Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS88_t26_z1_4_PDF_artykuly\04mts88_t26_zeszyt_4.pdf MECHANIKA  yU   PL'87 TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  26  (1988) METODA  ELEM EN TÓW  CZASOPRZESTRZEN N YCH   W  ZAG AD N IEN IACH G EOMETRYCZN IE N IELIN IOWYCH AN N A  PODHORECKA, Akademia  T echniczno- Rolnicza,  Bydgoszcz 1.  Wstę p Zagadnienia  formuł owane i  analizowane  w  nieliniowej  mechanice continuum sprowa- dzają   się   do  rozwią zywania  zł oż onych  ukł adów  równań  róż niczkowych  czą stkowych wzglę dem  zmiennych  przestrzennych  i  czasu.  Znamy  szereg  prób  zastosowania  róż no- rodnych  metod  analitycznych  i  numerycznych  do  rozwią zywania  tego  typu  problemów. Jedną   ze stosowanych  z powodzeniem  metod jest  metoda elementów  skoń czonych,  której podstawowa  zaleta,  to  ł atwość  automatyzowania  obliczeń.  O  licznych  zastosowaniach tej metody traktuje monografia  Zienkiewicza  [1]. Z robiono tam też wzmiankę   o moż liwoś ci stosowania  elementów  skoń czonych  w  przestrzeni  i  czasie,  odsył ają c  zainteresowanych do prac ź ródł owych  [2, 3]. Jednakże ani w ż adnej  z tych prac, ani w  rozprawach  Argyrisa, Scharpfa  i  Chana  [4, 5] nie wprowadzono  poję cia  elementu czasoprzestrzennego.  Jedynie Odeń w pracy  [6] potraktował  czasoprzestrzeń jako  obiekt dzielony n a elementy skoń czone, ale  w  póź niejszych  jego  publikacjach  nie  napotkano  ż adnych  ś ladów  rozwijania  tego pomysł u. W  1975 roku Ką czkowski  [7, 8] wykorzystują c  do koń ca wszystkie  konsekwencje wynikają ce  z  wprowadzenia  czwartego  wymiaru  i  nadają c  wielkoś ciom  dynamicznym wł asne  interpretacje  geometryczne  lub  statyczne  opracował   metodę   elementów  czaso- przestrzennych  (M ECZ). W  metodzie  tej  traktowanie  na  równi  czasu  i  przestrzeni  umoż liwia  wprowadzenie poję cia elementu czasoprzestrzennego i pozwala n a formalne  stosowanie  znanych procedur wyznaczania  macierzy  sztywnoś ci  ustroju,  bez  potrzeby  jakichkolwiek  ich  modyfikacji. Idea metody Ką czkowskiego  (MECZ) polega  na dyskretyzacji  continuum czasoprzestrzen- nego, w  wyniku  czego  przejś cie  od równań  róż niczkowych  czą stkowych  do  równań  alge- braicznych  odbywa  się   w jednym  etapie. W  klasycznym  podejś ciu  do numerycznej  analizy zjawisk  dynamicznych  postę puje  się   inaczej;  z  równań  czą stkowych  przechodzi  się   do równań róż niczkowych  zwyczajnych,  które dopiero po wykonaniu  odpowiedniej  dyskrety- zacji  zastę pujemy  równaniami  algebraicznymi.  Próbę  wykorzystania  M ECZ  do  zagadnień geometrycznie  nieliniowych  przedstawił   Witkowski  w  swojej  pracy  habilitacyjnej  [9]. W niniejszej  pracy pokazano inne rozwią zanie  dynamicznych problemów  geometrycznie nieliniowych  metodą   elementów  czasoprzestrzennych. «•   '  . 684  A. PODHORECKA 2.  Odkształ cenia Przyję to  opis  materialny  zmiennych  konfiguracji  (opis  Lagrange'a).  