Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf


M ECHANIKA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1/ 2,  25,  1987

PRZYBLIŻ ONA  M ETODA  BADANIA  RUCHU  OBROTOWEGO  OBIEKTÓW
LATAJĄ CYCH

JÓZEF   G ACEK

W ojskowa  Akademia  T echniczna

1.  Wstę p

Badanie  ruchu  n iekierowan ego  obiektu  latają cego  {OL )  w  atmosferze  sprowadza  się
do  analizy  silnie  nieliniowych  równ ań  róż niczkowych  ruch u.  Współ czesne  maszyny  ma-
tematyczne umoż liwiają   analizę   wymienionych  równ ań , lecz  trzeba  n a  ten cel  przeznaczyć
dużo  czasu  maszynowego,  szczególnie  w  przypadkach,  gdy  zachodzi  potrzeba  zbadania
wpł ywu  n a  ruch  OL   wielu  param etrów  n p :  charakterystyk  konstrukcyjnych  i  aerodyna-
micznych  OL ,  param etrów  atmosfery,  warun ków  lotu  itp.  P oza  tym  wydł uż enie  czasu
maszynowego  wynika z  koniecznoś ci stosowania  odpowiednio mał ego odstę pu cał kowania,
w przypadkach  badan ia  ruch u  OL   charakteryzują cego  się   szybkimi  zmianami kinematycz-
nych  param etrów  ruch u, a  w  szczególnoś ci  param etrów  opisują cych  ruch  dookoł a ś rodka
masy.  Stą d  wynika  potrzeba  szukan ia  przybliż onych  rozwią zań  analitycznych,  które
umoż liwił yby  w  szybki  i  ekonom iczn y  sposób  okreś lić  charakterystyki  ruchu  OL .  Innym
powodem  uzasadniają cym  celowość  stosowania  rozwią zań  przybliż onych  jest  róż na
szybkość  zmian  param etrów  t o ru  ś rodka  masy  OL   (prę dkoś ć, wysokoś ć) i  zmian kinema-
tycznych  param etrów  charakteryzują cych  ruch  dookoł a  ś rodka  masy  (ką ty  natarcia
i  ś lizgu).  W  celu  oszacowan ia  wspomnianej  róż nicy  w  szybkoś ci  zmian parametrów ruchu
lub porówn an ia m ał ych wielkoś ci  wygodnie jest wprowadzić  mał y bezwymiarowy  parametr
(zbiór  mał ych  param etrów)  umoż liwiają cy  otrzymywanie  asymptotycznych  rozwią zań
równań  ruchu  OL .

2.  Równania  i  zał oż enia  wyjś ciowe

M oż liwość uzyskan ia  w  sposób  szybki i ekonomiczny rozwią zania  dowolnego zagadnie-
nia  z  dynamiki  lotu  w  duż ym  stopn iu  zależy  od  postaci  równań  ruchu obiektu  latają cego.
Stą d  też  poszczególnym  rodzajom  zadań  odpowiadają   swoiste,  najbardziej  racjonalne
sposoby  zapisu  równ ań  problem u  [3],  [4],  [6].  Okazuje  się ,  że  podczas  badan ia  ruchu
OL   charakteryzują cego  się   pł aszczyzną   symetrii  wygodnie  jest  posł uż yć  się   równaniam i
w  pół zwią zanym  ukł adzie  osi  współ rzę dnych  Ox

p
y

p
z

p
  (rys.  1),  n atom iast  przy  rozpatry-

waniu ruchu osiowo- symetrycznego  OL   (szczególnie  przy  duż ych  ką tach n atarcia) —  w  u-



88 J.  G AC E K

kł adzie  osi  współ rzę dnych  zwią zanych  z  przestrzennym  ką tem  n atarcia a p r r , czyli ukł adem

Ox
a
y

a
z

a
  (rys.  2).

