Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\02mts87_t25_zeszyt_3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3, 25, (1987) WARIACYJN E  U JĘ C IE  PRZEPŁYWÓW TERM OD YF U ZYJN YCH SPRZĘ Ż ON YCH   Z  POLEM   N APRĘ Ż EŃ MAREK  WRÓBEL W yż sza  Szkoł a  Inż ynierska,  Opole 1.  Wstę p Zasady wariacyjne  zajmują   jedno z centralnych miejsc  w  zadaniach  mechaniki  i  fizyki oś rodka  cią gł ego.  Wynika  to  z  kilku  przyczyn,  z  których  najistotniejsze  to  moż liwość wyprowadzenia  równań  mechaniki  oraz  konstruowanie  przybliż onych  metod  rozwią zań szczególnie  istotnych  przy  rozwią zywaniu  zadań  numerycznych.  Stą d  problematyka formuł owania  zasad  wariacyjnych  dla zadań  począ tkowo- brzegowych  w  ramach  coraz  to ogólniejszych  teorii był azawsze przedmiotem intensywnych badań. I  tak wram ach teorii ter- mo  sprę ż ystoś ci  do pierwszych prac tego typu zaliczyć należy prace Biota [3,4]. Rozszerzenie zasad  wariacyjnych  proponowanych przez  Biota  znaleź ć  moż na w  pracach H errmana  [11 Ben- Amoza  [2]  i  Bao- Liana  [1]. Wszystkie  te  prace  opierają   się   n a  zasadzie  H amiltona. Istotnym  krokiem  naprzód  pozwalają cym  na  bezpoś rednie  wł ą czenie warunków  począ t- kowych  do  równań  pola  są   zasady  wariacyjne  typu  splotowego  zaproponowane  przez G urtina  [9,  10].  Prace  G urtina  dają   moż liwość  stosowania  zasad  wariacyjnych  w  dyna- micznych  zagadnieniach  lepkosprę ż ystoś ci.  Obecnie  twierdzenia  wariacyjne  lepkosprę - ż ystoś ci.  znaleźć  moż na  w  licznych  opracowaniach,  że  wymienimy  tu  prace  Christen- sena  [5], Onata [21], oraz  Olszaka i  Perzyny  [20].  Rozszerzenie  zasad  wariacyjnych  typu G urtina  na zadania  termosprę ż ystoś ci  znajdujemy  w  pracy  N ickella  i  Sackmana  [19]. Z  kolei  bardzo  ciekawą   i  przeglą dową   pracę   dotyczą cą   twierdzeń  wariacyjnych termo- lepkosprę ż ystoś ci  zaprezentował   Reddy  [22].  N atomiast  wcią ż  jeszcze  znikoma jest liczba prac dotyczą cych  wariacyjnego  uję cia  termodyfuzji  lepkosprę ż ystej  i  sprę ż y- stej.  W  zakresie  sprę ż ystym  wariacyjną   formę   równań  termodyfuzji  uzyskali  Podstri- gacz  i  Szewczuk  [29],  lecz  najbardziej  bogate  uję cie  tej  problematyki  znaleźć  moż na w  pracy  Szweca  i  D asjuka  [31]. N atomiast  w  zakresie  lepkosprę ż ystym  —  korzystają c z  metod  analizy  funkcjonalnej  i  wykorzystują c  metodykę  postę powania  G urtina [10]  — interesują ce  wyniki  uzyskał   Wyrwał   [24]. W  opracowaniu  tym  zaprezentujemy  budowę funkcjonał u  dla  zadań  sprzę ż onej  termodyfuzji  lepkosprę ż ystej.  Otrzymany  funkcjonał posł uży do  analizy  sprzę ż eń  przepł ywów  termodyfuzyjnych  z  polem  naprę ż eń  na  przy kł adzie pewnego problemu począ tkowo- brzegowego.  Wydaje  się   że  analiza taka  może  być celowa,  gdyż  autorzy niewielu publikacji  z zakresu  termodyfuzji  sprę ż ystej  i  lepkosprę ż y- stej  skupiają   uwagę   na  teoretycznych  podstawach  problemu  [13,  17,  18,  29,  31].  