Jeż eli  korzystamy z  tego  samego  kartezjań skiego  (prostoliniowego  i  ortogonalnego)  ukł adu współ rzę dnych do«opisu  zarówno  konfiguracji  pierwotnej  jak też koń cowej,  to  tensor  odkształ cenia G reena  Ey  moż na  wyrazić  wzorem  [10]: du,  8uj  8u k  8uĄuĄ   0 (Efi — odkształ cenia  wstę pne,  u — wektor  przemieszczeń ). Skł adowe  stanu  naprę ż enia  odniesione  do  stanu  pierwotnego  reprezentuje  tensor naprę - ż enia  Kirchhoffa  (II  tensor  Pioli- Kirchhoffa) Sy'. Stj^ DwCEJEtj  + Sfj,  (2.2) gdzie  D, Jk i  jest  tensorem  zależ nym  od  cech  materiał owych i  odkształ ceń, a  S°j  oznacza naprę ż enia  wstę pne. Jawne sformuł owanie  tensora Dyu,  n p. dla  ciał a liniowo  sprę ż ystego, nie jest ł atwe, gdyż skł adowe tensora odkształ cenia Eij  nie mają   interpretacji  geometrycznej. Taką   interpretację   mają   natomiast  wydł uż enia  wzglę dne  e kk  i  odkształ cenia  postaciowe ytk  [10]: cos

3 ) Y{l+2E u )(l+2E kk ) Yik -   2E ik , gdzie y ik   oznacza miarę  zmiany ką ta  prostego. Rozł óż my funkcje  (2.3) w szereg  potę gowy: *«  =  ]/ l+2E kk - l  =  E kk  ( l - -  E kk +~  El k +  . . . I , 2E  f  2 2e ik   —  arcsin  —,  ik  -   —  E„ \   —  + Y(l  +2E tt )(l  +2E kk )  "*{  ]/ (l  +2E it )(l  +2E kk ) ,  4  EikEik  , ...L  (2.4) < 1. Symetryczny  tensor Pioli- Kirchhoffa  S tJ  moż na zapisać  w formie  prawa  liniowego  stosują c miary  e ik   (2.4): Tensor wł asnos'ci materiał owych C im   nie zależy  od odkształ ceń i n p. dla ciał a izotropowego opisuje  go wzór: Ctjki  —  A' s u  &ki +(*'(8tk fyi + Ą i  8 )1  f )(l+2E u )  \\ / (l+2Ekk)(.l+2Ell)  \   3(1+ 2Ą ,)(1+ M tó  " j ' Przy  zał oż eniu mał ych odkształ ceń E ik   m oż na  przyją ć,  że  tensor  D iia   nie  zależy  od  od- kształ ceń: Dm  =   Ct m ,  (2.9) gdyż: akk s 1, i « S l . Mają c  tfy  i w,-   m oż na wyznaczyć  tensor naprę ż enia Cauchy  [10] odniesiony  d o  konfiguracji aktualnej: g  L  / „   duj  .  du t   dtij  3u t Liniowa  zależ ność  ten sora  Pioli- Kirchhoffa  Stj  od  odkształ ceń wcale  nie  ozn acza jed n o - czesnej  liniowoś ci  ten sora  Cauchy'ego  a i3 ,  co  wprost  wynika  z  wzoru  (2.10). 3.  Równanie  czteropracy  wirtualnej Rozpatrujemy  ciał o  stanowią ce  oś rodek  cią gł y,  które  w  konfiguracji  począ tkowej charakteryzują   obję tość  33 0 ,  powierzchnia  brzegowa  dś &' 0   i  gę stość  Q 0 ,  a  w  konfiguracji aktualnej  odpowiednio  88,  B3B,  Q. P racę   sił   zewnę trznych  (p Qi   —  sił y  powierzchniowe, Q o f ot  —  sił y  masowe,  go «i  —  sił y bezwł adnoś ci)  n a  wirtualnych  przemieszczeniach  dui  wyraża  wzór: 6u t p ot dA o +  J  8u t Q o f Oi dV o —  J  dUiQoUidV o .  (3.1) P odobnie  moż emy  opisać  pracę   sił   wewnę trznych  (naprę ż eń) n a  wirtualnych  odkształ ce- niach  SEni 6L W =  j  dE u S u dV 0 . Korzystają c  z  równoś ci  prac  sił   wewnę trznych  i  zewnę trznych  m am y: ÓL   =   6L Z -   dL y, =   0 , 6L   =   /   du lPoi dA o +  f  Óu t Q 0 f 0l dV o -   fdUiQoUtdVo-   j  6E u S u dV 0   ==  0 .  ( 3. 3) am  m  &  & 6 8 6  A .  POD H ORECKA R ówn ość  pracy  sił  zewnę trznych  n a  wirtualnych  przemieszczeniach  i  pracy  sił   wewnę trz- n ych  n a  wirtualnych  odkształ ceniach  musi  zachodzić  w  każ dej  chwili  t  m.in.  należ ą cej do  przedział u  czasu  od  t p   do  t k   [11]. d X  =   /   {  /   du l p 0l dA o +  f  dutQofotdVo-   J  dutQ O u t dV o -   f  dE u S u dV 0 )dt  =   0,  (3.4) Wykonują c  cał kowanie  przez  czę ś ci  trzeciej  cał ki: tk  tle  tk j  J  dUie o u t dV 0 dt  =   j  duiQoUt  dV 0 - f  f  duic o UidV o dt,  (3.5)j  J  j  f  f tp  < J*o  Sio  tp  tp  Sio uzyskujemy  ostatecznie  równie  czteropracy  wirtualnej  [8]: tk =  j  {  J  8utPotdA 0 +  J  du i Q 0 f 0i dV 0 )dł t  dSl  Sio  &o du tSo U ( dV o -   | J  dE u S u dV 0 )dt  -   0. J  J  )  j  A dV0 dSla  Sio  p (3- 6) Jeż eli  wprowadzimy  ograniczenie,  że  w  chwilach  t p   i  t k   wariacje  dut  zanikają   [12,13]: bu t (t p )  -   du t (t k )  - .  0,  (3.7) t o  równ an ie  (3.6)  przyjmie  prostszą   form ę : i*  tk d X  =  /   {  /   tetPoidAo  +  j  du i( >ofoidV 0 }dt+  }  If  dutQoiiidVo-   f  dE u S u dr 0 }  dt =   0. tp  aes 0   si 0   tp  m a   st a (3.8) Kolejne  cał ki  równ an ia  (3.8)  reprezentują : —  wariację   energii  potencjalnej  obcią ż eń: dL =  f  du t p 0l dA 0 +  f  Su,Q 0 f oł dV 0 ,  (3.9) a»„   sto —  wariację   energii  kinetycznej: 6E k =  j  dUiQaUtdVo,  (3.10) 3S0 —  wariację   energii  potencjalnej  odkształ ceń: ÓE,=  JdE u S u dVo.  (3.11) Wprowadzają c  oznaczenia  cał ek  (3.9)- r- (3.11)  do równania  (3.8) uzyskamy  zasadę   Hamil- t o n a  [10]: (L +E k - E p )dt  =  0,  (3.12) M ETOD A  ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZEN N YCH ... 687 gdzie: A =   L +E k - E p (3.13) jest  funkcją   Lagran ge'a. Z  powyż szych  rozważ ań  wyn ika,  że  równ an ie  czteropracy  wirtualn ej  (3.6) m a  ch arakt er bardziej  ogólny  niż  zasada  H am ilton a  (3.8). 4.  Równanie  ruchu  dla  zdyskretyzowanej  czasoprzestrzeni C zasoprzestrzeń  dyskretyzujemy  n a  skoń czoną   liczbę   elem en tów  czasopizestrzen n ych o  dowoln ym  kształ cie  (rys. 1). Rys.  l. P ole  przemieszczeń  elem en tu  i  pole  predkos'ci  tych  przem ieszczeń  opisują   fun kcje: (4.1) e—  1,2,  . . . , m , gdzie N ' a (X,  t)  jest  funkcją   kształ tu zależ ną   od X  i  f,  a  r„  —  przedstawia  przem ieszczen ia wę zł ów.  , Wariacje  przem ieszczeń  i  wariacje  prę dkoś ci  przemieszczeń  m o ż na  opisać  in n ym i funkcjami  kształ tu  (w  szczególnoś ci  W ia   — N ia   —  sposób  G alerkin a)  [1]: 6u e i (X,t)^ W f a (X,t)dri, (4.2) Odkształ cen ia  E i}   (2.1) elem en tu  czasoprzestrzen n ego  są   w  n astę pują cy  sposób  zależ ne o d  przemieszczeń  wę zł ów: (588  A.  