Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  25,  1987 MODELOWANIE  DYNAMIKI  STEROWANEGO  OBIEKTU  LATAJĄ CEGO KLASY  ZIEMIA- POWIETRZE JAN   N I C Z YP OR U K ALEKSAN D ER  WI E LG U S W ojskowa  Akademia  T echniczna 1.  Wstę p W  celu  zbadan ia  zmiany  konfiguracji  obszarów  startu  rakiety  w  zależ noś ci  od  warun- ków  począ tkowych  i  rodzaju  m an ewru  celu,  rozpatrzon o  dynamikę   systemu  samonapro- wadzania  (rys.  1). System  sam on aprowadzan ia  potraktowan o jako  ukł ad dynamiczny  [1], w  którym  sygnał y  wejś ciowe  generuje  manewrują cy  cel,  a  sygnał y  wyjś ciowe  opisują sterowany  ruch  rakiety.  Z ał oż on o, że  cel  jest  pun ktem  materialnym  o  zadanej  hipotezie P -  rakieta C- c el S5- stanowisko startowe R3 -  przestrzeń  ruchu „ T" -   przestrzeń czasu Ft3*!"-  przestrzeń zdarzeń Rys.  J.  S chemat  procesu  samonaprowadzania  rakiety  na  cel. 64 J .  N lCZ YP ORU K,  A.  WlELG OS przestrzennego  ruchu, a rakieta  sam on aprowadzan a  jest  ukł adem o wielu  stopn iach  swo- body,  wykonują cym  przestrzenny  lot  z wię zami  program owym i  [2] w stan dardowej  atmo- sferze.  M odelowanie  dynamiki  systemu  sam on aprowadzan ia  obejmuje  klasę   zagadnień prostych i odwrotnych,  przedstawionych  n a schemacie  rys.  2, który  wyróż nia  pię ć warstw: —  warstwę   obiektu  czyli  przedmiotu  badań ,  jakim  jest  fizycznie  istnieją cy  system samonaprowadzania  lub  jego  wzorzec; —  warstwę   wiedzy  apriorycznej  teoretycznej  i  eksperymentalnej  dotyczą cej  obiektu; —  warstwę   identyfikacji  tj.  procedury  uzyskania  modelu  matematycznego  obiektu: L*\ u,x,y,z,p]  -   0  (1.1) Rys.  2. Schemat  formuł owania  problemów  dynamicznych. gdzie:  L * — operator m odelu;  w—  wektor  wejś ć; x — wektor  stan u;  y — wektor  wyjś ć; g — wektor  zakł óceń; p — wektor  param etrów; —  warstwę   zagadnień  prostych,  w  której  wyróż niono  analizę   bę dą cą   przedmiotem szczegół owych  rozważ ań; —•   warstwę   zagadnień  odwrotnych,  spoś ród  których  problem y  syntezy  i  regulacji  nie są   rozpatrywane  w  niniejszej  pracy. 2.  Formułowanie  dynamicznych  zagadnień  samonoprowadzania W  celu  sformuł owania  zagadnień  dynamicznych  sam on aprowadzan ia  wyszczególnio- nych  n a rys.  2, do  równania  (1.1)  obejmują cego  równ an ia  ruch u i wię zów  należy  doł ą czyć warunki  graniczne  (począ tkowe  i  koń cowe)  oraz  ograniczenia  na  wektor  sterowań u, stanu  "je  i  wyjść  y. D YN AM I K A  OBI EKTU   LATAJĄ CEGO  65 W  przestrzeni  stanu  X n   <=  R",  równanie  (1.1)  moż na  zapisać  w  postaci  [2],  [3], [4]: Xl  =fi{Xi,X 2 ,  . . . X n ) M 1 , M 2 ,  ...U„,t)  (2.1) / =   1, 2, . . . » gdzie  x  =   c o l [x t ,  x 2 ,  • • •  x„], u  =   c o l [u u   u 2 ,  ... u,], u t   =  u l (t,x 1 ,x 2 ,  ...x„)  (2.2) Specyfika  pracy systemu  samonaprowadzania wymaga formuł owania warunków  począ tko- wych  w  zbiorze  Q o   c  X„ x  T   <=   Rn+1,  co  zapisujemy: x(t 0 )  =*x o eQ o =  {x 0 ;  xo, (varfQ)} var/ 0  =   {to-  hi  <  'o  <  hz)  <=  T Ograniczenia  sterowań  typu  lokalnego  i  globalnego,  wyznaczają   zbiory  sterowań dopusz- czalnych: Ui  =   {S:max|w((OI  *  iflt  I -   1, 2,  ...  r } (2.4) ' o  1- 1 'w r 'o wynikają ce  z ograniczenia odpowiedn io:  U y   —skł adowych wektora sterowań; U 2   —m o cy; U 3 —  wydajnoś ci;  U* —  energii  cał kowitej  ź ródła  zasilania. Ograniczenia  okreś lają ce  zbiór  stanów  dopuszczalnych: X D   -   {x:max\ x t (t)\   ^  M s ,  m ax|i, (O I  <  M 6 }  (2.5) Ograniczenia  okreś lają ce  zbiór  dopuszczalnych  wyjś ć: _  fmax|j>(  =   nt\ x(t)]\   <  M lt  i  =  \ , 2,  3|J y :  \ m a x|^  =   hj[x(t)]\    t wl   (rys. 1) mają  pun kty  wspólne  z otocze- niem  celu  Q c . Otoczenie celu  definiujemy  jako  zbiór  (3.2)  okreś lony  w przestrzeni  X„ x T , w którym speł nione są warunki  wynikają ce  z technicznych wymagań  realizacji  zadania samonapro- wadzania: Q e   m  {(x, t):\ x,\   <  a t , b t   ^   \ 'x t \   ś C t ;t>  t wl ,  i < « }  (3.2) Zbiór  trajektorii  stanu, które w  czasie  /  >  t wl   osią gają  pun kty  wspólne  z otoczeniem celu Q c   nazywamy  obszarem  samonaprowadzania  Q SN .  N atom iast  zbiór  Q ST   warunków począ tkowych  x 0 e Q ST   c  Q o   dla trajektorii  z  obszaru  £i SN   nazywamy  obszarem  startu lub  obszarem  dopuszczalnych  warunków  począ tkowych.  Z biór Q RZ   =  Q c nQ SN   ź  0  (3.3) bę dą cy  niepustym przekrojem  otoczenia celu i obszaru  sam on aprowadzan ia jest  obszarem realizacji  zadania. Posł ugując się wprowadzonymi  poję ciami  obszarów,  moż emy zagadnie- nie  analizy  sformuł ować  nastę pują co: D la  zadanej hipotezy o ruchu celu, danych równań  stanu  (3.1), warunków  (2.3)  H- (2.6) i  otoczenia celu  (3.2) należy  wyznaczyć  Q ST ,  @SN  i  @RZ- Zauważ my,  że  Q C ,Q SN ) Q ST   i  Q RZ   zdefiniowane  w  przestrzeni  J „ x T  mają  swoje obrazy  w wybranej  przestrzeni fizycznej.  