Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\04mts88_t26_zeszyt_4.pdf


MECHANIKA  Y U   —  P L ' 87
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  26  (1988)

COMPARISON   OF   TH E  BOUNDARY  COLLOCATION   AN D   F I N I TE  ELEM EN T
M ETH OD S  F OR  SOM E  H ARM ON IC 2D   PROBLEM S

JAN   A.  KOŁODZIEJ

T echnical  University of  Poznań

M I C H AŁ  KLE I BE R

Institute  of  Fundamental  T echnological  Research,  W arsaw

G R Z E G OR Z  M U SI E LAK

Institute  of  Fundamental  T echnological  Research, Poznań

1. Introduction

The  analytical  solutions to boundary value problems typical  of mechanics of continuous
media  are  as  a  rule  possible  for  simple  geometries  only,  such  as  circular  or  rectangular
regions.  Thus,  numerical  methods  are  often  the  only  means  for  solving  boundary  value
problems of engineering significance.  The most widely used methods are the finite  difference
(FD M)  and  the  finite  element  (F EM ) methods.  H owever,  in  the  recent  years  we  have
also  witnessed  the  fast  development  of  the  so- called  boundary  methods,  [1 -  4].  Thus,
in view if  the  different  approaches now available,  it seems necessary  to work  out procedures
for  effective  comparison  of  them  in  order  to  facilitate  their  optimal  choice  in  a  given
situation.

A  special  case  of  the boundary  methods which will be referred  to in th e present  paper
is the boundary  collocation method (BCM). The method is n ot very popular in comparison
with  other boundary  methods  (such  as  the boundary  integral  method) as  it  is  applicable
only  to  linear  sets  of  differential  equations  for  which  some  general  solutions  satisfying
the  equations  inside  the  region  considered  are  known.  An  extensive  review  of  BCM
as  used  in  linear  continuous  mechanics  is  given  in  [5].

There  exist  a  number  of  papers  which  attempt  to  compare  the  accuracy  of  resiilts
obtained  by  BCM   against  the  exact  solutions  obtained  analytically,  see  [6-   11], for  in-
stance.  On the other hand, the performance  comparisons  of BCM   and  other  approximate
methods are n ot numerous. Shuleshko  [12] made comparisons  for  three different  versions
of  the  collocation  procedure:  (a)  the  BCM   in  which  th e  equations  are  exactly  satisfied
inside  the  region  but  only  approximately  on  its  boundary,  (b)  th e  internal  collocation
method in  which  we  satisfy  exactly  the boundary  conditions whereas  the equations  inside
the  region  are fulfilled  approximately,  and  (c) th e  mixed  collocation  method in  which  all



664  J.  A.  KOŁOD ZIEJ,  I  IN N I

the  equations  are  satisfied  in an  approximate  way  only.  The comparison  was  carried  out
for  a torsion problem  of  a prismatic beam with  a rectangular cross- section.  The conclusion
was  that  the  method  (a)  was  superior  to  the  other  approaches.

A  comparison  of  nine  approximate  methods  including  BCM   was  presented  in  [13]
for  some  thin  plate bending  problems for  which exact  solutions  were available.  Unfortuna-
tely,  F E M  and  F D M  were  not included. As  a  conclusion the authors classified each  of the
methods  as  good,  fair  or  poor  depending  on  eleven  selected  technical  criteria.  France
114] compared two versions  of BCM  in the form  of  the straightforward  boundary  colloca-
tion  method  an d  the  overdetermined  boundary  collocation  method with  least  squares  for
th e  case  of  2D   Laplace  equation  in  the  rectangular  region.  The  latter  version  yielded
slightly  better  results.

The  results  reported  in  [15] may  be  interpreted  in favor  of  BCM  as well. F or the case
of  the  exact  solution  to  the  Laplace  equation  in  the  square  region  with  discontinuous
boundary  conditions  five  different  methods  were  compared  in  that  paper,  including  the
standard  F E M   approach  and  the  method  of  "large  singular  finite  elements",  the latter
being just a version  of BCM  based  on large elements. This method yielded the most accurace
results  whereas  the  F E M   performance  was  very  poor.

I n  [16]  the  application  of  "large  singular  finite  elements"  to  the  solution  of  a torsion
problem  for  a  quadrangle,  for  which  n o  exact  solution  existed,  was  proposed.  The results
were  again  superior  with  respect  to  those  obtained  by  using  F EM .

The comparison  of  BEM  and BCM  with a special  choise of trial functions  called by the
authors  the  superposition  method  was  performed  in  [17].  N ine  exact  solutions  to  some
plane  elasto- static  problem  were  used  for  comparison.  BCM   tur,ned  out  again  to  yield
better  results.  I n  [18]  some  objections  as  to  the results  of  the paper  [17] were  raised, but
n o  definite  conclusions  were  formulated.

To  th e  best  of  authors'  knowledge,  no  paper  specifically  devoted  to  the comparison
of  F E M   and  BCM   has  ever  been  published.  Taking  into  account  the  popularity  of the
former  method and th e simplicity  of  the latter one, such a comparison seems  to  desirable.
The  more  so  that  the  current tendency  to  combine  different  methods by  exploiting  their
virtues  an d eliminating the faults,  cf.  [3 -  4], [19 -  20], may in this way  be given an additional
perspective.

The  purpose  of  this  paper  is  to  carry  out  a  through  comparison  of  BCM   and FEM.
Some harmonic 2D  boundary  value  problems are considered, for  which the exact solutions
are  available.  The key  question  to be posed  below  reads: which  of the two  methods yields
more  accurate  results  given  the  same  "level  of  discretization"  measured  by  the number
of  assumed  degrees  of  freedom.

2.  Test  problems  and  the  analytical  solutions

The  problem  chosen  for  this  study  are  as  follows,  cf.  Fig.  1:
P roblem  I.

