Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\01mts87_t25_zeszyt1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  25,  1987 PRAWA  STEROWANIA  JAKO  WIĘ ZY  NIEHOLONOMICZNE AUTOMATYCZNEGO  UKŁADU  STEROWANIA  Ś MIGŁOWCEM JERZ Y  M ARYN IAK Instytut  T echniki  L otniczej i  Mechaniki  Stosowanej Politechniki  W arszawskiej W  przedstawionym  opracowaniu w  oparciu o prace  [5, 6, 7, 8, 9,  10,  11, 14, 20] podano propozycję   wprowadzania  praw  sterowania  jako  wię zów  nieholonomicznych  nał oż onych n a  ruchom y  obiekt  mechaniczny. Okazał o się ,  że takie  podejś cie  daje  bardzo  dobre  rezul- taty w  przypadku  sterowania automatycznych ukł adów podwyż szenia  stabilizacji  oraz przy zastosowaniu  do  autom atycznego  sterowania  ś migł owców.  M etoda ta  może mieć zastoso- wanie  przy  automatycznym  sterowaniu  samolotów  i  rakiet. 1.  M odel  ogólny  dynamiki  ś migł owca W  ogólnym  przypadku  równ an ia  róż niczkowe  opisują ce  ruch  dowolnego  obiektu ruchomego  z  uwzglę dnieniem  procesu  sterowania  i  zakł óceń zewnę trznych  i  wydzieleniu czł onów  nieliniowych  mają   postać:  [9]: ż  =  R(?)2(0 +  S(0m (0+ n (0+ N (z, m , n , 0.  0) w  kt órym : R( 0  —  macierz  stan u  n x n  rozpatrywanego  obiektu, S ( 0  —  macierz  sterowania  n x  r, N ( z, m , n , / ) —  macierz  czł onów  nieliniowych  n x  1, z(t)  —  wektor  stan u  MX 1, m(t)  —  wektor  sterowania  rx  1, n(<) —  wektor  przypadkowych  zakł óceń  zewnę trznych,  5 x 1 . R ówn an ie  (1) jest  ogólnym  modelem matematycznym stacjonarnego procesu dynamicz- nego  n- tego  rzę du  [9].  W  przypadku  liniowych  procesów  stacjonarnych  macierz  stanu i  macierz  sterowania  nie  zależą   od  czasu  i  równ an ia  (1) bez  uwzglę dnienia  zakł óceń zew- nę trznych  upraszcza  się   do  postaci ż (0  =  R z(0+ Sm (0,  (2) Jeż eli  n a  ukł ad  znajdują cy  się   w  ruchu  swobodnym  niesterowanym: i(t)  =   R z ( 0 ,  (3) s R s Ws r p s s* R W* T * P R R w W v w R r T P T S p R p Wp T p P 300  J .  M AR YN I AK nał oż ymy  wię zy  kinematyczne wynikają ce  z  praw  sterowania,  które  wią żą  ze  sobą  wektor stanu  z(?)  z  wektorem  sterowania  m ( 0  i  jeż eli  sterowanie  m a  być  skuteczne  to  zn aczy, ' że  wię zy  kinematyczne  są  zwią zane  z  równaniam i  ruchu,  są  wię zami  niecał kowalnymi a  ukł ad  rozważ any  jest  ukł adem o  wię zach  nieholonomicznych  [2, 8, 9,  10, 11,14, 20]. Ogólny  model  matematyczny  wł asnoś ci  dynamicznych  ś migł owca  jednowirnikowego ze  ś migł em  ogonowym  w  zapisie  macierzowym  ma  postać Ax+ B x+ C x  =   N ( x, x,  t),  (4) gdzie: A —  macierz  współ czynników  bezwł adnoś ci, B  — macierz  współ czynników  tł umienia, C — macierz  współ czynników  sztywnoś ci,  f N  —  macierz  wyrazów  nieliniowych, przy  czym  macierze