Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf


M ECH AN IKA
TEORETCZNA
I  STOSOWANA

1/ 2,  25,  1987

SYN TEZ A  G R O WE G O  SYSTE M U   N AP ROWAD Z AN IA  SAM OLOTU
N A  SAM OLOT- C EL  W  P Ł ASZ C Z YŹ N IE  P O D Ł U Ż N EJ  M ETOD Ą

G I E R E LE M E N TAR N YC H

JERZY  G AŁAJ

JERZY  M ARYN IAK

Instytut  T echniki L otniczej
i  Mechaniki Stosowanej  PW

W  pracy  przedstawion o  suboptym aln e  rozwią zanie  problem u  sterowania  growcgo
w  procesie  n aprowadzan ia  sam olotu  n a  samolot- cel  przy  pomocy  metody  gier  elementar-
nych.  D la  przyję tego  modelu  systemu  growego  w  pł aszczyź nie podł uż nej podan o warunki
konieczne  istnienia  sterowań  optymalnych  dla  obu  samolotów  graczy.  Przeprowadzono
symulację   cyfrową   rozważ anego  procesu  growego  w  oparciu  o  zaproponowany  algorytm
suboptymalnego  rozwią zania  problem u  wykorzystują cego  dekompozycję   danej  gry  n a
gry  elementarne. U zyskan e wyniki  uzasadniają   celowość zastosowania wspomnianej metody
w przypadku  gier  poś cigowych  ze  wzglę du  na znaczne uproszczenie, w  porównaniu  z me-
todam i  klasycznymi,  rozwią zania  numerycznego  problem u  dwugranicznego.

1.  Wprowadzenie

Problemy  walki  powietrznej  w  kategoriach  sterowania  growego  rozważ ane  był y  m.in.
w  pracach  [2] i  [3]. Stanowią   one jedn e  z  nielicznych  opracowań  z  dziedziny  zastosowań
teorii gier  w technice lotniczej. Jednym z istotnych elementów walki  powietrznej jest proces
naprowadzania  sam olotu  n a  cel  w  sensie  zbliż enia  się   do  atakowanego  obiektu  latają cego
(najczę ś ciej  jest  nim  sam olot  przeciwnika)  na  odległ ość  skutecznego  raż enia.  Proces  ten
staje  się   coraz  bardziej  skomplikowany  ze  wzglę du  n a  zwię kszają cą   się   manewrowość
celów powietrznych i skuteczność odpierania przez nie ataków  strony przeciwnej. W  zwią zku
z  powyż szym  celowe  staje  się   cią głe  zwię kszanie  efektywnoś ci  poś cigu  za  celem  poprzez
zapewnienie  takiego  sterowania  ruchem  sam olotu  atakują cego,  aby  nie  tylko  zbliż yć  się
do  celu n a zał oż oną  odległ oś ć, ale również  dokon ać tego w minimalnym czasie.

W  niniejszej  pracy  autor propon uje  potraktować  proces  naprowadzania  w  kategoriach
sterowania  growego,  w  którym  jedną   ze  stron jest  samolot  atakują cy  (strona  A),  a  drugą
ze  stron  jest  samolot- cel  (stron a  B).  Takie  podejś cie  zastosowano  również  w  pracach
[1  rozdz.  8],  [2]  i  [3].  Ogólny  schemat  blokowy  takiego  systemu  growego  pokazan o  n a
rysunku  1.



216 J.  G AŁAJ,  J.  MARYN IAK

Rys.  1. Ogólny  schemat blokowy  systemu  growego  procesu  naprowadzania  samolotu na cel.  Objaś nienia
do  rysunku:  PU P — pokł adowe  ukł ady  pomiarowe;  RSP — radiolokacyjne  stacje  pokł adowe; R SN —
radiolokacyjne  stacje  naziemne;  U WP — ukł ad  wyliczania  pozycji  wzglę dnej;  UWSS — ukł ad  wyliczania

sygnał ów  sterują cych;  U F SS — ukł ad  formowania  sygnał ów  sterują cych

G ł ównym  celem  pracy  był o  okreś lenie  suboptym alnych  strategii  dla  obu  samolotów
graczy  przy  przyję tym  modelu  matematycznego  systemu  growego.  Aby  osią gnąć  wspo-
mniany  cel  przy  pomocy  maszyny  cyfrowej  zapropon owan o  metodę   gier  elementar-
nych,  która  pozwala  n a  znaczne  uproszczenie  procesu  obliczeniowego  w  stosunku  do
klasycznych  metod  optymalizacji  stosowanych  w  tego  typu  zagadnieniach.  Idea metody
opiera  się   n a  poniż ej  podanej  definicji  gry  elementarnej  i  zał oż eniu  o  suboptymalnoś ci
sterowań.
D efinicja:

