Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\04mts88_t26_zeszyt_4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 26 (1988) Y U -   PL'87 DYN AMIC  OF   TH E  MATERIAL  BOD Y  WITH   VARIABLE  M ASS P I OTR  K ON D E R LA Politechnika  W rocł awska 1. Introduction The  paper  contains  the  analysis  of  the  material  deformable  body  of  with  the  mass is growing with  time. Such a body  may be the model of the real constructions being  in the course of assembly.  This  study  is an  attempt of description of the  dynamic  process  in the aforementioned material system.  F or example, in the figure  1 are shown  three engine- V/V/2 ł  t F ig.  1. ering objects in the course of  erection. I t is easy  t o notice, that there are two factors,  which are  not  usually  taken  into  consideration  in the  classical  analysis  of th e  construction: a)  the load as well as the deformation  of the construction take place already  in the course of  erection of the  object, 626  P.  KONDERIA b)  using  the  material  which  undergoes  the  ageing  (for  example:  concrete)  we  deal  with the  anisotropic  body. In  the  literature  of  the  subject  there  is  small  amount  of  the  papers  devoted  to  that problem.  There  is  only  monograph  of  Arutunian  and  Kolmanowski  [1] where  one can find  an  extensive  discussion  of  that  problem  together  with  numerical  examples.  In  prin­ ciple, the authors confined  themselves to  the discussion  of the linear, viscoelastic problem, concentrating  on the models of the ageing body. This monograph  is a recapitulation  of the earlier  works  of  these  authors  as  well  as  others  [2, 3, 4, 5, 6, 7]. This  study  is  an  attempt  of  the  construction  of  the  model  of  the  material  body  with variable  mass  treated  as  nonlinear  one,  at  the  same  time,  the  starting  point  is  classical problem,  i.e.  dynamic  process  of  the  material  body  with  constant  mass. The paper presents the definition  of the body model, there is description  of the motion, the measures of strain and stress as well as forces  acting on the body. Next there is proposal of  the  modified  principled  of  behaviour,  which  supplemented  with  constutive  relations create the basic system of the model relations. It was proved, that all relations to be derived coincide with classical equations for  dynamic process in the case of limiting transition  from the  body  with  growing  mass  to  the  body  with  constant  mass. i 2.  Basic  definition  and  assumptions In  Euclidean  space E  was defined  an  arbitrary  system  of  coordinates  {*'}  interrelated with  Cartesian  coordinates  {z'}  by  transformation: *'  ­  x\z\  z2,  z3),  za =  ^(x1,  x2,  x3),  (1) which  is  further  called  the  system  of  the  spatial  coordinates. The  natural  basic  of  the  system  {x1}  are  vectors: gt(x)  =  ?,(x)ea,  (2) metric  tensor  is  in  the  form: gu(x)  =  gi(x)gj(x)  =  frfj  8ab.  (3) In  the  same  space  was defined  second  system  of  coordinates  {X1},  which  is called the system  of  the  material  coordinates: X'  =  X'{Z\  Z\  Z 3 ) ,  ZA  =  Z^X^X^X3),  (4) with  the  natural  basic: C?I(X) =  Z f I ( X ) ^ )  (5) and  the  metric  tensor: GrJ(X)  =  Gj(X) Gj(X)  =  ZfjZfj  dAB.  (6) Cartesian  systems  {z°}  and  {ZA}  are  identical. The  following  definition  of  the  material  system  (material  body)  with  increasing  mass have  been  introduced: DYNAMIC  OF  THE  MATERIAL...  627 Def.  1.  The  material  system  is  a  set  B  composed  of  the  bodies  AJ,AJ,AK,  ...,  being Boolean  algebra  with  relations  of the  alternation  v,  conjuction  A  and  arrange­ ment  < . Def.  2.  