PODHORECKA gdzie: (4- 4) Podobnie od przemieszczeń wę zł owych  elementu czasoprzestrzennego  uzależ niamy  wariacje odkształ ceń: gdzie: l   (4- 6) N aprę ż enia  (2.2)  po  wykorzystaniu  wzoru  (4.3)  opiszemy  nastę pują co: D la  ciał a  liniowo  sprę ż ystego  tensor  D iJk i  okreś la  wzór  (2.7),  przy  czym  wielkoś ci  a kk i  b ki   wyraż ają   się   nastę pują co: (4.8) (4.9) Wprowadzają c  zwią zki  (4.1) - f-  (4.9)  do równania  czteropracy  wirtualnej  (3.6)  otrzymamy: m Jf a d(dQ)  + ff  dr e a Q e ofS t N ? a dQ + (4.10) =   0. gdzie  Q e   oznacza  obszar  elementu  czasoprzestrzennego. Relacja  (4.10) musi zachodzić dla dowolnej  wariacji  przemieszczeń  6r a .  Ostatecznie uzysku- jemy  nieliniowe  równania  ruchu,  które  mają   charakter  równań  równowagi  i  są   waż ne dla  cał ej  zdyskretyzowanej  czasoprzestrzeni: -   0,  (4.11) M ETOD A  ELEMENTÓW  CZASOPRZESTRZEN N YCH ... 689 gdzie: =   H  Df M 'Bf Ja 'S e hlfi dQ, r   r$dQ  -   J J  SfjW ^ W (4.12) (4.13) (4.15) =  $ S  P e ol N f a d{dQ)+ dV 0 . (4.16) Analogicznie  do  terminologii  wprowadzonej  w  metodzie  elementów  skoń czonych  [12] symbole eK^ °ny,   eK^ f,  eK$,   eM ap   i eR a   oznaczają   odpowiednio skł adowe: macierzy sztyw- noś ci  konstytutywnej,  macierzy  sztywnoś ci  przemieszczeniowej  (obrotowej),  macierzy sztywnoś ci  naprę ż eniowej  (geometrycznej),  macierzy  bezwł adnoś ci  i  macierzy  impulsów wę zł owych. Ogólny  wzór  opisują cy  skł adowe  macierzy  sztywnoś ci  ukł adu  ma  postać: (4.17)2 Obcią ż enie wyraż ają ce  impulsy  wę zł owe eR a   (4.16) zależy  m.in. od prę dkoś ci  począ tkowej przemieszczeń  w,(*0)  ('o —  c z a s  rozpoczę cia  obserwacji  ciał a).  Impuls od prę dkoś ci  prze- mieszczeń  może wystą pić  także  w innej  chwili,  n p. Ui(t s ), jeż eli  takie  obcią ż enie  zostanie dodatkowo  w chwili  t s   przył oż one.  W przeciwnym  wypadku  u t (t,)  <=  0.  Ostatecznie nie- liniowe  równania  ruchu  (4.11)  moż emy  zapisać  w  nastę pują cej  postaci: (4- 18) lub: Kr =  if  (4.19) gdzie  K —jest  globalną   macierzą   sztywnoś ci  zdyskretyzowanej  czasoprzestrzeni. 5.  Rozwią zywanie  równań  rucha Równania  ruchu  (4.18),  przy  znanych  warunkach  począ tkowych,  moż na  zawsze sprowadzić  do formuł y  rekurencyjnej,  niezależ nie  od kształ tu  elementu  czasoprzestrzen- nego  (od sposobu  dyskretyzacji  po czasie). Przykł adowo, przy równomiernej  dyskretyzacji 690 A.  PODHORECKA rozważ ana  struktura.. / element czasoprzestrzenny Rys.  2. po  współ rzę dnej  czasowej  (rys.  2),  ukł ad  równań  (4.18)  moż emy  zapisać  macierzowo w  nastę pują cej  formie: A o a B 0 - 1 D i. o  +   A 1 . 2 : ~ B 1 . 2 D i;«- r+AuTr B - ; SY r0  ~ r i R° R 1 R 1 1 »  (5.1) gdzie f(  zawiera  przemieszczenia rozważ anej struktury przestrzennej w chwili „i", natomias flj- i+i  ̂ B i > i + 1 , Cut~ l  i  D ' - ' -1  są  macierzami sztywnoś ci  struktury  zależ nymi  m.in. od prze- mieszczeń  r'""1,  rl  lub  r l + 1 . Znanymi warunkami począ tkowymi  są  przemieszczenia r°  oraz prę dkoś ci przemieszczeń «(f0)  sprowadzone  do  impulsów   e R  wg  wzoru  (4.16).  