A, B, C  w  ogólnym  przypadku  ś migł owca  mają  nastę pują cą  budowę np. (5) Przedstawiona  macierz  (5)  posiada  budowę  klatkową  zawierają cą  kwadratowe  klatki S , R ,  W , T , P ,  rozmieszczone  wzdł uż  przeką tnej  gł ównej  stanowią ce  opis  nastę pują cych wł asnoś ci  modelu  fizycznego: S  — macierz  wł asnoś ci  ś migł owca  jako  obiektu  sztywnego, R  —m acierz  wł asnoś ci  wirnika  (rotora)  noś nego  ś migł owca, W —  macierz  wł asnoś ci  ś migła  (wirnika)  ogonowego, T  —m acierz  wł asnoś ci  zespoł u  turbo- sprę ż arkowego  silników  n apę du, P  —  macierz wł asnoś ci wię zów kinematycznych, prawa  sterowan ia  w autom atycznym , ukł adzie  sterowania. Pozostał e  elementy  macierzy  klatkowej  (5)  nie  leż ą ce  n a  przeką tnej  gł ównej  są  macie- rzami  sprzę ż eń,  okreś lają cymi  wzajemne  wpł ywy  poszczególnych  zespoł ów  ukł adu  na siebie,  natomiast  macierz  wię zów  kinematycznych  P  daje  dwojakiego  rodzaju  sprzę ż enia z  równaniami  ruchu  obiektu: S p ,  Rp,  Wp,  T p —  są  to  sprzę ż enia  dynamiczne  okreś lają ce  wpł yw  wię zów  kinematycz- nych  n a  przemieszczenia  obiektu  sztywnego,  wirnik  n oś n y,  ś migło ogonowe  i  zespół   sprę ż arko- turbinowy  siln ików; P s ,  P R , P "', P T  —  są  to  sprzę ż enia  kinematyczne  okreś lają ce  wpł yw  przemieszczeń obiektu  sztywnego,  wirnika  noś nego, ś migła ogonowego  i n apę du na kinematyczne  równania  wię zów. Wektor  współ rzę dnych uogólnionych  X  w  przypadku  ogólnym  omawianego  ś migł owca ma  postać x  =   c o l [ s, r , w, t ,  p]  =   col[x g ,y g ,z g ,  0,9,  W ,  \ y>, Po,  PJL ,P 2 >  h>  fo»  h>  h>  £3  \ £o,  Cii  C2  !% Ł >  W kp |»»  V> 9V  %]•   ( 6) P R AWA  STEROWAN IA  JAKO  WI Ę Z Y. ,.  301 gdzie: s  —  współ rzę dne  uogóln ion e  obiektu  sztywnego, r  —  współ rzę dne  uogóln ion e  wirnika  noś nego, w —  współ rzę dne  uogóln ion e  ś migła  ogonowego, t  —  współ rzę dne  uogóln ion e  zespoł u  turbo- sprę ż arkowego  silników, p —  ką ty  wychyleń  organów  sterowania. 2.  Model  fizyczny  ś migłowca  i  przyję te  układy  odniesienia Ś migł owiec potraktowan o ja ko  zł oż ony ukł ad urucham iany skł adają cy  się  ze sztywnego kadł uba wzglę dem  którego  poruszają   się :  czę ś ci  obrotowe  silników,  wirnik  noś ny  z wał em i  ukł adem  przenoszenia  mocy,  przechylenie  i  obrót  ł opat  wirnika  noś nego,  piasta  ś migła ogonowego  z  przegubowo  poł ą czonymi  ł opatam i  oraz  statecznik  poziomy.  Poł oż enie ś migł owca w przestrzeni wyznaczają   współ rzę dne ś rodka  masy  kadł uba x g ,  y g ,  z h   w ukł adzie inercjalnym  zwią zanym  z  Ziemią   Qx g y g z g   rys.  1 oraz  przez  ką ty  samolotowe  ukł adu zwią - zanego  sztywno  z  kadł ubem  ś migł owca  Oxyz  wzglę dem  ukł adu  inercjalnego:  0  —  ką t przechylenia,  0  —  pochylenia  i  S 7  odchylenia  a  odpowiednie  skł adowe  prę dkoś ci  ką towej (7) gdzie: P  —  prę dkość  ką towa  przechylenia, Q  —  prę dkość  ką towa  pochylenia, R  —  prę dkość  ką towa  odchylenia. R ys.  1.  