V2<2> =   0  in  0  <  6  <  ~,  0  <  R  <  C
3  '  "  ^  J V  ^  cos©  '



0.5
problem J

probierni

problems  Ma,  Mb,  Mc,
£ - 0.5,  0.25,  0.725

problem  Ea.  Mb,  JZc.
Bi-   1,  5,  10

X

o

i'0
1

f ~o

IS

y

P.
- ^

M
Ifł

; X
problem

problem  H"

Fig.  1.

7  Mech.  Teoret.  i  Stos. 4/ 88



666  J.  A.  KOŁOD ZIEJ,  I  IN N I

with  th e  boundary  conditions:

0  for  &  - -
30

P roblem  I I .

V2<5 =   0  in  0  <  0  <  n/ 4,  0  <  R  <  l/ cosć>

with  th e  boundary  conditions:

i * 0  for  | 0 '  °*R

0=~O.5R
2  for  Z = l ,  0 < y < l .

P r o ble m  I I I .

80
  H

  I  0,  0  ^  R  <  1

80  yT ijlt, 0  ^  R  ^  E

0  =- 0.5R
2  fo r  Y=E,  0 < Z < l .

The  values  of  E  — 0.5,  E  =  0.25,  E  =  0.125  correspond  to  subproblems  I lia,  I llb,  IIIc
respectively.

Problem  IV.

V
2
0  =   0  in  0  <X<1,  0  <  F  "<  1

with  the  boundary  conditions:

80  „   .  «  f  0,  0  <  i?  ^  1

0  = o  for  a r - i,

80
8Y

for  Y=l,

The values  of  Bi  =   1, 5i  =   5,  Bi  =   10 correspond  to  subproblems  IVa,  IVb,  IVc respec-
tively.
Problem  V.

V2<2> =   0  in  - l < A r < l , 0 < y < l

with  th e  boundary  conditions:

0  =  0  for  (9 =   TT,  0  <  # <  1,

80
- ^  =   0  for  0  =   0,  O^ R^ l,

0=1  for  X=l,  0 <  Y<  1,



COMPARISON   OF  THE  BOU N D ARY... 667

_
BY
80

~8X

=   0  for  7 = 1 ,  - 1 < > £ 1,

=   o  for  x- = - i,  o <; r < I .

P r o blem VI .

V2<Z> = 0  in  0 < X <  1,  0 < y < l

with  t h e b o u n d a r y  c o n d i t i o n s:

80  \   [  0,  0 s£  R < 1

80  ~~  °r  ;  [n/ 4,  0 ^  R ^  1'

0  =  0  for  X=l,  0<ą YĄ  I,

0=l- X  for  Yml,  0 < X < l .

P roblem s  I, I I an d I I I m ay be referred  to som e  solution s  of t h e Sain t- Ven ant  t o rsio n
problem, cf.  [21], problem  I V t o som e  steady  state  t em perat u re problem , cf.  [22], pro blem
V is the so called  M o t z problem , [23],  an d problem  VI was em ployed  in  [25] for co m p arin g
F E M   an d BE M .  T h e exact  solution s  to all th e above  p ro blem s  are given  in T a bl.  I .  T h e
derivatives  80/ 8X  an d 80/ 8Y  may easily  be  o bt ain ed ,  if  necessary.

Table  I . Exact  solutions  of Problem  I -  VI

Problem

I

I I

I I I

IV

V

VI

• -

• -

0  =

2

CO

s
H - -1

20

00

Function 0

1  •   •   • • '••   ;'• • • ••   . : . ;  '  . • '!

00

32  v ^  1  —"•  - 1"  c o sh [twiYji]  ~1

** A .  "3  L  cosh[^/ 2]  J C a

32  \   i  1  "*  |  c o sn lw?£Y/2J  |

si 3  ^—/   n3  GOsh[>i7iEI2\  J
71= 1,3,
£ = 0 . 5 ;  0.25;  0,125

(- D - ^mcosCa^texp^lO+ expC- ^r)]

J K - 1;  5;  10;

coefficients  a„  are given  in Table la

8 cos [(2n + 1) TtX/2] cosh [(2n + 1) nY/ Z]
( 2«+ l^Jt ^co sh [(2n + 1) Jt/ 2]

Reference

[21]

[21]

[21]

[22]
p . 317

[24]

[25]



668 J.  A.  K O Ł O D Z I E J ,  I  I N N I

T a ble  l a .  C oefficien ts  a„   in  solution  of  P ro blem  V

n

1
2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

On

0.80232490749016884047
0.17531184O39017583405

0.O3447583O1588936187

- 0.0161424305193962687

0.002880545434045715

0.000662109771814473

0.00055087468901836

- 0.O0O173865989051O7
0.0000672097568531

0.0OOO307687489651

0.O0O014604603348

- 0.O00OO6368227833

0.00000244129222

0.00000106193096

0.0000005430244
- 0.0000002400927

0.000000101080

0.000000046334

0.00000002307

- 0.00O0O0O1O59

3.  The  boundary  collocation  method

The BCM  can be summarized  as consisting in using the exact solutions to the governing
differential  equation s)  of  the  problem  and  satisfying  the  given  boundary  conditions at
a  finite  number  of  discrete  points  along  the  boundary.  The  solutions  to  boundary  value
problems  are  used  by  assuming:

where  cp
k
(R,&)  are  trial  functions  exactly  satisfying  the  2D   Laplace  equation  and X

k

are  unknown  parameters  to  be  determined  from  the  boundary  conditions.
The  selection  of  th e  trial  functions  is  a  crusial  factor  in  using  the  method.  F or each

b.v.  problem  we  may  find  trial functions  in the literature  of  differential  equations. In this
paper,  the selection  is  made  on the basis  of  the general  solutions  to  the Laplace equation
expressed  in  polar  coordinates,  so  that  we  take: ,

0 +  B
o
lnR+ (1)

where  A
o
,  B

o
,  A

k
,  B

k>
  C

k
,  D

k
  and  A

k
  are  unknown constants. Some of  the constans will

be  determined  from  the  boundary  conditions.



