Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\02mts87_t25_zeszyt_3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  25,  (1987) ISTN IEN IE  CAŁ KI EN ERG II W WYBRANYCH   OBSZARACH OPŁ YWU   PROF ILU   CIECZĄ D OSKON AŁ Ą M .  J .  ClAŁ KOWSKI Politechnika  Poznań ska Autor skł ada podzię kowania Pani Dr.  M. E. Klonowskiej- Prosnak za  dyskusję nad niniejszą  pracą . Oznaczenia: z — zmienna  zespolona  w  pł aszczyź nie  fizycznej ~z — zmienna  zespolona  sprzę ż ona  do zmiennej  zespolonej  z f  — zmienna  zespolona  w pł aszczyź nie  pomocniczej a — promień  walca  opł ywanego w—  potencjał   zespolony  opł ywu  profilu  w  pł aszczyź nie  fizycznej W —potencjał   zespolony  opł ywu  walca  w pł aszczyź nie  pomocniczej v x   — prę dkość  zespolona  przepł ywu  jednostajnego  w  nieskoń czonoś ci F—  cyrkulacja 0  — funkcja  potencjał u  pię dkoś ci W —funkcja  potencjał u  prą du R e( z) — czę ść  rzeczywista  liczby  zespolonej  z Im(z)—•  czę ść  urojona  liczby  zespolonej  z Q  — obszar  opł ywu  profilu 8£2— brzeg  obszaru  Q Q' —  obszar  opł ywu  walca  (w pł aszczyź nie  pomocniczej) 8Q' — brzeg  obszaru Q' 1.  Wstęp • = . ' . • • ' . •   • ; ! '  • ; «  > ?  • '  •   • < , ' -   . W  wielu  zagadnieniach  przepł ywowych  uż ywa  się  do  opisu  ruchu  pł ynu  rachunku wariacyjnego.  Prowadzi  to  do uję cia  ruchu  pł ynu w  kategoriach  energii  [3]. Obszar, w którym poszukuje  się rozwią zania  może być nieskoń czony  a ponadto profil  może posia- 388  M . J.  CiAUtowsKr dać  ostrze.  W  tych  przypadkach  należy  zbadać zachowanie  się   pierwszej  wariacji  funkcjo- nał u  w  otoczeniu  ostrza  oraz  w  obszarze  nieskoń czonym.  Badanie  to  wynika  z nastę pu- ją cych  faktów —  dla  cieczy  doskonał ej  przy  opł ywie  ostrza  prę dkość  staje  się   w  otoczeniu  ostrza nieskoń czenie  duża  [1,  2] —•   przy  opł ywie  pojedynczego  profilu  cał kowita energia  kinetyczna w  obszarze opływu jest  nieskoń czona  [1, s.  52] D rugi  fakt  skł ania  do  wydzielenia  z  cał ej  pł aszczyzny  fizycznej  tej  czę ś ci  obszaru, w  którym  cał ka  z  energii  kinetycznej  bę dzie  skoń czona.  Ruch  cieczy  doskonał ej  opisany jest  równaniem  Laplace'a  [2, 5]. Jeś li  przyjmiemy,  że  na  brzegu  obszaru  skł adowa nor- malna  prę dkoś ci  jest  daną   funkcją   p  to  opis  ten jest  równoważ ny  poszukiwaniu  funkcji potencjał u  prę dkoś ci  0,  który  nadaje  minimum nastę pują cemu  funkcjonał owi  [3] J(0)  =   JL  f  V&V&dxdy-   i  0- p(s)ds;  0  e  C ^ n C ' f d . Q ) .  (1) A   a  aa Minimalizacja  funkcjonał u  (1)  prowadzi  do  minimalizacji  cał ki (—  / pdQ)  dla  zadanych a warunków  brzegowych  (jest  to  zasada  Batemana  [4]). Ze wzglę du na to, że wymiar  wyra- ż enia  (1) jest  [J/ kg], funkcjonał   (1) bywa  również  nazywany  funkcjonał em  energii. D o  zależ noś ci  (1)  moż emy  wprowadzić  potencjał   zespolony  w(z)  opł ywu  profilu, wówczas: J(w)  -   4-   i  $L J»ttxdy-   f  Re[wOO] •  p(s) •  * .  (2) 2  i  dz  dz  sii Z e wzglę du na  równość energii  kinetycznych w odpowiadają cych  sobie  obszarach  w pł asz- czyź nie  fizycznej  i  pomocniczej  [1, s.  66]  do  badania  zachowania  się   funkcjonał u  (2) wygodniej  bę dzie  przejść  do  pł aszczyzny  pomocniczej, w  której  znana jest  postać poten- cjał u  zespolonego  W (C) cyrkulacyjnego  opł ywu  walca  [2], Przy  rozwią zywaniu  zagadnienia  opł ywu  pł ynem  ś ciś liwym  jako  pierwsze  przybliż enie przyjmuje  się   rozwią zanie  zagadnienia  opł ywu  cieczą   doskonał ą   (równania  róż niczkowe rzą dzą ce  przepł ywem  pł ynu  ś ciś liwego  są   nieliniowe  [2]  a  pierwsza  wariacja  funkcjonał u energii  nie jest  funkcjonał em  liniowym). D latego  zbadanie istnienia I wariacji  funkcjonał u (1) jest  zagadnieniem  podstawowym. Zagadnienie istnienia  I  wariacji  funkcjonał u  (1)  przedstawiono  na  przykł adzie  profilu o  ką cie  ostrza  ó  =   0  (profil  Ż ukowskiego)  oraz  profilu  o  ką cie  ostrza  <5  >  0  (profil Karmana- Trefftza). 2.  Badanie  istnienia  cał ki  (2)  w  punkcie  osobliwym  profilu  o  jednej  stycznej D la  zobrazowania  zagadnienia  zajmiemy  się   profilami  uzyskanymi  z  odwzorowania zewnę trza  koł a  za  pomocą   funkcji  Ż ukowskiego  [2] CAŁ KA  ENERGII  W  OPŁ YWIE  PROFILU   389 * - C + y;  \ t\ > a,  (3) d la  k t ó r e j  fu n k c ja  o d w r o t n a  je st  p o s t a c i : C  =   - 7r(z+  l / z 2 —4 a 2 ) :  Izl >   2 a ,  C4> o r a z rfC  1  2+   ]/ z2- 4«2 dz  2  ]/ z 2 - 4a? Zatem: dw  dW   L (5) d£   _£ _  1  p, dz' r  j _  W r o « 2 \   / „  r  i  - w- oo« 2\   JC ^z  dz  " gdzie  funkcja/ (^(z))  jest  rzeczywista  i  ograniczona w  obszarze  Q.  N atomiast funkcja  g(z) jest  okreś lona  wzorem:  ,  • -   —-   ^  1  z +   i/ z2~4a2  Iz+   Vz2- 4a2 ~  dz  dz  "  T  yz 2- 4ai  ''  \   |/ ?3 - 4«2 1  zz+z-  ]/ z2- 4a2  +  {z \ / z2- 4ai)+  )/ z2- 4a2  ^ z2- 4a —  ,  "  •   •   •   ( , / J 4   ]/ z 2 - 4a 2 y / z 2 - 4a 2 i jest  funkcją  rzeczywistą.  Licznik  funkcji  g(z) jest  funkcją  ograniczoną  w  obszarze  ogra- niczonym,  gdyż |z2+ z  ]/ z2 -   4a2  +  z j/ z 2 -   4a2 + max z-z  +  z ]/ z 2 -   4 a 2 + z  ]/ z2 -   4az + ]/ z2  -   4a2  \ / zr~   4a2\   =   A ; Funkcja  g(z)  posiada  osobliwość  w  punkcie  (x,y)  =   (2«, 0).  Zbadajmy  teraz  istnienie cał ki  (2) w  obszarze  Q e   (rys.  1) zawierają cym  punkt osobliwy  (x, y)  =   (2a, 0). Zatem CtW  UW  Y  1  {  n/ x.,  \  \   ,  r  \   T  7  ^'/ l- /   S \   .  __   ̂ \   T  /n\ 390 M .  J .  ClALKOWSKI gdzie: / ,   =  _ _ dx-  dy (9) gi (z) =  ~\ zz  + z\ / z2-   4a2 + (z j/ z2 -   4a2) + j/ z2' -   4a2  \ lz2  -   4a 2], max  \ gi(z)\  =   - cA. Zagadnienie  istnienia  cał ki  I t   sprowadziliś my  do  badania  istnienia  cał ki  I 2 .  Dalsze roz- Rys.  1. waż ania  wygodniej  bę dzie  przeprowadzić w lokalnym  ukł adzie współ rzę dnych  o począ tku w  punkcie  osobliwym  (rys.  1),  wtedy: A  =   {(*>)')'- x  =   2a+Q •  cosy,  y  = Q- sinq>,  0  <  Q <  e, O ^ ^ 1 ^ ^ , 

 U   +   J / |/ i - ż t2 si n 2 ^  ~  J  1+ p  U   + J  J  /  l/ l —  fc2si0  jft 2 o  5  0 ]/ 1 -   kh'm2® 4 8 CAŁ KA  ENERGII  W  OPŁ YWIE  PROFILU 391 gdzie  funkcje  FU^ - ,  k\ ,  F(n,  k),  W - y,  kj  są  cał kami  eliptycznymi  I  rodzaju  [6].  D la k 2   <  1  cał ki  eliptyczne  I  rodzaju  posiadają  wartość  skoń czoną.  Ponieważ  F{T C, k)  = =   2F(n/ 2, k)  oraz —•  ̂   ~-   <  —,  stąd  0  < 

  = n.  P unkt o  współ rzę dnych: x  =   2a+QCoscp/ (4 . a , n)   =   - 2 a, y  =  Q  •  sin95/ (4a>n)  =   0, jest  drugim  punktem  osobliwym profilu.  Punkt (x, y)  =   ( - 2a,  0)  leży we wnę trzu  profilu ( 2   >  7i) jeś li  koł o  w  pł aszczyź nie  pomocniczej  ma  ś rodek  poza  począ tkiem ukł adu  współ rzę dnych.  Cał ka I 2   jest wtedy  ograniczona.  Jeś li  koł o w pł aszczyź nie pom o- niczej  m a  ś rodek  w  począ tku  ukł adu  współ rzę dnych,  wówczas  profil  redukuje  się  do odcinka  mają cego  koń ce w punktach (—2a, 0) i  (2a, 0)  [6]. Musimy  zatem zbadać  zacho- wanie się cał ki w otoczeniu punktu (—2a,  0).  D la profilu  o wielu punktach  osobliwych  nie 392  M . J .  CIAŁ KOWSKI leż ą cych  we wn ę trzu profilu  obszar Q e  dzielimy n a podobszary  Q e ., i =   1, 2, ..., N  z  któ- rych  każ dy  zawiera t ylko jeden  p u n kt osobliwy i badam y  zachowan ie  się  cał ki  I 2   w  obsza- w  !; rze  i 3 e =  U   &»,>  D la powyż szego przypadku obszar QH jest okreś lony n astę pują co: 1  =   1 -  c o sq 9,  j ;  =   e - s i n c >,  0  «Ś g <  e ^ 0  <  

 1, dla  której  funkcja  odwrotna  jest  postaci: (z+mć ) m   - {z- mc) m oraz: d£  4c^  h(z) 1dź !_1  J.  7Tj: ( 2 2 - m V)  ' " [ ( 2 + m C ) " ' - ( z - mC ) ' " ] J  ( z 2 - m2 c 2 )  m CAŁ KA  ENERGII  W  OPŁ YWIE  PROFILU 3 9 3 gdzie  funkcja  h(z)  jest  ró wn a: h{z)  = Ac 2 i  jest  funkcją  ogran iczon ą  n a  zewną trz  profilu. Z atem  analogicznie  d o  (6)  m am y: dw  dw dz  dz gdzie  funkcja  q(z)  jest  rzeczywista h(z)  •   h(z) dz  dz  y)'x  =  m- c  + Q  •   c o sy,  y  =  Q'sin)  "  °  f-   ( 1- J t2sin 2# ) Cał ki  wewnę trzne  moż emy  przekształ cić  nastę pują co: 2  M   2  7C  2  2  2  "2 o o o  o o o wi ę c: 'iiiuc  — - l  T  ~2~  ~~2 (2mc)   m  " Ponieważ  cp 2  ^   f^   oraz  funkcja  podcał kowa jest  dodatnia,  przeto: a  stą d: ZX'J 2  — 2mc  —- i  2 2-   "  J  J  '  !  ' (2mc)  "'  ° P aram etr  w  okreś la  ką t  8 w  ostrzu,  <5  =  (2—ni)  •   n,  speł nia  wię c  nierówność  1  <  m  < 2 oraz  n a  mocy  monotonicznoś ci funkcji  podcał kowej mamy: 1 CAŁKA  ENERG II  W  OPŁYWIE  PROF ILU   395 ~2mc  —  - 1 (2mc)   m 2^   2 4  •   m a x  « • / *  A - ?  p S  F{2-   k) •   f \   t \ 2 ' I C )  J 2 - —  «  \  *   /   J  1 — — '"  M p «  ° 2   s  \   • *> (2mC) 2 - m  |\   2wc max  F j —, 0  <  m  <  2 Pokazaliś my  wię c,  że również  dla  profilu  o  dwóch  stycznych w ostrzu cał ka (2) jest ogra- niczona. D la m  =   2 wynik  (16) jest identyczny z  (9b), gdyż  profil  Karmana- Trefftza  jest modyfikacją   profilu  Ż ukowskiego  i  dla  m  =  2  funkcje  (3)  i  (13)  są   identyczne. 4.  Badanie  istnienia  cał ki  (2)  w  obszarze  nieorganiczonym Cał ka dW .  dw  dw \   T   dC  \   dc  }  _  1  r  dW   dW wyraża  energię   kinetyczną   cieczy doskonał ej. C. Witoszyń ski  pokazał   [1], że energia kine- tyczna  w  obszarze  nieskoń czonym  na zewną trz  walca  (przy pominię ciu energii  kinetycznej pochodzą cej  od  przepł ywu  jednostajnego)  jest  nieskoń czenie  duż a.  Rozważ ania  nasze przeprowadzimy  dla  potencjał u  zespolonego  z  pominię ciem  czł onu  odpowiadają cego przepł ywowi  jednostajnemu,  wtedy: w(z)  =   0(x,  y)- Re(v„  z)+i [y>(x,y)- Im(v a> z)]  = =  0(x,y)- u(x,y)+i[yi(x,y)- V(x,  y)] =   &(x, y)+iW (x,  y), n(x, y)  =   R e ^ z )  ==   x  •  v x +y  •  v y ,  V(x, y)  =  I m ^ z )  =   y  •  v x —x  •  v y . Stą d  funkcjonał   energii  ma  postać: /   =  Y  J  V^V*  •  dx •  dy-   j  S- p(s) •  ds =f 396 M .  J.  ClAŁKOWSKI 1  f  dw  dw J sa (18) gdzie: rt- normalna  zewn ę t rzna  do  brzegu Z ajm iem y  się   teraz  zbadan iem  istn ien ia  pierwszej  cał ki  zależ noś ci  (18) .\ Z ach o d zi  pyt an ie  czy  w  pasie  n ieskoń czon ym zawierają cym  profil,  cał ka  (18) bę dzie  miał a wart o ść  skoń czon ą.  D la  uproszczen ia  rozważ ań  podzielim y  obszar  n a  dwie  czę ś ci  Q'  = =   Q' p {jQ' R ,  gdzieQ' p   jest  obszarem zawartym  mię dzy  liniam i prą du  W x   i  1f 2   (rys.  3)  i pro- m ien iem  r  <  R  n at om iast  obszar  Q' R   zawarty  jest  m ię dzy  liniam i  prą du  \ F X   i  XF 2   i r  >  R. W  obszarze  skoń czon ym  Q' p   n a  m ocy  poprzedn ich  rozważ ań  cał ka  (18) jest  ograniczona. Z a t e m  wystarczy  zbadać  cał kę   / 4  tylko  w  obszarze  Q'p  okreś lon ym  zależ noś ciami Q' p

