Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\02mts87_t25_zeszyt_3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  25,  (1987) Z JAWI SK A  R E Z O N AN SÓ W  WE WN Ę T R Z N YCH W  N I E L I N I O WYC H  U K Ł AD AC H   D R G AJ Ą C YCH JÓZ E F   BAJKOWSKI WAN D A SZ EM P LI Ń SKA- STU P N I C KA 1PPT   PAN ,  W arszawa 1.  Wstę p  i  przeglą d  literatury Term in em  „ rezon an s  wewn ę trzn y"  przyję to  okreś lać  te  szczególne  zjawiska,  kt ó re pojawiają   się   w  drgają cych  u kł ad ach  nieliniowych  o  n  stopn iach  swobody  wtedy,  gdy istnieją   liczby  cał kowite  k s ,  s  =   1, 2,  . . . , p,  nie  wszystkie  równ e  zero,  t akie  że  m ię dzy czę stoś ciami  wł asnymi  u kł ad u  w ls   ...,a> p   zach odzi  zwią zek  t yp u : s a) s   =  0,  p*Zn,  (1) tzn .  gdy  czę stoś ci  te  są   współ m iern e.  W  teorii  pierwszego  przybliż en ia  czę stoś ci  co s   są czę stoś ciami  wł asnymi  u kł ad u  lin iowego,  t j.  u kł a d u  w  kt ó rym  czł on y  n ielin iowe  został y odrzucon e. Szczególnie  interesują cym  jest  przypadek  kiedy  w  ukł adzie  wystę puje  jedn ocześ n ie rezon an s  zewnę trzny,  t j.  gdy  istnieją   liczby  cał kowite m x ,  ...,m p   n ie  wszystkie  równ e  zero i  liczba  m,, takie,  że  speł n ion y jest  waru n ek: p J  m s co s +m v v  =  0,  p  <  n,  .  (2) l gdzie v —  czę stość sił y wzbudzają cej,  m v   =   1 , 2 , 3 ,  . . . , o raz gdy  wś ród  czę stoś ci  co 1 ,  ...,a) p są   czę stoś ci  współ m iern e,  a  wię c  speł niony  jest  waru n ek  (1). W  przypadku  gdy  rezon an sem  zewn ę trzn ym  jest  rezo n an s  gł ówny,  t j.  gdy  czę stość wymuszenia  jest  w  pobliżu  jedn ej  z  czę stoś ci  wł asn ych , v  X  co k>   (3) efektem  współ m iernoś ci  czę stoś ci  wł asn ych  jest  „ wcią gan ie"  d o  rezo n an su  o p ró cz rezonansowej  współ rzę dn ej  n orm aln ej  fu,  równ ież  in n ych  współ rzę dn ych  | s  o d p o wiad a- ją cych  czę stoś ciom wł asn ym co s  współ m iern ym z ca k .  W  rezultacie zam iast  jed n o p o st ac io wej odpowiedzi  rezon an sowej,  w  której  dom inuje  skł adowa  h arm o n ic zn a  o  czę stoś ci  v,  m o że pojawić  się   odpowiedź  wielopostaciowa,  w  której  równ oważ ną   r o lę   odgrywają   równ ież 342  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPNFCKA skł adowe  harmoniczne  o  czę stoś ciach  odpowiadają cych  czę stoś ciom  wł asnym  współ - rzę dnych  !j . Efekty  współ miernoś ci  czę stoś ci  wł asnych  w  nieliniowych  autonomicznym  i  zacho- wawczym ukł adzie o  dwóch  stopniach  swobody,  po  raz  pierwszy  został y  zbadane  przez G oreli ka  i Witta  [1].  Ukł adem tym był o wahadł o matematyczne zawieszone  na  sprę ż ynie, a  opisane  ukł adem  dwóch  równań  róż niczkowych  drugiego  rzę du  sprzę ż onych  tylko poprzez  czł on  nieliniowy.  Stwierdzili  oni, że gdy  czę stość  drgań  wzdł uż dł ugoś ci wahadł a jest  podwojoną   czę stoś cią   drgań  obrotowych  wahadł a, to  charakter drgań  ulega  jakoś cio- wej  zmianie i pojawiają   się   drgania, w których  nastę puje  przepł yw  energii  z jednej  postaci do  drugiej  i  z  powrotem. U kł ad  ten  analizował o  teoretycznie  i  doś wiadczalnie  wielu  autorów,  mię dzy innym Kane  i  Kalin  [2],  van  der  Burgh  [3, 4],  Srinivasan  i  Sankar  [5],  Evan- Iwanowski  [6], M inorsky  [7]. Zjawisko  przepł ywu  energii  mię dzy  poszczególnymi  postaciami  w  ukł adach nielinio- wych  autonomicznych, a  wywoł ane  współ miernoś cią   czę stoś ci  wł asnych  i  znane  również w  literaturze  pod  nazwą   drgania  „autoparametryczne", badane  był o również  dla innych ukł adów, n p. belki  i wahadł a—Sevin  [8], Struble  [9, 10, 11, 12], Struble i H einbockel [13]. F akt,  że  jedna  postać  może  wytł umiać  drgania  innej  postaci  wykorzystali  H axton i  Barr  [14]  budują c  autoparametryczny  tł umik  drgań.  N atomiast  Barr  i  N elson  [15] stwierdzili,  że  efektem  rezonansu  wewnę trznego,  tj.  wzajemnego  oddział ywania  mię dzy postaciami,  może  być  np.  to,  że  wymuszone  drgania  jednej  postaci  mogą   spowodować wykł adniczy  wzrost  amplitudy  drgań  innej  postaci. Efekty  sprzę ż enia  i  oddział ywania  mię dzypostaciowego  w  róż nego  typu  ukł adach, lecz bez uwzglę dnienia  moż liwoś ci  wystą pienia  rezonansu wewnę trznego, analizują   w swoich pracach  M ac  D onald  [16],  Atluri  [17],  Dowell  [18],  M orino  [19],  Bennet  i  Eisley  [20], Bennet  [21],  Tseng  i  Dugundji  [22]. W  pracach  poś wię conych  efektom  współ miernoś ci  czę stoś ci  wł asnych  szczególna uwaga  został a  zwrócona  n a  przypadek,  gdy  jedna  z  czę stoś ci  jest  dwukrotnie  wię ksza od  drugiej  tj. 2o)j  =   coj.  (4) Zależ ność  tego  typu  prowadzi  do zjawiska  rezonansu  wewnę trznego  gdy  nieliniowość w  ukł adzie jest typu  kwadratowego.  Próbę  ogólnej analizy  i klasyfikację   tego typu ukł adów 0  n  stopniach  swobody  podją ł   po  raz  pierwszy  Sethna  [23].  W  zależ noś ci  od  wartoś ci czę stoś ci  wymuszenia  v  i  amplitudy  sił y  wymuszają cej,  autor  wprowadził   nastę pują ce typy  ukł adów: 1 —  autonomiczny  z  rezonansem  wewnę trznym, 2 —  nieautonomiczny  z  rezonansem  zewnę trznym  bez  rezonansu  wewnę trznego, 3 —  nieautonomiczny z  rezonansem zewnę trznym  i  wewnę trznym: (a)  przypadek  superhanrtoniczny —•   gdy  czę stość  wymuszenia  jest  w  pobliżu  niż szej czę stoś ci  wł asnej, (b)  przypadek  subharmoniczny  —  gdy  czę stość  wymuszenia  jest  w  pobliżu  wyż szej czę stoś ci  wł asnej.  ' D la  przypadku  (3a) jednym  rozwią zaniem  jest  rozwią zanie  nietrywialne  dwuczę stoś ciowe z  am plitudam i:  a x   ^  0  dla  współ rzę dnej  rezonansowej  i  a 2   Ą=  0  dla  współ rzę dnej  wcią - ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH   343 ganej  do  rezonansu.  D la  przypadku  (3b)  moż liwe  są  dwa  typy  rozwią zań:  jednoczę stoś- ciowe  —  a x   =   0 i a 2   ^   0,  oraz  dwuczę stoś ciowe  z  amplitudami  a x   <£  0  dla  współ rzę dnej wcią ganej  do  rezonansu  i  a 2   Ą=  0  dla  współ rzę dnej  rezonansowej. Podobne  wyniki  i  wnioski  moż emy  znaleźć  w  pracy  Piszczka  [24].  Rozpatruje  on • drgania  ustalone  pł askiej  belki,  podpartej  na  koń cach  przy  pomocy  sztywnych  podpór sprę ż yś cie  zamocowanych  do  podł oż a.  W  ś rodku  belki  umieszczono  obcią ż enie  oraz masę   na  mimoś rodzie. U kł ady z nieliniowoś cią   typu kwadratowego  i rezonansem wewnę trznym  typu 2 x   gdy  nieliniowość  zawiera  czł ony kwadratowe  i  sześ cienne.  Stwierdzają oni, że gdy  czę stość wymuszenia jest w pobliżu  niż szej  czę stoś ci  wł asnej  [30], jedynym  roz- wią zaniem  jest  rozwią zanie  dwuczę stoś ciowe  ze  skł adowymi  harmonicznymi  o  czę stoś- ciach:  wymuszenia  i  podwojonej  czę stoś ci  wymuszenia.  Autorzy  pokazują ,  że  w  pewnym zakresie  czę stoś ci  wymuszenia  v, drgania  okresowe  dwuczę stoś ciowe  przechodzą   w  drga- nia  prawie- okresowe  ze skł adowymi  harmonicznymi  o  czę stoś ciach:  v  i  bliskiej  2v. D rga- nia  te  są   bardzo  wraż liwe  na  tł umienie.  Badają c  ukł ad  w pobliżu  wyż szej  czę stoś ci  wł as- nej  [31],  autorzy  stwierdzają   moż liwość  wystą pienia  dwóch  typów  rozwią zań:  jedno- czę stoś ciowego  o czę stoś ci  wymuszenia v,  a  wię c takiego jak  bez  rezonansu  wewnę trznego, i  dwuczę stoś ciowego  ze  skł adowymi  harmonicznymi  o  czę stoś ciach  v  i  T/ 2.  P odobnie  jak 344  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA poprzednio, stwierdzają   oni istnienie pewnego przedział u czę stoś ci wymuszenia,  w którym wystę pują   drgania  prawie- okresowe. Omawiane  w  pracach  [13 -  31]  problemy  dotyczył y  ukł adów  nieautonomicznych, z  nieliniowoś cią   typu  kwadratowego  bą dź  kwadratowego  i  sześ ciennego  ł ą cznie  i  rezo- nansem  wewnę trznym  2co; =  coj. Klasycznym  przykł adem  nieliniowoś ci  sprę ż ystej,  wystę pują cej  w  wielu  ukł adach fizycznych  jest  nieliniowość  aproksymowana  przez  funkcję   typu  sześ ciennego.  Z  tą   klasą funkcji  nieliniowych  wią że  się   rezonans  wewnę trzny  typu: 3a>,  =   a>j.  ( 5) Zagadnieniu  temu poś wię cają   swoje  prace mię dzy innymi:  Sethna  [32], N ayfeh, Mook i  Sridhar  [33], N ayfeh,  Mook, i  Lobitz  [34], Lau, Cheung i Wu  [35], Croll  [36,  37], Baj- kowski  [38], Bajkowski  i Szempliń ska- Stupnicka [39]. W  pracy  [32] rozważ any jest  ukł ad  o  dwóch  stopniach swobody  z  rezonansem wew- nę trznym  w 2   =   3ft)!.  Autor  stwierdza,  że  gdy  czę stość  wymuszenia  jest  bliska  niż szej czę stoś ci  wł asnej,  w  rozwią zaniu  daje  zauważ yć  się   bardzo  silny  udział   trzeciej  harmo- nicznej.  