G rą   elementarną   G* danej iV- osobowej  dynamicznej  gry  wieloetapowej  G  nazywamy  taką
grę ,  której  przebieg  i  czasokres  odpowiadają   A:- temu  etapowi  gry  G.
Z ał oż enie:

D la  każ dej  7V- osobowej  gry  poś cigowej  z  addytywnym  wskaź nikiem  jakoś ci  speł niony jest
nastę pują cy  warun ek:

K

2_j  m i n Ą —  min  / '  <  5,
J  1 ™k= l

I zie:
6 —  zał oż ona maksymalna wartość róż nicy mię dzy  sumą   suboptymalnych  wskaź ni-

ków  jakoś ci  dla poszczególnych gier elementarnych  a optymalnym wskaź nikiem
jakoś ci  dla  cał ej  gry,

Ą   —  wartość  wskaź nika  jakoś ci  / - tego  gracza  odpowiadają ca  &- tej  grze  elemen-
tarnej,

J'  —  wartość  wskaź nika  jakoś ci  j- tego  gracza  dla  cał ej  gry.



SYSTE Z A  N AP R OWAD Z AN I A  SAMOLOTU   217

W  pierwszej  czę ś ci  pracy  po dan o  zał oż enia  oraz  model  ruchu  podł uż nego  dwóch
samolotów  we  wzglę dnym  ukł adzie  odniesienia  zwią zanym  z  samolotem  atakują cym.
W  dalszej  czę ś ci  pracy  sform uł owano  problem  optymalizacji  dla  danego  modelu  gry
poś cigowej  i  w  oparciu  o  zasadę   maksimum  P on triagin a  podan o  zestaw  równań  okreś la-
ją cych  warunki  konieczne  istnienia  sterowań  optymalnych  dla  obu  samolotów- graczy.
W  nastę pnym  rodziale  cią gły  model  systemu  growego  przedstawiono  w postaci  dyskretnej
oraz  podan o  algorytm  suboptym alnego  rozwią zania  gry  poś cigowej  dla  danego  procesu
naprowadzania  oparty  n a  metodzie  gier  elementarnych.  Wyniki  badań  symulacyjnych
przedstawiono  w postaci przebiegów  funkcji  odległ oś ci mię dzy  samolotami oraz  trajektorii
poś cigowych  n a  pł aszczyź nie  (x,  z)  odpowiadają cych  róż nym  param etrom  modelu  gro-
wego.

N a  podstawie  otrzym anych  rezultatów  sformuł owano  szereg  wniosków,  które  uza-
sadniają   celowość  zastosowan ia  zaproponowanej  metody  w  tego  typu  zagadnieniach.

2.  Zał oż enia  i  model  systemu  growego

Rozważ my  proces  n aprowadzan ia  samolotu  n a samolot- cel  potraktowany jako  klasycz-
ny przykł ad gry  poś cigowej,  w której  celem m a być osią gnię cie  uprzednio zadanej odległ oś ci
mię dzy  sam olotam i  (n p.  prom ien ia  skutecznego  raż enia  R

z
).  Proces  sterowany  obejmuje

tutaj  zarówno  sterowanie  ruchem  samolotu  naprowadzanego  jak  i  samolotu- celu.  Aby
okreś lić  model  m atem atyczny  procesu  growego  przyję to  nastę pują ce  zał oż enia  wstę pne:

1.  Samoloty  potraktowan o  ja ko  ciał a  sztywne  poruszają ce  się   w  przestrzeni  inercjalnej.
2.  Ruch  samolotów  odbywa  się   tylko  w  pł aszczyź nie  podł uż nej.
3.  P rę dkoś ci obu sam olotów  przyję to  jako  stał e równe odpowiednio v

n
  dla samolotu napro-

wadzonego  i  v
c
  dla  samolotu- celu.

4.  P ominię to zmiany  ką ta  n atarcia  obu  sam olotów  (a  =   0).
5.  Sterowanie  ruchem  podł uż n ym  samolotów  realizowane  jest  tylko  za  poś rednictwem

' wychyleń  sterów  wysokoś ci.
6.  Oś  obrotu  sam olotu  jest  jego  gł ówną   osią   bezwł adnoś ci.
7.  W  ruchu  pochylają cym  uwzglę dniono  jedynie  m om enty  sterują ce  i  momenty  tł umią ce.
8.  M om en t  pochylają cy  pochodzą cy  od  sił   aerodynamicznych  n a  sterze  wysokoś ci  jest

proporcjonalny  do  wychylenia  powierzchni  sterowej,  przy  czym  współ czynnik  propor-
cjonalnoś ci  zachowuje  stał ą   wartość  podczas  procesu  growego  (współ czynniki  aerody-
namiczne  m om en tów  oraz  wł asnoś ci  geometryczne  i  masowe  samolotów  pozostają
niezmienne  podczas  gry).