I tak w ukł adzie startu x g ,  y g ,  z 0   (rys.  1),  otocze- niem  celu jest  tuba  wyznaczona  torem  celu  i  promieniem r zc ,  a  obszarem  samonaprowa- dzania  tuba  torów  rakiety,  mają cych  przynajmniej  jeden  wspólny  pun kt z  tubą  celu. Ob- szarem  startu  i  realizacji  zadania  odpowiadają  tzw.  strefy  ataku  (startu) i  raż enia. Jak  wynika  z powyż szego,  wyznaczenie  stref  startu  i  raż enia  wymaga  wcześ niejszego okreś lenia: —  struktury  systemu  i  odpowiadają cego  jej  modelu  matematycznego  w  postaci np. równań  stan u; —  hipotezy  o ruchu  celu  i  odpowiadają cych  jej  równ ań  ruchu  celu; —  zbioru  ograniczeń  nakł adanych na  system; —  algorytmu  rozwią zania  równań  stanu,  przy  czym  bę dzie  t o  n aogół   algorytm roz- wią zania  numerycznego. 4.  Struktura  i  model  matematyczny  hipotetycznego systemu  samonaprowadzania Zał óż my,  że  dan a jest  struktura  hipotetycznego  systemu  sam on aprowadzan ia  przed- stawiona  na rys.  3. R akieta  (6),  n aprowadzan a wedł ug m etody proporcjonalnej  nawigacji, D YN AM I K A  OBIEKTU   LATAJĄ CEGO 67 R ys.  3.  Sch em at  st ru kt u raln y. wyposaż ona  jest  w  ko o rd yn at o r  (3)  ś ledzą cy  za  celem  (1), ukł ad  formowania  sygnał ów n aprowadzan ia  (4)  oraz  w  ukł ady  stabilizacji  (5)  i  (7). D la  celu  traktowan ego  ja ko  p u n kt  m aterialny  i  wykonują cego  przestrzenny  manewr przyspieszeniem  otrzymujemy  równ an ia  ru ch u : (4.1)[  ye  [  J  V  Oy  cj y c   = (4.2) gdzie:  v c ,0 c ,y)„  —  m oduł ,  ką t  pochylenia  i  odchylenia  wektora  prę dkoś ci  celu;  n° c , n° c ,n° c   —  m aksym aln e  przecią ż enia  styczne,  n orm aln e  i  boczne;  r](t)~pseudo- funkcja  H eaviside'a;  T x ,  T y ,  T z   —stale  czasowe;  t Ox ,  t Oy ,  t Oz   —  czasy  począ tku m an ewru;  g  —  przyspieszenie  ziemskie;  x c ,y c ,z c   —  współ rzę dne  celu  w  ukł adzie startowym. D la  rakiety  mamy  [5]: R ówn an ia  ruch u  translacyjnego  w  ukł adzie  sem iprę dkoś ci: m (4.3) 68  J .  NlCZYPORUK,  A .  WlELGUS 0  = mv —— [P(sinasiny„-cosasm|9cosy„) + (4y. OS& L p  —— THVCOS& L t C d ] + i C -  S(Cyk sin y„ + Cag cos y„)] gdzie:  V, 0 ,  Ą—moduł ,  ką t  pochylenia  i  odchylenia  wektora  prę dkoś ci;  x, /?, y„  —ką t natarcia,  ś lizgu  i  przechylenia  t o ru ;  P —  cią g;  Q —  gę stość  powietrza;  S — po- wierzchnia  charakterystyczna;  C x ,  C yv ,  C yk ,  C 2V ,  C sk   —  współ czynniki  sił   aero- dynamicznych;  m —  masa. Równania ruchu obrotowego  w ukł adzie zwią zanym  z  rakietą : x t T TI n   2 6>yl  =   —  ^ Y  Sbmy+^ >- ~I^ C0^ m^   ( 4 - 4 ) «*«i  =   - j—  ^ Y  ShtHz+(Ixl  ~  I^ c°xl  c t ) 'i gdzie:  co xi>   o> yl ,co zL   —  prę dkoś ci  ką towe;  / x l , / y i ,  Ą i  —  gł ówne  centralne  momenty bezwł adnoś ci;  m x ,m y ,m z   — współ czynniki  momentów  aerodynamicznych;  I , b —  dł