  a}. Rys.  3. CAŁ KA  ENERG II  W  OPLYWIE  PROWLU   397 D la  uproszczenia przyjmijmy  v m   =  vj.  Cał kę 74  zbadamy  w biegunowym  ukł adzie współ - rzę dnych  (rys.  3) |  =   /• •   c o s ę ?,  rj  =   /• •   s i n < p ,  s t ą d:  £ = • / • •   e i ( " , wtedy: 1  P T V  F*  Tfl2  - 2 ^ ,  - '2"4 D ruga  cał ka w  zależ noś ci  (19) m a  wartość  skoń czoną  gdyż: co  < pi(r)  co  ip i( r ) J Ś £ *- - fM£ ^   f  dr  1  .  . , ^  m ax  [(pi(r)  —  o  k Cał ka  I s   bę dzie  skoń czona  tylko  wtedy  gdy: W i(r)-   0,  «  >  0. D la  każ dej  funkcji  J7(r)  speł niają cej  powyż szy  warunek  cał ka  (20)  bę dzie  skoń czona. D la  c  =   2n  i  a  =   0  otrzymujemy  cał kę rozbież ną  zgodną  z  wynikiem  uzyskanym  przez Witoszyń skiego  [1]. Wynaczymy  teraz kąt widzenia  (p2{r) — (pi{r)  przekroju  o  prom ieniu;- zawartego  mię dzy  liniami  prą du  lF x   i  XF 2 ,  które  przechodzą  przez  pun kty  A  i  B  (rys.  3). Równanie  linii  prą du  jest  nastę pują ce  [2]: a  y  Z . l n i / 1 5  * Zatem  równania  linii  prą du  przechodzą cych  przez  punkty  A  i  B  wyraż ają  się  wzoram i: r  v  r 1  I  Tli  '?  ' 398 M .  J.  ClAŁ KOWSKI lub  we  współ rzę dnych  biegunowych: Stą d: siny \ A\ r r —- 'c o  Ci  i*—>oa (21) r 2  2  •   w  • ;  limsinc>2(r) =  0, ?*  —- (22) In 2|  1 _ l ) _ B  AI  2- 7t- v D r- D la  dostatecznie  duż ych  wartoś ci  r  zachodzi  nierówność  0 <  — — — <  —.P ozwalato • u  £ n a  wykorzystanie  nastę pują cej  nierównoś ci: Z atem : OD • 7t 2  J  r ya( i- )- ?>i( r) T 2  f  1  2 4 "̂J  T"n' cos- - dr r—- m in COS J C—Ż - .- D  f  dr  DUn R  +   a CAŁKA  ENERGII  W  OPŁYWIE  PROF ILU 399 Zbadajmy  teraz  drugą   cał kę  w (18). Wyznaczmy  funkcję   P(S), P(S)  =  v e   •   cosoc+v,,  •   si n a , gdzie ką t  « zawarty jest mię dzy normalną  zewnę trzną   do  BQ'  a  osią   x. P rę dkość zespolona wynosi: dW  .  r  v ^ stą d: • r, 2-   7t- \ c2 oraz 2- re l i m  W{  =   l i m v n   —  0 , 4 ±   4± + ( v s'  coscc+v„ •   si n a ) . D la  dostateczn ie  duż ych  wartoś ci  f  m am y  [7]: f V <  1, 1 1 - 0, (23) (24) (25>. . ,   C l 5  U 2  , t  U, oraz  linie  W x   i  W 2   są   równ oległ e  d o osi x  (zależ ność  (21), (22)) a  cał ka J  Rt[W ]  •  P(S)dS =  JRe[W ]P(S)dS+  J Re[W ]P(S)dS jest  skoń czona wtedy  i tylko  wtedy  gdy  funkcja  podcał kowa posiada  oszacowanie \ Re[W ]- P(S)\  sS- J^-,  E>0,  p>\ ,  ( 26) co  n a mocy  ( 23) -  (25) jest zachowane. Zatem cał ka  po  brzegu  z  zależ noś ci  (18) w  pasie- nieskoń czonym  obejmują cym  profil  jest  skoń czona.  Pokazaliś my  wię c,  że  dla  róż nych, wartoś ci  cyrkulacji  F  cał ka  (18)  w  pasie  nieskoń czonym  zawartym mię dzy dwom a liniami prą du  obejmują cymi  profil  m a  wartość  skoń czoną. 5.  Uwagi  koń cowe Przedstawione rozważ ania  dotyczył y wybranych  dwóch profili,  o jednej  oraz  o  dwóch stycznych  w  ostrzu.  