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MECHANIKA  Y U  —  P L'8 7
TEORETYCZNA  ru.oi
I  STOSOWANA

4,  26  (1988)

THE  INFLUENCE  OF  MOISTURE  AND  TEMPERATURE  ON  THE  BEHAVIOUR
OF  ORTHOTROPIC,  VISCOELASTIC  PLATES

ZEN ON  KOŃ CZAK

T echnical  University  of  Poznań

1.  Introduction

The  influence  of  humidity  and  temperature  variation  on  the  properties  of  different
materials  is  commonly known.  In the case  of  wood  and plywood  this  influence  is  of  great
moment for  the durability  and the behaviour  in constructions  of wood  as  well. N umerous
investigators  have  shown  that the mechanical properties  of  such materials  strongly  depend
on moisture, also.  The  influence  of  temperature  on  the elastic  properties  of  wood  is  also
perceptible.

There  are  many  papers  in  which  mathematical  models',  involving  the  variations  of
moisture  content  and  temperature  are  considered  (e.g.  [1 -  3])  basing  on  experimental
investigations.  Recently,  Baż ant  [4]  has  formulated  the  constitutive  relation  for  steady
states  conditions  basing  on  the  Maxwell  chain model  whose  viscosity  coefficients  depend
on moisture content and temperature. However, in the cases  mentioned above  one dimens-
ional  problems  were  studied  only  and  an  anisotropy  of  the  material  was  omitted.

The object  of  this  paper  is  an  attempt to formulate  th e equations  describing  th e beha-
viour  of  orthotropic, viscoelastic  plates,  subjected  to  t h e  influence  of  temperature  and
moisture  variation.

The  paper  consist  of  two  general  parts.  The first  one  is  concerned  with  deriving  the
fundamental  equations  for  the  body  considered  basing  on  the  principles  of  mechanics
and  thermodynamics. We  restrict  our  considerations  to  the linear  case,  only.  I t  indicates
that  the  displacements,  temperature  changes  and  moisture  concentration  are  assumed
to  be  small.  The  second  part  is  devoted  to  formulate  th e  basic  differential  equations  for
thin  plate,  where  the  equations  that  were  just  derived  in  the first  part  will  be  applied.

2.  Basic  equations  i

The  point  of  departure  of  our  considerations  are  th e  balance  equations  t h at  result
from  the fundamental  laws  of  mechanics  and  thermodynamics  of  continuous media.  The
local  balance  laws  which  must  vbe  satisfied  are:



642  Z . KOŃ CZAK

1.  conservation  of mass

ć =   - Vi,  t + r
m
,  C =  Q„/ Q  (2.1)

2.  balan ce  of linear  momentum  an d  angular  momentum

Vji.j+Xi  = $u  <*si =
 a
u  (2.2)

3.  balance  of energy

e =  a
n
 e

u
~q

ut
+  (,«»?,),

 t
 + r

h
-  fj,r

m
  \   (2.3)

4.  en tropy  inequality

»> Tf > - ( f )i f
  (2"4)

where  c  denotes  the  concentration of moisture,  Q
m
 and  Q are the  densities  of moisture

an d  the  material,  respectively,  Gij is the  stress  tensor,  e^  is the  deformation  tensor, X[
is  the  body  force  vector, u

t
 is the  displacement  vector, q

t
 is  the  heat flux  vector,  i\ i is the

vector  of moisture  mass  flux, fi is the potential of moisture  transmision,  e, s, r
h
,  /• „,  and T

are  respectively  the  internal  energy,  the  entropy,  the  internal  heat  source,  internal  source
of  diffusing  m atter an d  the absolute  temperature. A superposed  dot denotes  differentiation
with  respect  to  the tim e  variable  t and  (), * denotes  partial  differentiation  with  respect  to
the  coordinate  Xi, referred  to a  system  of rectangular  cartesian  axes  fixed  in space.

