Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf
M ECH AN IKA
TEORETYCZNA
1 STOSOWANA
1/ 2, 25, 1987
PROBLEM STABILIZACJI S AMOLOTU Z ZASTOSOWANIEM
IDENTYFIKACJI PARAMETRYCZNEJ
WŁADYSŁAW JAROM IN EK
Polska Akademia N auk. W arszawa
TAD EU SZ STEFAŃ SKI
Politechnika Ś wię tokrzyska, Kielce
1. Wprowadzenie
Samolot jest obiektem sterowania, którego wł aś ciwoś ci statyczne i dynamiczne zmie-
niają się wraz ze zmianą warun ków lotu, n p. prę dkoś ci czy wysokoś ci lotu. Z m iana tych
wł aś ciwoś ci powoduje znaczne odchylenie wskaź ników jakoś ci ukł adu stabilizacji od
wartoś ci zał oż onych. P rzyczynia się to do zł ej sterowalnoś ci lub nawet także do utraty
stabilnoś ci sam olotu. Szczególnie niebezpieczne są duże zmiany charakterystyk statycz-
nych, które mogą prowadzić d o przekroczenia wartoś ci granicznej przyś pieszenia normal-
nego. Aby zmiany wł aś ciwoś ci samolotu nie wpł ywał y n a charakterystyki ukł adu stero-
wania samolotem, należy je uwzglę dnić podczas projektowania tego ukł adu. Sprowadza
się to w konsekwencji do zastosowania sterowania adaptacyjnego. O sposobie kompensacji
wpł ywu wł aś ciwoś ci obiektu n a charakterystyki ukł adu sterowania w gł ównej mierze
decydują wymagania stawiane ukł adowi sterowania oraz sposób otrzymywania informacji
o zmianach param etrów obiektu, tj. m etoda identyfikacji parametrów jego modelu mate-
matycznego. Obecnie dla wię kszoś ci obiektów niestacjonarnych stosowane są metody
syntezy ukł adów sterowan ia oparte n a identyfikacji parametrycznej, dokonywanej w czasie
rzeczywistym. Z wią zane jest t o z wyż szą jakoś cią i elastycznoś cią pracy takich ukł adów,
a także z coraz wię kszym zastosowaniem m ikrokom puterów, które mogą rozwią zywać
zł oż one zadania identyfikacji i sterowania.
Poniż ej przedstawion o zasady syntezy algorytmów sterowania i adaptacji ukł adu
stabilizacji sam olotu w kan ale podł uż nym. Algorytmy adaptacji bazują na informacjach
0 param etrach m odelu matematycznego sam olotu uzyskanych drogą identyfikacji para-
metrycznej w czasie rzeczywistym. P ostę powanie takie jest moż liwe przy zał oż eniu, że
w czasie trwania procesu przejś ciowego identyfikacji i adaptacji wł aś ciwoś ci statyczne
1 dynamiczne sam olotu n ie ulegają istotnym zm ian om .
250 W. JAR OM I N E K, T . STEF AŃ SKI
2. Identyfikacja modelu matematycznego samolotu
D yskretny model matematyczny samolotu w kanale podł uż n ym przyję to w postaci [3]:
x{k+l) = A(k)x(k) + B(k)d(k) + w(k), x(k) = [4{k), a(k)f,
z(k) - Hx(k)+v(k), W
gdzie: x(k), w(k), z(k) i v(k) — odpowiednio wektor stan u, zakł óceń, pom iarów i szumów
pom iarowych; ó(k) — sygnał sterują cy; A(k), B(k) i H—odpowiednio macierz stanu,
sterowania i wyjś cia.
