Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  25,  1987 MODEL  MATEMATYCZNY  WYZNACZANIA  FUNKCJI  STEROWANIA S AMOLOTEM  W  PĘ TLI WOJCIECH   BLAJER JAN   P ARCZ EWSKI W yż sza Szkoł a Inż ynierska  w  Radomiu M odelowan o  program owy  ruch sam olotu  w  pę tli. P ostulowano  by  ś rodek  masy  samo- lotu  opisywał   podczas  ruch u  okrą g  o  stał ym  prom ien iu.  Przedstawiono  model matema- tyczny  wyznaczania  funkcji  sterowania  sterem  wysokoś ci  zapewniają cej  ś cisłą   realizację nał oż onego  warun ku  wię zu  program owego.  Samolot  potraktowan o jako  sztywny  obiekt latają cy  ze  sztywnymi  ukł adam i  sterowania. 1.  Wstę p Typowym  zagadnieniem  symulacji  nieustalonych  ruchów  samolotu  jest  badanie  od- powiedzi  zamodelowanego  ukł adu  n a  narzucony  model  sterowania  [1, 7, 8].  Warunkiem symulacji  danego m an ewru  czy figury  akrobacji  lotniczej jest jednakże przyję cie  odpowied- niego modelu sterowania.  N ajczę ś ciej  jedn ak  znane są   tylko  ogólne zasady  sterowania przy wykonywaniu  poszczególnych  manewrów,  ś cisłe  wartoś ci  parametrów  sterowania  oraz ich  przebiegi  czasowe  mogą   być  trudn e  do  ustalenia.  G eometria  symulowanego  ruchu zależ eć może n atom iast silnie  od nieduż ych zmian w modelu sterowania. W  pracy  podję to  aspekt  zagadnienia  odwrotnego.  N akł adają c  n a  ruch  samolotu  od- powiednie  warunki  (wię zy  program owe  [2, 3, 5])  poszukiwać  moż na  takiej  funkcji  stero- wania,  która  zapewni  realizację   zał oż onego  ruchu  programowego.  Ograniczono  się   do modelowania  program owego  ruchu  samolotu  w  pę tli.  Jako  wię ź  programowy  przyję to warunek  pozostawan ia  ś rodka  masy  sam olotu n a  okrę gu  o zadanym promieniu,  zawartym w  pł aszczyź nie  pionowej  wzglę dem  ziemi. Sam olot  traktowan o ja ko  sztywny  obiekt  latają cy  o  trzech  stopniach  swobody  (tylko ruchy  symetryczne).  Sterowanie  sam olotem  realizowano  poprzez  zmianę   cią gu  silnika oraz zmiany  wychyleń  steru  wysokoś ci.  Przyję to  przy  tym , że wychylenia  steru  mają   para- metryczny  wpł yw jedyn ie  n a wartość  aerodynamicznego momentu  pochylają cego. Ze  wzglę du  n a  istotn e  uproszczenia  w  form uł owaniu  zapisu  modelu  matematycznego rozważ anego  ruchu  program owego,  dynamiczne  równania  ruchu  samolotu  zapisano w  formie  [4, 6]: 17  Mech.  Tcoret.  i  S tos.  1—2/ 87 258 W.  BLAJER,  J.  PARCZEWSKI m •   V  =   — P x   + T -  c o s( a + x) — m-  g-   sin y,  (i) m- V- y  =  P.+  T -   sin(a +  x) -   m •  g  •  cosy,  (2) JQ  =  M+T - e,  (3) gdzie:  m —  masa  samolotu,  / —  moment bezwł adnoś ci,  V—- prę dkoś ć  samolotu,  y  —  ką t nachylenia  wektora  prę dkoś ci  do poziomu,  T —  cią g  silnika,  % —  ką t  pomię dzy  wektorem cią gu  i  osią   0x,  e —  odległ ość  linii  dział ania  wektora  cią gu  od  ś rodka  masy,  g  —  przy- spieszenie  ziemskie,  P X ,P Z ,M  —  sił a  oporu  aerodynamicznego,  sił a  n oś na  i  aerodyna- miczny  moment pochylają cy,  a —  ką t  n atarcia  samolotu, Q  —  prę dkość  pochylania  samo- lotu. Rys.  1  Stosowane  ukł ady  