A  different  form  of the  entropy  inequality  (2.4) will be  more  convenient  in the  further
considerations.  We  will  obtain it by eliminating  from  (2.3)  and  (2.4)  the  heat  source r

h

an d  introducing  the  function  of free  energy:

y> =  e- sT .  (2.5)

We  now get:

-   Y (y>+sf)+ -
f
 (.o

t
/ *u+mi*.i- l*ć )- - §k T ,

t
,  (2.6)

where  the  equation  (2.1)  has been  used.
As  can  be seen,  t h e  field  equations  (2.1) -  (2.3)  and  entropy  inequality  (2.6)  do  not

constitue a closed  system.  Therefore,  it must  be supplemented  with  suitable  constitutive
equation s  defining  th e  class  of considered  material  [5, 6]. In  our  case  we  will  assume  the
following  constitutive  equations:

o
u
=a

u
{{^ }),  q

t
~qi({F}),  ifc- ifcU^}),  Ą­y({^}),  (2.7)

where:

{&} = {etJ,'eu,T,T,k,c,cik}  (2.8)

is  a set of independent  constitutive  variables.
Substituting for ip from  (2.5)  into  (2.6),  and  carrying  out  the  indicated  differentiations

of  ip, we  obtain:

(2.9)
SV  ™ ,  Sę   .  \   ,  1  M  _.  q,  _  ^  n



T H E  INFLUENCE  OF   M OISTU RE...  643

H ere  decom position  of th e  stress  ten sor  in to  elastic  afj a n d  dissipative  p art  afj h ave  been
introduced.
The inequality  (2.9)  m u st  h old  for all in depen den t  variat io n  of ey,  *«y,  f,  f

>it
  c a n d ć ? J .

These  variables  appear  lin early  in  (2.9)  an d  th us  th eir  coefficients  m ust  van ish .  I t  t h e n

follows  t h a t :

E  dip  dw  3w
&ij

  =   "a  >  / * = =   a—>  ^  = =   o^T i  ( 2 - 1 0)
V&ij  OC  oj

By)  BID  Bip  By)

- —;  =  0 ,  —̂ TT~  z== 0 ?  =  0 ,  - ~  =S 0  (2.11)

and  inequality  (2.9)  reduces t o :

-   aP k  -   - iL  T   > 0  (212^)

From  conditions  (2.10)  and (2.11) it results  t h at :

ip sas tp^ sij,  T ,  c ) ,  <7;]y =   t r ^ ( e ^ ,  T , c),  / j, =  ^(fi/ j,  T , C),  s = s(su, T , c ) .  (2.13)

The  inequality  (2.12)  is a con strain t  of fun ction s  ofj, ^ ( an d  ^ s b u t  does  n o t  lead t o
a  m ore  general  con clusion  before  th e choice  of th ese  fun ction s.

Let us n ow  proceed  t o determ in in g  t h e  fin al  form  of con stitutive  relation s.  We begin
by  specifying  afj, s  an d  JU.  T o  th is  en d we develop  t h e  free  energy  fun ction  f  in t o  T aylo r
series  abo u t  th e reference  state  (s

tJ
  — 0, T  =  T

o
, c =  c

0
)  with  accuracy  t o  q u a d r a t ic

terms.  We  h ave:

yifaj, T ,c)=- L  C
tm

 «wsk l + - L m0
2
  + \ nC

2
-   fae

u
0  (2.14)

-   Vti «u C+  £OC,  0=T - T
o
,  C =  c-  c

o
.

On  th e  basis  of (2.10)  we  o bt a in :

ffy  =   C
im

e
kl
- p

is
6- y

u
C,

nC,  » -   - ~ ,  (2.15)
Jo

iC,  m— — - ~,
Jo

wh e r e . C yM ,  ^ y, yy, . . .  etc. are con stan ts  ch aracterizin g  th e m ech an ical  a n d t h erm al
properties  of th e  m edium ,

We  pass  now  t o determ in e  afj, qi an d  q
t
. We  will  determ in e  th ese  fun ction s  from  t h e

condition  of satisfaction  of in equality  (2.12),  lim itin g  ourselves  t o lin ear  relat io n s.  T h is
makes  it possible  t o  use  ph en om en a of t h e  cross  effect  a n d  On sager's  sym m etry  relat io n s.
Th us,  m akin g  use of t h e  well  kn own  procedure  we finally  o bt a in :

where  Qiju>yna, itm •••   are m aterial  con stan ts.