W przypadku sł abej niestacjonarnoś ci modelu (1), n a odcin ku czasu AT m& dł uż szym niż
czas procesu przejś ciowego identyfikacji, moż na zaniedbać zmiennoś ci w czasie elementów
macierzy A{k) oraz B{k) i wówczas:
i( fc + l) - Ax(k)+Bó(k) + w(k),
z(k) = Hx(k)+v(k). ( 2 )
D o identyfikacji param etrów modelu matematycznego (2) n a podstawie pomiaru
sygnał u wejś ciowego d(k) i sygnał ów wyjś ciowych z(k) zastosowan o m etodę najmniejszych
kwadratów. Alogrytmy identyfikacji, otrzym ane wedł ug m etody najmniejszych kwadra-
tów, cechują się postacią rekurencyjną — a wię c wygodną do obliczeń numerycznych —
a także wysoką zbież noś cią i dokł adnoś cią identyfikacji.
Identyfikacja param etrów modelu matematycznego sam olotu moż liwa jest poprzez
pomiar sygnał u wejś ciowego d(k) (wychylenia steru) o raz:
— jednej współ rzę dnej wektora stan u x(k) (prę dkoś ci ką towej pochylenia # (&)),
— peł nego wektora stanu x(k) (pod warunkiem, że moż liwa jest obserwacja ką ta
n atarcia «(&)).
W przypadku obserwacji skalarnego sygnał u wejś ciowego i wyjś ciowego, model mate-
matyczny (2) przetransformowano do postaci kanonicznej F roben iusa i n astę pn ie prze-
kształ cono do skalarnego równ an ia róż nicowego o postaci
Hk) = G(k)(&) = R(k—l)- R(k- l)GT(k)[Q~ 1(k) + G(k)R(k- l)GI(k)]~ 1G(k)R(k- l), v
przy czym: q>(k) — estym ator macierzy param etrów
= [A\ B], z(k) =
Algorytm ten wykazuje dużo wyż szą zbież ność i dokł adność identyfikacji niż algorytm
(4) lub (5).
3. Algorytmy stabilizacji
Podstawowym zadan iem ukł adu stabilizacji sam olotu w kan ale podł uż nym jest utrzy-
manie charakterystyk stabilnoś ci i sterowalnoś ci n a okreś lonym, zadanym poziomie.
P onadto ukł ad ten powin ien tł umić zakł ócenia wystę pują ce podczas lotu samolotu w tur-
bulentnej atmosferze.
Ogólny schemat ukł adu stabilizacji przedstawiono n a rys. 1.
m i t ) Człon
wykonaw
u(t)
Autopilot
z czł onem
wykonawczym
nit)
(alt))
Rys. 1. Schemat ukł adu stabilizacji w kanale podł uż nym samolotu
Autopilot w oparciu o wielkoś ci wyjś ciowe sam olotu i sygnał m(t) przemieszczenia drą ż ka
przez pilota generuje sygnał u(t). R óż n ica sygnał ów m(t) i u(t) stanowi sygnał uchybu,
który czł on wykonawczy przekształ ca w przemieszczenie steru d(t). W dalszych rozważ a-
niach uwzglę dniono tylko wł aś ciwoś ci statyczne czł onów wykonawczych, wyraż one po-
przez współ czynniki wzmocnienia statycznego, które jawnie nie wystę pują, a zawarte są
odpowiednio we współ czynnikach wzmocnienia sam olotu i w param etrach autopilota.
252 W. JAR OM I N E K, T . STEF AŃ SKI
Biorą c pod uwagę speł nienie postawionych przed ukł adem stabilizacji zadań , najbar-
dziej odpowiednią jest nastę pują ca struktura autopilota
t). (7)
gdzie n(t) jest przyś pieszeniem norm alnym , a współ czynniki K
x
{t), K
2
(t) i K^ it) są para-
metrami autopilota. Struktura t a wykorzystuje informacje o sygnał ach bezpoś rednio
mierzalnych. Wprowadzenie czł onu ki(t)m(t) zapewnia stabilizację statycznego współ -
czynnika wzmocnienia ukł adu zamknię tego, a pozostał e czł ony uwzglę dniają ce, prę dkość
ką tową pochylenia # (f) i przyś pieszenie n orm aln e n(t) dają moż liwość wpł ywania na te
dwie wielkoś ci.