The body with increasing mass is called a  material subsystem B* if it is the  subset of  the  material  system B*  <=  B  and  if  the  elements  of  B*  are  the  bodies  B%  e B* with  the  following  structure: a)  Bt  body  is the  set  of  elements  P  called  material  points.  Subscript  t  refers  to  the moment  t  under  consideration,  and  for  every  t2  >  tx,  Btl  c  Bt2. b)  Every  element  Bt  e B*  can  be  mapped  onto  Euclidean  space  E,  it  means  that  at every  moment  t  the  configuration  %t  of  the  body  Bt  in  E  is  given. c)  In  the  space  E  to  each  body  configuration  Bt  is  assigned  Borel  measure  on  all subsets  of  Bt  set. d)  For  every material  point  P eBt  the specified  system of  the  constitutive  equations defining  the  material  is  fulfilled. The  above  definition  is  an  extension  of  the  known  definition  of  the  material  system [8]. According with the  postulate  b) there is possibility  of  the  assignment  to  the  elements P eBt  of  the  definite  place  in  the  space  E,  what  was  written: X=xt(P),  XeE.  (7) It  is  assumed  that  the  mapping  (7)  is  so  choosen,  that  for  the  same  element  P  e  Bn and  PeB,2,  xn(P)  should  equal  to  xt2{P). The  aforementioned  definition  of  the  body  with  increasing  mass  one  can  interpret twofold: — as  a set  of  bodies Bt  with  constant  mass, at the  same  time, the  mapping  of  the  points of  these  bodies  X  =  xt(P)  is  so  choosen  that  for  the  successive  moments  tx  <  t2  < <  t3  ...  their  pictures  in  E  overlap  respectively  xtl{P)  =  xt2(P)  =   xt3(P)  ••• — as  a  one  body,  whose  picture  in  E  evolves  in  time,  i.e.  it  constitutes  differentiable manifold  in  the  space  with  variable  boundaries. In  the  later  passage  of  the  paper  the  second  interpretation  was  used  as  being  much closer  to  the  physical  interpretation  of  the  problem. Evolution  of  the  material  body  is  a  determined  process,  i.e.  there  is  known  function defining  the  instant  when  the  element  P  becomes  an  element  of  the  material  body.  This function  is called  the  function  of  the  mass  increment  r(xt(P))  =  T ( X )  and  was  described as  follows: Def.  3.: a)  Function  t{X)  takes  the  values from  the  time  interval  [t0,  T] and  it  means  the instant  /  of  the  particle joining  with  the  coordinate  X  to  the  material  body.  It the  instant  t  =  T  the  body  reaches  its  nominal  mass. b)  Function  r{X)  is  the  continuous  function  of  the  class  C1  on  the  finite  number of  the  subdomains  Qt.  On  the  boundaries  of  these  subdomains  there  can  be discontuities  of the function  r(X)  itself  or  its  derivatives. At  the  same  time  it  is assumed  that  the  boundaries  of  the  subdomains  may  be  only  the  equiscalar surfaces  of  the  function  t(X). c)  Function  x(X)  has  been  choosen  in  such  a  way  that  at  every  moment  of  time 628 P .  KONDEBLA te[t0,  oo)  there  is  ensured  material  continuity  of  the  body  — there  are  no relative  extremum  at  each  of  the  subdomains. d)  Equiscalar  surfaces  r{X)  are smooth ones, coinciding with some part of the domain boundary  Qt­ The definition  written  above enables us to formulate  the problem.  From the engineering point  of  view,  the  goal  is  to  build­up  and  to  describe  the  motion  of  the  material  body taking  up  determined  shape in the space. It is assumed  that the body  shape to be designed in  the  space  E  assumes  the configuration  J f  and  occupies  the  domain  Q  (fig. 2). On this space  there  is  defined  function  x(X)  which  allows  for  explicit  determination  of  that  part of  the  domain  Q,  <= Q  which  is  occupied  by the body  for  given  instant  t.  