odniesienia:  OiXiZi—ukł ad  inercjalny  o  osi  0 l z l   pionowej,  0xz  —  ukł ad wł asny samolotu, 0x a z,  —  ukł ad  aerodynamiczny  o  osi  0*  skierowanej wzdł uż kierunku wektora prę dkoś ci cał kowitej,  OxjZ, —  ukł ad  grawitacyjny,  równoległ y  w  każ dej  chwili  do  ukł adu  Oi^iZ i Równania  (1) - r (3)  uzupeł niają   zwią zki  kinematyczne x 1   — V •   cosy,  (4) /   żj  =   - F - s i n y,  (5) 0  =   g  (6) oraz  zależ ność  pomocnicza  (rys.  1) a  =  0- y,  '  (7) gdzie:  JCJ , z t   —  współ rzę dne  ś rodka  masy  samolotu  w  inercjalnym  ukł adzie  odniesienia OxXjZi,  0  —  ką t  pochylenia  samolotu. Wystę pują ce  w  równaniach  ruchu  sił a  oporu,  n oś na  oraz  aerodynamiczny  moment pochylają cy  są   ogólnie  znanymi  zależ noś ciami: P x   =   - 1 QSV2C X ,  P Z   =   i -   Q SV 2 c z ,  M  =   i -   e SV 2 c B c m , gdzie:  c —  gę stość  powietrza,  S —  powierzchnia  n oś n a,  c x ,c z ,c„  —  współ czynniki  siły oporu,  sił y noś nej  i m om entu pochylają cego,  c„ —  ś rednia  cię ciwa  aerodynamiczna. F U N K C J A  STEROWAN IA,  W 259 W  pracy  przyję to  prosty  model  oddział ywań  aerodynamicznych. Z ał oż on o,  że współ - czynniki  sił y  noś nej  i  oporu  aerodynamicznego  zależą   tylko  od  wartoś ci  ką ta  n atarcia, natomiast  współ czynnik  m om en tu pochylają cego  przyję to  jako  zależ ny  od  ką ta  natarcia, ką towej  prę dkoś ci  pochylan ia  i  ką ta  wychylenia  steru  wysokoś ci.  D odatkowo  zależ ność c.(«)  potraktowan o ja ko  liniową . c x   =   c x (a),  c z   =   a-   a,  c M   =   c m ( a , Q,  óH),  (8) gdzie  Ó H  —  wychylenie  steru wysokoś ci.  D la zmniejszenia  skomplikowania zapisu  dalszych wyprowadzeń  przyję to  też,  że  wartość  gę stoś ci  powietrza  jest  ustalona,  Q —  const. 2.  Sformuł owanie zagadnienia P ostulat  aż eby  w  każ dej  chwili  lotu  ś rodek  masy  samolotu 0  znajdował   się   n a  okrę gu pę tli o zadanym prom ien iu r  równoważ ny jest  z nał oż eniem  n a ruch ukł adu wię zu  progra- mowego  o  postaci 2 "' (9) Rys.  2  Geometryczna ilustracja  nałoż onego  wię zu programowego Jeż eli  w  chwili  począ tkowej  ukł ad  speł nia wię ź,  tzn to  warunek  (9)  równoważ ny  jest  jego  formie  róż niczkowej  [2, 3] / ' =   Xi'.Xi która  po  uwzglę dnieniu  (4)  i  (5)  może  być  zapisana  jako / *  =   y( Xl   cos y - zL  sin y)  =   0. (10) i«i  =   0, (11) 260  W.  BLAJE R ,  J.  P AR C Z E WSK I P odobn ie jak  poprzednio, ż ą dając  aż eby w chwili  począ tkowej  speł niony był  warun ek  (11), czyli f*(x lo ,2 lo ,Vo,yo)  = 0,  (12) w  dowolnej  chwili  czasu  speł niony bę dzie  warun ek  (11), gdy w każ dej  chwili  czasu  speł - niany  bę dzie  wa r u n e k/ *  =  0.  Stosują c  analogiczne  podstawien ia  i wykorzystują c  zależ- noś ci z rys. 2, równanie  to m oż na  sprowadzić  do postaci f* = V 2 - y- r- V=0.  (13) Przekształ cony  warunek  wię zu  (13)  interpretować  należy  nastę pują co.  Jeż eli  w chwili począ tkowej  stan  ukł adu  speł nia warunki  (10) i  (12),  to speł nianie przez  ruch  samolotu warunku  (13) jest równoważ ne z realizacją   wię zu w postaci  (9). Z drugiej  strony, jeś li ruch samolotu m a być zgodny z nał oż onym wię zem  (9), zm ian a ką ta y zwią zana jest równaniem (13).  