Z nane 6* 404 M .  WR ÓBF .L są   rozwią zan ia  pewnych  zagadn ień  brzegowych  [6,  8,  14,  23]  lecz  brak  jest  tam  przy- kł ad ó w  liczbowych  obrazują cych  rozważ ane  procesy  i  m ogą cych  posł uż yć  do  analizy sprzę ż eń  rozpat rywan ych  wielkoś ci  polowych. Wpro wad zam y  w  an alizowan ym  zadan iu  nastę pują ce  ozn aczen ia: Rys.  1.  Ciał o  lepkosprę ż yste Uf t Pf—  wektory  przem ieszczeń  i  sił   zewnę trznych  zadan e  odpowiedn io  n a  brze" gach  A u   i  A„  ciał a  /? QFI  —  sił a  m asowa  jedn ost ki  obję toś ci  ciał a  /i T lt   C t   —  odpowiedn io  t em perat u ra  i  kon cen tracja  w  chwili  / T o ,  C o   —  odpowiedn io  tem peratura  i  kon cen tracja st an u  n aturaln ego Kij,  Kij  —  odpowiedn io  ten sory  przewodnoś ci  cieplnej  i  dyfuzyjnej E;jki,  k i  * 0 pr   * de kUJ   * dÓ8 mi   — & kl   *  / *  de kljJ   * dd& it   + +  0 k ,  * n  * de k ,  .-   * dóC  ;  — &k, * /  * d0  , * rf<5£ fc,  t + l * I * d©  <  * dd&  , + '  '  (2- 19) — /  * n  * 6?0,j  w  ddC tl   + 0 !U   * 71  *  rfCj  * dde kł ii   — l  * n  • *  dC tJ   * dd& t  £ + +  n*n*  dC tJ   * ddC, t )  + r L   *  (® u   * dde u - l*  dd6+n  *  dÓC)]dV+ D la  u zyskan ia  cieplnej  czę ś ci  fun kcjon ał u  wyraż enie  n a  gę stość  en tropii  (2.2)  mnoż ymy splo t o wo  przez  (rt-   ®kl  * 1 * dUkt„   * d&,, + +   & kl   * n  * dU kt  u   *dC A +~l*l*  d0 tj   * dS A ~l  *n*  d0 tJ   * dC t   + 1 *  n  * dC.j  * dC.i  + Coi&u  * dU t ,j- l*  d0+n  * dC)  + QS o H(t)  *d0+  (2.22) PRZEPŁYWY TERMODYFUZYJNE 407 * H(t)  * d& * dUUj~l  *d0+n* * dO.i- gFi  * dUi \ dV-   J  [Pf  * dU t ]dA-   f  [(Uf- U t )  *  dP^ dA- 10 \ e\ dA-   J  [j* * (0 tJ   *  JC/ ;,,.- l*d&+n*dC)]dA. Należy  zwrócić  uwagę ,  że  funkcjonał   powyż szy  otrzymany  został   przy  zał oż eniu,  że potencjał   chemiczny  okreś lony  jest  równaniem  konstytutywnym  (2.3),  a  zwią zki  geome- tryczne  dane  są   równaniem  (2.9).  Zbudowany  funkcjonał   wykorzystany  bę dzie  dalej  do rozwią zania  pewnego  zadania  począ tkowo  —  brzegowego  sprzę ż onej  termodyfuzji. 3.  Zastosowanie — o pewnym zadaniu  sprzę ż onej  termodyfuzji  w warstwie Sformuł ujemy  teraz  zasadniczy  w  cał ej  pracy  PROBLEM :  N ależy  wyznaczyć  pola temperatury, koncentracji  i  przemieszczeń,  a  w dalszej  kolejnoś ci  odkształ ceń i naprę ż eń w warstwie zdeterminowane przez zadane na brzegach wartoś ci  temperatury i koncentracji, oraz  okreś lić  wpływ wzajemnych  sprzę ż eń  mię dzy rozpatrywanymi  polami  na ich rozkł ad. Rozpatrzmy wię c warstwę  o gruboś ci  h, w której  wystę puje  pole temperatury ©,  kon- centracji  C  i  przemieszczeń  f/ j.  Zakł adamy, że  zagadnienie  przez  nas  rozpatrywane  jest jednowymiarowe,  tzn.  wszystkie  pola  zależą   od  jednej  zmiennej  przestrzennej  x 3 ,  oraz że  ś rodek jest  izotropowy,  brak  w  nim  ź ródeł   ciepł a i  masy  oraz  sił   masowych  (rys.  2). © „ H it) C h  H (t) Rys.  2.  