Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\02mts87_t25_zeszyt_3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3, 25,  (1987) IDEN TYFIKACJA  PARAMETRYCZNA M OD ELU   MATEMATYCZN EG O  SAM OLOTU WŁAD YSŁAW  JAROM IN EK Polska Akademia N auk,  W arszawa TAD EU SZ  STEFAŃ SKI Politechnika Ś wię tokrzyska, Kielce 1.  Wprowadzenie Jednym  z podstawowych  problemów  syntezy  ukł adu stabilizacji  samolotu jest  problem identyfikacji,  którego  zadaniem jest  otrzymanie  niezbę dnych  informacji  o  charakterysty- kach  statycznych  i  dynamicznych  samolotu.  Problem  ten posiada  szczególnie  istotne znaczenie w przypadku  samolotu  naddź wię kowego,  gdzie  informacje  o aktualnych  zmia- nach jego  parametrów  muszą   być  cią gle w czasie  lotu korygowane.  Identyfikacja  obiektów niestacjonarnych  — a  takim  jest  samolot  —  sprowadza  się  gł ównie  do zał oż enia  quasi- stacjonarnoś ci  w  pewnym  dopuszczalnym  przedziale  czasu  AT  i  na znalezieniu  takiego algorytmu  identyfikacji,  którego  czas  procesu  przejś ciowego  jest  mniejszy  od czasu AT . W  niniejszym  artykule  do syntezy  algorytmów  identyfikacji  parametrów  modelu  ma- tematycznego  samolotu  w  kanale  podł uż nym  zastosowano  metodę   najmniejszych  kwa- dratów.  M etoda ta wykazuje w tym przypadku  wiele  istotnych  zalet, w tym :  otrzymanie algorytmu  identyfikacji  w postaci  ukł adu równań  normalnych lub w postaci  rekurencyj- nej  — prostej  i  wygodnej  do obliczeń  numerycznych,  moż liwość  uwzglę dnienia  szumów pomiarowych  lub  zakł óceń  dział ają cych  na  samolot,  wysoka  zbież ność  i  dokł adność identyfikacji  parametrów  modelu  matematycznego.  Ponieważ  przedstawione  algorytmy pozwalają   identyfikować  parametry  dyskretnego  modelu  matematycznego  samolotu, w  pracy  przedstawiono  także  problem  okreś lania  parametrów  cią gł ego  modelu  matema- tycznego  na podstawie  modelu  dyskretnego. 2.  Model  matematyczny  samolotu W  wielu  praktycznych  zastosowaniach,  np. w  przypadku  stabilizacji  ukł adu  pilotażu rę cznego  samolotu  w  kanale  podł uż nym,  istotne  znaczenie  ma ruch  krótkookresowy. Wynika  to z faktu,  że pierwszą   reakcją   na wychylenie  steru  wysokoś ci jest  zmiana  ką ta natarcia,  podczas  gdy zmiana  prę dkoś ci  lotu  zachodzi  znacznie  póź niej. 430  W.  JAROMIN EK,  T.  STEFAŃ SKI Liniowy  m odel  matematyczny  krótkookresowego  ruchu  podł uż nego  samolotu,  dla ustalonego  lotu  poziomego,  ma  postać  [2]: 4  =  óc + P a a  + P ó d  +  P w (1) gdzie:  a  —  ką t  n atarcia; # —  ką t  pochylenia;  <5— wychylenie  steru;  n —  przyś pieszenie n o rm aln e;  V—  prę dkość  lo t u ; g  —  przyś pieszenie  ziemskie;  P a ,  P s ,  Mi,  M a ,  M- a ,  M a ~ współ czynniki  zależ ne  od  geometrii,  kinematyki  i  parametrów  lotu;  P w ,  M w   —  zakł ó- cenia  dział ają ce  na  sam olot. Z  równań  (1)  otrzymano transmitancje  wią ż ą ce  sygnał y wyjś ciowe  • &  i  n  z  wejś ciowym sygnał em  sterują cym  d  dla  P„  =   0  oraz  M w   =  0,  które  mają   postać: d(s) ""  '  d(s) gdzie: H + MJ  = J l f P  " M sPa- MaPt M 5 P a - M a P ó   V A  =   A Współ czynniki  transmitancji  (2)  i  (3)  są   zmienne i zależ ne  od prę dkoś ci  V oraz wysokoś ci H  lo t u ;  ogólnie  stwierdza  się ,  że  są   funkcją   czasu. U kł ad  równ ań  (1)  m oż na  zapisać  w  postaci  macierzowej x(t)=A c x(t)+Bj(t)+W c   (4) przy  czym: Również  w  tym  przypadku  param etry  modelu  (4), tj.  macierze  A c ,  B c   i  W c   są   funkcjami czasu. 