Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZ N A 1  STOSOWAN A 1/2,  25,  1987 MINIMALNO- CZASOWY  PROGRAM  STEROWANIA  LOTEM ZE  ZMIENNĄ   PRĘ DKOŚ CIĄ STAN ISŁAW  D U BI E L WITOLD   PŁECH A W ojskowa  Akademia  T echniczna Streszczenie P rzedstawiono  podstawy  wyznaczania  ograniczeń  przy  minimalno- czasowym  progra- mie wprowadzania  rakiety  w pole  sterowania  przy  zmiennej  prę dkoś ci  lotu.  Skupiono  się przede  wszystkim  n a  ograniczeniu  wielkoś ci  sterowania  (ką ta  wychylenia  steru) i ograni- czeniu  przecią ż eń  dopuszczalnych. Wprowadzenie Ruch  rakiet  sterowanych  skł ada  się   najczę ś ciej  z  kilku  charakterystycznych  faz.  Za- zwyczaj  wymienia  się   i  rozpatruje  trzy  fazy  (rys. 1): —  ruch  nieswobodny  po  prowadnicach  wyrzutni  (lub  nosiciela), —  lot  swobodny  niesterowany  lub  sterowany  program owo, —  lot  sterowany  autom atyczn ie. Z achodzi wię c dwukrotn a zm iana  charakteru ruchu i to w stosunkowo  krótkim  czasie. O  powodzeniu  realizacji  zadan ia  (przechwycenie  celu  przez  rakietę )  decyduje  nie  tylko wł aś ciwy  dobór ukł adu  sterowania dla fazy  trzeciej, ale w  równej  mierze faza  druga, a wię c przejś cie  rakiety  od wyrzutni  do  pola  sterowania.  M oż liwe  tu  są   co najmniej  dwa  sposoby wprowadzenia  rakiety  w  pole  sterowania.  Pierwszy,  to  „ wejś cie"  rakiety  w wią zkę  metodą „ wstrzeliwania",  drugi  t o „ wprowadzen ie"  rakiety  w  pole  sterowania  lotem  programo- wym. M etoda  „ wstrzeliwan ia"  wymaga  sprzę ż enia  wyrzutni  z  ruchem  wią zki  sterują cej, a  wię c dość rozbudowan ego  ukł adu  automatycznego  sterowania  wyrzutnią ,  którego  cię ż ar znacznie  przewyż sza  cię ż ar  samej  wyrzutni.  P on adto  sprzę ż enia  ruchu wyrzutni  ogranicza się   najczę ś ciej  do  ruch ów  obrotowych,  ponieważ  zm iana  poł oż enia  wyrzutni  wzglę dem bieguna  wią zki  jest  technicznie  nie  do  zrealizowania. Trudnoś ci  rozwią zania  technicznego  dla metody  „ wstrzeliwania"  odpadają ,  jeż eli drugą   fazę   zastą pić  program owym  „ wprowadzen iem "  rakiety  w pole sterowania.  Korzyś ci 16  M ech,  Teoret.  i  Stos.  1—2/ 87 242  S.  D U BH L,  W.  PLUCHA I .O .C . PN Rys.  1,  F azy  lotu  rakiet  sterowanych takiego  rozwią zania  są   dość  oczywiste,  wyrzutnia  jest  n ieruch om a,  m a  bardzo  prostą , a wię c i bardzo lekką   konstrukcję   i może być umieszczona w dowoln ym  miejscu  w  stosunku do bieguna  wią zki.  Zalety  bardzo  cenne dla  zestawów  przenoś nych, zwię kszają cych  znacz- nie  bezpieczeń stwo  obsł ugi. M etoda  programowego  wprowadzenia  rakiety  w  pole  sterowania  pocią ga  za  sobą wydł uż enie czasu  trwania  drugiej  fazy  lotu,  należy  wię c dą ż yć  d o  skrócenia  tego  czasu do moż liwie  najmniejszych  granic. M oż liwość  taką   daje  minimalno- czasowy  program  sterowania,  który  może  być  wy- znaczony  zasadą   „ m aksim um " P otriagin a lub  n a  podstawie  analizy  wektorowej. 1.  