F ormula rekurencyjna  wynikają ca z  (5.1)  przedstawia  się   nastę pują co: 5 " =   C w - 1 r | - ł + [ D M - 1 +  A w + 1 ] r l + B f c l + V + 1 - r f - O.  (5.2) Z  wzoru  tego  moż na  obliczyć  r l + 1 ,  gdyż  r ' - 1  oraz r '  został y wyznaczone  w poprzednich krokach  rekurencyjnych.  Macierze  C '- '"1  i  D '- '"1  są   od  razu  w  peł ni  okreś lone, gdyż zależą   od  znanych już  przemieszczeń  r1'1  i  r'  natomiast macierze  A u + 1  i  B M + 1  nie są cał kowicie  wyznaczalne,  ponieważ  zależą   od  nieznanego przemieszczenia  r ' + 1 .  Równanie (5.2) jest  zatem  równaniem  nieliniowym,  które  moż na  rozwią zywać  róż nymi  sposobami ( n p .:  metodą   kolejnych  przybliż eń,  metodą   począ tkowych  obcią ż eń,  metodą   Newtona- R aphson a  itp.). 6.  D rgania  podł uż ne  prę ta D alsze  rozważ ania  zmierzają ce do zilustrowania  zaproponowanego  algorytmu rozwią - zywania  zagadnień  nieliniowych  przeprowadzimy  na  elementarnym  przykł adzie  prę ta M E T O D A  E LE M E N TÓW C Z ASO P R Z E ST R Z E N N YC H . . . 691 prostego  wspornika  o dł ugoś ci l 0   =  2.0  [m], polu przekroju  poprzecznego  A o   =   0.005  [m 2] (rys.  3a). Dział ają ce  obcią ż enie pOiCXi>t)  wywoł uje  drgania  podł uż ne Ui(Xi,  t).  M ateriał charakteryzuje:  moduł   Younga  E o  =   2 •   10 5  [MPa],  gę stość  g0  =   7500  [kg/ m 3],  współ - czynnik  Poissona  v  =   0.29. a) la'  2a b) Rys.  3. W  przypadku  osiowego  stanu  naprę ż enia, wzór  (2.4) przedstawiają cy  skł adowe  odkształ - cenia,  moż na  w  ś cisły  sposób  sprowadzić  do  postaci: (6.1)e 22   =   - v 3X t £ 33- Jeż eli  dokonamy  równomiernej  dyskretyzacji  czasoprzestrzeni  (rys.  2),  to  element  czaso- przestrzenny  bę dzie  miał   kształ t  prostoką ta  o  wymiarach  2ax2h  (rys.  3b),  gdzie  a  = =   1.0  [m]. Funkcję  kształ tu N la {X l3 t)  m N a (X,t)  moż na  opisać  zwią zkami  liniowymi: '• -U N a (X,  0  =   ? dla  a  =   2,3  j  1  dla  a  =   3,4 dla  a  =   1,4'  T a = = \ - 1  dla  a - 1 , 2' | s < - l ; l >,  r e < - l ; l >,  a - 1 , 2 , 3 , 4. N astę pnie  opiszmy  w  obszarze  elementu  czasoprzestrzennego: —  przemieszczenia  i  wariacje  przemieszczeń: ul  -   N lrZ, —  prę dkoś ci  przemieszczeń  i  ich  wariacje: (6.2) odkształ cenia  i  ich  wariacje: =   ['Bl+ "BZ]rea, (6.3) (6.4) (6.5) 692  A .  PODHORECKA gdzie: 4  (6- 6) " B l  ^ ^ P odobnie  od  przemieszczeń  wę zł owych  elementu czasoprzestrzennego  uzależ niamy  tensor naprę ż enia  Stj.  Rozpatrywać  bę dziemy  trzy  postacie  zwią zków  konstytutywnych. 1.  D rugi  tensor  naprę ż enia  Pioli- Kirchhoffa  Stj  jest  proporcjonalny  do  tensora  od- kształ cenia  G reena  E t y. (6. 7) 2.  D rugi  tensor  naprę ż enia  Pioli- Kirchhoffa  Stj  jest  proporcjonalny  do  wydł uż enia wzglę dnego  ustalonego  w  konfiguracji  nieodkształ conej: 3.  