R ównania  ruchu  podł uż n ego  samolotów  w  inercjalnym  ukł adzie  odniesienia  0xo>'o'o
zwią zanym  z  pewnym  wyróż nionym  pun ktem  n a  kuli  ziemskiej  mają   postać  (ze  wzglę du
na niewielki  obszar  dział ania nie uwzglę dniono  kulistoś ci  Z iem i):

sam olot  naprowadzany
stron a  A

samolot- cel
stron a  B

* "  " *  "  " •

0  =   k"cuc- k^& ( i)



218 J.  G AŁAJ,  J.  MARYNIAK

gdzie:
z„ —  współ rzę dne  poł oż enia ś .ć.  sam olotu  n aprowadzan ego  w  ukł adzie  O.v0>'or0,
z

c
  —współ rzę dne  ś .ć.  samolotu- celu  w  ukł adzie  0x

o
y

o
z

o

©c —  ką t  toru  lotu  odpowiednio  sam olotu  n aprowadzan ego  i  samolotu- celu,
k

s

c
 —  współ czynniki  efektywnoś ci  sterowania  odpowiedn io  sam olotu  naprowadza-

nego1^  samolotu- celu,
k

c
c —  współ czynniki  tł umienia  aerodynamicznego  odpowiedn io  sam olotu  napro-

wadzanego  i  samolotu- celu,
u

c
  —  wychylenia  sterów  wysokoś ci odpowiednio sam olotu n aprowadzan ego  i samo-

lotu- celu.

K - l
N - D

zo

Rys.  2.  Wzglę dny  ukł ad  współ rzę dnych  zwią zany  z  samolotem  naprowadzanym

W  celu  zredukowania  liczby  równ ań  w  modelu  (1)  wprowadzon o  wzglę dny  ukł ad
współ rzę dnych  Oxyz zwią zany  z  wektorem  prę dkoś ci  sam olotu  atakują cego  (patrz  rys.  2).
W  ukł adzie  przedstawionym  n a  rysunku  2  równ an ia  (1)  przyjmą   nastę pują cą   postać
(zał oż ono,  że  począ tkowe  wartoś ci  prę dkoś ci  ką towych  pochylan ia  obu  samolotów  są
równe  zeru,  a  wię c  &"

0
 =   6c

0
  =   0)

U
n
(t)dt +



SYN T E Z A  N AP R OWAD Z AN I A  SAMOLOTU   219

z(t)  =   - v
c

s i n ( 0
c

( t ) ~ [ !
b

( ) ]  (2)

B
c
(t)  =  *J /   u

c
(t)  dt -   k~  (9

c
(t)  -   0 5 ) .

o

M odel  (2) posiada  postać  równ ań  stanu,  dla  którego  wektor  stanu i wektor  sterowań
mają   post ać:

x  =  (x,  z,  0„,  Q
c
);  u =   (w„,  u

c
).  (3)

Celem  sterowania  growego jest  osią gnię cie  odległ oś ci mię dzy  samolotami równej  zada-
nemu  promieniowi  skutecznego  raż enia  R

z
,  czyli:

A~{x:  x*+z2ś R2
z
},

a  jego  brzeg  stanowi  okrą g  o prom ien iu R, i  ś rodku  zwią zanym  ze  ś .ć.  samolotu  napro-
wadzanego.
Jako  kryterium  jakoś ci  sterowan ia  growego  przyję to  minimalizację   czasu  potrzebnego
na  osią gnię cie  powierzchni  docelowej  dA, czyli

r  T

J
n
 =  m i n m a xj  dt;  J

c
 =  m a x m i n j  dt  (4)

".  uc  b  »«•  "« o

Jeż eli  proces growy  posiada  p u n kt siodł owy,  to wartość  gry  bę dzie  równa  wartoś ci  wskaź-
nika  jakoś ci  odpowiadają cej  optymalnym  strategiom  obu  samolotów- graczy  ti

n
  =

=   yn(x,  t)  i  u
c
 =  y

c
{x, t)

Ograniczenia  n a zm ien n e  sterują ce  wynikają   z  ograniczonych  wychyleń  powierzchni
sterowych  i  przy  zał oż eniu symetrii  ich  ruchów  mogą   być  zapisane w postaci:

