Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  25,  1987 WAH AN IA  Ś M I G ŁA  O G O N O WE G O  N A  OD KSZ TAŁ C ALN EJ  BELCE O G O N O WE J  KAD ŁU BA  Ś M I G Ł OWCA WIESŁAW  LEŚ N IEWSKI Instytut  L otnictwa,  W arszawa JERZY  M ARYN IAK JT L iMS,  Politechnika W arszawska Wprowadzenie Waż nym  elementem  jedn owirn ikowego  ś migł owca  jest  jego  ś migło  ogonowe  mają ce równoważ yć  m om en t  oporowy  wirnika  n oś n ego  i  umoż liwić  sterowanie  kierunkowe. Z  reguł y umieszczone jest n a wydł uż onej  belce  ogonowej,  wzdł uż której  biegnie jego napę d w  postaci  wieloczł onowego  tylnego  wał u  transmisyjnego.  D rgan ia  pochodzą ce  od  prze- kł adni  gł ównej  oraz  struktury  kadł uba  są   przekazywane  n a  ś migło  ogonowe  wywoł ują c reakcje  dynamiczne  obcią ż ają ce  dodatkowo  ukł ad  napę dowy  i  strukturę .  W  pewnych stanach  lotu przy  duż ej  prę dkoś ci  mogą   wystą pić  sprzę ż enia  aerodynamiczne i  dynamiczne drgań  gię tno- skrę tnych  belki  ogonowej  i  wahań  ś migła  ogonowego,  objawiają ce  się   w po- staci  tzw.  „ tail  waggin g"  (zawijanie  ogona)  [1].  W  prezentowanej  pracy  przedstawiono sposób  m odelowan ia  ś migł owca  z  wahliwym  ś migł em  ogonowym  osadzonym  n a odkształ - calnej  belce  ogonowej  kadł uba  oraz  po dan o przykł adowe  wyniki  obliczeń.  U wzglę dniono zmiany  prę dkoś ci  obrotowej  wał u  transmisyjnego  wywoł ane  wzglę dnymi  wychyleniami odcinków  poł ą czonych  przegubam i  C ardan a. 1.  Przyję ty  model  fizyczny Jako  obiekt  przyję to  ś migł owiec  jednowirnikowy  klasy  Mi- 2  (rys.  1)  w  ruchu  prze- strzennym w spokojnej  atmosferze.  Z ał oż on o, że kadł ub do pierwszej  wrę gi belki  ogonowej jest  brył ą   nieodkształ calną ,  podobn ie  jak  belka  koń cowa  oraz  ł opaty  wirnika  noś nego i  ś migła  ogonowego.  Stoż kowa  belka  ogonowa  o  poziomej  osi  podł uż nej jest  podatn a gię tnie  w  pł aszczyź nie  Oxy  oraz  skrę tnie  wzglę dem  osi  podł uż nej  (rys.  1  i  rys.  2).  Tylny wał   transmisyjny  biegną cy  n ad  belką   ogonową   skł ada  się   z  trzech  odcinków poł ą czonych przegubami  C ardan a. Ł opaty  wirnika  noś nego  poł ą czone są   z piastą   za  pomocą   przegubu osiowego  i  poziom ego.  Wahliwe  dwuł opatowe  ś migło  ogonowe  m a  oś  wahań  leż ą cą w  pł aszczyź nie  wirowania  ś migła odchyloną   od prostopadł ej  do  osi  ł opat  o ką t  6 3   (rys.  3). 9* nieodksztotcoln kacftub  (i=CI,  „ k"> wahliwe  ś migło ^  0,  Z ^j o g o n o w e  11=3. „ s* l nieoclksztotcnlno belka  koń cowa li=2 , „ b k " l •  ..odksztokolnc  belko ogonowa I i =1, „bo") Rys.  1.  Ś migł owiec  i  jego  u Wady  odn iesien ia Rys.  2.  