COMPARISON  OF THE BOUNDARY...  €69

After  introducing  the polar  coordinate  system for  each  of the problems,  there  holds
the  condition:  •  .,;

30
~  = 0  for  0 =  0.
8&

This  condition  is  satisfied  for:

Q  =  Dfc =  0  for  k  —  l,2s...

In all the problems the solution  at the origin  of the  coordinate  system has a finite  value.
Thus:

Bk  =  0  for  k = 0,1,2,  ...

The value of the coefficients  Afc may be found  from  the boundary  condition  at <9 = const
provided  0 ^ 0 ,  which  reads  each  for  particular  problems  as:
Problem I

80
80

Problem  II
80

=  0  for  0 =  n/3  which yields  Xk — 3k.

— 0  for  0 — n/ Ą  which  yields  X
k
  — 4k.

80

Problems  I I I ,  IV and  VI

- Sr  =  0  for  ,6 =  njl  which  yields  K =  2k.
ok)

Problem V

0  =  0  for  0 =  n  which yields  Afc —  (2k- 1)/ 2.

Using  the above  results in eq.  (1) and confining  ourselves to a certain  number N  of the
expansion terms in the solution (1), we proceed by assuming the solution in each particular
problem as:
Problem I

N

k- l

Problem

Problems

Problem

I I

I I I ,

V

IV and

-

VI

0:

0,

0  =

N

N

N i
V  Y C/ ,  • **-"

A =   I

ij4(fc- i)cog[4(A:- l)@].

R^
C
osl2(k-

m
.

,(2k—  lW2««&r/ *OZr-   -I "YiO / '



670 J.  A.  KOŁ OD ZIEJ,  I  IN N I

with X  , k  =   1,  ..., N   being  parameters  to  be  determined from  the collocation conditions
imposed  on  th at  part  of  the boundary,  along  which  the boundary  conditions  are  not yet
exactly  satisfied.  We  assume  th at  the  collocations  points  are  equally  spaced  along  the
boundary,  cf.  F ig. 2.  Imposing  th e collocation results  in a  set  of  linear  algebraic  equations

problems  J.
N- i

problem  m.

N< *7

problems st  £  i f
'N* 8

problem  X

F ig.  2.

Problem  II  1c  £=0.125

N=4  NE=8  NNJO

N£=1B

N E'32  N N =27

N~32  W£"=S4  NN=51
ZZ

Problem  V

N=9

NE'36  NN'28

N=35



Problem  HI  a  E=O.S

NE-8 NN=9 N-8 NE-12 NN-12

N-8 NE'I6 NN-15 NN=20

N'15 NE-30 NN-21 N-18 NE-36 NN-28

~77

N-32 NE'64 NN-45

Problem  III  b  E=0.2S

NE'S NN-10

NN'27

/I

N'36 NE'72 NN-52

Problems  I  & U

zz
N'3 NE'i

NN-6

N-6  A/&9

NN-10

N-10 NE'16

NN'IS.f

A/­/5 NE'25

NN-21

N -21 NE'3S

NN'tti

Problems  IV S  VI

W­6 for IV NE=8 N*12 for IV NE*18 N-20 for IV NE=32 N=30 for TV W£=50 N'42 for IV NEJ2

N=4 for VI NN=9  N=S for VI  A/A/=76 N=16 for VI NN4S N '25 for VI Nhl*36 N '36 for VI NN-49

Fig.  3 .

16711



672  J. A.  KOŁOD ZIEJ,  I  IN N I

for  the  coefficients  X
k
.  To  illustrate  this  let  us just  give the explicit  form  of this equation

set  for  Problem  I I :

. =   - 0.5Rf,  i =  1,2,
. A M . ul

where:

The  number N   (i.e.  the  number  of linear  equations  to be solved)  is reffered  to for the
purpose  of  comparison  with  the  F EM   solutions  as the  number  of  degrees  of  freedom.
The linear equation solver used  in this study  was  taken from  [26], p. 398 in the form  of the
G auss  elimination  routine.

4.  The finite  element  method

The  constant  strain  triangular  elements  are  used  as the  basis for the  F EM  program
taken  from  [26]. The  discretization  patterns  are  shown  in F ig.  3. The number of degrees
of freedom in each case is equal t o the number of nodes at which the function 0 is unknown.

5.  Error  criteria

Two  different  error  criteria  have  been  employed.  The  first  one  is based  on  "global"
error  measures  for 0  and  its derivatives  which  are  given by:

NP

0
e
(X

i
,Y

t
)- 0

tt
(X

i
,Y

i
,N )l,

The  subscripts  "e"  an d "a" above  refer  to the exact  and  approximate by means of either
BCM   or  F E M  solutions  respectively.  The points (X

it
  Y

t
)  at which the errors are  evaluated

are uniformly  distributed  over  th e domains considered, cf. F ig. 4. The parameter N P used
below  stands  for th e  number  of such  points  in specyfic  problem.

The  second  error  criterion  has a  local  character  and  is  defined by:



C O M P AR I SO N   O F   T H E B O U N D AR Y. . . 673

Y

/
• if  x  >

I*
dk  x  \ x  :

* 0.5

problem I

X  X  5

X

<   • •

1 X

Y

/
/

/

problem  i.

<  X

t  X

y

V"- \
„\;

X

x

X

7

X  "i

x  :

X

X  1

X

X
problemsjua,  Mb,  JHC. problems E ó ,  JZĄ   iE c  C 2T.

X

I

problem a.

Fig. 4.

