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M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  26  (1988)

Y U — PL'87

N ON AU TON OM OU S  N ON LIN EAR  VIBRATION S  OF   A  C ON TI N U OU S
SELF- EXCITED   SYSTEM.  A  PLATE  IN   SU PERSON IC  F LOW

ZBIG N IEW  D Ż YG AD ŁO

W ojskowa Akademia T echniczna

1. Introduction

Continuous  self- excited  systems,  which  occur in  aircraft  structures, as  well  as  in other
fields  of  technology,  have  properties  important  for  structural  engineering.  Elastic  and
damping  coefficients  of  such  systems  depend  on  the  parameter  of  self- excitation  and  in
the  case  of  external  loading  or  parametrically  exciting  forces  acting  on  the  system,  its
resonance  characteristics  also  vary  with  the  degree  of  self- excitation.

N onautonomous linearized vibration  problems  of  continuous  self- excited  systems  have
been  considered  in  a  number  of  papers  (cf.  for  instance,  [1],  [2],  [3]).

N onlinear  analysis  of  forced  vibrations  of  a  continuous  self- excited  system  has  been
presented in  [4] and nonlinear parametric self- excited  vibrations in  [5]. I n the present paper
vibrations  of a continuous self- excited  system will be analysed by way  of example  of a plate
of finite  length  in plane  supersonic flow  as  shown  in  F ig.  1.  N onlinear membrane  forces
induced  by  the  plate  motion  will  be  included  into  analysis.

F ig.  1.

The  plate  is  forced  by  a  harmonically  varying  pressure  and  periodic  in- plane  loads
parametrically  exciting  the  system.

The  phenomena  to  be  investigated  include  regular  and  chaotic  motions  which  may
occur  in  such  a  nonlinear  self- excited  system  (cf.  [6]).



612  Z .  DŻ YGADŁO

2.  Equations  of  the  problem

Let us  consider  vibrations  of  a plate  of  length  L   and infinite  width  assuming  that the
plate  is  exposed  to  a  one- side  supersonic  flow,  the  unperturbed  velocity  of  which  V

o

is  parallel  to  the  x- axis  (F ig.  1).
The  equation  of  motion  of  the  plate  will  be  written  in  the  form:

(
where the pressure difference  Ap(W )  is produced by the normal displacement  W  =   W (x, t)
of  the  plate  in  supersonic  gas  stream  [1].

A  \   WW  (P- W  82W  >

an d

M  =   U
0
/ a

0
 >  1  is  M ach  number  of  unperturbed  flow.

The  variable  nonlinear  membrane  force  N (W > t)  is  assumed  as:

be.  ,  (3)

I n  Eqs.  (1)  and  (3) the  viscoelastic  Voigt  model  of  the  plate  material  and nonlinear
membrane  forces  are  taken  in to account.

Parametrically  exciting  part  of  the  membrane  forces  N (t)  is  taken  in  the  form:

N (t)  =   N Q +  S
0
 cosp

p
 t,  (4)

an d  external  pressure  Q(x,t),  we  assume  as:

Q(x,  t)  — Q
1
(x)cosp

e
t+Q

2
(x)sinp

e
t,  (5)

where  the  frequencies  p
p
  and p

e
  may  be  different  in  the  general  case.

In  Eqs.  (1),  (2),  (3)  the  following  symbols  have  been  used:
£ / t3

D  =   - yjt\  2^  plate  stiffness,  c
0
  —  spring- stiffness  coefficient  of  the  plate  elastic

support, 6
0
,  p

o
  — coefficients  of material damping of the plate and its deformable support,

Q
p
,  h —  density  and thickness  of  the plate, a

0
,  Q

0
 —  sound velocity  and gas  density  of the

unperturbed  flow.