Tensor  Cauchy  oy  jest  proporcjonalny  do  wydł uż enia  wzglę dnego  ustalonego w  konfiguracji  odkształ conej: gdzie: X  =   , opisuje  współ rzę dne  punktów  prę ta  odkształ conego.  - Sprowadzając  oy  (6.9)  do  współ rzę dnych  Lagrange'a  mamy: t W  celu  okreś lenia  drugiego  tensora  Pioli- Kirchhoffa  Stj  korzystamy  ze  wzoru  (2.10): OU  ̂ \   /• £   1  1 \ Z  prawa  zachowania  masy  wynika,  ż e: M ETOD A  ELEMENTÓW  CZASOPRZESTRZEN N YCH ...  693 gdzie  (por.  (6.1)): du 2   dii\ „   .  (6.13) au 3   dui Wprowadzają c  zwią zki  (6.12)  i  (6.13)  do  (6.11)  ostatecznie  otrzymamy: ^ Ą i .  (6.14) lub: (6- 15) Podstawiają c  (6.10)  do  (6.15)  uzyskamy  jawny  opis  tensora  naprę ż enia  Pioli- Kirchhoffa Przyję cie  w  tym  przypadku  róż nych  od  zera  skł adowych  e 2 2  i  e 3 3  jest  równoznaczne z uwzglę dnieniem  zmiany pola przekroju  poprzecznego prę ta. Zwią zek  (6.16) dla elementu czasoprzestrzennego  bę dzie  miał   postać: (  } Korzystają c  z  wzorów  (4.12)- f- (4.16)  ustalamy  wyrazy  macierzy  sztywnoś ci  elementu czasoprzestrzennego  (kolejno  we wszystkich  analizowanych  przypadkach;  przyję to  W  = =   N ) . 1,  D rugi  tensor  Pioli- Kirchhoffa  Si }   proporcjonalny  do  tensora  G reena  Ei S : 4 — y - l 4  4 +   (6.18) 694 A.  PODHORECKA 2.  D rugi  tensor  Pioli- Kirchhoffa  5y  proporcjonalny  do  wydł uż enia  wzglę dnego: ~ka / f  12a 3.  Tensor  Cauchy  a t j  proporcjonalny  do  wydł uż enia  wzglę dnego: (6.19) E a 12a 2  , 4 * In A*+B* A*- B* A*+B* (6.20) A*- B* gdzie: y = l V ~~2li y = l 4   4 - HI 4  4 4  4 4  4 (6.21) 4  4 (6.22) M ETOD A  ELEMENTÓW  CZASOPRZESTRZEN N YCH ...  695 W zadaniach dotyczą cych  zagadnień  geometrycznie  liniowych  wystarczają cym  warunkiem stabilnoś ci  rozwią zania  numerycznego  jest  takie  dobranie  wymiarów  elementów  czaso- przestrzennych,  aby był a  speł niona  nierówność [8]; (6.23) Z warunku tego skorzystano  także przy  rozwią zywaniu  zadań geometrycznie  nieliniowych. Obcią ż enie  (we wszystkich  trzech  przypadkach  zwią zków  konstytutywnych)  stanowi nagle  przył oż ona do  koń ca  wspornika  sił a  podł uż na  (ś ciskają ca  lub  rozcią gają ca)  (rys. 4): P(t) -   PH(t),  (6.24) gdzie  H(t) jest  funkcją   H eaviside'a. P -  siia przył oż ona do koń ca wspornika P'const i- czai R ys.  4. Warunki  począ tkowe  przyję to  w postaci: u ( ^ =  0 ) - = 0,  u(t =  0) =  0,  e° =  0,  S° = 0, Przeliczono  wiele  zadań  dla  róż nych  wartoś ci  sił y  P.  N a rys. 5 przedstawiono  zmianę w czasie  przemieszczeń  koń ca wspornika  od siły P =  5 •   10  [N] przy  róż nych  definicjach zwią zków  konstytutywnych  (6.7)- f-  (6.9). Porównują c  otrzymane wyniki  z rozwią zaniem  geometrycznie liniowym  moż na sformuł o- wać  kilka  uwag. 1.  W przypadku  zwią zków  konstytutywnych  (6.7) i  (6.8) przemieszczenia  przy  rozcią - ganiu są  mniejsze a przy  ś ciskaniu  wię ksze.  Podobnej zmianie ulega  okres  drgań  (rys.  5a, b). 2.  