Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  25,  1987 M O D E LO WAN I E  SE R WOM E C H AN I Z M U  H YD R AU LI C Z N EG O N A  M ASZ YN I E  C YF R OWE J WŁAD YSŁAW  JAROM IN EK Polska Akademia  N auk,  W arszawa TAD EU SZ  STEFAŃ SKI Politechnika  Ś wię tokrzyka, Kielce 1.  Wprowadzenie U rzą dzeniom  wykonawczym  ukł adów  sterowania  obiektami  latają cymi  narzuca  się wysokie wymagania.  D otyczy  t o  zarówno  charakterystyk  statycznych ja k  i dynamicznych. C harakterystyki  statyczne  winny  cechować  się :  mał ym  statycznym  uchybem  poł oż enia, mał ym  bł ę dem histerezy  i  minimalnym progiem  czuł oś ci; natom iast charakterystyki  dyna- miczne  winny  charakteryzować  się :  szerokim  pasmem  przenoszenia  (szczególnie  duża prę dkość  dział ania  wymagana  jest  dla  am plitud  osią gają cych  wartość  do  40%  wartoś ci maksymalnej  am plitudy  sygnał u  sterują cego,  gdyż n a  ogół  w  takim  zakresie  pracuje  auto- pilot —  dla  wię kszych  wartoś ci  amplitud  prę dkość  dział ania winna  być  mniejsza),  mał ą wartoś cią   m aksym alnego  przeregulowania,  duż ym  tł umieniem  itd.  Biorą c  pod  uwagę wymienione  wym agania  najbardziej  odpowiednimi  okazał y  się   serwomechanizmy  hydra- uliczne.  Z astosowanie  t o  uzasadn ion e jest  szczególnie  tam, gdzie wymagana jest  duża moc wyjś ciowa,  duża  szybkość  dział ania,  mał e  gabaryty,  duża  niezawodność  itp.  Szerokie zastosowanie  powoduje  konieczność  opracowywania  nowych  konstrukcji,  które  powinny charakteryzować  się   poprawn ym i  wł asnoś ciami  statycznymi  i  dynamicznymi,  niskim kosztem  wytwarzania  i  eksploatacji.  Wł aś ciwa  konstrukcja  musi  być  poparta  nowoczesną technologią   wytwarzania,  zapewniają cą   gł ównie  wysoką   niezawodność  i  dł ugi  okres eksploatacji. Opracowywanie  nowych  lub  modyfikacja  istnieją cych  konstrukcji  musi  bazować  n a pewnych  i tan ich m etodach . Z  pewnoś cią   nie mogą   t o  być  metody  opierają ce  się   tylko  n a pracochł onnych  i  kosztownych  badan iach eksperymentalnych  lecz także  metody wykorzy- stują ce  analizę   modeli  matematycznych. Stosowanie  do  projektowania  serwomechanizmów  znanych  z  literatury  liniowych  lub uproszczonych  nieliniowych  modeli  matematycznych  nie  jest  w  stanie  sprostać  wysokim wymaganiom  stawianym  tym  urzą dzeniom. W  wię kszym  stopniu  w tym  celu  należy  wyko- rzystywać modele m atem atyczne do  symulacji  serwomechanizmu, tym bardziej, że obecnie 18  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1—2/ 87 274 W.  JAROMINEK,  T.  STEFAŃ SKI projektant  m a  n a  ogół   ł atwy  dostę p  do  ś rodków  obliczeniowych.  