3.  Algorytmy  identyfikacji Sam olot  jest  obiektem,  którego  wł aś ciwoś ci  statyczne  i  dynamiczne  zmieniają   się w  czasie  lotu,  n a  ogół  jedn ak  zmiany  są   powolne.  Z tych  też  wzglę dów  dopuszczalne  jest zał oż enie,  że  istnieje  przedział   czasu  AT ,  w  którym  parametry  modelu  matematycznego I D E N T YF I K AC JA  P AR AM E TR YC Z N A  SAM OLOTU   431 (2)  lub  (4)  nie  ulegają   istotnym  zmianom.  D o  identyfikacji  parametrów  modelu  m ate- matycznego  należy  wówczas  zastosować  metodę ,  której  proces  przejś ciowy  nie  bę dzie dłuż szy  niż  AT .  Tak  postawiony  problem  rozwią zany  zostanie  przy  pomocy  metody najmniejszych  kwadratów,  której  algorytmy  cechują   się  wysoką  zbież noś cią   i  dokł adnoś cią, identyfikacji. W  warunkach  ą uasistacjonarnoś ci,  dyskretna  postać  równania  (4)  okreś lona  jest: nastę pują co x(k+1)  -   Ax(k)+Bó(k)  + W   (5> gdzie: A  =   cxv(A c   T ) B  =  A^ (exp(A c T )- T )B e W   =   Ać1  (expO4c T ) -  T )W e W  przypadku  mał ej  wartoś ci  okresu  impulsowania  T   moż na  ograniczyć  się   do  przybli- ż enia liniowego  rozwinię cia macierzy QXp(A c T ) w szereg potę gowy  i wóczas A  =   I+A C T W =  W C T Identyfikację   parametrów modelu matematycznego  (5) moż na  przeprowadzić  w  opar- ciu o pomiar ó(k) i &(k) lub w oparciu o pomiar  d{k) oraz  x(k). W  metodzie  bazują cej  na  pomiarze  skalarnych  sygnał ów  (tj.  d(k) i  &(k)) konieczna jest  przedstawienie  modelu  (5)  w  postaci  kanonicznej  F robeniusa.  D la  kwadratowego- wskaź nika  jakoś ci  algorytm  identyfikacji  ma  postać: k- \ - )] k)P(k- l)G T (k)]- l G(k)P(k- l)   l  ) gdzie:  (k- l)+P(k)G r (k)Q(k)t&(k)~G(k)ę (k~l)] P(k)  =  R(k)- R(k)GT(k)[Q- i(k)  + G(k)R(k)GT(k)]- 1G(k)R(k)  ( 9 ) przy  czym  najczę ś ciej  przyjmuje  się  R(k)  =  yl,  gdzie  /  jest  macierzą  jednostkową  a  y współ czynnikiem  o  duż ej  wartoś ci  (rzę du  103- ^10s).  Zbież ność  tego  algorytmu  moż na dodatkowo  poprawić  dobierając  eksperymentalnie  ciąg  wartoś ci  współ czynników  wagi Q{k). W przypadku, gdy  niestacjonarność identyfikowanych  parametrów jest silna,  algorytmy rekurencyjne  najczę ś ciej  są rozbież ne. Lepsze  wyniki  osią ga  się stosując  tzw. ukł ad równań normalnych.  N iech A T  bę dzie  przedział em czasu, w którym parametry obiektu nie ulegają istotnym zmianom. D la tego przedział u estymator identyfikowanych parametrów, uzyskany metodą  najmniejszych  kwadratów  ma  postać £ =   [GT(N )G(N )]~ 1GT(N )y(N )  (10) gdzie: G(N ) =   [G '(l)|(?r(2)! ... \ GT(N )]T y(N )=  $ ( 1) , *( 2) ,  . . . , *( # ) ] Idea tej metody polega  na tym, że w każ dym przedziale czasu A T  należy dokonać N  pomia- rów  sygnał u wejś ciowego  d(k) i wyjś ciowego  &{k) w  chwilach  dyskretnych  k,  przy  czym N   >  4,  a  nastę pnie  przetwarzać je  zgodnie  z  zależ noś cią  (10).  Najczę ś ciej  równania  (10) rozwią zuje  się  w  oparciu o dekompozycję  macierzy, n p. metodą ortogonalizacji  H ousehol- dera  lub  metodą  SVD.  Zwię kszenie  iloś ci  pomiarów  N   ma  duże  znaczenie  w  przypadku dział ania  n a  ukł ad zakł óceń  i  szumów  pomiarowych.  