Jeż eli  zwią zek  konstytutywny  jest  opisany  wzorem  (6.9) to przemieszczenia  przy rozcią ganiu są  wię ksze a przy  ś ciskaniu  mniejsze.  Analogicznie  również  zmienia się   okres drgań  (rys.  5c). 3.  Wartość  obcią ż enia P =  3.0  [MN ] stanowi  w przybliż eniu  maksymalną   sił ę   speł nia- ją cą   warunki  wytrzymał oś ciowe  rozpatrywanego  prę ta.  Przy  tak  dobranym  obcią ż eniu wyniki  analizy  geometrycznie  liniowej  i  nieliniowej  róż nią   się  o okoł o 0.6%. Amplituda  przemieszczeń  jest  dwa razy  wię ksza  od ugię cia  statycznego  (od  statycznego dział ania sił y P). Ugię cie statyczne policzono metodą  elementów skoń czonych przy  takich samych  zał oż eniach jak w  metodzie  elementów  czasoprzestrzennych. W  celu  uzasadnienia  poprawnoś ci  uzyskanych  rezultatów  przeprowadzimy  analizę sztywnoś ci  prę ta. Rzeczywisty  stan naprę ż eń opisuje  tensor Cauchy try (naprę ż enia w kon- 696 A .  POD H ORECKA Przypadek  I b) 10 1 5   2 0   25   3 0   3S  W  ł S ISO c) o.o lna  geometrycznie  liniowa - •   ś ciskanie  } analiza  geometrycznie  ' (  •   .•  •   P =   +   5- 10  iN l-   rozcią ganie  J  mekmona U st   -   ugię cie  od  statycznego  dział ania  sił y Rys.  5. figuracji  odkształ conej i do niej  odniesione). Opiszmy  ten tensor w konfiguracji  nieodkształ - conej  (Lagrange'a): (1)  D rugi  tensor  Pioli- Kirchhoffa  proporcjonalny  do  tensora  G reena  (6.7): M ETOD A  ELEMENTÓW CZASOPRZESTRZEN N YCH ... 697 E(e n )=E 0 (6.25) (2)  D rugi  tensor  Pioli- Kirchhoffa  proporcjonalny  do  wydł uż enia  wzglę dnego  w  kon- figuracji  nieodkształ conej  (6.8): 1 (3)  tensor  Cauchy  proporcjonalny  do wydł uż enia  wzglę dnego  w  konfiguracji  odkształ - conej  (6.9): (6- 27) (6.28) Analizują c  ten  parametr  sztywnoś ci  w  poszczególnych  przypadkach  prawa  fizycznego (1,2, 3)  moż emy  podać  kilka  istotnych  uwag  (rys.  6). Wprowadzimy  parametr  ?? opisują cy  zmianę   sztywnoś ci: 00  0.5 ś ciskane rozcią ganie Rys.  6. 9  M ech .  T eoret.  i  Stos.  4/ 88 6 9 8  A.  PODHORECKA 1.  Jeż eli tensor naprę ż enia Pioli- Kirchhoffa S^  jest  liniowo zależ ny od tensora odkształ - cenia  G reena  E- V j  lub  wydł uż eń  wzglę dnych  (wzglę dem  konfiguracji  nieodkształ conej), to  sztywność  przy  rozcią ganiu  roś nie  \ i\ \   >  1,  a  przy  ś ciskaniu  maleje  |JJ| <  1.  Z  tego wł aś nie  powodu  wynikają  mniejsze  przemieszczenia przy  rozcią ganiu  a  wię ksze  przy  ś cis- kaniu  (rys.  5a, b). 2.  Liniowa  zależ ność  tensora  Cauchy  od  odkształ ceń  wzglę dnych  (wzglę dem  kon- figuracji  odkształ conej)  oznacza  mniejszą  sztywność  przy  rozcią ganiu  \ r\ \  <  1,  a  wię kszą przy  ś ciskaniu  \ rj]  >  1.  D latego też  przemieszczenia przy  rozcią ganiu  są  wię ksze  niż przy ś ciskaniu  (rys.  5c). 3.  