ugość  i  ś rednia  cię ciwa  aerodynamiczna. Równania  kinematyczne  ruchu  obrotowego  i  translacyjnego: #   =   fOj,j sin  y + f t ) z l  c o sy (ft>yi c o sy -   c o s l  sin y)  (4.5) y  =   c o ^ - t x g   — y a   =   ?)sin@  (4.6) ig  =   ~ ocos@sin iF gdzie:  • &,  f,  y —  ką t  pochylenia,  odchylenia  i  przechylenia  rakiety;  x g! y g ,z g —współ - rzę dne  ś rodka  masy  rakiety. Równania  kinematyczne  ruchu  wzglę dnego  rakiety  i  celu  (czł onu  kinematycznego  (2) na  rys.  3): r  =   v c  [cos6>c cos (W o -   x) cos 9?+ sin@c sin q>]—v [cos©  cos (W — x) cos   speł niają  zwią zki  geometryczne  [5],  które  zapiszemy  ogólnie  a.  = . -   a(#, y, y, ©,  SO, £  =  0( 0, v» y, 0, SO,  y* -   y»(0, v. y, »0- R ównania  ko o rd yn at o ra: U x   -   fli2(%*- Z*)- ^i2f/z;  Żt =  ^ 2fx  (4.8) Ł /p =  a, 3 (f „  -   rŁ ) -   i 1 3  C/ r;  /-fc =  / c3  t/ P gdzie:  U ę , U x , U r  —  sygnał y  napię ciowe  n a  wyjś ciu  z  koordyn atora,  proporcjonalne w  stanie  ustalon ym  do *,  %%  i  / '*; a t j,  by,  k t  — parametry  konstruycyjne. R ównania  czujników  przecią ż eń  (czł ony  W „ v  i  W nk  n a rys. 3) i czujników  prę dkoś ci  ką to- wych  (czł ony  W az ,  W ay   i  W v   n a  rys. 3): U nx   =  a 21   U„ x  + b 21 n xl ;  U#  =  «3 1  U0 +  b31a)zl 0  ;  U 9   = a 32 U v +b 32 co yl   (4.9) gdzie:  n x x,n yl ,n zl   —  skł adowe  przecią ż enia  w  zwią zanym  ukł adzie  współ rzę dnych; U nx ,U ny ,U„ z - —odpowiadają ce  przecią ż eniom  napię cia;  U», U 9 , U v  — napię cia odpowiadają ce  prę dkoś ciom  ką towym. R ówn an ia  napę dów  sterów  (czł ony  W So , W ć k ,  W a   n a rys. 3): - b 42 U sh   (4.10) gdzie:  d t ,  6 k , d 0  — ką ty  wychylenia  sterów;  U SB ,U S k,U sl   — sygnał y  bł ę dów  naprowa- dzania  dla m etody  proporcjon aln ej  nawigacji  i  danego  (na rys. 3) ukł adu  stabili- zacji : U„  = K, U ę + U^ - 00  U„ y  -   Ut U sk   = K k  U x + U zk - &$U nz - U v   (4.11) ' U sl -   U y +U 2l R ówn an ia  (4.1)- r- (4.11)  przedstawiają  zam knię ty  ukł ad  równań  stanu  ukł adu  samona- prowadzan ia  o danej  n a rys.  3 strukturze.  F unkcje  { uwzglę dniają  transformacje  ukł adów współ rzę dnych,  sprzę ż enia  skroś n e,  adaptacyjnośc  m etody  naprowadzania  i są znane. N p. dla  rakiety  stabilizowanej  w  ką cie  przechylenia  (y  =  0) oraz  dla  idealnego  pomiaru  prę d- koś ci  lotu  (v%  = v) i  prę dkoś ci  zbliż ania  (r =  r^)  otrzymujemy: K v   =  0 o (r,v > 0,  ydw), P r zy czym  maksymalny  ką t  podniesienia  wyrzutni  przyję to  80°,  a  minimalny  5°. 6.  