)]dC+  J  PtW iuQF,  G)dA  +  ^ ,

A  r- 1



604  O .  D Ą BROWSKI,  R.  SZMIG IELSKI

cp^ G)  =   J  [T iQQT ii^ K,  G) + M„(K)p„
4
(K, G)]dC-   j  [f

i4
(K,  G ) M , ( / 0  +

c  c  (1.2)

r v~ł [ c ontl
+ Af^Cfr,  G )C>„(/ 0]rfC+   J  Pi(F)uu(F,  G)dA + £  Rr(K)vr3A{K, G),

A  r= l

where  f
u
=f

i3lli
,  u

u
  =  u

i3>lt
,  y

nA
  =  Vm.n,  p  —  arbitrary  direction,  C —boundary

of  the  shell.  A  —  the  projection  of  the  middle  surface  on the plane  x
1}
  x

2
,  F—  arbitrary

point  of  the  middle  surface,  G —  point  of  application  of  the concetrated  unit load,  K—
th e  searched  point,  the  known  fundamental  solution  is  marked  by  bar.

2.  Boundary  integral  equations

We  obtain the boundary integral  equations passing from  inner point  G  of a  shell to the
point  M  which  belongs  to  the  shell  edge.  The  formulas  (1.2)  become  boundary  integral
equations:

-   /   [Tt{K)utJ(K,  M)+M n(K)ynJ(K,  M)]dC-   f  [fu(K,  M)ut(K)  +
c  c

k

jPt(F)uu{F,  M)dA  +  £   Rr(_K)u
r

3i{K, M),
l (2.1)

c
k

}pt(F)uu(F,  M)dA+ £Rr(K)u'3A(K,  M),
A  r = l

where  n —  normal  vector  to  the  edge.
When  we  calculate  the  boundary  forces  or  boundary  displacements  in  the  point  K  =  M
arise  the  singularities,  which  can  be  avoided.  The  coefficients  a  and  /S in  formulas  (2.1)
are  equal  0.5  on smooth  edge  [7]. In the  corner points  Q  the values  of  those  coefficients
are  depending  on  the  angle  on of  the  corner  [7,  8].

3.  Problem  of  corners

I n  th e  corners  arise  the singularities.  The  singularity  order is  the  same  as  of  the plate
[3]. Therefore  the corner coefficients  a  and /? were determined by replacing the shell  funda-
mental  functions  of  forces,  moments  and  displacements  by  corresponding  plate  funda-
mental  solutions:

S 3 3 = = W r 2 1 m * '  •   (3.1)

where  D  =  Eh3(12(1- v2).



SHALLOW  SHELLS  BY  BEM 605

For  /  =  3 in  the  corner  point  Q the  boundary  integral  equations  have  the  form:

(K, Q)]dC­  f  [Ta3(K, Q)ua(K) +

+ T33(K,

^ n ( e )  =  J [Tt
c

, Q)cpn(K)]dC+  j  Pt(F)ui3(F,  Q)dA+

, Q)+Mn(K)rPn4(K,  Q)]dC­  f  [T^(K,  Q)ua(K)+

, Q),
(3.2)

k  (3.3)

n4(K, Q)(pn(K)]dC+  J P^u^F,  Q)dA + £RfiUi^,  Q),
A  r=l

where  a =  1,2.  _
We  make use of the  properties  of the  function  T34 resulting  from  equilibrium  equation:

(3.4)

then  the  equation  (3.3) becomes.

n4(K,  Q)]dC­  J  {fa4(K,  Q)ua{K)+
c  .  c

+ T34.(K, Q) [u3(Kj­»3(0]  + Mn4(K,  Q)%(K)}dC+  /P,(P)5,*(F. Q)dA+  ( 3 . 5 )

r=\

In  this  way the  order  of  the singularity  in the underlined  expression  in  (3.5) has been
lowered.
The  local  coordinate  system  iltiz  (Fig.  1.)  is  assumed.

where:

Fig.  1.  The local  coordinate  system

ix  =  ­ecoscp,
£2  =  ssiny,

fi(K)=  [cosy,  ­sincp], (3.6)

=  [sinco,  cosa)].