At  instant  t for every  XeŁit  the relation  r(X)  ^  t is fulfilled.  Configuration  Jf  (further  called  the initial reference  configuration)  and the function  z(X)  in  the  explicit  way  determine  each  of the configurations  tft  of  the  body  B,  in  E. The  body  domain  Qt  is  limited  by  the  surface  St  and St  =  S}uS?uSf,  (8) where  Si  is  the  surface  with  assigned  kinematic  boundary  conditions,  Ł?  is  the  surface with  assigned  kinetic  boundary  conditions.  Surface  S?  is  uncloaded,  equiscalar  surface of  the  function  r{X),  the  evolving  surface. Q) • A y ., '*,  " 2 Fig. 2. DYNAMIC  OF  THE  MATERIAL...  629 The body is loaded  by the body forces f(x,  t)  as well  as by the surface  forces  qo(x,  t) on  Sf.  Every  element  with  coordinate  X  at  instant  t has attributed:  mass  density  go(X) and  the initial  speed  vo(X).  It  is  assumed  that  at  the moment  t  — r(X)  at  point  X  the deformation  equals  to  zero. 3.  Motion.  State  of  strain In  the course  of the motion  the material  body  at  instant  t  occupies  the  actural  con­ figuration  xt.  Each  of  the material  points  P —  ^T~ l{X)  takes  up the position  x(P). The set  of  all  these  configurations  we call  the  body  motion,  and it  is  written: xl - »!(?) - %%x, t), (9) where  %(...) is  the  deformation  function,  XeQt,  te[t0,co). Equation  (9)  describes  the  motion  with  respect  to  the  reference  configuration  X. The  mapping  x <­> X  is  explicit  (/  =  det^x'/dX1)  ^  0),  thanks  to  that  there  is  inverse relation: X'  = X'"(x,t).  (10) Speed  and  accleration  of  the  point  X  was  written  in  the  form The  basic  measure  of the  deformation  is  deformation  gradient.  From  definition  we have [8]: F>(X, 0 ­  ­g§r *'(*> 0  and  Fru(x,  0 ­  ­ Ł r *""(*, 0 •  (12) In  general, configuration  X  is not the configuration  of the  state  of the  natural  body, thus, the deformation  (12) doesn't  express the real  deformation  of the element at point  X. At  instant  t =  r(X)  the  deformation  gradients  equal  to: F\(X,  T) =  F[(X),  Fri\x,  T) =  Fru(X),  (13) and  in  general  are  different  from  g\  and  g\(g\(x,  X)  =  g'G^gliXyX)  =  GTgi). On  the  other  hand,  there  is  not  such  configuration,  where  all  elements  (particles) would  be in natural  state.  To  overcome this  difficulty  it  was necessary  to  introduce  the concept  of  the local  reference  configuration. Def.  4. The local  reference  configuration  Jf T in  the neighborhood  of  the  element  X  is tangent  to  the  actual  configuration  XTM  at  the  place  x(X,  r). Definition  4  allows  for  the  construction  of  the  configuration,  in  which  all  elements of  the body  are — according  with  the  previous  assumption — in  the natural  state  (un­ deformed).  At  instant  t ­  r(X)  the  position  of  the  element  X  equals  t o : V  (14) 630 P .  KONDERLA Let: 0«(X) =  dfx'iX,  T(X))  =  *&,(*), X\&)  =  titf'QB).  ( 1 5 ) The  system  of  coordinates  {0a}  determined  by means  of eq.  (15)  will be  distinguished by introduction  of the local reference  configuration Cffx.  To mark off,  all quantities descri­ bed  with  respect  to  local  reference  configuration  will  possess  dash  over  the  letter. X Fig.  3. In  the fig.  3 is shown the material body in configurations  Jf,  JTT and x,.  The radiuses­ vectors  of  the  point  X  in  the  particular  configurations  are  equal  to: (16) .  (17) r(X, O =  AX,  t)gt(x), r(0,  t)  a r(y^(0),  t). Vector  of  the  natural  base  of  the  system  {0a}  are  equal  to: (T>  '  h=r{X) Putting  Ki(&) H  x we  have: (18) where  gt(X)  = gi(x,  r(X)),  H(X)  =  F\(X, r(X)). Tensor  JSTis in  reality  transformation  tensor  of  the  configuration  j f  on  configuration X~x.  