Inne struktury autopilota, wykorzystują ce informacje o pochodn ej prę dkoś ci ką towej
pochylenia 4(t) lub pochodnej przyś pieszenia n orm aln ego n(t), cechują się wię kszą wraż li-
woś cią na szumy pomiarowe (wynika to z róż niczkowania sygnał ów) i tendencją do wzmac-
niania zakł óceń dział ają cych n a sam olot.
D okonują c syntezy ukł adu stabilizacji m etodam i przestrzeni stanów m oż na zbudować
autopilot w postaci sprzę ż eń proporcjonalnych od zmiennych stan u, co wyrazi się równa-
niem
u(k) m Kórnik) + K
2
(k)Ą k)+K
s
(k)a(k), , (8)
gdzie A: jest dyskretnym operatorem ' czasu, a K
5
(k) — param etrem autopilota. Procesy
przejś ciowe a(7) i n(t) mają zbliż ony charakter, stą d należy wnioskować, że wł aś ciwoś ci
struktury (8) i (7) są podobn e.
W przypadku wolnych zmian param etrów obiektu interesują cy rezultat uzyskano
stosują c jednokrokowy, suboptymalny algorytm sterowania o postaci
ó(Jfc)= - [Ri ̂ + B^ QikjBr^ B^ Qi^ Axiklk), (9)
który minimalizuje wskaź nik jakoś ci
Q = x[(k+l)\ kYQ(k)x[(k+l)\ k] + R(k)62(k), (10)
przy ograniczeniach
x[(k+l)\ k] = Axik\ k)+Bd{k), (11)
przy czym: x[(fc+ l)|jfc]- —predykcja wektora st an u ; Q(k) — macierz współ czynników
wagi; R{k) — współ czynnik wagi; x(k\ k) — wektor stan u otrzym any n a wyjś ciu filtru
optymalnego.
Ponieważ
d(k) = K
t
{k)mik)- u(k)
stą d:
u(k) = Kj. ik)m(k) - d(k). (12)
Podstawową wadą algorytmów (8) i (12) jest konieczność okreś lenia ką ta n atarcia a(fc).
N a rys. 2 przedstawiono stopień kompensacji zakł ócen ia dział ają cego n a samolot
przez poszczególne struktury autopilota. P odczas symulacji ukł adu stabilizacji zał oż ono,
że zakł ócenie w (t) ma charakter sygnał u sinusoidalnego o jedn ostkowej wartoś ci ś redniej.
Odpowiedź samolotu n a zakł ócenie w (t) oznaczon o poprzez 4
w
(t) i n w( *) , natomiast
odpowiedź ukł adu stabilizacji — poprzez 4(t) i n(t). Z przedstawionego rysun ku wynika,
P R OBLEM STABILIZ ACJI SAM OLOTU ... 253
- 0 .5
1 — r
struktura (12)
0 5 1.0
tlsl
Rys. 2. Wpł yw struktury autopilota na kompensację zakł óceń dział ają cych na samolot
że struktury (7) i (8) mają zbliż one wł aś ciwoś ci z pun ktu widzenia tł umienia zakł óceń;
natomiast struktura (12) silnie tł um i zakł ócenie. We wszystkich przypadkach zał oż ono
identyczne poł oż enie biegunów ukł adu zamknię tego.
4. Algorytmy adaptacji
P unktem wyjś cia do syntezy algorytmów adaptacji jest bież ą ca znajomość charakte-
rystyk sam olotu w postaci macierzy stan u A i sterowania B dyskretnego modelu matema-
tycznego (2). M oż liwe jest także okreś lenie macierzy A
c
i B
c
cią gł ego modelu matematycz-
nego samolotu w kan ale podł uż n ym za poś rednictwem zwią zków przybliż onych
B
c
= BIT ,
(13)
254 W. JAR OM I N EK , T . STEF AŃ SKI
gdzie T jest okresem impulsowania sygnał ów, a / — macierzą jedn ostkową . Jeż eli okres
impulsowania jest duż y, to równań (13) nie m oż na stosować ze wzglę du n a duży bł ą d
okreś lenia macierzy A
c
i B
c
. Również w przypadku mał ej wartoś ci T równ ań tych nie
moż na stosować, gdyż bł ą d identyfikacji silnie wpł ywa n a macierze A
c
i B
c
. D okł adniej
parametry modelu cią gł ego wyznaczyć m oż na z ró wn ań :
A
B
c
= [ e x p ( ^ c r ) - 7 ] - Me 5 . (14)
Transmitancje cią gł ego modelu matematycznego uzyska się z równ an ia
Go{s) ~~d(ś )- H[S c J c T
gdzie H= [1, 0].