3.  Transformation  of  the  equations

The problem will be studied in the dimensionless  form, assuming'that the coordinate x
is  referred  to  the length  of  the plate  L ,  the normal  displacement  W —to  its  thickness h

r

an d the time  t —  to the ratio L JU
0
.  The  equation of motion is then  obtained in the form:

°(x,  t),  (6)



NONAUTONOMOUS  NONLINEAR  VIBRATIONS...  6 1 3

where  we  have:

-   12(1 - v2)- ^ ,  h  ^

a°  P(x rt -   i & 2

The  dimensionless  in- plane  force:

)',t)  =  12(l- v
2
)^ =rsN (W ,t)  =  S(t)- \ l  + P- ź - )c\  \ ^ f- \  clx,  (8)

and  the  pressure  difference:

u  T aw  I  1  \   ^n/ T
(9)

The  solution  of  Eq.  (6) is  sought  in  the form  of  a  series  of  normalized  eigenfunctions
Xj{pc)  of  the self- adjoined  boundary- value  vibration  problem  of  the  plate  considered  in
the  vacuum  with:

6  =  S(W ,  0  =   0,  (10)

and it is assumed that the dimensionless load P(x,  t) can be expanded in a series  of  functions
Xj(x).  Confining  ourselves  to  n  terms  of  these  series,  we  have:

(11)

F or  a  plate  simply  supported  at  both  edges —  that  is, for  x  =   0  and  x  =   1 — th e  eigen-
functions  are:

Xj(x)  =   ] / 2sin>*,  j  mm  l, 2, 3 , . . . .  (12)

On  substituting  (11)  and  (12)  into  Eq.  (6), taking  in to  account  (8),  (9)  and  making
use  of  the  G alerkin  method, we  obtain  a  set  of  equations  of  the  following  form :

+  e
i
j
2
w

J
cosp

p
t+y

0
bj(t),

for  y =   1, 2, 3,  .., , «,
where:

(14)



614  Z .  DŻ YGADŁO

Th e  skew-   symmetric  coefficients  6^ ,  for  j  ^   k  assume  the  form :

^ = - ^  =  7^r[l- (- iy+ *]  (15)

while  for  j  — k,b
jk
  =   0.

Th e  set  of  E qs.  (13) is  taken  as  a starting  point for  the vibration  analysis  of  the  system
considered  un der the assumption that, according to  (5), the external pressure  is a harmoni-
cally  varying  fun ction :

hj{t)  => hijcospet+hzjsmpet.  (16)

4.  Analysis  of  vibrations  in  the  vicinity  of  critical  parameters  of  the  system

Let us  assume  th at the vibrations  occur in the vicinity  of  the critical  state of  the system
u n der  study,  an d  the critical  state is  considered here as  the boundary  between  damped and
self- excited  vibrations.

I n this connection we shall examine th e simplified  set of equations which can be obtained
by  setting  the  right- hand  sides  of  Eqs.  (13)  equal  to  zero.

Th e critical M ach n um ber is denoted by M
cr
  and co

cr
 is the real frequency  corresponding

t o  M
cr
.

Th e  reduced  time  r  is  introduced:

r  — a>j t,  (17)

an d  Eqs.  (13)  will  be  transformed  to  give:

n

fc= l

far  ]• =  1 , 2 , . . . , »,
wh e r e :

n

Fj(v
t
,  ...,v

tt
,v

t
,  ...,v

n
,  T) BB (ri

Jilt
- r]j)bj  + (y

li)
.- y

1
)  2J  b

Jk
v

k
  +

h(r),  (19)

a n d  we  h a ve :
/   •   \

9P  —  Pp/ wi  3  (20)

ijjt, an d  y
lĄ t

  den ote t h e values  of  the coefficients  rjj  and y
t
  for  M  = M

cr
,  6 is a small para-

m eter.



N ON AU TON OM OU S  N ON LIN EAR  VIBRATION S...  6 1 5

The  solution  of the  simplified  set  of Eqs.  (18), for e -   0,  can be found as:

vj(r)  -   ^e'«r.  (2!)

The  coefficients  £j satisfy  the  set of  equations:

£ */ J =  0. (22)
A : = l

for  j, k = 1 , 2 , . . . , «,

where  6
Jk
 is the  Kronecker  delta.

