Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf


M ECH AN IKA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1/ 2,  25,  1987

ANALIZA  WYMUS ZONYCH  DRGAŃ  WAŁU  KORBOWEGO
ZE  Ś MIGŁEM  PRZY  ZASTOSOWANIU  METODY ELEMENTÓW

S KOŃ CZONYCH

Z BIG N IEW  D Ż YG AD ŁO

WIESŁAW  SOBIERAJ

P IOTR  ZALEWSKI

W ojskowa  Akademia  T echniczna

1.  Wstę p

P rzeprowadzają c  analizę   drgań  wymuszonych  wał u  korbowego  z  czteroł opatowym
ś migł em  (rys.  1)  lotniczego  silnika  gwiazdowego,  przy  zastosowaniu  metody  elementów
skoń czonych,  rozpatrywan y  ukł ad  rzeczywisty  odwzorowano  w  postaci  jego  modelu
fizycznego  skł adają cego  się  z  elementów  beflcowych  i  elementów  wał u,  wirują cych  ze

Rys.  1

10  Mech.  Teorct.  i  S tos.  1—2/ 87



146 Z .  D Ż YG AD ŁO  i  inni

stał ą  prę dkoś cią  ką tową  Q.  W  rozważ aniach  pom in ię to wpł yw  ruch u sam olotu  n a  wymu-
szone drgania  rozpatrywanego  ukł adu z uwagi  n a  to, że  czę stoś ci  ruchu  sam olotu  są  niż sze
od  rozpatrywanego  zakresu  czę stoś ci  drgań  wymuszonych.  Przyję ty  model  uwzglę dnia
odkształ calność  ukł adu,  którego  poszczególne  elementy  podlegają  zginaniu  w  dwóch
wzajemnie  prostopadł ych  do  siebie  pł aszczyznach  oraz  skrę caniu  wokół   osi  sprę ż ystoś ci
elementów.  Wykorzystano  przemieszczeniową  wersję  metody  elementów  skoń czonych
przy  zał oż eniu jednowymiarowej  dyskretyzacji  rozpatrywanego  ukł adu.  U wzglę dniając
wł aś ciwoś ci  konstrukcyjne  rzeczywistych  wał ów  korbowych,  przyję to  liniową  zmianę
parametrów  geometrycznych,  masowych  i  sztywnoś ciowych  w  belkowych  elementach
skoń czonych  oraz  stał e  parametry  w  elementach skoń czonych  wał ów.  Jednocześ nie  zał o-
ż ono  moż liwość  skokowych  zmian  param etrów  konstrukcyjnych  n a  brzegach  elementów.
D ział ają ce  n a  wał  korbowy  obcią ż enia  wymuszają ce  został y  okreś lone  poprzez rozł oż enie
w  szereg  harmoniczny  wyznaczonych  doś wiadczalnie  obcią ż eń  promieniowych  (R

m
  i  R

g
)

i  stycznych  (T
g
)  pochodzą cych  od  sił   gazodynamicznych  dział ają cych  n a  wał   korbowy

lotniczego silnika  tł okowego.

2.  Zależ noś ci  wyjś ciowe

Rozpatrując  deformacje  elementu belki  (rys. 2) i wał u (rys.  3) w ich lokalnych  ukł adach
współ rzę dnych  Oxyz,  zwią zanych  z  ich  nieodkształ coną  osią  sprę ż ystoś ci  przyję to,  że
wystę pują  mał e  odkształ cenia  sprę ż yste  oW   zginania  w  dwóch  wzajemnie  prostopadł ych
do siebie  pł aszczyznach (przemieszczenia —  u, w —  dla  belki;  u, v  —  dla  wał u) i  skrę cania
(c>)  wokół   osi  sprę ż ystoś ci.  P on adto,  belka  może  być  wstę pnie  zwichrzona  (skrę cona)
konstrukcyjnie  o  kąt  6(y).  Cał kowite  odkształ cenie  wzdł uż ne  dowolnego  wł ókna  belki
lub  wał u  w  wybranym  przekroju  okreś lonym  przez  jego  lokalny  ukł ad  współ rzę dnych
gł ównych  O

p
£rjC  (ukł ad  współ rzę dnych  zwią zany  z  gł ównymi  osiami  bezwł adnoś ci  prze-