W  przypadku  gdy  czę stość  wymuszenia  jest  w  pobliżu  wyż szej  czę stoś ci  wł asnej w  odpowiedzi  nie  stwierdzono  istnienia  skł adowej  subharmonicznej. N ayfeh,  M ook  i  Sridhar  [33]  znajdują   rezonans  wewnę trzny  przy  badaniu  drgań poprzecznych  belki  podlegają cej  duż ym  odkształ ceniom.  W przypadku  gdy  belka  z jednej strony  jest  utwierdzona,  a  z  drugiej  zamocowana  przegubowo,  autorzy  zwracają   uwagę n a  jeden  z  moż liwych  przypadków  współ miernoś ci  czę stoś ci  wł asnych,  a  mianowicie o) 2   S  3a>i.  G dy  czę stość  wymuszenia  jest  w  pobliżu  niż szej  czę stoś ci  wł asnej, jedynym rozwią zaniem  jest  rozwią zanie  dwuczę stoś ciowe  ze  skł adowymi  harmonicznymi  o  czę s- toś ciach:  wymuszenia  i  potrojonej  czę stoś ci  wymuszenia.  Amplituda  postaci  wcią ganej w  rezonans  jest  bardzo  mał a  i  w  rozwią zaniu  praktycznie  dominuje  pierwsza  postać. W  przypadku  gdy  czę stość  wymuszenia  jest  bliska  wyż szej  czę stoś ci  wł asnej, moż liwe  są dwa  róż ne  rozwią zania:  jednoczę stoś ciowe  o  czę stoś ci  wymuszenia  v  i  dwuczę stoś ciowe ze  skł adowymi  harmonicznymi o  czę stoś ciach v  i v/ 3. Warto  zauważ yć,  że  w  przypadku drgań  dwuczę stoś ciowych,  udział   skł adowej  o  czę stoś ci  v/ 3 (pierwszej  postaci), może  być bardzo  duż y,  nawet  sześ ciokrotnie  wię kszy  niż  podstawowej.  Z  podobnymi  wynikami moż emy  spotkać się  w  pracy  [34]. Lau,  Cheung i Wu  [35] analizują c  podobny typ ukł adu pokazują ,  że  oprócz  drgań  okresowych  mogą   wystą pić  drgania  prawie- okresowe. Także Croll  [36, 37] analizuje  drgania powł ok z uwzglę dnieniem rezonansu wewnę trz- nego.  W  [36] badane są   rezonanse wewnę trzne o^  =   2a> 2   i o^  =   3co2 zaś w  [37]  rezonanse a>i  =  (i> 2 ,  i  =   2ft> 2  i  a > i «=   4 c o 2 . Bajkowski  i  Szempliń ska- Stupnicka  [38, 39] badają   przydatność metod  Ritza i uś red- nienia do  badania efektów  rezonansu wewnę trznego  a> 2   =   3ft)!  w ukł adzie z nieliniowoś cią typu  sześ ciennego. W  pracach  [23 -  39] omawiany  był   rezonans wewnę trzny  typu (Ot  =   2coj bą dź  co;  =   3i+co2+co3. Wykazują ,  że  wszystkie  pię ć  postaci  mogą   uczestniczyć  w rozwią - zaniu, pomimo że tylko  jedna  z  postaci jest  bezpoś rednio  wzbudzana,  poza  tym  dominu- ją cą   w  rozwią zaniu  może  być  inna  niż  bezpoś rednio  wzbudzona  postać. W  omawianych  uprzednio  pracach  badano  wpł yw  rezonansu  wewnę trznego  n a  zew- nę trzne  rezonanse  gł ówne.  O  wpł ywie  rezonansu  wewnę trznego  n a  rezonans  zewnę trzny kombinowany  typu  v  =  (a t  +co 2   mówią   prace  Asmis'a  i  Tso  [43]  oraz  N ayfeh'a  [44].. W  [43] badany jest  ukł ad  o dwóch stopniach swobody, z nieliniowoś cią   typu  sześ ciennego i rezonansem wewnę trznym  a>x  =   w 2   •   N atomiast w  [44] badany jest ten sam typ rezonansu zewnę trznego,  w  przypadku  ukł adu  z  nieliniowoś cią   typu  kwadratowego  i  sześ ciennego ł ą cznie,  przy  rezonansach  wewnę trznych  co 2  — 2a> 1  i  2   =   'ioy^ .  N ależy  nadmienić,  że równania  tego  typu  mogą opisywać  drgania:  akceleratorów  indukcyjnych,  wirują cych  wał ów,  powł ok,  wyginanych elementów  konstrukcji,  statycznie  obcią ż onych  konstrukcji. Szczegół owe  omówienie  i  wyniki  prac  [15, 23,  25,  26,  27,  28,  30,  31,  32,  33] moż na znaleźć  w  przeglą dowej  pracy  Bajkowskiego  i  Szempliń skiej- Stupnickiej  [45]. W  przedstawionych  pracach  [23 -  44]  analizowano  drgania  ukł adów  o  wzbudzeniu, zewnę trznym  harmonicznym.  Omówimy  teraz  niektóre  z  prac,  w  których  analizowano drgania  ukł adów  o  wzbudzeniu  parametrycznym  bą dź  parametrycznym  i  zewnę trznym, harmonicznym. Ibrahim  i  Barr  [46,  47]  badają   drgania  ukł adu  zł oż onego  ze  zbiornika  czę ś ciowo napeł nionego cieczą   i  sprę ż yś cie zamocowanego.  N ieliniowość jest  tu typu  kwadratowego, a  ukł ad  może  być  wzbudzany  parametrycznie,  bą dź  przez  autoparametryczne  sprzę ż enie- pomię dzy  poszczególnymi  postaciami elementów  konstrukcji  a pierwszą   postacią   falują cej; 346  J .  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA • cieczy. W  [46] rozważ ają   przypadek  rezon an su wewnę trznego  co 2   — 2t,  gdzie  a>2 —  drga- n ia  wł asn e  kon strukcji,  m 1   —  drgan ia  wł asne  falują cej  cieczy.  W  [47]  badają   przypadek rezo n an su  wewn ę trzn ego  trzypostaciowego  typu  sumy  lub  róż nicy.  Stwierdzają ,  że  typ  ten rozwią zan ia  jest  moż liwy  tylko  wtedy,  gdy  tł um ien ie  dwóch  niż szych  postaci  jest  równe zer o  bą dź  jest  bliskie  zera. An alizę   p o d o bn ego  u kł ad u  przeprowadzili  N ayfeh,  M o o k  i  M arsh al  [48]  badają c rozwią zan ie  w  przypadku  rezon an su  co2  =  '2colt  a  także  N ayfeh  i  M o o k  [49]  dla  rezo- n a n su  wewn ę trzn ego  typu  kom bin owan ego.  W  o bu  przypadkach  otrzym ali  analitycznie st an y  u st alo n e  lecz  bez  ż adnych  ograniczeń jeś li  chodzi  o  tł um ien ie. Tso  i  Asm is  [50]  an alizowali  odpowiedź  nieliniowego  u kł ad u  drgają cego  o  dwóch st o p n iach  swobody,  z  nieliniowoś cią   typu  sześ ciennego  i  h arm on iczn ym  wzbudzen iu param et ryczn ym ,  lecz  bez  rezon an su  wewn ę trzn ego.  P odobn y  ukł ad  opisują cy  drgania boczn e  ko lu m n  przy  udziale  zewn ę trzn ego  obcią ż enia  h arm on iczn ego  z  uwzglę dnieniem rezo n an su  wewn ę trzn ego  badali  Tezak,  M o o k  i  N ayfeh  [51].  N atom iast  N ayfeh  w  [52] ba d a  odpowiedź  u kł a d u  o  dwóch  stopn iach  swobody,  wzbudzon iu  param etryczn ym , z  rezo n an sem  wewn ę trzn ym,  w  przypadku  nieliniowoś ci  typu  kwadratowego. H at wal,  M allik  i  G h o sh  [53]  analizują   podobn y  ukł ad  jaki  badali  H axt o n  i  Barr  [15], a  wię c  u kł a d  m asa- wah adło  z  nieliniowoś cią   t ypu  kwadratowego.  Stwierdzają   on i,  że efektem  rezon an su  wewn ę trzn ego  a> 2   =  2co t  jest  wzbudzenie  param etryczn e,  a  dla  dosta- teczn ie  duż ych  am plitud  wym uszenia  moż liwość  wystą pienia  drgań  prawie- okresowych. N ayfeh  w  [54]  ba d a  ukł ad  o  wielu  stopn iach  swobody  z  nieliniowoś cią   typu  kwadra- towego  i  sześ ciennego  ł ą cznie,  z  wymuszeniem  param etryczn ym  i  rezon an sem  wewnę trz- n ym  co 3   — a> 1 +io 2 -   N ielin iowość  m oże  być  t ypu  geom etrycznego  bą dź  sprę ż ystego, a  ró wn an ia  m ogą   opisywać  drgan ia  wirują cych  wał ów,  sklepień,  powł ok  i  pł yt,  sprzę - ż o ne po przeczn e i wzdł uż ne drgan ia  kolum n ,  drgan ia  zbiorn ików  czę ś ciowo n apeł n ion ych cieczą   i  zam ocowan ych  sprę ż yś cie. Z  an alizą   u kł ad ó w  z  wielokrotn ym i  czę stoś ciami  wł asnymi  i  wzbudzan ych  param e- t r yc zn ie  m o ż emy  spot kać  się   m ię dzy  in n ym i w  pracach  [55, 56,  57, 68]. F u i N em at- N asser [55,  56]  rozpatrują   u kł ad y  liniowe,  n ietł um ion e  w  przypadku  wystę powania  dwóch  czę s- toś ci  wielokrotn ych .  N at o m iast Tezak,  N ayfeh  i  M o o k  [57] rozwijają   analizę   przeprowa- dzon ą   przez  F u  i  N em at - N asser'a  wł ą czając  do  u kł ad u  tł um ienie  i  nieliniowość  typu sześ cien n ego,  a  jako  przykł ad  podają   badan ie  flatteru  powł ok  w  obecnoś ci  obcią ż enia h arm o n ic zn ego .  Także  N ayfeh  [58]  rozważa  ukł ad  o  wielu  stopn iach  swobody  z  wielo- kro t n ym i  czę stoś ciami  wł asnymi,  a  szczegół owej  analizie  poddaje  ukł ad  o  czterech  stop- .n iach  swobody,  w  kt ó rym  trzy  pierwsze  czę stoś ci  wł asne  są   takie  sam e.  Badan ia  koncen- truje  n a  rezo n an sach  param etryczn ych :  2co l ,  cu 1+ co 4  i  (o1—mA. Ogólniejszą   teorię   i  klasyfikację   rezon an sów  wewnę trznych  m o ż na  także  znaleźć w  p rac ac h Set h n a  [59], C zeszan kowa  [60, 61, 62],  Samojlenki  i  M o m o t a  [63, 64], N ayfeh 'a :i  M o o k ' a  [65]. W  przeważ ają cej  wię kszoś ci  om awian ych  prac  wyniki  teoretyczn e  uzyskan e  był y  za p o m o cą   jedn ej  z  tech n ik perturbacyjn ych,  najczę ś ciej  za  pom ocą   klasycznej  m etody  uś red- n ien ia,  a  weryfikacja  tych  wyników  przeprowadzan a  był a  przez  symulację   równ ań  ruchu „ na  m aszyn ach  cyfrowych  lub  an alogowych . W  n ieliczn ych  t ylko  pracach  n p .  [27,  35,  53], stosowan a  był a  m etoda  bilan su  h arm o- ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH   3 4 7 nicznych,  ale  nie podejmowano  analizy,  która  z  metod  przybliż onych  jest  adekwatna  dla danego  ukł adu  i  danego  typu  rezonansu. O  ile  rezonansowi  wewnę trznemu  typu  2coi  =   coj poś wię cona  jest  obszerna  literatura i  w  wielu  pracach  wyniki  teoretyczne  został y  cał kowicie  potwierdzone  przez  badania symulacyjne,  to  zachowanie  się   ukł adu  przy  rezonansie  typu  3aj(  =  atj  nie  jest  w  peł ni wyjaś nione.  