Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\04mts88_t26_zeszyt_4.pdf


M ECH AN IKA  yi l  PL'87
TE OR E TYC Z N A
I  STOSOWAN A

4,  26  (1988)

ON   PROPERTIES  O F   TH ERMO- D IFFU SIVE STRESSES  IN   SOLI D S

ZBIGNIEW  S.  OLESIAK

University  of  W arsaw

1. Introduction]

Considering  the problems  of  thermo- diffusion  in  solid  bodies  we are interested,  as
a rule, in finding  the distribution of stresses.  The effect  of uneven heating and that of  mass
diffusion  may result  in stress  concentration. Likewise  there are the cases  for  which the
stresses  generated  by  thermal  and (or) diffusive  effects  can be  singular.

In  this  paper we shall  n ot  dwell  on the  dynamical  cases.  We shall  point  out  the  two-
dimensional  distributions  of  thermo- diffusive  effects  resulting  in solid  body  deformation
only. I t is shown  that in the case of simply connected bodies  there are no stresses while for
multiconnected  bodies  the problem  can be  reduced  to  that  of  Volterra's  dislocations,
determining  the  character  of  the  stresses.  N ext  we show  the features  of  stresses  for  the
three  dimensional  layered  bodies.  Finally  we discuss  th e character  of  stresses  in  solids
with  cracks, taking  as an example  a disc  shaped  crack  opened by a flux  of heat  and th at
of  mass  diffusion.  The  stress  intensity  factor  depends  on the  distribution  of known  tem-
perature  and the distribution  of  diffusion  concentration  on the crack  surfaces.

2.  Basic  equations

As  our point of departure we take the equations of thermo- diffusion,  i.e. the generalized
N avier equations, the equation of heat conduction (F ourier's law) an d F ick's  equation.  We
have  the following  system  of  partial  differential  equations:

( l- 2i') V2«+ gr a d  diva  =  2(1+ 1') ( a egrad6> + a cgradc) ,  (2.1)

V2 0  =  O,  V2c =  0,  (2.2)

where  u =  {u,v,w)  is  the displacement  vector,  v — Poisson's  ratio, fi, X Lamc's  cons-
tants, y

e
  =  (3A+ 2/ z)ae, y

c
  =  (3A+ 2/ i)ac,  0(x,y,  z)  change  of temperature with  respect

to the natural state, c(x, y,z)  — concentration of diffusing  mass, a e , ac coefficients  of the
linear thermal and diffusive  expansion,  respectively.  In the considered case the constitutive
equations  (generalized  D uhamel- N eumann relations), in absolute  notation, take  the fol-
lowing  form:

<r =  2s- t- (Mivu- y
e
@- y

e
ć )i,  .  (2.3)

where  a,  s,  1 — denote  the stress,  strain,  and unit  tensors,  respectively.

6  Mech.  Teoret. i  Stos. 4/ 88



650  Z. S.  OLEsrAK

3.  Two­dimensional  state  of  strain

For  two­dimensional  state  of  strain  Eqs.  (2.3) reduce in  a  cartesian  coordinate system
to  the  form:

o*p  — 2fJ.safi+(2.Uy,v­y00­yccyda(S,  a,f},y  =  1, 2,  (3.1)

and:

CT33 =  Hu1,1+u2i2)~y&&­ycC,  (3.2)

since  Ł33 =  0.  Here  ut  =  u,  u2  =  v,  u3  s  W.
Let  us  assume  the  representation:

"a =  u'a+ (1  +J>) (a0wŁ + acwa).  (3.3)

We  can  impose  on  u*  and  ua  («  =  1,2)  the  additional  conditions,  namely:

and  (3.4)

"1,1  =  # 2 , 2  =  C ( X , J ) ,  « 1 > 3  =  ­ M 2 > 1 .

Then  substituting  (3.3)  into  Eqs.  (3.1)  we  obtain:

Gap  =  i"(w«, /j +  u'p,a) + Uap  Uy, y:  (3.5)

In  a similar  way, substituting into Navier's  equations  (3.1), we obtain the system of homo­
geneous  equations:

/««£, pp + ( A + / 0 "is. pa = 0. (3.6)

It  is  evident  from  (3.5)  that  for  vanishing  tractions  u'a = 0.  Thus  we  obtain  for  simply
connected  bodies:

«« =  (1 +v)  (aQu* + <xcua),

flf^  =  0 , a , ) 8 =  1 , 2 ,  a n d  ^ "  '
or33 = - 2 ^ ( 1 +») (ae0 + acc). (3.8)

Conclusions:
l . F o r  two­dimensional  state  of  strain  and  uneven  heating  and  (or)  diffusing  mass

concentration  penetrating  through  the  boundary  there  are  no  stresses  except  azz  in  a
simply  connected  body  bounded  by  any  (non­intersecting)  contour.  The  displacements
can  be  found  from  Eqs.  (3.7)  while  u* and  ua  from  conditions  (3.4),

2.  This is a  generalization  of the  result  given  by Muskhelishvili  [1] in  the case  of heat
conduction.

3.  The  same  is  true  for  an  infinite  body  with  a  flux  of  heat  and  (or)  diffusing  mass
penetrating  through  the  boundary  of  a  single  hole  of  any  shape.