To  simplify  the  F EM   computations, the maximum  is  taken  over  the nodes  in  the  finite
element mesh. In BCM  the local  criterion was  applied  in  the exact way  by  looking  for  the
maximum  of  the  point  error  along  the  boundary.

6.  Results  and  conclusions

As  noted  before,  the  way  of  selecting  the  trial  functions  in  BCM   makes  it  possible
to  satisfy  exactly  n ot  only  the  differential  equation  but  also  the  boundary  condition  on
a part of the domain boundary. Moreover, in Problem I  we satisfy  th e boundary condition
at the entire boundary  by  taking N   =   2.  In other words  the  two first  trial  functions  mul-
tiplied by  scalar  coefficients  form  the exact solution  to this problem.  Thus ER1  =  ER2  =
=   ERS  — 0, cf.  Tabl.  2. I t is  interesting  to note th at a  further  increase  in  the number  of
expansion terms for  this case implies the worsening  of the results  which  is  due to the deter-
rioration  of  the  equatioa  set  conditioning.



674 J.  A.  KOŁODZIEJ,  I  IN N I

Table  I I . G lobal  errors  and condition  number  for  BCM ; Problem  I

N

2
3
4
5
6
7
8
9

10
11
12
13
14
15
20

ER\

0.0
0.931  E - JO
0.970 E - 10
0.128  E - 9
0.145  E - 9
0.124  E - 9
0.970 E - 10
0.186 E - 9
0.186  E - 9
0.109  E - 9
0.299 E - 9
0.101 E - 9
0.489 E - 9
0.640 E - 9
0.183  E - 6

ER2

0.0
0.124E - 9
0.206 E - 9
0.539 E - 9
0.501 E - 9
0.542 E - 9
0.654 E - 8
0.861  E - 9
0.685 E - 7
0.911  E - 8
0.521  E - 6
0.434 E - 6
0.374 E - 5
0.578 E - 5
0.138E - 1

ER1

0.0
0.155  E - 9
0.425 E - 9
0.135  E - 8
0.845 E ~ 9
0.938 E - 9
0.125  E - 7
0.167  E - 8
0.120  E - 6
0.159  E - 7
0.913  E - 6
0.756 E - 6
0.648 E - 5
0.100E - 4
0.240 E - l

ft

0.134E+ 1
0.457 E + l
0.153  E +  2
0.536 E + 2
0.196  E +  3
0.756 E + 3
0.291  E +  4
0.116E+ 5
0.472 E +  5
0.194 E + 6
0.807 E + 6
0.340 E + 7
0.242 E + 8
0.612  E + 8
0.934 E +  l l

The problem  of conditioning for the equation set matrix  A for  BCM   requires  special
attention.  D epending on the  relative  distribution  of the collocation points  the matrix may
become  ill- conditioned  or  ever  singular.  F or the equally  distributed  collocation  points
assumed  in this  study, th e increase in N  is always followed  by the increase in the condition
number  defined  as [27]:

1
x ~~w

This  clearly  means that the conditioning  of the governing  set of equation  becomes  worse,
cf. Tabls.  I I and  I I I .  This  effect  allows to formulate  a general  property  of the BCM  solu-
tions as obtained  in the present study:  the increase  in N  pays  off  to a certain critical  value
of  the number  of collocation  points  only,  beyond  which  the  overall  performance  of BCM

Table  I I I .  G lobal  errors  of  function  9  and condition  numbers;  Problem I I

N

2
3
4
5
6
7
8
9

10
15
20
25

ERl

0.110399  E - l
0.863781 E - 3
0.178118 E - 3
0.245563 E - 4
0.175982 E - 4
0.791734 E -  5
0.365082 E - 5
0.179495 E - 5
0,195945 E - 5
0.X89282E- 5
0.194735 E - 5
0.303794 E - 5

«

0.190000 E + l
0.533193 E + l
0.151460 E + l
0.467881 E + 2
0.151932 E +  3
0.507495 E +  3
0.174014E+ 4
0.606870 E + 4
0.217053 E + 5
0.148221 E + 6
0.849611  E + 8
0.182446 E +  10

•



+  1  1  1  1  1 1  +
jp  t q P WWWWWH

g  "3   m © m ~ i i f i O N c o N
a  o d d  © c o d ©
E

I ,
'•§  "2   i  i T  i T  ! 7  7
.£  5  M  B j w w w w t Ł i w w
 ̂ C  "J  S . - i l / ^ ' S ' - i c q O i OS

tS  o  o o c J o d o o d

1  s
1  §
??  %  1  1  1  1  1  1  1 1

£  S  w g q W M W W M M

.2  O  "J  n n « * » N « i H

d  o  d  «s d  o  d  d

§

§  O O O O O O O i - e - H rf
=3  +  +  + +  + +  + +  +   +

„   o o ó ó ó d ó ó ó ó

CO

• a  3   < n r ~ - «: t - - © o \ «- > o \ * - i oo
is  C  H i 3 P « N * i » H n »
*  2  d d d d d o o d t d d

•  ! 1
s  1

• 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1

.   " H  f 0 O C * 4 0 0 t - - 0 0 0 0 © 0 0 h*

C<   d d s d d d o e d d

1 ^  .1—1  T ^  ł - K  »-K  T—I  f S

[ 6 7 S]

1  ' " • " • ,



676 J .  A.  KOŁ OD ZIEJ, I  I N N I

becomes  worse,  cf.  Tab!.  3 in which  the best  results  are  underlined. We  may  therefore  say
that  despite  the  success  of  using  BCM   for  solving  Problem  I,  the  way  of  selecting  trial
function  an d  imposing  the  boundary  conditions  employed  in  this  paper  (which  may  be
called  the  straightforward  boundary  collocation  method)  has  its  inherent  weaknesses.