Zachodzi  zatem  naturalne  pytanie  o  istnienie  cał ki  energii  w  przy- padku  dowolnych  profili  mają cych  ostrze.  W  takich  przypadkach  cał ka  energii  bę dzie 400  M .  J.  ClALKOWSKl istnieć,  co  wynika  z  nastę pują cego  rozumowania.  D la profilu  o jednej stycznej  ostrze jego może  być  aproksymowane  ostrzem  profilu  Ż ukowskiego  i  w  otoczeniu  ostrza  funkcja odwzorowania  Ż ukowskiego  odwzorowuje  aproksymowany  profil  na  krzywą   styczną do  koł a  w  punkcie  odpowiadają cym  ostrzu.  Ograniczoność  cał ki  energii  dla profilu apro- ksymowanego  w otoczeniu  ostrza bę dzie wynikać z  ograniczonoś ci cał ki energii  dla  profilu Ż ukowskiego,  co  został o już  wykazane.  Analogiczne  rozumowanie moż na przeprowadzić dla  profilu  o  dwóch  stycznych  w  ostrzu. Do tego celu  moż na  wykorzystać  przedstawione rozważ ania  dotyczą ce  profilu  Karmana- Trefftza. Przedstawione  rozważ ania  dotyczył y  opł ywu  pojedynczego  profilu.  Interesują ce  staje  się zatem rozważ anie problemu istnienia cał ki energii dla profilu  znajdują cego  się  w  palisadzie profilów.  Prę dkość  zespolona  przepł ywu w  palisadzie profilów  rozł oż onych równomiernie wzdł uż  osi  urojonej  jest  wyraż ona  zależ noś cią   [10,  11] v(z)  =  v m +—J  v(0  •  ctgh  y ( z - 0  >  L —kontur  profilu, stą d  sprzę ż ona  prę dkość  przepł ywu odniesiona do prę dkoś ci  w  nieskoń czonoś ci  wynosi: V(z)  =  »(z)- 5(2  -   co)  -   ~ ( 2 7 ) e r F u n kcja  V(z) jest  funkcją   okresową   V(z)  =   V(z+i-   «•   t),  n  =   1, 2,  ...,  zatem  istnienie cał ki  en ergii  m o ż na  bad ać  nie w  pasie  n ieogran iczon ym  zawierają cym  się   m ię dzy  dwoma lin iam i  p r ą du  lecz  w  pasie  n ieogran iczon ym  zawierają cym  się   mię dzy  dwom a  prostymi równ oległ ym i  oddalon ym i  od siebie o podział kę  palisady  /.  D la  dostateczn ie  duż ych war- toś ci  \ z\   >  x 0 , wię c: V(z) •  V{z)  -   i e ~ . '  *•  f 5( 0c'  W •   f w(0 •  e' "W -   4- e  ' *, •   *  J  J  t oraz: J  j  V(z)- V(z)dxdy  = ~  J  e  '  ^  = - ê  '  (28) Pokazaliś my  wię c, że również  dla  palisady profili  cał ka energii  (17) ma wartość skoń czoną a  pon adto wyrównanie  się  pola prę dkoś ci nastę puje  szybciej niż  dla  profilu  pojedynczego co  ujawnia  się   szybszą   zbież noś cią   cał ki  (17). CAŁKA  ENERGII W  OPŁYWIE  PROFILU   401 N iniejsze  rozważ an ia  m o ż na  uogóln ić  n a  palisady  wielokrotn e  zawierają ce  u kł ad profilów  [8,  9].  W  tych  przypadkach  prę dkość zespolon a  (27)  bę dzie  zawierać  su m ę   cał ek po  każ dym  kon turze  profilu  z  ukł adu  profilów  zawartych  mię dzy  d wo m a  lin iam i  perio- dycznoś ci.  C h arakter  zbież noś ci  cał ki  energii  (17)  bę dzie  an alogiczn y  do  (28). Literatura 1.  