I «J  <   »««„ ;  |we| <   ucmax,  (5)
gdzie:

u
nmax>

  u
cmax —  m aksym aln e  wychylenie  steru  wysokoś ci  odpowiednio  dla samo-

lotu  n aprowadzan ego  i  samolotu- celu

3.  Optymalizacja  procesu  growego

D la  sformuł owanego  w poprzedn im  rozdziale  problemu  optymalizacji  gry poś cigowej
funkcja  H am ilton ian u  bę dzie  m iał a  postać [4]:

v
e
ac&(O

c
{t)- 6

n
(t))~- z(t)(k

6

n
  J u„(t)dt+

o



220  •   J.  G AŁ AJ ,  J.  M AR YN I AK

o
t

Po  odpowiednim  przekształ ceniu  H am ilton ian u  (6)  otrzym an o:

t

H  -   Ą ( *

+k
d

cP4
(t)fu

c
(t)dt,  (7)

o
gdzie

H
P
(x,p)  — czę ść  H am ilton ian u  niezależ na  od  wektora  sterują cego  u

P  — (Pi>P2>P3>P*) — wektor  sprzę ż onych  zmiennych  stan u.
Z  zasady  maksimum  P ontriagina,  ograniczeń  (5)  oraz  postaci  H am ilton ian u  (7)

wynika,  że  n a  podstawie  tw.  2  [1, str.  349] sterowania  optym aln e  (jeż eli  istnieją )  bę dą
miał y  postać:

Un  =   KmaxSga(p
1
(t)z(t)- p

2
(t)x(t)- p

3
(t)),

Uc  -   "c »«sgn p 4 ( 0 -

Równania  sprzę ż one  i  warunki  brzegowe  dla  rozważ anego  problem u  growego  przyjmą
postać:  [4]

=
  Pi

(t)k°
n
J  u

n
(t)dt-

Pl
(t)[k?(0

n
(t)- 6»

o
)],

o

h(t)  =   ~v
c
[p

1
(t)ń n(0

c
(t)- 6„(t))+p

2
(t)cos(0

c
(t)- &n(.t))]  +

- Pi(t)z(t)k»+x(t)p
a
(t)kS+p

3
(t)k%,

hit)  =  v
c
[p

1
(t)sin(0

c
(t)- &,,(t))+p

2
(t)cos(0

c
(t)+  (9)

. * ( ^) , «„ ( !), «O(T)S d) =  o.
gdzie:

J —z m i e n n a  pomocnicza



SYN T E Z A  N AP R OWAD Z AN I A  SAMOLOTU 221

W  procesie  sterowania  growego  zał oż ono,  że  wszystkie  zmienne  stanu  są   mierzalne
(poś rednio  lub  bezpoś rednio)  bez  zakł óceń  oraz  sterowanie  przekaź nikowe  typu  (8) jest
realizowalne.

4.  Rozwią zanie  numeryczne  problemu  growego  metodą   gier  elementarnych

Cią gły  model  procesu  n aprowadzan ia  sam olotu  n a  samolot- cel w  pł aszczyź nie podł uż-
nej  (2),  (8),  (9)  sprowadzon o  do  postaci  dyskretnej  (dt - > At).  M odel  dyskretny  opisany
jest  nastę pują cymi  zależ noś ciam i:

=   x
k
_

1
+Atf

k

1
_

1
  ( • )

równ an ia  stan u

równ an ia  sprzę ż on e{pf, fc_ł   =  pl>k+Athk(- )  /  =   1,  ... 4

x(0)  =  x
0
  p

UK
  =  2dx

K

2(0)  =   z
0
  p

2iK
  =   2dz

K

warunki  brzegowe =  0

sterowania  o p t ym aln e'  Ą

gdzie:
I -

(10.1)

(10.2)

(10.3)

(10.4)

( = 1

1= 1

Z "3  ( ' . ">  —Jk- X\  J  — ul~l~Kn

(10.5)



222  J.  G AŁ AJ,  J.  MARYN IAK

At—  stał y  krok  dyskretyzacji  modelu  cią gł ego.
Z biór  zależ noś ci  (10)  sprowadza  się  do  znanego  problem u  dwugranicznego,  który

może być  rozwią zany  przy  pomocy jednej  z  klasycznych  m etod iteracyjnych  [4]  (metoda
najszybszego  spadku,  quasilinearyzacji  itp.)-   Wspom n ian e  metody  wymagają  jednak
bardzo duż ego n akł adu obliczeń i nie zawsze dają  pozytywne  rezultaty  (rozbież ność procesu
iteracyjnego,  niewł aś ciwy  dobór  warunków  startowych  procedury  itp.).

W  celu  znacznego  uproszczenia  rozwią zania  numerycznego  problem u  dwugranicznego
wystę pują cego  w  rozważ anej  klasie  problemów  growych,  zapropon owan o  m etodę  gier
elementarnych.  Z godnie  z  definicją  gry  elementarnej, podan ą  n a  począ tku  pracy,  proces
growy  traktujemy  jako  uporzą dkowany  ciąg  gier,  których  czas  trwan ia  każ dej  z  nich
odpowiada  pojedynczemu  krokowi  dyskretyzacji  At  lub jego  wielokrotnoś ci,  czyli  At

ge
  =

=   L At.  Czas  trwania  gry  T , przyję ty  jako  globalny  wskaź nik  jakoś ci  dla  rozważ anej  gry
poś cigowej,  poddan o  odpowiedniej  modyfikacji  przyjmując  w  propon owan ej  metodzie
równoważ ny  mu  wskaź nik  fc- tej  gry  elementarnej  J

k
  w  postaci:

h  ( * ( n »  =  l/ *? +  z*.  k = l , . . . K  (11)
Powyż szy  wskaź nik  reprezentuje  funkcję  kosztu  koń cowego,  która  okreś la  odległ ość
samolotu  naprowadzanego  od  samolotu- celu  w  koń cu  / c- tej  gry  elem entarnej.  Warunki
brzegowe  dla  &- tej  gry  elementarnej  przyjmą  post ać:

- v(Tfc- l)  =   xk- l>

- gr,
0c(T

k
- t)  =   ©Ui;  P

3
(T

k
)  -   p

Ą
(T

k
)  =   0 ,  (12)

gdzie:  k  -   1, . . .  K,  T
k
  =   kAt

ge>
  D

k
  =   ]/ x2+z2

P ozostał e  równania  modelu  growego  (10)  pozostają  bez  zm ian .  Poniż ej  podan o  opis
algorytmu,  który  posł uż ył  m.in.  do  wyznaczenia  sterowań  suboptym aln ych  i  odpowiada-
ją cych  im  trajektorii  poś cigowych  metodą  gier elem en tarn ych.
Opis  algorytmu  (dla  At

ge
  =   At):

1.  Podstawienie  k  — 1  oraz  it  =   1.
2.  Wczytanie  kroku  dyskretyzacji  At,  maksymalnego  czasu  trwan ia  gry  T

max
  oraz  sku-

tecznego  promienia  raż enia  R
z
.

3.  Wczytanie  począ tkowych  wartoś ci  zmiennych stan u x
k
_

t
  — x

o
,z

k
_

i
  =   z

0
,  <9£_t  = 0 5 ,

@
k
- i  =   &o  oraz zał oż onych wartoś ci  zmiennych sterują cych  ul  =  w"  i  ul  =  u{.

4.  Obliczenie  wartoś ci  zmiennych  stanu  x
k
,z

k
,©'

k

l  i  &
k
  na  koń cu  / c- tej  gry  elementarnej

(wg.  10.1).

5.  Obliczenie  aktualnego  czasu  trwania  procesu  growego  t  =   kAt
ge

6.  Sprawdzenie  czy  D
k
  -   y/ x

k
+z^   <  R

2
  lub  t  >  T

max
1  Jeż eli  t ak  to  skok  d o  pktu  11.

Jeż eli  nie  to  przejś cie  do  nastę pnego  etapu.
7.  Obliczenie  wektora  stanu  sprzę ż onego p

k
  na  koń cu  Jt- tej  gry  elementarnej  wg  (12).

8.  Obliczenie  wektora  stanu  sprzę ż onego  p
k
_

l
  n a  począ tku  &- tej  gry  elementarnej  wg.

(10.2).

9.  Obliczenie  suboptymalnych  sterowań  u\   i u%  zgodnie  z  (10.4)
10.  Sprawdzenie  czy  xii =   «*  i  «*  =   »k



SYN T E Z A  N AP R OWAD Z AN I A  SAMOLOTU 223

Jeż eli  nie  t o :
a)  u"

k
 =   ua

k
 i  uc

k
 = i i i

b )  it  •   it+l
c)  powrót  do  pktu  4.

Jeż eli  tak  t o :

a)  wydruk  wartoś ci  x
k
,z

k
,  Ol,  6

c

k

D
k
,  ul,  ul

b)  k  =   k+\ ,  it  =  1
c)  powrót  do  pktu  4.

11.  Zakoń czenie  eksperymentu  symulacyjnego.
Podczas  badań  symulacyjnych  przeanalizowano  proces  naprowadzania  growego  dla

róż nych  wartoś ci  stosun ku  prę dkoś ci  samolotów  /? =   v„/ v
c
(v„ =   300  m/ s)  począ tkowych

wartoś ci  wzglę dnego  ką ta  toru  0
O
  =   © g- ^ ć Kô  =   0)  oraz  czasów  trwania  gry  elemen-

tarnej  At
ge

Przyję to  nastę pują ce  warun ki  począ tkowe:

a)  dla  zmiennego  p  i  At
ge
:  x

0
  =   1200  m,  z

0
  =   - 1 00  m,  &%  =   - T I / 4,  6n

0
  =   0,

b)  dla  zmiennego  0
O
:  x

0
  =   1200  m,  r 0  =   100  m ,  0g  =   0.