The  frequency  equation  of th e  simplified  Eqs.  (18)  has  th e  form :

D
n
  =  tet\ \ (u3- q

2
+iqr)jjdj

k
+y

t
«bj

k
\ \   =  0,  (23)

F rom  Eq.  (23)  we obtain  the  critical  parameters:

M  =  M
cr
  an d  q~  q

12
=  ±q   (24)

and th e imaginary  parts of  t h e remainder roots of Eq. (23) are positive- that is, these roots
correspond  to damped  vibrations.

I t  results  from  the above  statement th at Eqs.  (18) satisfy  th e validity  con dition s of the
asymptotic  method  of  single- frequency  analysis [7].

F or  this  reason, we  seek  the solution of Eqs.  (18) in  th e first- order  approxim ation as:

VJ
(T )  =  a(fj e l v + Ę j eriv),  (25)

fory  = 1 , 2 ,  ...,72,

where:

a^ =a(z),  f  = qr+&(v).  (26)

The  first  derivatives  of  these  functions  can  be found  from  the  equations:

a =   eA^ a,  0) ,  (27)

and  we also  assume  t h a t :

q
CT

—q  — v{8).  \ A°)

On  substituting  th e  solution  (25)  in to  Eqs.  (18),  takin g  in to  account  (26),  (27)  an d
employing  the  method  of harm on ic  balance, we obtain  the  set of equation s:

foij- =  1,2,...,«,
where:

...,v
n
,i

u
  ...^ „ip- tye- 'i'dyj.  (30)

ATI J
0



616  Z .  DŻ YGADŁO

F rom  the  set  of  Eqs.  (29)  we  can  determine  the  functions:

A
t
  =   A

x
{a,  0) ,  B,  =   B,{a, &)

and  then  we  obtain  equations  of  resonance  characteristics  in  the  vicinity  of  the  critical
state  and  examine  the  question  of  stability  of  the steady- state  vibrations  under investiga-
tion .

5.  N umerical  analysis  of  vibrations

N umerical  integration of  the set  of Eqs.  (13) has been  also performed  in  order to study
the typical  courses of vibrations, phase plane portraits of the motion and resonance charac-
teristics  of  vibrations.

I n  this  connection  Eqs.  (13)  have  been  written  in  the  form:

2(vl  +  ft vkvk) +
(31)

for  j=  1 , 2 , 3 ,  ...,n.
Vibrations  were  calculated  for:

q
e
  =  q

P
ll,  q

e
  =  q

P
,  <7e =   0  (32)

an d  for  other  relationships  between  the  frequencies  q
e
  and  q

p
.

The  region  of  frequencies,  taken  into  consideration  in  the  numerical  calculations,
involved the first  two  natural frequencies  of the system  under investigation.  In the vicinity
of  these  two  frequencies  elastic  and  damping  properties  of  the  system  depend  on  the
parameter  of  self- excitation  in  a  significant  manner.

6.  Examples  of  numerical  analysis

Let  us  begin  with  the  short  analysis  of  the  simplified,  linearized  nonautonomous
vibration  problem.  Th e  frequency  equation  of  that  problem  is  Eq.  (23),  which  can  be
written  a s:

Ą ,  =   D
n
(M,  q)  =   ReD n +  iI m A,  =   0.  (33)

By  determining  the  real  roots  q  in  the function  of  number  M  from  the first  and the
second of Eq. (33)  separately, we can plot  diagrams  in the plane M, q, which are  shown  by
way  of  example  in F ig. 2 for  n  =   4  and  plate of L / h  =  180. The intersection point  of  the
ines  R e D n  =   0  and  ImD „   =  0  determines  the  critical  parameters  (24).  I t  follows  from
the com putations performed  that the location of the line ReZ>„  =   0 depends in an  insignifi-
cant  m anner on the value of  the material  damping 0.  The line ImD„  = 0 is  shifted  to the
left  with  increasing  values  of  0 .  This  fact  results  in  a  decrease  in  the  critical  parameters
(24).



NONAUTONOMOUS  NONLINEAR  VIBRATIONS... 617

20 -

15

The form  of the  lines  (33) for real  values  of q is also  a cause  of deformation  of the
resonance  diagrams in the function  of Mach  number. This is shown by way of example in
Fig. 3 for the forced  vibration  of a plate in supersonic flow  (cf.  [1]). In this figure a(0.5)
denotes  the coefficient  of  dynamic  amplification  of the  amplitude  of vibration  at the
middle  of the  plate.