Table V.  Comparison of  global  errors for  FEM  and BCM; Problem I

N

2
3
6

10
15
21

ERl

F E M

0.116E - 1
0.564 E - 2
0.868 E -  3
0.209 E - 2
0.129 E - 2

BC M

0.0
0.931 E - 10
0.144E - 9
0.186E - 9
0.640 E - 9
0.232 E - 6

ER2

F E M

0.630 E - 1

0.488 E - 1
0.138 E - 1

BCM

0.0
0.124 E - 9
0.501 E - 9

0.578 E - 5
0.738 E - 2

ERl

FEM  .

0.831 E - 1

0.428 E - 1
0.381 E - 1

BCM

0.0
0.155 E - 9
0.845 E - 9

0.100 E - 4
0.128 E - 1

Table  VT. Comparison of  global  errors for  FEM  and BCM;  Problem

3
6

10
15
21
36

ER1

F E M

0.225 E -  3
0.164 E - 1
0.332 E - 2
0.325 E - 2
0.252 E - 2
0.178 E - 2

BCM

0.864 E - 3
0.176 E - 4
0.180 E - 4
0.189 E - 5
0.195 E - 5

ER2

F E M

0.108 E + 0

0.893 E - 1
0.392 E - 1
0.351 E - 1

BCM

0.238 E - 2

0.759 E - 3
0.537 E - 3

EM3

F E M

0.106 E + 0

0.473 E - 1
0.419 E - 1
0.406 E - 1

BCM

0.245 E - 2

0.757 E - 3
0.535 E - 3

Table  VII. Comparison of global  errors for  FEM  and BCM; Problem U la, £   m  0.5

AT
J V

4
6
7
8

10
12
13
15
16
18
19
31
32
34

F E M

0.903 E - 2
0.441 E - 2

0.194 E - 2

0.212 E - 2

0.192 E - 2

0.189 E - 2

0.483 E - 3

ERl

BC M

0.132 E - 2

0.313 E - 4

0.192E - 4

0.154 E - 5

0.251 E - 5

0.136 E - 5
0.239 E - 4

0.802 E - 5

ERl

F E M

0.444 E - 1
0.390 E - 1

0.368 E - 1

0.308 E - 1

0.307 E - 1

0.309 E - 1

0.253 E - 1

BC M

0.480 E - 2

0.146 E - 2

0.832 E - 3

0.540 E - 3

0.392 E - 3

0.301 E - 3
0.541 E - 2

0.130 E - 2

ER3

F E M

0.102 E + 0
0.849 E - 1

0.933 E - 1

0.654 E - 1

0.949 E - 1

0.889 E - 1

0.557 E - 1

BCM

0.138 E - 1

0.623 E - 2

0.367 E - 2

0.279 E - 2

0.230 E - 2

0.186 E - 2
0.875 E - 2

0.361 E - 3



COMPARISON  OF THE BOUNDARY... 677

As indicated above these are due to sometimes encountered  difficulties  in making the errors

sufficiently  small.  For  Problem  VI,  for  instance, we were  not  able  to  obtain  the  solution

better  then that having the error  of  10%, cf.  Tabl. IV. The only way to improve this result

Table  VIII.  Comparison of global  errors for FEM and BCM;  Problem  m b , E •

2
4
6
8

11
16
21
31
36

ERl

FEM

0.122 E - 1
0.298 E - 2

0.449 E - 3

0.195 E - 3

0.291 E - 3

BCM

0.210 E - 3

0.280 E - 5
0.653 E - 5
0.163 E­S
0.159 E - 2
0.552 E - 2

ERl

FEM

0.195 E + 0
0.120 E + 0

0.105 E + 0

0.646 E - 1

0.476 E - 1

BCM

0.666 E - 3

0.182 E - 3
0.863 E - 4
0.101 E - 3
0.256 E + 0
0.1O3E+0

= 0.25

£7*3

FEM

0.109 E + 0
0.942 E - 1

0.923 E - 1

0.834 E - 1

0.527 E - 1

BCM

0.839 E - 2

0.402 E - 2
0.250 E - 1
0.237 E - 2
0.917 E - 1
0.223 E - 1

Table IX. Comparison of global errors for FEM and BCM; Problem Hie, E = 0.125

JV

4
8

10
16
18
28
32
37

FEM

0.140 E - 2
0.801 E - 3

0.340 E - 4

0.220 E - 4

ERl

BCM

0.464 E - 4

0.187 E - 5
0.231 E - 4

0.517 E - 2

ERl

FEM

0.113 E + 0
0.627 E - 1

0.593 E - 1

0.350 E - 1

BCM

0.672 E - 4

0.436 E - 4
0.963 E - 4

0.565 E - 1

EKi

FEM

0.416 E - 1
0.395 E - 1

0.301 E - 1

0.307 E - 1

BCM

0.449 E - 2

0.219 E - 2
0.175  E­2

0.707 E - 1

Table X. Comparison of global errors for FEM and BCM; Problem IVa, Bi = 1

AT
i v

3
4
5
9

15
16
17
25
35
36
37

FEM

0.141 E - 1

0.631 E - 2

0.191 E - 2

0.146 E - 2

0.303 E - 3

.ERl

BCM

0.399 E - 1

0.973 E - 2
0.211 E - 2
0.636 E - 3

0.482 E - 3
0.208 E - 3
0.168  E­3

0.214 E - 3

ERl

FEM

0.208 E+0

0.919 E - 1

0.493 E - 1

0.104E + 0

0.113 E - 1

BCM

0.117 E+0

0.711 E - 1
0.459 E - 1
0.297 E - 1

0.260 E - 1
0.151 E - 1
0.865 E - 2

t).878 E - 2

ER3

FEM

0.791 E + 0

0.680 E - 1

0.325 E - 1

0.982 E - 1

0.357 E - 1

BCM

0.498 E - 1

0.213 E - 1
0.107 E - 1
0.909 E - l

0.872 E - 2
0.842 E - 2
0.623 E - 2

0.562 E - 2



678 J . A.  KOŁOD ZIEJ,  I  IN N I

is to employ the collocation for the unknown function together with its derivatives, which
yields  the relative  error  ER3 as  small  as 3%.