We  wszystkich  przypadkach  przyję to  ten  sam  zbiór  celu  A  =   {x:x2+z2  ^  1000 m }  tę
samą   wartość  m aksym alnego  wychylenia  steru  wysokoś ci  u

nmax
  — u

cmax
  =   0.5  rd  oraz

tę   samą   zależ ność  n a  współ czynniki  efektywnoś ci  sterowania  i  tł umienia aerodynamiczne-
go wg  [5]. N a rysun kach  3 ^ 6  przedstawiono  wybrane  trajektorie poś cigowe  oraz  przebiegi
funkcji  odległ oś ci  mię dzy  sam olotam i  uzyskane  w  wyniku  eksperymentów  symulacyjnych.
Otrzymane wyniki pozwolił y n a sformuł owanie szeregu  wniosków,  z których  najważ niejsze
został y  wymienione  pon iż ej:
1.  Wnioski  dla  zmiennego  /3(/S =   1,2;  1,5;  2) ;

a)  trajektorie  poś cigowe  n a  pł aszczyź nie  (x, z)  charakteryzują   się   nieregularnymi
oscylacjami  wokół  osi x,  których czę stotliwość  i tł umienie maleją   wraz ze wzrostem  §,

b)  odchylenie  trajektorii  od  osi  x  nie przekracza  wartoś ci  \ Az\   =   6 m  po  czasie  /  rów-
n ym :  0,75  s  dla  /3 =   1,2;  0,8  s  dla  /S =   1,5  i  0,76  s  dla  0  =   2,

- 100

1200

D - '  0- 8  1.2  1.6  2.0  2.4 U '  3.2" 3.6

Rys.  3. Przebieg  funkcji  odległ oś ci  mię dzy  samolo-   Rys.  4.  Suboptymalne  trajektorie  poś cigowe  na
tami  D(t)  dla  róż nych  wartoś ci:  a)  § =  1,2;  pł aszczyź nie  (x, z) dla róż nych wartoś ci: a) /5  =  1,2;

b)  (t  =  1,5; c) p  ?=  2  b)  / ? = 1, 5 ;  c)/ ? =  2



224 J.  G AŁAJ,  J.  MARYN IAK

c)  czas  osią gnię cia  celu gry  Z m aleje  wraz  ze wzrostem  /? i  wynosi  odpowiedn io: 3,25  s
dla  /? =   1,2;  1,77  s  dla  /9 =   1,5  i  1,21  s  dla  /3 =   2,

d)  za wyją tkiem  począ tkowej  fazy  gry  odległ ość mię dzy sam olotam i zmienia się  w sposób

liniowy  a  szybkość  jej  zmian  jest  tym  wię ksza  im  wię ksza  jest  wartość  /S, i  tak:

bit)  =  50  m/ s  dla  /? =   1,2;  D(t)  =   100  m/ s  dla  0  -   1,5  i  D(t)  -   180  m/ s  dla

0- 2.

2.  Wnioski  dla  zmiennego  0 O I 0 O  =   —- r-j  0,  —

a)  czę stotliwość  oscylacji  trajektorii  poś cigowych  wokół   osi  x  zależy  od  wartoś ci  po-
czą tkowej  wzglę dnego  ką ta  toru i jest  tym wię ksza  im mniejsze  jest  jego  odchylenie
od  począ tkowej  wartoś ci  wzglę dnego  ką ta  poł oż en ia  celu  0%  gdzie  0%  —

=   a r c t g( - zo / xo ) ,
b)  czas  osią gnię cia  celu  T  jest  tym  wię kszy  im  mniejsze  jest  począ tkowe  odchylenie

A0
O
  =   0O—&l  wartoś ci  wzglę dnego  ką ta  toru  od  kierun ku  optymalnej  ucieczki

wyznaczonego  przez  ką t  0g,  i  t ak:  dla  A0
O
  =   2,439  (0

O
  -   3^/ 4)  T   =  0,52  s;  dla

A0
O
  -   0,702  ( 0 O  -   - n/ 4)  T   =   1,86  s  i  dla  A0O  =   0,083  (6>0  =   0)  T   =   2,05  s,

c)  odległ ość mię dzy  samolotami w  procesie  n aprowadzan ia  zmienia  się   w  przybliż eniu
w  sposób  liniowy  (najwię ksze  odchylenie  od  liniowoś ci  m a  miejsce  w  przypadku
0 O  =   3re/ 4), a  szybkość  tych zmian jest  zależ na  od  wartoś ci  A0O,  i  t a k:  dla  A0O  =

=   2,439  D(t)  =   400  m / s;  dla  - d0o  =   0,702  D(t)  =   120  m/ s  i  dla  A0O  =   0,083

D(t)  =   100  m/ s.
3.  Wnioski  dla zmiennego At

ge
(At

te
  =   0,01  s, 0,03  s, 0,06  s i  0,1  s) ;

a)  wraz  ze  wzrostem  dł ugoś ci  przedział u  gry  elementarnej  wzrasta  am plituda  niere-
gularnych  oscylacji  trajektorii  poś cigowych  wokół   osi  x,  co jest  równoznaczne ze

wzrostem  odchylenia  celu  od  linii  celowania  w  m om encie osią gnię cia  odległ oś ci  R
z
,

