Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 25, 1987 LATERAL STABILITY OF THE CANARD CONFIGURATION TOMASZ G OETZ EN D ORF - G RABOWSKI ZD OBYSŁAW  G ORAJ W arsaw University  of  T echnology 1. Introduction The  Wright  Broth ers'  aircraft  was  the  biplan e  C an ard.  I n  the  next  years  th at  confi- guration  has  been  supplan ted  by  conventional  on e.  H owever,  starting  from  the  early  part of  th e third  decade  new  designs  in  th e  C an ard configuration  have  arised.  Advantages  and disadvantages  of  t h a t  con figuration  have  been  com pared  and  described  in  bibliography in  respect  of  th e  perform an ce  [1,  2] bu t  have  n o t  been  published  in  respect  of  static  and dynamic  stability.  One  of  few  works  in  this  field  has  been  th e  analysis  of  an  influence  of the  lateral  flow  to  t h e  dyn am ic  stability,  which  has  been  performed  by  R.  P anasiuk  [3]. F rom  this  analysis  it  has  followed  t h at  th e  lateral  flow  improves  the  stability  of  the phugoid  and  spiral  m odes. I n  this  paper  dyn am ic  equation s  of  the  small,  lateral  vibrations  for  the  Canard  confi- guration  have  been  derived  and  rewritten  in  the  dimensionless  form.  An  influence  of  the some  design  param eters  to  the lateral  stability  has  been  studied.  D ynamic effects  resulting from  a  change  of  th e  low- wing  configuration  by  a  high- wing  one  as  well  as  from  an in- crease  of  the dihedral  angle  an d  of  the fin  an d  rudder  aera  an d from  a change  of  the mass balance  have  been  an alysed  in  detail. A- tASCA V F ig.  1.  System  of  coordinates 48 T.  GOETZENDORF­GRABOWSKI,  Z.  GORAJ 2. Notations A Axyz Ax3y3z3 Axsyszs b g JxiJzr .lxx LV,LP>  Lr m "W M8 Nv,Np,Nr n0,  np,  nr P,Q,R s ­ point  denoting  one­fourth  of  a  mean  aerodynamic  chord  (MAC) ­ stability  axis  system:  x  axis  is  directed  towards  the  nose  of  fuse­ lage,  parallel  to  the  undisturbed  flow,  z  axis  is  directed  down­ wards  perpendicularly  to  the  x  axis  and  lies  in  the  plane  of  sym­ metry,  y  axis  is  directed  on  the  right  wing,  perpendicularly  to the  Axz  plane  (referred  also  as  AxAyAz^) ­ body  axis  system,  obtained  from  Axyz  by  the  rotation  a  about the  axis  Ay ­flow  axis  system,  obtained  from  Axyz  by  rotation  pF  about  the axis  Az ­wing  span ­  stiffness  matrix  of  the  anti­symmetrical  model  (in  dimensionless form) ­ dimensionless,  modified,  stiffness  matrix  of  the  antisymmetrical model ­ stiffness  matrix  of  the  integral  model ­lift  coefficient  > ­ acceleration  due  to  gravity ­  moments  of  inertia  about  either  stability  axis  system  Axyz  or body  axis  system  Ax3y3z3 ­ products  of  inertia  about  either  stability  axis  system  Axyz  or body  axis  systen  Ax3y3z3 ­ dimensionless  moments  and  product  of  inertia,  respectively **X> "Zi  "XZ ­ aerodynamic  derivatives  of  the  rolling  moment  with  respect  to velocity  of  sideslip,  rolling  and  yawing,  respectively  (either  in stability  axis  system  or  body  axis  system) ­dimensionless  aerodynamic  derivatives,  respectively  Lv,Lp,Lr ­ mass  of  the  aircraft ­ mass  matrix  of  the  anti­symmetrical  model ­dimensionless,  modified  mass  matrix  of  the  antisymmetrical model ­ mass  matrix  