W  szczególnoś ci  dotychczasowe  wyniki  nie  dają   wyczerpują cej  odpowiedzi na  pytania: —  czy  rozwią zanie  pierszego  przybliż enia  metod  perturbacyjnych  daje  wiarygodne  jakoś- ciowo  wyniki  zgodne  z  wynikami  symulacji  komputerowej, —  jakich  zmian  w  charakterze  drgań  rezonansowych  moż emy  oczekiwać  gdy  parametry ukł adu,  przy  których  nie  jest  speł niony  warunek  istnienia  rezonansu  wewnę trznego, zmienić  tak  że  bę dzie  speł niony  warunek: 3a> 1  =   a> j. Bezpoś rednim  bodź cem  do  podję cia  prac  nad  tym  typem  rezonansu  wewnę trznego były badania teoretyczne i analogowe  prowadzone  na prostym przykł adzie modelu ukł adu o  dwóch  stopniach  swobody  z  nieliniowoś cią   typu  sześ ciennego  i  wzbudzanego  sił ą   har- jnoniczną   (rys.  1). D rgania  rezonansowe  tego  ukł adu  zarówno  przy  rezonansach gł ównych jak  i pobocz- nych  bez  rezonansu  wewnę trznego,  oraz  studia  porównawcze  róż nych  metod  przybli- ż onych, był y przedmiotem wcześ niejszych  studiów  autorów  [66, 67,  68, 69, 70,  71, 72, 73], W  pracach tych,  oprócz  analizy  zjawisk  drgań  rezonansowych  pojawiają cych  się   w  ukł a- dach  nieliniowych  posiadają cych  wię cej  niż  jeden  stopień  swobody,  zwracano  baczną uwagę  na  problem  doboru  przybliż onej  metody  analitycznej,  adekwatnej  do  danego  typu badanego  zjawiska  i  badanego  ukł adu.  W  szczególnoś ci  analizowano  metody  perturba- cyjne  w pierwszym  przybliż eniu  i  metodę  Ritza  (metodę  bilansu  harmonicznych),  porów- nują c  rozwią zania  mają ce  tą   samą   formę  jako  funkcję   czasu. W  obecnej  pracy  dobrano  parametry  ukł adu  tak,  by  speł niony  był   warunek  wystę - powania  rezonansu  wewnę trznego  typu  co2  =   3ft>!.  W  przeprowadzonych  badaniach analogowych  nie  uzyskano  tych  wyników  jakie  przewiduje  teoria  pierwszego  przybli- ż enia  metody  uś rednienia,  natomiast  uzyskano  efekty,  których  ta  teoria  nie  przewiduje. Problem  został   rozwią zany,  gdy  w  rozważ aniach  teoretycznych  zastosowano  metodę Ritza,  przy  niezmienionej  formie  rozwią zania  jako  funkcji  czasu. 2.  Ogólne  równania  i  badanie  rezonansów  wewnę trznych  metodą   uś rednienia i  metodą   Ritza Rozważ amy  równania  ruchu  nieliniowych  ukł adów  drgają cych  o  skoń czonej  liczbie stopni  swobody,  zapisane  w  postaci  macierzowej: Aq + Cq+f(q)+c p(q, q)- Pcosi>* =  0,  (6) gdzie  q  =   c o l ^ ,  ..., g„] —  współ rzę dne  uogólnione,  A  =  diag[m i]— macierz  bezwł ad- noś ci, C—macierzsz  tywnoś ci,  kwadratowa,  symetryczna, dodatnio okreś lona, f  =  co l[/ i, 348  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA , .., / „ ] — reprezentuje  nieliniową  czę ść  sil sprę ż ystych,  ls  ..., cp„]  —reprezentuje sił y  tł umienia. U kł ady cią głe opisane  bę dą  równaniami czą stkowymi  w postaci, m(X)- ™-   +L (w)+L l (w)+N (w)- p(x)cosvt  =  0,  (7) z  warunkami  brzegowymi, B(w) =  0 na brzegu  F, gdzie L (w) i L ^ w) — odpowiednio  liniowy  i nieliniowy  operator zmiennych przestrzennych odpowiadają cy  liniowej  i  nieliniowej  czę ś ci  sił  sprę ż ystych,  N (w) —  operator tł umienia. p(x)  — amplituda  sił y  wymuszają cej. Obydwa  modele  matematyczne  (6) i  (7) sprowadzamy  do ukł adu równań  modalnych przez  wprowadzenie  współ rzę dnych  normalnych  f j ,  ..., f„ .  D la  ukł adu  (6) współ rzę dne te  wprowadzamy  za  pomocą  transformacji: W j ( 0 .  ' - 1 . 2 , . . . , n,  (8) /-i gdzie b O ij,  i,j  = 1, 2, ..., n,  są  współ czynnikami  postaci  wł asnych  ukł adu (6) dla f(q) = =   QJ],  M s  — uogólniona  masa,  a) OJ  — czę stość  wł asna j- tej  postaci.  Elementy  kolumnowej  macierzy  F  są  funkcjami  wszystkich  współ rzę dnych, Fj  = Fji^ ,  £2,  • • - ,  $n),  zaś elementy macierzy  H  są zależ ne  od wszystkich współ rzę dnych i  ich pochodnych,  H }   w  H j (i 1 ,  ..., $„, §i, ., ., £ n ).  Ponadto  mamy: dla  ukł adu  równań (6), '  l  n Mj  =  f  m(x)y}(x)dx,  Fj =  J L L {]? y> s (x)C s (t)]y)j(x)dx> o  s= i —  dla ukł adu  równań (7). ,  (12) •=   J  p(x)y)j(x)dx, ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH   349 Z akł ada  się,  że  auton om iczn y,  zachowawczy  u kł ad  n ielin iowy: MK+ OC+ POg)- 0,  (13) posiada  energię  poten cjaln ą  U  speł niają cą  wa r u n ki: U  >  0  jeś li  flf  . . . ,  |„   nie  znikają  jed n o cześ n ie,  (14) tak  wię c: A O g ^ Ą ^ - . W-   (15) F un kcje  Fj  są  an alityczn ym i  i  n ieparzystym i  fun kcjam i  swoich  argu m en t ó w.  P rzyjm uje się,  że  z  wystarczają cą  dokł adn oś cią  m oż na je  przedstawić  w  post aci  skoń czon ego  szeregu Taylora.  Sił y  tł um ien ia  speł niają  waru n ek: HJSJ  >  0,  (16) 7 = 1 jeś li  tylko  i l t   . . . , £ ,  n ie  znikają  równ ocześ n ie,  i  także  są  przedstawian e  w  po st aci  skoń - czonego  szeregu  Taylora. T ak  więc  u kł ad  ró wn ań  (10)  traktowan y  jest  ja ko  m odel  m at em at yczn y  zaró wn o ukł adów  o  skupion ych  m asach  ja k  i  ukł adów  o  cią gł ym  rozkł adzie  m as  i  bę dzie  przed- m iotem  dalszych  bad ań . 2.1.  Metoda  uś rednienia.  Z ał óż m y,  że  speł niony  jest  waru n ek  zewn ę trzn ego  rezo n an su gł ównego  t j. : v  X  co k ,  (17) i  wszystkie  czę stoś ci  są  n iewspół m iern e.  R ozwią zan ia  u kł a du  (10)  w  pierwszym  przybli- ż en iu  szukamy  w  p o st aci: S* =  a*cos(vf+   # ) ,  v ffl a> kt 4> — 0,  ; -   1, 2,  ...,k- l,k  + l,  „ . , »,   C  J gdzie  ą i  ^  —  pewne  stał e  wyzn aczon e  m etodą  uś redn ien ia  lub  inną  p ro ced u rą  pertur- bacyjną. W  tym  przypadku  tylko  współ rzę dna  rezon an sowa  | f c  jest  ró ż na  od  zera.  Wsp ó ł rzę d ne n ierezon an sowe  £/ ,  j  i= k,  w  rozwią zan iu  w  pierwszym  przybliż en iu  są  ró wn e  zero . Rozwią zanie  takie  n azywan e  jest  jedn oczę ś ciowym  (jedn opostaciowym ),  gd yż  p o st ać drgań  sch arakteryzowan a  jest  jed n ą  funkcją  wł asną  ^ fc( x)  lu b  u kł a d em  współ czyn n ików b Oik ,  i  =  1, 2,  . . . , «. Jeś li  jed n ak  choć jed n a  z  czę stoś ci  wł asnych,  n p .  CD S ,  jest  współ m ierna  z  rezon an sową, wówczas  okazuje  się,  że  odpowiedź  u kł adu  przestaje  być  jedn opost aciowa,  a  d o  rozwią- zan ia  zostaje  wcią gana  d o d at ko wo  współ rzę dna  £ s .  Z ał óż my  dla  ogóln oś ci,  że  / ' —I  czę s- toś ci  wł asnych  jest  współ m iern ych  z  czę stoś cią  co k ,  t z n . : ...  +k k o> k +  ...  +k r co r   -   0,  (19) 350  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA gdzie  k lt ,,.,k r   —  liczby  cał kowite.  Warun ek  (19)  zapisać  moż emy  także  w  po st aci: u> k   s k   ks   ^ M> gdzie  s k ,  s s   =   1,2,  3,  .... Stosując  wprowadzon e  oznaczenia  (20)  równania  ruch u  (10)  przepiszemy  w  postaci: v  X  co k , . . . , « -   W l .  •  •  •  >  fr,  l i  , •  •  •  >  f r) +   (21 > s  =  1, 2 ,  . . . , f c - l, 7  =   r + 1,  ...,n. Efekt  rezonansu  wewnę trznego  uzyskano  zakł adają c,  że  nie  tylko  współ rzę dna  rezo- n an sowa,  lecz  i  współ rzę dne  £ s  odpowiadają ce  czę stoś ciom  współ miernym  z  cok  są  róż ne od  zera.  T ak  więc rozwią zania  ukł adu  równań  (21)  szukamy  w  postaci: (  v  x  m k! &  -   a s CQs(N ks vt+& s ),  ł - li 2 , . . . , f c - l1 J f e + l , . . . . . , r ,  (22) fj  =   O,  . 7 ^ 1 , 2 ,  . . . , r . D la  wyznaczenia  amplitud  a 1 (  ..., ar  i  ką tów  fazowych  ^ i ,  . . . , # r  stosujemy  metodę uś rednienia  [74 -  79].  W  tym  celu  najpierw  traktujemy  te  wielkoś ci  jako  nowe  zmienne a s   m  a s (t),  & s   &  ^ s ( ? ) 5  s  =   1,  . . . , r,  i  przekształ camy  równania  (21)  do  postaci: da  1 [ ( W 2 z ) 0  +  F ( a 1 ,  . . . , a r , 6> , ,  . . . ,  ©r)- Qscosvt]sin0s,n  =   iy ks (23) 1 gdzie: F s (a ls   . , . , a,,  0 j ,  ...,ć > ,) =   F ^ c o s © ! ,  . . . , a r c o s0 r ) +   (24) ,.,  — a(1vJVJklsin0i,  ...,  —  arvN krsin0r). D odajmy,  że  aby  zastosować  metodę  uś rednienia  musimy  zaż ą dać  by  prawe  strony równ ań  (23)  był y  m ał e,  rzę du  / i1,  gdzie  / J,  jest  mał ym  parametrem  —  p, 4,  1,  fj, >  0. Widzimy  wię c,  że  n ie  tylko  funkcje  nieliniowe  F ,  ale  i  amplitudy  sił y wymuszają cej  Q s oraz  róż nice  (A^r2—co*)  muszą  być  mał e,  rzę du / j.1. N astę pn ie  zastę pujemy  prawe  strony  równań  (23) przez  ich wartoś ci  uś rednione w  cza- sie.  