The  inverse  tensor  K' 1  has  the  form: lei The motion  and  deformation  gradient with respect to  the local reference  configuration are  equal  to: xi  _  tf(x7r)(&),  t)  =  x l(@> 0,  (2 0) (21) D YN AM IC  OF   THE  MATERIAL... 631 D eformation  gradient F  which is  called further  the gradient  of  the relative  deformation expresses  the  real  deformation  of  the  material  point.  It  is  interrelated  with  gradient  F by  the  transformation  expression: tt(0,t)  =  F\ CX,t)Kl(0),  .  (22) and  at  moment  t  — r(X)  equals  to  1. 22( 0,   T) =   F}(X)KI(0)  = & ( © ) ,  (23) where  &(©)  =  g'G a . Transformation  (15)  is  continuous, if  the  function  r(X)  is  of  the  class  at  least  C 1 . Otherwise, tensor  K  as well as  the quantities connected with  local reference  configuration have  the  surfaces  of  discontinuities.  D iscontinuity  of  function  r(X)  in  the  real  process corresponds  with  the  pause  in  the  erection  of  the  material  body  while  the  discontinuity of  the gradient  Vt(X)  refers  to  the  sudden  change  of  the speed  of  increment of  the  body mass,  Other  measures  of  the  strain  are  in  the  form: —  tensors  of  G reen's  deformation: CIJ(X,  t)  =   F ± ,(X, t)Fj(X,  t), C aa {0,  t)  =   F Ja (0,  t)Ę (&,  0  = —  tensors  of  G reen- Saint Venant's  strain: 2EIJ(X,  t)  =   CJJ(X,  t)  - G„(X,  t), , t)  =   Ca/ i(6>,  t)~ (24) (25) 4. Principles of conservation 4.1. Principle of  the mass  conservation.  According  with  the formulated  problem  the  whole mass of the material  body  changes  with  time. It  is  assumed,  that  at  any  instant  t  at  th e domain  co t   there exists  the  scalar  function  Q{X,  t), which  is  interpreted  as  a mass  density. At instant t  =   r(X)  the  particle  with  coordinate  X  has  assigned the known  mass  density equal  to  Q O (X): (26) Fig.  4. 632  P.  KONDE/LA The  body  in local  reference  configuration  Xr  occupies  at the moment  t the domain Qt  (fig­ 4) and the mass increment takes place on the surface Sf. At instant t+dt  the domain occupied  by the body  equals  to Qt+it­  The  total  mass  of the  body  in the time  interval [t,  t+dt]  increases  by  the  mass  of the material  particles  being  contained  between  surfaces S~? and S?+jt •  The  measure  of the  distance  between  these  two  surfaces  is the segment dl collinear  with  g r a d 0 r . The principle  of the mass conservation  can be formulated  as follows: the time derivative of the mass increment  of the material  body equals to  the speed of increase of the body mass on  the surface  Sf,  what  was  written: f e(x,  t)dco(x) =  feo(X)­~dS.  (27) After  transformation  of the  left  hand  part  of eq.  (27)  we have: (x, f)dco =  ­Ł­  [Q(X,  0 / ( 0 ,  t)dQ(0)  ­ Dt  J a, D Dt tut (28) Qt= const Sf where  J(6>,f)  ss  det(fŁ)l/det(gy)/det(Ga/,). After  substitution  (28) to  (27)  one  can  get  the  local  form  of the  principle  of the  mass conservation: ~  [Q(X, t)J(0,  t)] =  0.  (29) 4.2.  Principle of balance of momentum.  Momentum  &  of  the  material  body  occupying at  instant  t  the  domain  a>t can be  expressed  as: 9  m  Jv(x,  t)S(x,  t)dco(x).  (30) The principle  of balance  of momentum  postulates that  instantenous  material  derivative of  momentum  equals  to the sum  of the  forces  acting  on this  body,  hence: 't)dco(x) = ff(-x' §­  fpo(X)dS(X). (31) According  with  assumption  the material  particles  with  cordinates  X  have  assiggned the  vector  function  vo(X),  what  is  interpret  in  the real  process as a initial  speed at the mo­ ment,  when  the particle  "joins"  the body,  i.e.  at moment  t =  z(X). The  quantity  po(X) D YN AM IC  OF  THE MATERIAL...  