Odkształ cen ia  belki  ogon owej Rys.  3.  Wah liwe  ś m igło  ogon owe [132) WAH AN I A  Ś MIG ŁA  O G O N O WE G O . . .  133 N a  obiekt  dział ają   sił y  aerodynam iczne,  grawitacyjne,  sprę ż ystoś ci  i  tł umienia. Przyję ty  w  ten sposób  model fizyczny  m a  dziewię ć  stopni  swobody,  tzn . sześć  odnoszą - cych  się   do  ruchu  ś migł owca  ja ko  ciał a  sztywnego  oraz  trzy  wynikają ce  z  odkształ ceń i  ruchów  wzglę dnych. 2.  Ukł ady  współ rzę dnych D o  opisu  ruchu  ś migł owca  przyję to  zgodnie  z  [3]  nastę pują ce  podstawowe  ukł ady współ rzę dnych  (rys.  1): n ieruchom y  ukł ad  grawitacyjny  zwią zany  z  Ziemią , ukł ad  grawitacyjny  zwią zany  z  obiektem  i  równoległ y  do  ukł adu  01x1, j' ł z 1 —  Qxyz  ukł ad  sztywno  zwią zany  z  poruszają cym  się   kadł ubem ś migł owca, —  Ox a y a z n   ukł ad  prę dkoś ciowy  zwią zany  z  kierunkiem  przepł ywu  oś rodka  opł ywają - cego  obiekt. P on adto wprowadzon o  ukł ady pomocnicze dla belki  ogonowej, belki  koń cowej,  wirnika noś nego  i  ś migła  ogonowego,  co  zwią zane  jest  z  podział em  cał ego  ś migł owca  na  pię ć obszarów,  w  których  niezależ nie  wykonuje  się   obliczenia.  Obszary  te  mają   nastę pują ce nazwy  i  indeksy  (rys.  1): —  sztywny  kadł ub - — i  =   0,  indeks  „k" —  odkształ calna  belka  ogon owa  —  i  =  1,  indeks  „bo" —  sztywna  belka  koń cowa —  i  =  2,  indeks  „bk" —  ś migło  ogonowe —  z =   3,  indeks  „s" —  wirnik  noś ny —  i  =   4,  indeks  „ H > " D la  każ dego  z  obszarów  okreś lono  rozkł ady  mas,  momentów  statycznych,  bezwł ad- noś ci  i  dewiacji. 3 .  Ogólna  postać  równań  ruchu R ówn an ia  ruchu  ś migł owca  wyprowadzono  stosują c  równania  Boltzmanna- H amela dla  ukł adów  holon om iczn ych  w  ą uasi- współ rzę dnych  i  quasi- prę dkoś ciach  w  ukł adzie sztywno  zwią zanym  z  kadł ubem ś migł owca  Qxyz  (rys.  1). Ogólna  postać tych  równań jest nastę pują ca  [2, 3]: *:  k d gdzie: IQ M  —  quasi- prę dkoś ci, it? — quasi- współ rzę dne, T *  —  energia  kinetyczna  w  ą uasi- prę dkoś ciach  i  ą uasi- współ rzę dnych, Q*  —•  sił y  uogóln ion e  odpowiadają ce  quasi- współ rzę dnym, k  —  ilość  stopni  swobody, y'ap  —  tfójwskaź nikowe  symbole  Boltzmanna. 134  W.  LE Ś N I E WSKI,  J.  M AR YN I AK U kł ad  równań  (1) zapisano  w  postaci  macierzowej T *^ ) - T *C " ) + T *r ( r ) r ( r , A *,  a)e»(a)  =  Q*G «),  '  .  (2) gdzie: D la  badanego  obiektu  przyję to  na  podstawie  [3] nastę pują ce  wektory  współ rzę dnych uogólnionych  q,  ą uasi- współ rzę dnych  % i  ą uasi- prę dkoś ci ca: q  = col[x u   yi > z 1 ,0,&,  W , q x ,q z ,q 3 ],  (3) n  =  col[jrtr,  ^K> nw,7iP,7iQ,nR,qi,q2,q3\ >  (4) o  =  col[£/ , F ,  JF , P, Q, R, q u q 2i   q s ],  (5) gdzie: U, V, W   —  skladowewektorapredkosciunoszeniaF cpunktuOwzgledem OtXj.VjZ ! w  ukł adzie Oxyz, P,Q,R  — skł adowe  prę dkoś ci  ką towej  Q c   ś migł owca  wzglę dem  pun ktu 0, 0,&,W —^ką ty  quasi- eulerowskie  (przechylania,  pochylania,  odchylania) rys.  1, Ci>C2>93— współ rzę dne  uogólnione  (quasi- współ rzę dne)  odnoszą ce  się  do  od- kształ ceń  sprę ż ystych  i  ruchów  wzglę dnych, n v ,  ...,n R   — quasi- współ rzę dne  bę dą ce  cał kami  U,  ...,R. W  przyję tym  modelu  obliczeniowym  quasi- współ rzę dne  qi,q 2 ,  #3  odpowiadają ce dodatkowym  stopniom  swobody  są  równe  współ rzę dnym  uogólnionym ,  wobec  czego trójskaź nikowe  symbole  Boltzmanna  dla ji  = 7,8,9  są  równe  zero [3]. W  celu  okreś lenia  odkształ ceń belki  ogonowej  posł uż ono się dyskretyzacją  belki  przez postacie  drgań  rezonansowych  przyjmując  zał oż enia, że sił y  i  m om enty  aerodynamiczne ś migła  ogonowego  nie  wpł ywają  n a  te postacie.  D o opisu  ugię cia  osi  podł uż nej belki  ogo- nowej  y g (x, t)  przyję to  jedną  postać  drgań  rezonansowych  gię tnych / (3c)  (pom inię to sto- warzyszone  skrę canie), zaś dla ką ta y s (x,  t) obrotu przekroju  wzglę dem  tej  osi jedn ą  postać drgań  skrę tnych  F(x) (pominię to  stowarzyszone  gię cie),  ukł adu  zł oż onego z  belki  ogo- nowej  i z  belki  koń cowej  z  piastę  ś migła  ogonowego.  G ię cie i skrę cania  belki  ogonowej odpowiadają ce  wybranym  postaciom  okreś lone  są  zależ noś ciam i: y g (x,  t) =  gi (t)f(x),  (6) y,(x,  t) =  q 2 (t)F(x).  (7) Wahania  ś migła  ogonowego  okreś la  się ką tem  obrotu  8 s (t)  pł aszczyzny  wyznaczonej przez oś ł opat i oś wahań wokół  osi wahań, wobec czego prę dkość ką towa  ft s  jest  skierowana wzdł uż tej  osi (rys.  3).  Kąt  / S,(r) jest  równy  współ rzę dnej  uogólnionej  q 3 : (8) WAH AN I A  Ś M IG ŁA  O G O N O WE G O . . . 135 4.  Współrzę dne  i  prę dkoś ci  punktów Współ rzę dne  dowolnego  pu n kt u  K  w  „ f- tym"  obszarze  okreś la  zależ noś ć: (9) gdzie: -   = Ki Roi  —  [*oi> Joi)  ^oi]—przesun ię cie  ukł adu  odniesienia  zwią zanego  z  rozpatry- wanym  przekrojem  wzglę dem  ukł adu Qxyz, r*i  =   [Axi,Ayi,Az t ]  —  przyrosty  współ rzę dnych  pun ktu  K  zwią zane  z  odkształ - ceniami  belki  ogonowej  oraz  rucham i  wzglę dnymi  ś migła ogonowego  i  wirnika  noś nego  (rys.  2), 0  dla  i  =   0, dla  i  - 1 , 2, |  dla  i  =   3, A 9w A T w [R Ew +Afj W R e4 ]  dla  i  -   4, s i  —  [x g i,  y g i,  z g i]  —  przemieszczenie  ś rodka  obrotu  