P rzyję te  u kł ad y  odn iesien ia,  prę dkoś ci  lin iowe  i  ką towe  oraz  ich  skł adowe. 302 J.  MARYNIAK Quasi- prę dkoś ci  ką towe  zwią zane  są   z  prę dkoś ciami  uogóln ion ym i  nastę pują cym zwią zkiem (8) > Q R =   Afl '0' 0 gdzie  macierz  transformacji  A o   m a  postać Ao- 1  0 — sin © O  cosCP  sin 0  cos© 0  —si n *  cos 0  cos© Skł adowe  prę dkoś ci  ś rodka  masy  kadł uba  V c : ~y c   =   Ui+  VJ+ W k gdzie: U  —  prę dkość  podł uż n a, V  —  prę dkość  ś lizgu, W —prę dkoś ć  wznoszenia. •   Quasi- prę dkoś ci  liniowe  zwią zane  są   z  prę dkoś ciami  uogóln ion ym i  nastę pują co (9) (10) u' V w. - A, A. = gdzie  macierz  transform acji: c o s^ c o s© «U  «12 a 21   a 22 sinlfcos© —sin© sin0cos© cos^cos© OD +  sin'Psin $ sin s   = ky(V- W ,)  + k r (R- R 2 )  + (p sQ .  (16) Zwią zki  geometryczne  zachodzą ce  mię dzy  param etram i  sterowania,  wychyleniami, skokiem  ogólnym  a  skokiem  ś migła  ogonowego  podan o  w  [6,  14]. W  równaniach  (13)- ^(16)  Tj- f- T*  oznaczają   stał e  czasowe  czł onów inercyjnych,  opisu- ją cych  charakterystyki  dynamiczne elementów wykonawczych  autopilota  [6, 10, 17, 18,  20] PRAWA  STEROWANIA  JAKO  WIĘ ZY,.. 305 wielkoś ci  z  indeksem  „ z "  oznaczają  zadan e  wartoś ci  param etrów  lotu  rys.  6.  z  indeksem „ 0 "  przy  symbolu  ką ta  sterowania  oznacza jego  wartość  w  stanie  ustalonym  (począ tko- wym).  Wybrany  stan  pracy  ukł adu  automatycznego  sterowania  lotem  otrzymuje  się  przez n adan ie  odpowiednich  wartoś ci  (w  tym  zerowych)  współ czynnikom  wzmocnienia. MODEL  MATEMATYCZNY DYNAM IKA Ś M I GŁOWCA i PRAWA STEROWANIA ZADANE  PARAMETRY KINEMATYCZNE  LOTU t 1 M ANEWR TAKTYCZNY LK I 3 . 5 5 £ UJ AN I A D Z o cc0 . z o 1 1 ZADANY  MANEWR Ś MIGŁOWCA | cc ca b z: 3- 1 < K R YT E R a: Rys.  6. Schemat blokowy  sprzę ż eń  wł asnoś ci  dynamicznych  ś migł owca  z  prawami  sterowania  i  blokiem zadanych  parametrów  lotu N a  rys.  6 przedstawiono  schemat blokowy  sprzę ż eń  wł asnoś ci dynamicznych  ś migł owca z  prawam i  sterowania  i  blokiem  zadanych  param etrów  lotu. Z adane parametry  kinema- tyczne  i  geometryczne  lotu  mogą  być  narzucone  przez  kryteria  statecznoś ci,  lub  warunki równowagi  dla ś ciś le okreś lonego  stanu lotu, zadany manewr  ś migł owca wzglę dnie  manewr taktyczny  wynikają cy  z  przyję tej  taktyki  walki,  poś cigu,  ucieczki,  metody  samonapro- wadzan ia  n a  cel. 4.  