M odele  te  pozwalają uwzglę dnić  takie  czynniki,  ja k:  efekt  dł awienia  natę ż enia  przepł ywu  oleju  przez  suwak sterują cy,  spowodowany  obcią ż eniem  tł oka,  tarcie  suche  i  ograniczenia  przemieszczeń elementów  ruchowych,  charakterystyki  instalacji  hydraulicznej,  sprę ż ystość  zam ocowan ia i  poł ą czenia  z  obcią ż eniem,  które  mają   niezmiernie  istotn y  wpł yw  n a  dynam ikę   serwo- mechanizmu. Poniż ej  przedstawiono  model  matematyczny  do  symulacji  serwomechanizmu  hydra- ulicznego,  zapropon owan o  także  zastosowanie  tego  m odelu  i  funkcji  wraż liwoś ci  trajek- torii  do  jego  projektowania.  Taki  sposób  projektowania  winien  pozwolić  n a  dokł adn ą analizę  procesów  zachodzą cych  w  serwomechanizmie,  a  także  n a  wł aś ciwy  kierunek  zmian wartoś ci  parametrów  konstrukcyjnych. 2.  D yskretny  model  matematyczny  serwomechanizmu U proszczony  schemat  ideowy  jedn ostopn iowego  serwomechanizmu  hydraulicznego przedstawiono  n a  rys.  1. Podstawowymi  elementami tego  serwomechanizmu  są :  popychacz  sterują cy  (1),  dź wignia sprzę ż enia  zwrotnego  (2),  suwak  sterują cy  (3),  zawór  antykawitacyjny  (4),  korpus  (5), tł umik  sił ownika  wykonawczego  (6)  i  sił ownik  wykonawczy  (7). u.dl Rys.  1.  U proszczony  schemat  serwomechanizmu  hydraulicznego. P odczas  budowy  modelu  matematycznego  zwrócon o  szczególną   uwagę   n a  jego  ade- kwatność  w  stosunku  do  rzeczywistych  procesów  zachodzą cych  w  serwomechanizmie. U wzglę dniono  wię c wszystkie istotne z technicznego  pun ktu  widzenia  czynniki  wpł ywają ce n a charakterystyki  statyczne i dynamiczne serwomechanizmu,  które uprzedn io  wymieniono, a  także  m.in. wpł yw  sił  hydrodynamicznych,  zmienność  obję toś ci  kom ór  roboczych  sił ow- nika,  obcią ż enie  zewnę trzne  itd. Sumaryczny  spadek  ciś nienia  p^ k)  w  czę ś ci  tł ocznej  serwomechanizmu  okreś lono zwią zkiem A(*0  =  A  IQffl  + / a [Q(k)]+f 3  [Q(k)h  (1) gdzie:  Q(k)  —  natę ż enie  przepł ywu; f u f 2   i/ a —n ie lin io we  operatory  funkcyjne  aprok- symują ce  charakterystyki  statyczne  przewodów  i  kan ał ów  zasilają cych,  filtru  i  zaworów M O D E LO WAN I E  SE R WOM E C H AN I Z M U ... 275 zwrotn ych;  k  —  dyskretny  operator  czasu.  Jeż eli  instalacja  hydrauliczna  wyposaż ona  jest w ź ródło zasilania  o niesztywnej  charakterystyce,  t o fakt  ten należy uwzglę dnić  w  równaniu (1). Ciś nienie zasilan iap(k )  n a  suwaku  sterują cym  m a  wartoś ć: P(k)  =  P z (k)- Ps (k),  (2) przy  czym p z (k)  jest  ciś nieniem  n a  wejś ciu  instalacji  hydraulicznej. Przemieszczenie  korpusu  serwomechanizmu  z t (k),  spowodowane  sprę ż ystym  zamoco- waniem,  wyznaczono  z  równ an ia z(k)  =  A$z(.k- l)+B k *[ Pl (k- l)- p 2 (k- l)]signx 1 (k),  (3) gdzie: z(k)  =  [z^ Ziikyg Pi(k—l)  i  Piik—l)  —  ciś nienia  