4.  The result  holds for  simply connected  two­dimensional  solids and plane strain only.
In the case of multiconnected regions the problem can be reduced to Volterra's distorsions.
Then  in  the  expressions  for  uf+tu*  and  u1 + iu2  logarithmic  terms  appear  (compare  [1],
§46).

5.  In  the  classical theory  of  elasticity  it  is shown that  the two­dimensional  stress cases
differ  by magnitude  of constants occurring in the equations. In the case of  thermo­diffusive



THFRMO­DIFEUSIVE  STRESSES  651

effects  it  is  difficult  to  expect  that  for  two­dimensional  stress  the  heat  conduction  and
diffusion  of  mass  could  be  in  plane  only.  Thus  it  does  not  make  much  sense  to  consider
the  two­dimensional  stress  to  be  analogous  to  the  two­dimensional  strain.

4.  Stresses  in  solids  bounded  by  a  plane

We assume that the bounding plane is free from  tractions  and that  over certain  domains
QB  and  Qc  there  act  the  fluxes  of  heat  and  of  mass  diffusion,  respectively.  The  system
of  partial  differential  equations  of  thermodiffusion  in  elastic  solids  can  be  reduced  by
applying  the  exponential  Fourier  transform:

i,  v)  =  ^ [ / t * . y ) i  • *  ­>  f,  y  ­*  ij],
f ( x ,  y)  ­  S F ­ ^ m  ) l S x \

to  the  following  system  of  the  linear  ordinary  differential  equations  in  the  transformed
space:

=  ­2(l+v)iŁ(ct@G+acc),

=  ­2{l+v)ir,(.a9Q  + acc),  •
­iŁDu­ir)Dv+  [2(1 ­v)D2­(1  ­2v)  ($2 + r)2)]w =  2(1+v) {a.&D®+ acDc),
(D2­C2­r)2)0=;O,  ( D 2 ­ f 2 ­ V ) c  =  0,

where  D s  ­=­.
dz

The  solution  to  this  system  of  differential  equations,  with  the  regularity  conditions  at
infinity  taken  into  account,  takes  the  following  form:

u  =

c  =

with  the  relationships:

(4.3)

)/J2Tif[2(l~v)B3­A3]  =  (l+v)(«@A@+acAc),

v)(cceA@ +  acAc).

In  the  case  when  the  shear  stress  components  disappear  on  the  plane  z  =  0  we  obtain:

rjA,  =  §A2,  iVFW&z­**)  ­  «M» + Mi•  C4.4)
If  we  also  assume  that  the  normal  component  of  the  stress  tensor  vanishes  on  z  =  0,
we  obtain  the  condition:

(4-5)



652  Z . S.  OLESIAK

This  condition  results  from  the  formula  for  the  transform  of the  normal  stress  tensor
com pon en t:

(4.6)

• exp(- z]/ |2+ ?]2).

I t is evident  from  E q.  (4.6)  that  normal  stresses  are  identically  zero  in  the  whole  space
Though  orIS  stress  tensor  component vanishes  in  the  entire  solid,  the  stress  components
a

xx
  and  a

yy
  exist.  The  corresponding  results  for  the  thermal  stresses  were  obtained  by

Sternberg  and  McD owell  [3]  and  W.  N owacki  [4].

5.  Stresses  generated  by  tlierinodiffusion  in  solid  with  a crack

I n  the  case  of  axial  symmetry  the system  of  partial  differential  equations  (3.1) can be
reduced  by  means of the  H ankel  transforms  of  the  zero  and  the first  order  to a system
of  ordinary  differential  equations  [7]. The solution can be written  down in the form  of the
following  H ankel's  integrals:

00

f
00

J
i r  ( 5 < 1 )

ac(1+ y)a  J
CO

an d  the z  component of th e  stress  tensor:

(5.2)

The  above  solution  is  valid for  the boundary  conditions  <rrs(r, 0) =   0, r e [O, oo), z = 0.
F unction  y>(?7)  can  be determined  from  the  remaining  mechanical  boundary  condition
on  z =  0 while  c>i(?j)  and  q>

2
 (ł j)  from  the  thermal  and  diffusion  boundary  conditions,

respectively.  The solution  to  the problem  is  obtained from  the corresponding  dual integral
equations  when  on  th e  crack  surface  temperature  and  diffusion  of  mass  are  prescribed.