C. WiroszYŃ sicr.,  Aerodynamika,  Warszawa  1928. 2.  W. J.  PROSN AK,  Mechanika pł ynów.  Tom I.  PWN   Warszawa  1970. 3.  S. G .  M ICH ELIN ,  Variationsmethoden dir  matheinatischen Physik.  Akademia- Verlag- Berlin  1962. 4.  Y. C.  F U N Q ,  Podstawy  mechaniki ciał a stalegj.  PWN  Warszawa  1969  (tł umaczenie  z  angielskiego). 5.  B.  Ś REONIAWA,  Hydrodynamika i  teoria  sprę ż ystoś ci,  P WN   Warszawa 1977. 6.  F ,  OBERHETTING ER,  W.  M AG N U S,  Zastosowania funkcji  eliptycznych  w fizyce  i  technice.  P WN   War- szawa 1963. 7.  I. M.  RYZYK,  1. S. G RAD SSTEJN ,  T ablica cał ek,  sum, szeregów i  iloczynów. P WN  Warszawa 1964. 8.  W. J.  PROSN AK,  T eoria  ukł adów profilów  lotniczych.  Wszechnica  Polskiej  Akademii  N au k.  Z akł ad N arodowy  im. Ossoliń skich.  Wyd. Polskiej  Akademii  N auk 1981. 9.  W. J.  PROSN AK,  On a  Method  of  Computing the Plane Steady Flow around a  Profile Situated between Straight  Parallel  L ines.  Bulletin  de  L'Academie  Polonaise des  Sciences.  Serie  des  sciences  techni- ques.  Vol. XX,  N o. 4- 1972. 10.  F . K>.  CTEIIAHOBJ  FudpoduHaMUKa  peiuemOK  myp6oMaumn, H 3fl.  <3>H3HKo- MaTeM. JTHTepaxypbi, MocKBa 1962. 11.  T.  CH MIELN IAK,  Zagadnienia cieplnych maszyn przepł ywowych. T eoria palisad. Skrypt  uczelniany Poli- techniki  Ś lą skiej.  N r 783. G liwice 1979. N iniejsza praca powstał a n a podstawie prac przeprowadzonych w ram ach stypendium im . A. v.  H um boldta w  Institut  fur  Strahlantriebe und Turboarbeitsmaschinen  der R WTH   Aachen.  D ir. Prof.  D r.- I n g.  H . E. G allus. P  e 3 io  M  e C yn jE C T BO BAH H E  H H T E rP AJ I A  S H E P r H H   B  H 3BP AH H BI X  I TP OC TP AH C TBAX O BT E K AH H ^  n P O *H J I K  H flE AJ I bH O ł ł   KH JU KOCTK) B  pa6oTe  uccjieflOBaHO  cymeerBOBaH ne  H H Terpajia  OH epran flJiH  np&anhuaw.  JKH IJKOCTH   B 6 J I H 3 H   n p o - 4>H JIH  c oflH oii  H JIH  flEyM H  KacaTejibHbiMH   B e r o  3aAiieH  KpoMKe. H ccjieflOBaH o  Towe  cyinecTBOBamie  H H Terpajia  sH eprcn i  B H eorparam eH H ofi  n o jio ce  MejKjry  ^ByMH JIHHHMH   TOKa  o6HHMa!OmHMH   npo^lH JIB. S u m m a r y EXISTEN CE  OF  TH E EN ERG Y  IN TEG RAL I N  SELECTED   IN COM PRESIBLE  F L U I D   F LOW AROU N D   TH E  P R OF I LE Existence of the energy  integral  in the incompresible fluid  flow around the profile  with the sharp single and  double  tangential trailing  edge has been considered in the paper. Existing  of  the energy  integral  in an infinite  band  situated  between  the two stream  lines with  a  profile  in it has been  also considered. Praca  wpł ynę ł a do Redakcji  dnia 18 kwietnia  1985 roku. 6  Mech. Teoret.  i  Stos. 3/ 87