odpowiednio  w  kom orze  tł ocznej  i  zlewowej  sił ownika; Xi(x)  —  przemieszczenie  suwaka. M acierz  A% i  B% okreś lono  z  zależ noś ci: (4) przy  czym : m k 0 A T —okres  dyskretyzacji;  C j—wsp ó ł c zyn n ik  sprę ż ystoś ci  zamocowania  korpusu;  m k   — m asa  ko rp u su ;  F k   —  powierzchnia  czynna  kom ór  sił ownika. Rozwią zując  n um eryczn ie  równ an ia  (4)  najwygodniej  jest  rozwiną ć  macierz  expC- ^T) w  szereg  potę gowy. Przemieszczenie  tł oka y 3 {k)  sił ownika wykonawczego  wyznaczono  z równania y(k)  =   A*y(k-   \ )+Bfu(k- \ ),  (5) przy  czym: y(k)  -   [ *( *) , y 2 ( k ) , y 3 ( k ) ] T ,  «( &- 1)  -   [u ± (k- 1),  u 2 (k-   1)]T, u 2 (k- l)  =  P(k- 1)  —  obcią ż enie  zewnę trzne  t ł o ka;  p^ k- 1)  i  p 2 (k- \ )  —  ciś nienia  od- powiednio  w  kom orze  tł ocznej  i  zlewowej  sił ownika;  F, —  powierzchnia  czynna  t ł oka; T t   —  sił a  tarcia  suchego; y P (k—  1) —  prę dkość  przemieszczenia  tł oka. M acierze cią gł ego  m odelu  ruchu  tł oka  okreś lone  są   nastę pują co: C 2   C 2 1 0 0 0 1 0 c2 M c2 ,  B t   = MB t 0 1 B, ~  MB t 0 0 276  W.  JAR OM I N E K,  T .  STBF AŃ SKI gdzie: C 2   — współ czynnik sprę ż ystoś ci  poł ą czenia tł oka z masą  obcią ż enia M; B t   — współ- czynnik  tarcia  wiskotycznego. Wybór  zmiennych  stanu  został  tak  dokonany, że przemieszczenie  tł oka  okreś lone jest przez  y 3 (k),  a prę dkość  przemieszczenia  y p (k)  wyznaczono  z równania: y P (k)  = y 2 (k)- ^ - y 3 (k)+~i h (k).  (6) Również  przemieszczenie  tł oka  jest  ograniczone i  wynosi \ yM\   < y M - zi{k),  (7) gdzie y M  jest  maksymalnym  skokiem  tł oka. Otwarcie  okna  suwaka  wynosi: przy  warunku  \ xi(k)\  < x 1M ,  przy  czym:  a, b — dł ugość  ramion  dź wigni  sprzę ż enia zwrotnego;  u w  — przemieszczenie  suwaka;  x1 M  — maksymalne  otwarcie  okna  suwaka. Jeś li  |*i(/ c)| > x 1M , to Xx{k)  =   x lM ń gnxx{k). Równanie bilansu  natę ż eń przepł ywu  dla  zespoł u  suwak—sił ownik  wykonawczy dla czę ś ci  tł ocznej ma postać: -   F t \ y,(k)\  + k),  (9) oraz  dla  czę ś ci  zlewowej: find j/ ^ - { P2 (k)- Po(k)]  Mk)}  -   F t \ y p {k)\  +K L [Px(k)- p 2 (k)]  + Q t (k),  (10) gdzie:  p — współ czynnik  natę ż enia  przepł ywu  przez  suwak;  d—ś rednica  suwaka;  K t i K 2   — współczynniki przecieków przez tł ok i suwak; Q t (k) — chł onność ukł adu  tł umienia tł oka  wykonawczego;  p Q (k) — ciś nienie na  linii  zlewu. Równania  (9) i  (10)  rozwią zano  odpowiednio  wzglę dem  ciś nienia  w komorze tł ocznej p^ k)  i w komorze  zlewowej p 2 (k)  sił ownika. Jeś li x t (k)  =   0, top 2 (k)  =  p o (k)api(k)  = =   p  , gdy  natomiast sign x^ k)  ^   sign y p (k),  to Pi(k)  =  p(k)  ip 2 (k)  =  p o (k),  a natę - ż enie przepływu zarówno w czę ś ci  tł ocznej jak  i zlewowej należy  przyją ć  równe zeru. Chł onność cał kowitą  Q(k) serwomechanizmu .okreś lono z zależ noś ci Q(k) =  futd- ^ ^ lpW - pd*)]  Mk)\   (11) a  nastę pnie w oparciu  o wartość  Q{k)  wyznaczono  ciś nienie  na  lihii  zlewu  p Q (k).  