THERMO­DIFFUSrVE  STRESSES  6 5 3
i

In the case when the crack  surface is traction free  the stresses around  the crack  are genera­
ted by the  distribution  of  uneven  heating  and  (or)  mass  diffusion  through  the  crack  sur­
faces. Here  an important  remark  should be made. For  the  traction  free  surfaces  the  crack
is openend  only  provided  the  sum  acc0 + a&­&0  is  negative.  If  it  is  positive  we  deal  with
a source  of  heat  and  that  of  mass  diffusion  in  an  infinite  solid and  there  is neither  crack
opening  nor  non  zero  stress  intensity  factor.

Let  us  take  an  example.  Over  the  crack  surface  Q  =  {z =  0,r  e  [0,a)}  there  act
a flux  of  heat  Q  =  — Qc  and  a  flux  of  mass  diffusion  501 =  —M9,  Then  we  obtain  the
solution:

U  ­  ^2^5

CO

+ «9#o) / {foC- 0 -

CD

f [2rf V
0

2(1 -v)

°" "* ~  2(1 ­ v ) a^c C°

f(e, 0  =

where:

2 ,  5 2  , •
£ "Tfc — L

We  have  the  special  cases,  namely:

(5­4)

The  stress  intensity  factor  assumes  the  value:

Kl . 4
—v

In a similar way we can find  the stress intensity factors  in all the  cases for which  t h e  classical
"mechanical"  solution  is  known.



654  Z . S .  OLESIAK

References

1.  N . I .  M U SKH ELISH VILI, Some basic problems of the mathematical theory of elasticity,  transl. from  Russian.
1953,  N oordhoff  Lt d.,

2.  N .  N O WAC K I ,  T hermo elasticity,  2n d  Edition,  P W N — Pergamon  Press  Warsaw,  1986.
3.  E .  STERN BERG , E. L.  M C D O WE LL,  On  the  steady state thermoelastic problems for  the  half  space, Quart,

Appl.  M at h .,  14,  1957,  p .  381.
4.  W.  N O WAC K I ,  T W O steady  state  thermoelastic problems,  A.M .S.,  9,  1957,  pp.  579 -  592.
5.  Z . OLESIAK, I . N . SN ED D ON ,  T he distribution of  thermal stress in an infinite elastic solid containing apenny-

shaped  crack,  Arch.  R at .  M ech.  Anal.,  3,  1960,  pp.  238  -  254.
6.  Z .  OLESIAK,  On  a  method  of  solution of  mixed  boundary- value problems  of  thermoelasticity,  J. Therm.

Stresses,  1981,  pp.  501- 508.
7.  Z . S.  OLESIAK,  Cracks  opened by  thermodiffusive effects,  in  course  of  publication,  Bull.  P ol.  Ac. Sci.

P  e 3 to M e

O  CBOKCTBAX  T E P M O - flH **y3H O H H BIX  HAnPH>KEHHti

B  paSoT e  p a c c M o i p e m i  H e K o io p t ie  3aflaiH   T eo p n n  Hanpfl>KeHHił   B03HHKaionrHe  J O K  pe3yjiH aT
noTOKa  T en n a  H  flH (pdpy3H H  M accŁi.  06o 6m eH a  H 3BeciH a  3afla*H   H . H .  M ycxejim iuBiuiH ,  Haft-

p a c n p e R e n e H im  nanpH>i<eHHft  OT I I OTOKOB  T en n a  H   Aatb(by3H H   Ha H ei«yropoft  n a c r H   nnocKoaH
orpsaaMOBaiowfiVi  TeJio 3  a  TaKiKe  HaftfleH   K03<J><})HU(HenT inneHCHBHOCTH  H anpH weH H ti  B c n yq a e  flH ci<o-
o6pa3H oft  TpemH H M .

S t r e s z c z e n i e

O  WŁASN OŚ CIACH   N AP R Ę Ż EŃ  OD   TE R M OD YF U Z JI

W  pracy  przedstawiono  kilka  zadań  teorii  naprę ż eń  wywoł anych  strumieniem  ciepł a i  dyfuzji  masy.
U ogóln ion o zn an e zagadnienie  N . I . Muscheliszwilego,  znaleziono naprę ż enia, gdy  strumień ciepł a i  dyfuzji
masy  dział a  n a  czę ś ci  pł aszczyzny  ograniczają cej  ciepł o.  Wyprowadzono  również  wzór  n a  współczynnik
intensywnoś ci  naprę ż eń  w  przypadku  szczeliny  osiowo  symetrycznej.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  3  lutego  1988  roku.