Odrzucają c  przypadek  zerowej  prę dkoś ci  lotu,  postulowan ie  realizacji  rozważ anego ruchu  programowego  jest  równoważ ne  warunkowi y- y-   (14) Jeż eli w każ dej  chwili  rozważ anego  ruchu  program owego  speł niona m a być zależ ność (14), z równania  (2) wynika, że speł niony musi  być  warun ek / 2 .- l. e SV 2 c s - T -  sm(a+x)+?n- g- cosy  =  0.  (15) r  2 Równanie  powyż sze  wyraża  sobą   warunek  równoważ enia  się  wszystkich  sił  czynnych i  bezwł adnoś ci n a kierunku  promieniowym.  Oczywistym  jest,  że realizacja  tego  warunku implikuje  stał ą   wartość  promienia  pę tli, a speł nienie  dodatkowo  warun ków  (10) i (12), wykonywanie  przez  samolot  konkretnie  narzuconej  pę tli. Reasumują c, z pun ktu widzenia  realizacji  ruchu program owego  opisanego  równaniem wię zu  (9), model sterowania  samolotem winien  być  dobran y  tak,  aż eby  odpowiedź  ukł adu opisanego  równaniami  róż niczkowymi: F =   — ( - ~pSV2c x +T - cos(a+x)- m'g- smy),  (16) m  \   2  / y =  - f,  (17) [  (18) uzupeł nionymi  zwią zkami  (4)- f- (6)  oraz  dodatkowo  (7),  w każ dej  chwili  ruchu  speł niał a warunek  (15).  Wartoś ci  począ tkowe  skł adowych  wektora  stan u  t ak okreś lonego  ukł adu równ ań  róż niczkowych  muszą   przy  tym być dobran e  tak,  aż eby  speł nione był y  równ an ia (10) i  (12). 3.  Modele  sterowania  samolotem w pę tli W  rozważ anym  przykł adzie  ruchu  program owego  sterowanie  sam olotem  realizowano poprzez  zmiany  wychylenia  steru  wysokoś ci   ^io  i  0o  muszą   być  dobrane  przy  tym  tak,  by  speł nione był y  warunki (10),  (12)  i  (25). Toż samość równań  (18)  i (29) moż liwa  bę dzie wówczas,  gdy  model sterowania zmianami wychyleń  steru wysokoś ci dobrany bę dzie tak,.że  w każ dej  chwili  lotu prawe  strony równań bę dą   sobie  równe,  czyli ~  (~  QSV2c a  c m (a,  Q,  ó a )  + T e)  ~  S+- ~.  (30) FUNKCJA  STEROWANIA  W  PĘ TLI  263 Z  równania  tego  w  każ dej  chwili  wyznaczyć  m oż na  aktualną   wartość  wychylenia  steru wysokoś ci.  T ak  wyznaczona  funkcja  8„{t)  bę dzie  poszukiwanym  modelem  sterowania sterem  wysokoś ci  w  narzuconym  ruchu  programowym. 4.  U wagi  koń cowe Jak  wynika  z  przedstawionej  pracy,  warunek  realizacji  wię zu  programowego  narzuca odpowiednie ograniczenie n a model sterowania zamodelowanyni samolotem. W  przypadku jednego  wię zu  determ in owan e  są   przy  tym  przebiegi  tylko  jednego  z  niezależ nych  para- metrów  sterowania.  W  dan ym  przypadku  są   to  odpowiednio warunki  (20) i  (30), w  zależ- -  noś ci  od  tego,  który  z  param etrów  sterowania  obran o jako  przyję ty  arbitralnie.  Przyję ty a  priori  m odel  sterowan ia  jedn ym  z  param etrów  sterowania  m a  oczywiś cie  wpł yw  n a model  sterowania  drugim  param etrem  wyznaczanym  z  warunków  wię zów.  Ten  ostatni „ dopasowuje"  jakby  odpowiedź  ukł adu  tak,  by  w  każ dej  chwili  realizowany  był  wię ź (9). P odobn ie,  wyznaczany  model  sterowania  zależ ny  jest  od  wartoś ci  począ tkowych  stanu lotu.  