Jeś li obliczona wartość  ciś nienia p o (k)  róż ni się   istotnie od  przewidywanej,  to w miejsce  prze- widywanej  wartoś ci  należy  wstawić  wartość  obliczoną   i  procedurę   obliczeń  powtarzać dotą d, aż uzyska  się  zgodność wyników z zał oż oną  dokł adnoś cią. M O D E LO WAN I E  SE R WOM E C H AN I Z M U ... 277 4.  Ocena  wpływu  parametrów  konstrukcyjnych  na  dynamikę   serwomechanizmu Okreś lenie  iloś ciowego  oraz  jakoś ciowego  wpł ywu  param etrów  konstrukcyjnych  n a charakterystyki  serwomechanizmu  pozwala  wybrać  wł aś ciwy  kierunek  zmian  konstruk- cyjnych,  w celu  otrzym an ia  ż ą danych jego  wł asnoś ci.  N ajbardziej  odpowiednimi, a jedn o- cześ nie  dają cymi  peł ny  obraz  zmian  wł asnoś ci  serwomechanizmu  pod wpł ywem  wariacji wartoś ci  param etrów,  są   funkcje  wraż liwoś ci  trajektorii  ruchu  jego  elementów.  N ależy tu  jedn ak  uwzglę dnić,  że  funkcje  te  mogą   czę sto  mieć  charakter  lokalny  i  ewentualnie bł ę dną   ocenę   wpł ywu  wartoś ci  param etrów  n a  dynamikę ,1  spowodowaną   nieliniowoś cią modelu  matematycznego,  m oż na  wyeliminować  poprzez  okreś lenie  funkcji  wraż liwoś ci trajektorii  dla  kilku  przedział ów  wartoś ci  tych  param etrów. F unkcje  wraż liwoś ci  rj(k)  trajektorii  y(k) dla przyrostu  wartoś ci  parametrów  Aa  okre- ś lone  są   n astę pują co: 8y(t,  a) da. — lim =Jfc Aa.~> Q y(k, a)- y(k, a+Aa) Aa (12) Jako  trajektorie  y(k)  m oż na  przyją ć:  ciś nienia  w kom orach  sił ownika,  natę ż enia przepł y- wu,  przemieszczenie  suwaka  i  tł oka  silnika,  bł ą d  poł oż enia  tł oka  itd. Przyrost  wartoś ci param etrów  konstrukcyjnych  przyjmuje  się  zwykle  5 H - 1 0%  ich wartoś ci  nominalnych. Analizują c  otrzym an e  odpowiednie  funkcje  wraż liwoś ci  trajektorii  moż na  wyodrę bnić param etry  konstrukcyjne,  które  nie wpł ywają ,  wpł ywają   pozytywnie  lub  negatywnie  na trajektorie  y{k).  M oż na  wię c  wybrać  wł aś ciwy  kierunek  zmian  oraz  wł aś ciwe  proporcje wartoś ci  param etrów  konstrukcyjnych,  zapewniają cych  poprawną   współ pracę   poszcze- gólnych  podzespoł ów  i  ż ą dane  charakterystyki  serwomechanizmu. M oż liwość  dokon an ia  iloś ciowej  oceny  wpł ywu  wartoś ci  parametrów  na  wł asnoś ci serwomechanizmu  pozwala  wytypować  te param etry,  których  wpł yw  ten jest  bardzo  duży 2.0 1.5 5? 1.0 -   -   0.06 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10  H s] R ys.  2.  O dpowiedź  sko ko wa  serwom ech an izm u  dla  róż n ych  am plitud  sygnaiu  wejś ciowego. 