Równania  ruchu  OL   dookoł a  ś rodka  masy  w  ukł adzie  zwią zanym  Ox^ y^ x  napisać

w  postaci
dL   _  r  , -—- —\ - cuxL   =  M
dt

gdzie:  ć o,L  —  wektor  prę dkoś ci  ką towej  i  kret  OL ,

M  —  wektor  momentu  aerodynamicznego.

(2- 1)

Rys.  1.  U kł ady  osi  współ rzę dn ych:  prę dkoś ciowy  R ys.  2.  U kfady  osi  współ rzę dn ych  zwią zane  z prze-

a
z„  zwią zany  Oxiy^ i  i  pólzwią zany  Ox

p
y

p
z

p
  strzen n ym  ką tem  n at arc ia .

Ką ty  natarcia  a  i  ś lizgu  /? od  których  w  gł ównej  mierze  zależą   sił y  i  momenty  aerody-
namiczne  moż na  wyznaczyć  z  zależ noś ci:

gdzie:  v
Xi
,v

yi
,v

tl
  są   skł adowymi  wektora  prę dkoś ci  OL   w  zwią zanym  ukł adzie  osi

współ rzę dnych  O A^J^Z J  (rys.  1).

D o okreś lenia  zmian ką tów  a i (i w czasie lotu  OL  sformuł owano  nastę pują ce  równ an ia:

a  =   - a )X ł c o sa t g^ + a ) j, lsin a t g/ 3+ a ) 2 i- ( C j,i ig5'+

~mgcosGcosy)(mv  cos/ 3)"1  (2.2)

(2.3)

(2.4)

+mgcos6siay](mv]~
1

Xf
  sin p+c

Xp
cos  /?) cos y] qSQnv cos §)~ x

gdzie  y —  ką t  przechylenia.



R U C H   OBROTOWY  OBIEKTÓW  LATAJĄ CYCH   89

Wystę pują ce  w powyż szych  równ an iach wielkoś ci  v, 0, y (rys. 3.) moż na okreś lić  w  wyniku
rozwią zania  ró wn ań :

mv  = c
x
  cos/ S—c

z
  sinfS—mgcosO  (2.5)

mv©  =   [c
yp
cosy- (c

Xii
sin(l  + c

Zii
cosf)siny]qS- - mg(v~

l
- vr~

1
)cos9  (2.6)

y  =  vsm©  (2.7)

D la  OL  osiowo- symetrycznych  sł uszny  jest  zwią zek

c, p c o s/ ?- cX p sin/ 3 =   cXa(apr.)

Jeś li  ograniczymy  dalsze  rozważ an ia  do przypadku  ruchu  ciał a  charakteryzują cego
się   symetrią   osiową   oraz  pominiemy  wpł yw  sił   grawitacyjnych  na jego  ruch  obrotowy,
to  równanie  (2.2)  w  zastosowan iu  do  okreś lenia  zmian  przestrzennego  ką ta  natarcia
moż emy  zapisać  w  nastę pują cej  postaci

«prx=*<»z
f
- c

ya
(a

prz
)qS(mv)-

1
  i  (2.8)

Przyjmiemy  również,  że w  przypadku  ruchu  ciał a  osiowo- symetrycznego  wypadkowy
wpł yw  sił y  aerodynam icznej  n a  zmianę   ką ta 6  jest  pomijalnie  mał y,  co pozwala  odrzucić
czł on  w nawiasie  kwadratowym  równ an ia  (2.6).  Przy  zastosowaniu  metody  mał ego para-
metru  czę sto  przyjmuje  się ,  że  param etry v, 0,  y  zmieniają   się   wolno,  co  pozwala  wpro-
wadzić  do  prawych  stron  równ ań  (2.5) 4- (2.7)  mał y  param etr  f.i.