przekroju  odniesienia  w  wy- n iku  odkształ ceń  belki  ogonowej, X 1  2  C  ,2/ ~\   ~ 2 J o eet —  [*eei > y B ei >  z e eii  —  poł oż enie pun ktu K  wzglę dem  osi  obrotu przekroju  odnie- sienia  w  ukł adzie  pomocniczym, E  —  Uo>fo>~ z e3\   —przesun ię cie  ukł adu O^XjjjZj  wzglę dem  ukł adu  OijkArjitĵ ZM;, 'o  =   U2 >  Vi >  ^2]  —  współ rzę dne  pun ktu  ł opaty  w  ukł adzie zwią zanym  z ł opatą ś migła  ogonowego, cos # 9 (  — sii A yi   =  sin # f l i  c o s# f l i c o sys i  —( 0 (1 0) & Bi   =   - a r c t g- 3x / '(*)  = 8x 1  8f(x) l B   dx  ' (11) l B   —  dł ugość  belki  ogonowej, A vp   —  m acierz  transformacji  ukł adu  zwią zanego  z  ł opatą   do ukł adu W , —  azym ut  ś migła  ogonowego, iw,A vw ,A ew>   R Ew ,R eĄ   —  macierze  transformacji  oraz  wektory  przesunię ć  i  poł oż enia pun któw  wirnika  n oś n ego. P rę dkość pun ktu K  o  współ rzę dnych  podan ych wzorem  (9) okreś la  zależ noś ć: 3 8 t 136  W.  LE Ś N I E WSKJ,  J .  M AR YN M K lub  w  zapisie  macierzowym: V*, - V ai a>+V Rl t t ,  (13) gdzie: V c   =   [U, V,  W ], flc-   [P,Q,R], QB=  fói.Ś aiJŚ teli o  =   c o l[Vc , O c , fl£ ] v.,, =   { i, vf l c l , vM I } , dla  i =  3, AfjSi,  Auet,  AE,  Ae 3  o t r zym a n o  z  we kt o r ó w  (ROi + Rti),  RQei,  RE,  R Q 3  we d ł ug  sc h e m a t u : [ 0  z  - /I A  =   - z  0  x l , [  y  - x  Oj 3 P»nf >  A^/ , A^ 1  otrzymano z ^  "X^ "  ^  P °  wył ą czeniu  q t , Vi«  — prę dkość  pun ktu  niezależ na  od ą uasi- prę dkoś ci,  otrzym an a  z  . *' . W  wyniku  odkształ ceń belki  ogonowej  odcinki tylnego  wał u  transmisyjnego  poł ą czone przegubami  C ardana  odchylają  się  wzglę dem  siebie  o  ką ty  fS k  =f(qi,qz,x)  powodując zmiany  przekazywanej  prę dkoś ci  ką towej  i ką ta  obrotu wał u. D la przyję tego  modelu wał u na  podstawie  [5]  wyznaczono: w. = / („,„, o. W  postaci  macierzowej: JB,  (15) gdzie: cos/ S2 cos/ ?! c o s/ S3 ' - c o l fc  5JB°  C M o  o l 1  sin 2a 0 2i t   c o s 2 a 0 + 5 gsi n 2 a 0  ' WAH AN I A  Ś M IG ŁA  O G O N O WE G O . . .  137 o 0  —  prę dkość  obrotowa  wał u transmisyjnego  n a wyjś ciu z przekł adni  gł ównej, (rad/ s), 0Co  =   O ) 0 f , i p   —  przeł oż en ie.przekł adni  w  belce  koń cowej. 5.  Energia  kinetyczna  i  jej  pochodne Cał kowitą   energię   kinetyczną   otrzym an o  w  wyniku  sumowania  energii  kinetycznych we  wszystkich  obszarach  wedł ug  zależ noś ci: 4 T* -   2 ' T*\   (16) (=0 gdzie: T **  =  -—  I yiidm.  (n) , Po  uwzglę dnieniu  (13)  w  (17)  otrzym an o 1 _ _ gdzie: T &  #   0,  T &  *  0  dla  /  =   3, 4. D la  ś migła  ogonowego  należy  uwzglę dnić  (15)  oraz  !F * w  (18). &*  =   A2 p +A p Bl r B p A p   + o> r D,co,  (19) gdzie: B p  —  macierz  B p E  rozszerzon a  do  wymiaru  9 x 9 , D p  =   BP BJ. P o wstawieniu  (19) i  (15) do  (18) należy  T J 3  oraz T J |  w  (18) zastą pić  przez T ' 2* 3  -   T S 8 +   /   [ T ^ l D p + B p T I I + T f ^ B J J d ł i ,  (20) oraz  iP , przez  ^ p : .Sft  SE  ^ ,  W (18). 138  W.  LBŚ N I E WSKI,  J.  M AR YN I AK Przykł adowo  macierz  Tf'  m a  postać M,  S Da '\ JTfl  -   j im  J (22) Linią   przerywaną   zaznaczono  elementy  odnoszą ce  się   do  ciał a  sztywnego,  pozostał e uwzglę dniają   odkształ cenia  sprę ż yste  i  ruchy  wzglę dne.  P ostać  macierzy  M j, S D C ,  i  I C ( jest  nastę pują ca: [M,  0  0 M,  =   O  M,  0 [o  0  Mt_ 0  Ojj  - O ,| - S ai   0  S m   ,  (23) S,t  - S xl   0 /   —/   — J ~J  J  —J P ochodne  energii  kinetycznej  T *  otrzym an o  róż niczkując  wyraż enie  (18) wzglę dem  quasi- prę dkoś ci,  czasu  i  quasi- współ rzę dnych: (24) (25) (26) gdzie: T*i  - .  / °"°  ~8t 2  ) T * i  •> I - 6.  Sił y  uogólnione Sił y  uogólnione  dział ają ce  na  ś migł owiec  m oż na  podzielić  n a  sił y  i  m om enty  aerody- namiczne,  grawitacyjne,  sprę ż ystoś ci  i  tł umienia, a)  Wektor  uogólnionych  sił   aerodynamicznych  Q A WAH AN I A  Ś MIG ŁA  O G O N O WE G O . . . 139 U ogólnione  sił y  aerodynamiczne  wyznaczono  niezależ nie  dla  wirnika  noś nego,  ś migła ogonowego  i  cał ego  kadł uba  wykorzystują c  zał oż enia: —  opł yw  jest  quasi- stacjonarny,  pł aski, —  charakterystyki  aerodynamiczne  przyję to  na  podstawie  badań  tunelowych  dla kadł uba w funkcji  ką ta n atarcia, ką ta  ś lizgu i ką ta nastawienia  statecznika, zaś dla ł opat w  funkcji ką ta  n atarcia  przekroju  i  liczby  M acha, —  przyję to  jedn orodn y  rozkł ad  prę dkoś ci  indukowanej, —  pom inię to  oddział ywanie  strumienia  zaś migł owego  wirnika  noś nego  na  ś migło  ogo- nowe  i  belkę   ogonową , —  w  prę dkoś ci  opł ywu  kadł uba  uwzglę dniono  wektor  prę dkoś ci  indukowanej  wirnika noś nego, —  sił y  i  momenty  aerodynamiczne  dział ają ce  n a  ł opaty  oblicza  się   metodą   elementu ł opaty  niezależ nie  dla  każ dej  z  nich  i  nastę pnie  sumuje. Sił y  uogólnione  odpowiadają ce  dodatkowym  stopniom  swobody  wyznaczono  wedł ug [2]  z  zależ noś ci: ft (27) P o wykonaniu  odpowiednich  obliczeń i zsumowania  otrzymanych wielkoś ci  dla  wirnika noś nego,  kadł uba  i  ś migła  ogonowego  uzyskano  wektor  uogólnionych  sił   aerodynamicz- nych Q,,  =   c o l[ Z l 5  YA,  ZA,  L A,  M A,  N A,  QM,  QA2,  QA3].  (28) b)  Wektor  uogólnionych  sił   grawitacyjnych  Q G Skł adowe  przyspieszenia  ziemskiego  w  ukł adzie  odniesienia  Oxyz  zwią zanym  z kadł u- bem  ś migł owca  mają   postać: q~A 9 'g t   (29) gdzie: - sin 6»  "1 os0sin# >  , COS0COS0J g  —  przyspieszenie  ziemskie  n a  danej  wysokoś ci. Ponieważ  ś rodek  masy  ś migł owca  nie  pokrywa  się   z  począ tkiem  ukł adu  Oxyz  oprócz sił   grawitacyjnych  wystą pią   również  m om en ty: A o   - Nr. (30) Sił y  uogólnione  odpowiadają ce  dodatkowym  stopniom  swobody  wyznaczono  analo- gicznie  jak  w  przypadku  „a".  Otrzym ano  wektor  uogólnionych  sił  grawitacyjnych  w  po- staci : ,  Y G ,  Z G ,  L G ,  M G ,  N a ,  Q Q1>   Q G2 ,  Q G3 ].  (31) 140  W.  LKŚ N I E WSKI,  J.  M AR YN I AK c)  Wektor  uogólnionych  sił   sprę ż ystoś ci  i  tł umienia  Q , Sił y  uogólnione  sprę ż ystoś ci  i  tł umienia  wyznaczono  na  podstawie  znajomoś ci  energii potencjalnej  t/ 3 odkształ ceń sprę ż ystych  ukł adu i  sprę ż ystych  zawieszeń  elementów  rucho- mych  oraz przyję tej  dyssypacyjnej  funkcji  Rayleigh'a  U R .  D la przyję tego  m odelu wyznaczo- n o : U s   =   y  k t ql+j- k M ql  +  y  k,ql,  (32) U K   =   —z- kfą h  (33) gdzie: 1 o kp  ~  const.,  sztywność  zawieszenia  ś migła  ogonowego, kp  =   const., współ czynnik  dyssypacji  energii  w  ukł adzie zawieszenia  ś migła ogo- nowego, m g ,(ti,  —  czę stoś ci  drgań  wł asnych  odpowiadają ce  postaciom f(x)  i  F(x)  belki  ogo- nowej, m(x),  I  (x) —  masa  jedn ostkowa  i  jedn ostkowy  m om en t  bezwł adnoś ci  przekroju  belki ogonowej  wzglę dem  osi  obrotu. Sił y  uogólnione  róż ne  od  zera  obliczono  wedł ug  wzoru: otrzym an o: Q„2 -   - k,4*>  (35) Wektor  Q s  ma  postać Q s   -   col[0, 0, 0,  0, 0, 0,  Q S1 ,  Q s2 ,  Q s3 ].  (36) 7.  Równanie  ruchu  ś migłowca Wykorzystują c  zależ noś ci  podan e  w  pun ktach  3- J-6  opracowan ia  u kł ad  równ ań  (2) moż na  przekształ cić  do  postaci (37) WAHAN IA  Ś MIGŁA  OG ON OWEG O...  ]41 gdzie: Q *  =   Q^I +  Q G  +  Q „  wektor  sił  uogólnionych, QL  =   T T*   _  TOC  —  * U kł ad  równ ań  (37) jest  ukł adem  dziewię ciu  równ ań  nieliniowych  o zmiennych  współ - czynnikach.  Poniż ej  po dan o  przykł adowo  równanie  drugie  i  dziewią te  w postaci  rozwi- nię tej  dla pokazan ia  ch arakteru  sprzę ż eń: - b 2a q 2 - b 29 q 3 - C 2 =Q A2 +Q G2 ,  ,  (38) a 91 i  (38a) gdzie: Ti *  - [ aM]] ,  Tf c -   [ag,], T ic  =   [b/ tj]*  T O c  —  [ e j , M,S x ,S y ,S x   odnoszą   się  do cał ego  ś migł owca. Po  uzupeł nieniu  (33)  zwią zkami  kinematycznymi  otrzym an o  kompletny  ukł ad  równań ruchu  ś migł owca  z  odkształ cał ną   belką   ogonową   i  wahliwym  dwuł opatowym  ś migł em ogonowym: 0  =  P+(Qsin0+Rcos0)tg6, 6  =   Q cos 0-   R sin 0, W   =   ( 2 sin 0+R  cos 0)1 cos©, (39) q 3   =   q 3 . 