- 100

- 80

zt m l
1000 1040 1080 1120 1160  x[m]

Rys.  5.  Suboptymalne  trajektorie  poś cigowe  na
pł aszczyź nie  (x,z)  dla  róż nych  wartoś ci  6

0
:

a)  0 O  =   - n/ 4  b)  ©o =  0 c) 0O  =

1000 1040  1080  1120  1160

Rys.  6,  Suboptymalne  trajektorie  poś cigowe  na
pł aszczyź nie  (x, z)  róż nych  wartoś ci  At

ae
'-

a) At,.  =   0,01  s;  b) At
a
* =  0,03 s;  c) At

le
  =  0,06s



SYN T E Z A  N AP R OWAD Z AN I A  SAMOLOTU   235

b)  jednoznaczne  zwię kszenie  At
ge
  w  procesie  sterowan ia  obu  stron,, pom aga" samolo-

towi  atakują cemu  w  szybszym  osią gnię ciu  skutecznego  promienia  raż enia kosztem
naprowadzania  celu  na  linię   celowania,  i  t a k:  dla  At

ge
  — 0,01  s  T  —  1,77  s;  dla

At
ge
  =   0,03  s  T =   1,73  s;  dla At

ge
  =   0,06  s T =   1,7  s  i  dla At

ge
  =   0 , l s T =   1,69  s,

c)  przy  wzroś cie  At
ą c

  wzrasta  szybkość  wzajemnego  zbliż ania  się   obu  samolotów
w  pierwszej  fazie  gry  (0  <  /  <  0,6  s),  po  czym  jest  on a  w  przybliż eniu  jednakowa
(równa  okoł o  100  m/ s  dla  rozważ anego  przypadku)  dla  wszystkich  analizowanych
wartoś ci  At

ge
.

5.  U wagi  i  wnioski  koń cowe

N a  podstawie  przeprowadzonych  badań  symulacyjnych  procesu  naprowadzania  przy
wykorzystaniu  m etody  gier  elementarnych m oż na  stwierdzić,  ż e:
1.  Suboptymalne  trajektorie  poś cigowe  n a  pł aszczyź nie  (x,  z)  charakteryzują   się   nieregu-

larnymi  tł umionym i  oscylacjami  wokół   osi  x,  których  okres,  amplituda  i  tł umienie
zależą   m.in.  o d :
a)  stosunku  prę dkoś ci  obu  samolotów  /?,
b)  wartoś ci  począ tkowej  wzglę dnego  ką ta  toru  0

O
,

c)  wartoś ci  począ tkowej  róż nicy  A0
O
  mię dzy  ką tem  6

0
  a  ką tem  0%  okreś lają cym

poł oż enie  samolotu- celu  wzglę dem  sam olotu  atakują cego,
d)  dł ugoś ci  przedział u  gry  elementarnej.

2.  Odległ ość  mię dzy  sam olotam i  we  wszystkich  rozważ anych  przypadkach  zmienia  się
w  czasie  w  przybliż eniu  w  sposób  liniowy,  przy  czym  szybkość jej  zmian jest zależ na od
stosunku  prę dkoś ci  /? i  wartoś ci  począ tkowej  wzglę dnego  ką ta  toru  0

O
.

3.  Stosunek  prę dkoś ci  sam olotów  (i i  wzglę dny  ką t  toru  0
O
  mają   istotny  wpł yw  n a  czas

trwania  procesu  growego  T .
4.  Przeł ą czanie  suboptym alnych  funkcji  sterują cych  zachodzi  w  nastę pują cych  momen-

tach :
a)  w  przypadku  sterowan ia  u„  (samolot  naprowadzany)  podczas  przejś cia  trajektorii

poś cigowej  przez  oś  x,
b)  w przypadku  sterowania  u

c
  podczas  przejś cia  funkcji  A0(t)  (odchylenie  wzglę dnego

ką ta  toru  0{t)  od  kierun ku  optymalnej  ucieczki  @z(t))  przez zero.
U zyskane  wyniki  ś wiadczą   o  prawidł owych  tendencjach  wystę pują cych  w  tego  typu

procesach  growych  (m .in.  odpowiedni  dobór  m om entów  przeł ą czania funkcji  sterują cych
obu  graczy).  Wskazują   one  n a  przydatn ość  metody  gier  elementarnych, która  prowadzi
do  znacznego  uproszczenia  rozwią zania  numerycznego.