Ogólne  równania  ruchu  ś migł owca sterowanego R ówn an ia  ruchu  ś migł owca  wyprowadzano  stosując  równania  Boltzmanna- H amela dla  ukł adów  mechanicznych  o  wię zach  nieholonomicznych  [2, 6, 9,  10,  11, 13,  14,  16,  19, 20],  w  postaci 20  M ech.  Teoret.  i  Stos.  1—2/87 306  J .  M AR YN I AK k  1 d  8T *  8T * 2  2 a =  l gdzie: ft"  1,2,....I, przy  czym  trójwskaź nikowe  symbole  Boltzm anna  mają   postać . 5 = 1 dla  / • =  1, 2,  ...,/ fc. Poł oż enie ś migł owca  w  przestrzeni  opisane jest  za  pomocą   k  =  2n+mĄ - \ 3  współ rzę d- nych  uogólnionych  q lt   q 2 ,  ...,  q k   i  odpowiadają cym  im  ą uasiprę dkoś ciom  a> a   dla  a  = =   1, 2,  ,,.,k  bę dą cych  zwią zkami  prę dkoś ci  uogóln ion ych  i  funkcji  współ rzę dnych uogólnionych. N a  ukł ad  nał oż one  są   wię zy  kinematyczne  niecał kowalne  w  postaci  / =   2n +  m+9 równań ^  0  (19) dla  /5  =   1, 2,  . . . , k—/ jeż eli  wię zy  mają   postać  (19)  wygodnie  jest  t ak  wprowadzić  ą uasi- prę dkoś ci  aby  „k—l"  ostatnich  ą uasi- prę dkoś ci  był o  równ ych  zeru  [14], K ^A  "  °>  •   ( 2 0 ) a  „ / "  pierwszych  ą uasi- prę dkoś ci  speł nia  dowolny  liniowy  ukł ad  równ ań dla  n  =   1, 2, ..., /   współ czynniki  a^C0")  A =   1, 2,  . . . , ^ )  są   funkcjami  współ rzę dnych uogólnionych  (11). gdzie: 'A r 0 0 0 A a 0 0 0 1 R ównania  (17)  w  liczbie  „ / "  wraz z  „k—l"  równ an iam i  wię zów  (19)  i  „ / "  równ an iam i zwią zków  kinematycznych  (21)  stanowią   ukł ad  „k+l"  równ ań ,  z  którego  przy  zadanych wartoś ciach  począ tkowych  m oż na wyznaczyć  , / c + / "  niezerowych  funkcji  czasu:  prę dkoś ci m l ,(o 2 ,...,w l   i  współ rzę dnych  qi,q 2 ,  • • • ,<7*- W  równaniach  (17)  T * jest  energią   kienetyczną   w  ą uasi- prę dkoś ciach  otrzym an ą   przez zastą pienie  w  energii  kinetycznej  T   prę dkoś ci  uogóln ion ych  q a {a  —  1, 2,  ..., &)  przez zwią zki  (22) k 2 X°^ >  fa"- '1/ 2,  ,..,*)  (22) P R AWA  STEROWAN IA  JAKI'I  wiez.y...  307 otrzym an e  z przekształ ceń  (20) i  (21).  Ponieważ  energia  kinetyczna  T *  jest  funkcji} „k" quasi- prę dkoś ci  a}1}0)3, 0)3,  .- .,0)k  zatem  zwią zki  (20)  mogą  być wykorzystane  po  wy- prowadzeniu  równań  (17) gdzie: a = D o  opisu  ruchu  przyję to  współ rzę dne  uogólnione  zgodnie  z (6) natomiast jako  quasi- prę dkoś cinastę pują ce  param etry  kinematyczne: w t ,co 2 ,co 3   —  rzuty  wektora  prę dkoś ci  ś rodka  masy  kadł uba  ś migł owca  w ukł adzie zwią zanym  ze ś migł owcem  rys.  1 (10), (11),  (12), o) 4, a> j, co 5  — rzuty  wektora  prę dkoś ci  ką towej  kadł uba  ś migł owca  na  osie  ukł adu zwią zanego  rys.  1 (7), (8),  (9), —  przyję te  quasi- prę dkoś ci  jako  równe  pochodnym  współ rzę dnych  uogólnionych: I'h = f, 0> S + i  = ft w n + 8 + f  — »i. +a+ j  = Wan + W+S ,,  (/  =  0 , 1 , 2 . L  a - 0 , 1, =   £},   ( . / = o , i =  ft> 2o  —  % j > , 3) 2 , 3 ) ,  (« =  4) ,2) (m =  3) (23) (24) (25) (26) (27) (28) ostatnie cztery  quasi- prę dkoś ci  tak wprowadzono,  że zgodnie z (20) na podstawie  praw sterowania  (13) - r- (16) traktowan ych  jako  równania  wię zów  był y  równe  zeru. i   x s ~x gz )+  (29) i(x g   -  k gz )  - T yk- K  + H^ , >aa -   ^ ( * ~ * . - ) +k p { P - P z ) + k f ( y g - y l t )  +  (30) R- lO- IVfc- ci.