3.  Okreś lenie  parametrów  pł askiego  ruchu  wahadłowego  OL
za  pomocą   metody  małego  parametru

Ruch  obrotowy  (wokół   ś rodka  masy)  OL  bę dzie  uważ any  za pł aski, jeż eli  jego  po-
czą tkowa  prę dkość  ką towa  bę dzie  równ ikowa  (co

Xi
  =  0)  i  n orm aln a do  pł aszczyzny  ką ta

natarcia,  a kierun ek  wektora  prę dkoś ci  w rozpatrywanym  przedziale  czasu  bę dzie  ulegał
niewielkim  zm ian om .

Równanie  opisują ce  pł aski ruch  OL   dookoł a ś rodka  masy  przy  uwzglę dnieniu zał oż eń
przyję tych  w pun kcie 2 oraz  zastosowaniu  metody  mał ego param etru  m oż na  przedstawić
w  postaci

a + ̂ (F
1
+F

2
)k~F

3
  =  0  (3.1)

gdzie

F ,  =  0,5c
ya
(a)qvSm''

1
  a

prz
  =   |a |

F
2
  =   0 , 5 <

F 3  =  0,5mz

Zauważ my,  że równ an ie  (3.1)  jest  równaniem  typu

x~fj,0
1
(r,x,x)  + 0

2
(r,x)  = O  (3.2)

opisują cym  swobodny  ruch  wahadł owy  o woln o  zmieniają cych  się   param etrach.  Rozwią -
zanie  równ an ia  m oż na  przedstawić  w postaci

x  =  X
O
(T ,  d,  y^ + fiXiir,  d,  ip) + fi

2
x

2
(t,  d, y>)+  ...  (3- 3)



90 J .  G ACEK

gdzie:  —funkcje  x
t
  są   okresowe  wzglę dem  zmiennej  y>  xi(r,  d, f)  =   x,- (r,  d,

—  czas  bezwymiarowy  —x  =  (it
—  d—wolno  zmieniają cy  się   param etr  okreś lają cy  amplitudę   wahań  ukł adu.

Przyjmiemy,  że  d  bę dzie  maksymalną   wartoś cią   zmiennej  x  uzyskiwaną
w  ruchu  wahadł owym.

Zmianę   wielkoś ci  d  i  y>  opisują   równania

y>

Rys.  3.  Schemat  okreś lenia wielkoś ci  r, ®, y, r
0
, v

Poszukują c  rozwią zań  asymptotycznych  rozł oż ymy  w  szereg  Taylora  (wzglę dem  $
funkcję   0

1
(r,x,x)  podstawimy  do  równania  (3.2)  przyrównują c  do  zera  wszystkie

czł ony  mał e  wyż szych  rzę dów:

(3.5)

- ( T,  *o ) *i  =   - 2co
o

3
2
x

0
  8x

0

drpdr  dtp  dr

8
2
x

0
  —

(3.6)

8x
8a>o  dx

0

d
2
x

t

8y>
2- 2co0a>t~z- 2-   m  h, (3.7)

Równanie  (3.5)  okreś la  sposób  zachowania  się   rozwią zania  w  jednym  okresie  wahań,
czyli  opisuje  zależ ność funkcji  X O ( T ,  d, f)  od  y>.  F unkcję  co0(z,  d)  okreś la  się   z  warunku,
aby  okres  funkcji  x

o
(f)  wynosił   2n.

d  d

O>0(T, d) =  Ą   /   [2 /   0 2 ( T , xJdxA'
0'5]  ̂ (3.8)

gdzie:  /   0
2
(r,x)~Q

<



R U C H   OBROTOWY  OBIEKTÓW  LATAJĄ CYCH   91

W  wyniku  analizy  równ an ia  (3.6)  m oż na  sformuł ować  dwa  warunki  jakie  musi  speł nić
jego  prawa  stron a,  aby  funkcja  x

x
(r,  d,  yi) był a  również  okresowa  wzglę dem  y>  (o  okresie

2n).  Warun ki  t e  pozwalają  sformuł ować  wyraż enie  n a  C
l
,co

1
  oraz  xt .  Postę pując  analo-

gicznie z równ an iem n a x
2
,  po  wykorzystaniu  warun ku  okresowoś ci  funkcji  x