Wpł yw  wymienionych  zjawisk  na dokł adność  identyfikacji  moż na  zmniejszyć  stosując  odpowiednią  filtrację. Identyfikacji  parametrów  modelu  matematycznego  samolotu  moż na  także  dokonać poprzez  pomiar  sygnał u  wejś ciowego  d{k)  oraz  wektora  stanu  x{k).  Wówczas  algorytm identyfikacji  ma  postać: $r(fc)  =   y)T(k- \ )  +  P(k)S(k)Q{k)[xT{k)- ST(k)y>T{k- \ )] P(k)  = przy  czym: S(k) = \ x(k- r- i)-J Również  w  tym  przypadku  macierz  kowariancji  P(k — 1) moż na zastą pić  macierzą  R(k), analogicznie jak  w  algorytmie  (9).  Zaletą  algorytmu  (11) jest  wyż sza,  niż  algorytmu  (9), zbież ność  I  dokł adność  identyfikacji,  wadą  —•   konieczność  pomiaru  ką ta  pochylenia • &(k)  i  ką ta  natarcia a.(k). G dy  zmiany  parametrów są  szybkie,  zamiast  algorytmu  reku- rencyjnego  (11)  należy  zastosować  ukł ad  równań  normalnych,  wynikają cych  z  metody .najmniejszych  kwadratów. W  wielu  przypadkach  zachodzi  konieczność  okreś lania  parametrów  cią gł ego  modelu matematycznego.  Cią gły  model  matematyczny  obiektu  moż na  uzyskać  jako  przypadek I D E N T YF I K AC JA  P AR AM E TR YC Z N A  SAM OLOTU   433 graniczny  m odelu  dyskretn ego,  przyjmują c,  że  okres  im pulsowan ia  T dą ży  do zera.  Wów- czas  macierze  A c   i  B c   ró wn an ia  (4)  m oż na  okreś lić  z  zależ noś ci  (6) A e =  (Ar- JOT - 1 B c   =  BT ' 1  .  ( 1 2 ) , , - , • , .  t  •   •   • . • - . . ,  .  •   •   • - • . . . -   • - . . - - , • . Jeż eli  okres  im pulsowan ia  T ma.  dużą   wartoś ć,  czł ony wyż szego rzę du rozwin ię cia  m acierzy exp(A c T )  mają   duży  wpł yw  n a  A  (nie są  jeszcze  bliskie  zeru)  i  zależ n oś ci  (12)  n ie  m o ż na stosować,  gdyż  bł ą d  obliczenia  macierzy  A c   i  B c   jest  zbyt  duż y.  R ówn ież  ba r d zo  m ał a wartość  T   n ie  jest  wskazan a,  przy  stosowan iu  tych  zależ noś ci,  gdyż  bł ą d  iden tyfikacji param etrów  m o d elu  dyskretn ego  silnie  przen osi  się   n a  wartoś ci  p aram et ró w  m o d elu cią gł ego. M acierze  A c   i  B c   okreś lić  m o ż na  ze  stosun kowo  m ał ym  bł ę dem,  korzystają c  z  ró wn ań (5)  i  t a k: A c   =   - jrlnA (13) W - Ij- UeB Zasadniczą   trudn ość  sprawia  t u  obliczenie  m acierzy  A c .  Jeś li  wartoś ci  wł asn e  Aj  m acierzy A  speł niają   waru n ek \ Xj- \ \  < 1  y - I , 2  (14) to  sł uszna  jest  zależ n ość kT fc- i D la  ukł adów stabiln ych  i  lj  >  0 warun ek  (14) jest zawsze speł n ion y. M acierz  B c   wyznaczyć m oż na  z  zależ noś ci  (13),  uprzedn io  okreś lając  m acierz  exp(A c T ),  lu b  też  z  zależ noś ci przybliż onej co [ 2 ] e B (16) 4. Badania symulacyjne algorytmów identyfikacji P rzedstawion e  algorytm y  identyfikacji  przetestowan o  n a E M C  w  celu  ocen y  ich  zbież- noś ci  i  dokł adn oś ci  identyfikacji.  Analizy  d o ko n an o  dla  stacjon arn ego  o raz  n iestacjo- n arn ego  m odelu  m atem atyczn ego.  W  pierwszym  przypadku  ba d a n o  p o d st awo we  wł aś- ciwoś ci  algorytm ów  identyfikacji,  w  drugim  —  przydatn ość  tych  algorytm ów  d o  iden ty- fikacji  m odeli  n iestacjon arn ych . Symulowany  obiekt  identyfikacji  okreś lony  został   przez  m odel  m at em at yczn y  ( 4) ; param etry  tego  m odelu  dla  zakresu  prę dkoś ci  lot u  M a  =   0,5- r- 1,8  i  zakr esu  wysokoś ci lot u  H  — 0- 7- 13500 m  zaczerpn ię to  z  pracy  [4]. 8  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/ 87 434 W.  JAROMIN EK,  T.  