Operacje  t e  moż emy  zapisać  nastę pują co: lim  ~  |  F s ( a 1 ;  . . . , 0 , , © !,  ...,Qr)ń r&sdt- ~óksQsń n®\ ,  (25) ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH   351 (25)  [cd.I =   _  I l i m  I  FJn.  a  P).  0  Poczto  //C- U-A  (N ?- ,,2- , dt =   —T - —  lim  —  I  F s (a lt   ...,a„0 lt   ...,0 r )cos0 s dt+~  (iV&v2 2 gd z i e :  d ks   —  d e lt a  K r o n e c k e r a ,  s, k  =   1,2,  ...,r. P o n i e wa ż  s z u k a m y  u st a l o n yc h  r o z wi ą z ań  a s   =   c o n s t  i  & s  =   c o n st ,  s  —  1, 2, ...,/ % ż ą d a my  b y  sp e ł n i o ne  był y  r ó w n a n i a : da. T .  J - f  lim  - 1  f  Ą («i,  .... a,, 0i,  ...,0r)sin6W/ - 4As< 2ssin# 1.l  =   0,  (26a) 111  - d&„  1  [ . .  1 ~W '~~~a t N ka v\ T ™ a >~T T =   0,  5 = 1 , 2 , . . . , / - .  (26b> Warunki  (26)  prowadzą  do  2r  nieliniowych  równań  algebraicznych  z  niewiadomymi Równania  (26a)  pozwalają  na  prostą  interpretację  zwią zku  mię dzy  formą  funkcji nieliniowej  (24) i typem rezonansu wewnę trznego.  Zbadajmy  więc  szczegół owiej  równania (26a)  dla  współ rzę dnych  o  czę stotliwoś ciach  współ miernych  z  co k , speł nienie których  jest warunkiem  niezbę dnym  istnienia  niezerowych  rozwią zań  n a  a t ,  ..., a k ^ t ,  a k+  l t   ...,  a T . Warunki  te  moż emy  zapisać  w  postaci: T - i.  f  £ ( «!,  ..., a f ,  0 t>   ..., 0 r )sm0Jt  =   0,  (27) o  ł - l , 2 , . . .l * - li * + I , . . . . r . lim W  tym celu  przedstawimy  funkcje  F s   w  formie  uogólnionego  szeregu  F ouriera: Ą  -   J D ^ + F ( I ) c o s© ,  +  Gsin@, +  ^ P , t „ l i B . a . . .  c o s ^ ^  +   ...  ( 28) +m k 0 k +  ... +m k 0 k +  ...  +m r 0 r ), gdzie £  oznacza sumę po  wszystkich ą , „ . , ą , „ . ,ą  =   0,  ±  1,  ± 2, ..., za  wyją tkiem m przypadku,  kiedy  m k   —  ± 1  a  pozostał e  m s ,  s  — l y 2,  ...,k—l,  k+l,  ...,  r  są  r ó wn e zero.  Z auważ m y,  że  współ czyn n iki  G ( s ) przy  sin<9s  są  w  rozważ an ych  u kł a d a ch  dysypa- cyjnych  róż ne  od  zera  jeś li  tylko  a„ • £  0.  Z atem ,  aby  waru n ek  (27) m ógł   być  speł n ion y, w  rozwinię ciu  funkcji  F s   w  szereg  F ouriera muszą  znaleź ć  się  d o d at ko we  czł ony z sin<9,. 352  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPNICKA C zł ony  t akie  uzyskam y,  jeś li  wś ród  kombinacji  współ czynników  m L ,  ...,m r   wystę pują cych w  (28) znajdują  się  takie,  że  speł niony  bę dzie  warun ek: m i e i +  ...  +m k 0 k +  ...  +tn r 0 r   =  ± < 9s+ # ,  (29) co  o d p o wiad a  zależ noś ci  m ię dzy  czę stoś ciam i: m l ca 1   +  ...  +m k co k +  ...  +m r co r   =   ±o) s ,  (30) 5 = 1 , 2 ,  ...,k- l,k  + l,  ...,  r. T a k  więc  widzim y,  że  warun ek  (27) dla  am plitud  współ rzę dn ych  nierezonansowych spro wad za  się  d o  tego  aby  czę stoś ci  a> i, ..., co P  był y  współ m iern e.  Z auważ my  jedn ak, że  współ czyn n iki  mi,  ...,m r   nie są  tu ju ż dowolne,  a zależą  od formy  funkcji  nieliniowej. Z ależ n oś ci  (29) m ogą  stan owić  podstawę  do wyznaczenia  wszystkich  typów  rezon an sów wewn ę trzn ych jakie  m ogą  się pojawić  przy  danej  formie  funkcji  nieliniowej.  M ię dzy innymi w  pracy  [45] jest  p o kazan e  jakie  typy  rezon an sów  wewnę trznych  mogą  wystą pić,  gdy n ielin iowa  czę ść  sił   sprę ż ystych  jest  opisan a  funkcją  typu  kwadratowego,  sześ ciennego lub  pią tego  stopn ia. I  t a k  przy  lin iowym  tł um ien iu  i  nieliniowoś ci  sprę ż ystej  typu  sześ ciennego,  z  analizy tej  wyn ika,  że  w  ukł adzie  o  dwóch  stopn iach  swobody  istnieje  moż liwość  wystą pienia tylko  rezo n an su  wewnę trznego  t yp u : co  2   =   3a>i.  (31) P rzedstawion e  rozważ an ia  za  pom ocą  m etody  uś redn ien ia  opierał y  się  na zał oż en iu h arm on iczn ych  rozwią zań  n a  współ rzę dne  n orm aln e.  N a  podstawie  tran sform acji  (8) widzim y,  że  zał oż en ie t o  daje  rozwią zan ie  we współ rzę dnych  q x   q„ w  form ie: £   ̂ (32) i -   1, 2,  . . . , ». A  zat em  stosun ki  am p lit u d  poszczególnych  harm on iczn ych  są  równ e  współ czyn n ikom post aci  wł asn ych  u kł a du  lin iowego.  Jedn ak  już  we  wcześ niejszych  pracach  n a  tem at d rgań  u kł a d ów  o  wielu  stopn iach  swobody  wykazan o,  że  zał oż enie  to  m oże  prowadzić d o  poważ n ych  bł ę dów  [71, 72,  80, 81]. Omówimy  więc  m etodę,  kt ó ra  n ie  wprowadza ż adn ych  zał oż eń upraszczają cych  odn oś n ie postaci  drgań  u kł adu — m etodę R itza. 2.2.  Metoda  Ritza.  P oszukajm y  rozwią zania  ukł adu  równ ań  (6)  w  tej  samej  formie co  w  m et odzie  uś redn ien ia (32): <ł i(t) =  ^ ]b ls a s cQ%e s ,  i  =   1, 2,  ...,n,  (33) gdzie:  ,t= i lecz  przy  zał oż en iu, że nie tylko  a s ,  # i s ale i  bis  wymagają  wyznaczenia.  Ozn acza  t o , że rozwią zan ie  we współ rzę dn ych n orm aln ych powin n o również  zawierać  wszystkie  skł adowe h a r m o n ic zn e: EAO  = £  ai.cos0 M .  (34) ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH   353 D la wyznaczenia a s ,  bi s  i $*s w rozwią zaniu  (33) lub xs  i # i s w rozwią zaniu (34) zastosujemy metodę  Ritza [66,  74,  79], równoważ ną  procedurze bilansu  harmonicznych, tzn.  ż ą damy speł nienia  zależ noś ci: T lim  —  I  £,(0cos6>sA  =  0,  ł  =   1, 2, ...,  n, ~*  o T   (35) 1  r lim  - =  ejmsine/ jfl?  =   0,  s  ~  1, 2,  . . . ,  r, j- ^co  T   J gdzie  £((0 — „ pozostał oś ci" równań  (6) po  podstawieniu przybliż onego  rozwią zania  (33), lub  równań  (10)  po  podstawieniu  rozwią zania  (34). W  zastosowaniu  do  równań  (6)  warunki  (35)  dają  2 x n x /•   równań  algebraicznych, które  moż emy  zapisać  w  postaci, T  T ~m i a s b ls v 2 N k 2 s +  /   c u b Js a s +  lim  —  I  (f i   + cp i )cos6 s dt—  (36a) / - i  o 1 T 1  c  .  i lim - —  (fi + w[)$m.© s dt—— ó ^ P ^ o s^ jj  =   0,  (36b) J- - J.0O  T   J  2 o i  =   1 , 2 ,  ...,n,  s  =   1 , 2 ,  . . . , r , z  których  wyznaczymy  a s  s  as(v),  &i3  e  &is(v),  bis  =s bls(y),  bls  =  1. Równania  (36b), które dla s  ^   k  moż emy zapisać w  postaci: T 't  =  0,  i  =  1,2  n,  (37) pozwalają  na  prostą  interpretację  zwią zku  mię dzy  formą  funkcji  nieliniowej  —  ft+;  w  szereg  F ouriera  (38)  muszą  znaleźć  się  dodatkowe  czł ony  z  sin © , . 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/ 87 354  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPU Ń SKA- STOTN ICKA U zyskamy  je  jeś li  wś ród  kombinacji  współ czynników  m i (  ..., mr,  wystę pują cych  w  (38), znajdują   się   takie,  że  speł niony  bę dzie  warunek: h  ...  +m k 0 k +  ...  +m r 0 r   =   ± < 9 s+ # ,  (39) s  =  1,2,  ...,k—l,k+l,  ...,r. Z a u wa ż m y,  że współ czyn n iki  nit,  • • • ,m r   wystę pują ce  w  (39) są   iden tyczn e  ja k  współ - c zyn n iki  m 1;   ...,m r   wystę pują ce  w  (29), gdyż  w  o bu  p rzyp ad kach  rozwijam y  w  szereg F o u r i e r a  jako ś c io wo  tą   sam ą   fun kcję : n F s   =  \   b O i S (ft+ o t > | 2  =   «2 c o s< 9 2 , gdzie:  6 t   =   vt +  ft l3   © 2   = R ówn an ia  (25)  przybierają   w  tym  przypadku  po st ać, =   W  i  P s i t t ^^  ̂ ^ ) 2 [ / +   4 ( 1  bya2sin(3&1- &Ą t ,̂  (48) 3 * 0,7 czę st o ść  v Rys.  2. Krzywa  rezonansowa a t   s  ai(v) dla pierwszego  rezonansu gł ównego —  wyniki  analogowe Pcos^t b) Rys.  3. Przebiegi  czasowe   9l (t)  i  g 2 {t)  przy  czę stoś ci  wymuszenia  v  =   0.72,  (a) —  odpowiedź rezonansowa, (b) —  odpowiedź  nierezonansowa [356] ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH   357 (48) r  [cd- ] ? ( l 6 ) 2 ( l ^ )  + P rzy  wyprowadzan iu  ró wn ań  (48)  wykorzystan o  zależ n oś ci: cos 36>i  =   c o s0 2  cos(3Ą  — # 2 ) -   sin(92 2 ) , cos(O 2 - 2& 1 )  =  oaa8 t coa(3# l —& 2 )+Bm®Bw@&- # ) Badając  stan y  ustalon e  przyrównujem y  do  zera  prawe  stron y  ró wn ań  (48).  J a k  widać, jedyn ym  moż liwym  rozwią zan iem  jest  rozwią zan ie  dwuczę stoś ciowe  a ,  =£ 0  i  a 2   Ą=  0 . Z  przeprowadzonych  bad ań  an alogowych  wyn ika,  że  gdy  czę stość  wym uszen ia  jest w  pobliżu niż szej  czę stoś ci  wł asn ej, m am y  odpowiedź  okresową   dwuczę stoś ciową,  w  kt ó rej dom inuje  skł adowa  o  czę stoś ci  wym uszenia  v.  U dział   drugiej  skł adowej  o  czę stoś ci  3v jest  bardzo  m ał y  i praktyczn ie  m am y  odpowiedź  bliską   h arm on iczn ej. N a  rys.  2  p o ka za n o tylko  krzywą   rezon an sową   a x   =   ai(v),  gdyż  am plit u d a  a 2   n a  wykresie  w  tej  sam ej  skali jest  pomijalnie  m ał a.  