2
  znajdujemy

C- ,, co
2
, x

2
  itd.  M etoda  z  niewielkimi  poprawkam i  znajduje  również  zastosowanie  dla

przypadku  ruch u  obrotowego.  Przejś cie  od  ruch u  obrotowego  do  ruchu  wahadł owego
(lub  odwrotnie)  moż liwe  jest  gdy:

0
L
(r,x,x)  =  O  oraz  - —-2-  ( T ,  .x)  • £  0

Cał ka

-  J  ^
"w

w  przypadku  obydwu  tych  ruchów  wynosi:
—  dla  ruchu  wahadł owego

M ł   /   *(r,x)dx  (3.10)
xmł n

• —  dla  ruchu  obrotowego

^ r „ i r  =   Jx(v,x)dx  (3.11)
—  n

Zwią zek  mię dzy  tymi  cał kami m oż na  okreś lić  nastę pują co

^ .  -   2N
T abr

  (3.12)

Zależ ność  (3.12) jest  sł uszna  w  przypadku,  gdy  nie  są  naruszone  warunki  stosowalnoś ci
metody  mał ego  param etru.  Warun ki  te  bę dą  n aruszon e  gdy  okres  wahań

T
wgh

  -   2T
ebT

  -   2  /   [x(T ,x)]~ ldx
xmln

roś nie nieskoń czenie w pun kcie przejś cia  od ruchu obrotowego  do wahadł owego  (x
m

3.1.  Z astosowanie  metody  do  badan ia  ruchu  obrotowego  podczas  wejś cia  O L  (ponownego) w atmosferę.
Jako  warun ki  począ tkowe  ruch u  przyjmiemy  param etry  ruchu  odpowiadają ce  wysokoś ci
przyję tej  za  granicę  atmosfery  (y  -   Y).

-   a 0
~ =  a(t

0
)  =  o »> I f  (3.13)

N a  czę ś ci  t o ru  y  >  Y OL   wykonuje  równom ierny  ruch  obrotowy  wokół   osi  0z
t
  (wpł yw

momentów  aerodyn am iczn ych  n a  ruch  OL   jest  pomijalnie  maty).  W  miarę  jak  roś nie



92  J-   G AC E K

ciś nienie  dynamiczne  q  na  skutek  wzrostu  gę stoś ci  powietrza  Q równomierność  obrotu
zostaje  zakł ócona i począ wszy  od pewnej  chwili  czasu  (wysokoś ci y)  ruch  obrotowy prze-
chodzi  w  ruch  wahadł owy.

Stosują c  opisaną   n a  począ tku  punktu  3 metodę  d o  okreś lenia  zmian amplitudy wahań
OL   przyjmiemy  dodatkowo  nastę pują ce  zał oż enia  upraszczają ce:

—  pomijamy  tł umienie  aerodynamiczne,
—  zmiana  prę dkoś ci  OL   nie  zależy  od  ką ta  natarcia.

N a  podstawie  zależ noś ci  (3.12)  w  odniesieniu  do  warunków  zadania  moż na  napisać

N
T
  =  j  d(T,

"min

=   2  j  - \ 2qSU*  J  nuJaJdaĄ   da  «  2n(O
Hl

  (3.14)
"mli,  "min

gdzie  J f l  m  —-

W  przypadku  dostatecznie duż ych  g  amplituda <x
mx

 może  przyjmować  niewielkie  wartość

«L : ( - «
2 ) ] 0 i J d «- 0J 5 n ( - m ?1 < ? 5 / ^ 1 )

0 ' s a , ^  (3.15)

Ską d  po  uwzglę dnieniu  (3.14)  otrzymujemy

a m „   a  2 < o
5 ( ~ ^ K i / ~ ) -

0 ' 5  (3.16)