Lo t rakiety  odbywa  się  bez  zakł óceń  z  dopuszczalnym  przecią ż eniem  n orm aln ym 10. D YN AM I K A  OBIEKTU   LATAJĄ CEGO 71 7 .  Algorytm  obliczeń  uwzglę dnia  zmianę   gę stoś ci  powietrza  i  prę dkoś ci  dź wię ku z  wysokoś cią,  zależ ność  współ czynników  aerodynamicznych  od  liczby  M acha i  transformację   poch odn ych  aerodynam icznych  wzglę dem  aktualnego  poł oż enia ś rodka  m asy  w  danej  chwili  lotu. U zyskane  dla  powyż szych  dan ych  wykresy  przekrojów  rj o (x c )  (rys.  4- 4- 8)  wskazują , że  wystę pują ce  ogran iczen ia:  m aksym aln ego  czasu  trwan ia  lotu  t wmax   =   35s  ,  ką tów startowego  wyprzedzenia  i] iw  < rj 0  < t] gw   i  wymaganie  pozytywnej  realizacji  procesu wyraż one  warun kam i  f w ^ 0 i  rp ^ rxc  (gdzie  rw  =   r(twl),  rp — przelot)  ingerują   bardzo silnie  w konfigurację   tych  przekrojów  i róż n ic, w zależ noś ci  od  wysokoś ci  y c . 10  15  20  25  30 Xc  x10 3!ml Rys.  4.  Przekrój  strefy  startu y c   — 300  m. 35 20  25 Xc  xiO3 ! m ] Rys.  5.  Przekrój  strefy  startu y c  m  2500  m. I  tak  dla mał ych wysokoś ci  y c   ^  3000 m  (rys.  4 i 5) przekrój  rj o (x e )  wyznaczają   odcinki linii: AB  i  E A o wł asnoś ciach  r w   =  0 i r p   — r xc ;  BC  o wł asnoś ci  r) Q  — r\ iv \  C D  o  wł a- snoś ci  t wl   =  t wmax   oraz  D E  o wł asnoś ci  ??0  =   »?9W-   P un ktom  przecię cia  linii  ograniczają - cych pole przekroju  rj Q (x c )  m oż na przypisać wł asność podwójnego  ogran iczan ia:  A—rjr w ; B —  ^ whdwl  C ~   rid W lt m „ 0X ;  D  — twmaxlVgw  i  ^ —  ^ gwl^ w Linie  AF   i  AG   wyznaczają odpowiednio  ką ty  rj Q   o najkrótszym  czasie  wejś cia  t wmi „  i maksymalnej  prę dkoś ci  wejś cia r»m«j.  P ola  przekrojów  został y  sparam etryzowan e  liniam i  r w   — const. 72 J .  N lCZ YP ORU K,  A.  WlELG U S W  przedziale  wysokoś ci  y c   =   4500- ^7000  m  wystę pują   dwa  odcinki linii  ograniczenia r\ gw   ( E 'H  i  E D   rys.  6),  a  nowy  pun kt  podwójnego  ograniczenia  H  jest  typu  r w fi] gw .  z e • wzrostem, wysokoś ci  pun kty  H   i  E  zbliż ają   się   do  siebie  i  powyż ej  wysokoś ci  dla  której H   =   E (y c   x  13 500 m) górny  brzeg przekroju  f] 0 (x c )  stanowi linia 7] gw   (rys.  7 i 8). Sytuacja t aka  ma  miejsce  aż  d o  puł apu  (pun kt  P  n a  rys.  9).   r . 20  25 Xc * 1 0 3 ! m l  • Rys.  6.  