Z,w

Rys.  2 Rys.  3



D RGAN IA  WAŁ U  KORBOWEGO  147

kroju  i  odkształ coną  osią  sprę ż ystoś ci)  m oż na  wyznaczyć  okreś lając  przemieszczenie
ś rodka  sztywnoś ci  i  obrót  nieodkształ calnego  przekroju.  Wykorzystując  zależ noś ci  przed-
stawione  w  [1],  [2] i  [3], cał kowite  odkształ cenie  wzdł uż ne  dowolnego  wł ókna  w wybra-
nym  przekroju  okreś lono  n astę pują co:

dla  wał u —

£

w  =  e
e
- $u"- rjv"  (2.1)

dla  belki • —

B

b  =   6 c - |( M "c o s6> - w"sin 6> ) - f( w"sin 0+ n ' "c o s0)  +  (f
2 +  C 2 ) 0 V  (2.2)

gdzie  przez  ( ) ' i  ( ) "  ozn aczon o  pierwszą  i  drugą  pochodną  wzglę dem  współ rzę dnej
osi  sprę ż ystoś ci.

Wystę pują ce  w  powyż szych  wzorach  odkształ cenie

jest  odkształ ceniem  rozcią gają cym  od  znanej  sił y S,  n atom iast

(2. 4)

jest  zredukowanym  prom ien iem  bezwł adnoś ci  czynnego  sprę ż yś cie  przekroju  — A.
D ysponując  okreś lonymi  w postaci  zwią zków  (2.1)  lub  (2.2)  odkształ ceniami  wał u  lub

belki,  m oż na  wykorzystując  proporcjon aln ość  naprę ż eń  i  odlształ ceń

a  =  Ee

gdzie  E—jest  m oduł em  sprę ż ystoś ci  Youn ga
wyznaczyć  m om enty  sprę ż yste  — M

(
, M

n
, M t  w lokalnym  ukł adzie  współ rzę dnych  prze-

krojów.  U wzglę dniając  zaś  zwią zki  pomię dzy  lokalnym  ukł adem współ rzę dnych  gł ównych
rozpatrywanych  przekrojów  wyznaczono  m om enty  sprę ż yste  w  lokalnych  ukł adach
współ rzę dnych  elementu  belki  lub wał u — Oxyz.

D la  wał u:

=   EĄ v"

=   EJ„u"  (2.5)

M z
w  =   GJ

0
<p'  +  S

c
r

2

c
<p'

przy  czym

f  ̂ (2.6)
A i

n atom iast  J { ,  7,  są  m om en tam i  bezwł adnoś ci  przekroju  wał u  wzglę dem  gł ównych osi
bezwł adnoś ci  a / 0 jest  biegunowym  m om en tem  bezwł adnoś ci  przekroju.

D la  belki:

M
h

x
  =   (EJiCQs?&+EJ

i
ń rL

i
&)w"  +  (EJs- EJ

!
)u"ń n6cos6+

+EB
2
&'(p'sm&  +  S

c
(e

r
  sin©  +  e

r
 < pcos© + k 2

r
6'u')  (2.7)



148  Z .  D Ż YG AD ŁO  i  inni

M*  =   [GJ
o
 + S

c
k?  + EB

1
(0')

2
]<p'- E3

2
0'(u"cos0- w"sm0)  +  (2.7)

-   S
c
(u'e

r
  sin<9 -   w'e

r
  cos©  -   k 2

r
&)  [cd]

Af*  -   ( £ / f si n
2 6 ) + £ / c c o s

2 0 ) M " +  ( JE 7{- JE '/ i:)

-   EB
2
&'(p' cos©  -   S;(er c o s0 -   er <psin<9 -   k

2

r
6'  w')

gdzie:  e r  =  - -  I I fdf  d£ ,

 ̂ =  JJ  ($»+ C*)< *a- C*- *?)##,  - 82 =  / /  tfa  +  fa)(f- e,)< #<E  (2.8)