142  W.  LE Ś N I E WSKI, J.  M AR YN I A* P o  zastosowaniu  podstawienia 0,0,W ,z 1 ,g 1 ,g 2 ,ĝ \   (40) otrzymano  ostatecznie Y -   F(Y,  t).  (41) U kł ad  równań  w  postaci  (41)  gotowy  do  obliczeń  numerycznych. 8.  Przykł ad  obliczeniowy U kł ad  równań  (41)  scał kowano  numerycznie  dla  warun ków  począ tkowych  opisanych wektorem  Yo  i okreś lonych jako  warunki  równowagi  ś migł owca  poruszają cego  się  ruchem poziomym  prostoliniowym  z prę dkoś cią   V L   =   210  km / h  (V  =  P = Q = R =   0).  Prę d- kość  obrotowa  wirnika  noś nego  n w  =   246  obr/ min  (4.1  H z),  zaś  ś migła  ogonowego n,  =  1445  obr/ min  (24.08  H z).  U kł ad  równ ań  równowagi  skł ada  się   z  oś miu  równań nieliniowych,  z których  sześć okreś la  równowagę   sił  i m om en tów  a  dwa  zależ ność  n a prę d- kość  indukowaną   wirnika  noś nego V iw0  i ś migła  ogonowego  F i s 0 .  W  wyniku  rozwią zania powyż szego ukł adu za  pomocą   procedury  N O N LI Q  z  biblioteki  systemu  C YBE R  otrzy- mano wartoś ci  ką tów  quasi- eulerowskich  & 0 ,  0 O > ką tów  sterowania  wirnika  noś nego 0 Ow , @lw,  02w,  ką ta  skoku  ogólnego  ś migła  ogonowego  0O, oraz  prę dkoś ci  in dukowan e Viw0, V is0 . P on adto wyliczono  skł adowe prę dkoś ci  lotu n a osie Ojcff/ j)  i 0z(W 1 )  oraz !fo.  Wektor warunków  począ tkowych  Yo ma  postać: Yo -   col[D i, 0,  W lt   0 , 0 ,  0,  0 O ,  0 o ,  W o ,  0,  0 , 0 ] .  (42) Współ czynniki  wahań  pionowych  wirnika  noś nego  wyznaczono  wedł ug  zależ noś ci  poda- nych  w  [4]. N a  podstawie  [6] dla  belki  ogonowej  przyję to  postać  drgań  gię tnych/ (jc)  dla  czę stoś ci cu„  =   20 H z oraz postać drgań  skrę tnych  F(x)  dla  czę stoś ci  a> s   =   36 H z, pomijają c  drgania sprzę ż one z tymi  postaciami.  Przyję to  krok  cał kowania  odpowiadają cy  Atp„ =   12°  (At  = =   0.0014  s).  Obliczenia  wykonano  metodą   Runge- Kutta  I V  rzę du  (procedura  systemowa R K I N I T). Zmiany współ rzę dnych uogólnionych w  funkcji  czasu  przedstawiono  n a rys.  4:  q 3   =  (l 3 wahania  ś migła  ogonowego  wokół   przegubu  poprzecznego,  q 2   =  y s   skrę cenie  sprę ż yste belki  ogonowej  kadł uba  wokół   osi  podł uż nej i q x  ~ y g   gię cie  sprę ż yste  belki  ogonowej kadł uba  w pł aszczyź nie poziomej. Otrzymany  przebieg  wahań  ś migła q 3   rys.  4 m a podobny charakter  do  uzyskanego  w czasie  badań  eksperymentalnych  w locie i  przedstawionego w  [1] dla tzw.  „ zawijania  ogon em "  (tail  wagging).  