3.2.  Sprawdzenie  stosowalnoś ci  metody  n a  odcinka  przejś cia  od  ruchu  obrotowego  do  wahadł owego.

Przejś cie  od ruchu obrotowego  do ruchu wahadł owego  odbywa  się  na dostatecznie duż ych
wysokoś ciach,  gdzie prę dkość  i  ką t  nachylenia  toru  są   praktycznie  równe  prę dkoś ci  i  ką -
towi  wejś cia  w  atmosferę   a  tł umienie  aerodynamiczne  odgrywa  niewielką   rolę   [2]. Biorą c
powyż sze pod  uwagę   równanie  (3.1)  dla  odcinka  przejś cia  po  odpowiednich  przekształ -
ceniach  moż emy  napisać  w  postaci

=  0  (3.17)
gdzie:

=  O, 5«u o|sin 0o|  ==  0,5xvop

Podczas  sprawdzania  stosowalnoś ci  zaproponowanej  metody  na  odcinku  przejś cia
od  ruchu  obrotowego  do  ruchu  wahadł owego  do  obliczeń  przyję to  rakietę   hipotetyczną
o  nastę pują cych  podstawowych  charakterystykach:

—  dł ugość  rakiety —  9.8  [m],
—  ś rednica  kad ł u ba—1.85  [m],



R U C H   OBROTOWY  OBIEKTÓW  LATAJĄ CYCH 93

[T]-

—  m asa  rakiety  n a  badan ym  odcinku  toru —1500  [kg],

—  prę dkość  rakiety  podczas  wejś cia  (ponownego)  do  atmosfery  —  1700

—  wierzchoł kowa  t o r u —  140 000  [m],

—  ką t  nachylenia  t o ru  podczas  wejś cia  w  atmosferę

0.5[rad]  s$  0
O
  «s  1.0[rad]

—  począ tkowy  ką t  n atarcia  podczas  wejś cia  do  atmosfery

0  ^  a 0  <  2n.

N a  podstawie  wyn ików  otrzym anych  z  rozwią zania  równania  (3.17)  moż emy  dla

rakiety  hipotetycznej  okreś lić  funkcję   warun ków  począ tkowych  0(x,  «
0
),  gdzie  x  =

=   wZ j  r;"
1.  Wartoś ci  liczbowe  funkcji  $(x,  a 0 )  dla  rakiety  hipotetycznej  o  sinusoidalnej

charakterystyce  m o m en t u  zawiera  tabela  1.

Tabela  1

X  ~~~ .̂.

0.0

0.5

1.0

2.0

5.0

IF

3.843

4.007

4.256

4.544

5.734

ji

6

2.521

2.620

2.805

3.324

4.736

ji

3

1.804

1.997
1.161
2.797
4.404

JI

2

1.336

1.492

1.776

2.528

4.248

2
—  jt

0.820

1,076

1.472
2.409

4.144

5

~6
n

0.392

0.778

1.304

2.244

v  4.074

n

0.0

0.608

1.209

3.156

4.054

Wprowadzają c  nową   zmienną   niezależ ną   z

z  =  ^ t]-
1

równanie  (3.17)  przekształ cam y  do  postaci

d
2
tx  ,  dcc

(3.18)

Równanie  (3.18)  rozwią zuje  się   dla  warunków  począ tkowych

dcc  ,  „   x
a( z 0)  =

gdzie

Obliczenia  pokazują ,  że  dla  duż ych  wartoś ci  z  i  dowolnych  wartoś ci  a 0  i  corio  wartość

amplitudy  ką ta  n atarcia jest  proporcjon aln a  do  z~°'s,  czyli

Okazał o się  równ ież,  że  dla pewnych  wartoś ci  x,  z
0
,  a 0  funkcja  0  posiada  nieograniczony

pik.  Stą d  też funkcję   tę   zbudowan o  dla  wartoś ci  a
0
  =  a

o
- a

Qp
.  Przyczyną   powstania  piku

są   warunki  ruchu powodują ce,  że  ciał o  znajduje  się   w  poł oż eniu  równowagi  niestatecznej.
Przy  nieuwzglę dnieniu  wiatru  i  zmiany  kierun ku  wektora  prę dkoś ci  i  zadaniu  prę dkoś ci