644  Z .  KOŃ C Z AK

Summing the result obtained up to now we can write the final  form of the constitutive
equations.  H ence,  making  use  of  (2.15)  and  (2.16)  we  obtain:

=  C?
Jkl

s
kl
+E

Ukrs
E

rik
- p

u
6- pfj

k
0,

k
- y

u
C- yfj

k
C

ik
,

s
r!l
,

k
- (t

k
6,

k
~atjC

>k
,  (2.17)

Qi =   T
o
p

m
B

kl
Ą - T

a
c

ikrs
s

rSik
—k

ik
©

ik
—T

o
d

ik
C

ik
,

where  the  following  abbreviations  have  been  introduced

Eljkrs  —  YiJkVrsj  Pfjk  —  P

c
£<* +  £«ifc>  a,* =   «a

tk
  =   - =?-  <X

tk
,

Proceeding now to writing the equation  of  heat conductivity  we will use equation (2.3)
in  which  we  will  take  into  consideration the  substitution  of  (2.5),  the  derivative with
respect  to  time  of  function  (2.13)!, and  relations  (2.10) and  (2.15)3. We  get:

T (0
tj
8

t
j- mŚ - $Ć )  =   ofihtj- qM+ritHt + rt,  (2.18)

where  qt  is  defined  by  relation (2.16)3.
Assuming further that {6/ T \   <  1, i.e. restricting our considerations to small temperature

changes and omitting the non- linear terms af/ sij and rjt/ i^  as higher- order smalls, we finally
obtain  after  taking  into  account  (2.17):

where:  ,

^Urj —  T
0
$ij

rs
,  dfi ==  T

o
d

u
  =   c

m
£

tJ
,  d =  T

o
$.

The  equation  of  concentration  of  moisture can  be  obtained from  mass  continuity
equation  (2.1).  After  taking  into  consideration  (2.17)2  we  have:

«&CU t- C+ £ &© ,*, =   <*u„e„,M+?w*u.i­rm,  (2.20)

where:

a*k — nxtk  =  ­=­cmalk.
Jo

Equations (2.2), (2.17), (2.19) and (2.20) represent the full  set of equations of considered
medium.

3.  Basic  plate  equations

In  this  section  an  attempt  will  be made  to  derive  the  basic  differential  equations  for
thin  orthotropic,  viscoelastic  plate  of  thickness  h,  whose  median  plan .lies  in  the  x^
plane  with  x3  denoting  the  distance  from  this plane. The deflection  of  the middle  surface
is assumed  small  in  relation  to  the thickness  of the plate. Moreover, it  is assumed  that all
simplifying  assumptions  that  are  usually  used  in  the  classical  thin  plates  theory  [7,8]



THE  INFLUENCE  OF MOISTURE...  645

are  also  valid  in the present  case.  In  accordance  with  these  assumptions  we can write
u3(xt  ,x2,x3,t)  fts  w(xt ,xz,t)  where  wfa ,x2,t)  is the deflection  of the  middle  surface
of  the  plate.  Moreover,  the strain  tensor  e y can be divided  into  two parts [7]:

eap=  eSp+e'a^—tulp  + ulJ­XsW^f,,  ( a , / ? = l , 2 ) ,  (3.1)

where  n° denotes  the displacement  due to uniform  tension  of the middle  surface,  u'a =  —
—x3w>a  stands  for the displacement  due to the deflection  of the  plate.

As  it was already  mentioned  above,  we are dealing  with  the thin  plates. In this  case
the  temperature  distribution  along  the thickness  can be assumed  to be linear.  W e shall
introduce  this  simplification  also  for the concentration  field, i.e.:

­vi  x]  t)  ( 3 ' 2 )

where  the following  notations  have  been  introduced:

1  f  @v+&r
ro(xltx2,  0  =  ­r  J  &(x1,x2,  x3,  t)dx3  X  ~~»

- A / 2

A/2 ;

x  t\ __  j _  r  ^/..  „  ­  ^\J­ »,  cv+cL
h  J- A / 2

ft/2

h  ./.  n
- A / 2

* / 3
12  f

te(xi, x2, t) =  ­ p ­  J  xzC(Xi.,x2,xz,t)dx3

Here  T0 and x0  are the mean  temperature  and concentration  of moisture  which  do  not
vary in x3  direction,  respectively, ©j and Cj (j  —  U, L) are temperatures  and concentra­
tions  on upper  (U) and lower  (L) sides  of the plate.