Sformułowanie  problemu  i  wyjś ciowe  równania  ruchu Przy  wyznaczaniu  równań  ruchu rakiety  zał oż on o,  że  ukł ad  równ ań  w przestrzeni  daje się   rozdzielić n a  dwie  niezależ ne grupy  opisują ce  ruch rakiety  w  dwóch  wzajemnie  prosto- padł ych  pł aszczyznach  oraz,  że  rakieta  podczas  lotu  n ie  wykonuje  ruchu  obrotowego wzglę dem  swojej  osi.  Tak  wię c,  opracowanie  program u  ogran iczon o  do  ruchu  pł askiego w  pł aszczyź nie  poziomej  dla  sytuacji  począ tkowej  pokazan ej  n a  rys.  2. Z apotrzebowanie n a takie uję cie  wypł ywa  z  dynam iki  rakiet  ppan c  i jest  przeznaczone przede wszystkim  dla  zestawów  tego  typu  rakiet.  N ie  należy  tego  traktować ja ko  ograni- czenia  sztywnego,  ponieważ  wyniki  m oż na  wykorzystać  i  dla  innych  zestawów. U kł ad  równań  opisują cy  ruch  rakiety,  dla  której  bę dzie  poszukiwany  optymalny program  wprowadzania  jest  nastę pują cy: P R OG R AM   STEROWAN IA  LOTEM 243 tor t ,1, if programowy r l(l TC z ( (ml / ) l.o.c. / / z[ m ! Rys.  2.  Poł oż enie wyrzutni  niezależ ne  od  lini  obserwacji  celu  (l.o.c.) dV  I  . nr 0 ) W ~dt   =   V c o s W ;  ~~dJ  =   VsiaF'> dm gd zie: F —p rę d ko s'6  lotu  rakiety f$ —  kąt  ś lizgu  rakiety  (kąt  mię dzy  osią  rakiety  a  kierunkiem lotu) V —  kąt  odchylenia  wektora  prę dkoś ci  rakiety  od  osi  x d —  kąt  wychylenia  steru  kierunku m —  m asa  rakiety z,x  —  współ rzę dne  poł oż enia  ś rodka  masy  rakiety X =   - '- £.  współ czynnik  obcią ż enia  rakiet mr I y   —  m om en t  bezwł adnoś ci  rakiety C X ,C Z   —  współ czynniki  aerodynamiczne  odpowiednich  sił T n T   =   —  —  przecią ż enie  styczne  od  zespoł u  napę dowego. Przy  czym  n a  kąt  wychylenia  steru  nakł ada  się  ograniczenie (1 . 2) U kł ad  (1.1)  m oż na  zapisać  w  postaci  ogólnej  ja ko : / i f o  ... x n ,  W!  ...  u r )  • » Xi  «  A- Bx\ ...  X n ,  Mi ...  U r )  =   X 2   =   ł  —  +  0 ^ 1  Wi . . .  X n ,  Ut  . . .  «r )  =   X3  = '  Xi  •   COSX2 (1.3) 16* 244 S.  D U BIEL,  W.  PŁECHA gdzie: / 4 ( x t  ... x„, ux  ... ur) =  x 4  = fs(x 1   ... x 4 , «!  ... ur) =  x s  = f(,{X\   ...  XĄ .,U- I  ...  U r )  =   X 6   — A  = n T - g;  5  =   y C , 5 ; (1.3) [cd] xx  ...x„  — przedstawia  pun kt  przestrzeni  stanów  (stan  rakiety) «!  ... wr —  przedstawia  wielkoś ci  sterują ce  (sterowanie). Tak  opisaną   rakietę   należy  przeprowadzić  od rozmaitoś ci  brzegowej: x l(t 0 )  = X 2 (t 0 )  = X 3 (t 0 )  = X 5 (t 0 )  m Vo m0 (1.4) do  rozmaitoś ci  brzegowej: =   T k   =   6> = 0 (1.5) Rozwią zania  ukł adu  (1.1)  m oż na  dokon ać przechodzą c n a m asę  ja ko  zmienną   niezależ ną T  .+   < *• ''*.  