It follows from  the computation  that for M  < Mcr the  maximum  amplitudes of forced
vibrations  approach  each  other  with  increasing  M  and a  sharp  resonance  occurs  in  the

UistablejDscillation M > M

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

4 -

4 Mech. Teoret. i Stos. 4/88



618 Z .  DŻ YGADŁO

critical  state  (24). In th e case  of  parametrically  excited  vibrations  of  a plate in  supersonic
flow,  deformations  of  regions  of  parametric  resonance  have  been  studied  (cf.  [1]).

The  vibrations  have  been  investigated  in  the  vicinity  of  the  regions  of  subharmonic
resonance  corresponding  to  the  first  two  natural  frequencies  of  the  structure.

11

0.28  -

0.24  -

0.20  -

0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

F ig.  4.

Some results  of  computation of  parametrically  excited  vibrations  are  shown  in Fig. 4,
which  presents  deformations  of  the  regions  of  unstable  vibration  on  the  plane  s2,  q

t
,

where  e  is  a  reduced  amplitude  of  parametric  excitation) and  q
t
  =   p

P
l

r
ha

1
.

I t  follows  from  the  computation that in  supersonic flow  the largest region  of  unstable
vibrations  is  the first  region  of  subharmonic resonance which  corresponds  to  the second
natural  frequency.  The  region  corresponding  to  the  first  natural  frequency  undergoes
strong  degeneration  resulting  from  the  action  of  the  flow.

F or M ach numbers M  approaching M
cr
,  for which the two natural frequencies  approach

each  other,  the  resonance  regions  corresponding  to  these  two  natural  frequencies  unite
and  for  M  =   M

cr
  there  occurs  a  single  fundamental  region  of  subharmonic  resonance

which touches the frequency  axis at the point q
±
  =  q

cr
.  F or M  >  M

cr
  the image of  regions

of  unstable  vibrations  becomes  more  complicated,  this  is  described  in  [1].
I n  the  case  of  the  nonlinear  system  let  us  consider  nonautonomous vibrations  in the

vicinity  of  critical  parameters.
Equations  (18),  (19)  will  be  used  under  the  assumption  th at:

=  0 , — hJ0cosqr. (34)



NONAUTONOMOUS  NONLINEAR  VIBRATIONS... 619

This enables us to study the forced vibrations and to determine the resonance  characteristics
of  the  system  for  subcritical  and  supercritical  Mach  numbers  (M  <  Mcr  and  M  >  Mcr)
(cf.  14]).

Some results  of computations  are shown  in  Figs.  5 to  10. Diagrams  present  the  ratio:

C  (x) =  C(x)IC(x)  f35^

versus  the  dimensionless  frequency  of  loading  q  in  the  interval  2.5  <  q  <  3.5  for  fixed
values  of  M  and  x,  where  C(x)  is  the  amplitude  of  forced  vibrations  of  the  plate  under
study. The diagrams  are plotted  for  a  point  with  the  coordinate  x  =  0.75, since from  the
computations  performed  it  results  that  the  maximum  of  the  plate  displacement  occurs
near  this  point  (cf.  also  [1]).

The  coefficient  a,  determining  nonlinear  properties  of  the  system, plays  the  role  of  a
parameter  of  those  diagrams.

Cw(0.75);

14

12

10

8

6

4

2

0

_
a­  •

_

OC=0J001  f

-  jl

i

i

L/h=170
I M = 2.3<MCT

M c r =  2.302

q . c  =  2.915

Po  =0.001

9 = 0

_j_^g_ -̂oc=0.1

U V I , ,
2.5 2.75 3.0

Fig.  5.

3.25 3.5

Figure  5  shows  the  results  of  computation  for  the  Mach  number  M  =  2.3  <  Mer
and  © =  0,  while  in  the  following  three  Figs.  6,  7,  8,  the  diagrams  are  presented  for
M  >  Mcr  and  0  =  0.