N a  rys.  3  po kazan o  przebiegi  czasowe  q x {t)  i  q 2 (t)  w  p rzyp ad ku odpowiedzi  rezon an sowej  i  n ierezon an sowej  przy  czę stoś ci  wym uszen ia  v  =   0.72. P on ieważ  efekty  rezon an su  wewn ę trzn ego  są   w  t ym  p rzyp ad ku  bard zo  m a ł e,  dlatego też  pom iniem y  obliczenia  an alityczn e,  a  przejdziem y  d o  an alizy  wyż szego  rezo n an su gł ównego. 3.2.  Analiza  drugiego  rezonansu głównego — metoda uś redniania. W  p rzyp ad ku  gdy  czę stość  wy- m uszen ia jest  w  pobliżu  wyż szej  czę stoś ci  wł asnej  rozwią zan ie  u kł a d u  r ó wn a ń  (43)  zakł a- dam y  w  postaci, / =   a x cos  — g 2   =  a 2 cos(vt+& 2 ). Wykorzystują c  (25)  otrzym am y  n astę pują ce  ró wn an ia  n a  wyzn aczen ie  a m p lit u d i  ką tów  fazowych: =   ^ [ C * + 9 ^ f l f l S i n ( 3 ^ # 2 ) ] %  s  X i dt da 2 d&, ^ i- *a)]<*  • 358  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPNICKA gdzie: Ct .  =  f,yl{l- b 02l ) 2 ,  h, = ~ / iy(l- 6oai)4,  M Oi  = l+ybl u ,  i =  1,2, W  celu  wyznaczenia  parametrów  stanów  ustalonych  przyrównujemy  do  zera  prawe strony  równań (51), fla =   0 j  =  0 - P  sin ??2- i?2 1«?sin ( 3^ 1- 2̂)  =   0 Jak  widzimy,  w tym  przypadku  moż liwe  są  dwa typy  rozwią zań: (a)  —jednoczę stoś ciowe, a t   =  0 i  a 2   ź  0,  (53) (b) —  dwuczę stoś ciowe, fli ć  0 i  a 2   ć  0.  (54) Zbadajmy  wię c  stateczność  tych  rozwią zań.  N iech  parametrami  stanu  ustalonego bę dą  a 10 ,  a 20 ,  # l 0 i ^ 2 O J  a dostatecznie mał ymi zaburzeniami od niego bę dą   r]l,rj2,r]zirj^ . Wtedy  z  równań  (51) otrzymamy, - 2vM ol r) 2   = d 2 i J h . +  d22»72 +  »23'73 +  a24?74  /.« (55) gdzie: «U  =  - jp-»  U =  1 , 2 , 3 , 4 .  (56) Równanie  charakterystyczne  dla równań  (55) moż emy  zapisać  w postaci, X 4 +A 3 X 3 +A 2 X 2   + A l k+A 0   = 0.  (57) Zgodnie  z  kryterium  Routh- H urwitza  otrzymamy  nastę pują ce  warunki  statecznoś ci, A o   > 0,  A y   >  0,  A 2   > 0,  A 3   >  0,  (58) A L A 2 A 3 - A 0 A 2 3 ~Al  > 0 . Z warunków  tych ^43 =  2r ( c 1 1 + c 2 2 )  >  0 jest speł niony zawsze, natomiast dla warunku ^ o = 0  granica  statecznoś ci zbiega się  z punktami, dla których  styczna  do krzywych rezo- nansowych  a x   i  a 2   w  funkcji  czę stoś ci  v jest  pionowa. ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH 359 3.2.1. Rozwią zanie  jednoczę stoś dowe.  W  pierwszej  kolejnoś ci  rozważ ymy  rozwią zanie  jed- noczę stoś ciowe  a t   =   0  i  a 2   =£  0.  Podstawiając  a t   =  0  do  trzeciego i czwartego  równania w  (52)  otrzymamy: — c 22 va 2   — P sin # 2  —  0 (v 2 - wl 2 )M 02 a 2 - Pcos& 2 +p 22 al  =  0 (59) Równania te są  podobne do tych, które wyznaczają  amplitudę i  kąt  fazowy  w  pobliżu rezonansu  w  ukł adzie  o jednym  stopniu  swobody. Badając  stateczność  tego  rozwią zania,  równanie  charakterystyczne  (57)  przybiera nastę pują cą  postać, (A =  0 , gdzie (60) (61) =  2vc 22 , 20 1- Warunki  statecznoś ci  są  w  tym  przypadku  nastę pują ce, >  0,  Atf> >  0,  A?>  >  0, > 0, (62) z których trzy pierwsze są  speł nione zawsze. D la czwartego z nich — Atf*, punkty graniczne pokrywają  się  z  punktami,  w  których  styczna  do  krzywej  rezonansowej  a 2   w  funkcji czę stoś ci  v jest  pionowa. 2,4  2,6 c z ę st o ść •& Rys.  4.  Krzywa  rezonansowa  a 2   m  a 2 (v)  w  przypadku  kiedy  a y   =   0, stateczna  1 niestateczna)  m e t o d a o  o  o  o  o —wyn iki  analogowe N a  rys.  4  pokazano  krzywą  rezonansową  a 2   s  a 2 (y)  dla  rozwią zania  jednoczę stoś- ciowego,  w przypadku  gdy  czę stość  wymuszenia  jest  w  pobliżu  drugiego  rezonansu gł ów- nego. N a rysunku  tym  pokazano  także krzywą  rezonansową  znalezioną n a maszynie ana- logowej.  Jak widać wyniki  metody uś rednienia są  bliskie wynikom  analogowym  i  potwier- dzają  w  tym przypadku  sł uszność zastosowania  metody uś rednienia. 360 J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUFN ICKA 3.2.2. Rozwią zanie dwuczę stoś ciowe.  Rozważ ymy  teraz  rozwią zanie  dwuczę stoś ciowe  (54), a  wię c  a t   =ć 0  i  a z   Ą=  0.  Aby  wyznaczyć  parametry  stanu  ustalonego  dla  tego  typu  roz- wią zania,  równania (52) rozwią zano za pomocą  maszyny cyfrowej  i znaleziono a x   a  (ti(v), a 2   s  a 2 (v),  & x   =   ^iO')3 i  ®z  s  ^ M -   N a rys.  5 pokazano a t   s  a^ v)  i  a 2   m a z {y), które 2,4  2,6 czę stość R ys.  5. Krzywe rezonansowe dla rozwią zań dwuczę stoś ciowych,  ( a ) «!  =   a^ Y\ a v ^   =  a v/ 3 (v),  (b)a 2   a  a 2 (v) i  a,  =  a v (v), •  —  stateczna  1 niestateczna!  m e t o d a  uś redn ien ia, o  o  o  o  o .— wyniki  analogowe speł niają   ukł ad równań  (52). Z badania statecznoś ci wynika, że warunki  (58) są  speł nione w  przedział ach A—B  i  C—D,  zawierają   się   wię c  w  nich  stateczne rozwią zania  dwuczę - stoś ciowe.  Rozwią zania  niestateczne zawierają   się   w przedział ach, A~FiB~C  -   A o   <  0, E- F  -   A 1   <  0  i  A 2   <  0,  (63) E- D  ~  A o   <  0, A x   <  0  i  A 2   <  0. ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH 361 Jak  widzimy,  moż liwe  są   w  tym  przypadku  dwa  typy  rozwią zań  dwuczę stoś ciowych. W  pierwszym  z  nich  reprezentowanym  przez  gał ą ź  C—D,  wielkość  amplitudy  a 2   jest zbliż one do tej  kiedy  a x   =  0. W  drugim typie,  reprezentowanym przez gał ą ź A—B,  domi- nują   drgania  o  czę stoś ci  v/ 3 z  amplitudą   a ± ,  mogą cą   osią gnąć  wartość  nawet  dziewię cio- krotnie wię kszą  niż amplituda a 2   dla drgań  o czę stoś ci  wymuszenia  v, P : 2,0 Pc o s ł t -   q,U) q,W —VVVVVVXA/ VAAAAAAAAAAAAAAAAAAA sktadowe harmoniczne Rys.  6.  Przebiegi  czasowe  q t (t)  i  q 2 {t)  oraz  ich  analiza  harmoniczna  przy  czę stoś ci  v  —  2.04; (a)  i  (b) —  rozwią zania  dwuczę stoś ciowe,  (c) — rozwią zanie  rezonansowe  jednoczę stoś ciowe D la  weryfikacji  wyników  metody  uś rednienia,  przeprowadzono  badania  analogowe modelują c  równania ruchu  (41), Badania  analogowe  potwierdził y istnienie  dwóch  typów okresowych  dwuczę stoś ciowych  —  ilustruje  to  rys.  6.  Pierwszy  typ  odpowiedzi  przed- 362 J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPNICKA stawiony  na  rys.  6a  charakteryzuje  się   duż ymi  amplitudami, a  dominują cymi  w  nim są drgania  o  czę stoś ci v/ 3  z amplitudą   a r / 3 .  Wpływ  drgań  o czę stoś ci  wymuszenia  v z ampli- tudą   a, jest  mał y,  i  drgania  ukł adu  są   podobne do  tych  jak  dla  pierwszego  rezonansu gł ównego.  D rugi typ  odpowiedzi  przedstawiony  na rys.  6b  charakteryzuje  się   mniejszymi amplitudami,  wystę pują   te  same  skł adowe harmoniczne co  i poprzednio, z  tym  że udział skł adowej  o  czę stoś ci  wymuszenia  jest  w  tym  przypadku  wię kszy.  W  obu  przypadkach drgań  dwuczę stoś ci owych  amplitudy  są   znacznie  wię ksze  niż  w  przypadku  drgań  rezo- nansowych  jednoczę stoś ciowych.  N a rys.  7  pokazano krzywe  rezonansowe  a v/ 3   s  a v/ 3 (v) 1.98 2.00 2.02  2,04 czę stość 5 Rys.  7.  Krzywe  rezonansowe  znalezione  n a  maszynie  analogowej, rozwią zania  dwuczę stoś ciowe  z  amplitudą   ay/ 3 , rozwią zania  dwuczę ś ciowe  z  amplitudą   a v rozwią zanie  rezonansowe  jednoczę stoś ciowe \   a v   =  a p (v) dla  drgań  dwuczę stoś ciowych,  tj  w przypadku  wystę powania  rezonansu wew- nę trznego. Pierwsze z drgań reprezentowane jest przez gał ą ź a—b dla skł adowej  o czę stoś ci r/ 3  z amplitudą   a v/ 3 ,  a  przez gał ą ź a'—b'  dla skł adowej  o  czę stoś ci wymuszenia v z ampli- tudą   a„. D ominują   w  nim  drgania  o  czę stoś ci  v/ 3,  przy  czym  ze  wzrostem  v amplituda ich gwał townie roś nie. Amplituda skł adowej  o czę stoś ci wymuszenia v nie ulega wię kszym zmianom.  D rugie  z  drgań  dwuczę stoś ciowych,  gał ą ź  c—d  dla  skł adowej  o  czę stoś ci  v/ 3 i  c'—d'  dla skł adowej o czę stoś ci v, zachowuje  się  odmiennie od poprzedniego. Ze wzrostem czę stoś ci  v  amplituda  a p/ 3   maleje,  natomiast  amplituda  a„  roś nie  i  na  koń cu przedział u staje  się   bliska  amplitudy rozwią zania  rezonansowego jednoczę stoś ciowego.  N a rys.  8 i 9 pokazano  przebiegi  czasowe  q t (t)  i  q z (t)  wraz  z  ich  analizą   harmoniczną  przy  czę stoś- ciach  v  =   2.00  i  2.06,  a  wię c  dla  czę stoś ci  bliskich  skrajnym  dla  tego  typu  rozwią zania. ZJAWISKA  REZONANSÓW WEWN Ę TRZN YCH 363 P  cosiH q 2 [ i) VWAAA/ WWVAA/ WVAA/ WWWWV1- • J/3  ł składowe harmoniczne Rys.  8. Przebiegi  czasowe qi(t)  i ? 2 ( ' ) oraz  ich analiza  harmoniczna  przy czę stoś ci  wymuszenia v  = 2.00; (a) — rozwią zanie  dwuczę stoś ciowe  (gał ą ź  a—b  na  rys. 7) , (b) — rozwią zanie  dwuczę stoś ciowe  (gał ą ź  c—d  n a rys. 7), (c) — rozwią zanie  rezonansowe  jednoczę stoś ciowe D la  porównania  wyników  uzyskanych  przy  pomocy  uś rednienia z  wynikami  analo- gowymi,  naniesiono te ostatnie n a rys.  5. Jak  ł atwo zauważ yć  wyniki  obu metod nie  zga- dzają   się  ani nie są   sobie  bliskie,  dotyczy  to zwł aszcza  zakresów  czę stoś ci,  w  których wystę pują   drgania  dwuczę stoś ciowe.  