Warstwa  z  polem  temperatury,  koncentracji  i  przemieszczenia Przyjmujemy  nastę pują ce  warunki  brzegowe  pierwszego  rodzaju =   C„H(t),  (3.1) natomiast  za  warunki  począ tkowe  przyjmujemy  wartość  entropii  i  koncentracji  na  cał ej gruboś ci  warstwy  równe  zero C(x 3 ,  0)  =   Ć o   =  0,  QS(X 3   ,0)  -   S S 0   =   0.  (3.2) 408  M. WRÓBEL Wtedy  funkcjonał   (2.22) dla sprzę ż onych pól  temperatury,  koncentracji i przemieszczenia przyjmie  postać bil =   f  \ y - Ż i /2 1  1  K! -   - i-n * dC*  dC~  - - m * d® * d&-  ^ ^ a * $33 *  dU it3S   * dU 3i3i   + - K'& 23   * I * dU 3lii   * d6, 3 +K'& 33   * n * dU 3i33   *dC, 3 +  (3.3) _ JL .1* i * d&,  3 *d0, 3   +K'l * n * d&, 3  * rfC, 3 + ^— n * «. * afC, 3  * dC  3  ^ PF~^  * @  3 * "(*3, t) = g o (t)+  £a k (t)g k (x 3 ),  (3.7) n C n {x 3 , t) =  / 0 ( 0 +  .£  bk(t)fk(x3),  (3.8) n W (Xi, 0 =  u o (t) + £  c k (t) u k {x 3 ),  (3.9) gdzie: g o (t)  =  6 b H(f),  (3.10) / 0 ( 0  -   CbH(t),  (3.11) CO  K «C ^ e ) f f ( 0 ] -   U b H(t)x 3 .  (3.12) PRZEPŁYWY  TERMODYFUZYJNE  409 Funkcje g Q ,f 0   i "o speł niają   niejednorodne,  n atom iast  funkcje  g k , f k   i  u k —jednorodne warunki  brzegowe;  a k (t),  b k (t) i c k (t) są  tutaj  poszukiwanymi  funkcjami  czasu. D zię ki  zastosowaniu  zmodyfikowanej  metody  bezpoś redniej  Ritza  zadanie  szukania ekstremum  funkcjonał u  tF\ 6",  C", U' 3 ']  sprowadził o się  do zadania  poszukiwania  ekstre- jnum  funkcji,  której  argumentami  są   poszukiwane  funkcje  czasu  a k (t),  b k {t) i  c k (t). Warunek  istnienia  ekstremum  tej  funkcji  prowadzi  do nastę pują cych  równań  Eulera- - Lagrange'a 7z 2 (2k- l) 2   n{2k- \ )  ,  7r 3( 2fc- l)3   v l   ,  , T fj  K  I * n * ab k - \  -—  (pis * dc k - \ -  ~r^   A ip 3 3  * /  * dck = ((p 3 3*dU b +m*d& b )H(t), n{2k- \ ) „.  ,  T:(2fc- 1)  h * n *   k  TT  Kn*n*  db k   — r - n  * db k   — U  JT033 * « * dc k  =  ~ 2 ^ T i y  •  2A« * dC b H(t),  (3.14) ,  ,  Jt(2Jfc- l)  ,  7 t 3 ( 2 / C - l )3 „ , *  /  * da k   X _  i-  9,33 * ̂   V 2 / g 2  JC •   (cp 33   * d& b - E 3333   * dU b )H{t).  (3.15) Wystę pują ce  w  zadaniu  funkcje  materiał owe /, m, n przyjmujemy  za stał e w czasie: l(t)"lH(ł ),  m(t)- mH(t),  n(f)- nH(t),  (3.16) oraz  zgodnie  z  [6, 13, 17, 18,  24]: 15  = _ 7 _ o i  „   3 * 3 3  -   - | flr- i,  -̂ JC'n.  (3.17) N atomiast z analizy  funkcjonał u  danego  zależ noś cią   (3.3) bą dź  ukł adu  równań  (3.13)- ^ - ^(3.15)  wynika  kilka  funkcji  sprzę gają cych  pola  termiczne,  dyfuzyjne  i  mechaniczne, które  po  uwzglę dnieniu  (3.16)  i  (3.17)  moż na  przedstawić  w postaci  współ czynników: 1°  współ czynnik  sprzę gają cy  pole  mechaniczne  z  cieplnym  zwią zanym  z  przepł ywem ciepł a x cl =~- a T >   (3.18) 410  M . WRÓBEL 2°  współ czynnik  sprzę gają cy  pole  mechaniczne  z  cieplnym  zwią zanym  z  przepł ywem masy K C 2  =  | f t „   (3.19) 3°  współ czynnik  sprzę gają cy  pole  mechaniczne z  dyfuzyjnym «r  =  - yA*..  (3.20) 4°  współ czyn n ik  sprzę gają cy  pole  cieplne  z  dyfuzyjnym * u  =   Z ) c/ .  (3.21) Wyznaczanie  pola  temperatury,  koncentracji  i  przemieszczenia  w  warstwie  sprę ż ystej. D la  ciał a  sprę ż ystego  funkcja  relaksacji  jest  stał a  w  czasie: G(t)  =  EH(t),  (3.22) a  jej  tran sform ata  Laplace'a  ma  postać: G(p) = Ej,  (3.23) gdzie  p  jest  parametrem  transformacji.  D okonują c  na ukł adzie  równań  (3.13)- =-  (3.15) transformacji  Laplace'a  i  uwzglę dniając  zależ noś ci  (3.16)- =-  (3.23)  obliczamy  wartoś ci poszukiwanych  funkcji  w przestrzeni obrazu. D okonują c  nastę pnie retransformacji  Lapla- ce'a  po wstawieniu  do  (3.7)- = - (3.12)  otrzymujemy  poszukiwane  wielkoś ci  polowe  0", C, US &>(x a , t) =  e\ H{t) + ̂ ^ a k {t)oo,^ ^ l lxX  (3.24) *-   k=l  - * C"(x 3 , t) =  C b \ H(t) + ̂ ^ h ( t ) c o ^ ^ - x l  (3.25) W (.x»> 0 =   c J fiiC O * + ^ ]?  c k (t)sin   ni2k   V x 3 ],  (3.26) gdzie: JJ lk~P2k!\ Plk- P3k) •  e"'*' - I-  -   P3k^ P3cfi  +^ z  &3kt  ,  (3.27) b k (t)  = (Plk  —P2k)  (Plk  —P3k)  (j>2k —Plk)  (j>2k —P3k) (j>3k~Pl 1+ B 2   1 3*- / >2ł)  J V PRZEPŁ YWY  TERMODYFUZYJNE  4  U Ck(O  =   C (Plk  - Pzk)  (Plk- P3k)  (P2k  - P i t)  (P2k  ~P3k) e"«'+   —l- Wystę pują ce  w  zależ n oś ciach  (3.27)^(3.29)  wielkoś ci  A,  A lt   A z ,  A 3 ,  B,  B t ,  B 2 ,  B 3 ,  C, C i ,  C 2 , C 3 są funkcjami  stał ych m ateriał owych oraz współ czyn n ików  sprzę gają cych  (3.18- f- - J - ( 3. 21).  N atom iast wielkoś ci  p lk   (i  =   1, 2,  3)  są  pierwiastkam i  ró wn an ia  trzeciego  st o p- nia,  które  rozwią zano  m etodą  C ard an a. P ole  odkształ ceń  otrzym am y  z  zależ noś ci  n a  ten sor  odkształ cen ia  C auch y'ego  (2.9), a  pole  n aprę ż eń  z  ró wn an ia tworzą cego  na ten sor n aprę ż en ia  (2.1). Po  r a c h u n ka c h  i  prze- kształ ceniach  otrzym ujem y (2k- l)c k (t)cos  ^ L JL xX  (3.30) ,  0  =   ffL(^3,  0  =  - j- ^27  I T T 7  £ " ( X 3 >  ł )~   [oC°c"(x*>  O+ «r® "(*»f  O]},  (3.31)»f O] } ,  (3. a" 33 (x 3 ,t)  =  0,  (3.32) gdzie  wystę pują ce  w  (3.30)  i  (3.31)  wielkoś ci  d an e  są  odpowiedn io  zależ n oś ciami  (3.29) oraz  (3.24)  i  (3.25),  n atom iast  v jest  współ czynnikiem  P oisson a. 4.  Realizacja  numeryczna  i  zestawienie  wyników W  oparciu  o  przedstawion e  rozwią zanie  an alityczn e  opracowan o  p r o gr a m  n a  E M C •  O D R A  1204  w ję zyku  Algol  60.  D o  przeprowadzen ia  obliczeń  wykorzystan o  n astę pują ce wartoś ci  odpowiedn ich  współ czyn n ików  (po  sprowadzen iu  do  jed n o st ek  SI ) : —  współ czynniki  dyfuzji  D c   [12, 25, 26]  i  przewodn oś ci  cieplnej  D T [7,  16] D e   =   6 •   10 - 6 [ m 2 / h ] ,  D T   =  4 -  10" 3  [ m 2 / h ] ,  (4- 1) —  współ czynniki  m ateriał owe m  [7,  16] n,  I  [27, 28] m  =   7862,5  [ J / m 3 K 3 ] ,  «  -   134,2  [ J / m 3 kg2 ] ,  (4.2) / =   1305,4  [J/ kgK], —  współ czynniki  rozszerzaln oś ci  cieplnej  cc T [l, 16] i dyfuzyjnej  a c  [12,  15] a T   =   4,7-   1 0 - 6 [ l/ K ] ,  tte  =  1,25  •   10- 5 [ m 3 / kg] ,  (4.3) —  m oduł   sprę ż ystoś ci  podł uż n ej E  [16] i współ czyn n ik  P oisson a v  [15] E =  2- 1010  [Pa],  v -   4 - t -L  (4- 4) o —  warunki  brzegowe  [7, 15] 0 6  -   40,0  [K ],  Cb  =   10,8  [kg/ m 3].  (4.5) 412 M .  WRÓBEL Wyn iki  n um eryczn e  przedstawion o  w  postaci  graficznej  n a  rysunkach  3 +  15.  Mając n a uwadze  ogran iczon ą  obję tość  pracy zilustrowan o t u tylko  najistotniejsze  z nich. Z e wzglę- du  n a  sym etrię  zadan ia  (rys.  2)  n a  wykresach  przedstawion o  jedynie  wyniki  przebiegu procesów  dla  poł owy  rozpatrywan ej  warstwy.  Aby  umoż liwić  lepszą  analizę  iloś ciową prezen towan ych  wyników  wprowadzon o  nastę pują ce  zmienne  bezwymiarowe £Ł   0 =   ± h  ~  © b (4.6) przy  czym  dla  tem peratury  i  kon cen tracji  poziom em  odniesienia  są  zadan e  wartoś ci t em perat u ry  i  kon cen tracji  n a  brzegach,  n atom iast dla n aprę ż eń poziom  ustalonych naprę- ż eń  osią gan ych  w  rozpatrywan ym  procesie. W  trakcie  analizy  prezen towan ych  wykresów  korzystać  należy  z  wprowadzonych współ czyn n ików  sprzę gają cych  ( 3.18) ^( 3.21) .  K aż dy  z  nich w  zależ noś ci  od  rozpatrywa- n ego  zad an ia  przybierać  m oże  bowiem  wartość  równą  lub  róż ną  od  zera.  W  ten  sposób zadan ie  ogóln e  w  sposób  n aturaln y  dzieli  się  na  szesnaś cie  elem entarnych  przypadków. I  t a k  n p .  zad an iu  zupeł n ie  rozprzę ż on emu  odpowiada  przypadek  H„ — x T   =  v. cl   =   x cl =   0,  n at om iast  zadan iu w którym  wystę puje  peł ne sprzę ż enie  rozpatrywan ych  pól  —  przy- padek  y.„ ?*  x r   =£  x c2   ?*  x c l  +  0. Brak  peł n ego  kom pletu  danych  dla  innych  technologii  sprawił ,  że  przyję to  beton ja ko  rozpatrywan y  oś rodek.  N ależy jedn ak  pam ię tać,  że  w  toku  rozwią zania  postawion ego p r o blem u  począ tkowo- brzegowego  poczyniliś my  szereg  zał oż eń  upraszczają cych,  z  któ- rych  najistotniejsze  t o  pom inię cie  ź ródeł   ciepł a  i  masy,  oraz  przyję cie  stał ych  (uś redn io- n ych )  funkcji  m ateriał owych  okreś lają cych  wł asnoś ci  fizyczne  beton u.  Okazuje  się,  że w  sytuacjach ,  gdy  zm ian y  tem peratury  i  koncentracji  wywoł ane  reakcjami  hydratacji są  m ale  w  p o ró wn an iu  ze  zm ian am i  tych  wielkoś ci  spowodowanym i  przepł ywami  ciepł a i  m asy,  t o  zan iedban ie  ź ródeł   ciepł a  i  m asy  jest  uzasadn ion e.  Przyję cie  takiego  uproszcze- n ia  jest  n a  podstawie  an alizy  prac  [25,  26,  28] obszernie uzasadn ion e w pracy  [6]. W  tejże pracy  [6]  a u t o r  w  oparciu  o  badan ia  M alininy  [28] i  wyniki prezen towan e przez  Aleksan- drowskiego  [25]  uzasadn ia  przyję cie  stał ych  (uś rednionych)  wartoś ci  współ czynników Rys.  3.  R ozkł ad  temperatury  w  warstwie  dla  Rys.  4.  