94 J.  G ACEK

ką towej  co,
t
  w  rozrzedzonych  warstwach  atmosfery  m oż na  dobrać  takie  wartoś ci  ką ta

natarcia,  że  trajektoria  fazowa  a(a)  bę dzie  się   koń czyła  w  pun kcie:  a  =  n,  a  =   0  (rys.
4.a).  W  tym  przypadku  OL   znajduje  się   w  obszarze  poł oż enia  niestatecznego  w  cią gu
bliż ej nie okreś lonego  dł ugiego okresu czasu. Z tego wynika,  że przy  mał ej  zmianie począ t-
kowego ką ta  natarcia OL   bę dzie znajdował   się   w  obszarze  a. — n  przez  dł ugi  okres  czasu.
Po wyjś ciu  z  obszaru  równowagi  niestatecznej  OL   bę dzie  wykonywał   wahania  o stosunko-
wo  duż ej  amplitudzie  (rys.  4.b).  Wyniki  obliczeń  opisanego  ruch u  powinny  być  uwzglę d-
nione  w  procesie  konstrukcyjnym  OL .  Ruch  niestateczny może wystą pić  przy dowolnych

R ys. 4. Przykł adowe zmiany a( a) i a(t) OL  w poł oż eniu równowagi niestatecznej.

wartoś ciach  x.  F unkcja  $ ( a 0 ) jest  symetryczna.  4>min  wystę puje  przy  a 0  =   ±n.   N a pod-
stawie wyników obliczeń stwierdzono, że przy x  - +  oo wartość  oczekiwana funkcji  <f (x,  a 0)
dą ży  do 2 |/ x  Oznacza to, źe  przy  x  -> co  iloraz  &(x,  <x

o
)/ 2 ]/ x  dla  dowolnych  wartoś ci

a 0  dą ży  do jednoś ci. Podstawiają c  wartość  &(x,  a 0 )  =   2y'x  do równoś ci  (3.19), w  wyniku
otrzymuje  się   zależ ność  (3.16).  Z  kolei  przy  x  - +  0  wartoś ci  funkcji  0(x,  a 0 )  dą żą   do
osią gnię cia  wartoś ci  granicznych.  M oż na  przyją ć,  że  ju ż  przy  x  <  0.5  wartoś ci  funkcji
0(x,  a 0 ) prawie nie zależą   od wartoś ci  x.  M a to szczególnie  miejsce  dla mał ych  wartoś ci a„ .

3.3. Przybliż ony sposób uwzglę dnienia tłumienia aerodynamicznego na amplitudę  wahań OL. Rozpatru-
ją c ruch  wahadł owy OL   n a czę ś ci toru, gdzie m oż na zastosować  m etodę  mał ego parametru
oraz  uwzglę dniając  wpł yw  ką ta  n atarcia  n a  współ czynnik  oporu  c

Xi
  m oż na  otrzymać

zależ noś ci  opisują ce  zmianę  amplitudy  okresu  wahań  T
wah

 w  wyniku  zm ian :
a)  Ciś nienia  dynamicznego  —g,

^ A =   - 0. 25- *-   - ^4- T„
<W  Q  Q  dt  " '  dt

(3.20)



R U C H   OBROTOWY  OBIEKTÓW  LATAJĄ CYCH   95

Iloczyn  j -   wyznaczymy  w  oparciu  o  rozwią zanie  Allena- Eggersa  [1]

—  - £•   =   - xvp[l-  c
Xt
qS(xmp)-

J]

b)  Tł umienia  aerodyn am iczn ego.