N a  rys.  4  widoczne jest  wyraź ne  „ dud- n ien ie"  wahań  ś migła  ogonowego  wywoł ane  sprę ż ystymi  drgan iam i  gię tno- skrę tnymi belki  ogonowej. Przykł adowo  przedstawiono  ze wzglę du  n a  obję tość  tylko  dwa  równ an ia  ruchu  z dzie- wię ciu: (38) równanie przemieszczeń bocznych  Vi  (38a) równanie wahań  ś migła  ogonowego / Sj.  W  równaniach  bardzo  wyraź nie  wystę pują   sprzę ż enia  ruchów  wynikają cych  ze  stopni kadł uba jako  ciał a sztywnego (U, V, W , P,  Q, J?, 0,  &, W ) gię cie poziomego  belki  ogonowej g t   =  y f   oraz  drgań  skrę tnych  kadł uba q 2  =  y s . WAH AN IA  Ś MIGŁA  OG ON OWEG O... 143 0 7 Rys.  4.  Zmiany  współ rzę dnych  uogólnionych  q lt   vq 2 , q 3   w  czasie  (ji =   0.3) Z astosowanie  równ ań  Boltzm anna- H am ela pozwala  n a  uzyskanie  wł aś ciwego  modelu matematycznego  ś migł owca  w  ruch u  wzglę dnym  z  uwzglę dnieniem  sprę ż ystych  stopni swobody  i  wahań  elementów  wzglę dem  sztywnej  brył y  kadł uba. W  ram ach  prowadzon ych  bad ań  teoretycznych  opartych  na  symulacji  numerycznej zjawiska  dokon an o  analizy  wpł ywu  stopni  swobody  ś migł owca  jako  brył y  sztywnej  po- ruszają cej  się  w  przestrzeni  oraz  odpowiednio  zmian  sztywnoś ci  belki  ogonowej. Literatura 1.  R. W.  BALKE,  R. L.  BEN N ETT, T. M .  G AFFEY, R. R. LYN N ,  T ail Rotor Design.  Part II:  Structural Dyna- mics,  Journal  of the  American  H elicopter  Society, Vol.  15, N o 4, Oct.  1970. 2.  R.  G U TOWSKI,  Mechanika  Analityczna, PWN ,  Warszawa,  1971. 3.  J.  MARYN IAK,  Dynamiczna  teoria obiektów ruchomych,  Prace naukowe  PW — Mechanika, N r 32,  War- szawa, 1975. 4.  H . L.  PRICE, Rotor Dynamics and Helicopter Stability,  Aircraft  Engineering,  N o 3, 4, 6, 7,  11, 12 z 1963 i  3, 4  z 1964. 5.  S.  WIŚ N IEWSKI,  Dynamika  maszyn,  Wyd. Politechnika  Poznań ska,  N r 697,  Poznań,  1977. 6.  Próby rezonansowe  ś migł owca  Mi- 2M, Spr. wewn.  ILOT  n r  17/ RW- W2/ 83. P  e3K>M  e KOJIEEAH H fl  XBO C T O BO rO  BH H TA  H A  YI I P yr O H   XBOCTOBOft  BAJIKE <£K>3EJM>KA  BEP TOJrETA B  craTBe  npeflcraBJieH O  Meiofl  MaTeMaimrecKoro  M OflejiaposaH iw  npocTpaHCTBeHHoro c  KaiaiomMMCH   jrByjionacTHbiM   XBOCTOBWM   BH H TOM   ocawseubiM  Ha yn p yro ił   XBOCTOBOS 6ajiKe  ie  H 144  W.  LBŚ NIEWSKI,  J.  M ARYN U K KoJie6aHHH  XBOCTOBOH   6anKH  c KavawinHMCH   XBOCTOBMM   BH U TOM . Y' lr e n o  H3MeneHHe yn io Bo S  CKopocra inapH H pH oro  Bajia  XBOCTOBoro, BH irra.  YpaBHCHHH   p^ oKemm  BbiBe^eHO  npjiHHMaa  ypaBHeHHH   EOJIB- —  FaMejiH.  Cą ejiaHo  npwwepH bie  BbiracneH H H .  IToJiyieH o  pe3yjn>TaTM   npeflCTaBJiHtomne Kone6aHHH   xBocroBoro  Binrra  c  ynpyruM H   Kone6aHHHMH  XBOCTOBOIJ  6ajn at  M exannnec- i