Przy  mał ych  odkształ ceniach  \ du x   \ \ BX X \   4,1,  sposób  definiowania  prawa  fizycznego nie  ma  praktycznego  znaczenia,  gdyż: E( Sll )^ E 0   lub  rj(s n ) £   n =   1,  (6.29) Przedstawiony  przykł ad wyraź nie  pokazuje jak  dalece istotne jest  wł aś ciwe sformuł owanie równań  konstytutywnych  zwł aszcza przy duż ych odkształ ceniach. Przypadek I i II zadania wykazał ,  że  dowolne  formuł owanie zależ noś ci  naprę ż eń od  odkształ ceń (spotykane w li- teraturze, n p.  [10] str. 470) może spowodować uzyskanie wyników  niezgodnych z doś wiad- czeniem.  Trudn o  sobie  wyobrazić,  aby  sztywność  rozcią ganego  prę ta  stalowego  rosł a wraz  ze  wzrostem  sił y,  skoro  wiadomo,  że  pole  jego  przekroju  poprzecznego  maleje. Ostatnia  wersja  prawa  konstytutywnego jest  prawidł owa, stąd  uzyskane  wyniki  są  zgodne z  oczekiwaniami  i  nie  budzą  wą tpliwoś ci. \ Literatura 1.  O. C .  Z I E N K I E WI C Z ,  Metoda  elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa  1972. 2.  O.  C.  Z I E N K I E WI C Z , P AR E KH ,  T ransient field problems —  to  and  three dimensional  analysis  by  isopara- metric  finite  elements,  I n t .  J.  N u m .  M ath,  in  En g.,  2,  1970. 3.  I .  F R I E D ,  Finite  element  analysis  of  time  dependent - phenomena,  I n t . R eport  Stuttgart  U niv., 1969. 4.  J.  H .  AR G YR I S,  D . W.  SC H AR P F ,  Finite elements  in  time  and space, Aero.  J.  of  the R AS,  73,  1969, p. 1041 -  1044. 5.  J. H .  AR G YR I S,  A.  S. L.  C H AN ,  Application  of  finite  elements  in space and  time,  Ing.  Arciv.  41, 1972, p .  235  -  257. 6.  J . T .  O D E N ,  A  general  theory  of  finite  elements,  I n tern .  J.  of  N um . M eth.  in  Engineering  1,  1969, 2, 205- 221,  3,  247- 259. 7.  Z .  KAC Z KOWSKI ,  T he method  of finite  space- time  elements  in  dynamics  of  structures, J.  Techn. Phys., 16,  1,  1975,  p.  69- 84. 8.  Z .  KĄ C Z KOWSKI,  Metoda  czasoprzestrzennych  elementów skoń czonych,  Arch.  I n ż.  Lą d.,  22,  3,  1976, s.  365- 378. 9.  M .  WI T K O WSK I ,  O  czasoprzestrzeni  w  dynamice  budowli,  P race  N aukowe  Politechniki  Warszawskiej, Budown ictwo,  z.  80,  1983. 10.  Y.  C.  F U N G ,  Podstawy  mechaniki  dala  stał ego,  P WN ,  1969. 11.  J.  F . BESSELIN G , Another  L ook at  the  Application of the Principle of  Virtual  W ork with Particular Reference to  Finite  Plate  and  Shell  Elements,  Springer- Verlag,  Berlin  H eidelberg  N ew  York  1981,  p .  11- 27. 12.  M . K.. KLE I BE R ,  Metodą  elementów skoń czonych  w nieliniowej mechanice kontinuum, P WN ,  Warszawa— P ozn ań  1985. 13.  H .  Z O R SK I  (redakcja),  Mechanika  techniczna, podstawy  mechaniki,  P WN , Warszawa  1985. M ETOD A  ELEMENTÓW  CZASOPRZESTRZEN N YCH ...  699 P  e 3 10  M  e METOfl  BPEMEHHO- nPOCTPACTBEHHLIX  3JIEMEH TOB  B  TEOMETPH H ECKH HEJIHHEftHfclX B  p a 6o ie  npeflcraBJieH O  MCTOA  peineH H H  fliiH aM H ^iecKH X H   reoMeTpiraecKH X  H ejiH H eH H wx  3afla*i c  noM ombio  Merofla  BpeiweH H o- npocTpacTBeH H tix  ajiein eirroB.  3aK0H   H anpnn