606  O .  D Ą BROWSKI,  R.  SZMIG IELSKI

I n the surroundings  of  the point Q the boundary curve  C of the shell is divided  on boundary
curve  C  and  C *  (C * is  a  circular  sector  around the  point  Q  in  diameter  e, F ig.  I,). The
displacement  function  in  the  surroundings  of  point  Q  has  been  approximated  by  the
linear  function  in  th e  form:

( +COSCO-   U3llJ)ix~U3l
(3.7)

,__  3u
3
(K)  1

Vn(  }  =   ~~5i  =   l i n

The  boundary  forces  expressed  in  polar  coordinates  in  this  point  are:

=   - Q*-  - 1 M* ,„  (3.8)

g * =   - Z ) p3 4 > r r + —  M 34,r+ - ^- W34>W  ,

M*,  =   - ( 1- V) i) ( 4- Ś 34.f)  ,

Afa4  =   - M*  =   I> I M3*. rr +  V  "̂̂ a-  "34. w +  —  "34,r)j-

Taking  into  account  formulas  (3.6)  we  obtain:

, 0  -   -   - ^ -   (cose- fr- sinip- Pi),  (3.9)

1  j . r
, 0  =   -   M *  =   - ^—-  (cos 99 •  [x

t
 -   sin 9 •

F o r  e - > 0  the  integral  along  the  boundary  C  in  equations  (3.3)  and  (3.5)  becomes  the
principal  value  in Cauchy's  sense.  When  we  integrate the equation  (3.2) along  C*  (e -» 0)
we  obtain  the  following  quantities:

lim  /   T
33

(K,  Q)u
3
(Q)dC* =  ^ ~u

3
(Q),  (3.10)

an d  from  equation  (3.5)  for

, Q)[u
3
(K)- u

3
(Q)]dC*+  f  M

n
*{K, Q)cp

n
(K)dC*} =   (3.11)

r*c*  c*
1  ,



SH ALLOW  SHELLS  BY  BEM   607

and  for

e~> 0

1

n
*{K,  Q)<p

n
(K)dC*}=

+ s m o )

In  the case when  co  =  n  expressions  (3.10),  (3.11), and  (3.12)  correspond  to  smooth  edge
and  are  equal  0.5.

4.  N umerical  solutions

On  the  boundary  of  the  thin  shell  two  boundary  conditions  are  known.  Introducing
the  boundary  conditions  into  equations  (2.1)  we  obtain  four  integrall  equations  which
we can solve numerically. The shell  contour is divided  in to N   elements and the middle  sur-
face  into  L   elements,  then  we  obtain  4N +k  linear  algebraic  equations  (N —number
of  knots  and  k — number  of  corners)  as  follows:

AT  N  N
au

J  =  S  I  <MudCj)T
t
+£  f(ę

nJ
dCj)M

n
-   £  J  (T

u
dCj)u

i  +
j= l  Cj  7= 1  Cj  / - I  Cj

N  L  k

J  (u
u
dA

l
)P

i
A,

N  N  N

Cj  j  =   l  Cj

N  L

] {
Cj  / = 1  AI

The  number of boundary elements and the choice of  the  basic functions depend on the shape
of  the contour and  on the  demands  for  the occuracy  of  the  solution. The  solution  of  the
set of linear algebraic  equations  (4.1) allow us to determine the boundary values of  displace-
ments  and forces  at  assumed  knots.  Somigliano's  formulas  (1.2)  permit  to  determine the
displacements  and  forces  inside  the  shell.

5.  Examples

The  shown  above  algorithm  of  solution  of  shallow  shell  was  applied,  among  others,
to  the solution  of  a  spherical  shell  on rectangular  plan.  The  contour of  shell  was  divided
into  4,  6  and  10  elements  and  the  basic  function  was  a  Lagrange's  polinomial  of  third
order.  The  dimensions  of  the  shell  are  following:  rectangular  plan  9.0x6.0  m,  thickness
of  the  shell  A =   0.10  m,  height  of  the  shell  d  =   0.10  m.  The  shell  is  uniformly  loaded
q  =   1.0  kN / m 2.  M aterial  constants  are  E  -   2.0 xlO 7  kN / m 2,  v  =   0.16.



608 O.  D Ą BROWSKI, R.  SZMIG IELSKI

0  1  2  3  4  4,5  0  1

F ig.  2.  Vertical  displacements

Table  1.

Xi

U, [m ]

0,0
0,25
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,2
4,4

0,0
0,25
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
2,7
2,9

4 elements

1,502  E - 3
1,497  E - 3
1,482  E - 3
1,409  E - 3
1,287  E - 3
1,U8E~3
8,936 E - 4
6,334 E - 4
3,579 E - 4
1,208  E - 4
5,562 E - 5
l,812E- 5

1,502  E - 3
1,482 E~ 3
1,424 E -  3
1,200  E - 3
8,656 E - 4
4,838 E - 4
1,533  E - 4
6,565 E - 5
1,440  E - 5

6 elements

1,499  E - 3
1,494  E - 3
1,479  E - 3
1,407  E - 3
1,285  E - 3
1.116E- 3
8,925 E - 4
6,329 E - 4
3,579 E - 4
1,210  E - 4
5,579 E - 5
1.814E- 5