Before  formulating  final  conclusions  summarizing the findings  of  this  work  we note

I f

JV

3
4
5
9

15
16
17
25
35
36
37

Table  XI .  Comparison  of  global  errors  for FEM

F E M

i

0.374 E - 1

0.151  E - 1

0.541 E - 2

0.325 E - 2

0.425 E - 2

ERl

BCM

0.807 E - 1

0.206 E - 1
0.412  E - 2
0.118E - 2

0.899 E - 3
0.384 E - 3
0.233 E - 3

0.220 E - 3

and  BCM ; Problem  I vb, Bi

ERl

F E M

0.350 E +  0

0.327 E + 0

0.295 E +  0

0.287 E +  0

BCM

0.382 E +  0

0.277 E +  0
0.197  E +  0

0.685 E - 1
0.256 E - 1

0.190  E - 1

=   5

ER3

F E M

0.157  E + 0

0.126  E + 0

0.112  E + 0

0.649 E - 1

BCM

0.125  E + 0

0.641  E - 1
0.432 E - 1

0.387 E - 1
0.391  E - 1

0.387 E - 1

Table  XI I .  Comparison  of  global  errors  for  F EM  and BCM ; Problem  IVc, Bi  =  10

AT"

yv

3
4
5
9

15
16
17
25
35
36
37

F E M

0.491 E - 1

0.192  E - 1

0.862 E - 2

0.436 E - 2

0.379 E - 2

ERl

BCM

0.928 E - 1

0.247 E - 1
0.461  E - 2
0.128  E - 2

0.976 E - 3
0.497 E - 3
0.350 E - 3

0.334 E - 3

ER2

F E M

0.566 E + 0

0.521  E + 0

0.478 E + 0

0.466 E + 0

BCM

0.585 E + 0

0.459 E + 0
0.344 E + 0

0.125  E + 0
0.464 E - 1

0.337 E - 1

ER3

F E M

0.190  E + 0

0.148  E +  0

0.846 E - 1

0.708 E - 1

BCM

0.152  E + 0

0.834 E - 1
0.708 E - 1

0.704 E - 1
0.727 E - 1

0.726 E - 1

Table  XD I. Comparison  of  global  errors  for  F EM   and BCM ; Problem  V

N

7
9

11
19
20
35

ERl

F E M

0.262 E - 1

0.210 E - 1
0.130 E - 1

BCM

0.169  E - 2

0.900 E - 4
0.356 E - 3

0.441  E - 3

ERl

F E M

0.252 E - 1

BC M

0.277 E - 2

0.253 E - 3
0.634 E - 3

0.457 E - 3

EKS

F E M

0.357 E - 1

BCM

0.439 E - 2

0.527 E - 3
0.267 E - 3

0.100  E - 2



COMPARISON OF THE BOUNDARY... 679

that only a limited class of problems has been considered. It seems that the problems
selected for the analysis happened to favor BCM rather than FEM, because all the pro-
blems allowed to pick out such trial functions which assured the exact satisfaction of the
boundary conditions at least on a part of the boundary. In other words, rather than attemp-

Table XIV. Comparison of global errors for FEM and BCM; Problem VI

4
5
9

13
16
17
25
33

FEM

0.227 E - l

0.110 E - l

0,558 E - 2

0.426 E - 2

ERl

BCM

0.432 E - l
0.138 E - l
0.668 E - 2

0.346 E - 2
0.423 E - 2
0.516 E - 2

ER2

FEM

0.241 E + 0

0.161 E + 0

0.112E+0

BCM

0.910 E - l
0.310 E - l
0.259 E - l

0.766 E - 2
0.224 E - l
0.289 E - l

ER3

FEM

0.167 E + 0

0.159 E + 0

0.101 E + 0

BCM

O.132E+0
0.804 E - l
0.550 E - l

0.518 E - l
0.499 E - l
0.123 E+0

Table XV. Comparison of global errors and local ones for BCM;
Problem II

N

2
3
4
5
6
7
8
9

10

n
12
13
15

ERl

0.110 E - l
0.864 E - 3
0.178 E - 3
0.246 E - 4
0.176 E - 4
0.792 E - 5
0.363 E - 5
0.179 E - 5
0.196 E - 5
0.193 E - 5
0.186 E - 5
0.182 E - 5
0.189 E - 5

PR

0.250 E - l
0.627 E - 2
0.259 E - 2
0.137 E - 2
0.834 E - 3
0.548 E - 3
0.396 E - 3
0.292 E - 3
Ó.217E-3
0.172 E - 3
0.143 E - 3
0.124 E - 3
0.876 E - 4

Table XVI. Comparison of global errors and local ones for FEM

Problem III

N

4
6
8

12
15
18

ERl

0.903 E - 2
0.441 E - 2
0.194 E - 2
0.212 E - 2
0.192 E - 2
0.189 E - 2

PR

0.101 E - l
0.595 E - 2
0.443 E - 2
0.323 E - 2
0.250 E - 2
0.202 E - 2

Problem VI

N

4
9

16
25

;

ESI

0.227 E - l
0.110E-1
0.558 E - 2
0.426 E - 2

PR

0.628 E - l
0.383 E - l
0.279 E - l
0.220 E - l



680 J . A.  KOŁOD ZIEJ, I  I N N I

ting  t o  draw  very  general  conclusions  on  performance  of  the  both  methods  we  below
characterize  class  of  problems  considered  specifically  in  this  paper  only.