P odana metoda identyfikacji nie pozwala wyznaczyć transm itancji G (s) = - j~y =
o(s)
X (1 — T 2s2)
=
2
"l ę ' , a wł aś ciwie zer tej transm itancji, gdyż mianowniki transmitancji
G
n
(s) iG- (s są identyczne [3]. Z era te n a ogół mają zn ikom y wpł yw n a proces przejś ciowy
n{t) i moż na je zaniedbać. Współ czynnik wzmocnienia przecią ż enia okreś la się z zależ noś ci
gdzie: V—prę dkoś ć lotu; g — przyś pieszenie ziemskie.
Zakł adają c, że w czasie trwania procesu przejś ciowego identyfikacji i adaptacji para-
metry modelu matematycznego sam olotu nie ulegną istotn ym zm ian om , to problem
syntezy algorytmów adaptacji m oż na rozwią zać klasycznymi m etodam i teorii sterowania.
D la algorytmu autopilota (7), zastosowanego w obwodzie sprzę ż enia zwrotnego, transmi-
tancja ukł adu zamknię tego samolot- autopilot m a postać (patrz rys. 1)
m(s) ~
gdzie: m(s) — transformata sygnał u przemieszczenia drą ż ka;
K
n
A^
l+K
2
K- +K
3
K
n
'
Algorytmy doboru nastaw (algorytmy adaptacji) param etrów autopilota K
t
{t), K
2
(t)
i A"3( Ż ) m oż na okreś lić [4]:
— z warun ku stabilizacji wartoś ci maksymalnego przeregulowania a
p
i stał ej czasowej
T
— z warun ku stabilizacji stał ej czasowej T
z
i współ czynnika tł um ienia | x .
P R OBLE M STABILIZACJI SAM OLOTU ... 255
Jeż eli jest moż liwość okreś lania ką ta n atarcia a ( 0 wskazane jest posł uż yć się algoryt-
mem (8) lub ewentualnie (12), gdyż wówczas nie ma potrzeby wyznaczania parametrów
cią gł ego m odelu m atem atycznego na podstawie modelu dyskretnego, co zwią zane jest
z okreś lonymi bł ę dam i. D yskretn a transm itancja ukł adu zamknię tego, dla algorytmu
autopilota (12), m a postać
G(z) - ^ = CW - A + BKl- iBd- KJ, (18)
przy czym: jeś li C = [1, 0], to y(z) = # (z), a gdy C = [0, 1] to y{z) = cc(z); natomiast
2f = [K
2
,K
5
l
Alogrytmy adaptacji param etrów K
2
i K
5
m oż na okreś lić na podstawie zadanego
poł oż enia biegunów transm itancji (18). Przyjmują c, dla zadanego poł oż enia biegunów,
równanie charakterystyczne ukł adu zamknię tego w postaci:
z
2
+dz+e = 0 (19)
oraz porównują c odpowiednie współ czynniki równania (19) i równania charakterystyczne-
go transmitancji (18), otrzym a się zwią zki n a wartoś ci parametrów autopilota K
2
i K
5
dla dwu przedstawionych m etod identyfikacji. P aram etr K
x
okreś lony został z warunku
utrzymywania n a stał ym zadan ym poziomie Kt statycznego współ czynnika wzmocnienia
K
nz
przyś pieszenia n orm aln ego n(t), czyli (patrz równanie (16)) -
V
Knz = K$z • • • — Kt (20)
lub ewentualnie z warun ku stabilizacji współ czynnika wzmocnienia ką ta natarcia oc(t),
okreś lonego z tran sm itan cji (18).