Z e wzglę du  n a przyję te  wcześ niej  zał oż enia, w pracy  zastosowano  podejś cie teoretyczne,
które w nastę pnych pracach z tego  cyklu  powinno być odpowiednio zmodyfikowane  w celu
zbliż enia  rozwią zania  problem u  do  warunków  jakie  wystę pują   w  rzeczywistym  procesie.
Chodzi  tu  m.in.  o  brak  moż liwoś ci  praktycznej  realizacji  suboptymalnych  sterowań  typu
przekaź nikowego  ze  wzglę du  n a  dynamikę   sterowych  serwomechanizmów  wykonawczych.
P on adto  ruch  sam olotów  w  procesie  n aprowadzan ia  odbywa  się   w  przestrzeni  trójwymia-
rowej  ze  zmienną   prę dkoś cią,  a  n a  dynamikę   tego  ruchu  ma  wpł yw  również  ką t  n atarcia.

15  M ech.  Teoret.  i  Stos.  1—2/ 87



226  J.  G AŁAJ,  J.  MARYMAK

Z  powyż szych  wzglę dów  najbliż sze  zamierzenia  autora  dotyczą ce  problemów  rozważ a-

nych  w  niniejszej  pracy  bę dą   polegał y  n a :

a)  uwzglę dnieniu  dynamiki  serwomechanizmów  wykonawczych,

b)  uwzglę dnieniu  ruchu  przestrzennego  samolotów  w  procesie  growym,

c)  uwzglę dnieniu  zmian  prę dkoś ci  samolotów,

d)  uwzglę dnieniu  zmian  w  dynamice  obu  samolotów,

e)  uwzglę dnieniu  niedokł adnoś ci w  okreś leniu  pozycji  wzglę dnej  przez  oba  samoloty.

Literatura

1.  T. BASAR, G . J.  OLSDER,  N oncooperative  game theory,  Academic  Press, 1982.
2.  G . J.  OLSDER,  J. V.  BREAKWELL,  :  Role  determination  in an aerial dogfight, International  Journal of

G ame  Tehory,  3, 47—66,  1974.
3.  W. Y.  PEN G , T. L. VIN CEN T, Some aspects of  aerial combat,  A1AA Journal vol. 13, N o . 1 January 1975.
4.  D . E.  KI R K, Optimal Control  T heory.  An Introduction, Prentice H all,  1970.
5.  R. VOG T,  G .  SZCZEPAŃ SKI, J.  G AJD A,  Sprawozdanie  z  pracy  zleconej  wykonywanej na zlecenie  W AT ,

1983.

P  e 3  IO  M  e

C H H T E 3  H TPOBOfł   C H C T E M bl  HABEJHEHHH   CAM OJIETA  H A C AM OJlfiT- U EJIt
B  nP OflOJILH Ofł   riJIOC KOC TH   M E TOD OM   3JI E M E H TAP H BI X  HIT?

B  paSoTe  npeflCTaBJieHo  penieH ue  npoQjieMM   H rpoBoro  yn paBJiein ra  B npon,ecce  H aBefleinm  caiyso-
jie'Ta Ha caMonćT -  iieitb  B npoflojiBiioH   nnocKOCTH  MeTofloM   DJieMeHTapHbix  n r p . Ę na npnH H Toń
H rpoBoii  CHcreMti  yqirrfaiBaiomeH   TOJIBKO  npoflOJiLiioe  H BH wemie  caMOJieTOB  BtiBefleno
ycjioBHH   cymecTBoBaHHH   onTHManBHoro  ynpaBJieH H H .  IIpoBerteH o  H H dpposyio  CH MVJIH U H IO  iirpoBoft
CHCTeMW Ha ocuoBe  npe# no>KeH H oro  anropH TMa H cnoJii>3yiomero fleKoM no3uqH K) flaH H oii n r p b i  Ha 3Jic-
MeHTapm>ie  n r p w.  TIoJiyieH H Me  pe3yjiBTaiiii  oSocHOBbiBaioT  uejiecoo6pa3H ocTb
KOTopbifi  3H amrrejibH o  yn pam aeT  n rpoByio  npo6jieM y  n o cpaBHeHHio c  KJiaccHHecKHMH

S u m m a r y

SUBOPTIMAL  SOLU TION  O F  F IG H TER  IN TERCEPTION   CON TROL
PROCESS  U SIN G   ELEM EN TARY  G AM ES M ETH OD

In  the paper a method of solution  of fighter  interception  problem  considered  as game  control  system
was  presented.  F or a given  two- dimensional  continuous  model  of  aircraft  longitudinal  motion  the neces-
sary  conditions for  the existence  of optimal  controls  were  determined. The game  problem  was solved nu-
merically  by the use of elementary  games  method. Based  on results  of digital  simulation,  the influence of
different  parameters  on  characteristics  of  game  process  was  analyzed.  G eneral  conclusions  is  that the
applied  method is useful  for a solution  of game  control systems  considered  here.

Praca wpł ynę ł a  do Redakcji  dnia 6  lutego 1986  roku.