V* m 2fim fi- m- V =   —- • c o s 'F gdzie: dV dm dW dm dz dm dx dm dm ~dT J —c ią g  silnika, •S — powierzchnia  odniesienia  sił  aerodynamicznych, 0.6) —  wzglę dna  gę stość  powietrza. P R OG R AM   STEROWAN IA  LOTEM 245 Rozwią zania  otrzymujemy  w  postaci m tn 0 z = gdzie: G  = • ;  H  =   m o e  " (1.8) R=  —iL [ e "( ) / _ 2) ) _ e D "  (K 0- D )J Po  podniesieniu  do  kwadratu  i  dodan iu  stron am i  dwóch  ostatnich  równań  ukł adu (1.7) otrzymujemy  równ an ie  opisują ce  ruch  rakiety (z- ztf+ix- Xo) 3   -   R 2  (1.9) Analizują c  wyraż enie  n a prom ień R widzimy,  że dla rakiety  o stał ej prę dkoś ci toram i bę dą okrę gi,  n atom iast  dla zmiennej  prę dkoś ci  torem  bę dzie  konchoida  (rys.  3). Wł aś ciwe rozwią zanie  problem u programowego  wprowadzenia  daje kombinacja  dwóch, a  w  przypadku  gdy  wystę puje  również  potrzeba  ustawienia  sterów  w  poł oż enie zerowe (<5 =  0),  trzech rozwią zań  (rys. 4.). X v — y  ° Im] 7  - \ ztm) zlm l Rys.  3. Tory  lotu  z  dopuszczalnym  sterowaniem;  Rys. 4. Tory  wprowadzenia  rakiety  na linię   obser- okrą g  dla stał ej  prę dkoś ci;  konchoida dla rosną cej  wacji celu prę dkoś ci 2.  Wyznaczenie  ograniczeń M anewrowość  rakiety  ograniczają   zazwyczaj  maksymalny  ką t  wychylenia  sterów  lub dopuszczalne  przecią ż enia  (przyspieszenia  jednostkowe),  których  wartość  maksymalna odpowiada  dopuszczalnym  ze  wzglę dów  wytrzymał oś ciowych  obcią ż eniom. 246 S.  D uurEL,  W.  P Ł E C H A Optymalny ze wzglę du  na minimum czasu  program wprowadzenia  rakiety  w pole stero- wania  moż na wyznaczyć  dla  peł nego ukł adu równań ruchu  (1.1). P rogram sterowania  dla tego  ukł adu bę dzie  jakoś ciowo  podobn y  do  program u, jaki  moż na  wyznaczyć  dla  upro- szczonego  ukł adu równań  z pominię ciem wahań  dookoł a osi y,  czyli jeś li  przyją ć ffl„ = w , = Jest t o równoznaczne z szybkim  wygaszaniem  procesu  przejś ciowego,  wywoł anego  zmianą poł oż enia  równowagi  momentów. D la  tego  rodzaju  zał oż eń uzyskamy  relację   mię dzy  ką tem  ś lizgu,  a  ką tem  wychylenia steru  dla  ukł adu  „ kaczka"  w  postaci P  =  - %• *  (2- D Ką t  ś lizgu  /?, któremu  odpowiada  poł oż enie równowagi  momentów  dla  odpowiedniego wychylenia  sterów  traktujemy  w  dalszym  cią gu  jako  sterowanie  w,  którego  maksymalne wartoś ci  moż na wyznaczyć  dla  dopuszczalnych  przecią ż eń  n d . 2g (2.2) Przeprowadzone obliczenia przedstawiono n a wykresach  (rysunki 5, 6, 7). I tak, n a  rysunku 5 widzimy, jak  dla zał oż onego sterowania zmieniają   się  przecią ż enia dopuszczalne w  funkcji prę dkoś ci,  przy  czym  pun ktam i  zaznaczono  prę dkoś ci  dopuszczalne  dla  przecią ż eń  3, 6, 9,  15. n 15 n d = 12 • 10 70 I \\\\V 1 160 V d = 2 9 0 ^ ^ \   Y \ Vvd= 225 I  I 2 5 0  3M3  VI M / s Rys.  5.  Zmiana  przecią ż enia  w  funkcji  prę dkoś ci  lotu PROG KAM   STEROWANIA  LOTEM 247 Na  rysunku  6  przedstawion o  zm ian ę   n  w  funkcji  prę dkoś ci  dla  kilku  wybranych  ką tów wychylenia  sterów  —  9°,  13°,  17°,  n a  wykresie  7  n atom iast pokazan o jak  zmienia  się  do- puszczalne  sterowan ia  w  funkcji  prę dkoś ci,  dla  zał oż onych róż nych  przecią ż eń. 160 250 340 V[M/ s] 160 ~ 250" V[ M / s] Rys.  6.  Zmiana  przecią ż eń  normalnych  w  funkcji  Rys. 7. Zakresy  prę dkoś ci  sterowania:  dopuszczal- prę dkoś ci lotu dla róż nych  dopuszczalnych  wychy-   nym wychyleniem  steru,  Ut,  dopuszczalnym  prze- leó  sterów  cią ż eniem n t   =  3, 6, 9,15 .  3.  