+fto.  (32) P o  wyznaczeniu  niezerowych  trójwskaź nikowych  symboli  Boltzmanna  [14] w  przyję- tym  ukł adzie  odniesienia  rys. 7  otrzym ano  równania  w postaci  ogólnej  w  nastę pują cej form ie: —  ruchów  podł uż nych ST *  8T *  a r *  ki  8T *  k- dt  \  8U  I  \  8x g   8y g   8z„  8x  T v   dr]  T 2 8T * k;  \   8T *  ,  57* „   ar*  /  ki  ,\ f  - * ) ^+  • £-  ( # - * )f l»= «+ «+ «+ » v̂ (33) 308 J.  MARYNIAK Rys.  7. Sił y i  momenty sił  oraz  ich skł adowe  dział ają ce  na ś migł owiec  w przyję tym  ukł adzie  odniesienia —  ruchów  poprzecznych cl dt l8T *\ +- 8T * SXg 8T *  kf Sti  T 2 dT * 8T * 8T *  8T *  ki + 8T *  ki ST*.R- *£P+8U  8W —  ruchów  pionowych dt  \  8W   \   dx, 8T * ,8T * (34) 8T * ~8y7 8T *_ dz a 8T * 8T *  ki  dT *  ki  \   8T *   n   dT * • a 32 + - T r~- - 7fra33]- - ^ rQ +  - ^ rrd n   T 2 T 3 8T *  tk "1+3 - k z )a 33   = (35) ruchów  przechylają cych d  [8T *\   18T *  8T *  K dt  \   8P• )-( 80 dT * 8R 8T * • + • drj  T 2 8T * „.  8T * „ dV  dW dT *dT * 3Q RK- 8a>1  +  2 (*- 4 (36) P R AWA  STEROWAN IA  JAKO  WI Ę Z Y. ..  309 ruchów  pochylają cych d  l8T *\   I8T *  .  8T *  ,  8T * sin #   8T * - 5r̂ - S- CT+ -̂ Jl- -̂ P+ ^L- (A.- Ą ooi# —  ruchów  odchylają cych d  (8T *\   I8T *  _  _  8T * .  _ ,  8T *d (8T *\ dt\ dRJ ST * 0 + dT *p+ 8T * p—(- k„Q- k ę cos0tg0)  + —  i- tej  ł opaty  wirnika  noś nego  wokół   osi  przegubu  poziomego —  i- tej  ł opaty  wirnika  noś nego  wokół   osi przegubu  pionowego 2  \   COS C  /   f̂t)fc (37) J |  +   1  C/Ł hN I„+N I„  (38) wirnika  noś nego d r * f = 0 , l , . . . , « - l.  (40) 4- (43) n  =  4 ł - 0 , 1,  . . . , »- !  (44) - (47) « =  4 y- tej  ł opaty  ś migła  ogonowego  wokół  osi przegubu  wahań =   0 , l , . . . , m - ł.  (48)* (50) =  3 310  J-   M AR VN I AK —  zespoł u  napę dowego  silnika  lewego  turbin a  +   sprę ż arka A ~di —  zespoł u  napę dowego  silnika  prawego  turbin a  +   sprę ż arka d dt  '  ^ ^ W  równaniach  wprowadzon o  nastę pują ce  ozn aczen ia:  T * —  energia  kinetyczna  ukł adu w  quasi- prę dkoś ciach,  m c  —  masa  cał kowita  ś migł owca,  m om en ty  sił   dział ają ce  n a : vV02 — wirnik  noś ny  wokół   osi  0222>  M 04.