Rozkł ad  koncentracji  w  warstwie  dla przypadku:  przypadku: K U   =   x T   =   H CZ   — x c l   =   0 Kc 2  =   XcX  —  0 £1- 1 0,8 0,6 0A 0.2 Rys.  5.  Rozkł ad  koncentracji  w  warstwie  sprę ż ystej  dla  przypadku: K»  T 4  0 ;  x T   • £ 0 ;  «c2  *  0,  3*c l  #   0 10 | s S'6 _ > A 2 - - 0,0 2880 h K 4 0 h __  ' - i 0.1 —— —- —* 720h  s* ^ - ^ 3 8 4h | 0,2 i — y 0,3 ^  / / /96h  / 0,4 © 40 35 -  e 3 0 - 25 20 15 10 5 2  4  8  16  24  48  96  192  384  720  1440  2880  5760  364012960 l l h ] Rys.  6.  Rozkł ad wielkoś ci  polowych  w  warstwie  sprę ż ystej  przy  wartoś ci  I  =   0,1  dla  przypadku: »«  #   0;  KT  ^  0;  K O 2  #   0;  «ł l  #   0 0,2 0,4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0,5 0.8 1.0 21-1 0,0 -1 -2 b " 4 - 5 -   - 6 - 7 - 8 - - 0,1  0.2 '  1h  ' ^  . -   i  i  * ^ " ' i  P 2880 h i  i §1- 3 0,3 ^ \ ^ . 8h - ~-   96h i 0,4 ^ > \ i 0,5 I - - s VU   " i Rys.  7.  Rozkł ad  naprę ż eń  w  warstwie  sprę ż ystej  Rys.  8.  R ozkł ad  naprę ż eń  w  warstwie  sprę ż ystej dla  przypadku:  dla  przypadku: x u   =  x T =  x c2   =   Xci  =   0  «»  #   0 ;  «T  • "  «c2  =   «ci  =   0 0.2 0.4 0.6 0.8 1, 0- fll- Rys.  9. 0 0 - 1 - 2 P - t> „c - 6 - 7 - 8 0,1 — — ~ — •   . — — — __^_ i 0,2 - _.  'Ih - - ^ 3 84  h — ^ _ 7 2 0 ^ ____2880h_ 5760 h I 03 " " - ^ ——_. 8h \ . *—- . ( 0.4 1 96h  \ —. I lib - - \ \ i 05 Rozkł ad  naprę ż eń  w  warstwie  sprę ż ystej  Rys.  10.  Rozkiad  naprę ż eń  w  warstwie  sprę ż ystej dla  przypadku:  dla  przypadku: *. i  # 0 ;  x,  =   x T   =   w„_ =   0  x„   ^  x cl   ^ 0 ;  % T  =   *c2  =   0 0.0 -A 1 - 6 -7 - fl - 0,1 —® —© —© —© —@ —C= > \ —© i 0,2 0.3 0.4 0,5 I  • i W \ < I 0A 0,5 0,6, 0.7 0,8 0,9 1.0- Rys.  11.  Rozkł ad  naprę ż eń  w  warstwie  dla  czasu  t  =   8h XI I HT Xci « C 1 X I I «T «C  2 Xc i Ku XT Xci « C 1 -   0 *  0 = 0 = 0 4  0 *  0 »  0 = 0 = 0 54  0 =  0 Ą  0 / o * o =  0 5 4 0 [414] 0 0 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 Ol- ] Rys.  12.  Rozkł ad  naprę ż eń w  warstwie  sprę ż ystej  dla czasu  t =  720h 10 IXu  - I XT \ xci U l XU  • XT Xci Xci Xu  • XT XC3 Xci K U  • K T Xci Xci - -  0 -   0 =  0 =  0 •   0 to m 0 =  0 =  0 -   0 # 0 7 i 0 •  0 *  0 *a A . 1 * ! u 11 *ll XT Xci Xci xu XT Xci Xci "u XT Xci xci Xu XT Xc z X c i =  0 =  0 *  0 =  0 i* 0 # 0 7 0̂ -   0 -   0 m  0 -   0 ^ 0 =  0 *  0 X  0 5 * 0 Xi, 2 i «r \ Xci 4 9 Xu XT Xci Xci KB XT H c l Xc 1 1  Xu1 ill** \ XC1 < - xc, ?S0 = 0 *  0 =  0 =  0 7 SO > 0 *  0 = 0 = 0 # 0 # 0 #  0 *  0 3 6 13 HU XT yC2 Xci xu X,- Xci XC, Ku XT r- ci xCi x,, y.r Xc; He to =  0 •   0 = 0 Ą•  0 *  0 =  0 =  0 7SO =  0 #  0 7SO *  0 =  0 # 0 tlhl 96  192  384  720  1440  2880  5760  12960 Rys.  13. Warstwa  sprę ż ysta Rozkł ad  naprę ż eń w  czasie  dla przypadku: »„ =  xr  — xcz =  «c i  =  0 [415] O  0.5  1  2  4  8  16  24  48  9 6  192  38'.  720  1440  2 8 8 0  57 Rys.  14.  Warstwa  sprę ż ysta.  Rozkł ad  naprę ż eń  w  czasie  dla  przypadku: tlhl 3.1 3.2 0.3 0.5 0 . 