1,499  E - 3
1,479  E - 3
1,421  E - 3
1,197  E - 3
8,633 E - 4
4,817  E - 4
1,482  E - 4
5,743 E - 5
6,625 E - 5

10 elements

1,494  E - 3
1,489  E - 3
1,474  E - 3
1,402  E - 3
1,280  E - 3
1.110E- 3
8,862 E - 4
6,255 E - 4
3,488 E - 4
1,096  E - 4
4,309 E - 5
5,174  E - 6

1,494  E - 3
1,474  E - 3
1,416  E - 3
1,193  E - 3
8,598 E - 4
4,791  E - 4
1,464  E - 4
5,573 E - 5
5,356 E - 6

The  calculated  vertical  displacements  are shown  in F ig.  2.  and F ig.  3.  The  numerical
results  are given in Tables  1 and 2 where the contour of the shell is divided into 4, 6 and 10
eliments.  The  graphs  are  completed for 4 elements division  of the edge  contour. The two
discussed  shells  are  supported in a different  manner on the  edge as is seen in graphs.

The  presented results  can n o t be compared with  the numerical results  taken from the
literature  because  of lack  of such  examples.  It is to state  that the number of boundary
elements  when  the basic  functions  are polinomials of third order have the slight  influence
on  the calculated  displacements  inside  the shell.



SHALLOW  SHELLS  BY  BEM 609

Fig.  3. Vertical  displacements

Table  2.

Xi

X2

«3 [m]

0,0
0,25
0,5
1.0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,2
4,4

0,0
0,25
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
2,7
2,9

4  elements

3,615  E ­ 3
3,606 E ­ 3
3,578 E ­ 3
3,452 E ­ 3
3,237 E ­ 3
2,927 E~ 3
2,506 E ­ 3
1,980  E ­ 3
1,354  E ­ 3
6,687 E ­ 4
3,937 E ­ 4
1,449  E ­ 4

3,615  E ­ 3
3,584 E ­ 3
3,492 E ­ 3
3,128  E ­ 3
2,545 E ­ 3
1,777  E ­ 3
8,850 E ­ 4
5,242 E ­ 4
2,101  E ­ 4

6  elements

3,681  E ­ 3
3,670 E ­ 3
3,636 E ­ 3
3,491  E ­ 3
3,249 E ­ 3
2,911  E ­ 3
2,470 E ­ 3
1,935  E ­ 3
1,317  E ­ 3
6,502 E ­ 4
3,837 E ­ 4
1,449 E ­ 4

3,681  E ­ 3
3,650 E ­ 3
3,560 E ­ 3
3,201  E ­ 3
2,624 E ­ 3
1,859  E ­ 3
9,560 E ­ 4
5,726 E ­ 4
1,864 E ­ 4

10 elements

3,689  E ­ 3
3,678  E ­ 3
3,644  E ­ 3
3,500  E ­ 3
3,258  E ­ 3
2,922  E ­ 3
2,483  E ­ 3
1,952  E ­ 3
1,338  E ­ 3
6,704  E ­ 4
3,977  E ­ 4
1,284  E ­ 4

3,689  E ­ 3
3,658  E ­ 3
3,567  E ­ 3
3,207  E ­ 3
2,628  E ­ 3
1.862E­3
9,629  E ­ 4
5,810  E ­ 4
1,967  E ­ 4

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P  e  3  K)  M  e

PA3PEU IEH H E  SAflA^H   n O JI O rH X OEOJIO^IEK METOflOM  TPAH H ^H LIX  YPABHEHHft.
nPOBJIEMA

B  c r a T t e  npeflciaBJieH Bi  OCH OBW  MeTofla  rpaHERHbix  ypaBH emra npHMeHeHLi  K im4>poBOMy  aHa-
r a x  o6oJioueK.  I I O AP O SH O  o6cyjKfleHa  npo6neiwa  yrjioB  H  CBH3aHHbie  c  iieft  oco6eHiiocTH.

a:  H JijnocrpairftH   Merofla  irpH BefleH ti qncjieH H bie  peuieHHH   Asyx  ctpepHHecKHX  oSoJicaeKj  pacn pe-
Ha  npHMoyrom.HOM   m iaH e.

S t r e s z c z e n i e

R O Z WI Ą Z AN IE  Z AG AD N I E N I A  P OWŁ OK  M AŁOWYN IOSŁYCH   ZA  POM OCĄ   M ETOD Y
ELEM EN TÓW  BR Z EG OWYC H .  Z AG AD N I E N I E N AROŻ Y

P rzedstawiono  podstawy  metody  elementów  brzegowych  w  zastosowaniu  do  analizy  numerycznej
powł ok  mał owynioslych.  Omówiono  szczegół owo  problem  naroży  i  zwią zanych  z  naroż ami  osobliwoś ci.
D la  zilustrowania  metody  zamieszczono  rozwią zania  numeryczne  dwóch  powł ok  sferycznych  n a  rzucie
prostoką tn ym.  •   .  »

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  17  sierpnia  1987  roku.