Jeś li  przyjmiemy,  że bliskie  rzeczywistym  są   wyniki analogowe, to musimy  stwierdzić, że wyniki  uzyskane metodą  uś rednienia są  nie do przy- ję cia,  chociaż postać zał oż onego rozwią zania,  zawierają cego  dwie  skł adowe  harmoniczne jest  zgodna  z  wynikami  analizy  analogowej. Zastanówmy  się  w czym należy upatrywać bł ę dnych wyników jakie  dał a metoda uś red- nienia.  Jak już  wspomniano  w p. 2.1 powodem  tych  rozbież noś ci  może  być  zał oż enie 364 J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA P cos i) t - 10 5 \ A A A A A A A A A  I  . XV  W  W  V V  V skł adowe harmoniczne • q, ( t) R ys.  9.  Przebiegi  czasowe  £ i(/ ) i  g 2 (t)  oraz ich  analiza harmoniczna przy  czę stoś ci  wymuszenia  v  =  2.06, (a) —  rozwią zanie  dwuczę stoś ciowe  (gatąź  a—b  n a  rys.  7), (b) —  rozwią zanie  dwuczę stoś ciowe  (gał ąź  c—rf  na  rys.  7), (c) —  rozwią zanie  rezonansowe jednoczę scioś ciowe  : w  rozwią zaniu  ukł adu równań  (41) dla  współ rzę dnych q ±   i  q 2   zapisanych  w  postaci (32), +a 2 cos(vt +<& 2 ) q z   = (64) współ czynników postaci wł asnych b 02l   i  b 021   takich jak  dla ukł adu liniowego. ZJAWISKA  REZONANSÓW WEWN Ę TRZN YCH   365 Przeprowadzimy  wię c  obliczenia  analityczne  wykorzystują c  metodę   Ritza,  która  jak wiadomo  nie  wprowadza  ż adnych  zał oż eń  upraszczają cych  odnoś nie  postaci  drgań ukł adu. 3.3. Analiza  drugiego  rezonansu głównego — metoda Ritza. Przepiszemy  jeszcze  raz  równania ruchu  (41)  w  nieco  przekształ conej formie, tf2)3  =   0 , B 2 (t)  =  q 1 +yq 2   + x 2 q 1 - Pcosvt  =  0,  *•   ' i  zgodnie  z  (33)  poszukajmy  rozwią zania  w  postaci: (66) q 2   =  a 1 b 2 i_a D la  uproszczenia  zapisu  rozwią zanie  (66)  przepiszemy  w  formie, q 2   =  a i b 21 cos{0 l gdzie: N ieznane  wielkoś ci  a 1 ;  a 2 ,  fe2i>  *22>  # n >  ^12.  ^i  i  ^2  wyznaczymy  podstawiają c przybliż one  rozwią zanie  (67)  do  równań  ruchu  (65)  i  wykorzystują c  zależ ność  (35). Otrzymamy  wtedy, [x 2 - v 2 (l+yb 22 cosd 2 )]a 2   =  P c o st ?1 2.  (68) - - v 2 ya 1 b 2i ,%m.d !L   =   0 , +a i a 2 (l- b 21 )cos&~a 1 a 2 (l- b 21 )b22cos(&- 0 2 )]\ a l   =   0, 3  f [ ( i' 2 - l) 52 2 c o s  5 2  +  1+ A*/ V*22 sin d2]a2+- j  fi{al+2aja2(l  - b21) 2   - fi{al+2aja 2 (l  - 366  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA f i(\ b 2 ja 1 a 2 [ń n&b 22 m(   2 )] ai   =   0,  (69) 4  J (l- v 2 )a 2 b 22 ń nd 2 - / L itva 2 (l- b 22 co$ó 2 )+jĄ [4bl 2 +2ctla 2 (l- b 2l )b 22 ~al(l- b 2l ) 3 sin# - a i 2 b 2 22sm2d 2 \+a 3 2 b 2 z]smd 2 - ~al(l- b 2l ) 3 sin# - a i 2 b 2 22sm2d 2 \   =   0. gdzie:  • &  =  3# tl - & 12 . Z  analizy  równań  (68) wynika,  że  s i n ^  =   0,  gdyż  równanie —  v2a L b 21 sm6 1   =   0,  (69) jest  speł nione tylko  wtedy  gdy  sin  5X  =   0,  ponieważ  dla  rozwią zań  dwuczę stoś ciowych zarówno  a L   ja k  i  b zl   są   róż ne  od  zera.  Ostatecznie  ukł ad  równań  (68)  redukuje  się  do- siedmiu  równ ań  z  niewiadomymi:  a x ,a%,  b 21 ,  b 22 ,  • &, $ i 2  i  $2-  Równania  (68)  wyprowa- dzono  przy  uwzglę dnieniu,  że  sin o]  =   0.  Aby  wyznaczyć  parametry  stanów  ustalonych dla  rozwią zań  dwuczę stoś ciowych  należy  rozwią zać  ukł ad  równań  (68). W  dalszych  rozważ aniach  ograniczymy  się   do  przypadku  kiedy  tł umienie jest  równe zero, co znacznie uproś ci nam obliczenia, a nie powinno mieć istotnego wpł ywu  n a otrzy- m ane  wyniki  za  wyją tkiem  obszaru  czę stoś ci,  gdzie  rozwią zanie  osią ga  maksymalne amplitudy.  Równania  (68)  dla  tł umienia  równego  zero redukują   się   do ukł adu  czterech algebraicznych  równań  nieliniowych  z  niewiadomymi  a lt   a 2 ,  b 21   i  b 22 , = 0 , m  P, (70) Jak  należ ało  oczekiwać  moż liwe  są   dwa  typy  rozwią zań:  jednoczę stoś ciowe:  a x   =  0 i  a 2   7̂  0 i  dwuczę stoś ci owe:  a t   #   0 i  a 2   Ą=  0. Skoro metoda uś rednienia dał a wyniki  zgodne z analogowymi  w przypadku  rozwią zania jednoczę stoś ciowego,  zajmiemy  się   obecnie  tylko  rozwią zaniem  dwuczę stoś ciowym. Rozwią zano  w  tym  celu  równania  (70)  przy  pomocy  maszyny  cyfrowej.  N a  rys.  10, na którym  pokazan o wyniki  analogowe,  pokazano  także  a 1   =   a x {v)  i  a 2   =  a 2 iy)  które  speł - niają   ukł ad  równań  (70). ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH 367 1.98  2.00 2.02  2.04  2,06 czę stość  0 Rys.  10.  Krzywe  rezonansowe  dla  rozwią zań  dwuczę stoś ciowych,  (a)  «j  m  ai(v)  i  a v / 3   a  a,/ i(v),  (b> a 2   a  a 2 (y)  i  a,  m  a f (y), 1 —  stateczna  t niestateczna!  m e t o d a  R l t z a ' o  o  o  o  o —wyn iki  analogowe Jak  ł atwo zauważ yć,  wyniki  z  metody  Ritza  są   bardzo  bliskie  analogowym,  zarówno- jeś li  chodzi  o  zakres  czę stoś ci  w jakim  wystę pują   rozwią zania  dwuczę stoś ciowe  jak  rów- nież  i  wielkość  amplitud. 3.4. Dragania prawie- okresowe.  W  trakcie badań  analogowych  okazał o się , że  dla  czę stoś ci wymuszenia  v e <2.20,  2.30>,  oprócz  drgań  harmonicznych  odpowiadają cych  drugiemu, rezonansowi  gł ównemu, mogą   pojawić  się   drgania  prawie- okresowe  o  znacznych  ampli- tudach.  Z  przeprowadzonej  analizy  harmonicznej  wynika,  że  w  odpowiedzi  dominują dwie  skł adowe  harmoniczne:  jedna,  podobnie jak  poprzednio  o  czę stoś ci  wymuszenia  v i  druga  o  czę stoś ci  nieco  niż szej  niż  v/ 3,  którą   oznaczymy  symbolem  m^ .  Czę stoś ci  te nie  są   współ mierne, stą d  odpowiedź  ukł adu jest  prawie- okresowa.  D la ustalonej  czę stoś ci. wymuszenia  v  =  2.25  zarejestrowano  przebiegi  czasowe,  które  pokazano  n a  rys.  11. N a  rys.  12 pokazano wykresy:  amplitudy  o czę stoś ci  v,  a, s  a„(V) i  amplitudy  o  czę stoś ci P  = 2.0  ,  ?  s 2,25 P  COS  0  t C) 0 - s q , ( t ) WVWYWWM f t WWM WW^^ ,   CO składowe harmoniczne R ys. 11,  Przebiegi  czasowe  oraz  ich  analiza  harmoniczna  przy  v  =  2.25, (a) —  rozwią zanie  prawie- okresowe, (b) —  rozwią zanie  rezonansowe  jednoczę stoś ciowe, (c) — rozwią zanie  nierezonansowe  jenoczę stoś ciowe. 2,20 2,25 czę stość 230 R ys.  12.  Z m iany amplitud skł adowych  o czę stoś ciach v i  & it   dla  rozwią zania  prawie- okresowego [368] ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH 369 Rys.  13. Trajektorie  w stanie ustalonym dla rozwią zania  prawie- okresowego  przy czę stoś ci  v  =   2.25 c&x, a^i  s  af^(v).  N a  rys.  13  pokazano  trajektorie  w  stanie  ustalonym  na  pł aszczyznach fazowych  [q L )   # J  i  \ q 2i q^   dla v  =  2.25. Wzmianki  o  drganiach  prawie- okresowych  w  ukł adach  z  rezonansem  wewnę trznym wykrytych  na  drodze  symulacji  analogowej  i  cyfrowej  znaleźć moż na w  pracach  [30, 31, 35, 53], lecz nie podję to jeszcze  prób teoretycznego wyjaś nienia  tego zjawiska  i zagadnienie to  wymaga  dalszych  badań. 4.  Wnioski Analiza  zjawiska  rezonansu  wewnę trznego  w  pobliżu  rezonansów  gł ównych ukł adów o  wielu  stopniach  swobody  przeprowadzona  za  pomocą   analitycznych  m etod  przybli- ż onych  i  symulacji  komputerowej  pozwala  na  sformuł owanie  nastę pują cych  wniosków: —  Zgodnie  z  wynikami  wcześ niejszych  prac,  istotą   zjawiska  rezonansów  wewnę trznych jest  pojawienie  się   w  odpowiedzi  rezonansowej  dodatkowych  skł adowych  harm o- nicznych,  oprócz  skł adowej  o  czę stoś ci  wymuszenia,  tak  że  przybliż one  rozwią zanie w  postaci, 4  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/ 87 370  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA q t (t)  =  a lk cos(vt  + i\ )  + ^ a is cos(N ks vt+• &,),  v  % m k ,  (71) i  =   1, 2,  ...,  rc,  *  ?=   &, gd z ie :  iVt s  =   —^ - , c o k   :  i prawidł owo  opisuje  odpowiedź  ukł adu  jako  funkcji  czasu. —  Wyznaczenie analityczne krzywych  rezonansowych a ik   =   a ik (y),a is   =  a is (v),s  — 1, 2, ... , ., , k— 1,  fc+ 1,...,  r,  za  pomocą  powszechnie  stosowanej  w  literaturze metody uś red- n ien ia  może  prowadzić  do  istotnych  jakoś ciowo  rozbież noś ci  z  wynikami  symulacji kom puterowej.  Bł ę dy  te  są  konsekwencją  zał oż enia  upraszczają cego  nierozł ą cznie zwią zanego  z  tą metodą  —  zał oż enia,  że stosunki amplitud poszczególnych harmonicz- nych  są  równe współ czynnikom postaci wł asnych ukł adu  liniowego, tj., ~L  =  b O i k ;  - £ * - =   &.«.;  * - l , 2 ,  . . . , n .  ( 7 2 ) N at om iast  m etoda R itza, która nie narzuca tego uproszczenia w rozwią zaniu  (71), pozwa- la  traktować  wszystkie  amplitudy  a is ,  a ik ,  i  =   1,2,  . . . , «,  s  =   1, 2,  ..., A:—  1,  k+l,  ...,r, ja ko  niewiadome, prowadzi  do  wyników  zgodnych  z  wynikami  symulacji  komputerowej. —  Efekty  rezonansu  wewnę trznego  mogą  powodować  drgania  o  amplitudach wielokrot- nie  wię kszych  niż  te,  które  wystę pują  w  ukł adach  bez  rezonansu  wewnę trznego.  I  tak w  badan ym  szczegół owo  ukł adzie  o  dwóch  stopniach  swobody,  w  pewnym  obszarze czę stoś ci  wymuszenia  ve< 1.98,  2.07),  dodatkowa  skł adowa  harmoniczna  o  czę stoś ci v[3  jest  prawie  dziesię ciokrotnie  wię ksza  od  amplitudy  skł adowej  podstawowej.  Przykł ad t en  n asuwa  wniosek,  że  w  analizie  drgań  rezonansowych  ukł adów nieliniowych  powinna zawsze  być  rozważ ana  sprawa  niebezpieczeń stwa  rezonansów  wewnę trznych. Literatura 1.  T .  C .  TOPEJIH K,  A.  BH TT,  >K. TexH .  * H 3 .  C C C P 3  3,  1933. 2.  T .  R.  K AN E ,  M . E. K AH N , On  a class oftwodegree- of- freedom oscillations, Journal  of Applied  M echanics, Tran saction s  of  the  ASM E,  M arch  1968,  pp.  547- 552. 3.  A.  H .  P .  VAN  DER  BU R G H ,  P h. D .  TH ESIS,  Studies  in  the  asymptotic  theory  of  nonlinear  resonances, Technische  H oge- school  D elft,  1974. 4.  A.  H .  P .  VAN   DER BU R G H , On  the  higher order asymptotic approximations for  solutions of  the  equations of  an  elastic pendulum,  Journal  of  Sound  and  Vibration  42(4)  1975,  pp.  463  -  475. 5.  P .  SRINTVASAN,  T. S.  SAN KAR,  Autoparametric self- axcitation of  a  pendulum  type  elastic  oscillator, Journ al  of  Sound  an d  Vibration  35,  1974,  pp.  549  -   557. 6.  R .  M .  EVAN - IVAN OWSKI,  Resonance Oscillations  in  Mechanical Systems,  Amsterdam  1976,  Elseviers. 7.  N .  M IN ORSKY,  Dragania nieliniowe, P WN   Kraków  1967. 8.  E.  SE VI N ,  On  the  Parametric  Excitation  of  Pendulum- T ype Vibration Absorber, Journal  of  Applied M echanics,  Tran saction s  of  the  ASM E,  September  1961,  pp.  330- 334. 9.  R .  A.  STRU BLE,  N onlinear  Differential  Equations,  McG raw- H ill  Book  Company,  I n c.  N ew  York, T o ro n t o ,  Lon don  1962. 10.  R .  A.  STRU BLE,  On  the  sub- harmonic oscillations  of  a pendulum, Journal  of  Applied  M echanics,  Tran- saction s  of  t h e  ASM E,  30,  1963,  pp.  301  -  303. ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH   371 11.  R. A.  STRU BLE,  On  the  oscillations of  a  pendulum  under parametric  excitation,  Quarterly  of  Applied M athematics  22,  1964,  pp.  157- 159. 12.  R. A.  STRU BLE,  Oscillations  of  a  pendulum  under parametric  excitation,  Quarterly  of  Applied  M ath e- matics  21,  1963,  pp.  121- 131. 13.  R. A.  STRU BLE,  J. H .  H EIN BOCKEL,  Resonant  Oscillations of  a  Beam- Pendulum  System,  Journ al  of Applied  M echanics, Transactions  of  the  ASM E,  June  1963,  pp.  181 - 188. 14.  R . S.  H AXTON ,  A. D . S.  BAR R ,  T he  Autoparametric Vibration Absorber, Journ al  of  Engineering  for Industry,  Transactions  of  the  ASM E,  94,  1972,  pp.  119  -  125. 15.  A.  D . S.  BARR,  D . J.  N ELSON ,  Autoparametric Interactions  in  Structures,  Symposium  on  N on lin ear D ynamics,  1975,  U nivrsity  of  Edinburgh. 16.  P. H ,  M AC  D ON ALD , N onlinear Dynamic  Coupling  in a  Beam  Vibration,  Journ al of  Applied  M echanics, Vol.  22,  1955,  pp.  573  -  578. 17.  S.  ATLU RI, N onlinear Vibrations of a Hinged Beam Including N onlinear Inertia Effects, Journ al of  Applied M echanics,  Transactions  of  the  ASM E,  Vol.  40,  1973,  pp.  121  - 126. 18.  E.  H .  D OWE LL,  N onlinear  Oscillations of  a  Fluttering Plate,  American  I nstitute  of  Aeron autics  and Astronautics  Journ al,  Vol.  5,  N o .  10,  Oct.  1967,  p p .  1856- 1962. 19.  L.  M ORIN O,  A  Perturbation Method  for  T reating  N onlinear  Panel  Flutter  Problems, American  Insti- tute of  Aeronautics  an d  Astronautcs Journal, Vol.  7, N o , 3, M arch  J969, pp. 405 - 411, 20.  J. A.  BEN N ET,  J. G .  EISLEY,  A  Multiple- Degree- of- Freedam  Approach  to  N onlinear  Beam  Vibrations, American  Institute of  Aeronautics  and Astronautics  Journal, Vol.  8,  N o. 4,  April  1970,  p p .  734- 739. 21.  J. A.  BEN N ET,  Ultraharmonic  Motion  of  a  Viscously Damped N onlinear  Beam,  American  I n stitute  of Aeronautics  an d  Astronautics  Journal,  Vol.  11,  N o .  5,  May  1973,  pp.  710- 715. 22.  W. Y.  TSEN G ,  J.  D U G U N D JI , N onlinear  Vibrations of  a  Buckled  Beam  under  Harmonie  Excitation, Journal  of  Applied  M echanics, Transactions of  the ASM E, Vol.  38, 1971, p p . 467 -  476. 23.  P. R.  SETH N A,  Vibrations of  Dynamical  Systems  with  Quadratic N onlinear/ ties,  Journ al  of  Applied M echanics, Transactions  of  the ASM E,  September  1965,  pp.  576- 582. 24.  P .  PISZCZEK, Some  Problems of  Forced Vibrations  of  Constructions  in  the  N onlinear  Case, Z agadnienia D rgań  N ieliniowych,  P WN   Warszawa,  1964. 25.  T. TON D L, On the internal resonance of  nonlinear systems with two  degrees of freedom, Z agadnienia D rgań N ieliniowych,  5,  1963,  pp.  207- 222. 26.  A.  TON D L,  Some  Problems  of  Rotor  Dynamics,  Publishing  H ouse  of  CAS,  P rague  1965. 27.  A.  TON D L,  Resonance  Vibrations of  N onlinear  Systems  Excited  by  a  Periodic N on- harmonic  Force, M onographs  and  M em oran da, N o .  13,  1972,  pp.  56 -  89,  N ation al  Research  I n stitute  for  M achine D esign,  Bechovice. 28.  A.  TON D L, Domains  of  Attraction for  N onlinear Systems,  M onographs  and  M em oran da, N o . 8,  1970, N ational  Research  Institute  for  M achine  D esign,  Bechovice. 29.  P. R.  SETH N A,  A. K.  BAJAJ,  Bifurcations  in  Dynamical  Systems  with  Internal  Resonance,  Journ al  of Applied  Mechanics, Transactions  of  the ASM E, Vol.  45, D ec. 1978,  pp.  895- 902. 30.  T.  YAMAMOTO,  K,  YASU D A,  On  the  Internal  Resonance  in a  N onlinear  T wo- Degree- of- Freedom  System Bulletin  of  the  Japan  Society  of  M echanical Engineers, Vol.  20, N o . 140, F ebruary  1977, p p .  168  -  176, 31.  T.  YAMAMOTO,  K.  YASU D A,  I .  N AG ASAKA,  On  the  Internal  Resonance  in  a  N onlinear  T wo- Degree- of- Freedom  System,  Bulletin  of  the Japan  Society  of  M echanical Engineers, Vol.  20, N o . 147,  Sept.  1977, pp.  1093- 1100. 32.  P . R,  SETH N A,  Steady- State  Undamped  Vibrations  of  a  Class of  N onlinear  Discrete  Systems,  Journ al of  Applied  M echanics, Transactions of  the SM E, M arch 1960, p p . 187  - 195. 33.  A.  H .  N AYF EH ,  D .  T .  M OOK ,  S.  SRID H AR,  N onlinear  Analysis  of  the  Forced Response  of  Structural Elements,  Journal of  the Acoustic  Society  of  America,  Vol.  55, N o . 2, F ebruary  1974. 34.  A.  H . N AYF EH ,  D . T.  M OOK,  D . W.  LOBITZ , N umerical- Perturbation  Method  for  the  N onlinear  Analysis of  Structural  Vibrations,  American  Institute of  Aeronautics  an d  Astronautics  Journ al, Vol.  12, N o .  9, Sept.  1974,  pp.  1222- 1228. 35.  S. L.  LAU ,  Y.  K.  C H EU N G ,  S. Y.  W U ,  Incremental Harmonic  Balance  Method  with Multiple  T ime  Scales for  Aperiodic Vibration of  N onlinear  Systems,  Journal  of  Applied  M echanics,  Tran saction s  of  th e ASM E,  Vol.  50,  D ec.  1983,  pp.  871 -  876. 4 * 372  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA 36.  J. G . A.  C R OLL,  Coupled vibration  modes, Journal  of  Sound  and  Vibration  38(1)  1975,  pp.  27- 37. 37.  J.  G . A.  C R OLL,  Kinematically coupled  non- linear vibrations,  Journal  of  Sound  and  Vibration  40(1), 1975,  p p .  77  -   85. 38.  J.  BAJKOWSKI,  Rezonanse  wewnę trzne  w nieliniowych ukł adach drgają cych,  cz.  I, Prace  Instytutu  Pod- stawowych  Problemów  Techniki  15/ 1984  (na  prawach  rę kopisu). 39.  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STU PN ICKA,  Rezonanse  wewnę trzne w  nieliniowych ukł adach  drga- ją cych,  cz.  II,  Prace  I nstytutu  Podstawowych  Problemów  Techniki  23/ 1984  (na  prawach  rę kopisu) 40.  S.  SRID H AR,  D . T.  M OOK ,  A.  H .  N AYF EH ,  N onlinear  Resonances in  the  Forced Responses of  Plates Part I:  Symmetric  Responses of  Circular Plates, Journal  of  Sound  and Vibration  41, 1975, pp.  359  -   373. 41.  S.  SRID H AR,  D . T .  M O O K ,  A.  H .  N AYF EH ,  N onlinear  Resonances in  the  Forced Responses of  Plates. Part  II:  Asymmetric  Responses of  Circular  Plates,  Journal  of  Sound  and  Vibration  59  (2)  1978, pp.  159- 170. 42.  D . W.  