of  the  integral  model •aerodynamic  derivatives  of  yawing  moment  with  respect  to velocity  of  sideslip,  rolling  and  yawing,  respectively  (either  in stability  axis  system  Axyz,  or  in  body  axis  system  Ax3y3z3) ­dimensionless  aerodynamic  derivatives,  respectively  Nv,Np,Nr ­ components  of  a  disturbance  of  the  angular  velocity  either  in stability  axis  system  Axyz  or  in  body  axis  system  Ax3y3z3 ­ components  of  the  angular  velocity  either  in  stability  axis  system Axyz  or  in  body  axis  system  Ax3y3z3 ­wing  aera STABILITY  OF THE  CANARD  CONFIGURATION  49 .t  t  ~j  — real,  aerodynamic  and dimensionless  time,  respectively 71  — period  of an  oscillation Ti/2  (T2)  — time  to half  (to  double)  amplitude  of an  oscillation u, v, w  — components  of  a  disturbance  of the velocity  either  in  stability axis  system  Axyz  or in  body  axis  system  Ax3y3z3 U, V, W(U0, Vo,  Wo)  — coordinates  of the  velocity  VA  (and its undisturbed  components) either in stability  axis system  Axyz  or in body  axis system Ax3y3  z3 UO,VQ,WO  —dimensionless,  undisturbed  components  of  velocity  VA  either in  stability  axis  system  Axyz  or in  body  axis  system  Ax3y3z3 VA  — total  velocity  of  the point  A x,y,  z  — coordinates  of the  mass  centre  in  so­called  design  axis  system. These  coordinates  are connected  either  with  stability  axis system (i  = 4) or  with  body  axis  system  (1 =  3) by relations  x  = —Xu y  =  yt,  z  =  ­zi x8,  xa4., (xaA)  — small  disturbance  vector  for integral  and anti­symmetrical  model (in  dimensionless  form),  respectively xa,  za  — dimensionless  coordinates  of the mass  centre,  respectively x  and z YO,YP,  Yr  —aerodynamic  derivatives  of lateral  force  with  respect  to  velocity of  sideslip,  rolling  and  yawing,  respectively  (either  in  stability axis  system  or  in  body  axis  system) yv,yP,yr  —dimensionless  aerodynamic  derivatives,  respectively  Yv,Yp,Yr a  — angle  of  attack PF>  PW>  fis  — a n g l e  of  lateral  flow,  wind  and sideslip,  respectively r\  — a n g u l a r  frequency ©o  —flight­path  angle &  — small  disturbance  of the pich  or flight­path  angle (ia  — dimensionless  mass  of  the  aircraft I  — damping  coefficient Q  — a i r  density 0O  — b a n k  angle q>  — small  disturbance  of  the  bank  angle 3. Mathematical Model for Lateral Stability The  mathematical  model,  which  has  been  used  in  computations,  has included  the mass,  aerodynamic  and  stiffness  couplings  [4, 5] and  will  be  referred  as  „the  integral model".  The  linearized  equations  of motion  have  been  written  in matrix  form  [5] as fol­ lows: M8x8  ­  B8x8,  (1) where {x8}  =  {u,v,  w,p,q,r,&,0  • Ł  0. There  can  exist  a  sideslip:  /9S Ą=  0,  a  cross­wind:  / V  ^  0  and  a  lateral  flow:  ftr  #  0 (where  0S  =  fo+jS,,) 2)  there  exist  only  anti­symmetrical  disturbances  from  steady­state  flight  parameters.  The small  disturbance  vector  JC,4  [4] has  the  following  coordinates:  v,p,r,o W£ Z C O S@O C O S0O — mgy cos& 0   sin & 0 —  mgxcos0 o cos0 o 0 (5) M oments  and  products of  inertia,  aerodynam ic derivatives  an d  coordin ates of  the mass centre  occuring in  matrices Afo4,  BaĄ  can be  related either to  th e body  axis  system  or to the  stability  axis  system.  