—  ś migło  ogonowe  wokół   osi  0 4 j ' 4 M H i , M vi   —  /- tą ł opatę wirnika  noś nego wokół  osi przegubu  poziom ego i pionowego,  M pi   —;- tą ł opatę  ś migła  ogonowego  wokół   osi  przegubu  wahań ,  M hL ,  M kP   —  turbin y  i  sprę ż arki silnika  lewego  o raz'p rawego ;  C H ,C V ,C P   —  stał e  sprę ż yn  w  przegubach :  poziomych i  pionowych  ł opat  wirnika  noś nego  oraz  ś migła  ogon owego;  k u ,  k r ,k p ,—  współ czynniki tł umienia  w  przegubach:  poziomych  i  pionowych  ł opat  wirn ika  n oś n ego  oraz  ś migła ogonowego.  Indeksy  dolne  oznaczają:  k —  kadł ub,  w — wirn ik  noś ny,  s —  ś migło ogo- nowe,  sil —  silnik,  st —  statecznik  poziom y.  Indeksy  górn e  przy  sił ach  i  m om en tach  sił : a — aerodynamiczne, g  — grawitacyjne  i  n — n apę du. R ówn an ia  ruchu  (33)- s- (52)  wraz  z  czterema  równ an iam i  sterowan ia  (13)- r(16), zależ noś ciami  okreś lają cymi  quasi —  prę dkoś ci  (8) i (11) oraz  prę dkoś ciami  uogólnionymi (23)- = - (28)  stanowią  ogólny  model  matematyczny jedn owirn ikowego  ś migł owca  ze  ś mig- ł em  ogonowym  i  statecznikiem  poziomym  przydatn y  do badań  symulacyjnych  i  symulacji numerycznej  ś migł owca  sterowanego  w  dowolnym  locie.  Z astosowan ie  przedstawionych równań  ruchu wymaga  wprowadzenia  w  poszczególne  wyrazy  odpowiednich pochodnych energii  kinetycznej  [14] czynność  tą  m oż na  wykonać  n a  drodze  analitycznej  lub  poprzez bezpoś rednią  generację  numeryczną  równ ań . W  przedstawionych  równaniach  w  formie  ogólne  uwidacznia  się  bardzo  jasn o,  że model  matematyczny  wyprowadzony  jako  system  równ ań  ukł adu  mechanicznego  z nie- holonomicznymi  wię zami  daje  peł ne  sprzę ż enie  równ ań  ruch u  (33)- r- (52)  z  prawami automatycznego  sterowania  (13)^- (16)  jako  kinem atycznym i  wię zami  n ał oż on ymi  n a ukł ad.  W poszczególnych  wyrazach  równań  ruchu  widoczne  są  współ czynniki  zależ ne od stał ych  czasowych  T x  - i-   T Ą  współ czynników  wzmocnienia  k a   oraz  funkcji  współ rzę dnych uogólnionych  a aX . Symulację  lotu sterowanego  ś migł owca znajdują cego  się w  dowolnym  ruch u przestrzen- nym  przedstawiono  n a  schemacie  blokowym  rys.  8.  Schem at  zawiera  cztery  podstawowe bloki:  blok  dynamiki  ś migł owca,  blok  pilota- czł owieka,  blok  ukł adu  automatycznego sterowania  i  podwyż szają cy  stateczność  ukł adu  oraz  blok  n apę du —  dyn am ika  silnika. N a  schemacie  podan e  są  sprzę ż enia  dynamiczne  (<£>,0, XP, P,Q,  R,  U, V,  W ), kinema- tyczne  {xx, y l ,  Zj) sygnał y  sterowania  (ę s ,  n, v\ , 