LOBI TZ ,  A.  H .  N AYF EH ,  D . T .  M OOK,  N onlinear  Analysis  of  Vibrations of  Irregular Plates, Journ al  of  Sound  and  Vibration  50(2)  1977,  pp.  203  -  217. 43.  K.  G .  ASM IS,  W.  K.  T so,  Combination  and  internal resonance in  a nonlinear  two- degree- of freeodom system,  Journ al  of  Applied  M echanics, Transactions  of  the ASM E,  Vol.  39, Sept.  1972,  pp.  832  -  834. 44.  A.  H .  N AYF E H ,  Combination resonances  in  the  nonlinear response  of  bowed structures  to  a harmonic excitaton,  Journ al  of  Sound  and  Vibration  90(4)  1983,  pp.  457- 470. 45.  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLIŃ SKA- STU PN ICKA,  Zagadnienie rezonansów  wewnę trznych w nieliniowych ukł adach  drgają cych,  P r a c e  I n st yt u t u  P o d st a wo wyc h  P r o b le m ó w  T ec h n iki  19/ 1982,  p p .  1 - 44  ( n a p r a wa c h  r ę ko p isu ). 46.  R . A.  IBRAH IM   A.  D . S.  BARR,  Autoparatnetric resonance in  a  structure  containing a  liquid, Part  I: two  mode  interaction, Journ al  of  Sound  and  Vibration  42(2)  1975,  pp.  159  - 179. 47.  R .  A.  IBRAH IM   A.  D . S.  BARR,  Autoparametric resonance in  a  structure  containing  a  liquid, Part  II: three mode  interaction, Journal  of  Sound  an d  Vibration  42(2)  1975,  pp.  181 -  200. 48.  A.  H .  N AYF EH ,  D . T.  M OOK  L. R.  M ARSH AL,  N onlinear  coupling of  a  pitch  and  roll  modes  in ship motion,  Journ al  of  H ydronautics  7,  1973,  pp.  145  - 152. 49.  A.  H .  N AYF EH   D . T .  M OOK,  A  saturation phenomenon  in  the forced  response  of  system  with  quadratic nonlinearities,  Proceedings  of  the Vlllt h .  Internationale  Conference  on  N onlinear  Oscillations,  Prague 1978.  pp.  511- 516. 50.  W.  K.  Tso,  K .  G .  ASM IS,  Multiple  parametric  resonance in  onlinear  two- degree- of- freedotn  system, I n tern ation al  Journal  of  N on- Linear  Mechanics  9,  1974,  pp.  269  -  277. 51.  E . G .  T E Z AK ,  D . T .  M OOK ,  A.  H .  N AYF EH ,  N onlinear  analysis of  the  lateral response  of  columns to periodic  loads, Journ al  of  M ech. D esign,  Transactions  of  the  ASM E,  100,  1978,  pp.  651 -  659. 52.  A.  H .  N AYF EH ,  T he  response of  two- degree- of- freedom systems with quadratic nonlinearities to parametric excitation,  Journ al  of  Sound  and  Vibration  88(4)  1983,  pp.  547  -  557. 53.  H .  H ATWAL,  A.  K.  M ALLI K,  A.  G H OSH ,  N on- linear  vibrations  of  harmonically  excited  autoparametric system,  Journ al  of  Sound  and  Vibration  81(2)  1982,  pp.  153  - 164. 54.  A.  H .  N AYF E H ,  T he response of  multi- degree- of- freedom  system  with quadratic nonlinearities  to  a  har- monic parametric  resonance,  Journal  of  Sound  and  Vibration  90(2)  1983,  pp.  237 -  243. 55.  P .  C.  L.  F u ,  S.  N EMAT- N ASSER,  Stability  of  solution  of  systems  of  linear differential equations  with harmonic  coefficients,  American  Institute  of  Aeronautics  and  Astronautics  Journal,  Vol.  10,  1972, p p .  30- 36. 56.  P .  C. L.  F u ,  S.  N EMAT- N ASSER,  Response and stability of  linear dynamics systems  with many degrees of freedom  subjected to  nonconservative  and  harmonic forces, Journal of  Applied  M echanics, Transactions of  the  ASM E ,  Vol.  42,  1875,  pp.  458- 463. 57.  E .  G .  TE Z AK,  A.  H .  N AYF EH ,  D . T .  M OOK,  Parametrically excited  nonlinear  multi- degree- of- freedom systems  with  repeated  natural frequencies, Journal  of  Sound  and  Vibration  85,  1982,  pp.  459  -  472. 58.  A.  H .  N AYF E H ,  Parametrically excited multidegree- of- freedom  systems  with repeated frequencies, Jour- n al  of  Soun d  and  Vibration  88(2)  1983,  p p .  145- 150. 59.  P . R.  SETH N A,  T ransients  in  Certain  Autonomous  Multiple- Degree- of- Freedom  N onlinear  Vibrating Systems,  Journ al  of  Applied  M echanics, Transactions  of  the  ASM E,  M arch  1963,  pp.  44-   50. ZJAWISKA  REZONANSÓW  WEWN Ę TRZN YCH   373 60.  B. I. CHESANKOV,  Bi- Freguency Oscillations in the Case Resonance of  Arbitrary Rank, VI I I n tern ation ale Konferenz  iiber  N ichtlineare  Schwingungen,  1975  Berlin. 6 1 .  B. H .  "^ E I U AH K O B,  MuoioMacmomiue  pmonaHcu  KOjieóamtH  mpemeeo parna  npu euei- unux  cMyufenunx, FIpHKJiaflHaH   max., M ex.  39,  Bbin .  I  ( 1975) . 62.  B. H .  ^ E U I AH K O B .  Pe3OHauenue Kone6aHun  nzKomopbix  MexammecKux  cucmeM, Yc n e xbi  M exaH H KH , Maił  1980. 63.  A. M .  C AM O H JI E H K O,  H . I I .  M AH O T ,  CmaifuouapHue  Kea3unepuoduuecKue  KojieBamiM e  nejiuueuHux aemoHOMHux  cucmeuax  emopozo  nopnÓKa,  flH H aM H Ka  cacreM   H   Bon pocbi  ycTOHHHBocTH   flH cbdpe- peHi(HHJibHBix  ypaBH enH H j  K n eB 1973. 64.  A. M .  C AM OH JI E H KO,  H . I I .  M O H O T ,  OKsamnepuoduHecxux  KojieSamtJix  e  ue/ iuHe&nux  cucmeuax eMopoio  nopndxa  e cayuae  pe3ouanca,  M a r .  n3Hiix KOAe6aHuu s   . M .  M ocKBa 1963. 76.  I O .  A.  M H TP OTI OU BC KH H , Memod  ycpebuenun  e  HejiuueuHoii  MexauuKe,  H ayKOBa  flyM ita,  K H B B  1 9 7 1 . 77.  H . I \   M AJ I K H H J  HeKomopbie 3adauu  meopuu  HeMmeumix  Ko/ ie6aHux,  rocTexH 3flaT3 1956. 78.  J. A.  G RIEBIEN IKOW,  J. A.  RIABOW,  Metoda  uś rednienia w  mechanice nieliniowej, P WN , Warszawa 1982. 79.  W.  SZEMPLIŃ SKA- STU PN ICKA,  On the averaging and  W .  Ritz  methods  in  the theory of nonlinear resonances in  vibrating systems  with multiple degrees of freedom, Archives  of  M echanics,  24, 1,  1972, p p . 67-  88. 80.  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPN ICKA,  On  the phenomenon  of  the  combination type  resonance in nonlinear two- degree- of- fredom  systems,  International  Journal  of  N on- Linear  M echanics  4,  1969,  pp.  335 -  359. 81.  W.  SZEMPLIŃ SKA- STU PN ICKA,  W spół rzę dne normalne  w  analizie  rezonansów  gł ównych  nieliniowych ukł adów drgają cych o  wielu stopniach swobody,  M echanika  Teoretyczna  i  Stosowana  1,  11, 1973, str.  17- 34. 374  J.  BAJKOWSKI,  W.  SZEMPLISISKA- STUPNICKA P  e 3  K>  M e ilBJI E H H H   BH YT P E H H H X  P E 3OH AH C OB  B  H E JI H H E ft H M X  KOJIEBATEJIBH BIX C H C TEM AX B  H anH oft  CTaTbe  paccMOTpHBaeTCsi  coCTOHHHe sn ain rii  B o6nacTH   H ccne/ coBaH irii  BH yTpeH H ero  pe- 30H an ca  B H ejiH H eiiH bix  KOJieSaTejiLHbix  cucTeiaax.  B  pa6oTy  BKJiioieubi  HeKOTopwe  HOBbie  pe3yjibiaTbi B  cjiy^ae  BH yTpeH H ero  pe3on aH ca  Tuna  a>2  =   3coi  B cucieM e  c flByiviH  CTeneHHMH  CBoSoflw, Ky6H H ecKoro  rana  H  rapMOHiraecKtiM   BHeniHHM  B036y>Kfl;eHHeM.  BS. M H   ncnoJib3OBaH bi TeopeTH ^ecKKX  MeTofla:  MeTOfl  P iiTua  u  Aieios  ycpe^H eH H H .  K o n c t t i we  pe3yn biaT bi  npoBepH JiH Ch ypaBH eiiH H   H BH H CCH IIH  Ha  aH airoroBOH   Bw^mciiKTejibH oii  MauiHHe. E bin o  ycTaHOBjieHo, B  o6wacTii  BToporo  OCHOBHOITO  p e3o n an c a  cjie^CTBneM   BH yTpeH H ero  pe30H aH ca  M oryr  HBjiHTbCH   flBy- KOJie6aH na,  aM nniiTy^M   KOTOP WX  MH oronpaTH o npeBbiuiaiOT  Te3  KoTopbie  BbicTynaMT  B  cn y- ya e  CHCTeMbi  c  oTcyTCTBHeiw  BH yTpeH H ero  pe3on aH ca.  JJoiwHHHpyiomeft  HBjiaeTCH   Ta  rapM OH H iecKaa, coC TaBjiaiom aH j  la c T o r a  KOTopoii  p o Bn a  1/ 3.  yacToTbi  B33oy>KfleH na.  E bin o  n oKa3an o  ^ T O  pe3yjiŁTaTŁi n ojiyieH H Ł ie  n o Merofly  P n - rqa,  coriracyioTca  c  I Ł M H   KoTopbie  S M J I H   noJiy^eH bi  nyTe.w  CHMynHuan,  B TO speM H   rKenw S u m m a r y T H E  P H E N O M E N A O F   I N TE R N AL RESON AN CES I N  N ON LI N E AR VIBRATIN G   SYSTEMS The paper  presents  a  survey  of  the recent literature on the problems  of  internal resonances  in nonlinear vibrating  systems, and gives some new  results  on the internal resonance of  order co 2   =   3a>! in a  two- degree of- freedom  system  subjected  to  harmonic  load.  Two  theoretical  methods  are  used:  the  Ritz  method  and the  averaging  method  an d  results  are  verified  by  an  analog  computer  simulation.  I t  is  shown  that  in  the neighbourhood  of  the second  principle  resonance  the two- frequency  oscillations  occur  with  the  amplitude of  th e  subharmonic  of  order  1/3  considerably  higher  than that  of  the  fundamental  harmonic component. Th e  Rifz  method  gives  results  very  close  with  those  of  analog  computer  simulation  whereas  results  obta- ined  by  th e  averaging  method  are  qualitatively  different  with  them.  It  is  also  shown  that  there  occurs steady- state  almost- periodic  response  in  certain  region  of  the  excitation  frequency. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia 25  wrześ nia  1984  roku.