Vectorial equation (3) expanded in th e body  axis  system  are not convenient  to  use  in  com putations  because in  this  case  aerodynam ic derivatives,  usually known  in the stability  axis  system Axyz  (or in the flow  axis  system  Ax s y s z s   (F ig. 2) — if th e  flow  angle  is  n ot equal to  zero) must be  converted t o  t h e body  axis  system  [5].  The same  equation expanded in  the stability  axis  system  (or  in  th e flow  axis  system) is  more conventional  because in such case we must transform only three  com pon en ts  of  th e inertia pseudo- tensor  and two  components  of  the mass  centre  instead of  th e nine  com pon en ts  of aerodynamic derivatives  an d two velocities  (if  we use th e body  axis system). N umerical  calculations have  been  performed  on  th e  basis  of  equation s of  m otion  in dimensionless  form : where /  =   t/ t a   is  dimensionless  time,  while is  aerodynamic time. dx a4 m (6) (7) STABILITY  o r  THE CANARD   CONFIGURATION F ig.  2.  Plan  view  of  the aircraft  showing  the most  important  design  parameters One  derived  th e  following  param et ers: —  dimensionless  mass m *'   =   O.SgSb' —  dimensionless  coordin ates  of  the  mass  centre x a   =   xjb,  z a   =   zjb, —  dimensionless  m om en ts  an d  products  of  inertia Jx —  dimensionless  velocities «o  = mb2  > Jz  = mb2' Jxz  = mb2 W o (8) (9) (10) (11) ' . A  ' j l  K / ł One  should  emphasize  t h a t  in  th e  stability  axis  system  u 0   =   1, v 0   =  w 0   =   0, while  in the flow  axis  system  we  have w0  =   co s/ V,  v0  =   sin / V,  vv0  =   0.  (12) E quation  (6) h as  been  tran sform ed  to  modified  form  dividing  its  scalar  components by a  such  coefficients  in  order  to  get  th e un its  at  th e  m ain  diagonal  of  the mass  matrix. So, puttin g  the  small  disturban ce  vector  in  th e  form v  pb  rb (13) an d  assuming  t h at 52 T .  G O E T Z E N D O R F - G R ABO WSK I,  Z .  G Q R AJ 1)  steady- state  flight  is  horizon tal,  i.e.:  0 O   =   0, 2)  steady- state  ban k  angle  is  equal  to  zero,  i.e.  0 O   =   0, 3)  th e  angles  of  sideslip,  flow  and  wind  are  equal  t o  zero,  we  can  rewrite  th e  equation of  motion  in  the  form where Ujx 1  I ,  - x a   0 5a/ A  1  - Jxzljx  0 - XalJz  ~jxzljz  1  0 0  0  0  1 njjz  njjz  (n r  + fi a x a )/ jz  - c L x a / j t .0  / i a   0  0 and  symbol  v  indicates  differentiating  with  respect  to th e dimensionless  tim e. A  particular  solution  of  the  equation  (14)  has  the  form xi  T te   Vofr I  '  A  'A  r  A Substitution  of  (17)  into  (14)  gives  th e  following  characteristic  equation det{m a 4> zA—6fl4> 1}  =   0, which  can  be  rewritten  as X+ a  I det f 2 h 2 X—x =   0 , (14) (15) (16) (17) (18) (19) 0  - ft.  OX where x  =   «*/ / „   y  =   - Iv/ jx,  a  =  ~y D ,  bi  =   z a ,  c t   =   - y p , dl = — f̂li e l =   - yr  +   f*a>   fx  —  - CL,  ̂ =   Za/ jxi h 2   =  —x„lj z ,  b 2   — \ ,  c 2   =  —lplj x ,  d 2   =  —ixzlixi 2l  =   (- lr  + f*aZu)/ j x ,  f 2   =   - C L Ź jj x ,  b 3   =   - jxz/ jz, C3 =   ~npljz> "3 = 1» e 3 =   ~\ nr~fittxa)ljzj  J3  ~  cLxa!]z- D evelopment  of  (19)  gives  characteristic  equation  of  order  4: i i / ,  ~t~xJA  "T ' V' A  ~r* u  A ~r xi  = =   v./.  