278 W.  JAROMINEK,  T.  STEFAŃ SKI 0.08 0.10  t [ s] Rys.  3.  Odpowiedź  skokowa  przemieszczenia  suwaka  Xi(t)  oraz  ciś nienia  p t {f)  w  komorze  tł ocznej serwomechanizmu i  te —  których  jest  znikomy.  Wówczas  wartoś ci  param etrów  należ ą cych  d o  pierwszej z wymienionych  grup  dobiera  się   w  oparciu  o analizę  funkcji  wraż liwoś ci  trajektorii  i dyna- miki  serwomechanizmu,  n atom iast  wartoś ci  param etrów  należ ą cych  d o  drugiej  grupy okreś la  się  n a  podstawie  innych  kryteriów  i  przesł anek. W  przypadku,  gdy  funkcje  wraż li- woś ci  odpowiednich  trajektorii  są   m ał o  czytelne,  należy  wyznaczyć  je  dla  trajektorii prę dkoś ci, n p. dla trajektorii  prę dkoś ci  przemieszczenia,  prę dkoś ci  zm ian  ciś nienia  itd. N a  dynamikę  serwomechanizmu  zasadniczo  mają   wpł yw  takie  param etry, ja k :  wzmoc- nienie  w  torze  sprzę ż enia  zwrotnego  ( st o su n e k— ś redn ica  suwaka  d  i  ograniczenie przemieszczenia  suwaka  x 1M .  N a rys.  2  przedstawiono  proces  przejś ciowy  przemieszczenia tł oka  dla  róż nych  am plitud  sygnał u  wejś ciowego.  Widoczn a  zależ ność  ch arakteru  procesu przejś ciowego  od  am plitudy  sygnał u  wejś ciowego  wskazuje  n a  nieliniowość  m odelu  mate- matycznego.  N atom iast n a  rys.  3 przedstawiony  został  proces  przejś ciowy  przemieszczenia suwaka  sterują cego  wzglę dem  korpusu  x x {t)  oraz  ciś nienia  w  kom orze  tł ocznej  sił ow- nika  Pi(t). Proces Xi(t)  zanika, z tym, że nie przyjmuje  szybko  zerowej  wartoś ci  ustalonej,  lecz  oscyluje z  bardzo  mał ą   amplitudą   wokół   tej  wartoś ci.  Z  tych  też  wzglę dów  pojawiają   się   oscylacje ciś nienia  Pi(t)  o  znacznej  amplitudzie. N a  rys.  4  jako  przykł ad  zamieszczono  prę dkość  odpowiedzi  serwomechanizmu  y 3 (t) - 1.0 - 2.0 0.05 Rys. 4. F unkcja  wraż liwoś ci  trajektorii  prę dkoś ci  tł oka  dla wariacji  współ czynnika  sztywnoś ci <5Ci zamocowania  serwomechanizmu M OD E LOWAN I E  SE R WOM E C H AN I Z M U ...  279 i  funkcję   wraż liwoś ci  trajektorii  przemieszczenia  tł oka  dla przyrostu  współ czynnika sztyw- noś ci  zamocowania  Q .  Zwię kszenie  wartoś ci  współ czynnika  Ci wpł ywa  stabilizują co n a proces y 3 (t)  a także  zmniejsza  statyczny  uchyb  regulacji,  gdy n a serwomechanizm  dział a znaczne obcią ż enie P(t). W przypadku  mał ego obcią ż enia  serwomechanizmu lub  mniejszej od  jednoś ci  wartoś ci  współ czynnika  wzmocnienia  w  ukł adzie  zamknię tym,  zmniejszenie wartoś ci  C x   wpł ywa  stabilizują co. 4.  Zakoń czenie W  pracy  zbudowan o  dyskretny  model  matematyczny  do symulacji  serwomechanizmu hydraulicznego.  