Further,  let us define  forces  and moments per unit  width  of the plate  cross­section,
as  it  is usually  done  in the plate  theory:

A/2 W2

N*fs(xi,x2>t)=  j  0apdx3,  Map(xx,x2,t)=  j
- A / 2 - A / 2

G a 3 ( * 1 .  * 2 >  0 . =  6 3 a ( * l , X 2 , t ) —  j
- A / 2

Making  now use of  (2.17),  (3.1) and (3.3) we obtain:

(3 2)
A/2

p f i

( C S + E f i ! S P r ' y * x y H )



646  Z .  KOŃ CZAK

R eturn in g  t o  th e  equation  of  m otion  (2.2) we  express  it  in  a  different  t o rm :

If  we  in tegrate  now these  equations  along  the thickness  of  the  plate,  and later  on doing
the same with  equation  ( 3.5) !, after  having first  multiplied it by x

3
,  and taking  into  account

th e  expressions  (3.3)  we  arrive  at  the  following  equations

Kp,p+Pa  =  Qohu
a>

  (3.6)

Q
3a

,
a
+P

3
  =   Qohw,  (3.7)

M
aPtP

+m
3a

- Q
3a
  = 0,  .  (3.8)

where  Q
0
  is  the plate  density  per  unit  area  of  the middle  surface  an d :

A/ 2   A/2

Pa -   Oasll'jya +   /   X«dxi'  Ps -   "• si*.7*,, +   / . - *3 <&31
- A/2  - A/2

A/ 2

W3*= ( ff3«*3) |i / L +   J  x
a
3T

3
dx

3
.

- A/2

E quation  (3.6) con cern s  the  state  of  displacement  in  the plane  of  the plate.
Let  us  return  now t o the equations  (3.7)  and (3.8).  Eliminating Q

3a
  from  it we  arrive

at  t h e  equation  of  m ot ion :

M
ap
,  fs

a
 + q

w
  =  Q

0
hw,  (3.9)

wh ere:

If we now in troduce M
aft

  from  ( 3.4) 2 )  in to the equation of motion  (3.9), we obtain in the
general  case  of an isotropy  the differential  dynamic equation of th e bent plate in th e  form:

12  12  (3.10)

F o r  the  orth otropic  plate  the equation  (3.10)  simplified  and  take  th e following  form:

12
CkysW ^ yn+PoQoW   =  - p- q

w
+Pa

Y
r,

aY
+Y«fiX,«p>  (3- 11)

wh ere:  '

I n  these form ulas  E
a
(oc =   1,2) is t h e Young's  modulus in the x

a
  direction, v

a
 is the Poisson's

rat io ,  G
l2
  is th e shear  modulus  in the x

x
x

2
  plane,  a.

p
 is the thermal  expansion  coefficient

in  t h e x
p
  direction ,  %

a
 and rj

12
  are the viscosity  coefficients.



T H E  INFLUENCE  OF   M OISTU RE... 647

Equation  (3.11)  must  be  suplemented  by  the  equations  describing  heat  conduction  r
and  concentration of  the  diffusing  matter  ».  In  order  t o  derive  these  equations  we  t u m
to  equations (2.19) and  (2.20) and integrate over the plate thickness, before  this  multiplying
them  by  x

3
.