6 - 0.7 0.8 0.9 1.0 St- 1 n  0 5  1  2  4  8  16  24  48  9 6  192  384  720  1440  2880  5760  11520 R ys.  15.  Warstwa  sprę ż ysta.  Rozkł ad  naprę ż eń  w  czasie  dla  f  =  0,3 «r y,r  i -   0 =  0 5*  0 =  0 !*  0 =  0 =  0 =  0 i* 0 =  0 5*  0 =  0 =  0 =  0 -   0 *  0 f j A )<„  = XT Xci x„ XT xc, Ku XT Xci Xci =  0 =  0 =  0 =  0 7^  0 y*.  0 =  0 =  0 i*  0 9*  0 * o «  0 xu  =  0 XT Xci =  0 5*0 i=  0 Q XU xr Xci Xci x„ XT xc, "Cl x„ XT K e j xc, ix 10  K - 1 Xci Xci = 0 *  0 =  0 =  0 =  0 #  0 =  0 *  0 ^  0 =  0 =  0 #  0 /   0 # 0 *  0 11 xu  = XT  * Xci  * x«  = XT  # Xci  7 Xc i  ? KT  = Kd2  7 Xc i  7 K„75 0 0 0 0 0 0 S  0 i  0 0 0 0 0 0 x r # 0 • «cl  7S  0 [416] PRZEPŁYWY  TERMODYFUZYJNE  417 dyfuzji  i  termodyfuzji.  Kolejnym  mankamentem  prezentowanego  rozwią zania  jest  fakt, że  beton  —  w  począ tkowym  etapie  dojrzewania  —  wykazuje  wł asnoś ci  lepkosprę ż yste. Analizowane  w pracy zadanie począ tkowo- brzegowe  należy  wię c  traktować  jako  pierwsze przybliż enie  tego  zł oż onego  problemu. Ze  wzglę du  na  ograniczoną   obję tość  pracy  nie  bę dziemy  tu  przeprowadzali  szczegó- ł owej analizy otrzymanych wyników  numerycznych. Warto  jednak  zaznaczyć, że  pozostają one  w dobrej zgodnoś ci z wynikami  innych badaczy problemu.  I tak jeż eli  chodzi  o  wpł yw sprzę ż eń  na  rozwój  pola  cieplnego,  oraz  sprzę ż enia  cieplno- dyfuzyjne  —•  z  pracami  [6, 25,  26, 28], natomiast w zakresie  zagadnień  sprzę ż enia  pola  mechanicznego z  polem  kon- centracji  z pracą   [24]. Otrzymane wyniki  numeryczne w sensie  opisanych  wcześ niej  zał oż eń  upraszczają cych nabierają   znaczenia  jako  wyniki  iloś ciowe  obrazują ce  wpływ  sprzę ż eń  rozpatrywanych pól  na siebie.  Mogą   się  one okazać pomocne w rozstrzygnię ciu  dylematu, czy  dane zadanie począ tkowo  —  brzegowe  rozwią zywać  jako  niesprzę ż one,  czy  też  analizować  bardziej zł oż one  zadanie  sprzę ż one. Literatura 1.  BAO- LIAN   F U , Ob obobś ć ennych  variacjonnych principach  terrnouprugosti,  Scienta —  Sinica  13,  9,  1964. 2.  M.  BEN   AM OZ ,  On  a  variatiottal  theorem in coupled  thermoelasticity,  J.  Appl.  M ech. 32,  4,  1965. 3.  M. A.  BIOT,  T hermoelasticity  and irreversible  thermodynamics,  J.  Appl.  P hys.  3,  27,  1956. 4.  M. A.  BIOT, N ew thermoelastical reciprocity relations with application  to  thermal stresses, J.  Aero/ Space Sciences  7,  26,  1969. 5.  R. M .  CHRISTEN SEN , Variational and minimum theorems for  the  linear theory ofviscoelasticity, Z . Angew, M ath.  Phys.  19,  233,  1968. 6.  F .  G AJD A,  Sprzę ż enie  cieplno- dyfuzyjne  w ciał ach  lepkosprę iystych,  dysertacja  doktorska,  P olitechnika Wrocł awska  1983. 7.  F .  G RU D Z IŃ SKI,  Procesy cieplne w  technologii betonów,  Warszawa  1976. 8.  K.  G RYSA,  R.  SŻ CZEPAIŚ ISKI,  O  pł askim  quasi- statycznym  zagadnieniu  termodyfuzji  dla  sprę ż ystego walca  koł owego,  M ech.  Teoret.  i  Stos.  2,  17,  1979. 9.  M. E.  