v*̂ /̂ The  coefficients  of  this  equation  can  be  represented  as  functions  of  x  an d  y  by  th e  follo- wing  m ean s: A  = A 0 ,  B = B 0 ~yB y - xB 2 ,  C -   C o - , 2) =  D 0 - yD i - xD 2 ,  E =   E^ - yE x - xE 2 , (21) STABI LI TY  O F  TH E  C AN AR D   C ON F IG U RATION   53 where 0   ,  B o  = ar l +r 2 - h 1 r s +h 2 r 8 ,  Bl -   rĄ, Co =  difi- difa+ h C2  -   rs,  Do  =   e3 D x   -   r 6 ~{dj z - d z f x )ii a ,  D 2  =  rg- id^ - d^ )^ ,  E o  =  - a(e 2 f 3 - e 3 f 2 )p a , and rx  =  b2d3- b3d2,  r2  — c2d3- c3d2  + b2e3- b3e2,  r3  =  c2e3- c3e2, r 4  =  b1d3- b3dl,  rs  =  c1d3- c3dl  + b1e3- b3e1,  r6 =   Cifla- c3V» r- , = b 1 d 2 - b 2 d 1 ,  r a   =  c x d 2 - c 2 d x +b l e 2 - b 2 e l ,  r 9   =  c x e 2 - c 2 e u while  x =  «„/ / z  an d  j  =   - / „/ A- C haracteristic  equation  in th e  form  (20)  has 4 roots,  which  correspond  to the  so- called „ stiff  n atural  m o d es".  These  m odes  are as follows:  ' —  D uch  Roll  — an  oscillatory  m ode  possessing  two predom in an t  coordinates: the sideslip  with  a  velocity  v  an d the rolling  with  an angular  velocity p. Th e  phase- angle  between  these  coordinates  is  approximately  equal to  180°, —  Spiral  — a n unoscillatory  m ode  possessing  two  predom inant  coordinates:  the sideslip  with  a  velocity  v  an d the yawing  with  an angular  velocity  r, which  is in phase  with  the  sideslip, —  Rolling  — an  unoscillatory  m ode  which  has  th e  one  predom inant coordinate, i.e.: th e  rolling  with  an angular  velocity  p, 4.  S hort  Characteristic  of an Aircraft  Employed  for  Computing The  most  im portan t  data a r e: m ain  wing  span  b =  7.0  m fron t  wing  span  b H  =  3.6  m body  length  l B  =  4.5  m m ain  wing  aera  S = 5.6  m 2 front  wing  aera  S H  =  1.28  m 2 mass  m =  470 kg lift- curve  slope  for m ain  wing  C £ a =  4.41  1/ rad lift- curve  slope  for front  wing  C{« =  5.29  1/ rad The  essential  differences  between  C an ard  an d  conventional  configuration,  im portan t for aircraft  dynamics,  are th e  following: —  location  of a tail  ahead  of th e  wing  an d  as a consequence  decreasing  of the  effective angle of attack  on the m ain wing caused by th e mean downwash  angle, —  location  of a mass  cen tre far  ahead  of th e m ain wing,  usually  about  100 or more percent M AC  ahead  of the  on e  fourth  of M AC .  F o r  conventional  configuration  the  mass centre is usually  situated  at nerby  n eighbourhood  of the  one fouth  of M AC . Location 54 T.  G OETZEN DORF- G RABOWSKI,  Z.  G ORAJ of the mass centre far  ahead of th e wing for  C an ard configuration  is caused  by  necessity to  ensure  the  static  longitudinal  tability. As  a  result  of  the  numerical  com putation s  one  could  get  th e  following  characteristics: angular  frequency  r\   an d  damping  coefficient  I , either tim e  to  half  r 1 / 2  or  time t o  double T 2 ,  period  T  an d  boun daries  of  th e  stability,  all  for  the  n at u ral  modes  defined  before. The  following  param eters  were  ch an gin g: 1)  fin  arid rudder  aera  S v   from  0.3  m 2  t o  0.7  m 2  with  th e  steep  0.1  m1, 2)  main wing dihedral  angle  G  from  - 5°  to  5°  with  the  steep  2.5°, 3)  location  of  the  mass  centre  along  the  x  axis  in  th e  body  axis  system,  with  respect  to th e  one  fourth  of  M AC : 5 , - 4 r - {- . 1 2 1 , - . 