Wnioski Przedstawiony  minimalno- czasowy  program  sterowania  lotem  oraz  konsekwencje wypł ywają ce  z  istnieją cych  ograniczeń  dotyczy  rakiet  o  zmiennej  prę dkoś ci.  N iewą tpliwie, wię kszej  rangi  n abiera  program  wprowadzenia  w  pole  sterowania  (obserwacji)  rakiet o  wię kszych  wym iarach,  ja ko  że  dla  tego  typu  rakiet  czę ś ciej  wystę puje  rozdzielenie  wy- rzutni  i  pun ktu  n aprowadzan ia,  jak  również  wię ksze  prę dkoś ci  rakiety  i  celu,  a  co  się z tym  wią ż e,  wię ksze  zakresy  prę dkoś ci  ką towej  linii  obserwacji. Zwię kszenie  sterowan ia  rakiety  zwię ksza  jej  manewrowoś ć,  która  wspólnie  z  duż ymi prę dkoś ciami  ką towymi  linii  obserwacji  powoduje  wystę powanie  duż ych  przecią ż eń. Przy  czym,  wielkość  sterowan ia  nie  wpł ywa  zasadniczo  n a  promień  krzywizny  toru  lotu rakiety,  a  tylko  n a  p u n kt  przeł ą czania program u,  a  tym  samym  n a  poł oż enie  toru  lotu. Jest  wię c  ś ciś le  zwią zana  z  optymalizacją   minimalno- czasową   program u. Zmianę   przecią ż eń  dopuszczalnych  w  wyniku  narastają cej  prę dkoś ci  przedstawiają rysunki. Im wię ksze sterowanie, tym wcześ niej  wchodzi  się  w  zakres prę dkoś ci, dla których gwał townie  rosną   przecią ż enia. 248  S.  D U D I E L,  W.  P Ł E C H A N ależy  również  zaznaczyć, co widać  n a  rys.  7, że  m ał a  wielkość  sterowania  nie zawsze gwarantuje  zachowanie dopuszczalnych  przecią ż eń w  cał ym zakresie  prę dkoś ci. W  zwią zku z tym  należ ał oby się   zastanowić  n ad programową   zmianą   sterowan ia,  kt ó ra  by  w  zakresie wię kszych  prę dkoś ci  ograniczał a  wystę powanie  przecią ż eń  wię kszych  od  dopuszczalnych. Problemy  te, mimo  istnieją cych  rozwią zań  praktycznych  nie  doczekał y  się  dokł adnych opracowań  teoretycznych. Literatura 1.  S.  D U BI E L,  W.  P ŁECH A,  Analiza  geometryczna  toru  lotu  w programowym  prowadzeniu  rakiety  w pole sterowania  wią zką , Biul.  WAT  7/ 85. 2.  S. D U BI E L,  W.  PŁECH A, K . SU KRD YK, Optymalny program  wprowadzenia  rakiety  w pole  sterowania wią zką wyznaczony  zasadą   max Pontriagina,  Biul.  WAT 11/ 82. P  e 3 io  M e MH H H MAJIBH O- BPEMEH H Afl  ITPOrPAM M A  yiTP ABJIEH H fl  I 1OJI ETOM   I I P H n E P E M E H H O fł   C KOP OC TH Pa6oTa  npeflcraBJiaeT  MeTo#   onpeflcjieHHH   orrrHMajiHiofi  nporpaMMM   fljwi  MHHHiwyMH   BpeMerora paKeTM   B  oSjiacTB ynpaBJienroi.  P ein em re  npH BefleH o  jyw. flByx poflOB flonycTH M tix ycn oBim : yroji  OTKJIOHCHHH  pyjifi,  2 flonycTH M aa HopMajibHan  n eperpy3K a. S u m m a r y MIN IMU M- TIME  PROG RAM   F OR CON TROL  F LI G H T  WITH   VARIABLE  VELOCITY In  the paper a method is presented  for the determination of the optimal  minimal- time  control  program to  introduce  a  rocket  into  the control  field. The  solution  is given in the case of two  limiting  conditions: 1)  admissible  angle  of  control  vane; 2)  admissible  normal  forces  in t h e  flight. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  19 marca  1986  roku.