STEFAŃ SKI Przyję to  nastę pują ce  wartoś ci  parametrów  identyfikowanego  obiektu  stacjonarnego [0,95  - 0,2J  _  ro,281 ^ - [ 0 ,1  0,95 J  ^  ~  i0,26j W  wyniku  symulacji  stwierdzono  (rys.  1), że  algorytm  (11) wykazuje  dużo  lepszą  zbież- ność niż algorytm  (7). Również w przypadku uwzglę dnienia szumów pomiarowych (rys. 2) a) T 0.5 1.0 kTts] R ys.  1.  Zbież ność  procesu  identyfikacji  dla  obserwacji: a) —  skalarnego  sygnał u  wyjś ciowego, b) —  peł nego  wektora  stanu. 1.5 kTls] R ys.  2,  Z bież ność  procesu  identyfikacji  w  przypadku  uwzglę dnienia  szumów  pomiarowych  dla  obserwacji: a) —  skalarnego  sygnał u  wyjś ciowego, b) —  peł nego  wektora  stanu. I D E N T YF I K AC JA  P AR AM E TR YC Z N A  SAM O LO T U 435 .— wniosek  jest identyczny. Podczas  symulacji  przyję to,  że szumy pomiarowe  są   sygnał ami losowymi  o  zerowych  wartoś ciach  oczekiwanych  i  maksymalnych  amplitudach  nie  prze- kraczają cych  10%  amplitud  mierzonych  sygnał ów. Zbież ność algorytmu identyfikacji  dla obiektu niestacjonarnego  przedstawiono  na rys.  3. 0 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 Rys.  3.  Identyfikacja  obiektu  niestacjonarnego  przy  obserwacji: a)  —  skalarnego  sygnał u  wyjś ciowego, b) —  peł nego  wektora  stan u. Podczas  symulacji  procesu  identyfikacji  zał oż ono,  że  samolot  nabiera  prę dkoś ci  do  war- toś ci 2Ma i wysokoś ci  do  15000 m w cią gu  75s.  Linią   cią głą   oznaczono  zmiany  wartoś ci parametrów obiektu, natomiast linią   przerywaną   —  zmiany wartoś ci  parametrów  samolotu otrzymanych  z  procesu  identyfikacji.  Również  w  tym  przypadku  dużo  wyż szą   zbież ność i  dokł adność  identyfikacji  wykazuje  algorytm  (11).  Algorytm  (7)  przy  duż ej  szybkoś ci zmian parametrów  obiektu  utracił  zbież noś ć.  Oczywiś cie  lepsze  wyniki  uzyska  się   stosują c algorytm  (8)  lub  (10). 5.  Podsumowanie Przedstawione  algorytmy  identyfikacji  moż na  z  powodzeniem  wykorzystać  do  iden- tyfikacji  parametrów  stacjonarnego  i  niestacjonarnego  modelu  matematycznego.  Jeś li jest  moż liwość  obserwacji  ką ta  natarcia  HKai;Hs n a p a M e ip o B  necTauH oirapH OH   MaTeMaTHieciiKe  oflH oii  H H H Bcex  n ep eM en n bix  COCTOH H H H   3TOH   MoflejiH .  IlpoaH ajiH 3H poBaH o  CXO^H MOCTL  nojiy^eH H Bix  ajiropuTMOB a  Toace  npoSneMMy  onpefleneH Kfi  H enpepH Biioił   MaTeMaTH îecKOH   Moflenn  n a  ocuoBe j  n o jiy^eu H o ii  B peayjiwaT e  napaM eTpH necKoii S u m m a r y P AR AM E TR I C  I D E N TI F I C ATI ON   O F   M ATH EM ATICAL  M OD EL  OF   AIRC RAF T The  present  paper  deals  with  the problem  of  parametric identification  of  discrete  mathematical mode of  aircraft  in  the  oblong  channel  solved  by  means of  the method  of  least  squares.  It  is  shown  that identi- fication  of  parameters  of  non- stationary  mathematical  model  is  possible  in  the  real  time  basing  upon passive  experiment  consisting  of  measurement  of  input  signal  as  well  as  one  or  all  variables  of  the  state of  the  m odel.  The  convergence  of  the  identification  algorithms  being  obtained  and  the  problem  of  deter- mining  of  continuous mathematical model  on  the  basis  of  discrete  model  resulting  from  parametric ide- tification  has  been  analysed. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  19  marca 1986  roku.