R ozpatrując  ruch  wirują cego  z  ustalon ą  prę dkoś cią  ką tową  Q  wał u  korbowego  ze
ś migł em  i  uwzglę dniając  odkształ calność  przyję tego  do  rozważ ań  m odelu  fizycznego,
wyznaczono  przemieszczenia,  prę dkoś ci  i  przyś pieszenia  dowoln ego  p u n kt u  przekroju
poprzecznego  elementu  belki  lub  wał u  w  wirują cym  wraz  z  n ieodkształ coną  osią  wał u
korbowego  ukł adzie współ rzę dnych. P ozwolił o t o n a  wyznaczenie  obcią ż eń  obję toś ciowych
dział ają cych  w  rozpatrywanym  przekroju  elementu  belki  lu b wał u.  P omijając  obcią ż enia
powstają ce  w wyniku  dział ania sił  C oriolisa  oraz  dokon ując  um own ego  podział u  obcią ż eń
obję toś ciowych  n a  obcią ż enia  bezwł adnoś ciowe  (indeks  „b")  i  obcią ż enia  odś rodkowe
(indeks  „Q"), okreś lono je w  nastę pują cej  postaci:
dla  wał u  —

Pxt  -   - mii,  p?
b
  -   - mv,  q%

b
 =   - / , «',

qf
b
  =  - (mri+l

t
Y&,  q7b  =  ?$,

p?
Q
  = Q

2
mu,  p?

o
  =  Q2mv,  q?

Q
 m  - Q

1
mr

w
u,  (2.9)

dla  belki  —

p
b

It
,  =   ~m(u- e„'<psmG),  p\

b
  =   - m(w- e

m
q>cos0),

q)
h
  <m  - l!p+me

m
(wcos0+usm0),

pl
o
  — mQ

2
(u+e

m
<p$in0),  ql

a
  —  - mQ

2
e

m
ycp  sin©,  (2.10)

ą \
Q
  =   - mQ2e

m
ycpcos0

gdzie:  1

jest  mimoś rodem  masy,  y — odległ oś cią  rozpatrywan ego  przekroju  od osi  obrot u ,  m —
bież ą cą  masą  elementu,  I

(
,I,,,Ą  — bież ą cymi  m asowym i  m om en tam i  bezwł adnoś ci

wzglę dem  gł ównych  osi  bezwł adnoś ci  przekroju,  / —bie gu n o wym ,  bież ą cym  m om en tem
bezwł adnoś ci,  A

m
  — cał kowitym  polem  przekroju  poprzeczn ego,  r

w
  — prom ien iem  wy-

korbienia.  P rzez  „ ( "' ) "  oznaczono  drugą  poch odn ą  przemieszczeń  wzglę dem  czasu.
N a  rozpatrywany  wał  korbowy  lotniczego  silnika  tł okowego  dział ają  jeszcze  wymusza-

ją ce  sił y  gazodynamiczne  (rys. 1). Sił y  te  okreś lono  za  pom ocą  szeregu  trygonom etrycz-
nego  o  postaci:



D R G AN I A  WAŁ U   KOR BOWEG O  149

(2.11)

R =  Ro £

W  skł ad  rozpatrywanego  ukł adu  wał u  korbowego  wchodzą  również  antywibratory
w postaci  tł umików Taył ora. Przyjmując  najprostszy  model  oddział ywania tł umików tzn.
tł umienie  drgań  skrę tnych  wał u,  ich  oddział ywanie  moż na  uwzglę dnić  wprowadzając
zredukowany  do  osi  obrotu  wał u  korbowego  moment  bezwł adnoś ci,  zależ ny  od  do-
strojenia  tł umików.

/ *  =   / B + m 4 ~ ^ 2 -   (2.12)

przy  czym

(O

r- {p- d)

gdzie  —  I
a
  —jest masowym momentem bezwł adnoś ci anty wibratora wzglę dem jego ś rodka

masy,
m„ —  masą  antywibratora,  r —  odległ oś cią  ś rodka  masy  tł umika  od  osi  obrotu,

(D—d)  —  mimoś rodem jego  ruchu.

3.  Rozwią zanie  problemu  drgań  wymuszonych

Poł oż enie  dowolnego  pun ktu  leż ą cego  n a  osi  sprę ż ystoś ci  rozpatrywanych  elementów
moż na  okreś lić  poprzez  skł adowe  wektora  f„  o  postaci

gdzie N e jest funkcją  kształ tu a  fie  wektorem przemieszczeń wę zł owych elementu, przy czym

u  (3.2)
o  rp o  IT
Pe — IPle' Pjei

gdzie  /, j  są  numerami  wę zł ów  elementu.
Wykorzystując  wprowadzone n a  rys. 2 i rys.  3  oznaczenia, funkcję  kształ tu i wektor prze-
mieszczeń  wę zł owych  zapisano  nastę pują co:
belka  —

więc



150 Z .  D Ż YG AD ŁO  i  inni

oraz

H
k
  0  0  0  0  K

k

0  0  0  0  0  0
0  0  H

k
  K

k
  0  0

0  0  H'
k
  K'

k
  0  0

0  0  0  0  Z t  0
j r ; o o  o  o K'^

(3.4)

dla z,  j

Wa ł   —

więc

o raz

(3.5)