D o jakoś ciowej  oraz  iloś ciowej  oceny  wpł ywu  struktury  i wartoś ci  para- metrów  konstrukcyjnych  n a  charakterystyki  serwomechanizmu  zastosowano  funkcje wraż liwoś ci  trajektorii  przemieszczenia  tł oka  i  suwaka,  ciś nień  w  komorach  sił ownika, bł ę du  poł oż enia,  n atę ż eń  przepł ywu — dla  przyrostu  wartoś ci  tych  parametrów. Zrezygnowanie  z klasycznych  metod  syntezy  i  analizy  serwomechanizmów  n a korzyść symulacji  cyfrowej  zasadniczo  zwię ksza  efektywność  projektowania,  gdyż  umoż liwia w szerszym  zakresie  wł aś ciwy  wybór jego  struktury i parametrów, a także pozwala  analizo- wać  współ pracę   z  instalacją   hydrauliczną .  Taki  sposób  projektowania  winien  znacznie obniż yć  koszty  badań  eksperymentalnych  i  gwarantować  poprawność  konstrukcji. Literatura 1. J.  C R U Z ,  Ukł ady ze  sprzę ż eniem zwrotnym. PWN , Warszawa  1977. 2.  M.  G U ILLON ,  T eoria i  obliczanie ukł adów hydraulicznych.  WN T, Warszawa  1967. 3.  M.  G U ILLON ,  Vasservissement  hydraulique  electrohydrailią ue.  D unod, Paris  1972. P  e 3  K)  M e irjlct>POBLIE  MOJUEJIHPOBAHHE B  p aSo ie  npe«Jio>KeH o  flucKpeiH yio  MaTeiwaTiraecKyK)  iwoneJib  nnn  HconefloBaHHs  rnflponpH Bofla n a  3 B M .  fljia  KauecTaeHHOH  a KonH iacTBeuH oS oqeHKH   BJIH H KH H  CTpyKTypti  I I 3naieH H 8 KOHCTpyKmioH- m>rx  napaiwerpoB  Ha  xapaKiepacTH KH   cepBoirpHBQ.ua  HcnoM.3OBaHo  yHKu.ini  HycTBHTejiBHocTH   TpaeK- TopHH  nepeiwemeHHH   n o p u raH , onpeflejieH H bie  flJiH   n pn pam eH H a 3HaqeHHH   3TH X  napaMeTpoB.  H cnojiŁ3O- BaHHe fljia npoeKTHpoBaHHH  THflponpHBOfla  npeAJioweHHofi  MaTeMaTH^ecKoft  MoflejiH   H  (pyHKijHH BirrejiŁH oerH   TpaeKTopHH   flacT  BO3MO>KHOCTŁ  rrpoBeflemia  To^n oro  aHanH3a  nponeccoB B  n wpon pH Bofle,  a  TaK>Ke  cooTBeicTByiomee  H anpaBneH H e H3MeHeHHft  3Ha^eHHfi  i<0Hcipyi<ą HOHHŁix napaM eTpoB. S u m m a r y M OD ELLIN G   O F  H YD RAU LIC  SERVO- MECH AN ISM   ON  A D IG ITAL COMPU TER The discrete  mathematical  model  used  for the purpose of simulation  of servo- mechanism  on a  digital computer is presented.  The sensitivity function  of trajectory  of the piston shift  determined for the increment of  values of the  structural  parameters  is applied  with  the  object  of evaluating  the  qualitative  and  quanti- 280  W.  JAROMINEK, T .  STEFAŃ SKI tative  effects  of  their  structure  and  value  upon  servo- mechanism  characteristics.  It  is  pointed  out  that the application of  the suggested  mathematical model and  the sensitivity  function  of  trajectory  in  designing of hydraulic servo- mechanism enables both precise analysis  of the processes taking place in servo- mechanism and  proper  changes  of  values  of  structural  parameters. Praca wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  19  marca 1986  roku.