It  is seen in  Fig.  5 that for  a  number  M  < Mcr  the  nonlinear  properties  of the  system
considerably  decrease  the  amplitude  of  forced  vibration  in  the  vicinity  of  the  resonance
frequency  q =  qcr  even  for  small  values  of  a.

For  M  > Mcr  the  system investigated  becomes  a self-excited one and in the case for
a > 0 with P(x, 0 = 0, a stable limit cycle of self-excited vibration occurs with a frequency
near to  q„.



620 Z .  D Ż YG AD ŁO

F or  a  harmonically  varying load  P(pc, t),  M  >  M
cr
  and  a  >  0,  stable  periodic forced

vibrations  appear  in  the vicinity  of  q
cr
.  They  are  shown  by  bold  lines  in  Figs.  6  to  8.

F or  a  given  a  >  0, the maximum amplitude of  stable  forced  vibrations  increases  with
increasing  M  an d  the  range  of  q, in  which  these  vibrations  occur, becomes  narrower.

Stable  vibration
•   Unstable  vibration

L/ h =170
=  2.32  > M c r

M c r = 2.302
• =2.915

Stab le  vibration

Unstable vibratfon

L/ n=i7 0
M = 2 . 3 5 > M c r
M o r = 2.302
q,  = 2.915
'or

By  contrast, for  a  given  number  M  >  M
cr
,  the  maximum  amplitude  decreases  and the

range  of  stable  periodic  vibrations  widens  with  increasing  a.
F igures  9  an d  10  show  some  results  of  computation  performed  for  the case  in which

a  small  material  damping  & =   0.05  is  taken  into  account  and  M  >  M
et
.



C w(0.75)<

14

12

10

8

oc = 0.005

ot=0.01

L/ h = 170
M = 2 . 4 > M c r
M c r = 2.302
q , c r = 2.915

ą ,=0.001

e=o

Stable  vibration
Unstable  vibration

a  =  0.05

a  =  0.1

ot= 0.05
a  =  0.01  ; 0.005; 0

2.5 2.75 3.0  3.25

F ig.  8.

3.5

Cw( 0. 75) '

16

14

12

10

=0.001

I  a= aoos

a=0.01

L/ h= 170

8  =0.05

M = 2.3> Mcr-
M c r=2.273
q,cr=2.72

Po  = 0 001

Stable  vibration

Unstable  vibration

2.5 2.75 3.0  3.25

F ig.  9.

3.5
,

•



622 Z .  D Ż YG AD ŁO

C w ( 0 . 7 5 )
J

16

14

12

10

0.

a  - 0.005

0.01

L/ h  =170
e  = 0.05
q , O P=2. 72

M  =2. 35  > M C p

M C P = 2 . 2 7 3

Stable  vibration

Unstable  vibration

a  = 0.01

cc = 0.005

2.5  2.75  3.0  3.25

F ig.  10.

3.5  q,

Comparing  th e diagrams  in F igs.  9 and  10 with  those in  F igs.  6 to  8, we find  that the
introduction  of  material  damping  by  means  of  the Voigt  model  generates  much sharper
resonance  maxima  than  in the system  without material  damping. The  same  phenomenon
has  been  found  in  the  case  of  forced  vibrations  of  linear  aeroelastic  self- excited  systems
(cf.  [1]).'

7.  Concluding  remarks

N on auton om ous  nonlinear vibrations  of  continuous self- excited  systems  have interes-
tin g  properties  which  are  important for  aircraft  engineering.  Some  results  of  numerical
analysis  of  resonance  characteristics  of  such  a  system  have  been  presented  in  this  paper.
The  equations  derived  in  the paper  enable us also to  study  other kinds  of nonautonomous
vibrations  including regular  and chaotic motions of  the system.  This will  be  presented in
further  publications.

References

1.  Z .  D Ż YG AD Ł O,  On  nonautonomous bondary value problems of  plates  oscillating in supersonic flow.  Fluid
D yn am ics  Tran saction s,  vol.  4,  P WN ,  Warszawa  1969.

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to  a follower  force.  P ro c.  Vibr.  P robl.  N o  3,  vol.  13,  1972.