<C7 T  I 0 ' 5

P odczas  obliczeń należy  mieć n a uwadze, że począ tkowy  kąt  natarcia w rozrzedzonych

warstwach  atmosfery  osią ga  przypadkowe  wartoś ci  i  stąd  zadanie oszacowania amplitudy

wahań  OL   w  gę stych  warstwach  m oż na rozwią zać  tylko  w  przybliż eniu  nawet w przypad-

kach  gdy  zadan a jest  a>
z

Literatura

1.  H . ALLEN, A.  EG G ERS, A  Study of  the  motion  and aerodynamic heating of ballistic  missiles entering the

earth's  atmosphere — N ASA  R epo rt  1958.  N o  138.

2.  S.  D U BI E L,  Asymptotyczna  postać  rozwią zania  równań  ruchu  podł uż nych statku  kosmicznego  po zanu-

rzeniu  w  atmosferę  ziemską .  Biul.  WAT n r  11,  1964.

3.  S.  D U BI E L,  Zjawisko  autorotacji  podł uż nej  aparatów  latają cych.  Biul.  WAT  n r 6 1971.

4.  B . A.  .SpouiEBCKH ii, JJeuoiceHue  Heynpaejutejuoeo me/ in e aniMoccfiepe.  MauiHHOCTpoeHHej M o c im a 1978.

5.  r . E .  Ky3MAK,  AcujunmomuuecKue  peutenujt  mmmemux  butp~$epmą ajtbHux ypa&mnuii  emopoio nopndKa

c  nepeMemuMU  K09$$uijeHmaMU.  M ocKBa 1959.

6.  H . B .  OC TOC JI ABC KH H J  H . B .  C T P AWE B A,  RuHaMUKa nojtema.  06opoH TH 3j  M ocKBa 1963.

P  e 3  K)  M e

nPH BJIED KEH H Blfł   M E T O JI  H CCJIEflOBAH H H   BPAIU ATEJILH OrO

JI ETATEJI bH BI X  OBI E KTOB

B  pa6oTe  n peflcraBJieH   aHajiHTHraecKHii  Merofl  HccjiefloBaHHH   BpamaTejibH oro  flB»KeH H Ji  (Boupyr

i; ein p a  Mace)  H eynpaBJiH eM oro  jieiaT ejit H oro  o6Ł eKTaj  xapaKTepH 3yiom eroca  oceBoft  ciiMMcrpiieft.

BH »eH H H   c4)opM yjiH poBaiibi  B  cn creM e  o c eń  KoopAHHaT,  CBH3ai£HoJi

yrjioM   aTaKH , TO flaeT  BO3M OJKH OCTB  HCOieflOBaTb  3TO flBH >KeH H e n pH  npon3BOjn>-

yr a a x  aiaKH .  IIpH BefleH o  on wcam ie  M e ic a a ,  a  TaKł Ke  cn o co 6  y^ieia  Bjuwnaifi  aspoflH iiaM H iecKoro

3aTyxaHHH  Ha  aMmiH Tyfly  i< one6aimft  npoflonbH oft  OCH  ocecH MMeTpiwH oro  jieiaT en bn oro  o6pbefcra  B  I I JI O -

CKOM   BpamaTCJIbHOM   RBHH<eHHH.

S u m m a r y

APPROXIM ATE  M ETH OD   OF   IN VESTIG ATION   O F   TH E ROTATION AL  MOTION

O F   F LYIN G   OBJECTS

An  analytical  method  of investigation  of rotational  motion  (around  the  centre of mass) of  a  flying

object  without  guidance  characterizing  the axial  symmetry  is  presented.  The equations  of  motion are



96  J.  G ACEK

formulated  in a coordinate system  the axes of  which are  related  to the angle  of  incidence.  This  enables an
investigation  of  the motion for  various  angles  of  incidence. The description  of  the  method  and  the way
of  including  the influence  of  aerodynamic  damping  on  the amplitude of  oscillations  of  longitudinal axis
of  axisymmetrica!  flying  object  in  plane rotational  motion is  also  discussed.

Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  19  marca  1986  roku