The  conclusions:
1.  F or th e same numbers  of  the degrees  of freedom,  BCM  leads  to more exact  results

than  F E M   (see  Tabls.  V  -  XIV).
2.  F or th e same numbers of  the  degrees  of freedom, the accuracy of  the BCM  depends

heavily  on  the  type  of  the  boundary  value  problem.  F or  instance  for  the  Saint- Venant
torsion  problem  Tabls.  VI  -  IX  accuracy  is  much  higher  than  in  Problems  IV  and  VI
which  describe  the  steady  heat  conduction  Tabls.  X  -  XII,  XIV.

3.  In  both  methods  the  values  of  functions  are  more  exact  than  the  values  of  their
derivatives.  H owever,  in  the  BCM   the ratio  of  the function  error  to  the  derivative  error
is  much  greater.

4.  As  expected  in both methods the global  errors  are smaller  than the local  ones, but
in  the  BCM   this  difference  is  significantly  smaller,  (see.  Tabls.  XV- XVI ).

5.  In  the  BCM   problems  may  arise  while  increasing  the  number  of  the  degrees  of
freedom.  This  may  lead  to  the  ill- conditioning  of  the  problem  matrix,  quite  differently
than  in  the F E M .

References

1.  A.  P . ZiELiŃ SKr, M .  Ż YC Z KOWSKI,  T he trigonometric contur series in application  to  clamped plates of an
arbitrary  contour,  Bull.  Polish  Acad.  Sci.,  29,  9- 10,  159- 167,  1981.

2.  I .  H E R R E R A,  H .  G OU R OEON , Boundary  methods,  C- complete systems for  Stokes  problems, C om p.  Meth.
Appl.  M ech .  E n g.,  30,  225- 244,  1982.

3.  A.  P .  Z I E LI Ń SKI,  O. C.  Z I EN KI EWI C Z ,  Generalized finite  element  analysis  with  T - complete  boundary
solution functions,  I n t. j .  n u m .  m eth .  eng.,  21,  509- 528,  1985.

4.  J .  JIROU SEK,  L.  G U E X,  T he hybrid- T refftz finite  element  model  and its  application  to plane  bending,  Int.
j .  n u m .  m et h .  en g.,  23,  651 -  693,  1986.

5.  J . A.  KOŁ OD Z I E J,  Review of  application  of  boundary collocation  method in mechanics of  continuous  med-
ium,  Solid  M echanics  Archives,  12,  187- 231,  1987

6.  J .  BAR TA,  Vber  die  naherungsweise L dsung  einiger Zweidimensionaler Elastizitatsaufgaben,  ZAMM,
.17,  184- 185,  1937.

7.  H . D . CON WAY, Approximate Analysis of Certain Boundary Value Problems, J. Appl. M ech., 27,275  -  277,
1960.

8.  A.  W.  LEISSA,  C . C.  L O ,  F . W.  NJJBDENFUHR,  Uniformly  L oaded  Plates  of  Regular  Polygonal  Shape,
AI AA  Jou rn al,  3,  566 -  567,  1965.

9.  C . J .  H O O K E ,  N umerical  solution of  axisymetric- stress problems by  point  matching,  J.  Strain  Anal.,  5.
2 5 - 3 7,  1969.

10.  T .  WAH ,  Elastic  quadrilateral plates,  Computers  Structures,  10,  457 -  466,  1979.
11.  D .  R E D E K O P ,  Fundamental  solutions for  the  collocation  method  in  planar  elastostatics, Appl.  Math

M odellin g,  6,  390  -  393,  1982.
12.  P .  SH U LESH KO,  Comparative analysis  of  different  collocation  method on  the  basis of  the  solution of  a

torsional  problem,  Australian  Journ al  of  Applied  Science,  12,  194- 210,  1961.
13.  A.  W.  LEISSA,  W.  E.  CLAU SEN ,  L.  E.  H U LBERT,  A.  T .  H OP P E R ,  A  Comparison  of  Approximate Methods

for  the  Solution  of  Plate  Bending  Problems,  AIAA  Journ al,  7,  920  -  929,  1969.
14.  D . M .  F R AN C E ,  Analytical  Solution  to  Steady- State  Heat- Conduction  Problems W ith Irregularly Shaped

Boundaries,  J.  H eat  Transfer,  93,  449- 454,  1971.



COMPARISON  OF  THE BOU N D ARY... 681

15. M . D . TOLLEY, S. J. WAJC ,  Approximate Solution Metlwds  of  L aplace's  Equation for  a  Square  Domain,
in Advances in. Computer M ethods for Partial D ifferential  Equations- II,  R .  Vichnevetsky  editor.
Publl.  IM AC S  ATCA,  pp.  26  -  33,  1977.

16.  D .  LEFEBER, P .  JAN SSEN S, Sur  le calcul de la torsion dans les  barres a section polygonale, Academ ie  R oyale
de  Belgique,  Bulletin  de  la  Classe  des  Sciences,  5  serie- tome  LXLX,  514- 524,  1983- 10.

17.  G . BU RG ESS, E.  M AH AJERIN ,  A  comparison of  the boundary element and superposition methods,  C om puters
Structures,  19,  697  -  705,  1984.

18.  G .  BEER,  Comment on  „A  comparison  of  the  boundary  element and superposition  metlwds",  C om puters
Structures,  23,  459,  1986.

19.  O.  C.  ZIEN KIEWICZ, D . W.  KELLY,  P .  BETTESS,  T he coupling of  the finite  element method  and  boundary
Solution  procedures, I n t . j .  n u m .  m eth .  eng.,  11,  355- 375,  1977.