633 should be interpreted as a density  of momentum falling  on the surface  Sf resulting  from "the joining"  material particles. After  transformation of the left  hand of eq.  (31) we have: ^ Ą 0 ) Segment  dl is connected with  the speed  of displacement  of the boundary  Sf  by  the dependence: ( 3 3 ) After  substituting  (32) and (33) to (31) and further  transformations  we  arrive  a t : Ja(x,OQ(x,t)da>(x)=  Jf(x,t)Q(x,t)dco(x)+  J  q o (x,t)ds(x) + m  s '- s '  ( 3 4 ) +   J  [v o (X)- HX)] 9o (X)v n (,0)ds(x). The integrand in the last  integral  one can interpret as the load intensity of the  surface Sf. The difference  vo(X)— i>(X) is the diference  of the particle  speed  with  coordinate X and the particle of the surface  x(X, r) e sf  at the instant, when the particle has joined th e material  body.  After  denotation: [g o (x, t)  for  xesfusf the principle of balance of momentum  conservation  can be written in the standard way: Ja(x,  t)Q(x, t)d(o(x) =   / / ( *, t) e (x,  t)dco(x)+  f  q(x, t)ds(x).  (36) tot ™r < > t After  analogous  as  above  transformations  one can get the equation  expressing the principle  of balance  of moment of momentum conservation  in the form: f~r(x,t)xv(x,t)e(x,t)]d(o=  fr(,x,t)xf(x,  t) e (x, t)dco + (37) r(x,t)xq(x,t)ds(x).f 5. State of  stress.  Ciuchy  equations of  the  motion In  the F ig.  5 there is  shown  the  material body  with  distinguished  element of volume in reference configurations Jf  and Jf T   as well as in actual configuration x t . At the interface of the surfaces  cut- off  in the thoughts it is postulated the vectors field  of stress  / ( n ) , which can  be presented  in the form  of the stress  tensors: 5 Mech. Teoret. i S tos. 4/ 88 654 P .  KON D ERLA F ig.  5. t (n) ds(x)  =   tk'(x,  t) gl (x)n k (x)ds(x)  =   T "(X,  t) gi (x)N j(X)dS(X)  = (38) where  T ",  T "  are Pioli- Kirchhoff  stress  tensors  with  respect to X  and X~ T  configurations respectively. Cauchy  equations  of  the  motion are local  forms  of  the  principles  of  balance  of mo- mentum  and  moment  of  momentum  conservation.  Let  discuss  the domain  co t  limited by the surface s t .  According to def. 3 function  r(X) or grad t(X)  can posses definite number of  the discontiuties on the surfaces  s}, sf,...,  jf  (Fig. 6). In this way there can take place F ig.  6. the discontiuties  of the stress tensor. Dividing the domain co t  on the separable  subdomains oĄ  as well  as taking  advantage  of  the boundary  conditions, eq. (36) can be written in  the form: (39) a(x,  t) e (x,  t)dco(x) =   jf(x,  I)Q{X,  t)d(o(x)+  f  t M ds(x)  + < ot St D YN AM IC  OF   THE  M ATERIAL...  635 The  last  sum in the eq.  (39) is by identity  equal  to zero,  what  gives  the  continuity condition  of the  stress  vector  on the surfaces sr t : X>(*>0 =  0  for  xesr t ,  (40) After  denoting  by  SoĄ the  limiting  surface  of the  domain  eoj we  have: J  a(x, t)g(x, t)d m (x) -   ff(x,  t) Q (x,  t)da(x)+Y  f t M ds(x).  (41) Taking  advantage  of G auss- Ostrogrodski  theorem for each of the terms of sum  and  carry- ing- out  all  necessary  transformation,  we  have: R £  f  {$ ( *,  t) +  Q (x,  t) [f l (x,  t)- ef(x,  t)]} gl {x)da>(x)  =  0.  (42) "• - I ml Hence, the first  Cauchy  equation of the motion together  with  the continuity condition has  the  following  form: R # ( * ,  t)+ e (x,  t) [f{x, t)- a l (x,  0] -   0  for  x e U  ~ where  r 2  >  Tt  > 0.  The  initial  moment  is  t0  =  0.  It  was  assumed  that  T2  =  Tt  = T (see  Fig. 7). As it results from  (46) the disk is build in two time intervals 10, — Tt  and  ­yT2,T2\. The  pause  in  the  course  of  building  of  the  body  corresponds  to  the  time  interval — T l 5 — r 2 j .  