0  0  0  A;  0

H
k
  0  K

k
  0  0

0  0  0  0  0

H k  0  K'
k
  0  0

0  0  0  K
k
  0

0  0  0  0  L
H
,

(3.6)

dla  k  =   / ,7

gdzie  l
t
—jest  dł ugoś cią   elementu

Wystę pują ce  w  macierzach  funkcje  kształ tu  (3.5)  i  (3.8)  wyrazy,  okreś lono  wykorzystują c
liniową   funkcję   Lagrange'a

1,- 1- 3,  L j~x  (3- 7)

oraz  dwie  funkcje  H erm ite'a

(3.8)

i  ich  pochodne.
Wyznaczają c  równania  dynamicznej  równowagi  elementu w  oparciu  o zasadę   prac  wirtual-
nych

(3.9)

gdzie  dU
3
  jest  wariacją   energii  sprę ż ystej  odkształ cenia  elementu,  6U

a
  —  przyrostem

wariacji  energii  sprę ż ystej  w  polu  sił   odś rodkowych,
dW o,  SW

b
,  6W

k
,  3W

W
,  SW

r
  —  odpowiednio^  pracą   sił   odś rodkowych,  bezwł adnoś ci,

krawę dziowych,  wymuszają cych  i  tł umią cych n a  przemieszczeniach  wirtualnych.
Otrzymano  je  dla  lokalnego  ukł adu  współ rzę dnych  elementu  w  klasycznej  postaci  [7]
macierzowego  ukł adu  równ ań

(3.10)



D RG AN IA  WAŁU   KORBOWEGO  151

gdzie:

M e  =   M odkc+M lze

C e  =  Cre+Cglre+Cante  (3.H )

* U .  =   [ 21, JR
k
,  0, 0 , 0 ,  0Ysin(3,5k(Qt+<p

k
))

Qe  -   [<2,e,  g/ JJ

M acierze  (3.11)  wchodzą ce w skł ad równ an ia  (3.19) wyznaczono z zasady  prac wirtual-
nych  (3.9) wykorzystują c  m etodykę  przedstawioną   w  [7]  (dla macierzy  sztywnoś ci  sprę ż y-
stej K

se
  i macierzy  m as  Mod*), lub w [4] (dla pozostał ych macierzy).

Wprowadzają c  quasi- diagonalną   macierz  transformacji

- r . (3.12)
gdzie  podm acierz

cos!?',  sin !?,  0
|  - sinW ,  cos??,  0

0  0,  1
(3.13)

n atom iast  f  jest  azym utem  osi  sprę ż ystoś ci  elementu  belkowego  (dla elementu  wał u
y) =  0),  okreś lono  macierzowe  równ an ie  dynamicznej  równowagi  elementu w  globalnym
ukł adzie  współ rzę dnych

^   (3.14)
1  *= i

przy  czym:

Ke  =  IFKJI,

C
e
  =  H TCe H ,

M e  -  WMeH,

# .- H *.  < 3 1 5 )

D okonują c  skł adan ia  macierzy  i  wektorów  równ an ia  (3.14)  dla cał ego  ukł adu  drogą
klasycznego  sum owan ia  w  wę zł ach  [7] otrzym an o  równanie  dynamicznej  równowagi
wał u  korbowego  ze  ś migł em  o  postaci

n

jĵ w*-   (3.16)

Z akł adają c,  że zespolony  wektor  przemieszczeń  wę zł owych  dla fc- tej harmonicznej  przyj-
mie  postać

* * ( 0  =  S
Ok

sin[3,5k(Qt+(p
k
j)]  dla j  =  1, 2  (3.17)



152  Z .  D Ż YOAD LO  i  inni

otrzymano  równania  dynamicznej  równowagi  ukł adu  okreś lone  zależ noś cią

(K+i3,5knC- (3,5kQ)
2
M\ $

ok
  =  F

wki
  (3.18)