Przekrój  strefy  startu  y c   = 5000 m. 40 1.0 0.8 Ou 0.2 0 0.1 0.4 0.5 _ - - - _ 32.S- -"  • I )  5 —r i  1S2- - 10 I If  \225\ 5  20 1 25V  ̂ i\ J  , 25 ,  % , > - —" -   ' 30 • — c 1 35 ^̂ - \̂   ~ 7 - i Ł0 Xc  * 1 0 3 l m ] Rys.  7. Przekrój  strefy  startu  y c   =  15 000 m. 0,8 r 0 - 0.2 i j i i 10 3 1 9 3 ^ < - I  I 15  20 i I 25 I 35  " i | 30 «103Im] Rys.  8. Pr2ekrój  strefy  startu  y c   =  25 000 m. D YN AM I K A  OBIEKTU   LATAJĄ CEH GO 73 Przy y c   >   12 000  m,  w  linii  ograniczają cej  przekrój  rj Q (x c )  od  doł u  pojawia  się   odcinek ograniczenia  m aksym aln ego  czasu  lotu  (dla mał ych, a nawet ujemnych  x c ),  zawarty  mię dzy pun ktam i  K i L (rys.  7)  typu  't] g Jt wmax   i t wmax / ^ aw   odpowiednio.  Linia  KL  rozbudowuje się   ze  wzrostem  wysokoś ci  i dla y c   bliskich  puł apowi  stanowi  wył ą czne  ograniczenie  prze- kroju  r> 0 (x)  od doł u  (rys. 8). 10  15  20  25 Xc * 1 0 3 lm J Rys.  9.  Strefa  startu. Strefę   startu  (rys.  9) wyznaczają   pun kty  skrajne  (A i F , E ' i F , K i F , K i D )  przekrojów rja(x c ).  D latego  poszczególne  odcin ki  brzegu  strefy  startu  M N ,  N P , P R ,  R S i  ST  mają wł asnoś ci  odpowiednio  pun któw  F , D , K,  E ' i A.  Odcinek  TM   odpowiada  y cmi „.  Krzywa WP  wyznacza  warun ki  startu  przy  których  t wl   = t wmin   tj. czas  realizacji  zadania jest  naj- krótszy.  Strefę   sparam etryzowan o  liniami  r w   =  const i  t w   — const,  co daje  peł niejszy obraz  jej  topologii. Ocena  wpł ywu  innych  ograniczeń  i  czynników,  uję tych  w  opracowanym  modelu matematycznym systemu  sam on aprowadzan ia,  n a konfigurację   strefy  startu jest przedmio- tem  badań  autorów. Literatura 1.  JI.  F.  E BJI H H O BJ  Konmpojib  dunajuuuecKux  cucmejn,  H ayKa,  MocKBa  1972. 2.  S. D U BI E L ,  W ię zy  uogólnione  i  ich  zastosowanie  do  badania  sterowalnoś ci  obiektów  latają cych.  D o d a t e k d o  Biuletyn u  WAT ,  256,  Warszawa  1973. 3.  J . M AR VN I AK ,  Dynamiczna  teoria  obiektów  ruchomych,  P rac e n au ko we  —  M ech an ika N r  32, P olitech n ika Warszawska,  Warszawa  1975. 4.  R .  G U T O WS K I ,  Mechanika  analityczna,  P WN ,  Warszawa  1971. 5 .  3 . H .  K P H H E I JK H H J  CucmeMu  caMonaeedemn.  MainHHOCTpoeHjie, MocKBa  1970. 74  3.  NICZYPORUK,  A.  WlELGUS P  e  3 jo  M e M OflEJIH POBAH H E  flH H AM H KH   yilP ABJI H E M O rO  JI E T AI O m E rO  O Bt E K T A  KJIACCA 3E M JM - BO3AYX B  paBoTe  paccMoTpeHbi  HeKOTopbie  Bon pocw  HHHaMitrtH  CHCteMti caMoHaBefleHHH   3eHHTHoft  p a r a m n a  BO3flyinHyio  U BJIB.  Onpe^eneH O  MHowecTBo  AHHaMH êcKHX aapim  caM onaBeflemia,  a.  Tan w H ccjieflosaH o  3aflaqy  aiiajiH 3a  cHCieMbi  c  H3BeCTHoft  crpyKTypoS.  J t n a  3TOH   CHCTCMLI  n o wpo eH a siaTł rqecKaH   MOflejib  H  tmcjieH H o  onpeflejieH w  3wibi  nyci