The  diagram  of  function  r(X)  is  shown  in  fig. 7b. X2 r — l _ 1 1 _ — t = O T-T-] i J ~  i •H­i _ 1  1 X1 t = 0.25T 1 1 I  I  I  I — 1 ~  i T­|~r­| Fig.  8. DYNAMIC  OF  THE  MATERIAL... 637 The disk is subjected to the "pure" forced  shear. Disk motion is described by equations: (47) where  A —an  arbitrary  constant. The  successive  phases  of  disk  construction  as well  as  its  successive  configurations  are shown  in  fig.  8. The  local  system  of  the  material  coordinates  is  defined  by  eq.  (15): 0(X)=xM(X), x{T){ (48) The  transformation  matrix  of  system  {X1}  into  {<9a} is  in  the  form: 1 K(0) Kl(9)  = AT,0 z 0 1 (49) 1 Coordinate  system  {&a} has  the  surface  of  discontinuity  for  X2  =  —. It  is equiscalar surface  of  the  function  T(.X')  at  the  moment  of  "the  pause  of  building"  of  the  disk.  The vectors  of  the  natural  basis  of  the  system  {0a}  as  well as  the first  metric form  equal  to: " 2 1 + A2T20l02  ' sym. 1 The  motion  in  relation  to  the  local  configuration  expresses  the  equation: 02 The  strain  measures  in  relation  to  the  local  configuration  are  equal: gradient  of  the  relative  deformation: FL0,  t)  = At­ 1 ATt0 2 0 1 ATt0 l+l_ (50) (51) (52) 638 P .  KON D ERLA tensor  of  the relative  deformation: , t) tensor  of  the relative  strain: AT ( 6 2 \ e i +i  L  (AT ^ +D \ At   AT &  V _ AT t 0 2 (Afi&' sym. (53) sym. 1 _  A2T f0l&2 ]  (AT ^   + i (54) X V* \v \ 0.5 E12/ AT 1,0 F ig.  9. All  the strain  measures  in relation  to the local  configuration  on the line X2  =  - y are discrete.  F or  example,  fig.  9  presents  the diagrams  of  non- zero  values  of  strain  tensor coordinates Efollowing their transformation into the system {x1}  according to the relation: (55) References 1.  H .  X .  ApyrroH U H ,  B .  T .  KOJIŁJH AH OBCKHJ  T eopun  noji3yuecmu  iieodHopodHbix  Ten,  H ayKa,  M O C K BS 1983. 2.  H .  X .  ApyuoH tfH j  A .  A.  3 E B H H J  OnrmiManbuaR  $opMci napaią ueaeMou  KO/ IOHHU,  H 3B.  AH   C C C P , M T 1\   1981,  Hp.  5,  c.  128- 132. 3.  H .  X .  ApyiiOHHHj  A.  A.  3 E B H H 5  3adanu  onmumizaą uu  e  meopuu  noMyuecmu  djin  HapaufueaeMUX meji,  nodeepotceHHUx cmapmwo,  H 3B.  AH   C C C P ,  M T T ,  1979,  H p .  1,  c .  100  -   107. 4.  H . X .  AP YM O H H H J  Kpaesaa.  mdana  meopuu  nomywcmu  ÓJIH  Hapauiueaejuoeo  mejta,  I I M M ,  1977, T . 4 1 ,  Bt in .  5,  c.  783  -   789. 5.  H .  X.  ApywOHHH, B.  B.  M ETJIOB, HeKomopbie  3abami  meopuu  noji3yuecmu  HeodHopodHO- cmapetoufUX men  c  u3MenHK>ufeucx  ipanuijeH, M 3B. AH   C C C P , M T T ,  1982,  H p. 5,  c.  91  1  100. 6.  H .  X .  ApyriOHHHj  A.  C .  JI O 3O BC K H ,  06  odnou  3adane  meopuu  en3Koynpyiocmu  d/ iH men  c  (p~a3oeMMU npespatą euuHMU,  flAH   Apiw.  C C P ,  1977,  T .  65,  H p.  2,  c.  109—115. D YN AM IC  OF  THE M ATERIAL...  639 7..B.  i t .  XAPJIABJ  K  AUHBUHOU  meopuu noA3y- tecmu  itapaufueaeMoio  me/ ta, M ex.  GrepHHUHpoBaHHbie  3aK 0H ti  coxpaH eH H ji,  KOTopbie onpeflejiaiomBM H   ypaBHeHHHMH  flaiOT ocHOBHyio  CHCTewy  cooTH onieH H H   M oflen a. B  oKOJwaHHH   pa6oTBi  noKa3aH o  n pn iwep  H iunocTpH pyiomH H   KHHeMaTH^ecKHe  3aBHCH!»ocTH  M O - S t r e s z c z e n i e D YN AM I KA  CIAŁA  M ATERIALN EG O  O  Z M I E N N E J  M ASIE W  pracy  skonstruowano  model  ciał a  materialnego  o  zmiennej  masie.  P odan o definicję   takiego  ciał a, opisano ruch, miary odkształ cenia i naprę ż enia oraz sił y dział ają ce n a ciał o. N astę pnie postuluje  się   zmodyfi- kowane  zasady  zachowania,  które  po  uzupeł nieniu zwią zkami  konstytutywnymi  dają   podstawowy  ukł ad relacji  modelu.  W  zakoń czeniu  pracy  podan o  przykł ad  ilustrują cy  zależ noś ci  kinematyczne  m odelu. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  28  grudnia  1987  roku.