1 2 7,  - -1 3 3 > " A  variation  of  the mass  centre location  was  achieved  by  shifting  forwards  of  a  mass  equal to  20  kg  with  the steep  1 m  (it can  be  a baggage, accum ulator, radio  station  etc.) 4)  location  of  the mass  centre along th e z  axis in  th e body  axis system,  with  respect  to the one fourth  of  M AC . There has been realized  28 values  of  za  with  th e steep  Az  =   2.5 cm (or  £ź a   =  0.0036).  I n reality  this  tran slocation can  be  achieved  assuming  t h at  the  mass distribution  of  the  body  is  invariable  but  t h at  wing- body  arran gem en t  is  changeable, i.e.:  th at low- wing  configuration  can be  replaced  by  th e  other  one, for  example  by  the high- wing  configuration. 5.  Numerical  Results At  F ig. 3,4 is  shown  time to double  am plitude of  th e spiral  m ode  T 2   versus  the dihedral angle  G  and  the fin  an d  rudder  aera  S u   for  two  different  values  i 0 .  A  decrease  of  S„ as well  as  an  increase  of  G  increases  T 2 .  C om parin g F ig.  3 with  F ig.  4 we  can  n otice  a  slight - 5 . 0 - 0.8 Fig. 3. Times to double amplitude 7^ of the Spiral mode as functions  of  S,  and G for low- wing configuration ( r .  =   0.0159) STABILITY  OF  THE  CANARD  CONFIGURATION 55 - 5 . 0 - Fig. 4. Times to double  amplitude  T2  of  the  Spiral mode as functions  of  Sv  and  G for  low­wing  configura­ tion  (z,  =  0.0279) increase of  T2  as i a  decreases. This dependence is shown  more detail at Fig. 5,6, from  which we can  read  the  necessary  changes  of  Sv  and  G caused  by  variation  of za  to  keep the  same T2  (T2  is equal to  30 s and  15 s at  Fig.  5 and  Fig. 6, respectively). Computations  show that the  influence  of  the  3ca  (in  the  neighbourhood  of  xa  =  —.127)  on  the  lateral  dynamic stability  is  negligible. 5.0 2.5 ­2.5 1 - 1 1 1 • 1 0.3 r /  , ' • ' " Ul 1 1///I • i i 0.4 1 1 1 0.5 Svlm "  1 2d=­0.0351 ­0.0141 0.00857 0.01590 I 1 0.6 2) 1 ­ — . _ . _ . 1 l 0.7 Fig.  5.  Time to  double  amplitude  T2  of the  Spiral  mode  (equal  to  30 s) as  the function  of  Sv,  G and  z. Fig.  7 ­ 9  show  the  times  to  half  amplitude Tlf2  of  the  Duch  Roll  mode  as  functions of  G and  Sv  for  three  different  values  of  za.  An  increase  of  Sv  as  well as  a  decrease  either of  G or  of  za  decreases  T1 / 2.  An  influence  of  Sv  and  G to  the  value  T1/2  decreases  with decreasing  of  z8.  In  the  case  when  za  is negative  T1/2  increases  as  the  G decreases. Regulations  FAR­23  [6]  and  work  [4]  give  the  definition  of  a  boundary  quotient — £/J7 for  the Duch  Roll  mode. This  quotient  must  be greater  or  equal  to  0.05. Fig.  10­12 show  the  value  —C/rj  as  a  function  of  G and  Sv  for  three  different  values  of  za.  When  Sv 56 T,  GOETZENPORF­GRABOWSKI,  Z.  GORAJ 5.0 2.5 ­2.5 ­5.0 I - - i _ //ty 1 0.3 i 1 I I / / / / / " / / / / / / / / / / / / / / / /W / / / / / , / / / • / / '///  ^=­0.0351 W  ­0.0H1 ''  0.00857 0.01590 i i i i 0.4  0.5  0.6  0.7 Fig.  6. Time  to  double  amplitude  T2  of  the  Spiral  mode  (equal  to  15 s)  as  the  function  of  So,  G and 5, Fig.  7.  