* = i

lub  inaczej
n  n

£Ż
k
(Q)Ó

Bk
=  ]?F

wk
.  (3.19)

Równania  (3.18)  lub  (3.19)  są  ostateczną  formą  matematycznego  zapisu  rozwią zania
problemu  drgań  wymuszonych  wał u korbowego  ze  ś migł em. Pozwalają  one n a  okreś lenie
charakterystyk  rezonansowych  ukł adu  czyli  zmiany  wielkoś ci  przemieszczeń  wę zł owych
w  funkcji  czę stoś ci  wymuszają cej

n

S(0)  =   ^ 4 ( < w ) .  (3.20)
A = l

Wykorzystując  zależ noś ci  (3.20),  moż na  okreś lić  zmiany  amplitud  i  przesunię cia
fazowe  dla  poszczególnych  przemieszczeń.  P rzykł adowo,  dla  przemieszczenia  „u"  w  do-
wolnym  wę ź le  „]"  ukł adu  otrzym an o:
dla  A>tej  harmonicznej

u
Jk
(t)  = Ą e '3 . «( «' + «V,  (3.21)

więc  amplitudę  okreś la  wyraż enie

A?j  =   ] / [ R e 7^ ) ] ' 2 + [ I m ( u J V) ]
2  (3.22)

a  przesunię cie  fazowe  zależ ność

<9?*  =   arctgtI m (M , t)/ R e(^)] +  <PKI  (3.23)
więc

(3- 24)
n

i  ostatecznie  w  wę ź le  „ / ' a m p lit u d a  wynosi

A'j  =   ^ I R e C fi ^ +   P i n ^ ) ] 2  (3.25)

oraz  przesunię cie  fazowe

0;  m  a r c t g f l m ^ / R e ^ ) ]  (3.26)

4.  Przykł adowe  wyniki  obliczeń

Przedstawione  zależ noś ci  wykorzystano  do  opracowania  algorytmu  i  program u  obli-
czeniowego  w  ję zyku  F OR TR AN   na  E M C  R- 32.  Opracowany  program  pozwalał   na
wyznaczenie  charakterystyk  rezonansowych  wał u  korbowego  z  jednym  wykorbieniem



Rys.  4

40

20h

80  120

Rys.  5

[153]

i  ]

-   Al3»107 t

A M O 5

"* ~~—"*"  ^v  /   /

I  i

1  1  I

Wę zeł  nr 3
n  = 26,66 Hz

r

r
1  !  1

13
/\

160  200



154 Z .  D Ż YG AD ŁO  i  inni

i  ś migł em,  lotniczego  silnika  tł okowego.  Ze  wzglę du  n a  ograniczoną   do  512  kb  pamię ć
E M C ,  ś migło  odwzorowano  w  postaci  sztywnego  elementu  skoń czonego,  uwzglę dniając
jednakże  jego  momenty  giroskopowe.  D la  przedstawionego  n a  rys.  4  wał u  korbowego
z dwoma tł umikam i Taylora  opartego n a trzech sprę ż ysto- tł umią cych podporach wykonano
obliczenia  amplitud  przemieszczeń  wę zł owych  w  funkcji  czę stoś ci  wymuszają cej  dla  usta-

iO

3 0 -

20

10

80 120

Rys.  6

ifcr 200



D RG AN IA  WAŁ U   KORBOWEGO  155

lonych  prę dkoś ci  obrotowych.  N a  przedstawionych,  przykł adowych  wynikach  obliczeń

dla  prę dkoś ci  obrotowej  Q  =   26,66  H z,  pokazan o  przebiegi  amplitud  ugięć  i  skrę cania

wał u  korbowego  w  wę ź le  n r  3  (rys.  5), wę ź le  nr  5  (rys.  6) i w  wę ź le  nr 7  (rys.  7). Z analizy

przedstawionych  wykresów  wynika,  że  w  rozpatrywanych  wę zł ach  wystę puje  tł umienie

drgań  skrę tnych  dla  czę stoś ci  odpowiadają cych  dostrojeniu  tł umików.  Jednocześ nie,

w  wyniku  sprzę ż eń  pomię dzy  zginaniem  i  skrę caniem  rozpatrywanego  ukł adu  wystę puje

czę ś ciowe  tł umienie  drgań  gię tnych,  wyraź niejsze  w  pł aszczyź nie  prostopadł ej  do  pł asz-

czyzny  wykorbienia  wał u.  Tł umienie to  również  wystę puje  dla  czę stoś ci  drgań  odpowia-

dają cej  dostrojeniu  tł um ików  Taylora.