t )  realizowane  przez  pilota —  czł o- wieka  lub  ukł ad  automatycznego  sterowania.  P odan o  również  drogę  informacji  oraz ingerencji  n a wł asnoś ci  dynamiczne i  decyzyjne  zm ian  param etrów  lotu,  warun ków  atmo- sferycznych  i wysokoś ci lotu przedstawiając  odpowiednie sprzę ż enia rys. 8. P R AWA  STEROWAN IA  JAKO  WI Ę Z Y. .. 311 BLOK  SYM ULACJ I WYSOKOŚ CI  LOTU BLOK  CAŁKUJĄ CY  WSPÓŁRZĘ D- NYCH  POŁOŻ EN IA P I  L O T C Z Ł O WI E K A$ A9 AW AP AQ AR AL) AV AW DYNAMIKA SILNIKA N  9 cc  < ir  o a.  o. ZADANE  PARAMETRY LOTU FORMOWANIE  PARAMETRÓW KINEMATYCZNYCH  LOTU STAB ILIZACJ I Rys.  8. Schamat blokowy  dynamiki  sterowanego  ś migł owca  z  automatycznym  ukł adem  sterowania i  podwyż szenia  stabilizacji. 4.  Wnioski P rzedstawiony  model  matematyczny  został  przetestowany  numerycznie  na  przykł adzie ś migł owca  klasy  Mi  —6  [5, 7,  8,  10,  11, 14] a uzyskane  wyniki  pomimo  skomplikowanego ukł adu równ ań ś wiadczą   o wł aś ciwym  opisie matematycznym przyję tego  modelu  fizycznego odpowiadają cego  w  peł ni  wł asnoś ciom  dynamicznym  rozważ anego  ś migł owca.  Obliczenia wykon an o  dla  róż nych  konfiguracji  lotu,  wyznaczają c  warunki  równowagi  [5, 6, 8,  14] i  stateczność  ś migł owca  [5, 6,  7,  8,  14]  oraz  zawis  [5, 6,  14].  Stwierdzono,  że  uzyskany m odel  matematyczny  ś migł owca  sprzę gają cy  kinematyczne  równania  automatycznego sterowania  z  dynamicznymi  równaniam i  ruchu  i  wł ą czony  jako  ukł ad  wspomagają cy pilota  zabezpiecza  równowagę   i  stateczność  ś migł owca  w  peł nym  zakresie  prę dkoś ci eksploatacyjnych  i  zawisie. P rzedstawiony  model  p o  modyfikacji  m oż na  zastosować  do  symulacji  numerycznej autom atycznie  sterowanych  obiektów  ruchomych jak  samoloty,  rakiety  szczególnie  samo- n aprowadzan e  róż nych  typów  jak  ziemia—powietrze,  powietrze—powietrze  i  przeciw- pan cern e.  Jak  również,  przy  projektowaniu  mikrokomputerowych  bloków  wykonawczych autom atycznego  sterowania  obiektam i  jako  niezbę dny  model  matematyczny. 312  J.  M ARYN IAK Literatura 1.  T. R.  CROSSLEY, B,  P ORTER, Synthesis  of  Helicopter  Stabilization  Systems  Using Modal  Control T heory, Journ al  of  Aircraft,  Vol.  9,  N o .  1,  1972. 2.  R.  G U TOWSKI ,  Mechanika  analityczna,  WN T,  Warszawa  1971 3.  W. E.  H AL L ,  A. E .  BRYSON , —  „Inclusion of  Rotor  Dynamics  in  Controller  Design for  Helicopters", Journ al  of  Aircraft,  Vol.  10,  N o . 4,  1973. 4.  J. P .  D E N ,  H AR TOG   Mechanical  Vibrations,  M cG raw- H ill,  N ew  Yo rk  1956. 5.  K.  JAN KOWSKI,  Metodyka  wyznaczania parametrów  ruchu  ustalonego  ś migł owca  na  przykł adzie  lotu poziomego  i zawisu, M ech. Teoret. i Stos., T  23, Zeszyt 3/ 4,  P WN  Warszawa  1985 6.  K.  JAN KOWSKI, J.  M ARYN IAK,  Modelowanie matematyczne automatycznie  sterowanego ś migł owca  w ruchu przestrzennym,  M ech.  Teoret.  i  Stos.,  T  23,  Zeszyt  3/ 4  P WN   Warszawa  1985 7.  K.  JAN KOWSKI,  J.  M ARYN IAK,  Badanie  statecznoś ci  ustalonych  stanów  lotu  sterowanego  ś migł owca i  analiza sprzę ż eń  ruchów przestrzennych  jego  elementów —  M ech.  Teoret.  i Stos. T 23 Zeszyt 3/ 4  PWN Warszawa  1985 8.  