N ON ATJTON OMOU S  N ON LIN EAR  VIBRATION S...  6 2 3

3.  Z .  D Ż YG AD ŁO,  Forced parametrically- excited bending vibrations of  a  rotating  shaft.  P roc.  Vibr.  P ro bl.
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jie6anuu,  VL SR.  H ayn a,  MocKBa  1974.

P  e  3 K > M  e

HEABTOHOMHŁIE  H E J I H H E H H B I E  KOJIEBAHHH   ABTOKOJIEBATEJILHOH   CH CTEMBI
C  PACnPE^EJIEH H ŁIM H  IIAPAMETPAMH . nJIACTH H KA  B CBEPX3BYKOBOM   IIOTOKE

PaccMOTpeH bi  HeaBTOHoMHbie  H ejiH H eiiH bie  KoneSam iH   aBTOKOJie6aTejjj.Hoft  CH CTCMBI  C  p a c n p e fle -
jieHHMMH   napaM eipaM H   Ha npH M epe  njiacTHHKH   KoH exmoii  HJiHHbi  B  IIJIOCKOM  CBepx3ByKOBOM   noToKe
H arpy»ceH H oft  oflH OBpeMeimo  rapMOHHtiecKM   MeHmoiUHMca  AaBJieHMeM   M  napaiweTpiniecKH   BO36y>Kfla-
IOIU H M H   cHJiaMH  B e e  n n ocKocTH . B  ypaBHeHHH   nJiacTHHKH  yi r e H o  HejumeHHOCTL  yn p yr n x  H   H e yn p yr a x
CHJI  BbI3BaHHBK  HaTpy3KOH   B  nJIOCKOCTH   njiaCTHHKH.

P eineH H e n pefljraraeTca  B B H AS  P ^fla  n o  coScTBeHHWM   $yH KrraaM   KoJie6aH H ii  nnacTHHKH  B  BaKyyMe.
IIpHMeHeH   acMMnroTEwecKHH   MeTofl  oflH craacm oro  aH ajiiraa  KOJie6amitt  fljin  H ccjiefloBanH H ;  pe30H aH -
CHŁDC XapaKTepHCTHK  B  OKpeCTHOCTH   KpHlOTeCKHX  HapaMCTpOB  aBT0KOJie6aTem.H 0S  CHCTeMW  H   MeTOffl

H H ierpH poBaH H H   ypaBH eH H H  HBH)KeHHH.
pe3yjitTaTM   npH M epH bix  qH cneH H Bix  p a we T o B  pe30H aH CH bK  XapaKTepHCTHK H C -

S t r e s z c z e n i e

N I EAU TON OM I C Z N E  N I E LI N I OWE D R G AN I A  C I Ą G Ł E GO  U K Ł AD U  SAM OWZ BU D N E G O.
PŁYTA  W  OPŁYWB3  N AD D Ź WI Ę KOWYM

Rozpatrzono  nieautonomiczne  nieliniowe  drgania  cią gł ego  ukł adu  samowzbudnego  n a  przykł adzie
pł yty o skoń czonej  dł ugoś ci w pł askim opł ywie naddź wię kowym  obcią ż onej  parametrycznie  pobudzają cymi
sił ami  w  pł aszczyź nie  pł yty  i  harmonicznie zmiennym  ciś nieniem.  W  równaniu  pł yty  uwzglę dniono  nie-
liniowość  sił   sprę ż ystych  i  tł umią cych  spowodowanych  sił ami  napię cia  w  pł aszczyź nie  pł yty.

Rozwią zania  poszukiwano  w  postaci  rozwinię cia  wzglę dem  funkcji  wł asnych  zlinearyzowanego  prob-
lemu  drgań  pł yty  w  próż ni.  Omówiono  asymptotyczną   metodę  jednoczę stoś ciowej  analizy  drgań  w  celu
wyznaczenia  rezonansowych  charakterystyk  w  otoczeniu  krytycznych  param etrów  samowzbudnych  drgań
ukł adu  oraz  metodę   numerycznego  cał kowania  równań  ruchu.

Przedstawiono  wyniki  przykł adowych  obliczeń  numerycznych  charakterystyk  rezonansowych  bada-
nego  ukł adu.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  8  grudnia  1987  roku.