Time  to  half  amplitude  Tm  of  the  Duch  Roll  mode  as  the  function  of  Sv  for  different  values of  G  in  case  of  the  low­wing  (z,  =  0.0459) increases or  G decreases then the quotient  — f/jy  either increases  if za  is positive or  decreases if za  is negative. An influence  of SB and  G on the quotient  — ij/rj  is very strong  diminished in  the  case  of  negative  values  of  za. Fig.  13 shows  an  influence  of  xa  to  the  value  T1/2  for  the  Duch  Roll  mode.  Shifting to  the  mass  centre  forwards  increases  T1 / 2.  An  influence  of  xa  to  the  quotient  — $jrj is shown  at  Fig.  14. 0.8 Fig.  8.  Time  to  half  amplitude  Tl/Z  of  the  Duch  Roll  mode  as  the  function  of  S„ for  different values  of  G  in  case  of  the  low­wing  (za  =  0.0279) 0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8 0 . 5 - Fig.  9.  Time to  half  amplitude  Til2  of  the  Duch  Roll  mode  as  the  function  of  S» for  different  values •of  G  in  case  of  the  mid­wing  (?„ =  0.00857) Fig,  10,  Quotient  ­ 0.3 as  the  function  of  S,  and  G  in  case  of  the  low­wing  (z.  =  0.0459) and admi­ ssible,  boundary  quotient  (—Slrj),, [57] 0 . 2 0 ­ Fig.  11. Quotient  — as  the  function  of  Sv  and  G in case  of  the  low­wing  (za  =  0.0279)  and  admis­ sible,  boundary  quotient  (.~£h)tr Fig.  12. Quotient  ­ as  the  function  of  S,  and  G in  case  of  the  mid­wing  (z, =  0.00857)  and  admis­ sible,  boundary  quotient  (­£/>?)„ Fig.  13. Time  to half  amplitude  T1/2  of  the  Duch  Roll  mode  as  function  of ­S, and  x,  for  G =  0"  and I ,  ­  0.028 (581 STABI LI TY  OF   TH E  C AN ARD   C ON F I G U R ATI ON 59 0.3 0A 0.5   0.6 Fig.  14.  Quotient  — as  the  function  of  S v  and xa  (and admissible,  boundary  quotient for  G  = T   and 1. =  0.028 6.  Concluding  Remarks N um erical  results  have  shown  t h at  the  m ost  im portan t  parameters  for  th e  lateral, dynamic  stability  of  C an ard  con figuration  are:  (1) vertical  position  of  the main wing with respect  to  th e  body,  (2)  dihedral  angle  and  (3)  fin  an d  rudder  aera.  An  increase  of  the dihedral angle, a decrease  of t h e fin  and rudder aera as well a sa  shifting  of the wing upwards prolong  the  times  to  double  of  th e  Spiral  m ode  wh at  is  advantageous  with  poin t  of view of  th e  stability.  Either  a  decrease  of  th e  dihedral  angle  when  the  fin  and  rudder  aera  is con stan t  or  an  increase  of  th e  fin  an d  rudder  aera  when  the  dihedral  angle  is  constant can  be  compenseted  by  shifting  of  th e  m ain  wing  towards  high- wing  configuration. The  D uch  Roll  m ode  dam pin g  increases  with  an  increase  of  the  fin  and  rudder  aera as  well  as  with  a  decrease  of  th e  dihedral  angle.  A  shifting  of  the  mass  centre  forwards, improving  th e  lon gitudin al  static  stability,  deteriorates  slightly  the  stability  of  the  D uch Roll  mode  increasing  th e  tim e  t o  half  am plitude  of  an  oscillation. m 0 0 0 mz my 0 0 0 m 0 mz 0 —  mx 0 0 7.  Appendix y Ay,Y- m—Z^ ~L - v +my ~Mń +mx - W, 0 0 0 mz my Jx —  T ^  ̂ xy - Jxt 0 0 — mz 0 mx - J X y Jy —  Jyz 0 0 - my —mx 0 ~J X z —  Jyz J, 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 60 T.  GOETZENDORF­GRABOWSKI,  Z.  GORAJ o  o  o ai  M  o  o  .5 O  O  KCH H H   3anH cano  B CKopocTHoft  ciicreM e  KoopflHnaT  CBaaaHOH   c  1/4  cepeflHeii aepoflHHaMHqecKOH   xopflbi  H   floBe^eH o  K 6e3pa3MepHOMy  BHfly.  TIpoaHaJiH3HpoBaHo  coScTBCHHwe  3Ha- i H  {popiwbi  H