G U R TI N , Variational principles in  the  linear  theory of  viscoeiasticity,  Arch.  R at.  M ech.  An al., 13,  179,  1963. 10.  M. E.  G U R TI N , Variational principles for  linear elastodynamics,  Arch.  R a t .  M ech.  An al.,  17,  1,  1964. U .  G .  H ERRMAN ,  On  variational principles in tehermoelasticity and heat conduction, Q. Appl.  M ath .  2, 21, 1963. 12.  J.  KASPERKIEWICZ,  Dyfuzja  wilgoci  i deformacje skurczowe w  betonie,  P WN . Warszawa  1972. 13.  J.  KU D I K,  Analogie  i podobień stwo  w  liniowych oś rodkach  odkształ calnych,  Z . N .  P oi.  Ś l.  Bud.  38, G liwice  1975. 14.  R.  M OKRYK,  Z .  OLESIAK,  T ermodyfuzja  w  zagadnieniu  kontaktu  warstwy  i pół przestrzeni  sprę ż ystej. M ech.  Teoret.  i  Stos.,  3/ 4,  20,  1982. 15.  A.  MrTZEL, Reoł ogia  betonu, P WN ,  Warszawa  1972. 16.  A. M .  N EVILLE,  W ł aś ciwoś ci  betonu, P WN ,  Warszawa  1977. 17.  W.  N OWAC KI,  Certain problems of  thermodiffusion  in solids,  A.  M. S. 23, 6,  1971. 18.  W.  N OWAC KI,  T ermodyfuzja  w ciele stał ym, Mech. Teoret. i  Stos. 2,  13,  1975. 19.  R. E.  N ICKELL,  J. L.  SACKMAN ,  Variational principles for  linear  coupled thermodelasticity,  Q.  Appl. M ath..  1,  26,  1968. 20.  W.  OLSZAK,  P.  PERZYN A,  Variational theorems in general viscoelasticity, I n g. Arch .  28,  1959. 21.  E. T.  ON AT,  On a  variational principle  in linear viscoelasticity,  I, M ech. 1,  135,  1962. 7  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/ 87 418  M.  WRÓBEL 2 2 I  J. N .  R E D D Y,  Variational principles for  linear coupled  dynamic  theory of  thermoelasticity,  Int.  J.  Eng. Science  14,  605,  1976. 23.  J.  STEF AN IAK,  J.  JAN KOWSKI,  Pł askie fale  harmoniczne  i dyfuzja  w  ciele stał ym,  M ech.  Teoret.  i  Stos. 18,  3,  1980. 24.  J.  WYR WAŁ ,  W ariacyjne  uję cie  termodyfuzji  lepkosprzę ż ystej,  dysertacja  doktorska,  Politechnika Krakowska  1979. 2 5 .  C . B .  AjiEKCAHflPoBCKHflj  Pacuem  SemouHux  u  otcejiesoSemomibix  KOHcmpyKą uii  Ha  meMnepamypuue u  ejiaoicHocnmue  eosdeiicmeun,  C TpoiiraflaT  1966. 2 6 .  J I . Sl.  BO JI O C H H J  T en.to- u  MaccooSMeri  npu  mepuoo6pa6oniKe  6emoHHux  u  3tceAe3o6emonuhix  mdemiUy M I I H C K  1973. 27.  A.  B.  JI BI K O B,  T eopemimecmie ocnoeu  cmpouniejibHoii  cf>u3UKU t   M H H CK  1961. 2 8 .  J I . A.  M AJ I H H H H A,  T ennoBMa- yicnocmuan  oSpaóomKa  mtmcenoso  Semona 3   M ocKBa 1977. 2 9 .  H.  C .  noflCTPKTAiij  I I . P .  I I lE BiyK ,  BapuaijUouHaH  (fiopMa  ypaeuenuu  mepModutp~ip~y3uoHHbix  npo- tfecoe e defiopMupyeucM  mejie,  r ip u K J i.  M e x.  H  M aT .  33, 4, 1969. 3 0 .  I T .  B.  Ł C OH ,  Memodu  pacneina  omdejimix  3adaH3.  21,  1977. P  e  3  IO  M e BAPHAIJHOHHAfl  OOPMA  T E P M O flH ^ o ySH O H H t lX  nEPEnJIBIBOB  CBa3AH H LIX C  nOJIEM  HAIIPfl)KEHHtf B  pa6oT e  n ocrpoeH O  dpywwpL owL n fljia; 3aaa^i  conpH JKeinioft  BH 3Koynpyroft  TepMoflM(b(|)y3HH.  O C H O - Boii  nocTpoeH H H