If,  in  addition,  the  boundary  conditions  of  the  form:

D,

80
8x3

8C

8x3

h
Xi-   -

h
3 = <  2

=   Pv(xXi *2,0,

X
2
,t),

80

D  8C
"  dx3

x3—  -

Xi=-

h_= px

2

f

"l

(*l,X2,t),

(x1,x1,t),
(3.12)

are assumed, where  Ao and D o are the coefficients  of  heat conduction and diffusion,  respec-
tively,  then  equations  (2.19)  and  (2.20), in  the absence  of  heat  and  diffusion  sources,  for
the  considered  orthotropic  plate  reduce  t o :

(3.13)

— TQ  fixp  wiSp,

(3.14)

where:

The  system  of  equations  (3.11),  (3.13)  and  (3.14)  formed  a  mutually  coupled  system
of  differential  equations  for  the  case,  when  the boundary  conditions  are  given  by  (3.12).
The  solution  of  the  set  of  equations  mentioned  above  must  satisfy  boundary  and  initial
conditions  appropriate  to  the  given  problem.

References

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analysis of  immediate effects,  Wood  F ibr.,  14  (1982)  4 -  37.

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Technol.,  8  (1974)  223 -  241.

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648  Z .  KOŃ CZAK

P  e 3  IO  M e

BJI H H H H E  H 3 M E H E H H H   BJIA3KH OCTH   H   T E M n E P AT yP B I  H A  I I O BE flE H H E

BH3KoynpyrHx  IU IACTH H OK

B  paSoT e  BferaefleHo  ocH OBH tie  ypaBH emutt  nna  opToiponH M X  BH 3KoynpyrH X,  TOH KH X
noflBep>KeH Bix  fleH CTBH K)  BJia>KHOCTH   H  Tein n epaTypti  nepeiweHHWX  BO BpeiweHH.  n pe, ą n ojioaceH Oj  I T O
pacn peflejieH H e  TaK BJiajKocm  KaK H  TeiwnepaTypŁi  n H H e t a o e  n o  Tonm.HHe  n jiacn iH KH .  IIpjiH OTOj  HTO

KJiaccH ^ecKoft  TeopH H   TOH KH X  r m a c u r a o K  3flect  TaioKe  cnpaBeflU H Bbi.
n epeiH orieH H X  ypaBHeHHH   ocH OBana  Ha  ypaBHeHHHX flBH JKeH H H , KOHCTHTyTHB-

a  TaioKe  ypaBHeHHHX  TeiuionpoBoflH ocTH   H  KOH iieirrpauH H   Bna>KH ocrn  fljis  aH H 30TponH oii  BH3-
K o yn p yr o ii  c p e n b i .  ypaBH eraiH   nocTpoeH M   B  n e p so ń  ^acTH   paSoTbi,  n p n  HcnoJiŁ30BaHHH   OC H OBH Ł K
npHHUHnOB  MexaHHKH  H  TepiHOflHHaMHKH   CIIJIOUlHtlX  Cpefl  H  OrpaHIWeHHH  3 0  JIHHefiHblX  COOTHOIIieHHfl.

S t r e s z c z e n i e

WP ŁYW  Z M I AN   WI LG OTN OŚ CI I  TEM P ERATU RY  N A  ZACH OWAN IE
SIĘ   ORTOTROP OWYCH   PŁYT  LEP KOSP RĘ Ż YSTYCH

Zasadniczym  celem  pracy  był o  wyprowadzenie  podstawowych  równań  dla  ortotropowych,  lepko-
sprę ż ystych  pł yt  cienkich  poddanych  równoczesnemu  dział aniu  wilgotnoś ci  i  temperatury  zmiennymi
w czasie. Z ał oż on o, że rozkł ad zarówno  temperatury jak  i wilgotnoś ci  n a gruboś ci  pł yty jest liniowy.  Przyję to
również,  iż  obowią zują   zał oż enia  upraszczają ce  stosowane  w  klasycznej  teorii  pł yt  cienkich.

Podstawę   do  sformuł owania  wyż ej  wymienionych  równań  stanowił y  równania  ruchu, zwią zki  konsty-
tutywne  oraz  równania  przewodnictwa  ciepł a  i  koncentracji  wilgotnoś ci  dla  anizotropowego  oś rodka
lepkosprę ż ystego.  R ówn an ia  te,  co  stanowi  przedmiot  pierwszej  czę ś ci  pracy,  zbudowano  wykorzystują c
podstawowe  prawa  mechaniki  i  termodynamiki  oś rodków  cią gł ych,  ograniczają c  się   do  relacji  liniowych.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  24  wrześ nia 1987  roku.