20.  O.  C.  ZIEN KIEWICZ,  D . W.  KELLY,  P .  BETTESS,  Marriage  a  la  mode —  the  best  of  both  worlds  finite
elements and boundary integrals, ch. 5 in Energy  M ethods  in F in ite Element Analysis E ds. R .  G lowinski,
E. Y.  Rodin  an d  O.  C .  Zienkiewicz.  Willey,  London  an d  N ew  York,  1979,  pp.  81  - 107.

21.  S.  TIMOSHEN KO,  J. N .  G OOD IER,  T heory of  Elasticity, M cG raw- H ill  Book  Company,  N ew  York,  T o-
ron to,  Lon don ,  1981.

22.  S. J.  G D U LA, R .  BIAŁECKI, K .  K U R P I SZ , A.  N OWAK,  A.  SU CBETA,  Przewodzenie ciepł a, P WN ,  Warszawa
1984.

23.  A.  M O T Z , T reatment of  singularities of partial differential equation by relaxation methods, Quart, J. Appl.
M ath.,  4,  371 -  377,  1946.

24.  J. B.  ROSSER,  N .  PAPAMICH AEL,  A  power series solution of  a  harmonic mixed  boundary value problem,
M R C  Technical  Summary  R epoer  1405,  U niversity  of  Wisconsin —  M adison,  M athem atics  Research
Center,  1975.

25.  S.  MU KH ERJEE,  M .  M ARJARIA,  On  the  efficiency and accuracy  of  the  boundary element method and  the
finite  element method, I n t. j .  n u m .  m eth.  eng.,  20,  515- 522,  1984.

26.  K.  H .  H U EBN ER,  T he  Finite  Element  Method for  Engineers,  J o h n  Wiley  Sons,  N ew  York,  Lon don ,
Sydney  and  Toron to,  1975.

27.  G .  FAIRWEATH ER,  A  note  on  the  condition  of  a  matrix, I n t .  C om m . H eat  M ass  Transfer,  11,  191  -   195,
1984.

P  e  3 I O M   e

C P ABH E H H E  M E T O R A  r P A H H ^ H O ń  KOJIJIOKAI^H H   H   M E T O t fA  K O H E ^ I H H X
3J I E M E 6T O B  JIJIH   H E K OTOP BI X  T AP M O H H ^ E C K H X  flBYM EPH BIX  T P AH H ^ H B I X

3AJLV1

pa6oTbi  smnacicsi  npo6jieMa  cpaBHennH  acJHpeimiBHocra:  H  TOIHOCTH
rpaHHiHoft  KoJinoKanHH  u  MerofloM  KOHê HBix  sjieiweHTOB.  HccJieflvwrcH  ABVMepHBie  rap-

KpaeBbie  3afla*m.  MeTofl  rpaHjrraoił   KojuioKamm  npHMeHHercH B  npHMoft  Bepcim.
Pememw:  nojiy^emaie  c  noMomio  Bbirue  ynoMHHyTbix  MCTOHOB  6binH  cpaBHeHbi  jym  d)yHKUjrił

H  HX Hp0H3B0flHbIX  C TO ĤblMH penieHHHMH.  C  tmcjleHHblX  HCCJieflOBaHHH  MOHCHO BbrBeCTHj  T1TO  flHS
Toro  H<e  caMoro 'qHcjia  creneHefi: CBoSoflbi pe3yjibTarti  nojrjrqeHHLie  c  noM onpo  MeTORa rpaHH^Hoft KOJI-
JioKanHH  HBJIHIOTCH  6cwiee Tcnn>iMH  îeM  noJiy»!einn>ie  c  noMortrio  MeTofla KOHC ÎHMX SJICMCHTOB.
KO  3 ia  nojio>KHTeJiBHa iepTa  MoJKer  6BITB yMeianieHa TOM diaKToM,   I TO  Merofl rpaHH t̂Hoii
Tpe6yeT  peniemw  CHcreMŁi ypaBHemrii  c  nojiHoft  MBTpHî eft, raK  KaK  B  Merofle  KOHcnibrx

xopouio  oSycnoBJieHHVio  Maipmry.

S  Mech. Teoret.  i  Stos.  4/ 88  \



682 J. A.  KOŁOD ZIEJ,  I  I N N I

S  t r  e s z c  ż e ni  e

P O R Ó WN AN I E  M E T O D Y  KOLLOKAC JI  BRZ EG OWEJ  Z  M ETOD Ą   ELEM EN TÓW
SK O Ń C Z O N YCH   D L A  N I E K T Ó R YC H   H AR M ON I C Z N YC H   D WU WYM IAROWYCH

P ROBLEM ÓW  BRZEG OWYCH

W  pracy  porównano  efektywność  i  dokł adność  obliczeniową   metody  koUokacji  brzegowej  i  metody
elementów  skoń czonych.  R ozważ ano  dwuwymiarowe,  harmoniczne problemy  brzegowe.  M etoda koUokacji
brzegowej  był a  stosowana  w  tzw.  prostej  wersji.

Rozwią zania  uzyskane  przy  pomocy  wyż ej  wymienionych  metod  był y  porównywane  dla  funkcji  i  ich
pochodn ych  z  rozwią zaniami  dokł adnymi.

Z  bad ań  numerycznych  moż na  wycią gnąć  wniosek,  że  dla  tej  samej  liczby  stopni  swobody  wyniki
uzyskane  przy  pomocy  m etody  koU okacji  brzegowej  są   dokł adniejsze  od  uzyskanych  przy  pomocy metody
elementów  skoń czonych.  Jedn akże  ta cecha  dodatnia może być  pomniejszona  przez  fakt,  że  metoda koUo-
kacji  brzegowej  wymaga  rozwią zania  ukł adu równań  liniowych  z  cał kowicie  wypeł nioną   macierzą   współ -
czynników  gdy  tymczasem  m etoda  elementów  skoń czonych  daje  pasmową   i zwykle lepiej  uwarunkowaną
m acierz.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  17  lipca 1987  roku.