K.  JAN KOWSKI, J.  M ARYN IAK,  Sprzę ż enie ruchów przestrzennych  ś migł owca  w prostoliniowym  poziomym locie ustalonym, I Ogólnopolska Konferencja „ M echan ika w  Lotn ictwie", Warszawa  1984. M ech . Teor. i  Stos. T  24, Zeszyt  1  / 2,  P WN  Warszawa  1986 9.  J.  M ARYN IAK,  Dynamiczna  teoria  obiektów  ruchomych,  WPW —  M echan ika  N r  32, P olitechnika Warszawska  Warszawa  1975. 10.  J.  M ARYN IAK,  K. JAN KOWSKI, Symulacja numeryczna sterowanego ś migł owca  jako  ukł adu mechanicznego o  wię zach  nieholonomicznych, I I  Ogólnopolskie  Sympozjum  SP D   —  2  „ Symulacja  P rocesów  D yna- micznych" — Z akopan e  1985 11.  J.  M ARYN IAK,  K.  JAN KOWSKI,  Prawa  iteroYjania jako  wię zy  nieholonomiczne  automatycznego  ukł ad sterowania^  I I  Ogólnopolska  Konferencja  „ M ech an ika  w  Lotn ictwie"  —•  Warszawa  1986 12.  M U R P H Y  R. D . ,  N AREN D RA  K . S.,  Design  of  Helicopter  stabilization  Systems  Using  Optimal  Control T heory, Journ al  of  Aricraft,  Vol.  6,  N o , 2,  1969 13.  N EJMARK  J. I .,  F U F AJEW  N . A.,  Dynamika  ukł adów nieholonomicznych,  P WN , Warszawa  1971 14.  K.  JAN KOWSKI, Modelowanie fizyczne  i matematyczne  wł asnoś ci dynamicznych  sterowanego ś miglowca- w  ruchu  przestrzennym",  R ozprawa  doktorska,  P olitechn ika  Warszawska,  Warszawa  1992 (niepublikowana) 15.  H . C . flM H TPEB, C .  K>.  EcAyJioBj  CucmeMU  ypnpaenenun  obnoeuHmoiux  eep?no/ iemoe >   MamH H ocT- p o en n e 3  MocKBa  1969. 16.  B. B.  JI OSP OH P ABOBJ  OCHOBU MexamiKu  ueeojioHOMtibix cucmeM,  Hfafl.  Bbicuian  HfKOJiaj  M ocKBa 1970. 17.  C .  K>.  E C AYJI OB,  O . n .  BAXOB,  H . C .  JJH M H T P E B,  Bepmojiem  KOK  oSiemn  ynpaenenun,  M a n m - HOCTpoeHHe,  MocKBa  1977. 18.  B.  A.  K OWE BH H K OBJ  AamoMamimecKan  cma6ujiU3aifUH  eepmo/ iemoa, M am n H ocTpoetiH e,  MocKBa 1977. 19.  E .  M AP BIH H KJ,  I I .  PyganEKj  M .  3JIOITJKA, npuMemmte  ypamenu  EonbUMauna- raMejin e  uccnedoeauunx 60K080&  ycmo&Hueocmu ynpyeoio  Jiemawtuezo odienma,  FoflHrxniKK  Ha B Y 3  IlpHJioXKOHa MaTeinaTHKa T .  XI  m i.  3,  Co(j)HH   1975. 20.  E .  M AP BIH H K, K.  H H KOBCKH , Upumumue  ypamehuu  EojibifMamia- raMe/ iH  npu  Mode/ iupoeamtu  btata- MuuecKux  ceoucme ynpaejiHmoio  eepmojiema, Y  Hau,HOHajiŁ H£>rfł   K oH rpecc  n o TeoperaraeCKOH : H   I I pH - KJiaflHoń  MexaH H Ke.  Bapiia  1985. 2 1 .  B.  .  P OM AC EBH '1!;  F . A.  C AM OH JI OB,  npaKmunecKan  aspoduttaMUKa eepmojtemoe",  BoeH H aaaT, MocKBa  1980. P  e  3  IO  M  e 3AK0H Ł I  ynPABJIEH H fl  KAK  HErOJIOHOMHLIE  CBH3H  ABTOMATIMECKOrO ynPABJIEH H fl  BEPTOJIETOM B  craTŁ e  npeflcraBJieH o  BbiBeflemie  saKOHOB  ynpaBJieHHJi  iKymHHCH  MexaHjraecKHH   o6Ł eiKeT  6Ł I TB  I I P H H H T  n p n  aBTOMaiiraecKOM   ynpasjieH H H   caMOJiiiTOB,  pai