Speł niać on e muszą   przy  tym  odpowiednie  warunki  (10), (12) i (25). Przy  wyznaczaniu  m odelu  sterowania  5 H   zał oż ono  T   =  const.  Przyję cie  dowolnej innej  funkcji  zm ian  cią gu  silnika  podczas  ruchu  spowoduje,  że  w  równaniach  (21)  i  (24) pojawią   się   czł ony z  pierwszymi  i drugimi pochodnym i po czasie wartoś ci  cią gu  T . Przyję ta "arbitralnie funkcja  zm ian  T m u si  być  wię c  odpowiedniej  klasy. W  rozważ onym  przypadku  ruchu  sterowanego  poprzez  zmiany  dwu  niezależ nych param etrów  sterowan ia,  ilość  nał oż onych  (na  ruch  ukł adu  wię zów  programowych  nie może być  wię ksza  n iż  dwa.  W  ogólnym  przypadku  ilość  wię zów  programowych  nie może przekroczyć  iloś ci  niezależ nych  kanał ów  sterowania.  Jest  to  oczywiś cie  tylko  warunek konieczny  realizowalnoś ci  sterowania  w  ruchu  programowym. Literatura 1.  W.  BLAJER,  J.  MARYMIAK,  Modelowanie, matematyczne sterowanego ruchu samolotu  wpę tli, zb. ref. XXIV Symp.  „M odelowanie  w  M echanice",  G liwice—Szczyrk  1985. 2.  D o  SAN H ,  On the Equations of  Motion of  a  Controlled Mechanical System,  Zag. D rgań  N iel., 21, 1983. 3.  D o  SAN H , On the Motion of  Controlled Mechanical Systems,  YcnexH   MexaHHKH, 2,  7, 1984. 4.  Z .  D Ż YG AD ŁO,  K.  SIBILSKI,  W pł yw zrzutu ł adunku  na dynamiką  ruchu  samolotu,  zb. ref.  XXIV  Symp. „Modelowanie  w  M echanice",  G liwice — Szczyrk 1985. 5.  R.  G OTOWSKI,  Mechanika  analityczna,  PWN ,  Warszawa 1971. 6. W.  F ISZD ON , Mechanika  lotu, cz.  I  i  II,  PWN ,  Warszawa 1961. 7.  J.  MARYN IAK,  W.  BLAJER,  N umeryczna  symulacja  korkocią gu samolotu,  Mech. Teoret.  i  Stos.,  2/ 3, 21 1983. 8.  Z.  PATU RSKI,  M. ZŁOCKA,  Symulacja numeryczna  sterowanego  ruchu  samolotu,  zb. ref.  XXIV  Symp. „Modelowanie  w  M echanice",  G liwice — Szczyrk 1985. 264  W.  BLAJE R ,  J.  P AR C Z E WSK I P  e  3  Jo  M  e MATEMATITOECKAJI  M OflEJIb  OI I P EflEJI EH H fl  O YH K U I I H CAM OJlfiTOM   B  n E T J I E M oflejm pyercH   ynpaBiweM oe flBH H ceH H e caMOJieia  B  n e u i e .  IIocTaBJieH o TpeooBaH H ej  T T O 6Ł J  n/ arrp caMan&ra  BbmoJffiMJi  BepTHKajn>Hyio  n ewn o  nocroH H H oro paflH yca.  IIpeflCTaBneH a  MaieiviaTH- Moflejii.  on peflejiem w  cpyHKUHK  ynpaBJieHHJi  pyneM   BŁ I C O T SI ,  oSecne^niBaiomeń  peajm 3ain «o npHHHToft  nporpaMiwoH   CBH3H.  CaMOJieT  awoAeJiHpoBaH   ieKT  c  JKCCTKKMH S u.m  m a r y A  MATH EMATICAL  M OD EL  F OR  D E TE R M I N I N G   TH E  F U N C TI ON O F   AIRPLAN E  CON TROL  I N   LOOP An  airplane  programed  motion  in  loop  has  been  studied.  The  airplane  center  of  gravity  has  been postulated  to  perform  a  vertical  loop  as  an  ideal circle. A mathematical model for  finding  such  a  function of  horizontal  tail  controlling  that  the motion  be  compliant  with  the program  constraint  is  presented. The airplane  was  modelled  as  a  rigid  body  with  rigid  flying  controls. Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  6  lutego  1986  roku.