Literatura

1.  Z. D Ż YG AD Ł O,  W.  SOBIERAJ,  Analiza gię tno- skrę tnych  drgań wł asnych  ł opat wirnika  noś nego  ś migł owca
za  pomocą elementów skoń czonych,  Biul.  WAT, XXVI,  11,  1977.

2.  J. C. H AU BOLT, G . W. BROOKS, Differential Equations of  Motion for  Combined Flapwise Bending,  Chord-
wise  Bending and  T orsion of  T wisted N onuniform  Rotor Blades,  N ACA  Report 1346,  1958.

3.  KRUSZEWSKI i in., Metoda sztywnych elementów skoń czonych, Warszawa  1975.
4.  W.  SOBIERAJ,  Dynamiczny  model  ł opaty  wirnika ś migł owca do  analizy  charakterystyk dynamicznych

z uwzglę dnieniem zróż nicowanych  warunków brzegowych,  Biul. WAT,  XXXII,  9, 1983.
5.  W.  SOBIERAJ,  Analiza numeryczna charakterystyk  dynamicznych  ł opaty  wirnika  noś nego  ś migł owca  dla

róż nych warunków  brzegowych,  Biul.  WAT, XXXIII,  10,  1984.
6.  J.  SZMELTER,  Metody  komputerowe w mechanice,  Warszawa 1980.
7.  O. C.  ZIEN KIEWICZ, Metoda  elementów  skoń czonych,  Warszawa 1972.

P  e 3  K>  M e

AH AJI H 3  BBIH Y> K£ EH H bIX  KOJIEEAH H H   K O JI E t M AT O rO  BAJIA  H 3
BO3,n,yiIIH BIM   BH H T O M   I I P H   ITOM OmH   M ETOflA  KOH E ^H BI X 3JI EM EH TOB

B  pa6oTe  npeflcraBJieH a  MeToAHKa  aH am o a  H 3ni6H o- Kpyrarn.H Bix  KoneSamnł   KOJieirqaToro  BaJia
n o pu m eBo ro  HBHraTejiH   ii3  Bo3flyinm>iM   BH H TOM .  JJaH aM imecKan  Moflejit  CHdeMfai  onpefleneH a
MeToflOM   KOHeiiHbix  3JieiweHT0B  npHMeHHa:  o^HOiwepHyio flH CKpeTH 3aijino c  HcnoJiraoBaHHeM   fle<j)opM H -
pyeMHX  ajieiMeHTOB  6anoi<  u  BajioB.

B  paccMaTpHBaeMoił   MOflejiH   yMTeHO  BJiHHinie  aeM n ^H poBarooi  B  on opax  H   aHTHBHSpaujroHHtie
ycrpoiicTBa.  Bo3flyiiiH bift  BH H T  paccMOTpeHo  KaK JKeciKHft  ajieMeirr  H  y^rreHo  e r o  riipocKoninecKH H
MOMCHT.

npeflCTaBjieH bi  npHMepHBie  peayjitTaTŁ i  p a c ^ e r o s  B BHfle  pe30HaHCHbrx  xapai<TepHCiHK  CHCTCMM.

S u m m a r y

TH E  F I N I TE  ELEM EN T  AN ALYSIS  OF   F ORCED   VIBRATION S
O F   A  CRAN KSH AF T  WITH   AN  AIRSCREW

In  the paper  a  method  is  presented  for  the analysis  of flexural- torsional  vibrations  of  a  crankshaft
of  aircraft  piston  engine  with  an  airscrew.

The  dynamic  model  of  the  system  is  determined  by means  of the finite  element  method  making use
of  the one- dimensional  discretization  and  the deformable  beam  and shaft  elements.

In  the model the damping  at the supports  and the vibration  eliminators are taken into account.
The  airscrew  is considered  as a rigid  element its gyroscopic  moment being  taken  into account.
Calculation  results  are  presented  in the form  of the resonance characteristics  of the  system.

Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  8  kwietnia 1986  roku.