W przypadku stosowania algorytmu (12), macierze modelu matematycznego samolotu
A i B okreś lane są w procesie identyfikacji, n atom iast K
t
— z równania (20). Istotny tu
jest wł aś ciwy dobór wartoś ci współ czynników wagi tego algorytmu, które należy okreś lić
np. drogą symulacji ukł adu. D obre rezultaty uzyskano uzależ niając wartoś ci tych współ -
czynników od aktualn ej wartoś ci wychylenia steru w ukł adzie zamknię tym. Jeż eli zmiany
parametrów m odelu matematycznego sam olotu są szybkie, wówczas ukł ad stabilizacji
z algorytmem (12) m oże utracić stabilnoś ć.
5. Podsumowanie
W pracy przean alizowan o problem stabilizacji samolotu w kanale podł uż nym z uw-
zglę dnieniem zm ian param etrów statycznych i dynamicznych samolotu. Zmiany te okreś la-
no poprzez identyfikację parametryczną , której wyniki wykorzystano do korygowania war-
toś ci param etrów autopilota przy pom ocy odpowiednich algorytmów adaptacji. Z agadnie-
nia syntezy algorytmów identyfikacji, stabilizacji i adaptacji omówiono przy zał oż eniu
quasistacjonarnosci param etrów sam olotu w czasie trwania procesu identyfikacji i adap-
tacji. Zał oż enie t o m oż na przyją ć dla wię kszoś ci obiektów latają cych.
256 W. JAROMINEK, T. STEFAŃ SKI
Literatura
1. A. P. SAG E, J. L. MELSA, Estimation T heory with Applications to Communication and Control, New
York, Me G raw- Hill 1971.
2. T. STEFAŃ SKI, Zagadnienie syntezy dyskretnego, adaptacyjnego ukł adu sterowania samolotu w kanale
podł uż nym, Rozprawa doktorska. AG H , Kraków 1978.
3. W. JAROMINEK, T. STEFAŃ SKI, Identyfikacja parametryczna modelu matematycznego samolotu, II Ogól-
nopolska Konferencja „Mechanika w Lotnictwie". Warszawa, 1986.
4. W. JAROMINEK, T. STEFAŃ SKI, Metoda syntezy algorytmu adaptacji ukł adu stabilizacji samolotu, II Ogól-
nopolska Konferencja „Mechanika w Lotnictwie". Warszawa, 1986.
P e 3 IO M e
IIPOBJIEMA CTAEH JIH 3AIJ,H H C AM OJlETA C H C I I OJI 63OBAH H E M
IJAP AM ETP H H ECKOJł HflEHTHHKAIJ,HH
B pa6oTe npoBeflCu an an ii3 craSH Jiim ipn i caiwojieia B npoflOJitHoM KaHajie yiH TH Ban H3MeHeHira
CTaTiiqecKHX H flH H aM M ecicH X napaiweipoB caM on eia. 3 T H H3MeHeHHH onpeaeJineTCH *iepe3 napaiweTpH-
Mecicyio HfleiiTHdpHKar̂ Hio #HCKpeTHoft MaTeManraecKOH MOAEJIH caMOJiiiTa MeTOAOM HaHMen&uiPrx raaA-
p aro B. Pe3yjibTaTw HfleHTHcbHKanHH H BJIH IOTCH ocHOBoń flJiJi HcnpaBneHHH 3Ha^eHHit napaiweTpoB CHC-
cra6i«iH 3ai;H H — HcnoJiŁ3yH cooTBeTCTByiomae ajiropHTMbi aflanTamiiH Bo BpeMK H3MeHHioinHxc;i
M noJie'Ta. IIpoG jieMBi HflenTHcpHKauHH, era6n jn i3an H H H a^ariTanH H iip e n e r a Sn e n o H CXO^H H 3
He6oJii>uiHX H3MeneHHH napaiweTpoB MaTeMainMecKOH Mo/ jenH caiHone'Ta BO BpeMa npoira-
xo>i